לאחר קבלת המידע הראשוני על אי-שוויון עם משתנים, נפנה לשאלת הפתרון שלהם. בואו ננתח את הפתרון של אי-שוויון ליניארי עם משתנה אחד ואת כל השיטות לפתרון שלהם עם אלגוריתמים ודוגמאות. רק משוואות לינאריות עם משתנה אחד ייחשבו.

Yandex.RTB R-A-339285-1

מהו אי שוויון ליניארי?

ראשית עליך להגדיר משוואה לינארית ולגלות את הצורה הסטנדרטית שלה וכיצד היא תהיה שונה מאחרות. מהקורס בבית הספר יש לנו שלאי-שוויון אין הבדל מהותי, ולכן יש להשתמש בכמה הגדרות.

הגדרה 1

אי שוויון ליניארי עם משתנה אחד x הוא אי שוויון בצורה a x + b > 0 כאשר משתמשים בסימן אי שוויון כלשהו במקום >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

הגדרה 2

אי שוויון a x< c или a · x >c, כאשר x הוא משתנה ו-a ו-c כמה מספרים, נקרא אי שוויון ליניארי עם משתנה אחד.

מכיוון ששום דבר לא נאמר אם המקדם יכול להיות שווה ל-0, אז אי שוויון קפדני בצורה 0 x > c ו- 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

ההבדלים ביניהם הם:

• סימון a · x + b > 0 בראשון, ו- a · x > c - בשני;
• קבילות של מקדם אפס a , a ≠ 0 - בראשון, ו- a = 0 - בשני.

מאמינים שאי השוויון a x + b > 0 ו- a x > c שווים, מכיוון שהם מתקבלים על ידי העברת האיבר מחלק אחד למשנהו. פתרון אי השוויון 0 · x + 5 > 0 יוביל לכך שיהיה צורך לפתור אותו, והמקרה a = 0 לא יעבוד.

הגדרה 3

זה נחשב שאי-שוויון ליניארי במשתנה אחד x הם אי-שוויון של הצורה a x + b< 0 , a · x + b >0 , a x + b ≤ 0ו a x + b ≥ 0, כאשר a ו-b הם מספרים ממשיים. במקום x, יכול להיות מספר רגיל.

בהתבסס על הכלל, יש לנו ש-4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 נקראים ליניאריים.

כיצד לפתור אי שוויון ליניארי

הדרך העיקרית לפתור אי שוויון כאלה היא להשתמש בטרנספורמציות שוות כדי למצוא את אי השוויון היסודיים x< p (≤ , >, ≥), p הוא מספר כלשהו, ​​עבור a ≠ 0 , ובצורה a< p (≤ , >, ≥) עבור a = 0 .

כדי לפתור אי שוויון עם משתנה אחד, ניתן ליישם את שיטת המרווחים או לייצג אותו בצורה גרפית. כל אחד מהם יכול לשמש בבידוד.

שימוש בטרנספורמציות שוות

כדי לפתור אי שוויון ליניארי בצורה a x + b< 0 (≤ , >, ≥), יש צורך ליישם טרנספורמציות שוות של אי השוויון. המקדם עשוי להיות אפס או לא. בואו נשקול את שני המקרים. כדי להבהיר, יש צורך לדבוק בסכימה המורכבת מ-3 נקודות: מהות התהליך, האלגוריתם, הפתרון עצמו.

הגדרה 4

אלגוריתם לפתרון אי שוויון ליניארי a x + b< 0 (≤ , >, ≥) עבור ≠ 0

• מספר b יועבר ל צד ימיןאי שוויון עם הסימן ההפוך, שיאפשרו לנו להגיע למקבילה a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• שני חלקי אי השוויון יחולקו במספר שאינו שווה ל-0. יתרה מכך, כאשר a חיובי, הסימן נשאר, כאשר a הוא שלילי, הוא משתנה להיפך.

שקול בקשה אלגוריתם זהעל פתרון דוגמאות.

דוגמה 1

פתור אי שוויון בצורה 3 · x + 12 ≤ 0 .

פִּתָרוֹן

לאי השוויון הליניארי הזה יש a = 3 ו- b = 12 . מכאן שמקדם a של x אינו שווה לאפס. בואו ליישם את האלגוריתמים לעיל ונפתור.

