משוואת המשיק בנקודה x0. מחשבון מקוון. משוואת משיק ישר לגרף של פונקציה בנקודה נתונה

סוג המשרה: 7

מַצָב

הישר y=3x+2 משיק לגרף של הפונקציה y=-12x^2+bx-10. מצא את b, בהינתן שהאבססיס של נקודת המשיק פחות מאפס.

הצג פתרון

פִּתָרוֹן

תנו ל-x_0 להיות האבססיס של הנקודה בגרף של הפונקציה y=-12x^2+bx-10 שדרכה עובר המשיק לגרף זה.

הערך של הנגזרת בנקודה x_0 שווה לשיפוע של המשיק, כלומר y"(x_0)=-24x_0+b=3. מצד שני, נקודת המגע שייכת בו זמנית לשני הגרף של ה- הפונקציה והמשיק, כלומר -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. נקבל מערכת משוואות \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(מקרים)

בפתרון מערכת זו, נקבל x_0^2=1, כלומר x_0=-1 או x_0=1. לפי תנאי האבשיסה, נקודות המשיק קטנות מאפס, אז x_0=-1, ואז b=3+24x_0=-21.

תשובה

סוג המשרה: 7
נושא: משמעות גיאומטרית של נגזרות. טנגנטי לגרף של פונקציה

מַצָב

הישר y=-3x+4 מקביל למשיק לגרף של הפונקציה y=-x^2+5x-7. מצא את האבשסיס של נקודת המשיק.

הצג פתרון

פִּתָרוֹן

גורם שיפועהקו הישר לגרף של הפונקציה y=-x^2+5x-7 בנקודה שרירותית x_0 שווה ל-y"(x_0). אבל y"=-2x+5, כלומר y"(x_0)= -2x_0+5. השיפוע של הישר y=-3x+4 שצוין בתנאי שווה ל-3. לקווים מקבילים יש את אותם שיפועים. לכן, נמצא ערך של x_0 כך ש-=-2x_0 +5= -3.

נקבל: x_0 = 4.

תשובה

מקור: "מתמטיקה. הכנה לבחינת המדינה המאוחדת 2017. רמת פרופיל." אד. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

סוג המשרה: 7
נושא: משמעות גיאומטרית של נגזרות. טנגנטי לגרף של פונקציה

מַצָב

הצג פתרון

פִּתָרוֹן

מהאיור אנו קובעים שהמשיק עובר בנקודות A(-6; 2) ו-B(-1; 1). נסמן ב-C(-6; 1) את נקודת החיתוך של הישרים x=-6 ו-y=1, וב-\alpha את הזווית ABC (ניתן לראות באיור שהיא חדה). אז ישר AB יוצר זווית \pi -\alpha עם הכיוון החיובי של ציר השור, שהוא קהה.

כידוע, tg(\pi -\alpha) יהיה הערך של הנגזרת של הפונקציה f(x) בנקודה x_0. שים לב ש tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.מכאן, באמצעות נוסחאות ההפחתה, אנו מקבלים: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

תשובה

מקור: "מתמטיקה. הכנה לבחינת המדינה המאוחדת 2017. רמת פרופיל." אד. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

סוג המשרה: 7
נושא: משמעות גיאומטרית של נגזרות. טנגנטי לגרף של פונקציה

מַצָב

הישר y=-2x-4 משיק לגרף של הפונקציה y=16x^2+bx+12. מצא את b, בהינתן שהאבססיס של נקודת המשיק גדולה מאפס.

הצג פתרון

פִּתָרוֹן

תן x_0 להיות האבססיס של הנקודה בגרף של הפונקציה y=16x^2+bx+12 שדרכו

משיק לגרף זה.

הערך של הנגזרת בנקודה x_0 שווה לשיפוע של המשיק, כלומר y"(x_0)=32x_0+b=-2. מצד שני, נקודת המגע שייכת בו זמנית לשני הגרף של ה- הפונקציה והטנגנס, כלומר 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 נקבל מערכת משוואות \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(מקרים)

בפתרון המערכת נקבל x_0^2=1, כלומר x_0=-1 או x_0=1. לפי תנאי האבססיס, נקודות המשיק גדולות מאפס, אז x_0=1, ואז b=-2-32x_0=-34.

