Sinus akūts leņķis Taisnstūra trīsstūra α ir attiecība pretī kāju līdz hipotenūzai.
To apzīmē šādi: sin α.
Kosinuss Taisnstūra trīsstūra akūts leņķis α ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu.
To apzīmē šādi: cos α.
Pieskares akūts leņķis α ir pretējās malas attiecība pret blakus esošo pusi.
To apzīmē šādi: tg α.
Kotangenss akūts leņķis α ir blakus esošās malas attiecība pret pretējo pusi.
To apzīmē šādi: ctg α.
Leņķa sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir atkarīgi tikai no leņķa lieluma.
Noteikumi:
Galvenās trigonometriskās identitātes taisnleņķa trijstūrī:
(α – akūts leņķis, kas ir pretējs kājai b un blakus kājai a . Sānu Ar - hipotenūza. β – otrais akūts leņķis).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
grēks α |
Palielinoties asajam leņķimsin α uniedeguma α pieaugums, uncos α samazinās.
Jebkuram akūtam leņķim α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Piemērs-skaidrojums:
Ielaidiet taisnleņķa trīsstūri ABC
AB = 6,
BC = 3,
leņķis A = 30º.
Noskaidrosim leņķa A sinusu un leņķa B kosinusu.
Risinājums.
1) Pirmkārt, mēs atrodam leņķa B vērtību. Šeit viss ir vienkārši: tā kā taisnleņķa trijstūrī akūto leņķu summa ir 90º, tad leņķis B = 60º:
B = 90º – 30º = 60º.
2) Aprēķināsim grēku A. Zinām, ka sinuss ir vienāds ar pretējās puses attiecību pret hipotenūzu. Leņķim A pretējā puse ir mala BC. Tātad:
BC 3 1
grēks A = -- = - = -
AB 6 2
3) Tagad aprēķināsim cos B. Mēs zinām, ka kosinuss ir vienāds ar blakus esošās kājas attiecību pret hipotenūzu. Leņķim B blakus esošā kājiņa ir tā pati mala BC. Tas nozīmē, ka mums atkal ir jāsadala BC ar AB - tas ir, jāveic tās pašas darbības, kas tiek veiktas, aprēķinot leņķa A sinusu:
BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Rezultāts ir:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
No tā izriet, ka taisnleņķa trijstūrī viena akūta leņķa sinuss ir vienāds ar kosinusu vēl viens akūts leņķis - un otrādi. Tas ir tieši tas, ko nozīmē mūsu divas formulas:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Pārliecināsimies par to vēlreiz:
1) Pieņemsim, ka α = 60º. Aizvietojot α vērtību sinusa formulā, mēs iegūstam:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Pieņemsim, ka α = 30º. Aizvietojot α vērtību kosinusa formulā, mēs iegūstam:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.
(Papildinformāciju par trigonometriju skatiet sadaļā Algebra)
Ja tika izskatītas taisnleņķa trijstūra risināšanas problēmas, es apsolīju iepazīstināt ar paņēmienu, kā iegaumēt sinusa un kosinusa definīcijas. Izmantojot to, jūs vienmēr ātri atcerēsities, kura puse pieder hipotenūzai (blakus vai pretējai). Nolēmu uz ilgu laiku neatlikt, nepieciešamais materiāls zemāk, lūdzu izlasi 😉
Fakts ir tāds, ka esmu vairākkārt novērojis, kā 10.-11. klases skolēniem ir grūtības atcerēties šīs definīcijas. Viņi ļoti labi atceras, ka kāja attiecas uz hipotenūzu, bet kura- viņi aizmirst un apjucis. Kļūdas cena, kā jūs zināt eksāmenā, ir zaudēts punkts.
Informācijai, ko es sniegšu tieši, nav nekāda sakara ar matemātiku. Viņa ir saistīta ar tēlaina domāšana, un ar verbāli loģiskās komunikācijas metodēm. Tieši tā es to atceros, reizi par visām reizēmdefinīcijas dati. Ja tos aizmirstat, vienmēr varat tos viegli atcerēties, izmantojot piedāvātās metodes.
Ļaujiet man atgādināt sinusa un kosinusa definīcijas taisnleņķa trijstūrī:
Kosinuss Akūtais leņķis taisnleņķa trijstūrī ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu:
Sinus Akūtais leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret hipotenūzu:
Tātad, kādas asociācijas jums ir ar vārdu kosinuss?
Droši vien katram ir savs 😉Atcerieties saiti:
Tādējādi izteiciens nekavējoties parādīsies jūsu atmiņā -
«… PLAŠĀS kājas attiecība pret hipotenūzu».
Problēma ar kosinusa noteikšanu ir atrisināta.
Ja jums ir jāatceras sinusa definīcija taisnleņķa trijstūrī, tad, atceroties kosinusa definīciju, jūs varat viegli noteikt, ka akūtā leņķa sinuss taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret hipotenūzu. Galu galā ir tikai divas kājas; ja blakus esošo kāju “aizņem” kosinuss, tad ar sinusu paliek tikai pretējā kāja.
Kā ar tangensu un kotangensu? Apjukums ir tāds pats. Skolēni zina, ka tās ir kāju attiecības, taču problēma ir atcerēties, uz kuru no tām attiecas – vai nu pretējo blakus esošajai, vai otrādi.
