(no grieķu λόγος — “vārds”, “attiecība” un ἀριθμός — “skaitlis”) b balstoties uz a(log α b) sauc par šādu skaitli c, Un b= a c, tas ir, ieraksta log α b=c Un b=ac ir līdzvērtīgi. Logaritmam ir jēga, ja a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Citiem vārdiem sakot logaritms cipariem b balstoties uz A formulēts kā eksponents, līdz kuram jāpalielina skaitlis a lai iegūtu numuru b(logaritms pastāv tikai pozitīviem skaitļiem).

No šī formulējuma izriet, ka aprēķins x= log α b, ir ekvivalents vienādojuma a x =b atrisināšanai.

Piemēram:

log 2 8 = 3 , jo 8 = 2 3 .

Uzsvērsim, ka norādītais logaritma formulējums ļauj uzreiz noteikt logaritma vērtība, kad skaitlis zem logaritma zīmes darbojas kā noteikta bāzes pakāpe. Patiešām, logaritma formulējums ļauj pamatot, ka, ja b=a c, tad skaitļa logaritms b balstoties uz a vienāds Ar. Ir arī skaidrs, ka logaritmu tēma ir cieši saistīta ar tēmu skaitļa pilnvaras.

Tiek saukta logaritma aprēķināšana logaritms. Logaritms ir logaritma ņemšanas matemātiska darbība. Ņemot logaritmus, faktoru produkti tiek pārveidoti par terminu summām.

Potenciācija ir logaritma apgrieztā matemātiskā darbība. Potencēšanas laikā dotā bāze tiek paaugstināta līdz izteiksmes pakāpei, kurā tiek veikta potenciācija. Šajā gadījumā terminu summas tiek pārveidotas par faktoru reizinājumu.

Diezgan bieži tiek izmantoti reāli logaritmi ar bāzēm 2 (binārais), Eilera skaitlis e ≈ 2,718 (dabiskais logaritms) un 10 (decimālskaitlis).

Šajā posmā ir ieteicams apsvērt logaritmu paraugižurnāls 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Un ierakstiem lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 nav jēgas, jo pirmajā no tiem zem logaritma zīmes ir ievietots negatīvs skaitlis, otrajā - negatīvs skaitlis bāzē, bet trešajā - gan negatīvs skaitlis zem logaritma zīmes, gan vienība bāzē.

Logaritma noteikšanas nosacījumi.

Ir vērts atsevišķi apsvērt nosacījumus a > 0, a ≠ 1, b > 0.pie kuriem mēs iegūstam logaritma definīcija. Padomāsim, kāpēc šie ierobežojumi tika pieņemti. To mums palīdzēs vienādība ar formu x = log α b, ko sauc par pamata logaritmisko identitāti, kas tieši izriet no iepriekš sniegtās logaritma definīcijas.

Ņemsim nosacījumu a≠1. Tā kā viens pret jebkuru pakāpju ir vienāds ar vienu, tad vienādība x=log α b var pastāvēt tikai tad, kad b=1, bet log 1 1 būs jebkurš reāls skaitlis. Lai novērstu šo neskaidrību, mēs ņemam a≠1.

Pierādīsim nosacījuma nepieciešamību a>0. Plkst a=0 saskaņā ar logaritma formulējumu var pastāvēt tikai tad, kad b=0. Un attiecīgi tad žurnāls 0 0 var būt jebkurš reāls skaitlis, kas nav nulle, jo no nulles līdz jebkurai nullei atšķirīgai pakāpei ir nulle. Šo neskaidrību var novērst ar nosacījumu a≠0. Un tad, kad a<0 mums būtu jānoraida logaritma racionālo un iracionālo vērtību analīze, jo pakāpe ar racionālu un iracionālu eksponentu tiek definēta tikai nenegatīvām bāzēm. Šī iemesla dēļ nosacījums ir noteikts a>0.

Un pēdējais nosacījums b>0 izriet no nevienlīdzības a>0, jo x=log α b, un grāda vērtība ar pozitīvu bāzi a vienmēr pozitīvi.

Logaritmu iezīmes.

Logaritmi raksturīgs raksturīgs Iespējas, kas noveda pie to plašas izmantošanas, lai ievērojami atvieglotu rūpīgus aprēķinus. Pārejot “logaritmu pasaulē”, reizināšana tiek pārveidota par daudz vienkāršāku saskaitīšanu, dalīšana tiek pārveidota par atņemšanu, un eksponenci un saknes ekstrakcija tiek pārveidota attiecīgi par reizināšanu un dalīšanu ar eksponentu.

Logaritmu formulēšana un to vērtību tabula (par trigonometriskās funkcijas) pirmo reizi 1614. gadā publicēja skotu matemātiķis Džons Napiers. Logaritmiskās tabulas, ko citi zinātnieki palielināja un sīki izstrādāja, tika plaši izmantotas zinātniskajos un inženiertehniskajos aprēķinos, un tās bija aktuālas līdz elektronisko kalkulatoru un datoru izmantošanai.

Skaitļa logaritms N balstoties uz A sauc par eksponentu X , uz kuru jums jābūvē A lai iegūtu numuru N

Ar nosacījumu, ka
,
,

No logaritma definīcijas izriet, ka
, t.i.
- šī vienlīdzība ir logaritmiskā pamatidentitāte.

Logaritmus līdz 10. bāzei sauc par decimāllogaritmiem. Tā vietā
rakstīt
.

Logaritmi uz bāzi e tiek saukti par dabīgiem un tiek apzīmēti
.

Logaritmu pamatīpašības.