תשובה

מקור: "מתמטיקה. הכנה לבחינת המדינה המאוחדת 2017. רמת פרופיל." אד. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

סוג המשרה: 7
נושא: משמעות גיאומטרית של נגזרות. טנגנטי לגרף של פונקציה

מַצָב

האיור מציג גרף של הפונקציה y=f(x), המוגדרת על המרווח (-2; 8). קבע את מספר הנקודות שבהן המשיק לגרף הפונקציה מקביל לישר y=6.

הצג פתרון

פִּתָרוֹן

הישר y=6 מקביל לציר השור. לכן, אנו מוצאים נקודות שבהן המשיק לגרף של הפונקציה מקביל לציר השור. עַל התרשים הזהנקודות כאלה הן נקודות קיצון (נקודות מקסימום או מינימום). כפי שאתה יכול לראות, יש 4 נקודות קיצון.

תשובה

מקור: "מתמטיקה. הכנה לבחינת המדינה המאוחדת 2017. רמת פרופיל." אד. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

סוג המשרה: 7
נושא: משמעות גיאומטרית של נגזרות. טנגנטי לגרף של פונקציה

מַצָב

הישר y=4x-6 מקביל למשיק לגרף של הפונקציה y=x^2-4x+9. מצא את האבשסיס של נקודת המשיק.

הצג פתרון

פִּתָרוֹן

שיפוע המשיק לגרף של הפונקציה y=x^2-4x+9 בנקודה שרירותית x_0 שווה ל-y"(x_0). אבל y"=2x-4, כלומר y"(x_0)= 2x_0-4. השיפוע של המשיק y =4x-7, המצוין בתנאי, שווה ל-4. לקווים מקבילים יש אותם מקדמים זוויתיים. לכן, נמצא ערך של x_0 כך ש-2x_0-4 = 4. אנחנו קבל: x_0 = 4.

תשובה

מקור: "מתמטיקה. הכנה לבחינת המדינה המאוחדת 2017. רמת פרופיל." אד. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

סוג המשרה: 7
נושא: משמעות גיאומטרית של נגזרות. טנגנטי לגרף של פונקציה

מַצָב

האיור מציג את גרף הפונקציה y=f(x) ואת המשיק לה בנקודה עם האבססיס x_0. מצא את הערך של הנגזרת של הפונקציה f(x) בנקודה x_0.

הצג פתרון

פִּתָרוֹן

מהאיור אנו קובעים שהמשיק עובר בנקודות A(1; 1) ו-B(5; 4). נסמן ב-C(5; 1) את נקודת החיתוך של הישרים x=5 ו-y=1, וב-\alpha את הזווית BAC (ניתן לראות באיור שהיא חדה). אז ישר AB יוצר זווית \alpha עם הכיוון החיובי של ציר השור.

הוראות

אנו קובעים את מקדם הזוויתי של המשיק לעקומה בנקודה M.
העקומה המייצגת את גרף הפונקציה y = f(x) היא רציפה בשכונה מסוימת של הנקודה M (כולל הנקודה M עצמה).

אם הערך f'(x0) לא קיים, אז או שאין משיק, או שהוא פועל אנכית. לאור זאת, הימצאותה של נגזרת של הפונקציה בנקודה x0 נובעת מקיומו של משיק לא אנכי לגרף הפונקציה בנקודה (x0, f(x0)). במקרה זה, מקדם הזוויתי של המשיק יהיה שווה ל-f "(x0). כך, זה מתברר משמעות גיאומטריתנגזרת – חישוב שיפוע המשיק.

מצא את ערך האבססיס של נקודת המשיק, המסומנת באות "א". אם הוא חופף לנקודת משיק נתונה, אז "a" תהיה קואורדינטת ה-x שלה. קבע את הערך פונקציות f(א) על ידי החלפה לתוך המשוואה פונקציותערך אבשיסה.

קבע את הנגזרת הראשונה של המשוואה פונקציות f'(x) והחליפו את הערך של נקודה "a" לתוכו.

לקחת משוואה כלליתטנגנס, המוגדר כ-y = f(a) = f (a)(x – a), והחליפו בו את הערכים המצויים של a, f(a), f "(a). כתוצאה מכך, יימצא הפתרון לגרף ולמשיק.