Definīcijas:
Pieskares Akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret blakus esošo malu:
Kotangenss Akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir blakus esošās malas attiecība pret pretējo:
Kā atcerēties? Ir divi veidi. Viens izmanto arī verbāli loģisko savienojumu, otrs izmanto matemātisko.
MATEMĀTISKĀ METODE
Pastāv šāda definīcija - akūta leņķa pieskare ir leņķa sinusa attiecība pret tā kosinusu:
*Iegaumējot formulu, jūs vienmēr varat noteikt, ka akūtā leņķa pieskare taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret blakus malu.
Tāpat.Akūtā leņķa kotangenss ir leņķa kosinusa attiecība pret tā sinusu:
Tātad! Atceroties šīs formulas, jūs vienmēr varat noteikt, ka:
- asa leņķa tangenss taisnleņķa trijstūrī ir pretējās malas attiecība pret blakus esošo
— asa leņķa kotangenss taisnleņķa trijstūrī ir blakus malas attiecība pret pretējo malu.
VĀRDU-LOĢISKĀ METODE
Par tangensu. Atcerieties saiti:
Tas ir, ja jums ir jāatceras pieskares definīcija, izmantojot šo loģisko savienojumu, varat viegli atcerēties, kas tas ir
“...pretējās malas attiecība pret blakus esošo pusi”
Ja mēs runājam par kotangensu, tad, atceroties pieskares definīciju, jūs varat viegli izteikt kotangensa definīciju -
"... blakus esošās malas attiecība pret pretējo pusi"
Tīmekļa vietnē ir interesants triks, kā atcerēties tangensu un kotangentu " Matemātiskais tandēms " , Skaties.
UNIVERSĀLĀ METODE
Jūs varat to vienkārši iegaumēt.Bet, kā rāda prakse, pateicoties verbāli-loģiskiem sakariem, cilvēks ilgu laiku atceras informāciju, nevis tikai matemātisko.
Es ceru, ka materiāls jums bija noderīgs.
Ar cieņu Aleksandrs Krutickhs
P.S. Būšu pateicīgs, ja pastāstīsiet par vietni sociālajos tīklos.
Sinuss ir viena no trigonometriskajām pamatfunkcijām, kuras izmantošana neaprobežojas tikai ar ģeometriju. Tabulas trigonometrisko funkciju aprēķināšanai, piemēram, inženiertehniskie kalkulatori, ne vienmēr ir pa rokai, un sinusa aprēķināšana dažreiz ir nepieciešama dažādu problēmu risināšanai. Kopumā sinusa aprēķināšana palīdzēs nostiprināt zīmēšanas prasmes un zināšanas par trigonometriskajām identitātēm.
Spēles ar lineālu un zīmuli
Vienkāršs uzdevums: kā atrast uz papīra uzzīmēta leņķa sinusu? Lai atrisinātu, jums būs nepieciešams parasts lineāls, trīsstūris (vai kompass) un zīmulis. Vienkāršākais veids, kā aprēķināt leņķa sinusu, ir dalot trijstūra tālāko kāju ar taisnu leņķi ar garo malu - hipotenūzu. Tādējādi vispirms ir jāpabeidz akūts leņķis līdz taisnleņķa trijstūra formai, novelkot līniju, kas ir perpendikulāra vienam no stariem patvaļīgā attālumā no leņķa virsotnes. Mums būs jāsaglabā tieši 90 ° leņķis, kam mums ir nepieciešams rakstīšanas trīsstūris.
Kompasa izmantošana ir nedaudz precīzāka, taču prasīs vairāk laika. Uz viena no stariem ir jāatzīmē 2 punkti noteiktā attālumā, uz kompasa jāiestata rādiuss, kas ir aptuveni vienāds ar attālumu starp punktiem, un šajos punktos jāvelk pusloki ar centriem, līdz tiek iegūti šo līniju krustojumi. Savienojot mūsu apļu krustošanās punktus savā starpā, mēs iegūstam stingru perpendikulāru mūsu leņķa staram; atliek tikai pagarināt līniju, līdz tā krustojas ar citu staru.
Iegūtajā trijstūrī ir jāizmanto lineāls, lai izmērītu sānu, kas atrodas pretī stūrim, un garo malu vienā no stariem. Pirmās dimensijas attiecība pret otro būs vēlamā akūta leņķa sinusa vērtība.
Atrodiet sinusu leņķim, kas lielāks par 90°
Strupā leņķī uzdevums nav daudz grūtāks. Jāvelk stars no virsotnes uz pretējā pusē izmantojot lineālu, lai izveidotu taisnu līniju ar vienu no mums interesējošā leņķa stariem. Iegūtais akūts leņķis jāapstrādā, kā aprakstīts iepriekš, sinusus blakus esošie stūri, kas kopā veido 180° apgriezto leņķi, ir vienādi.
Sinusa aprēķināšana, izmantojot citas trigonometriskās funkcijas
Arī sinusa aprēķināšana ir iespējama, ja ir zināmas citu leņķa trigonometrisko funkciju vērtības vai vismaz trīsstūra malu garumi. Šajā jautājumā mums palīdzēs trigonometriskās identitātes. Apskatīsim izplatītākos piemērus.
Kā atrast sinusu ar zināmu leņķa kosinusu? Pirmā trigonometriskā identitāte, kas balstīta uz Pitagora teorēmu, nosaka, ka viena un tā paša leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summa ir vienāda ar vienu.
Kā atrast sinusu ar zināmu leņķa tangensu? Pieskares punktu iegūst, dalot tālāko pusi ar tuvāko vai dalot sinusu ar kosinusu. Tādējādi sinuss būs kosinusa un pieskares reizinājums, un sinusa kvadrāts būs šī reizinājuma kvadrāts. Kvadrātveida kosinusu aizstājam ar starpību starp vienu un kvadrātsinusu atbilstoši pirmajam trigonometriskā identitāte un ar vienkāršām manipulācijām mēs samazinām vienādojumu līdz kvadrātveida sinusa aprēķinam caur tangensu; attiecīgi, lai aprēķinātu sinusu, jums būs jāizņem iegūtā rezultāta sakne.
Kā atrast sinusu ar zināmu leņķa kotangensu? Kotangensa vērtību var aprēķināt, dalot leņķim tuvākās kājas garumu ar tālākās kājas garumu, kā arī dalot kosinusu ar sinusu, tas ir, kotangenss ir funkcija, kas ir apgriezta pieskares relatīvajam. uz skaitli 1. Lai aprēķinātu sinusu, jūs varat aprēķināt tangensu, izmantojot formulu tg α = 1 / ctg α un izmantot formulu otrajā variantā. Varat arī iegūt tiešo formulu pēc analoģijas ar tangensu, kas izskatīsies šādi.
Kā atrast trijstūra trīs malu sinusu
Ir formula jebkura trijstūra, ne tikai taisnleņķa trijstūra, nezināmās malas garuma noteikšanai no divām zināmām malām, izmantojot pretējā leņķa kosinusa trigonometrisko funkciju. Viņa izskatās šādi.
Kas ir leņķa sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss, palīdzēs jums saprast taisnleņķa trīsstūri.
Kā sauc taisnleņķa trīsstūra malas? Tieši tā, hipotenūza un kājas: hipotenūza ir puse, kas atrodas pretī taisnajam leņķim (mūsu piemērā tā ir puse \(AC\)); kājas ir divas atlikušās malas \(AB\) un \(BC\) (tās, kas atrodas blakus pareizā leņķī), un, ja ņemam vērā kājas attiecībā pret leņķi \(BC\), tad kāja \(AB\) ir blakus esošā kāja, un kāja \(BC\) ir pretēja. Tātad, tagad atbildēsim uz jautājumu: kas ir leņķa sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss?
Leņķa sinuss– tā ir pretējās (tālās) kājas attiecība pret hipotenūzu.
Mūsu trīsstūrī:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Leņķa kosinuss– tā ir blakus esošās (tuvās) kājas attiecība pret hipotenūzu.
Mūsu trīsstūrī:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Leņķa tangenss– tā ir pretējās (tālās) puses attiecība pret blakus esošo (tuvu).
Mūsu trīsstūrī:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Leņķa kotangenss– tā ir blakus esošās (tuvās) kājas attiecība pret pretējo (tālo).
Mūsu trīsstūrī:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Šīs definīcijas ir vajadzīgas atceries! Lai būtu vieglāk atcerēties, kurā kājā kurā sadalīt, jums tas ir skaidri jāsaprot pieskares Un kotangenss sēž tikai kājas, un hipotenūza parādās tikai iekšā sinusa Un kosinuss. Un tad jūs varat izdomāt asociāciju ķēdi. Piemēram, šis:
Kosinuss→pieskāriens→pieskāriens→blakus;
Kotangente→pieskāriens→pieskāriens→blakus.
Pirmkārt, jāatceras, ka sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss kā trijstūra malu attiecības nav atkarīgas no šo malu garumiem (vienā leņķī). Neticu? Tad pārliecinieties, apskatot attēlu:
Apsveriet, piemēram, leņķa \(\beta \) kosinusu. Pēc definīcijas no trīsstūra \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), bet mēs varam aprēķināt leņķa \(\beta \) kosinusu no trijstūra \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Redziet, malu garumi ir dažādi, bet viena leņķa kosinusa vērtība ir vienāda. Tādējādi sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences vērtības ir atkarīgas tikai no leņķa lieluma.
Ja jūs saprotat definīcijas, tad uz priekšu un konsolidējiet tās!
Tālāk attēlā redzamajam trīsstūrim \(ABC \) mēs atrodam \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(masīvs)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(masīvs) \)
Nu, vai tu saprati? Pēc tam izmēģiniet to pats: aprēķiniet to pašu leņķim \(\beta \) .
Atbildes: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Vienības (trigonometriskais) aplis
Izprotot grādu un radiānu jēdzienus, mēs uzskatījām apli, kura rādiuss ir vienāds ar \(1\) . Tādu apli sauc viens. Tas būs ļoti noderīgi, studējot trigonometriju. Tāpēc apskatīsim to nedaudz sīkāk.
Kā redzat, šis aplis ir konstruēts Dekarta koordinātu sistēmā. Apļa rādiuss ir vienāds ar vienu, kamēr apļa centrs atrodas koordinātu sākumā, rādiusa vektora sākotnējā pozīcija ir fiksēta \(x\) ass pozitīvā virzienā (mūsu piemērā tas ir ir rādiuss \(AB\)).
Katrs apļa punkts atbilst diviem skaitļiem: koordinātei pa \(x\) asi un koordinātei uz \(y\) asi. Kādi ir šie koordinātu skaitļi? Un vispār, kāds viņiem sakars ar aplūkojamo tēmu? Lai to izdarītu, mums jāatceras par aplūkoto taisnleņķa trīsstūri. Augšējā attēlā jūs varat redzēt divus veselus taisnstūra trīsstūrus. Apsveriet trīsstūri \(ACG\) . Tas ir taisnstūrveida, jo \(CG\) ir perpendikulāra \(x\) asij.
