Ir trīs pamatnoteikumi, lai atrastu antiderivatīvās funkcijas. Tie ir ļoti līdzīgi attiecīgajiem diferenciācijas noteikumiem.

1. noteikums

Ja F ir antiatvasinājums kādai funkcijai f, un G ir antiatvasinājums kādai funkcijai g, tad F + G būs antiatvasinājums f + g.

Pēc antiatvasinājuma definīcijas F' = f. G' = g. Un, tā kā šie nosacījumi ir izpildīti, tad saskaņā ar noteikumu par funkciju summas atvasinājuma aprēķināšanu mums būs:

(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.

2. noteikums

Ja F ir kādas funkcijas f antiatvasinājums un k ir kāda konstante. Tad k*F ir funkcijas k*f antiatvasinājums. Šis noteikums izriet no kompleksas funkcijas atvasinājuma aprēķināšanas noteikuma.

Mums ir: (k*F)' = k*F' = k*f.

3. noteikums

Ja F(x) ir kāds funkcijas f(x) antiatvasinājums, un k un b ir dažas konstantes un k nav vienāds ar nulli, tad (1/k)*F*(k*x+b) būs funkcijas f (k*x+b) antiatvasinājums.

Šis noteikums izriet no kompleksas funkcijas atvasinājuma aprēķināšanas noteikuma:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Apskatīsim dažus piemērus, kā šie noteikumi tiek piemēroti:

1. piemērs. Atrast vispārējā forma funkcijas f(x) = x^3 +1/x^2 antiatvasinājumi. Funkcijai x^3 viens no antiatvasinājumiem būs funkcija (x^4)/4, bet funkcijai 1/x^2 viens no antiatvasinājumiem būs funkcija -1/x. Izmantojot pirmo noteikumu, mums ir:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

2. piemērs. Atradīsim antiatvasinājumu vispārīgo formu funkcijai f(x) = 5*cos(x). Funkcijai cos(x) viens no antiatvasinājumiem būs funkcija sin(x). Ja mēs tagad izmantosim otro noteikumu, mums būs:

F(x) = 5*sin(x).

3. piemērs. Atrodiet vienu no funkcijas y = sin(3*x-2) antiatvasinājumiem. Funkcijas sin(x) viens no antiatvasinājumiem būs funkcija -cos(x). Ja mēs tagad izmantojam trešo noteikumu, mēs iegūstam izteiksmi antiatvasinājumam:

F(x) = (-1/3)*cos (3*x-2)

4. piemērs. Atrodiet funkcijas f(x) = 1/(7-3*x)^5 antiatvasinājumu

Funkcijas 1/x^5 antiatvasinājums būs funkcija (-1/(4*x^4)). Tagad, izmantojot trešo noteikumu, mēs iegūstam.

Mēs esam redzējuši, ka atvasinājumam ir daudz lietojumu: atvasinājums ir kustības ātrums (vai, vispārīgi sakot, jebkura procesa ātrums); atvasinājums ir slīpums pieskares funkcijas grafikam; izmantojot atvasinājumu, varat pārbaudīt funkciju monotoniskumam un ekstrēmumam; atvasinājums palīdz atrisināt optimizācijas problēmas.

Bet iekšā īsta dzīve Ir jāatrisina arī apgrieztās problēmas: piemēram, līdzās ātruma atrašanas problēmai pēc zināma kustības likuma ir arī kustības likuma atjaunošanas problēma pēc zināma ātruma. Apskatīsim vienu no šīm problēmām.

1. piemērs. Pārvietojas taisnā līnijā materiālais punkts, tā kustības ātrumu laikā t nosaka pēc formulas u = tg. Atrodi kustības likumu.

Risinājums. Lai s = s(t) ir vēlamais kustības likums. Ir zināms, ka s"(t) = u"(t). Tas nozīmē, ka, lai atrisinātu problēmu, jums ir jāizvēlas funkciju s = s(t), kura atvasinājums ir vienāds ar tg. To nav grūti uzminēt

Uzreiz atzīmēsim, ka piemērs ir atrisināts pareizi, bet nepilnīgi. Mēs atklājām, ka patiesībā problēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu: jebkura formas funkcija patvaļīga konstante var kalpot kā kustības likums, jo

Lai uzdevumu padarītu precīzāku, mums bija jāfiksē sākotnējā situācija: jānorāda kustīga punkta koordinātas kādā brīdī, piemēram, pie t=0. Ja, teiksim, s(0) = s 0, tad no vienādības iegūstam s(0) = 0 + C, t.i., S 0 = C. Tagad kustības likums ir unikāli definēts:
Matemātikā savstarpēji apgrieztām operācijām tiek doti dažādi nosaukumi un izdomāti īpaši apzīmējumi: piemēram, kvadrātošana (x 2) un izvilkšana. kvadrātsakne sine(sinх) un arcsīns(arcsin x) utt. Atvasinājuma atrašanas process attiecībā uz dotā funkcija sauc par diferenciāciju, un apgriezto darbību, t.i. funkcijas atrašanas process no dotā atvasinājuma – integrācija.
Pats termins “atvasinājums” ir attaisnojams “ikdienā”: funkcija y - f(x) “dzimst” jaunu funkciju y"= f"(x). Funkcija y = f(x) darbojas kā “vecāks” , bet matemātiķi, protams, to nesauc par “vecāku” vai “ražotāju”; viņi saka, ka tas saistībā ar funkciju y"=f"(x) ir primārais attēls vai īsi, antiatvasinājums.

1. definīcija. Funkciju y = F(x) sauc par antiatvasinājumu funkcijai y = f(x) noteiktā intervālā X, ja uz visiem x no X ir spēkā vienādība F"(x)=f(x).

Praksē intervāls X parasti nav norādīts, bet ir netiešs (kā funkcijas definīcijas dabisks apgabals).

Šeit ir daži piemēri:

1) Funkcija y = x 2 ir antiatvasināta funkcijai y = 2x, jo visiem x vienādība (x 2)" = 2x ir patiesa.
2) funkcija y - x 3 ir antiatvasināta funkcijai y-3x 2, jo visiem x vienādība (x 3)" = 3x 2 ir patiesa.
3) Funkcija y-sinх ir antiatvasinājums funkcijai y = cosx, jo visiem x vienādība (sinx)" = cosx ir patiesa.
4) Funkcija ir antiatvasināta funkcijai intervālā, jo visiem x > 0 vienādība ir patiesa
Kopumā, zinot atvasinājumu atrašanas formulas, nav grūti sastādīt formulu tabulu antiatvasinājumu atrašanai.

Mēs ceram, ka jūs saprotat, kā šī tabula tiek sastādīta: funkcijas atvasinājums, kas ierakstīts otrajā kolonnā, ir vienāds ar funkciju, kas ierakstīta pirmās kolonnas attiecīgajā rindā (pārbaudiet to, neesiet slinks, tas ir ļoti noderīgi). Piemēram, funkcijai y = x 5 antiatvasinājums, kā jūs noteiksiet, ir funkcija (skatiet tabulas ceturto rindu).

Piezīmes: 1. Tālāk pierādīsim teorēmu, ka, ja y = F(x) ir funkcijas y = f(x) antiatvasinājums, tad funkcijai y = f(x) ir bezgalīgi daudz antiatvasinājumu un tiem visiem ir forma y = F(x ) + C. Tāpēc pareizāk būtu visur tabulas otrajā ailē pievienot terminu C, kur C ir patvaļīgs reāls skaitlis.
2. Īsuma labad dažreiz frāzes “funkcija y = F(x) ir funkcijas y = f(x) antiatvasinājums” vietā viņi saka, ka F(x) ir f(x) antiatvasinājums. ”.

2. Antiatvasinājumu atrašanas noteikumi

Meklējot antiatvasinājumus, kā arī meklējot atvasinājumus, tiek izmantotas ne tikai formulas (tās norādītas tabulā 196. lpp.), bet arī daži noteikumi. Tie ir tieši saistīti ar atbilstošajiem atvasināto instrumentu aprēķināšanas noteikumiem.

Mēs zinām, ka summas atvasinājums ir vienāds ar tās atvasinājumu summu. Šis noteikums ģenerē atbilstošo noteikumu antiatvasinājumu atrašanai.

1. noteikums. Summas antiatvasinājums ir vienāds ar antiatvasinājumu summu.

Mēs vēršam jūsu uzmanību uz šī formulējuma "vieglumu". Patiesībā vajadzētu formulēt teorēmu: ja funkcijām y = f(x) un y = g(x) ir antiatvasinājumi intervālā X, attiecīgi y-F(x) un y-G(x), tad funkciju y summa. = f(x)+g(x) ir antiatvasinājums intervālā X, un šis antiatvasinājums ir funkcija y = F(x)+G(x). Bet parasti, formulējot noteikumus (nevis teorēmas), tiek atstāti tikai atslēgvārdi - tas ir ērtāk noteikumu piemērošanai praksē

2. piemērs. Atrodiet funkcijas y = 2x + cos x antiatvasinājumu.

Risinājums. 2x antiatvasinājums ir x"; cox antiatvasinājums ir sin x. Tas nozīmē, ka funkcijas y = 2x + cos x antiatvasinājums būs funkcija y = x 2 + sin x (un vispār jebkura formas funkcija Y = x 1 + sinx + C) .
Mēs zinām, ka pastāvīgo faktoru var izņemt no atvasinājuma zīmes. Šis noteikums ģenerē atbilstošo noteikumu antiatvasinājumu atrašanai.

2. noteikums. Pastāvīgo faktoru var izņemt no antiatvasinājuma zīmes.

3. piemērs.

Risinājums. a) grēka x antiatvasinājums ir -soz x; Tas nozīmē, ka funkcijai y = 5 sin x antiatvasinātā funkcija būs funkcija y = -5 cos x.

b) cos x antiatvasinājums ir sin x; Tas nozīmē, ka funkcijas antiatvasinājums ir funkcija
c) x 3 antiatvasinājums ir x antiatvasinājums, funkcijas y = 1 antiatvasinājums ir funkcija y = x. Izmantojot pirmo un otro noteikumu antiatvasinājumu atrašanai, mēs atklājam, ka funkcijas y = 12x 3 + 8x-1 antiatvasinājums ir funkcija
komentēt. Kā zināms, produkta atvasinājums nav vienāds ar atvasinājumu reizinājumu (produkta diferencēšanas noteikums ir sarežģītāks), un koeficienta atvasinājums nav vienāds ar atvasinājumu koeficientu. Tāpēc nav noteikumu, kā atrast produkta antiatvasinājumu vai divu funkciju koeficienta antiatvasinājumu. Esi uzmanīgs!
Iegūsim vēl vienu noteikumu antiderivatīvu atrašanai. Mēs zinām, ka funkcijas y = f(kx+m) atvasinājumu aprēķina pēc formulas

Šis noteikums ģenerē atbilstošo noteikumu antiatvasinājumu atrašanai.
3. noteikums. Ja y = F(x) ir funkcijas y = f(x) antiatvasinājums, tad funkcijas y=f(kx+m) antiatvasinājums ir funkcija

Patiešām,

Tas nozīmē, ka tas ir funkcijas y = f(kx+m) antiatvasinājums.
Trešā noteikuma nozīme ir šāda. Ja zināt, ka funkcijas y = f(x) antiatvasinājums ir funkcija y = F(x), un jums jāatrod funkcijas y = f(kx+m) antiatvasinājums, rīkojieties šādi: tā pati funkcija F, bet argumenta x vietā aizvieto izteiksmi kx+m; turklāt neaizmirstiet pirms funkcijas zīmes uzrakstīt “korekcijas koeficients”.
4. piemērs. Atrodiet norādīto funkciju antiatvasinājumus:

Risinājums, a) Sin x antiatvasinājums ir -soz x; Tas nozīmē, ka funkcijai y = sin2x antiatvasinājums būs funkcija
b) cos x antiatvasinājums ir sin x; Tas nozīmē, ka funkcijas antiatvasinājums ir funkcija

c) x 7 antiatvasinājums nozīmē, ka funkcijai y = (4-5x) 7 antiatvasinājums būs funkcija

3. Nenoteikts integrālis

Mēs jau iepriekš atzīmējām, ka problēmai atrast antiatvasinājumu noteiktai funkcijai y = f(x) ir vairāk nekā viens risinājums. Apspriedīsim šo jautājumu sīkāk.

Pierādījums. 1. Lai y = F(x) ir antiatvasinājums funkcijai y = f(x) intervālā X. Tas nozīmē, ka visiem x no X ir spēkā vienādība x"(x) = f(x). atrast jebkuras formas y = F(x)+C funkcijas atvasinājumu:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Tātad (F(x)+C) = f(x). Tas nozīmē, ka y = F(x) + C ir funkcijas y = f(x) antiatvasinājums.
Tādējādi esam pierādījuši, ka, ja funkcijai y = f(x) ir antiatvasinājums y=F(x), tad funkcijai (f = f(x) ir bezgalīgi daudz antiatvasinājumu, piemēram, jebkura funkcija formā y = F(x) +C ir antiatvasinājums.
2. Tagad pierādīsim, ka norādītais funkciju veids izsmeļ visu antiatvasinājumu kopumu.

Lai y=F 1 (x) un y=F(x) ir divi antiatvasinājumi funkcijai Y = f(x) intervālā X. Tas nozīmē, ka uz visiem x no intervāla X ir spēkā šādas attiecības: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

Apskatīsim funkciju y = F 1 (x) -.F(x) un atradīsim tās atvasinājumu: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - f(x) = 0.
Ir zināms, ka, ja funkcijas atvasinājums intervālā X ir identiski vienāds ar nulli, tad funkcija ir nemainīga intervālā X (sk. 3. teorēmu no 35. §). Tas nozīmē, ka F 1 (x) - F (x) = C, t.i. Fx) = F(x)+C.

Teorēma ir pierādīta.

5. piemērs.Ātruma maiņas likums ar laiku dots: v = -5sin2t. Atrodiet kustības likumu s = s(t), ja ir zināms, ka brīdī t=0 punkta koordināte bija vienāda ar skaitli 1,5 (t.i., s(t) = 1,5).

Risinājums. Tā kā ātrums ir koordinātas atvasinājums kā laika funkcija, vispirms jāatrod ātruma antiatvasinājums, t.i. antiatvasinājums funkcijai v = -5sin2t. Viens no šādiem antiatvasinājumiem ir funkcija , un visu antiatvasinājumu kopumam ir šāda forma:

Lai atrastu konstantes C konkrēto vērtību, izmantojam sākuma nosacījumus, saskaņā ar kuriem s(0) = 1,5. Formulā (1) aizstājot vērtības t=0, S = 1,5, iegūstam:

Aizvietojot atrasto C vērtību formulā (1), mēs iegūstam mūs interesējošo kustības likumu:

2. definīcija. Ja funkcijai y = f(x) ir antiatvasinājums y = F(x) intervālā X, tad visu antiatvasinājumu kopa, t.i. formu y = F(x) + C funkciju kopu sauc par funkcijas y = f(x) nenoteikto integrāli un apzīmē ar:

(lasīt: " nenoteikts integrālis ef no x de x").
Nākamajā rindkopā mēs uzzināsim, kāda ir šī apzīmējuma slēptā nozīme.
Pamatojoties uz šajā sadaļā pieejamo antiatvasinājumu tabulu, mēs sastādīsim galveno nenoteikto integrāļu tabulu:

Pamatojoties uz iepriekšminētajiem trim antiatvasinājumu atrašanas noteikumiem, mēs varam formulēt atbilstošos integrācijas noteikumus.

1. noteikums. Funkciju summas integrālis vienāds ar summušo funkciju integrāļi:

2. noteikums. Pastāvīgo koeficientu var izņemt no integrālzīmes:

3. noteikums. Ja

6. piemērs. Atrodiet nenoteiktus integrāļus:

Risinājums, a) Izmantojot pirmo un otro integrācijas likumu, mēs iegūstam:

Tagad izmantosim 3. un 4. integrācijas formulu:

Rezultātā mēs iegūstam:

b) Izmantojot trešo integrācijas noteikumu un formulu 8, mēs iegūstam:

c) Lai tieši atrastu doto integrāli, mums nav ne atbilstošās formulas, ne atbilstošā noteikuma. Šādos gadījumos dažreiz palīdz iepriekš veiktas identiskas transformācijas izteiksmei, kas ietverta zem integrāļa zīmes.

Izmantosim priekšrocības trigonometriskā formula Pakāpju samazināšana:

Tad secīgi atrodam:

A.G. Mordkoviča algebra 10. klase

Kalendāra tematiskā plānošana matemātikā, video matemātikā tiešsaistē, Matemātika skolā

Dokuments

Kāds intervāls X. Ja Priekš jebkurš xХ F"(x) = f(x), tad funkciju F saucaantiderivatīvsPriekšfunkcijas f intervālā X. AntiatvasinājumsPriekšfunkcijas var mēģināt atrast...

Antiatvasinājums funkcijai

Dokuments

... . Funkcija F(x) saucaantiderivatīvsPriekšfunkcijas f(x) uz intervāla (a;b), ja Priekš visi x(a;b) spēkā ir vienādība F(x) = f(x). Piemēram, Priekšfunkcijas x2 antiderivatīvs gribu funkciju x3...

Integrālā aprēķina pamati

Apmācība

... ; 5. Atrodiet integrāli. ; B) ; C) ; D) ; 6. Funkcijasaucaantiderivatīvs Uz funkcijas komplektā, ja: Priekš visi; kādā brīdī; Priekš visi; kādā... intervālā. 1. definīcija. FunkcijasaucaantiderivatīvsPriekšfunkcijas uz daudziem...

Antiderivatīvs Nenoteikts integrālis

Dokuments

Integrācija. Antiatvasinājums. Nepārtraukta funkciju F(x) saucaantiderivatīvsPriekšfunkcijas f (x) intervālā X ja Priekš katrs F’ (x) = f (x). PIEMĒRS Funkcija F(x) = x 3 ir antiderivatīvsPriekšfunkcijas f(x) = 3x...

PSRS SPECIĀLĀ IZGLĪTĪBA Augstākās izglītības Izglītības un metodiskās direkcijas apstiprinātā AUGSTĀKĀS MATEMĀTIKAS METODISKIE NORĀDĪJUMI UN KONTROLES UZDEVUMI (AR PROGRAMMU) inženiertehnisko un tehnisko specialitāšu nepilna laika studentiem.

Vadlīnijas

Jautājumi Priekš pašpārbaude Definējiet antiderivatīvsfunkcijas. Norādiet ģeometriskā nozīme kopums primitīvsfunkcijas. Kas sauca neskaidrs...

Nenoteikts integrālis

Diferenciālrēķina galvenais uzdevums bija aprēķināt noteiktas funkcijas atvasinājumu jeb diferenciāli. Integrālais aprēķins, kura izpēti mēs turpinām, atrisina apgriezto problēmu, proti, pašas funkcijas atrašanu no tās atvasinājuma jeb diferenciāļa. Tas ir, kam dF(x)= f(x)d (7.1) vai F′(x)= f(x),

Kur f(x)- zināma funkcija, jāatrod funkcija F(x).

Definīcija:Tiek izsaukta funkcija F(x). antiderivatīvs funkcija f(x) segmentā, ja vienādība ir spēkā visos šī segmenta punktos: F′(x) = f(x) vai dF(x)= f(x)d.

Piemēram, viena no funkcijas antiderivatīvām funkcijām f(x)=3x2 gribu F(x)= x 3, jo ( x 3)′=3x2. Bet funkcijas prototips f(x)=3x2 būs arī funkcijas un , kopš .

Tātad šī funkcija f(x)=3x2 ir bezgalīgs skaits primitīvu, no kuriem katrs atšķiras tikai ar konstantu terminu. Parādīsim, ka šis rezultāts ir spēkā arī vispārīgā gadījumā.

Teorēma Divi dažādi vienas un tās pašas funkcijas antiatvasinājumi, kas definēti noteiktā intervālā, šajā intervālā atšķiras viens no otra ar nemainīgu terminu.

Pierādījums

Ļaujiet funkcijai f(x) noteikts intervālā (a¸b) Un F 1 (x) Un F 2 (x) - antiatvasinājumi, t.i. F1′(x)= f(x) un F 2′(x)= f(x).

Tad F1′(x)=F2′(x)Þ F1′(x) – F2′(x) = (F1′(x) – F2(x))′= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) = C

No šejienes, F 2 (x) = F 1 (x) + C

Kur AR - konstante (šeit tiek izmantota Lagranža teorēmas sekas).

Tādējādi teorēma ir pierādīta.

Ģeometriskā ilustrācija. Ja plkst = F 1 (x) Un plkst = F 2 (x) – tādas pašas funkcijas antiatvasinājumi f(x), tad to diagrammu tangenss punktos ar kopīgu abscisu X paralēli viens otram (7.1. att.).

Šajā gadījumā attālums starp šīm līknēm pa asi OU paliek nemainīgs F 2 (x) - F 1 (x) = C , tas ir, šīs līknes iekšā kaut kāda izpratne"paralēli" viens otram.

Sekas .

Pievienojot kādam antiatvasinājumam F(x) šai funkcijai f(x), kas noteikts intervālā X, visas iespējamās konstantes AR, mēs iegūstam visus iespējamos funkcijas antiatvasinājumus f(x).

Tātad izteiksme F(x)+C , kur un F(x) – kāds funkcijas antiatvasinājums f(x) ietver visus iespējamos antiatvasinājumus par f(x).

1. piemērs. Pārbaudiet, vai funkcijas ir funkcijas antiatvasinājumi

Risinājums:

Atbilde: antiatvasinājumi funkcijai būs funkcijas Un

Definīcija: Ja funkcija F(x) ir kāds funkcijas f(x) antiatvasinājums, tad visu antiatvasinājumu kopu F(x)+ C sauc. nenoteikts integrālis f(x) un apzīmē:

∫f(х)dх.

A-prioritāte:

f(x) — integrand funkcija,

f(х)dх - integrand izteiksme

No tā izriet, ka nenoteiktais integrālis ir vispārējas formas funkcija, kuras diferenciālis ir vienāds ar integrandu un kura atvasinājums attiecībā pret mainīgo X ir vienāds ar integrandu visos punktos.

No ģeometriskā viedokļa nenoteikts integrālis ir līkņu saime, no kurām katra tiek iegūta, nobīdot vienu no līknēm paralēli sev uz augšu vai uz leju, tas ir, pa asi OU(7.2. att.).

Tiek izsaukta noteiktas funkcijas nenoteiktā integrāļa aprēķināšanas operācija integrācija šī funkcija.

Ņemiet vērā, ka, ja atvasinājums no elementāra funkcija vienmēr ir elementāra funkcija, tad elementārās funkcijas antiatvasinājumu var neatveidot ar ierobežotu elementāru funkciju skaitu.

Tagad apsvērsim nenoteiktā integrāļa īpašības.

No 2. definīcijas izriet:

1. Nenoteiktā integrāļa atvasinājums ir vienāds ar integrandu, tas ir, ja F′(x) = f(x) , Tas

2. Nenoteiktā integrāļa diferenciālis ir vienāds ar integrādu

. (7.4)

No diferenciāļa un īpašības definīcijas (7.3.)

3. Kādas funkcijas diferenciāļa nenoteiktais integrālis ir vienāds ar šo funkciju līdz konstantam termiņam, tas ir (7.5)

Apskatīsim punkta kustību pa taisnu līniju. Lai tas aizņem laiku t no kustības sākuma punkts ir nobraucis attālumu s(t). Tad momentānais ātrums v(t) vienāds ar funkcijas atvasinājumu s(t), tas ir v(t) = s"(t).

Praksē tas notiek apgrieztā problēma: ar noteiktu punktu kustības ātrumu v(t) atrast ceļu, kuru viņa izvēlējās s(t), tas ir, atrast šādu funkciju s(t), kura atvasinājums ir vienāds ar v(t). Funkcija s(t), tāds, ka s"(t) = v(t), sauc par funkcijas antiatvasinājumu v(t).

Piemēram, ja v(t) = аt, Kur A ir dots skaitlis, tad funkcija
s(t) = (аt 2) / 2v(t), jo
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).

Funkcija F(x) sauc par funkcijas antiatvasinājumu f(x) kādā intervālā, ja par visiem X no šīs plaisas F"(x) = f(x).

Piemēram, funkcija F(x) = sin x ir funkcijas antiatvasinājums f(x) = cos x, jo (sin x)" = cos x; funkciju F(x) = x 4 /4 ir funkcijas antiatvasinājums f(x) = x 3, jo (x 4/4)" = x 3.

Apskatīsim problēmu.

Uzdevums.

Pierādīt, ka funkcijas x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 ir vienas un tās pašas funkcijas f(x) = x 2 antiatvasinājumi.

Risinājums.

1) Apzīmēsim F 1 (x) = x 3 /3, tad F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 / 3) = x 2 = f(x).

2) F 2 (x) = x 3/3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 / 3 + 1)" = (x 3 / 3)" + (1)" = x 2 = f( x).

3) F 3 (x) = x 3/3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 - 4)" = x 2 = f (x).

Kopumā jebkura funkcija x 3 /3 + C, kur C ir konstante, ir funkcijas x 2 antiatvasinājums. Tas izriet no fakta, ka konstantes atvasinājums ir nulle. Šis piemērs parāda, ka konkrētai funkcijai tās antiatvasinājums ir noteikts neviennozīmīgi.

Pieņemsim, ka F 1 (x) un F 2 (x) ir divi vienas funkcijas f(x) antiatvasinājumi.

Tad F 1 "(x) = f(x) un F" 2 (x) = f(x).

To starpības atvasinājums g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) ir vienāds ar nulli, jo g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) ) – f (x) = 0.

Ja g"(x) = 0 noteiktā intervālā, tad funkcijas y = g(x) grafika pieskare katrā šī intervāla punktā ir paralēla Ox asij. Tāpēc funkcijas y = grafiks g(x) ir taisne, kas ir paralēla Ox asij, t.i., g(x) = C, kur C ir kāda konstante. No vienādībām g(x) = C, g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) no tā izriet, ka F 1 (x) = F 2 (x) + S.

Tātad, ja funkcija F(x) ir funkcijas f(x) antiatvasinājums noteiktā intervālā, tad visus funkcijas f(x) antiatvasinājumus raksta formā F(x) + C, kur C ir patvaļīga konstante.

Apskatīsim visu dotās funkcijas f(x) antiatvasinājumu grafikus. Ja F(x) ir viens no funkcijas f(x) antiatvasinājumiem, tad jebkuru šīs funkcijas antiatvasinājumu iegūst, saskaitot F(x) kādu konstanti: F(x) + C. Funkciju grafiki y = F( x) + C tiek iegūti no grafika y = F(x) ar nobīdi pa Oy asi. Izvēloties C, jūs varat nodrošināt, ka antiatvasinājuma grafiks iet caur noteiktu punktu.

Pievērsīsim uzmanību antiderivatīvu atrašanas noteikumiem.

Atgādinām, ka tiek izsaukta darbība, lai atrastu noteiktas funkcijas atvasinājumu diferenciācija. Tiek izsaukta apgrieztā darbība, lai atrastu noteiktas funkcijas antiatvasinājumu integrācija(no latīņu vārda "atjaunot").

Antiatvasinājumu tabula dažām funkcijām to var apkopot, izmantojot atvasinājumu tabulu. Piemēram, zinot to (cos x)" = -sin x, mēs saņemam (-cos x)" = sin x, no kā izriet, ka visas antiderivatīvās funkcijas grēks x ir rakstīti formā -cos x + C, Kur AR- nemainīgs.

Apskatīsim dažas antiderivatīvu nozīmes.

1) Funkcija: x p, p ≠ -1. Antiatvasinājums: (x p+1) / (p+1) + C.

2) Funkcija: 1/x, x > 0. Antiatvasinājums: ln x + C.

3) Funkcija: x p, p ≠ -1. Antiatvasinājums: (x p+1) / (p+1) + C.

4) Funkcija: e x. Antiatvasinājums: e x + C.

5) Funkcija: grēks x. Antiatvasinājums: -cos x + C.

6) Funkcija: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0. Antiatvasinājums: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) Funkcija: 1/(kx + b), k ≠ 0. Antiatvasinājums: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) Funkcija: e kx + b, k ≠ 0. Antiatvasinājums: (1/k) e kx + b + C.

9) Funkcija: sin (kx + b), k ≠ 0. Antiatvasinājums: (-1/k) cos (kx + b).

10) Funkcija: cos (kx + b), k ≠ 0. Antiatvasinājums: (1/k) sin (kx + b).

Integrācijas noteikumi var iegūt, izmantojot diferenciācijas noteikumi. Apskatīsim dažus noteikumus.

Ļaujiet F(x) Un G(x)– attiecīgi funkciju antiatvasinājumi f(x) Un g(x) ar kādu intervālu. Pēc tam:

1) funkciju F(x) ± G(x) ir funkcijas antiatvasinājums f(x) ± g(x);

2) funkciju аF(x) ir funkcijas antiatvasinājums af(x).

tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.