פתרו את הבעיה בדרך אחרת אם נקודת המשיק הנתונה אינה עולה בקנה אחד עם נקודת המשיק. במקרה זה, יש צורך להחליף את "a" במקום מספרים במשוואת המשיק. לאחר מכן, במקום האותיות "x" ו-"y", החליפו את הערך של הקואורדינטות של הנקודה הנתונה. פתרו את המשוואה המתקבלת שבה "a" הוא הלא ידוע. חבר את הערך המתקבל למשוואת המשיק.

כתוב משוואה למשיק עם האות "a" אם הצהרת הבעיה מציינת את המשוואה פונקציותומשוואת ישר מקביל ביחס למשיק הרצוי. אחרי זה אנחנו צריכים את הנגזרת פונקציות, לקואורדינטה בנקודה "א". החליפו את הערך המתאים במשוואת המשיק ופתרו את הפונקציה.

שמירה על פרטיותך חשובה לנו. מסיבה זו, פיתחנו מדיניות פרטיות המתארת כיצד אנו משתמשים ומאחסנים את המידע שלך. אנא סקור את נוהלי הפרטיות שלנו ויידע אותנו אם יש לך שאלות כלשהן.

איסוף ושימוש במידע אישי

מידע אישי מתייחס לנתונים שניתן להשתמש בהם לזיהוי אדם מסויםאו קשר איתו.

ייתכן שתתבקש לספק את המידע האישי שלך בכל עת בעת יצירת קשר.

להלן מספר דוגמאות לסוגי המידע האישי שאנו עשויים לאסוף וכיצד אנו עשויים להשתמש במידע כזה.

איזה מידע אישי אנחנו אוספים:

בעת הגשת בקשה לאתר, אנו עשויים לאסוף פרטים שונים, לרבות שמך, מספר הטלפון, כתובת הדואר האלקטרוני שלך וכו'.

כיצד אנו משתמשים במידע האישי שלך:

המידע האישי שאנו אוספים מאפשר לנו ליצור איתך קשר עם הצעות ייחודיות, מבצעים ואירועים נוספים ואירועים קרובים.
מעת לעת, אנו עשויים להשתמש במידע האישי שלך כדי לשלוח הודעות והודעות חשובות.
אנו עשויים להשתמש במידע אישי גם למטרות פנימיות, כגון ביצוע ביקורות, ניתוח נתונים ומחקרים שונים על מנת לשפר את השירותים שאנו מספקים ולספק לך המלצות לגבי השירותים שלנו.
אם אתה משתתף בהגרלת פרסים, בתחרות או בקידום מכירות דומה, אנו עשויים להשתמש במידע שאתה מספק כדי לנהל תוכניות כאלה.

גילוי מידע לצדדים שלישיים

איננו חושפים את המידע שהתקבל ממך לצדדים שלישיים.

חריגים:

במידת הצורך - בהתאם לחוק, להליך השיפוטי, להליכים משפטיים ו/או בהתבסס על בקשות או בקשות הציבור מאת סוכנויות ממשלתיותבשטח הפדרציה הרוסית - לחשוף את המידע האישי שלך. אנו עשויים גם לחשוף מידע אודותיך אם נקבע כי חשיפה כזו נחוצה או מתאימה למטרות אבטחה, אכיפת חוק או חשיבות ציבורית אחרת.
במקרה של ארגון מחדש, מיזוג או מכירה, אנו עשויים להעביר את המידע האישי שאנו אוספים לצד השלישי היורש הרלוונטי.

הגנה על מידע אישי

אנו נוקטים באמצעי זהירות - לרבות מנהליים, טכניים ופיסיים - כדי להגן על המידע האישי שלך מפני אובדן, גניבה ושימוש לרעה, כמו גם גישה לא מורשית, חשיפה, שינוי והרס.

כיבוד הפרטיות שלך ברמת החברה

כדי להבטיח שהמידע האישי שלך מאובטח, אנו מעבירים תקני פרטיות ואבטחה לעובדים שלנו ואוכפים בקפדנות את נוהלי הפרטיות.

עַל במה מודרניתפיתוח החינוך, אחת המשימות העיקריות שלו היא היווצרות של אישיות בעלת חשיבה יצירתית. ניתן לפתח את יכולת היצירתיות של התלמידים רק אם הם מעורבים באופן שיטתי ביסודות פעילויות המחקר. הבסיס לתלמידים להשתמש בכוחות היצירתיים, היכולות והכישרונות שלהם נוצר ידע ומיומנויות מלאים. בהקשר זה ישנה חשיבות לא קטנה לבעיה של גיבוש מערכת של ידע ומיומנויות בסיסיות לכל נושא בקורס המתמטיקה בבית הספר. יחד עם זאת, כישורים מן המניין צריכים להיות המטרה הדידקטית לא של משימות בודדות, אלא של מערכת מחושבת בקפידה שלהן. במובן הרחב, מערכת מובנת כמערכת של אלמנטים המתקשרים זה בזה, בעלי שלמות ומבנה יציב.

