Jautājums 1. Kādus leņķus sauc par blakus esošajiem?
Atbilde. Divus leņķus sauc par blakus esošajiem, ja tiem ir viena kopīga mala, un pārējās šo leņķu malas ir komplementāras puslīnijas.
31. attēlā leņķi (a 1 b) un (a 2 b) atrodas blakus. Viņiem ir kopīga mala b, un malas a 1 un a 2 ir papildu puslīnijas.

2. jautājums. Pierādīt, ka blakus esošo leņķu summa ir 180°.
Atbilde. Teorēma 2.1. Blakus esošo leņķu summa ir 180°.
Pierādījums. Dot leņķi (a 1 b) un leņķi (a 2 b) blakus leņķus (skat. 31. att.). Stars b iet starp taisna leņķa malām a 1 un a 2. Tāpēc leņķu (a 1 b) un (a 2 b) summa ir vienāda ar nesalocītu leņķi, t.i., 180°. Q.E.D.

3. jautājums. Pierādīt, ja divi leņķi ir vienādi, tad arī tiem blakus esošie leņķi ir vienādi.
Atbilde.

No teorēmas 2.1 No tā izriet, ka, ja divi leņķi ir vienādi, tad to blakus esošie leņķi ir vienādi.
Pieņemsim, ka leņķi (a 1 b) un (c 1 d) ir vienādi. Mums jāpierāda, ka arī leņķi (a 2 b) un (c 2 d) ir vienādi.
Blakus esošo leņķu summa ir 180°. No tā izriet, ka a 1 b + a 2 b = 180° un c 1 d + c 2 d = 180°. Tādējādi a 2 b = 180° - a 1 b un c 2 d = 180° - c 1 d. Tā kā leņķi (a 1 b) un (c 1 d) ir vienādi, mēs iegūstam, ka a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Pēc vienādības zīmes tranzitivitātes īpašības izriet, ka a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

4. jautājums. Kādu leņķi sauc par taisnu (akūtu, strupu)?
Atbilde. Leņķi, kas vienāds ar 90°, sauc par taisnu leņķi.
Leņķi, kas ir mazāks par 90°, sauc par akūtu leņķi.
Leņķi, kas ir lielāks par 90° un mazāks par 180°, sauc par neasu.

5. jautājums. Pierādiet, ka leņķis, kas atrodas blakus taisnam leņķim, ir taisns leņķis.
Atbilde. No teorēmas par blakus esošo leņķu summu izriet, ka leņķis, kas atrodas blakus taisnam leņķim, ir taisns leņķis: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

6. jautājums. Kādus leņķus sauc par vertikāliem?
Atbilde. Divus leņķus sauc par vertikāliem, ja viena leņķa malas ir otra malu komplementāras puslīnijas.

7. jautājums. Pierādiet to vertikālie leņķi ir vienādi.
Atbilde. Teorēma 2.2. Vertikālie leņķi ir vienādi.
Pierādījums. Dotie vertikālie leņķi ir (a 1 b 1) un (a 2 b 2) (34. att.). Leņķis (a 1 b 2) ir blakus leņķim (a 1 b 1) un leņķim (a 2 b 2). No šejienes, izmantojot teorēmu par blakus esošo leņķu summu, mēs secinām, ka katrs no leņķiem (a 1 b 1) un (a 2 b 2) papildina leņķi (a 1 b 2) līdz 180°, t.i. leņķi (a 1 b 1) un (a 2 b 2) ir vienādi. Q.E.D.

8. jautājums. Pierādiet, ja, divām taisnēm krustojoties, viens no leņķiem ir taisns, tad arī pārējie trīs leņķi ir taisni.
Atbilde. Pieņemsim, ka taisnes AB un CD krustojas viena ar otru punktā O. Pieņemsim, ka leņķis AOD ir 90°. Tā kā blakus esošo leņķu summa ir 180°, mēs iegūstam, ka AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Leņķis COB ir vertikāls pret AOD leņķi, tāpēc tie ir vienādi. Tas ir, leņķis COB = 90°. Leņķis COA ir vertikāls pret leņķi BOD, tāpēc tie ir vienādi. Tas ir, leņķis BOD = 90°. Tādējādi visi leņķi ir vienādi ar 90°, tas ir, tie visi ir taisnie leņķi. Q.E.D.