יש צורך להעביר את המונח 12 לחלק אחר של אי השוויון עם שינוי סימן לפניו. ואז נקבל אי שוויון בצורה 3 · x ≤ − 12 . יש צורך לחלק את שני החלקים ב-3. הסימן לא ישתנה כי 3 הוא מספר חיובי. נקבל את זה (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , מה שייתן את התוצאה x ≤ − 4 .

אי שוויון בצורה x ≤ − 4 שווה ערך. כלומר, הפתרון ל-3 x + 12 ≤ 0 הוא כל מספר ממשי הקטן או שווה ל-4. התשובה נכתבת כאי שוויון x ≤ − 4 , או מרווח מספרי של הצורה (− ∞ , − 4 ] .

כל האלגוריתם שתואר לעיל כתוב כך:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12; x ≤ − 4 .

תשובה: x ≤ − 4 או (− ∞ , − 4 ] .

דוגמה 2

ציין את כל הפתרונות הזמינים של אי השוויון − 2 , 7 · z > 0 .

פִּתָרוֹן

מהתנאי אנו רואים שמקדם a ב-z שווה ל- 2, 7, ו-b חסר במפורש או שווה לאפס. אתה לא יכול להשתמש בשלב הראשון של האלגוריתם, אלא ללכת מיד לשלב השני.

נחלק את שני חלקי המשוואה במספר - 2, 7. מכיוון שהמספר שלילי, יש צורך לשנות את סימן אי השוויון להפך. כלומר, אנו מקבלים את זה (− 2 , 7 z): (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

אנו כותבים את כל האלגוריתם צורה קצרה:

− 2 , 7 z > 0 ; ז< 0 .

תשובה:ז< 0 или (− ∞ , 0) .

דוגמה 3

פתור את אי השוויון - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

פִּתָרוֹן

לפי התנאי רואים שיש צורך לפתור את אי השוויון עם מקדם a למשתנה x ששווה ל-5, עם מקדם b שמתאים לשבר – 15 22. יש צורך לפתור את אי השוויון בעקבות האלגוריתם, כלומר: להעביר - 15 22 לחלק אחר עם הסימן ההפוך, לחלק את שני החלקים ב-5, לשנות את סימן אי השוויון:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

במעבר האחרון, עבור הצד הימני, הכלל לחלוקת מספר עם סימנים שונים משמש 15 22: - 5 = - 15 22: 5, ולאחר מכן אנו מבצעים את החלוקה שבר נפוץלמספר טבעי - 15 22: 5 \u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 \u003d - 3 22.

תשובה: x ≥ - 3 22 ו- [ - 3 22 + ∞) .

שקול את המקרה כאשר a = 0. ביטוי ליניארי של הצורה a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

הכל מבוסס על הגדרת הפתרון של אי השוויון. עבור כל ערך של x, נקבל אי שוויון מספרי של הצורה b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

אנו רואים את כל השיפוט בצורה של אלגוריתם לפתרון אי שוויון ליניארי 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

הגדרה 5

אי שוויון מספרי של הצורה ב< 0 (≤ , >, ≥) נכון, אז לאי השוויון המקורי יש פתרון לכל ערך, ושקר כאשר לאי השוויון המקורי אין פתרונות.

דוגמה 4

פתור את אי השוויון 0 · x + 7 > 0 .

פִּתָרוֹן

אי השוויון הליניארי הזה 0 · x + 7 > 0 יכול לקחת כל ערך x . אז נקבל אי שוויון בצורה 7 > 0. אי השוויון האחרון נחשב נכון, ולכן כל מספר יכול להיות הפתרון שלו.

תשובה: מרווח (− ∞ , + ∞) .

דוגמה 5

מצא פתרון לאי השוויון 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

פִּתָרוֹן

החלפת המשתנה x במספר כלשהו, ​​נקבל שאי השוויון יקבל את הצורה − 12 , 7 ≥ 0 . זה לא נכון. כלומר, ל- 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 אין פתרונות.

תשובה:אין פתרונות.