הבה נבחן טכניקה ללמד תלמידים כיצד לכתוב משוואה למשיק לגרף של פונקציה. בעיקרו של דבר, כל הבעיות של מציאת משוואת המשיק מסתכמות בצורך לבחור מתוך קבוצה (צרור, משפחה) של קווים אלה שעונים על דרישה מסוימת - הם משיקים לגרף של פונקציה מסוימת. במקרה זה, ניתן לציין את קבוצת השורות שמהן מתבצעת הבחירה בשתי דרכים:

א) נקודה השוכבת על מישור xOy (עיפרון מרכזי של קווים);
ב) מקדם זוויתי (קרן מקבילה של קווים ישרים).

בהקשר זה, כאשר למדנו את הנושא "משגע לגרף של פונקציה" על מנת לבודד את מרכיבי המערכת, זיהינו שני סוגים של בעיות:

1) בעיות על משיק הנתון על ידי הנקודה שדרכה הוא עובר;
2) בעיות על משיק נתון על ידי השיפוע שלו.

אימון בפתרון בעיות משיק בוצע באמצעות האלגוריתם שהציע א.ג. מורדקוביץ'. ההבדל היסודי שלו מהידועים כבר הוא שהאבשיסה של נקודת המשיק מסומנת באות a (במקום x0), ולכן משוואת המשיק לובשת את הצורה

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(השווה עם y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). טכניקה מתודולוגית זו, לדעתנו, מאפשרת לתלמידים להבין במהירות ובקלות היכן כתובות הקואורדינטות של הנקודה הנוכחית. משוואת המשיק הכללית, והיכן נקודות המגע.

אלגוריתם להרכבת משוואת המשיק לגרף של הפונקציה y = f(x)

1. ציינו את האבשיסה של נקודת המשיק באות א.
2. מצא את f(a).
3. מצא את f "(x) ו-f "(a).
4. החליפו את המספרים המצויים a, f(a), f "(a) במשוואת המשיק הכללית y = f(a) = f "(a)(x – a).

ניתן להרכיב אלגוריתם זה על בסיס זיהוי עצמאי של התלמידים של הפעולות ורצף היישום שלהן.

התרגול הראה שהפתרון הרציף של כל אחת מבעיות המפתח באמצעות אלגוריתם מאפשר לך לפתח את המיומנויות של כתיבת משוואת המשיק לגרף של פונקציה בשלבים, ושלבי האלגוריתם משמשים כנקודות ייחוס לפעולות . גישה זו תואמת את התיאוריה של היווצרות הדרגתית של פעולות נפשיות שפותחה על ידי P.Ya. גלפרין ונ.פ. טאליזין.

בסוג המשימות הראשון זוהו שתי משימות מפתח:

המשיק עובר דרך נקודה השוכבת על העקומה (בעיה 1);
המשיק עובר דרך נקודה שאינה מונחת על העקומה (בעיה 2).

משימה 1. כתבו משוואה למשיק לגרף של הפונקציה בנקודה M(3; – 2).

פִּתָרוֹן. נקודה M(3; – 2) היא נקודת משיק, שכן

1. a = 3 – אבשיסה של נקודת המשיק.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – משוואת משיק.

בעיה 2. כתבו את משוואות כל המשיקים לגרף הפונקציה y = – x 2 – 4x + 2 העוברת דרך הנקודה M(– 3; 6).

פִּתָרוֹן. נקודה M(– 3; 6) אינה נקודת משיק, שכן f(– 3) 6 (איור 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – משוואת משיק.

הטנגנס עובר דרך הנקודה M(– 3; 6), לכן, הקואורדינטות שלו עומדות במשוואת המשיק.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

אם a = – 4, אז משוואת המשיק היא y = 4x + 18.

אם a = – 2, אז למשוואת המשיק יש את הצורה y = 6.

בסוג השני, משימות המפתח יהיו הבאות:

המשיק מקביל לישר כלשהו (בעיה 3);
המשיק עובר בזווית מסוימת לישר הנתון (בעיה 4).