Viena logaritms jebkurai bāzei ir vienāds ar nulli.

Produkta logaritms vienāds ar summu faktoru logaritmi.

3) koeficienta logaritms vienāds ar starpību logaritmi

Faktors
sauc par pārejas moduli no logaritmiem uz bāzi a uz logaritmiem bāzē b .

Izmantojot īpašības 2-5, bieži vien ir iespējams reducēt sarežģītas izteiksmes logaritmu līdz vienkāršu aritmētisku darbību ar logaritmiem rezultātam.

Piemēram,

Šādas logaritma transformācijas sauc par logaritmiem. Logaritmiem apgrieztās transformācijas sauc par potenciāciju.

2. nodaļa. Augstākās matemātikas elementi.

1. Ierobežojumi

Funkcijas ierobežojums
ir galīgs skaitlis A, ja, kā xx 0 katram iepriekš noteiktajam
, ir tāds numurs
ka tiklīdz
, Tas
.

Funkcija, kurai ir ierobežojums, atšķiras no tās par bezgalīgi mazu lielumu:
, kur- b.m.v., t.i.
.

Piemērs. Apsveriet funkciju
.

Kad tiekties
, funkcija y tiecas uz nulli:

1.1. Pamatteorēmas par robežām.

Konstantas vērtības robeža ir vienāda ar šo nemainīgo vērtību

.

Galīga skaita funkciju summas (starpības) robeža ir vienāda ar šo funkciju robežu summu (starpību).

Galīga skaita funkciju reizinājuma robeža ir vienāda ar šo funkciju robežu reizinājumu.

Divu funkciju koeficienta robeža ir vienāda ar šo funkciju robežu koeficientu, ja saucēja robeža nav nulle.

Brīnišķīgi ierobežojumi

,
, Kur

1.2. Limitu aprēķināšanas piemēri

Tomēr ne visas robežas tiek aprēķinātas tik vienkārši. Biežāk, aprēķinot limitu, tiek atklāta veida nenoteiktība: vai .

.

2. Funkcijas atvasinājums

Ļaujiet mums veikt funkciju
, nepārtraukti segmentā
.

Arguments ieguva nelielu pieaugumu
. Pēc tam funkcija saņems pieaugumu
.

Argumenta vērtība atbilst funkcijas vērtībai
.

Argumenta vērtība
atbilst funkcijas vērtībai.

Līdz ar to,.

Ļaujiet mums atrast šīs attiecības robežu pie
. Ja šī robeža pastāv, tad to sauc par dotās funkcijas atvasinājumu.

3. definīcija Dotās funkcijas atvasinājums
ar argumentu tiek saukta par funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu, kad argumenta pieaugumam patvaļīgi ir tendence uz nulli.

Funkcijas atvasinājums
var apzīmēt šādi:

; ; ; .

4. Definīcija Tiek izsaukta darbība, lai atrastu funkcijas atvasinājumu diferenciācija.

2.1. Atvasinājuma mehāniskā nozīme.

Apskatīsim kāda stingra ķermeņa vai materiāla punkta taisnu kustību.

Ļaujiet kādā brīdī kustīgs punkts
bija attālumā no sākuma pozīcijas
.

Pēc kāda laika
viņa pavirzījās kādu attālumu
. Attieksme =- Vidējais ātrums materiālais punkts
. Ļaujiet mums atrast šīs attiecības robežu, ņemot vērā to
.

Līdz ar to materiāla punkta momentānā kustības ātruma noteikšana tiek reducēta līdz ceļa atvasinājuma atrašanai attiecībā pret laiku.

2.2. Atvasinājuma ģeometriskā vērtība

Ļaujiet mums izveidot grafiski definētu funkciju
.

Rīsi. 1. Atvasinājuma ģeometriskā nozīme

Ja
, tad norādiet
, virzīsies pa līkni, tuvojoties punktam
.

Līdz ar to
, t.i. atvasinājuma vērtība noteiktai argumenta vērtībai skaitliski vienāds ar tangensu leņķim, ko veido tangenss noteiktā punktā ar ass pozitīvo virzienu
.

2.3. Pamata diferenciācijas formulu tabula.

Jaudas funkcija

Eksponenciālā funkcija

Logaritmiskā funkcija

Trigonometriskā funkcija

Apgrieztā trigonometriskā funkcija

2.4. Diferencēšanas noteikumi.

Atvasinājums no

Funkciju summas (starpības) atvasinājums

Divu funkciju reizinājuma atvasinājums

Divu funkciju koeficienta atvasinājums

2.5. Atvasinājums no sarežģīta funkcija.

Lai funkcija ir dota
tā, lai to varētu attēlot formā

Un
, kur mainīgais tad tas ir starparguments

Sarežģītas funkcijas atvasinājums ir vienāds ar dotās funkcijas atvasinājuma reizinājumu attiecībā pret starpposma argumentu un starpargumenta atvasinājumu attiecībā uz x.

1. piemērs.

2. piemērs.

3. Diferenciālā funkcija.

Lai ir
, diferencējams noteiktā intervālā
ļaujiet tai iet plkst šai funkcijai ir atvasinājums

,

tad varam rakstīt

(1),

Kur - bezgalīgi mazs daudzums,

kopš kura laika

Visus vienlīdzības nosacījumus (1) reizinot ar
mums ir:

Kur
- b.m.v. augstāks pasūtījums.

Lielums
sauc par funkcijas diferenciāli
un ir norādīts

.

3.1. Diferenciāļa ģeometriskā vērtība.

Lai funkcija ir dota
.

2. att. Diferenciāļa ģeometriskā nozīme.