Kas ir \(\cos \ \alpha \) no trīsstūra \(ACG \)? Pareizi \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Turklāt mēs zinām, ka \(AC\) ir vienības apļa rādiuss, kas nozīmē \(AC=1\) . Aizstāsim šo vērtību mūsu kosinusa formulā. Lūk, kas notiek:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Ar ko ir vienāds \(\sin \ \alpha \) no trīsstūra \(ACG \)? Nu protams, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Aizvietojiet rādiusa vērtību \(AC\) šajā formulā un iegūstiet:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Tātad, vai varat pateikt, kādas koordinātes ir aplim piederošajam punktam \(C\)? Nu, nekādā gadījumā? Ko darīt, ja saprotat, ka \(\cos \ \alpha \) un \(\sin \alpha \) ir tikai skaitļi? Kādai koordinātei atbilst \(\cos \alpha \)? Nu, protams, koordināte \(x\)! Un kādai koordinātei atbilst \(\sin \alpha \)? Tieši tā, koordinē \(y\)! Tātad punkts \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Ar ko tad ir vienādi \(tg \alpha \) un \(ctg \alpha \)? Tieši tā, izmantosim atbilstošās pieskares un kotangensa definīcijas un iegūsim to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Ko darīt, ja leņķis ir lielāks? Piemēram, kā šajā attēlā:
Kas šajā piemērā ir mainījies? Izdomāsim. Lai to izdarītu, atkal pagriezīsimies uz taisnleņķa trīsstūri. Apsveriet taisnleņķa trīsstūri \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : leņķis (kā blakus leņķim \(\beta \) ). Kāda ir sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa vērtība leņķim \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Tieši tā, mēs ievērojam atbilstošās trigonometrisko funkciju definīcijas:
\(\begin(masīvs)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(masīvs) \)
Nu, kā redzat, leņķa sinusa vērtība joprojām atbilst koordinātei \(y\) ; leņķa kosinusa vērtība - koordināte \(x\) ; un pieskares un kotangences vērtības attiecīgajām attiecībām. Tādējādi šīs attiecības attiecas uz jebkuru rādiusa vektora rotāciju.
Jau minēts, ka rādiusa vektora sākuma pozīcija ir pa \(x\) ass pozitīvo virzienu. Līdz šim mēs esam pagriezuši šo vektoru pretēji pulksteņrādītāja virzienam, bet kas notiek, ja mēs to pagriežam pulksteņrādītāja virzienā? Nekas ārkārtējs, jūs arī iegūsit noteiktas vērtības leņķi, bet tikai tas būs negatīvs. Tādējādi, pagriežot rādiusa vektoru pretēji pulksteņrādītāja virzienam, mēs iegūstam pozitīvie leņķi, un, griežot pulksteņrādītāja virzienā – negatīvs.
Tātad, mēs zinām, ka viss rādiusa vektora apgrieziens ap apli ir \(360()^\circ \) vai \(2\pi \) . Vai ir iespējams pagriezt rādiusa vektoru par \(390()^\circ \) vai par \(-1140()^\circ \)? Nu, protams, ka vari! Pirmajā gadījumā \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), tādējādi rādiusa vektors veiks vienu pilnu apgriezienu un apstāsies pozīcijā \(30()^\circ \) vai \(\dfrac(\pi )(6) \) .
Otrajā gadījumā \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), tas ir, rādiusa vektors veiks trīs pilnus apgriezienus un apstāsies pozīcijā \(-60()^\circ \) vai \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Tādējādi no iepriekš minētajiem piemēriem mēs varam secināt, ka leņķi, kas atšķiras ar \(360()^\circ \cdot m \) vai \(2\pi \cdot m \) (kur \(m \) ir jebkurš vesels skaitlis ), atbilst vienai un tai pašai rādiusa vektora pozīcijai.
Zemāk redzamajā attēlā redzams leņķis \(\beta =-60()^\circ \) . Tas pats attēls atbilst stūrim \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) utt. Šo sarakstu var turpināt bezgalīgi. Visus šos leņķus var uzrakstīt ar vispārīgo formulu \(\beta +360()^\circ \cdot m\) vai \(\beta +2\pi \cdot m \) (kur \(m \) ir jebkurš vesels skaitlis)
\(\begin(masīvs)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(masīvs) \)
Tagad, zinot trigonometrisko pamatfunkciju definīcijas un izmantojot vienības aplis, mēģiniet atbildēt, kādas ir vērtības:
\(\begin(masīvs)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(masīvs) \)
Šeit ir vienības aplis, kas jums palīdzēs:
Vai jums ir grūtības? Tad izdomāsim. Tātad mēs zinām, ka:
\(\begin(masīvs)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(masīvs)\)
No šejienes mēs nosakām to punktu koordinātas, kas atbilst noteiktiem leņķa mēriem. Nu, sāksim secībā: stūris iekšā \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) atbilst punktam ar koordinātām \(\left(0;1 \right) \) , tāpēc:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\RightArrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- neeksistē;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Turklāt, ievērojot to pašu loģiku, mēs atklājam, ka stūri ir iekšā \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) atbilst punktiem ar koordinātām \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \pa labi) \), attiecīgi. Zinot to, ir viegli noteikt trigonometrisko funkciju vērtības attiecīgajos punktos. Vispirms izmēģiniet to pats un pēc tam pārbaudiet atbildes.
Atbildes:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\bultiņa pa labi \text(ctg)\ \pi \)- neeksistē
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\bultiņa pa labi \text(tg)\ 270()^\circ \)- neeksistē
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\bultiņa pa labi \text(ctg)\ 2\pi \)- neeksistē
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Labā bultiņa \text(tg)\ 450()^\circ \)- neeksistē
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Tādējādi mēs varam izveidot šādu tabulu:
Nav nepieciešams atcerēties visas šīs vērtības. Pietiek atcerēties atbilstību starp punktu koordinātām uz vienības apļa un trigonometrisko funkciju vērtībām:
\(\left. \begin(masīvs)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(masīvs) \right\)\ \text(Jums ir jāatceras vai jāspēj to parādīt!! \) !}
Bet leņķu trigonometrisko funkciju vērtības un \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) norādīts zemāk esošajā tabulā, jums jāatceras:
Nebaidieties, tagad mēs parādīsim vienu piemēru diezgan vienkāršai atbilstošo vērtību iegaumēšanai:
Lai izmantotu šo metodi, ir svarīgi atcerēties sinusa vērtības visiem trim leņķa mēriem ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), kā arī leņķa pieskares vērtību \(30()^\circ \) . Zinot šīs \(4\) vērtības, ir diezgan vienkārši atjaunot visu tabulu - kosinusa vērtības tiek pārsūtītas saskaņā ar bultiņām, tas ir:
\(\begin(masīvs)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(masīvs) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), zinot to, varat atjaunot vērtības \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Skaitītājs "\(1 \)" atbildīs \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \), un saucējs "\(\sqrt(\text(3)) \)" atbildīs \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangentes vērtības tiek pārsūtītas saskaņā ar attēlā norādītajām bultiņām. Ja jūs to saprotat un atceraties diagrammu ar bultiņām, tad no tabulas pietiks atcerēties tikai \(4\) vērtības.
Apļa punkta koordinātas
Vai ir iespējams atrast punktu (tā koordinātes) uz apļa, zinot apļa centra koordinātas, tā rādiusu un griešanās leņķi? Nu, protams, ka vari! Atvasināsim vispārīgu formulu punkta koordinātu atrašanai. Piemēram, šeit ir aplis mūsu priekšā:
Mums ir dots šis punkts \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- apļa centrs. Apļa rādiuss ir \(1,5\) . Jāatrod punkta \(P\) koordinātas, kas iegūtas, pagriežot punktu \(O\) par \(\delta \) grādiem.
Kā redzams attēlā, punkta \(P\) koordināte \(x\) atbilst segmenta garumam \(TP=UQ=UK+KQ\) . Nozares garums \(UK\) atbilst apļa centra koordinātei \(x\), tas ir, tas ir vienāds ar \(3\) . Segmenta \(KQ\) garumu var izteikt, izmantojot kosinusa definīciju:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Tad mums ir šī punkta \(P\) koordināte \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Izmantojot to pašu loģiku, mēs atrodam punkta \(P\) y koordinātas vērtību. Tādējādi
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Tātad, iekšā vispārējs skats punktu koordinātas nosaka pēc formulas:
\(\begin(masīvs)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(masīvs) \), Kur
\(((x)_(0)),(y)_(0)) \) - apļa centra koordinātas,
\(r\) — apļa rādiuss,
\(\delta \) - vektora rādiusa rotācijas leņķis.
Kā redzat, aplūkojamajam vienības aplim šīs formulas ir ievērojami samazinātas, jo centra koordinātas ir vienādas ar nulli un rādiuss ir vienāds ar vienu:
\(\begin(masīvs)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(masīvs) \)
Javascript jūsu pārlūkprogrammā ir atspējots.Lai veiktu aprēķinus, jāiespējo ActiveX vadīklas!
Jēdzieni sinuss (), kosinuss (), tangenss (), kotangenss () ir nesaraujami saistīti ar leņķa jēdzienu. Lai tos labi saprastu, no pirmā acu uzmetiena, sarežģīti jēdzieni(kas rada šausmu stāvokli daudzos skolēnus), un lai pārliecinātos, ka "velns nav tik biedējošs, kā viņš ir uzgleznots", sāksim no paša sākuma un sapratīsim leņķa jēdzienu.
Leņķa jēdziens: radiāns, grāds
Apskatīsim attēlu. Vektors ir “pagriezies” attiecībā pret punktu par noteiktu summu. Tātad šīs rotācijas mērs attiecībā pret sākotnējo stāvokli būs stūrī.
Kas vēl jums jāzina par leņķa jēdzienu? Nu, protams, leņķa mērvienības!
Leņķi gan ģeometrijā, gan trigonometrijā var izmērīt grādos un radiānos.
Tiek saukts (viena grāda) leņķis centrālais leņķis aplī, pamatojoties uz apļveida loku, kas vienāds ar apļa daļu. Tādējādi viss aplis sastāv no apļveida loku “gabaliem”, vai arī apļa aprakstītais leņķis ir vienāds.
Tas nozīmē, ka attēlā redzams leņķis, kas vienāds ar, tas ir, šis leņķis balstās uz apļveida loka apkārtmēra lielumu.
Leņķis radiānos ir centrālais leņķis aplī, ko aptver apļveida loks, kura garums ir vienāds ar apļa rādiusu. Nu, vai tu to izdomāji? Ja nē, tad izdomāsim to no zīmējuma.
Tātad attēlā parādīts leņķis, kas vienāds ar radiānu, tas ir, šis leņķis balstās uz apļveida loku, kura garums ir vienāds ar apļa rādiusu (garums ir vienāds ar garumu vai rādiuss ir vienāds ar loka garums). Tādējādi loka garumu aprēķina pēc formulas:
Kur ir centrālais leņķis radiānos.
Nu, vai, zinot to, vai varat atbildēt, cik radiānu satur apļa aprakstītais leņķis? Jā, šim nolūkam ir jāatceras apkārtmēra formula. Šeit viņa ir:
Tagad salīdzināsim šīs divas formulas un noskaidrosim, ka apļa aprakstītais leņķis ir vienāds. Tas ir, korelējot vērtību grādos un radiānos, mēs to iegūstam. Attiecīgi,. Kā redzat, atšķirībā no "grādiem", vārds "radiāns" ir izlaists, jo mērvienība parasti ir skaidra no konteksta.
Cik radiānu ir? Pareizi!
Sapratu? Pēc tam turpiniet un izlabojiet to:
Vai jums ir grūtības? Tad paskaties atbildes:
Taisns trīsstūris: sinuss, kosinuss, tangenss, leņķa kotangenss
Tātad, mēs izdomājām leņķa jēdzienu. Bet kas ir leņķa sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss? Izdomāsim. Lai to izdarītu, mums palīdzēs taisnleņķa trīsstūris.
Kā sauc taisnleņķa trīsstūra malas? Tieši tā, hipotenūza un kājas: hipotenūza ir tā puse, kas atrodas pretī taisnajam leņķim (mūsu piemērā tā ir puse); kājas ir divas atlikušās malas un (tās, kas atrodas blakus pareizajam leņķim), un, ja mēs uzskatām kājas attiecībā pret leņķi, tad kāja ir blakus esošā kāja, un kāja ir pretēja. Tātad, tagad atbildēsim uz jautājumu: kas ir leņķa sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss?
Leņķa sinuss- šī ir pretējās (tālās) kājas attiecība pret hipotenūzu.
Mūsu trīsstūrī.
Leņķa kosinuss- šī ir blakus esošās (tuvās) kājas attiecība pret hipotenūzu.
Mūsu trīsstūrī.
Leņķa tangenss- tā ir pretējās (tālās) puses attiecība pret blakus esošo (tuvu).
Mūsu trīsstūrī.
Leņķa kotangenss- šī ir blakus esošās (tuvās) kājas attiecība pret pretējo (tālo).
Mūsu trīsstūrī.
Šīs definīcijas ir vajadzīgas atceries! Lai būtu vieglāk atcerēties, kurā kājā kurā sadalīt, jums tas ir skaidri jāsaprot pieskares Un kotangenss sēž tikai kājas, un hipotenūza parādās tikai iekšā sinusa Un kosinuss. Un tad jūs varat izdomāt asociāciju ķēdi. Piemēram, šis:
Kosinuss→pieskāriens→pieskāriens→blakus;
Kotangente→pieskāriens→pieskāriens→blakus.
Pirmkārt, jāatceras, ka sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss kā trijstūra malu attiecības nav atkarīgas no šo malu garumiem (vienā leņķī). Neticu? Tad pārliecinieties, apskatot attēlu:
Apsveriet, piemēram, leņķa kosinusu. Pēc definīcijas no trijstūra: , bet mēs varam aprēķināt leņķa kosinusu no trijstūra: . Redziet, malu garumi ir dažādi, bet viena leņķa kosinusa vērtība ir vienāda. Tādējādi sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences vērtības ir atkarīgas tikai no leņķa lieluma.
Ja jūs saprotat definīcijas, tad uz priekšu un konsolidējiet tās!
Tālāk attēlā redzamajam trīsstūrim mēs atrodam.
Nu, vai tu saprati? Pēc tam izmēģiniet to pats: aprēķiniet to pašu leņķim.
Vienības (trigonometriskais) aplis
Izprotot grādu un radiānu jēdzienus, mēs uzskatījām apli, kura rādiuss ir vienāds ar. Tādu apli sauc viens. Tas būs ļoti noderīgi, studējot trigonometriju. Tāpēc apskatīsim to nedaudz sīkāk.
Kā redzat, šis aplis ir konstruēts Dekarta koordinātu sistēmā. Apļa rādiuss ir vienāds ar vienu, savukārt apļa centrs atrodas koordinātu sākumā, rādiusa vektora sākotnējā pozīcija ir fiksēta gar ass pozitīvo virzienu (mūsu piemērā tas ir rādiuss).
Katrs apļa punkts atbilst diviem cipariem: ass koordinātei un ass koordinātei. Kādi ir šie koordinātu skaitļi? Un vispār, kāds viņiem sakars ar aplūkojamo tēmu? Lai to izdarītu, mums jāatceras par aplūkoto taisnleņķa trīsstūri. Augšējā attēlā jūs varat redzēt divus veselus taisnstūra trīsstūrus. Apsveriet trīsstūri. Tas ir taisnstūrveida, jo ir perpendikulārs asij.
Ar ko ir vienāds trīsstūris? Pareizi. Turklāt mēs zinām, ka tas ir vienības apļa rādiuss, kas nozīmē . Aizstāsim šo vērtību mūsu kosinusa formulā. Lūk, kas notiek:
Ar ko ir vienāds trīsstūris? Nu protams,! Aizstājiet rādiusa vērtību šajā formulā un iegūstiet:
Tātad, vai varat pateikt, kādas koordinātas ir punktam, kas pieder pie apļa? Nu, nekādā gadījumā? Ko darīt, ja jūs to saprotat un esat tikai skaitļi? Kurai koordinātai tā atbilst? Nu, protams, koordinātas! Un kādai koordinātei tas atbilst? Tieši tā, koordinātes! Tādējādi punkts.
Kas tad ir un ir vienādi? Tieši tā, izmantosim atbilstošās pieskares un kotangensa definīcijas un iegūsim, a.
Ko darīt, ja leņķis ir lielāks? Piemēram, kā šajā attēlā:
Kas šajā piemērā ir mainījies? Izdomāsim. Lai to izdarītu, atkal pagriezīsimies uz taisnleņķa trīsstūri. Apsveriet taisnleņķa trīsstūri: leņķis (kā blakus leņķim). Kādas ir leņķa sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensas vērtības? Tieši tā, mēs ievērojam atbilstošās trigonometrisko funkciju definīcijas:
Nu, kā redzat, leņķa sinusa vērtība joprojām atbilst koordinātei; leņķa kosinusa vērtība - koordināte; un pieskares un kotangences vērtības attiecīgajām attiecībām. Tādējādi šīs attiecības attiecas uz jebkuru rādiusa vektora rotāciju.
Jau minēts, ka rādiusa vektora sākuma pozīcija ir gar ass pozitīvo virzienu. Līdz šim mēs esam pagriezuši šo vektoru pretēji pulksteņrādītāja virzienam, bet kas notiek, ja mēs to pagriežam pulksteņrādītāja virzienā? Nekas ārkārtējs, jūs arī iegūsit noteiktas vērtības leņķi, bet tikai tas būs negatīvs. Tādējādi, pagriežot rādiusa vektoru pretēji pulksteņrādītāja virzienam, mēs iegūstam pozitīvie leņķi, un, griežot pulksteņrādītāja virzienā - negatīvs.
Tātad, mēs zinām, ka vesels rādiusa vektora apgrieziens ap apli ir vai. Vai ir iespējams pagriezt rādiusa vektoru uz vai uz? Nu, protams, ka vari! Tāpēc pirmajā gadījumā rādiusa vektors veiks vienu pilnu apgriezienu un apstāsies pozīcijā vai.
Otrajā gadījumā, tas ir, rādiusa vektors veiks trīs pilnus apgriezienus un apstāsies pozīcijā vai.
Tādējādi no iepriekš minētajiem piemēriem varam secināt, ka leņķi, kas atšķiras ar vai (kur ir jebkurš vesels skaitlis), atbilst vienai un tai pašai rādiusa vektora pozīcijai.
Zemāk redzamajā attēlā redzams leņķis. Tas pats attēls atbilst stūrim utt. Šo sarakstu var turpināt bezgalīgi. Visus šos leņķus var uzrakstīt ar vispārīgo formulu vai (kur ir vesels skaitlis)
Tagad, zinot trigonometrisko pamatfunkciju definīcijas un izmantojot vienības apli, mēģiniet atbildēt, kādas ir vērtības:
Šeit ir vienības aplis, kas jums palīdzēs:
Vai jums ir grūtības? Tad izdomāsim. Tātad mēs zinām, ka:
No šejienes mēs nosakām to punktu koordinātas, kas atbilst noteiktiem leņķa mēriem. Nu, sāksim secībā: leņķis pie atbilst punktam ar koordinātām, tāpēc:
Neeksistē;
Turklāt, ievērojot to pašu loģiku, mēs noskaidrojam, ka stūri atbilst attiecīgi punktiem ar koordinātām. Zinot to, ir viegli noteikt trigonometrisko funkciju vērtības attiecīgajos punktos. Vispirms izmēģiniet to pats un pēc tam pārbaudiet atbildes.
Atbildes:
Neeksistē
Neeksistē
Neeksistē
Neeksistē
Tādējādi mēs varam izveidot šādu tabulu:
Nav nepieciešams atcerēties visas šīs vērtības. Pietiek atcerēties atbilstību starp punktu koordinātām uz vienības apļa un trigonometrisko funkciju vērtībām:
Bet leņķu trigonometrisko funkciju vērtības un, kas norādītas zemāk esošajā tabulā, jāatceras:
Nebaidieties, tagad mēs jums parādīsim vienu piemēru diezgan vienkārši atcerēties atbilstošās vērtības:
Lai izmantotu šo metodi, ir svarīgi atcerēties sinusa vērtības visiem trim leņķa mēriem (), kā arī leņķa pieskares vērtību. Zinot šīs vērtības, ir diezgan vienkārši atjaunot visu tabulu - kosinusa vērtības tiek pārsūtītas saskaņā ar bultiņām, tas ir:
Zinot to, jūs varat atjaunot vērtības. Skaitītājs " " atbildīs un saucējs " " atbildīs. Kotangentes vērtības tiek pārsūtītas saskaņā ar attēlā norādītajām bultiņām. Ja jūs to saprotat un atceraties diagrammu ar bultiņām, tad pietiks atcerēties visas vērtības no tabulas.
Apļa punkta koordinātas
Vai ir iespējams atrast punktu (tā koordinātas) uz apļa, zinot apļa centra koordinātas, tā rādiusu un griešanās leņķi?
Nu, protams, ka vari! Dabūsim to ārā vispārīga formula punkta koordinātu atrašanai.
Piemēram, šeit ir aplis mūsu priekšā:
Mums ir dots, ka punkts ir apļa centrs. Apļa rādiuss ir vienāds. Nepieciešams atrast punkta koordinātas, kas iegūtas, pagriežot punktu par grādiem.
Kā redzams attēlā, punkta koordināte atbilst segmenta garumam. Segmenta garums atbilst apļa centra koordinātei, tas ir, tas ir vienāds. Segmenta garumu var izteikt, izmantojot kosinusa definīciju:
Tad mums tas ir punkta koordinātei.
Izmantojot to pašu loģiku, mēs atrodam punkta y koordinātu vērtību. Tādējādi
Tātad kopumā punktu koordinātas nosaka pēc formulas:
Apļa centra koordinātas,
Apļa rādiuss,
Vektora rādiusa griešanās leņķis.
Kā redzat, aplūkojamajam vienības aplim šīs formulas ir ievērojami samazinātas, jo centra koordinātas ir vienādas ar nulli un rādiuss ir vienāds ar vienu:
Nu, izmēģināsim šīs formulas, praktizējot punktu atrašanu uz apļa?
1. Atrodiet punkta koordinātas uz vienības apļa, kas iegūta, pagriežot punktu uz.
2. Atrodiet punkta koordinātas uz vienības apļa, kas iegūta, pagriežot punktu uz.
3. Atrodiet punkta koordinātas uz vienības apļa, kas iegūta, pagriežot punktu uz.
4. Punkts ir apļa centrs. Apļa rādiuss ir vienāds. Nepieciešams atrast punkta koordinātas, kas iegūtas, pagriežot sākotnējo rādiusa vektoru par.
5. Punkts ir apļa centrs. Apļa rādiuss ir vienāds. Nepieciešams atrast punkta koordinātas, kas iegūtas, pagriežot sākotnējo rādiusa vektoru par.
Vai jums ir grūtības atrast apļa punkta koordinātas?
Atrisiniet šos piecus piemērus (vai mācieties tos atrisināt), un jūs iemācīsities tos atrast!
1.
To var pamanīt. Bet mēs zinām, kas atbilst pilnīgai sākuma punkta apvērsumam. Tādējādi vēlamais punkts atradīsies tādā pašā pozīcijā kā pagriežoties uz. Zinot to, mēs atrodam vajadzīgās punkta koordinātas:
2. Vienības aplis ir centrēts punktā, kas nozīmē, ka mēs varam izmantot vienkāršotas formulas:
To var pamanīt. Mēs zinām, kas atbilst diviem pilniem sākuma punkta apgriezieniem. Tādējādi vēlamais punkts atradīsies tādā pašā pozīcijā kā pagriežoties uz. Zinot to, mēs atrodam vajadzīgās punkta koordinātas:
Sinuss un kosinuss ir tabulas vērtības. Mēs atceramies to nozīmi un iegūstam:
Tādējādi vēlamajam punktam ir koordinātas.
3. Vienības aplis ir centrēts punktā, kas nozīmē, ka mēs varam izmantot vienkāršotas formulas:
To var pamanīt. Attēlosim attiecīgo piemēru attēlā:
Rādiuss veido leņķus, kas vienādi ar asi un ar to. Zinot, ka kosinusa un sinusa tabulas vērtības ir vienādas, un konstatējot, ka kosinusam šeit ir negatīva vērtība, bet sinusam ir pozitīva vērtība, mēs iegūstam:
Šādi piemēri tiek apspriesti sīkāk, pētot trigonometrisko funkciju samazināšanas formulas tēmā.
Tādējādi vēlamajam punktam ir koordinātas.
4.
Vektora rādiusa griešanās leņķis (pēc nosacījuma)
Lai noteiktu atbilstošās sinusa un kosinusa zīmes, mēs izveidojam vienības apli un leņķi:
Kā redzat, vērtība, tas ir, ir pozitīva, un vērtība, tas ir, ir negatīva. Zinot atbilstošo trigonometrisko funkciju tabulas vērtības, mēs iegūstam, ka:
Aizstāsim iegūtās vērtības mūsu formulā un atradīsim koordinātas:
Tādējādi vēlamajam punktam ir koordinātas.
5. Lai atrisinātu šo problēmu, mēs izmantojam formulas vispārīgā formā, kur
Apļa centra koordinātas (mūsu piemērā
Apļa rādiuss (pēc nosacījuma)
Vektora rādiusa griešanās leņķis (pēc nosacījuma).
Aizstāsim visas vērtības formulā un iegūsim:
un - tabulas vērtības. Atcerēsimies un ievietojiet tos formulā:
Tādējādi vēlamajam punktam ir koordinātas.
KOPSAVILKUMS UN PAMATFORMULAS
Leņķa sinuss ir pretējās (tālās) kājas attiecība pret hipotenūzu.
Leņķa kosinuss ir blakus esošās (tuvās) kājas attiecība pret hipotenūzu.
Leņķa tangenss ir pretējās (tālās) malas un blakus esošās (tuvās) puses attiecība.
Leņķa kotangenss ir blakus esošās (tuvās) puses attiecība pret pretējo (tālo) pusi.