בעיה 3. כתבו את משוואות כל המשיקים לגרף הפונקציה y = x 3 – 3x 2 + 3, במקביל לישר y = 9x + 1.

1. a – אבשיסה של נקודת המשיק.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

אבל, מצד שני, f "(a) = 9 (מצב מקביליות). זה אומר שאנחנו צריכים לפתור את המשוואה 3a 2 – 6a = 9. השורשים שלו הם a = – 1, a = 3 (איור 3) ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 - משוואת משיק;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – משוואת משיק.

בעיה 4. כתוב את משוואת המשיק לגרף של הפונקציה y = 0.5x 2 – 3x + 1, עובר בזווית של 45° לישר y = 0 (איור 4).

פִּתָרוֹן. מהתנאי f "(a) = tan 45° נמצא את a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 - אבשיסה של נקודת המשיק.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – משוואת משיקים.

קל להראות שהפתרון לכל בעיה אחרת מסתכם בפתרון בעיה מרכזית אחת או יותר. שקול את שתי הבעיות הבאות כדוגמה.

1. כתוב את משוואות המשיקים לפרבולה y = 2x 2 – 5x – 2, אם המשיקים נחתכים בזוית ישרה ואחד מהם נוגע בפרבולה בנקודה עם אבשיסה 3 (איור 5).

פִּתָרוֹן. מכיוון שהאבססיס של נקודת המשיק ניתנת, החלק הראשון של הפתרון מצטמצם לבעיית מפתח 1.

1. a = 3 – אבשיסה של נקודת המשיכה של אחת הצלעות זווית נכונה.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – משוואת המשיק הראשון.

תן a להיות זווית הנטייה של המשיק הראשון. מכיוון שהמשיקים מאונכים, אז היא זווית הנטייה של המשיק השני. מהמשוואה y = 7x – 20 של המשיק הראשון יש לנו tg a = 7. הבה נמצא

משמעות הדבר היא כי השיפוע של המשיק השני שווה ל.

הפתרון הנוסף מסתכם במשימת מפתח 3.

תנו ל-B(c; f(c)) להיות נקודת המגע של הקו השני, אם כן

1. - אבשיסה של הנקודה השנייה של tangency.
2.
3.
4.
– משוואת המשיק השני.

הערה. ניתן למצוא את המקדם הזוויתי של המשיק ביתר קלות אם התלמידים יודעים את היחס בין המקדמים של ישרים מאונכים k 1 k 2 = – 1.

2. כתבו את המשוואות של כל המשיקים הנפוצים לגרפים של פונקציות

פִּתָרוֹן. הבעיה מסתכמת במציאת האבססיס של נקודות המשיכה של משיקים משותפים, כלומר, בפתרון בעיית מפתח 1 ב השקפה כללית, יצירת מערכת משוואות ופתרונה לאחר מכן (איור 6).

1. תן ל-a להיות האבססיס של נקודת המשיק המונחת על גרף הפונקציה y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2.

1. תנו ל-c להיות האבססיס של נקודת המשיק המונחת על גרף הפונקציה
2.
3. f "(c) = c.
4.

מכיוון שהמשיקים הם כלליים, אם כן

אז y = x + 1 ו-y = – 3x – 3 הם משיקים נפוצים.

המטרה העיקרית של המשימות הנחשבות היא להכין את התלמידים לזהות באופן עצמאי את סוג הבעיה המרכזית בעת פתרון בעיות מורכבות יותר הדורשות מיומנויות מחקר מסוימות (היכולת לנתח, להשוות, להכליל, להעלות השערה וכו'). משימות כאלה כוללות כל משימה שבה משימת המפתח כלולה כרכיב. הבה נבחן כדוגמה את הבעיה ( בעיה הפוכה 1) למצוא פונקציה ממשפחת המשיקים שלה.

3. עבור מה b ו-c הישרים y = x ו- y = – 2x משיקים לגרף של הפונקציה y = x 2 + bx + c?

תן t להיות האבססיס של נקודת המשיכה של הישר y = x עם הפרבולה y = x 2 + bx + c; p היא האבססיס של נקודת המשיכה של הישר y = – 2x עם הפרבולה y = x 2 + bx + c. אז משוואת המשיק y = x תקבל את הצורה y = (2t + b)x + c – t 2 , ומשוואת המשיק y = – 2x תקבל את הצורה y = (2p + b)x + c – p 2 .