.

Acīmredzot funkcijas atšķirība
ir vienāds ar pieskares ordinātu pieaugumu noteiktā punktā.

3.2. Dažādu pasūtījumu atvasinājumi un diferenciāļi.

Ja šeit
, Tad
sauc par pirmo atvasinājumu.

Pirmā atvasinājuma atvasinājumu sauc par otrās kārtas atvasinājumu un raksta
.

Funkcijas n-tās kārtas atvasinājums
sauc par (n-1) kārtas atvasinājumu un raksta:

.

Funkcijas diferenciāļa diferenciāli sauc par otrās diferenciāli vai otrās kārtas diferenciāli.

.

.

3.3. Bioloģisko problēmu risināšana, izmantojot diferenciāciju.

1. uzdevums. Pētījumi liecina, ka mikroorganismu kolonijas augšana pakļaujas likumam
, Kur N – mikroorganismu skaits (tūkstošos), t – laiks (dienas).

b) Vai kolonijas iedzīvotāju skaits šajā periodā palielināsies vai samazināsies?

Atbilde. Kolonijas lielums palielināsies.

2. uzdevums. Periodiski tiek pārbaudīts ūdens ezerā, lai uzraudzītu patogēno baktēriju saturu. Caur t dienas pēc testēšanas baktēriju koncentrāciju nosaka pēc attiecības

.

Kad ezerā būs minimālā baktēriju koncentrācija un vai tajā varēs peldēties?

Risinājums: funkcija sasniedz maksimumu vai min, ja tās atvasinājums ir nulle.

,

Noteiksim maksimālo vai minimālo vērtību pēc 6 dienām. Lai to izdarītu, ņemsim otro atvasinājumu.

Atbilde: Pēc 6 dienām būs minimālā baktēriju koncentrācija.

galvenās īpašības.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

identisks pamatojums

Log6 4 + log6 9.

Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu.

Logaritmu risināšanas piemēri

Ko darīt, ja logaritma bāze vai arguments ir pakāpe? Tad šīs pakāpes eksponentu var izņemt no logaritma zīmes saskaņā ar šādiem noteikumiem:

Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots logaritma ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Pāreja uz jaunu pamatu

Ļaujiet dot logaritma logaksu. Tad jebkuram ciparam c, kurā c > 0 un c ≠ 1, vienādība ir patiesa:

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Skatīt arī:

Logaritma pamatīpašības

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponents ir 2,718281828…. Lai atcerētos eksponentu, varat izpētīt noteikumu: eksponents ir vienāds ar 2,7 un divreiz pārsniedz Ļeva Nikolajeviča Tolstoja dzimšanas gadu.

Logaritmu pamatīpašības

Zinot šo noteikumu, jūs zināt un precīza vērtība izstādes dalībniekus un Ļeva Tolstoja dzimšanas datumu.

Logaritmu piemēri

Logaritma izteiksmes

1. piemērs.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Izmantojot īpašības 3.5, mēs aprēķinām

2.

3.

4. Kur .

Piemērs 2. Atrodiet x ja

Piemērs 3. Dota logaritmu vērtība

Aprēķināt log(x), ja

Logaritmu pamatīpašības

Logaritmus, tāpat kā jebkurus skaitļus, var saskaitīt, atņemt un visādi pārveidot. Bet, tā kā logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit ir noteikumi, kurus sauc galvenās īpašības.

Šie noteikumi noteikti ir jāzina – bez tiem nevar atrisināt nevienu nopietnu logaritmisku uzdevumu. Turklāt tādu ir ļoti maz – visu var apgūt vienas dienas laikā. Tātad sāksim.

Logaritmu saskaitīšana un atņemšana

Apsveriet divus logaritmus ar vienādām bāzēm: logax un logay. Pēc tam tos var pievienot un atņemt, un:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Tātad logaritmu summa ir vienāda ar reizinājuma logaritmu, un starpība ir vienāda ar koeficienta logaritmu. Piezīme: galvenais brīdisŠeit - identisks pamatojums. Ja iemesli ir atšķirīgi, šie noteikumi nedarbojas!

Šīs formulas palīdzēs aprēķināt logaritmiskā izteiksme pat tad, ja tā atsevišķās daļas netiek skaitītas (skat. nodarbību “Kas ir logaritms”). Apskatiet piemērus un skatiet:

Tā kā logaritmiem ir vienādas bāzes, mēs izmantojam summas formulu:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log2 48 − log2 3.

Bāzes ir vienādas, mēs izmantojam atšķirības formulu:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log3 135 − log3 5.

Atkal bāzes ir tās pašas, tāpēc mums ir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kā redzat, sākotnējās izteiksmes sastāv no “sliktiem” logaritmiem, kas netiek aprēķināti atsevišķi. Bet pēc pārvērtībām tiek iegūti pilnīgi normāli skaitļi. Daudzi ir balstīti uz šo faktu pārbaudes darbi. Jā, vienotajā valsts eksāmenā testiem līdzīgi izteicieni tiek piedāvāti visā nopietnībā (dažkārt praktiski bez izmaiņām).

Eksponenta izvilkšana no logaritma

Ir viegli saprast, ka pēdējais noteikums seko pirmajiem diviem. Bet tomēr labāk to atcerēties - dažos gadījumos tas ievērojami samazinās aprēķinu apjomu.

Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots logaritma ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Un vēl viena lieta: iemācieties pielietot visas formulas ne tikai no kreisās uz labo, bet arī otrādi. , t.i. Jūs varat ievadīt skaitļus pirms logaritma zīmes pašā logaritmā. Tas ir tas, kas visbiežāk tiek prasīts.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log7 496.