שקול את הפתרון של אי-שוויון ליניארי, שבו שני המקדמים שווים לאפס.

דוגמה 6

קבע אי שוויון בלתי פתיר מ- 0 · x + 0 > 0 ו- 0 · x + 0 ≥ 0 .

פִּתָרוֹן

כאשר מחליפים מספר כלשהו במקום x, נקבל שני אי-שוויון בצורה 0 > 0 ו-0 ≥ 0. הראשון לא נכון. משמעות הדבר היא של-0 x + 0 > 0 אין פתרונות, ול-0 x + 0 ≥ 0 יש מספר אינסופי של פתרונות, כלומר כל מספר.

תשובה: לאי השוויון 0 x + 0 > 0 אין פתרונות, ול-0 x + 0 ≥ 0 יש פתרונות.

השיטה הזאתנחשב בקורס מתמטיקה בבית הספר. שיטת המרווחים מסוגלת לפתור סוגים שוניםאי השוויון גם הוא ליניארי.

שיטת המרווח משמשת לאי שוויון ליניאריים כאשר הערך של מקדם x אינו שווה ל-0. אחרת, תצטרך לחשב בשיטה אחרת.

הגדרה 6

שיטת הריווח היא:

• הקדמה של הפונקציה y = a x + b;
• חפש אפסים כדי לפצל את תחום ההגדרה למרווחים;
• קביעת סימנים למושג אותם על מרווחים.

בואו נרכיב אלגוריתם לפתרון משוואות לינאריות a x + b< 0 (≤ , >, ≥) עבור ≠ 0 בשיטת המרווחים:

• מציאת האפסים של הפונקציה y = a · x + b כדי לפתור משוואה בצורה a · x + b = 0 . אם a ≠ 0, אז הפתרון יהיה השורש היחיד שיקבל את הייעוד x 0;
• בניית קו קואורדינטות עם תמונה של נקודה עם קואורדינטה x 0, עם אי שוויון קפדני, הנקודה מסומנת על ידי אגרוף החוצה, עם אי שוויון לא קפדני, היא מוצללת;
• קביעת הסימנים של הפונקציה y = a x + b במרווחים, לשם כך יש צורך למצוא את ערכי הפונקציה בנקודות על המרווח;
• הפתרון של אי השוויון עם הסימנים > או ≥ על קו הקואורדינטות, בקע מתווסף מעל הפער החיובי,< или ≤ над отрицательным промежутком.

שקול מספר דוגמאות לפתרון אי שוויון ליניארי באמצעות שיטת המרווחים.

דוגמה 6

פתור את אי השוויון − 3 · x + 12 > 0 .

פִּתָרוֹן

מהאלגוריתם נובע שתחילה עליך למצוא את שורש המשוואה − 3 · x + 12 = 0 . נקבל ש- 3 · x = − 12 , x = 4 . יש צורך לתאר את קו הקואורדינטות, שבו אנו מסמנים את הנקודה 4. זה יהיה מנוקב מאחר ואי השוויון הוא קפדני. שקול את הציור למטה.

יש צורך לקבוע את הסימנים על המרווחים. כדי לקבוע אותו על המרווח (− ∞ , 4), יש צורך לחשב את הפונקציה y = − 3 · x + 12 עבור x = 3 . מכאן נקבל ש- 3 3 + 12 = 3 > 0. הסימן על הפער חיובי.

אנו קובעים את הסימן מהמרווח (4, + ∞), ואז נחליף את הערך x \u003d 5. יש לנו − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

אנו מבצעים את הפתרון של אי השוויון עם הסימן >, והבקיעה מתבצעת על הפער החיובי. שקול את הציור למטה.

ניתן לראות מהציור שלפתרון הרצוי יש את הצורה (− ∞ , 4) או x< 4 .

תשובה: (− ∞ , 4) או x< 4 .

כדי להבין כיצד לתאר בצורה גרפית, יש לשקול את דוגמה 4 אי שוויון ליניארי: 0. 5 x - 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 ו-0, 5 x − 1 ≥ 0. הפתרונות שלהם יהיו x< 2 , x ≤ 2 , x >2 ו-x ≥ 2. לשם כך, צייר גרף של הפונקציה הליניארית y = 0 , 5 · x − 1 למטה.