9. jautājums. Kuras līnijas sauc par perpendikulārām? Kādu zīmi izmanto, lai norādītu līniju perpendikularitāti?
Atbilde. Divas līnijas sauc par perpendikulārām, ja tās krustojas taisnā leņķī.
Līniju perpendikulitāti norāda zīme \(\perp\). Ieraksts \(a\perp b\) skan: "Līnija a ir perpendikulāra līnijai b."

10. jautājums. Pierādiet, ka caur jebkuru taisnes punktu var novilkt tai perpendikulāru līniju un tikai vienu.
Atbilde. Teorēma 2.3. Caur katru līniju jūs varat novilkt līniju, kas ir perpendikulāra tai, un tikai vienu.
Pierādījums. Dotā taisne ir a un A ir dots punkts uz viņas. Apzīmēsim ar a 1 vienu no taisnes a puslīnijām ar sākumpunktu A (38. att.). No puslīnijas a 1 atņemsim leņķi (a 1 b 1), kas vienāds ar 90°. Tad taisne, kurā atrodas stars b 1, būs perpendikulāra taisnei a.

Pieņemsim, ka ir vēl viena taisne, kas arī iet caur punktu A un ir perpendikulāra taisnei a. Apzīmēsim ar c 1 šīs taisnes puslīniju, kas atrodas vienā pusplaknē ar staru b 1 .
Leņķi (a 1 b 1) un (a 1 c 1), katrs vienāds ar 90°, ir izvietoti vienā pusplaknē no puslīnijas a 1. Bet no puslīnijas 1 dotajā pusplaknē var ievietot tikai vienu leņķi, kas vienāds ar 90°. Tāpēc nevar būt cita taisne, kas iet caur punktu A un ir perpendikulāra tai a. Teorēma ir pierādīta.

11. jautājums. Kas ir perpendikulārs līnijai?
Atbilde. Perpendikuls noteiktai taisnei ir līnijas posms, kas ir perpendikulārs noteiktai taisnei, kura viens no galiem atrodas to krustpunktā. Šo segmenta galu sauc pamata perpendikulāri.

12. jautājums. Paskaidrojiet, no kā sastāv pierādījums ar pretrunu.
Atbilde. Pierādīšanas metodi, ko izmantojām 2.3. teorēmā, sauc par pierādījumu ar pretrunu. Šī pierādīšanas metode vispirms sastāv no pieņēmuma, kas ir pretējs teorēmas apgalvojumam. Tad, argumentējot, paļaujoties uz aksiomām un pārbaudītām teorēmām, mēs nonākam pie secinājuma, kas ir pretrunā vai nu teorēmas nosacījumiem, vai kādai no aksiomām, vai iepriekš pierādītai teorēmai. Pamatojoties uz to, mēs secinām, ka mūsu pieņēmums bija nepareizs, un tāpēc teorēmas apgalvojums ir patiess.

13. jautājums. Kas ir leņķa bisektrise?
Atbilde. Leņķa bisektrise ir stars, kas izplūst no leņķa virsotnes, iet starp tā malām un sadala leņķi uz pusēm.

Leņķi, kuros viena mala ir kopīga, bet pārējās malas atrodas uz vienas taisnas līnijas (attēlā leņķi 1 un 2 atrodas blakus). Rīsi. uz Art. Blakus esošie stūri... Lielā padomju enciklopēdija

BLAKUSĒJIE STŪRI- leņķi, kuriem ir kopīga virsotne un viena kopējā puse, un to pārējās divas malas atrodas vienā taisnā līnijā... Lielā Politehniskā enciklopēdija

Skatīt leņķi... Lielā enciklopēdiskā vārdnīca

BLAKUSĒJIE LEŅI, divi leņķi, kuru summa ir 180°. Katrs no šiem leņķiem papildina otru pilnā leņķī... Zinātniskā un tehniskā enciklopēdiskā vārdnīca

Skatiet Leņķis. * * * BLAKUSĒJIE STŪRI BLAKUSĒJIE STURI, skatiet Leņķi (skatiet LEņķi) ... enciklopēdiskā vārdnīca

- (Leņķi blakus) tie, kuriem ir kopīga virsotne un kopīga puse. Pārsvarā šis nosaukums attiecas uz tādiem C. leņķiem, kuru pārējās divas malas atrodas pretējos virzienos vienai caur virsotni novilktai taisnei ... Enciklopēdiskā vārdnīca F.A. Brokhauss un I.A. Efrons