Atbrīvosimies no argumenta pakāpes, izmantojot pirmo formulu:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Ņemiet vērā, ka saucējs satur logaritmu, kura bāze un arguments ir precīzās pakāpes: 16 = 24; 49 = 72. Mums ir:

Es domāju, ka pēdējais piemērs prasa zināmu precizējumu. Kur ir pazuduši logaritmi? Līdz pēdējam brīdim strādājam tikai ar saucēju.

Logaritma formulas. Logaritmu piemēri risinājumi.

Mēs uzrādījām tur stāvošā logaritma bāzi un argumentu pakāpju veidā un izņēmām eksponentus - saņēmām “trīsstāvu” daļu.

Tagad apskatīsim galveno frakciju. Skaitītājā un saucējā ir vienāds skaitlis: log2 7. Tā kā log2 7 ≠ 0, varam samazināt daļskaitli - saucējā paliks 2/4. Saskaņā ar aritmētikas noteikumiem četriniekus var pārsūtīt uz skaitītāju, kas arī tika darīts. Rezultāts bija atbilde: 2.

Pāreja uz jaunu pamatu

Runājot par logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas noteikumiem, īpaši uzsvēru, ka tie darbojas tikai ar vienādām bāzēm. Ko darīt, ja iemesli ir atšķirīgi? Ko darīt, ja tās nav precīzas viena un tā paša skaitļa pilnvaras?

Palīgā nāk formulas pārejai uz jaunu pamatu. Formulēsim tos teorēmas veidā:

Ļaujiet dot logaritma logaksu. Tad jebkuram ciparam c, kurā c > 0 un c ≠ 1, vienādība ir patiesa:

Jo īpaši, ja mēs iestatām c = x, mēs iegūstam:

No otrās formulas izriet, ka logaritma bāzi un argumentu var samainīt, taču šajā gadījumā tiek “apgriezta” visa izteiksme, t.i. saucējā parādās logaritms.

Šīs formulas ir reti sastopamas parastajās skaitliskās izteiksmes. To, cik tie ir ērti, var novērtēt tikai izlemjot logaritmiskie vienādojumi un nevienlīdzības.

Tomēr ir problēmas, kuras nevar atrisināt vispār, izņemot pāreju uz jaunu pamatu. Apskatīsim pāris no šiem:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log5 16 log2 25.

Ņemiet vērā, ka abu logaritmu argumenti satur precīzas pilnvaras. Izņemsim rādītājus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Tagad "apgriezīsim" otro logaritmu:

Tā kā, pārkārtojot faktorus, reizinājums nemainās, mēs mierīgi sareizinājām četri un divi un tad tikām galā ar logaritmiem.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log9 100 lg 3.

Pirmā logaritma bāze un arguments ir precīzas pilnvaras. Pierakstīsim to un atbrīvosimies no indikatoriem:

Tagad atbrīvosimies no decimālā logaritma, pārejot uz jaunu bāzi:

Pamatlogaritmiskā identitāte

Bieži risināšanas procesā ir nepieciešams attēlot skaitli kā logaritmu noteiktai bāzei. Šajā gadījumā mums palīdzēs šādas formulas:

Pirmajā gadījumā skaitlis n kļūst par eksponentu argumentā. Skaitlis n var būt pilnīgi jebkas, jo tas ir tikai logaritma vērtība.

Otrā formula patiesībā ir pārfrāzēta definīcija. Tā to sauc: .

Patiesībā, kas notiek, ja skaitlis b palielina tādā pakāpē, ka skaitlis b šajā pakāpē dod skaitli a? Tieši tā: rezultāts ir tāds pats skaitlis a. Vēlreiz uzmanīgi izlasiet šo rindkopu – daudzi cilvēki tajā iestrēgst.

Tāpat kā formulas pārejai uz jaunu bāzi, galvenā logaritmiskā identitāte dažreiz tas ir vienīgais iespējamais risinājums.

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Ņemiet vērā, ka log25 64 = log5 8 - vienkārši paņēma kvadrātu no logaritma bāzes un argumenta. Ņemot vērā noteikumus pilnvaru reizināšanai ar tas pats pamats, mēs iegūstam:

Ja kāds nezina, tas bija īsts uzdevums no vienotā valsts eksāmena :)

Logaritmiskā vienība un logaritmiskā nulle

Nobeigumā došu divas identitātes, kuras diez vai var saukt par īpašībām – drīzāk tās ir logaritma definīcijas sekas. Viņi pastāvīgi parādās problēmās un pārsteidzoši rada problēmas pat “progresīviem” studentiem.

1. logaa = 1 ir. Atcerieties vienreiz par visām reizēm: logaritms jebkurai šīs bāzes bāzei a ir vienāds ar vienu.
2. loga 1 = 0 ir. Bāze a var būt jebkas, bet, ja argumentā ir viens, logaritms ir vienāds ar nulli! Jo a0 = 1 ir tiešas definīcijas sekas.

Tās ir visas īpašības. Noteikti praktizējiet to pielietošanu praksē! Nodarbības sākumā lejupielādējiet apkrāptu lapu, izdrukājiet to un atrisiniet problēmas.

Skatīt arī:

Logaritms no b bāzes a apzīmē izteiksmi. Aprēķināt logaritmu nozīmē atrast jaudu x (), pie kuras vienādība ir izpildīta

Logaritma pamatīpašības

Iepriekš minētās īpašības ir jāzina, jo uz to pamata tiek atrisinātas gandrīz visas problēmas un piemēri, kas saistīti ar logaritmiem. Pārējās eksotiskās īpašības var iegūt, veicot matemātiskas manipulācijas ar šīm formulām

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Aprēķinot logaritmu summas un starpības formulu (3.4), jūs saskaraties diezgan bieži. Pārējie ir nedaudz sarežģīti, taču vairākos uzdevumos tie ir neaizstājami sarežģītu izteiksmju vienkāršošanai un to vērtību aprēķināšanai.

Bieži sastopami logaritmu gadījumi

Daži no izplatītākajiem logaritmiem ir tādi, kuros bāze ir pat desmit, eksponenciāla vai divas.
Logaritmu līdz desmit bāzei parasti sauc par decimālo logaritmu un vienkārši apzīmē ar lg(x).

No ieraksta noprotams, ka pamatlietas ierakstā nav rakstītas. Piemēram

Dabiskais logaritms ir logaritms, kura bāze ir eksponents (apzīmē ar ln(x)).

Eksponents ir 2,718281828…. Lai atcerētos eksponentu, varat izpētīt noteikumu: eksponents ir vienāds ar 2,7 un divreiz pārsniedz Ļeva Nikolajeviča Tolstoja dzimšanas gadu. Zinot šo noteikumu, jūs uzzināsit gan precīzu eksponenta vērtību, gan Ļeva Tolstoja dzimšanas datumu.

Un vēl viens svarīgs logaritms divu bāzei tiek apzīmēts ar

Funkcijas logaritma atvasinājums ir vienāds ar vienu, kas dalīts ar mainīgo

Integrālo jeb antiatvasināto logaritmu nosaka sakarība

Ar doto materiālu jums pietiek, lai atrisinātu plašu ar logaritmiem un logaritmiem saistītu uzdevumu klasi. Lai palīdzētu jums saprast materiālu, es sniegšu tikai dažus izplatītus piemērus no skolas mācību programma un universitātes.

Logaritmu piemēri

Logaritma izteiksmes

1. piemērs.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Izmantojot īpašības 3.5, mēs aprēķinām

2.
Pēc logaritmu starpības īpašības mums ir

3.
Izmantojot īpašības 3.5, mēs atrodam

4. Kur .

Pēc izskata sarežģīta izteiksme izmantojot vairākus noteikumus, ir vienkāršota forma

Logaritma vērtību atrašana

Piemērs 2. Atrodiet x ja

Risinājums. Aprēķiniem mēs attiecinām uz pēdējā termiņa 5 un 13 īpašībām

Mēs to ierakstām un sērojam

Tā kā bāzes ir vienādas, mēs vienādojam izteiksmes

Logaritmi. Pirmais līmenis.

Dota logaritmu vērtība

Aprēķināt log(x), ja

Risinājums: ņemsim mainīgā logaritmu, lai rakstītu logaritmu caur tā vārdu summu

Tas ir tikai sākums mūsu iepazīšanai ar logaritmiem un to īpašībām. Praktizējiet aprēķinus, bagātiniet savas praktiskās iemaņas - iegūtās zināšanas jums drīz būs nepieciešamas, lai atrisinātu logaritmiskos vienādojumus. Izpētījuši šādu vienādojumu risināšanas pamatmetodes, paplašināsim jūsu zināšanas uz citu tikpat svarīgu tēmu - logaritmiskās nevienādības...

Logaritmu pamatīpašības

Logaritmus, tāpat kā jebkurus skaitļus, var saskaitīt, atņemt un visādi pārveidot. Bet, tā kā logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit ir noteikumi, kurus sauc galvenās īpašības.

Šie noteikumi noteikti ir jāzina – bez tiem nevar atrisināt nevienu nopietnu logaritmisku uzdevumu. Turklāt tādu ir ļoti maz – visu var apgūt vienas dienas laikā. Tātad sāksim.

Logaritmu saskaitīšana un atņemšana

Apsveriet divus logaritmus ar vienādām bāzēm: logax un logay. Pēc tam tos var pievienot un atņemt, un:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Tātad logaritmu summa ir vienāda ar reizinājuma logaritmu, un starpība ir vienāda ar koeficienta logaritmu. Lūdzu, ņemiet vērā: šeit galvenais ir identisks pamatojums. Ja iemesli ir atšķirīgi, šie noteikumi nedarbojas!

Šīs formulas palīdzēs aprēķināt logaritmisko izteiksmi pat tad, ja tās atsevišķās daļas netiek ņemtas vērā (skatiet nodarbību “Kas ir logaritms”). Apskatiet piemērus un skatiet:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log6 4 + log6 9.

Tā kā logaritmiem ir vienādas bāzes, mēs izmantojam summas formulu:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log2 48 − log2 3.

Bāzes ir vienādas, mēs izmantojam atšķirības formulu:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log3 135 − log3 5.

Atkal bāzes ir tās pašas, tāpēc mums ir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kā redzat, sākotnējās izteiksmes sastāv no “sliktiem” logaritmiem, kas netiek aprēķināti atsevišķi. Bet pēc pārvērtībām tiek iegūti pilnīgi normāli skaitļi. Daudzi testi ir balstīti uz šo faktu. Jā, vienotajā valsts eksāmenā testiem līdzīgi izteicieni tiek piedāvāti visā nopietnībā (dažkārt praktiski bez izmaiņām).

Eksponenta izvilkšana no logaritma

Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu. Ko darīt, ja logaritma bāze vai arguments ir pakāpe? Tad šīs pakāpes eksponentu var izņemt no logaritma zīmes saskaņā ar šādiem noteikumiem:

Ir viegli saprast, ka pēdējais noteikums seko pirmajiem diviem. Bet tomēr labāk to atcerēties - dažos gadījumos tas ievērojami samazinās aprēķinu apjomu.

Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots logaritma ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Un vēl viena lieta: iemācieties pielietot visas formulas ne tikai no kreisās uz labo, bet arī otrādi. , t.i. Jūs varat ievadīt skaitļus pirms logaritma zīmes pašā logaritmā.

Kā atrisināt logaritmus

Tas ir tas, kas visbiežāk tiek prasīts.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log7 496.

Atbrīvosimies no argumenta pakāpes, izmantojot pirmo formulu:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Ņemiet vērā, ka saucējs satur logaritmu, kura bāze un arguments ir precīzās pakāpes: 16 = 24; 49 = 72. Mums ir:

Es domāju, ka pēdējais piemērs prasa zināmu precizējumu. Kur ir pazuduši logaritmi? Līdz pēdējam brīdim strādājam tikai ar saucēju. Mēs uzrādījām tur stāvošā logaritma bāzi un argumentu pakāpju veidā un izņēmām eksponentus - saņēmām “trīsstāvu” daļu.

Tagad apskatīsim galveno frakciju. Skaitītājā un saucējā ir vienāds skaitlis: log2 7. Tā kā log2 7 ≠ 0, varam samazināt daļskaitli - saucējā paliks 2/4. Saskaņā ar aritmētikas noteikumiem četriniekus var pārsūtīt uz skaitītāju, kas arī tika darīts. Rezultāts bija atbilde: 2.

Pāreja uz jaunu pamatu

Runājot par logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas noteikumiem, īpaši uzsvēru, ka tie darbojas tikai ar vienādām bāzēm. Ko darīt, ja iemesli ir atšķirīgi? Ko darīt, ja tās nav precīzas viena un tā paša skaitļa pilnvaras?

Palīgā nāk formulas pārejai uz jaunu pamatu. Formulēsim tos teorēmas veidā:

Ļaujiet dot logaritma logaksu. Tad jebkuram ciparam c, kurā c > 0 un c ≠ 1, vienādība ir patiesa:

Jo īpaši, ja mēs iestatām c = x, mēs iegūstam:

No otrās formulas izriet, ka logaritma bāzi un argumentu var samainīt, taču šajā gadījumā tiek “apgriezta” visa izteiksme, t.i. saucējā parādās logaritms.

Šīs formulas reti sastopamas parastajās skaitliskās izteiksmēs. Novērtēt, cik tie ir ērti, var tikai risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienādības.

Tomēr ir problēmas, kuras nevar atrisināt vispār, izņemot pāreju uz jaunu pamatu. Apskatīsim pāris no šiem:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log5 16 log2 25.

Ņemiet vērā, ka abu logaritmu argumenti satur precīzas pilnvaras. Izņemsim rādītājus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Tagad "apgriezīsim" otro logaritmu:

Tā kā, pārkārtojot faktorus, reizinājums nemainās, mēs mierīgi sareizinājām četri un divi un tad tikām galā ar logaritmiem.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log9 100 lg 3.

Pirmā logaritma bāze un arguments ir precīzas pilnvaras. Pierakstīsim to un atbrīvosimies no indikatoriem:

Tagad atbrīvosimies no decimālā logaritma, pārejot uz jaunu bāzi:

Pamatlogaritmiskā identitāte

Bieži risināšanas procesā ir nepieciešams attēlot skaitli kā logaritmu noteiktai bāzei. Šajā gadījumā mums palīdzēs šādas formulas:

Pirmajā gadījumā skaitlis n kļūst par eksponentu argumentā. Skaitlis n var būt pilnīgi jebkas, jo tas ir tikai logaritma vērtība.

Otrā formula patiesībā ir pārfrāzēta definīcija. Tā to sauc: .

Patiesībā, kas notiek, ja skaitlis b palielina tādā pakāpē, ka skaitlis b šajā pakāpē dod skaitli a? Tieši tā: rezultāts ir tāds pats skaitlis a. Vēlreiz uzmanīgi izlasiet šo rindkopu – daudzi cilvēki tajā iestrēgst.

Tāpat kā formulas pārejai uz jaunu bāzi, arī logaritmiskā pamata identitāte dažkārt ir vienīgais iespējamais risinājums.

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Ņemiet vērā, ka log25 64 = log5 8 - vienkārši paņēma kvadrātu no logaritma bāzes un argumenta. Ņemot vērā noteikumus jaudu reizināšanai ar vienu un to pašu bāzi, mēs iegūstam:

Ja kāds nezina, tas bija īsts uzdevums no vienotā valsts eksāmena :)

Logaritmiskā vienība un logaritmiskā nulle

Nobeigumā došu divas identitātes, kuras diez vai var saukt par īpašībām – drīzāk tās ir logaritma definīcijas sekas. Viņi pastāvīgi parādās problēmās un pārsteidzoši rada problēmas pat “progresīviem” studentiem.

1. logaa = 1 ir. Atcerieties vienreiz par visām reizēm: logaritms jebkurai šīs bāzes bāzei a ir vienāds ar vienu.
2. loga 1 = 0 ir. Bāze a var būt jebkas, bet, ja argumentā ir viens, logaritms ir vienāds ar nulli! Jo a0 = 1 ir tiešas definīcijas sekas.

Tās ir visas īpašības. Noteikti praktizējiet to pielietošanu praksē! Nodarbības sākumā lejupielādējiet apkrāptu lapu, izdrukājiet to un atrisiniet problēmas.

Sāksim ar viena logaritma īpašības. Tās formulējums ir šāds: vienotības logaritms ir vienāds ar nulli, tas ir, log a 1=0 jebkuram a>0, a≠1. Pierādījums nav grūts: tā kā a 0 =1 jebkuram a, kas atbilst iepriekš minētajiem nosacījumiem a>0 un a≠1, tad no logaritma definīcijas uzreiz izriet pierādāmā vienādība log a 1=0.

Sniegsim aplūkojamās īpašības pielietojuma piemērus: log 3 1=0, log1=0 un .

Pāriesim pie nākamā īpašuma: skaitļa logaritms, vienāds ar bāzi, vienāds ar vienu, tas ir, log a a=1 ja a>0, a≠1. Patiešām, tā kā a 1 =a jebkuram a, tad pēc definīcijas logaritma žurnāls a a=1.

Šīs logaritmu īpašības izmantošanas piemēri ir vienādības log 5 5=1, log 5.6 5.6 un lne=1.

Piemēram, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 un .

Divu pozitīvu skaitļu reizinājuma logaritms x un y ir vienāds ar šo skaitļu logaritmu reizinājumu: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Pierādīsim reizinājuma logaritma īpašību. Sakarā ar grāda īpašībām a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, un tā kā pēc galvenās logaritmiskās identitātes log a x =x un log a y =y, tad log a x ·a log a y =x · y. Tādējādi log a x+log a y =x·y, no kura pēc logaritma definīcijas izriet pierādāmā vienādība.

Parādīsim piemērus, kā izmantot reizinājuma logaritma īpašību: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 un .

Produkta logaritma īpašību var vispārināt ar pozitīvu skaitļu x 1 , x 2 , …, x n galīga skaita n reizinājumu kā log a (x 1 · x 2 ·… × n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Šo vienlīdzību var pierādīt bez problēmām.

Piemēram, reizinājuma naturālo logaritmu var aizstāt ar summu trīs naturālie logaritmi skaitļi 4 , e un .

Divu pozitīvu skaitļu koeficienta logaritms x un y ir vienāds ar starpību starp šo skaitļu logaritmiem. Koeficienta logaritma īpašība atbilst formulai formā , kur a>0, a≠1, x un y ir daži pozitīvi skaitļi. Šīs formulas derīgums ir pierādīts, kā arī reizinājuma logaritma formula: kopš , tad pēc logaritma definīcijas.

Šeit ir piemērs, kā izmantot šo logaritma rekvizītu: .

Pāriesim pie jaudas logaritma īpašība. Pakāpes logaritms ir vienāds ar eksponenta reizinājumu un šīs pakāpes bāzes moduļa logaritmu. Uzrakstīsim šo pakāpju logaritma īpašību kā formulu: log a b p =p·log a |b|, kur a>0, a≠1, b un p ir tādi skaitļi, ka pakāpei b p ir jēga un b p >0.

Vispirms mēs pierādām šo īpašību pozitīvajam b. Pamatlogaritmiskā identitāte ļauj attēlot skaitli b kā log a b , tad b p =(a log a b) p , un iegūtā izteiksme jaudas īpašības dēļ ir vienāda ar p·log a b . Tātad nonākam pie vienādības b p =a p·log a b, no kuras pēc logaritma definīcijas secinām, ka log a b p =p·log a b.

Atliek pierādīt šo īpašību negatīvam b. Šeit mēs atzīmējam, ka izteiksmei log a b p negatīvam b ir jēga tikai pāra eksponentiem p (jo pakāpes b p vērtībai jābūt lielākai par nulli, pretējā gadījumā logaritmam nebūs jēgas), un šajā gadījumā b p =|b| lpp. Tad b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, no kurienes log a b p =p·log a |b| .

Piemēram, un ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3.

Tas izriet no iepriekšējā īpašuma logaritma īpašība no saknes: n-tās saknes logaritms ir vienāds ar daļas 1/n reizinājumu ar radikālas izteiksmes logaritmu, tas ir, , kur a>0, a≠1, n – dabiskais skaitlis, lielāks par vienu, b>0.

Pierādījums balstās uz vienādību (sk.), kas ir spēkā jebkuram pozitīvam b, un pakāpju logaritma īpašību: .

Šeit ir šī īpašuma izmantošanas piemērs: .

Tagad pierādīsim formula pārejai uz jaunu logaritma bāzi laipns . Lai to izdarītu, pietiek pierādīt vienādības log c b=log a b·log c a pamatotību. Pamatlogaritmiskā identitāte ļauj mums attēlot skaitli b kā log a b , tad log c b=log c a log a b . Atliek izmantot pakāpes logaritma īpašību: log c a log a b =log a b log c a. Tas pierāda vienādību log c b=log a b·log c a, kas nozīmē, ka ir pierādīta arī formula pārejai uz jaunu logaritma bāzi.

Parādīsim dažus piemērus, kā izmantot šo logaritmu īpašību: un .

Formula pārejai uz jaunu bāzi ļauj pāriet uz darbu ar logaritmiem, kuriem ir “ērta” bāze. Piemēram, to var izmantot, lai pārietu uz naturālajiem vai decimāldaļskaitļa logaritmiem, lai jūs varētu aprēķināt logaritma vērtību no logaritmu tabulas. Formula pārejai uz jaunu logaritma bāzi dažos gadījumos ļauj arī atrast noteiktā logaritma vērtību, ja ir zināmas dažu logaritmu vērtības ar citām bāzēm.

Bieži lietots īpašs gadījums formulas pārejai uz jaunu logaritma bāzi ar formas c=b . Tas parāda, ka log a b un log b a – . Piemēram, .

Bieži tiek izmantota arī formula , kas ir ērti logaritma vērtību atrašanai. Lai apstiprinātu savus vārdus, mēs parādīsim, kā to var izmantot, lai aprēķinātu formas logaritma vērtību. Mums ir . Lai pierādītu formulu pietiek ar formulu pārejai uz jaunu logaritma a bāzi: .

Atliek pierādīt logaritmu salīdzināšanas īpašības.

Pierādīsim, ka jebkuriem pozitīviem skaitļiem b 1 un b 2, b 1 log a b 2 un a>1 – nevienādības log a b 1

Visbeidzot, atliek pierādīt pēdējo no uzskaitītajām logaritmu īpašībām. Aprobežosimies ar tās pirmās daļas pierādījumu, tas ir, mēs pierādīsim, ka, ja a 1 >1, a 2 >1 un a 1 1 ir patiess log a 1 b> log a 2 b . Pārējie apgalvojumi par šo logaritmu īpašību tiek pierādīti pēc līdzīga principa.

Izmantosim pretējo metodi. Pieņemsim, ka 1 >1, 2 >1 un 1 1 ir patiess log a 1 b≤log a 2 b . Pamatojoties uz logaritmu īpašībām, šīs nevienādības var pārrakstīt kā Un attiecīgi, un no tiem izriet, ka attiecīgi log b a 1 ≤log b a 2 un log b a 1 ≥log b a 2. Tad atbilstoši pakāpju īpašībām ar vienādām bāzēm ir jāsaglabā vienādības b log b a 1 ≥b log b a 2 un b log b a 1 ≥b log b a 2, tas ir, a 1 ≥a 2 . Tātad mēs nonācām pie pretrunas ar nosacījumu a 1

Bibliogrāfija.

• Kolmogorovs A.N., Abramovs A.M., Dudņicins Ju.P. un citi. Algebra un analīzes sākums: Mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu 10. - 11. klasei.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tiem, kas iestājas tehnikumos).

Viens no primitīvā līmeņa algebras elementiem ir logaritms. Nosaukums cēlies no grieķu valodas no vārda “skaitlis” vai “spēks” un nozīmē jaudu, līdz kurai jāpalielina skaitlis bāzē, lai atrastu galīgo skaitli.

Logaritmu veidi

• log a b – skaitļa b logaritms bāzei a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – decimālais logaritms (logaritms līdz 10. bāzei, a = 10);
• ln b – naturālais logaritms (logaritms uz bāzi e, a = e).

Kā atrisināt logaritmus?

B logaritms līdz bāzei a ir eksponents, kas prasa b paaugstināt līdz bāzei a. Iegūto rezultātu izrunā šādi: "logaritms no b līdz bāzei a." Logaritmisko uzdevumu risinājums ir tāds, ka jums ir jānosaka dotā jauda skaitļos no norādītajiem skaitļiem. Ir daži pamatnoteikumi, lai noteiktu vai atrisinātu logaritmu, kā arī pārveidotu pašu apzīmējumu. Izmantojot tos, tiek atrisināti logaritmiski vienādojumi, atrasti atvasinājumi, atrisināti integrāļi un veiktas daudzas citas darbības. Būtībā paša logaritma risinājums ir tā vienkāršotais apzīmējums. Tālāk ir norādītas pamata formulas un īpašības:

Jebkuram a ; a > 0; a ≠ 1 un jebkuram x ; y > 0.

• a log a b = b – logaritmiskā pamatidentitāte
• log a 1 = 0
• loga a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , ja k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – formula pārejai uz jaunu bāzi
• log a x = 1/log x a

Kā atrisināt logaritmus - soli pa solim instrukcijas risināšanai

• Vispirms pierakstiet vajadzīgo vienādojumu.

Lūdzu, ņemiet vērā: ja bāzes logaritms ir 10, ieraksts tiek saīsināts, kā rezultātā tiek iegūts decimālais logaritms. Ja ir naturāls skaitlis e, tad to pierakstām, reducējot līdz naturālajam logaritmam. Tas nozīmē, ka visu logaritmu rezultāts ir jauda, ​​līdz kurai tiek paaugstināts bāzes skaitlis, lai iegūtu skaitli b.

Tieši risinājums ir šīs pakāpes aprēķināšanā. Pirms izteiksmes risināšanas ar logaritmu tā ir jāvienkāršo saskaņā ar noteikumu, tas ir, izmantojot formulas. Galvenās identitātes varat atrast, nedaudz atgriežoties rakstā.

Saskaitot un atņemot logaritmus ar diviem dažādiem skaitļiem, bet ar vienādām bāzēm, aizstājiet ar vienu logaritmu ar attiecīgi skaitļu b un c reizinājumu vai dalījumu. Šajā gadījumā varat piemērot formulu pārejai uz citu bāzi (skatīt iepriekš).

Ja izmantojat izteiksmes, lai vienkāršotu logaritmu, ir jāņem vērā daži ierobežojumi. Un tas ir: logaritma a bāze ir tikai pozitīvs skaitlis, bet nav vienāds ar vienu. Skaitlim b, tāpat kā a, jābūt lielākam par nulli.

Ir gadījumi, kad, vienkāršojot izteiksmi, jūs nevarēsit aprēķināt logaritmu skaitliski. Gadās, ka šādai izteiksmei nav jēgas, jo daudzas pilnvaras ir iracionāli skaitļi. Saskaņā ar šo nosacījumu atstājiet skaitļa jaudu kā logaritmu.