בואו נחבר ונפתור מערכת משוואות

תשובה:

במאמר זה ננתח את כל סוגי הבעיות שיש למצוא

בוא נזכור משמעות גיאומטרית של נגזרת: אם נמשך משיק לגרף של פונקציה בנקודה, אז מקדם השיפוע של המשיק (שווה לטנגנס של הזווית בין המשיק לכיוון החיובי של הציר) שווה לנגזרת של הפונקציה בנקודה.

ניקח נקודה שרירותית על המשיק עם קואורדינטות:

וחשבו על משולש ישר זווית:

במשולש הזה

מכאן

זוהי משוואת המשיק המצויר לגרף של הפונקציה בנקודה.

כדי לכתוב את משוואת המשיק, אנחנו צריכים לדעת רק את משוואת הפונקציה ואת הנקודה בה נמשך המשיק. אז נוכל למצוא ו.

ישנם שלושה סוגים עיקריים של בעיות משוואות משיקות.

1. ניתן נקודת מגע

2. ניתן מקדם שיפוע המשיק, כלומר ערך הנגזרת של הפונקציה בנקודה.

3. נתונות הקואורדינטות של הנקודה שדרכה נמשך המשיק, אך שאינה נקודת המשיק.

בואו נסתכל על כל סוג של משימה.

1 . כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה .

ב) מצא את הערך של הנגזרת בנקודה . ראשית בואו נמצא את הנגזרת של הפונקציה

בואו נחליף את הערכים שנמצאו במשוואת המשיק:

בואו נפתח את הסוגריים בצד ימין של המשוואה. אנחנו מקבלים:

תשובה: .

2. מצא את האבססיס של הנקודות שבהן הפונקציות משיקות לגרף מקביל לציר x.

אם המשיק מקביל לציר ה-x, לכן הזווית בין המשיק לכיוון החיובי של הציר היא אפס, ולכן הטנגנס של זווית המשיק הוא אפס. זה אומר שהערך של הנגזרת של הפונקציה בנקודות המגע הוא אפס.

א) מצא את הנגזרת של הפונקציה .

ב) נשווה את הנגזרת לאפס ונמצא את הערכים שבהם המשיק מקביל לציר:

משווה כל גורם לאפס, נקבל:

תשובה: 0;3;5

3. כתוב משוואות למשיקים לגרף של פונקציה , מַקְבִּיל יָשָׁר .

משיק מקביל לישר. השיפוע של קו זה הוא -1. מכיוון שהמשיק מקביל לישר זה, לכן גם שיפוע המשיק הוא -1. זה אנחנו יודעים את שיפוע המשיק, ובכך, ערך נגזרת בנקודת הנגיעה.

זהו הסוג השני של בעיות למצוא את משוואת המשיק.

אז ניתנת לנו הפונקציה והערך של הנגזרת בנקודת הנגיעה.

א) מצא את הנקודות שבהן הנגזרת של הפונקציה שווה ל-1.

ראשית, בואו נמצא את משוואת הנגזרת.

נשווה את הנגזרת למספר -1.

בוא נמצא את הערך של הפונקציה בנקודה.

(לפי תנאי)

ב) מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה .

בוא נמצא את הערך של הפונקציה בנקודה.

(לפי תנאי).

בואו נחליף את הערכים האלה במשוואת המשיק:

תשובה:

4 . כתוב את משוואת המשיק לעקומה , עובר דרך נקודה

ראשית, נבדוק אם הנקודה היא נקודת משיק. אם נקודה היא נקודת משיק, אז היא שייכת לגרף של הפונקציה, והקואורדינטות שלה חייבות לעמוד במשוואת הפונקציה. בוא נחליף את הקואורדינטות של הנקודה במשוואת הפונקציה.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} מספר שלילי, השוויון אינו נכון, והנקודה אינה שייכת לגרף של הפונקציה ו אינו נקודת מגע.

זהו הסוג האחרון של בעיה למצוא את משוואת המשיק. דבר ראשון אנחנו צריכים למצוא את האבשיסה של נקודת המשיק.

בוא נמצא את הערך.

תן להיות נקודת המגע. הנקודה שייכת למשיק לגרף של הפונקציה. אם נחליף את הקואורדינטות של נקודה זו במשוואת המשיק, נקבל את השוויון הנכון: