Formula parametriskā veidā norādītas funkcijas atvasinājumam. Šīs formulas piemērošanas pierādījumi un piemēri. Pirmās, otrās un trešās kārtas atvasinājumu aprēķināšanas piemēri.

Ļaujiet funkciju norādīt parametriskā veidā:
(1)
kur ir kāds mainīgais, ko sauc par parametru. Un ļaujiet funkcijām būt atvasinājumiem ar noteiktu mainīgā lielumu. Turklāt funkcijai ir arī apgrieztā funkcija noteiktā punkta apkārtnē. Tad funkcijai (1) punktā ir atvasinājums, ko parametriskā formā nosaka ar formulām:
(2)

Šeit un ir funkciju atvasinājumi un attiecībā pret mainīgo (parametru). Tos bieži raksta šādi:
;
.

Tad sistēmu (2) var uzrakstīt šādi:

Pierādījums

Pēc nosacījuma funkcijai ir apgriezta funkcija. Apzīmēsim to kā
.
Tad sākotnējo funkciju var attēlot kā sarežģītu funkciju:
.
Atradīsim tā atvasinājumu, izmantojot sarežģītu un apgriezto funkciju diferencēšanas noteikumus:
.

Noteikums ir pierādīts.

Pierādījums otrajā veidā

Atradīsim atvasinājumu otrajā veidā, pamatojoties uz funkcijas atvasinājuma definīciju punktā:
.
Iepazīstinām ar apzīmējumu:
.
Tad iepriekšējā formula iegūst šādu formu:
.

Izmantosim to, ka funkcijai ir apgrieztā funkcija punkta tuvumā.
Ieviesīsim šādu apzīmējumu:
; ;
; .
Daļas skaitītāju un saucēju sadaliet ar:
.
Pie , . Tad
.

Noteikums ir pierādīts.

Augstākas kārtas atvasinājumi

Lai atrastu augstākas kārtas atvasinājumus, vairākas reizes jāveic diferenciācija. Pieņemsim, ka mums jāatrod parametriski definētas funkcijas otrās kārtas atvasinājums šādā formā:
(1)

Izmantojot formulu (2), atrodam pirmo atvasinājumu, kas arī tiek noteikts parametriski:
(2)

Apzīmēsim pirmo atvasinājumu ar mainīgo:
.
Pēc tam, lai atrastu funkcijas otro atvasinājumu attiecībā pret mainīgo, jāatrod pirmais funkcijas atvasinājums attiecībā pret mainīgo. Mainīgā atkarība no mainīgā tiek norādīta arī parametriskā veidā:
(3)
Salīdzinot (3) ar formulām (1) un (2), mēs atrodam:

Tagad izteiksim rezultātu, izmantojot funkcijas un . Lai to izdarītu, aizstāsim un pielietosim atvasinātās daļas formulu:
.
Tad
.

No šejienes mēs iegūstam funkcijas otro atvasinājumu attiecībā pret mainīgo:

Tas ir norādīts arī parametriskā formā. Ņemiet vērā, ka pirmo rindiņu var rakstīt arī šādi:
.

Turpinot procesu, jūs varat iegūt funkciju atvasinājumus no trešās un augstākās kārtas mainīgā.

Ņemiet vērā, ka mums nav jāievieš atvasinājuma apzīmējums. Jūs varat to uzrakstīt šādi:
;
.

1. piemērs

Atrodiet parametriski definētas funkcijas atvasinājumu:

Risinājums

Mēs atrodam atvasinājumus attiecībā uz .
No atvasinājumu tabulas mēs atrodam:
;
.
Mēs piesakāmies:

.
Šeit .

.
Šeit .

Nepieciešamais atvasinājums:
.

Atbilde

2. piemērs

Atrodiet ar parametra palīdzību izteiktās funkcijas atvasinājumu:

Risinājums

Izvērsīsim iekavas, izmantojot jaudas funkciju un sakņu formulas:
.

Atvasinājuma atrašana:

.

Atvasinājuma atrašana. Lai to izdarītu, mēs ieviešam mainīgo un piemērojam kompleksas funkcijas atvasinājuma formulu.

.

Mēs atrodam vēlamo atvasinājumu:
.