זה ברור

הגדרה 7

• פתרון אי השוויון 0 , 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• הפתרון 0 , 5 x − 1 ≤ 0 הוא המרווח שבו הפונקציה y = 0 , 5 x − 1 היא מתחת ל-0 x או חופפת;
• הפתרון 0 , 5 x − 1 > 0 נחשב למרווח, שבו הפונקציה ממוקמת מעל O x;
• הפתרון 0 , 5 x − 1 ≥ 0 הוא המרווח שבו הגרף גבוה מ- O x או עולה בקנה אחד.

המשמעות של הפתרון הגרפי של אי-השוויון היא למצוא את הפערים, אותם יש לתאר בגרף. במקרה הזה, אנחנו מקבלים את זה צד שמאליש y \u003d a x + b, ולימין יש y \u003d 0, והוא עולה בקנה אחד עם O x.

השרטוט של הפונקציה y = a x + b מתבצע:

• תוך פתרון אי השוויון a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• בזמן פתרון אי השוויון a x + b ≤ 0, המרווח נקבע כאשר הגרף מוצג מתחת לציר O x או חופף;
• תוך כדי פתרון אי השוויון a · x + b > 0, המרווח נקבע, כאשר הגרף מוצג מעל O x;
• בזמן פתרון אי השוויון a x + b ≥ 0, המרווח נקבע כאשר הגרף נמצא מעל O x או חופף.

דוגמה 7

פתור את אי השוויון - 5 · x - 3 > 0 באמצעות הגרף.

פִּתָרוֹן

יש צורך לבנות גרף של פונקציה לינארית - 5 · x - 3 > 0 . קו זה יורד כי מקדם x הוא שלילי. כדי לקבוע את הקואורדינטות של נקודת החיתוך שלה עם O x - 5 · x - 3 > 0, נקבל את הערך - 3 5 . בוא נרשום את זה.

הפתרון של אי השוויון עם הסימן >, אז אתה צריך לשים לב למרווח מעל O x. אנו מדגישים את החלק הדרוש של המטוס באדום ומקבלים את זה

הפער הנדרש הוא החלק O x של הצבע האדום. מכאן שקרן המספרים הפתוחה - ∞ , - 3 5 תהיה הפתרון של אי השוויון. אם לפי תנאי היה להם אי שוויון לא קפדני, אז גם ערך הנקודה - 3 5 היה פתרון לאי השוויון. ויהיה בקנה אחד עם O x.

תשובה: - ∞ , - 3 5 או x< - 3 5 .

הפתרון הגרפי משמש כאשר הצד השמאלי יתאים לפונקציה y = 0 x + b , כלומר y = b . אז הקו יהיה מקביל ל-O x או יחפוף ב-b \u003d 0. מקרים אלה מראים שלאי שוויון אולי אין פתרונות, או שכל מספר יכול להיות פתרון.

דוגמה 8

קבע מאי-שוויון 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

פִּתָרוֹן

הייצוג y = 0 x + 7 הוא y = 7, ואז יינתן מישור קואורדינטות עם ישר מקביל ל-O x ומעל O x. אז 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

הגרף של הפונקציה y \u003d 0 x + 0 נחשב y \u003d 0, כלומר, הקו עולה בקנה אחד עם O x. לפיכך, לאי השוויון 0 · x + 0 ≥ 0 יש פתרונות רבים.

תשובה: לאי השוויון השני יש פתרון לכל ערך של x .

אי שוויון ליניארי

ניתן לצמצם את פתרון אי השוויון לפתרון משוואה לינארית, אשר נקראים אי-שוויון ליניארי.

אי-השוויון הללו נשקלו בקורס בית-הספר, שכן מדובר במקרה מיוחד של פתרון אי-שוויון, שהביא לפתיחת סוגריים ולצמצום מונחים דומים. לדוגמה, קחו בחשבון ש-5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .

אי השוויון המפורטים לעיל מצטמצמים תמיד לצורה של משוואה ליניארית. לאחר מכן, הסוגריים נפתחים וניתנים תנאים דומים, מועברים מ חלקים שונים, שינוי השלט להיפך.

כאשר מצמצמים את אי השוויון 5 − 2 x > 0 ללינארית, אנו מייצגים אותו בצורה כזו שיש לו את הצורה − 2 x + 5 > 0 , וכדי להקטין את השני נקבל ש-7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . יש צורך לפתוח את הסוגריים, להביא מונחים כמו, להעביר את כל המונחים לצד שמאל ולהביא מונחים כמו. זה נראה כמו זה:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

זה מביא את הפתרון לאי שוויון ליניארי.

אי שוויון אלו נחשבים כלינאריים, שכן יש להם אותו עקרון פתרון, ולאחר מכן ניתן לצמצם אותם לאי שוויון אלמנטריים.

כדי לפתור סוג זה של אי שוויון מסוג זה, יש צורך לצמצם אותו ליניארי. זה צריך להיעשות כך:

הגדרה 9

• סוגריים פתוחים;
• איסוף משתנים משמאל, ומספרים מימין;
• להביא מונחים דומים;
• מחלקים את שני החלקים במקדם x .

דוגמה 9

פתור את אי השוויון 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x - 3) + 1 .

פִּתָרוֹן

נרחיב את הסוגריים, ואז נקבל אי שוויון בצורה 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . לאחר הפחתת איברים דומים, יש לנו ש-6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17. לאחר הזזת האיברים משמאל לימין, נקבל ש-6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . לפיכך, יש לו אי שוויון בצורה 32 ≤ 0 מהתוצאה המתקבלת בחישוב 0 · x + 32 ≤ 0. ניתן לראות שהאי-שוויון הוא שקרי, כלומר לאי-השוויון שנותן התנאי אין פתרונות.

תשובה: אין פתרונות.

ראוי לציין שקיימים אי שוויון רבים מסוג אחר, שניתן לצמצם ללינארית או לאי שוויון מהסוג שמוצג לעיל. לדוגמה, 5 2 x − 1 ≥ 1 היא משוואה מעריכית המפחיתה לפתרון ליניארי 2 · x − 1 ≥ 0 . מקרים אלו ייחשבו בעת פתרון אי שוויון מסוג זה.

אם אתה מבחין בטעות בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

אחד הנושאים הדורשים תשומת לב והתמדה מרבית מהתלמידים הוא פתרון אי השוויון. כל כך דומה למשוואות ובו בזמן מאוד שונה מהן. כי הפתרון שלהם דורש גישה מיוחדת.

מאפיינים הנדרשים כדי למצוא את התשובה

כולם משמשים להחלפת ערך קיים בערך שווה ערך. רובם דומים למה שהיה במשוואות. אבל יש גם הבדלים.

• ניתן להוסיף פונקציה המוגדרת ב-DPV, או כל מספר, לשני חלקי האי-שוויון המקורי.
• באופן דומה, הכפל אפשרי, אך רק על ידי פונקציה או מספר חיוביים.
• אם פעולה זו מבוצעת עם פונקציה או מספר שליליים, יש להפוך את סימן אי השוויון.
• ניתן להעלות פונקציות שאינן שליליות לעוצמה חיובית.

לפעמים פתרון אי השוויון מלווה בפעולות שנותנות תשובות זר. יש לשלול אותם על ידי השוואה אזור ODZופתרונות רבים.

שימוש בשיטת הריווח

המהות שלו היא לצמצם את אי השוויון למשוואה שבה האפס נמצא בצד ימין.

1. קבע את השטח שבו נמצאים הערכים המותרים של המשתנים, כלומר ה- ODZ.
2. הפוך את אי השוויון באמצעות פעולות מתמטיות כך שהצד הימני שלו יהיה אפס.
3. החלף את סימן אי השוויון ב"=" ופתור את המשוואה המתאימה.
4. על הציר המספרי, סמן את כל התשובות שהתקבלו במהלך הפתרון, וכן את המרווחים של ה-ODZ. במקרה של אי שוויון קפדני, יש לצייר את הנקודות מנוקבות. אם יש סימן שוויון, אז הם אמורים להיות צבועים מעל.
5. קבע את הסימן של הפונקציה המקורית בכל מרווח הנובע מנקודות ה-ODZ והתשובות המחלקות אותו. אם הסימן של הפונקציה לא משתנה בעת מעבר דרך נקודה, אז הוא נכנס לתשובה. אחרת, זה לא נכלל.
6. נקודות גבול עבור ODZ צריכות להיבדק בנוסף ורק אז לכלול או לא בתגובה.
7. את התשובה שמתקבלת יש לכתוב בצורה של סטים מאוחדים.

קצת על אי שוויון כפול

הם משתמשים בשני סימני אי שוויון ברשומה בבת אחת. כלומר, פונקציה מסוימת מוגבלת על ידי תנאים פעמיים בבת אחת. אי שוויון כזה נפתר כמערכת של שניים, כאשר המקורי מחולק לחלקים. ובשיטת המרווחים מצוינות התשובות מפתרון שתי המשוואות.

כדי לפתור אותם, מותר גם להשתמש במאפיינים המצוינים לעיל. בעזרתם נוח לצמצם את אי השוויון לאפס.

מה לגבי אי-שוויון שיש להם מודולוס?

במקרה זה, פתרון אי השוויון משתמש במאפיינים הבאים, והם תקפים לערך חיובי של "a".

אם "x" לוקח ביטוי אלגברי, אז ההחלפות הבאות תקפות:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > a על x< -a или х >א.

אם אי השוויון אינם נוקשים, אז גם הנוסחאות נכונות, רק בהן, בנוסף לסימן הגדול או הקטן, מופיע "=".

כיצד נפתרת מערכת אי השוויון?

ידע זה יידרש באותם מקרים שבהם ניתנת משימה כזו או שיש רישום של אי שוויון כפול או מודול מופיע ברשומה. במצב כזה, הפתרון יהיה ערכים כאלה של המשתנים שיספקו את כל אי השוויון ברשומה. אם אין מספרים כאלה, אז למערכת אין פתרונות.

התוכנית לפיה מתבצע פתרון מערכת אי השוויון:

• לפתור כל אחד מהם בנפרד;
• לתאר את כל המרווחים על הציר המספרי ולקבוע את הצמתים שלהם;
• רשום את תגובת המערכת, שתהיה האיחוד של מה שקרה בפסקה השנייה.

מה לגבי אי שוויון חלקי?

מכיוון שבמהלך פתרונם ייתכן שיהיה צורך לשנות את סימן אי השוויון, יש צורך לעקוב בקפידה ובזהירות רבה אחר כל נקודות התוכנית. אחרת, אתה עשוי לקבל תשובה הפוכה.

פתרון אי שוויון שבר משתמש גם בשיטת המרווחים. ותוכנית הפעולה תהיה:

• בעזרת המאפיינים המתוארים, תן לשבר צורה כזו שרק אפס נשאר מימין לסימן.
• החלף את אי השוויון ב"=" וקבע את הנקודות שבהן הפונקציה תהיה שווה לאפס.
• סמן אותם על ציר הקואורדינטות. במקרה זה, המספרים הנובעים מהחישובים במכנה תמיד יהיו מנוקבים. כל השאר מבוססים על תנאי אי השוויון.
• קבע מרווחי קביעות.
• בתגובה, רשום את האיחוד של אותם מרווחים שהסימן שלהם מתאים לזה שהיה באי השוויון המקורי.

מצבים שבהם חוסר היגיון מופיע באי שוויון

במילים אחרות, יש שורש מתמטי ברשומה. מאז בקורס אלגברה בבית הספר רובמשימות מתייחסות לשורש הריבועי, ואז זה ייחשב.

הפתרון של אי-השוויון האי-רציונלי מסתכם בקבלת מערכת של שניים או שלושה שתהיה שוות ערך לזו המקורית.

דוגמאות לפתרון סוגים שונים של אי שוויון

על מנת להוסיף בהירות לתיאוריה על פתרון אי שוויון, דוגמאות מובאות להלן.

דוגמה ראשונה. 2x - 4 > 1 + x

פתרון: כדי לקבוע DHS, צריך רק להסתכל מקרוב על אי השוויון. הוא נוצר מ פונקציות ליניאריות, כך שהוא מוגדר עבור כל הערכים של המשתנה.

כעת משני הצדדים של אי השוויון אתה צריך להחסיר (1 + x). מסתבר: 2x - 4 - (1 + x) > 0. לאחר פתיחת הסוגריים וניתן מונחים דומים, אי השוויון יקבל את הצורה הבאה: x - 5 > 0.

משווה אותו לאפס, קל למצוא את הפתרון שלו: x = 5.

כעת יש לסמן נקודה זו עם המספר 5 על אלומת הקואורדינטות. לאחר מכן בדוק את הסימנים של הפונקציה המקורית. במרווח הראשון ממינוס אינסוף ל-5, אתה יכול לקחת את המספר 0 ולהחליף אותו באי השוויון שהתקבל לאחר ההמרה. לאחר חישובים מתברר -7 >0. מתחת לקשת המרווח אתה צריך לחתום על סימן מינוס.

במרווח הבא מ-5 עד אינסוף, אתה יכול לבחור את המספר 6. ואז מתברר ש-1 > 0. הסימן "+" חתום מתחת לקשת. מרווח שני זה יהיה התשובה לאי השוויון.

תשובה: x נמצא במרווח (5; ∞).

דוגמה שניה. נדרש לפתור מערכת של שתי משוואות: 3x + 3 ≤ 2x + 1 ו-3x - 2 ≤ 4x + 2.

פִּתָרוֹן. ה-ODZ של אי-השוויון נמצא גם באזור של מספרים כלשהם, שכן פונקציות ליניאריות נתונות.

אי השוויון השני יקבל את הצורה של המשוואה הבאה: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. לאחר טרנספורמציה: -x - 4 =0. הוא מייצר ערך עבור המשתנה השווה ל-4.

שני המספרים הללו צריכים להיות מסומנים על הציר, המציגים את המרווחים. מכיוון שהאי-שוויון אינו קפדני, יש להצלל את כל הנקודות. המרווח הראשון הוא ממינוס אינסוף ל-4. תנו למספר -5 להיבחר. אי השוויון הראשון ייתן את הערך -3, והשני 1. אז המרווח הזה לא נכלל בתשובה.

המרווח השני הוא מ-4 עד -2. אתה יכול לבחור את המספר -3 ולהחליף אותו בשני אי השוויון. בראשון ובשני מתקבל הערך -1. אז מתחת לקשת "-".

במרווח האחרון מ-2 עד אינסוף, אפס הוא המספר הטוב ביותר. אתה צריך להחליף אותו ולמצוא את הערכים של אי השוויון. בראשון שבהם מתקבל מספר חיובי, ובשני אפס. יש להוציא מרווח זה גם מהתשובה.

מבין שלושת המרווחים, רק אחד הוא הפתרון לאי השוויון.

תשובה: x שייך ל-[-4; -2].

דוגמה שלישית. |1 - x| > 2 |x - 1|.

פִּתָרוֹן. הצעד הראשון הוא לקבוע את הנקודות שבהן הפונקציות נעלמות. עבור שמאל, מספר זה יהיה 2, עבור ימין - 1. יש לסמן אותם על הקורה ולקבוע את מרווחי הקביעות.

במרווח הראשון, ממינוס אינסוף ל-1, הפונקציה מהצד השמאלי של אי השוויון לוקחת ערכים חיוביים, ומימין - שלילית. מתחת לקשת, עליך לכתוב שני סימנים "+" ו-"-" זה ליד זה.

המרווח הבא הוא מ-1 עד 2. על זה, שתי הפונקציות לוקחות ערכים חיוביים. אז, יש שני פלוסים מתחת לקשת.

המרווח השלישי מ-2 עד אינסוף ייתן את התוצאה הבאה: פונקציה שמאלית- שלילי, נכון - חיובי.

בהתחשב בסימנים המתקבלים, יש צורך לחשב את ערכי אי השוויון עבור כל המרווחים.

בראשון מתקבל אי השוויון הבא: 2 - x > - 2 (x - 1). המינוס לפני השניים באי השוויון השני נובע מכך שהפונקציה הזו שלילית.

לאחר הטרנספורמציה, אי השוויון נראה כך: x > 0. הוא נותן מיד את ערכי המשתנה. כלומר, מהמרווח הזה, רק המרווח מ-0 ל-1 ילך בתגובה.

בשני: 2 - x\u003e 2 (x - 1). טרנספורמציות יתנו אי שוויון כזה: -3x + 4 גדול מאפס. האפס שלו יהיה הערך x = 4/3. בהינתן סימן אי השוויון, מסתבר ש-x חייב להיות קטן ממספר זה. המשמעות היא שהמרווח הזה יורד למרווח מ-1 ל-4/3.

האחרון נותן את התיעוד הבא של אי-שוויון: - (2 - x) > 2 (x - 1). השינוי שלו מוביל לכך: -x > 0. כלומר, המשוואה נכונה עבור x קטן מאפס. המשמעות היא שאי השוויון אינו נותן פתרונות על המרווח הנדרש.

בשני המרווחים הראשונים, התברר שמספר הגבול הוא 1. יש לבדוק זאת בנפרד. כלומר, תחליף לאי השוויון המקורי. מסתבר: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. ספירה נותנת ש-1 גדול מ-0. זוהי אמירה אמיתית, ולכן אחד נכלל בתשובה.

תשובה: x נמצא במרווח (0; 4/3).

כל אי שוויון, הכולל פונקציה מתחת לשורש, נקרא לא הגיוני. ישנם שני סוגים של אי שוויון כאלה:

במקרה הראשון, השורש פחות פונקציה g (x), בשני - יותר. אם g(x) - קָבוּעַ, אי השוויון מפשט באופן דרמטי. שימו לב שמבחינה חיצונית אי-השוויון דומים מאוד, אך סכימות הפתרון שלהם שונות מהותית.

היום נלמד איך לפתור אי שוויון לא רציונלי מהסוג הראשון - הם הפשוטים והמובנים ביותר. סימן אי השוויון יכול להיות קפדני או לא קפדני. המשפט הבא נכון לגביהם:

מִשׁפָּט. כל אי שוויון לא הגיוני של הצורה

שווה ערך למערכת אי השוויון:

לא חלש? בואו נסתכל מאיפה מגיעה מערכת כזו:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - הכל ברור כאן. זהו אי השוויון המקורי בריבוע;
2. f(x) ≥ 0 הוא ה-ODZ של השורש. תן לי להזכיר לך: חשבון שורש ריבועיקיים רק מ לא שלילימספרים;
3. g(x) ≥ 0 הוא טווח השורש. על ידי ריבוע אי-שוויון, אנו שורפים את החסרונות. כתוצאה מכך עשויים להופיע שורשים נוספים. אי השוויון g (x) ≥ 0 חותך אותם.

תלמידים רבים "הולכים במחזורים" על אי השוויון הראשון של המערכת: f (x) ≤ g 2 (x) - ושוכחים לחלוטין את השניים האחרים. התוצאה צפויה: החלטה שגויה, איבוד נקודות.

מכיוון שאי-שוויון לא רציונלי הוא נושא מסובך למדי, בואו ננתח 4 דוגמאות בבת אחת. מהיסודי למורכב באמת. כל המשימות נלקחו מבחינות הכניסה של אוניברסיטת מוסקבה. M. V. Lomonosov.

דוגמאות לפתרון בעיות

מְשִׁימָה. לפתור את אי השוויון:

יש לנו קלאסיקה אי שוויון לא הגיוני: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 הוא קבוע. יש לנו:

רק שניים משלושת אי השוויון נותרו עד סוף הפתרון. כי אי השוויון 2 ≥ 0 תמיד מתקיים. בואו נחתוך את אי השוויון הנותרים:

אז, x ∈ [−1,5; 0.5]. כל הנקודות מוצללות בגלל אי השוויון אינם נוקשים.

מְשִׁימָה. לפתור את אי השוויון:

אנו מיישמים את המשפט:

אנחנו פותרים את אי השוויון הראשון. לשם כך, נפתח את ריבוע ההפרש. יש לנו:

2x 2 - 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 - 10x< 0;
x (x - 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

עכשיו בואו נפתור את אי השוויון השני. גם שם טרינום מרובע:

2x 2 - 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)