Skatīt leņķi... Dabaszinātnes. enciklopēdiskā vārdnīca

Divas taisnas līnijas krustojas, lai izveidotu vertikālu leņķu pāri. Viens pāris sastāv no leņķiem A un B, otrs no C un D. Ģeometrijā divus leņķus sauc par vertikāliem, ja tie ir izveidoti, krustojoties diviem ... Wikipedia

Papildu leņķu pāris, kas viens otru papildina līdz 90 grādiem. Papildu leņķi ir leņķu pāris, kas viens otru papildina līdz 90 grādiem. Ja divi viens otru papildinoši leņķi atrodas blakus (t.i., tiem ir kopīga virsotne un tie ir atdalīti tikai... ... Wikipedia

Papildu leņķu pāris, kas papildina viens otru līdz 90 grādiem Papildu leņķi ir leņķu pāris, kas papildina viens otru līdz 90 grādiem. Ja divi viens otru papildinoši leņķi ir ar... Wikipedia

Grāmatas

• Par pierādījumu ģeometrijā, A.I. Fetisov. Šī grāmata tiks izgatavota saskaņā ar jūsu pasūtījumu, izmantojot tehnoloģiju Drukāt pēc pieprasījuma. Kādu dienu, pašā mācību gada sākumā, nejauši noklausījos divu meiteņu sarunu. Vecākais no viņiem...
• Visaptveroša piezīmju grāmatiņa zināšanu kontrolei. Ģeometrija. 7. klase. Federālais valsts izglītības standarts, Babenko Svetlana Pavlovna, Markova Irina Sergeevna. Rokasgrāmatā ir sniegti kontroles un mērīšanas materiāli (CMM) ģeometrijā 7. klases skolēnu zināšanu strāvas, tematiskās un galīgās kvalitātes kontroles veikšanai. Rokasgrāmatas saturs...

Galvenā leņķa zināmā vērtība α₁ = α₂ = 180°-α.

No šī ir . Ja divi leņķi ir gan blakus, gan vienādi, tad tie ir taisni leņķi. Ja viens no blakus esošajiem leņķiem ir taisns, tas ir, 90 grādi, tad arī otrs leņķis ir taisns. Ja viens no blakus esošajiem leņķiem ir akūts, tad otrs būs strups. Tāpat, ja viens no leņķiem ir neass, tad otrais attiecīgi būs akūts.

Akūts leņķis ir leņķis, kura grādu mērs ir mazāks par 90 grādiem, bet lielāks par 0. Stuls leņķis ir lielāks par 90 grādiem, bet mazāks par 180.

Vēl viena blakus esošo leņķu īpašība ir formulēta šādi: ja divi leņķi ir vienādi, tad arī tiem blakus esošie leņķi ir vienādi. Tas nozīmē, ka, ja ir divi leņķi, kuriem grādu mērs ir vienāds (piemēram, tas ir 50 grādi) un tajā pašā laikā vienam no tiem ir blakus leņķis, tad arī šo blakus leņķu vērtības sakrīt ( piemērā to pakāpes mērs būs vienāds ar 130 grādiem).

Avoti:

• Lielā enciklopēdiskā vārdnīca — blakus esošie leņķi
• leņķis 180 grādi

Vārdam "" ir dažādas interpretācijas. Ģeometrijā leņķis ir plaknes daļa, ko ierobežo divi stari, kas izplūst no viena punkta - virsotnes. Kad mēs runājam par par taisniem, asiem, nesalocītiem leņķiem, tad ir domāti ģeometriskie leņķi.

Tāpat kā jebkuras ģeometrijas figūras, leņķus var salīdzināt. Leņķu vienādību nosaka, izmantojot kustību. Leņķi ir viegli sadalīt divās vienādās daļās. Sadalīšana trīs daļās ir nedaudz grūtāka, taču to joprojām var izdarīt, izmantojot lineālu un kompasu. Starp citu, šis uzdevums šķita diezgan grūts. Aprakstīt, ka viens leņķis ir lielāks vai mazāks par otru, ir ģeometriski vienkārši.

Leņķu mērvienība ir 1/180 no attīstītā leņķa. Leņķa lielums ir skaitlis, kas norāda, cik lielā mērā par mērvienību izvēlētais leņķis iekļaujas attiecīgajā attēlā.

Katram leņķim ir grādu mērs, kas ir lielāks par nulli. Taisns leņķis ir 180 grādi. Leņķa pakāpes mērs tiek uzskatīts par vienādu ar to leņķu grādu mēru summu, kuros tas ir sadalīts ar jebkuru staru plaknē, ko ierobežo tā malas.

No jebkura stara iekšā dotā lidmašīna Jūs varat attēlot leņķi ar noteiktu grādu, kas nepārsniedz 180. Turklāt šāds leņķis būs tikai viens. Plaknes leņķa mērs, kas ir daļa no pusplaknes, ir leņķa ar līdzīgām malām pakāpes mērs. Leņķa plaknes mērs, kas satur pusplakni, ir 360– α, kur α ir komplementārā plaknes leņķa pakāpes mērs.

Leņķa pakāpes mērs ļauj pāriet no ģeometriskā apraksta uz skaitlisko. Tātad taisns leņķis ir leņķis, kas vienāds ar 90 grādiem, strups leņķis ir leņķis, kas mazāks par 180 grādiem, bet lielāks par 90, ass stūris nepārsniedz 90 grādus.

Papildus grādiem ir arī leņķa radiāns. Planimetrijā garums ir L, rādiuss ir r un atbilstošais centrālais leņķis– α. Turklāt šie parametri ir saistīti ar attiecību α = L/r. Tas ir leņķu radiāna mēra pamats. Ja L=r, tad leņķis α būs vienāds ar vienu radiānu. Tātad leņķa radiāna mērs ir loka garuma attiecība, kas novilkta ar patvaļīgu rādiusu un atrodas starp šī leņķa malām un loka rādiusu. Pilnīga pagriešana grādos (360 grādi) atbilst 2π radiānos. Viens ir 57,2958 grādi.

Video par tēmu

Avoti:

• leņķu pakāpes mēra formula

Ģeometrija ir ļoti daudzpusīga zinātne. Tas attīsta loģiku, iztēli un inteliģenci. Protams, tā sarežģītības un lielā teorēmu un aksiomu skaita dēļ skolniekiem tas ne vienmēr patīk. Turklāt ir pastāvīgi jāpierāda savi secinājumi, izmantojot vispārpieņemtus standartus un noteikumus.

Blakus esošie un vertikālie leņķi ir neatņemama ģeometrijas sastāvdaļa. Protams, daudzi skolēni tos vienkārši dievina tāpēc, ka to īpašības ir skaidras un viegli pierādāmas.

Stūru veidošana

Jebkurš leņķis tiek veidots, krustojot divas taisnas līnijas vai velkot divus starus no viena punkta. Tos var saukt par vienu burtu vai trim, kas secīgi apzīmē punktus, kuros tiek veidots leņķis.

Leņķus mēra grādos un var (atkarībā no to vērtības) saukt atšķirīgi. Tātad ir taisns leņķis, akūts, strups un nesalocīts. Katrs no nosaukumiem atbilst noteiktas pakāpes mēram vai tā intervālam.

Akūts leņķis ir leņķis, kura izmērs nepārsniedz 90 grādus.

Strups leņķis ir leņķis, kas lielāks par 90 grādiem.

Leņķi sauc par taisnu, ja tā grādu mērs ir 90.

Gadījumā, ja to veido viena nepārtraukta taisne un tās pakāpes mērs ir 180, to sauc par paplašinātu.

Leņķus, kuriem ir kopīga mala, kuru otrā puse turpina viena otru, sauc par blakus esošajiem. Tie var būt gan asi, gan neasi. Līnijas krustpunkts veido blakus leņķus. To īpašības ir šādas:

1. Šādu leņķu summa būs vienāda ar 180 grādiem (ir teorēma, kas to pierāda). Tāpēc vienu no tiem var viegli aprēķināt, ja ir zināms otrs.
2. No pirmā punkta izriet, ka blakus leņķus nevar veidot divi strupi vai divi asi leņķi.

Pateicoties šīm īpašībām, jūs vienmēr varat aprēķināt leņķa pakāpes mēru, ņemot vērā cita leņķa vērtību vai pēc vismaz, attiecības starp tām.

Vertikālie leņķi

Leņķus, kuru malas ir viens otra turpinājums, sauc par vertikāliem. Jebkura to šķirne var darboties kā šāds pāris. Vertikālie leņķi vienmēr ir vienādi viens ar otru.

Tie veidojas, kad taisnas līnijas krustojas. Kopā ar tiem vienmēr ir blakus esošie leņķi. Leņķis var būt vienlaikus blakus vienam un vertikāls citam.

Šķērsojot patvaļīgu līniju, tiek ņemti vērā arī vairāki citi leņķu veidi. Šādu līniju sauc par sekantu līniju, un tā veido atbilstošus, vienpusējus un šķērsām leņķus. Viņi ir līdzvērtīgi viens otram. Tos var aplūkot, ņemot vērā vertikālo un blakus esošo leņķu īpašības.

Tādējādi leņķu tēma šķiet diezgan vienkārša un saprotama. Visas to īpašības ir viegli atcerēties un pierādīt. Problēmu risināšana nav grūta, ja vien leņķiem ir skaitliska vērtība. Vēlāk, kad sāksies grēka un cos izpēte, tev būs daudz kas jāiegaumē sarežģītas formulas, to secinājumi un sekas. Līdz tam jūs varat vienkārši izbaudīt vienkāršas mīklas, kurās jums jāatrod blakus esošie leņķi.

Ģeometrijas kursa apguves procesā diezgan bieži parādās jēdzieni “leņķis”, “vertikālie leņķi”, “blakus leņķi”. Katra termina izpratne palīdzēs izprast problēmu un to pareizi atrisināt. Kas ir blakus esošie leņķi un kā tos noteikt?

Blakus esošie leņķi - jēdziena definīcija

Termins “blakus esošie leņķi” raksturo divus leņķus, ko veido kopīgs stars un divas papildu puslīnijas, kas atrodas uz vienas taisnes. Visi trīs stari iziet no viena punkta. Kopējā puslīnija vienlaikus ir gan viena, gan otra leņķa mala.

Blakus esošie leņķi - pamata īpašības

1. Pamatojoties uz blakus leņķu formulējumu, ir viegli pamanīt, ka šādu leņķu summa vienmēr veido apgrieztu leņķi, kura pakāpes mērs ir 180°:

• Ja μ un η ir blakus leņķi, tad μ + η = 180°.
• Zinot viena no blakus leņķiem (piemēram, μ) lielumu, varat viegli aprēķināt otrā leņķa pakāpes mēru (η), izmantojot izteiksmi η = 180° – μ.

2. Šī leņķu īpašība ļauj izdarīt šādu secinājumu: leņķis, kas atrodas blakus pareizā leņķī, būs arī tiešs.

3. Apsverot trigonometriskās funkcijas(sin, cos, tg, ctg), pamatojoties uz blakusesošo leņķu μ un η samazināšanas formulām, ir taisnība:

• sinη = grēks(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη = ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Blakus esošie leņķi - piemēri

1. piemērs

Dots trijstūris ar virsotnēm M, P, Q – ΔMPQ. Atrodiet leņķus, kas atrodas blakus leņķiem ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Pagarināsim katru trijstūra malu ar taisnu līniju.
• Zinot, ka blakus esošie leņķi viens otru papildina līdz pat apgrieztam leņķim, mēs uzzinām, ka:

blakus leņķim ∠QMP ir ∠LMP,

blakus leņķim ∠MPQ ir ∠SPQ,

blakus leņķim ∠PQM ir ∠HQP.

2. piemērs

Viena blakus esošā leņķa vērtība ir 35°. Kāds ir otrā blakus leņķa pakāpes mērs?

• Divi blakus esošie leņķi kopā veido 180°.
• Ja ∠μ = 35°, tad blakus tai ∠η = 180° – 35° = 145°.

3. piemērs

Nosakiet blakus esošo leņķu vērtības, ja ir zināms, ka viena no tām pakāpes mērs ir trīs reizes lielāks nekā otra leņķa pakāpes mērs.

• Viena (mazāka) leņķa lielumu apzīmēsim ar – ∠μ = λ.
• Tad, atbilstoši uzdevuma nosacījumiem, otrā leņķa vērtība būs vienāda ar ∠η = 3λ.
• Pamatojoties uz blakus esošo leņķu pamatīpašību, seko μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Tas nozīmē, ka pirmais leņķis ir ∠μ = λ = 45°, bet otrais leņķis ir ∠η = 3λ = 135°.

Spēja lietot terminoloģiju, kā arī zināšanas par blakus esošo leņķu pamatīpašībām palīdzēs atrisināt daudzas ģeometriskas problēmas.