Atbilde

3. piemērs

Atrodiet 1. piemērā parametriski definētās funkcijas otrās un trešās kārtas atvasinājumus:

Risinājums

1. piemērā mēs atradām pirmās kārtas atvasinājumu:

Iepazīstinām ar apzīmējumu. Tad funkcija ir atvasināta attiecībā pret . Tas ir norādīts parametriski:

Lai atrastu otro atvasinājumu attiecībā uz , mums jāatrod pirmais atvasinājums attiecībā uz .

Atšķirsim pēc .
.
Mēs atradām atvasinājumu no 1. piemērā:
.
Otrās kārtas atvasinājums attiecībā uz ir vienāds ar pirmās kārtas atvasinājumu attiecībā uz:
.

Tātad, mēs atradām otrās kārtas atvasinājumu attiecībā uz parametrisko formu:

Tagad mēs atrodam trešās kārtas atvasinājumu. Iepazīstinām ar apzīmējumu. Tad mums jāatrod funkcijas pirmās kārtas atvasinājums, kas norādīts parametriskā veidā:

Atrodiet atvasinājumu attiecībā uz . Lai to izdarītu, mēs to pārrakstām līdzvērtīgā formā:
.
No

.

Trešās kārtas atvasinājums attiecībā uz ir vienāds ar pirmās kārtas atvasinājumu attiecībā uz:
.

komentēt

Jums nav jāievada mainīgie un , kas ir attiecīgi un atvasinājumi. Tad jūs varat to uzrakstīt šādi:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Atbilde

Parametriskā attēlojumā otrās kārtas atvasinājumam ir šāda forma:

Trešās kārtas atvasinājums:

Netieši norādītas funkcijas atvasinājums.
Atvasināts parametriski dotā funkcija

Šajā rakstā mēs apskatīsim vēl divus tipiskus uzdevumus, kas bieži sastopami testiem Autors augstākā matemātika. Lai sekmīgi apgūtu materiālu, ir jāspēj atrast atvasinājumi vismaz vidējā līmenī. Jūs varat iemācīties atrast atvasinājumus praktiski no nulles divās pamatmācībās un Sarežģītas funkcijas atvasinājums. Ja jūsu diferencēšanas prasmes ir labas, tad ejam.

Netieši norādītas funkcijas atvasinājums

Vai, īsi sakot, netiešas funkcijas atvasinājums. Kas ir implicītā funkcija? Vispirms atcerēsimies viena mainīgā funkcijas definīciju:

Viena mainīga funkcija ir noteikums, saskaņā ar kuru katra neatkarīgā mainīgā vērtība atbilst vienai un tikai vienai funkcijas vērtībai.

Mainīgais tiek saukts neatkarīgais mainīgais vai arguments.
Mainīgais tiek saukts atkarīgais mainīgais vai funkciju .

Līdz šim mēs esam apskatījuši funkcijas, kas definētas nepārprotami formā. Ko tas nozīmē? Veiksim pārrunu, izmantojot konkrētus piemērus.

Apsveriet funkciju

Mēs redzam, ka kreisajā pusē mums ir vientuļš “spēlētājs”, bet labajā pusē - tikai "X". Tas ir, funkcija nepārprotami izteikts ar neatkarīgo mainīgo.

Apskatīsim vēl vienu funkciju:

Šeit tiek sajaukti mainīgie. Turklāt neiespējami nekādā veidā izteikt “Y” tikai ar “X”. Kādas ir šīs metodes? Terminu pārnešana no daļas uz daļu ar zīmes maiņu, pārvietošana no iekavām, koeficientu izmešana saskaņā ar proporcijas likumu utt. Pārrakstiet vienādību un mēģiniet skaidri izteikt “y”: . Jūs varat griezt un grozīt vienādojumu stundām ilgi, bet jums tas neizdosies.

Ļaujiet man jūs iepazīstināt: – piemērs netiešā funkcija.

Matemātiskās analīzes gaitā tika pierādīts, ka implicītā funkcija pastāv(tomēr ne vienmēr) tai ir grafiks (tāpat kā “parastai” funkcijai). Netiešā funkcija ir tieši tāda pati pastāv pirmais atvasinājums, otrais atvasinājums utt. Kā saka, tiek ievērotas visas seksuālo minoritāšu tiesības.

Un šajā nodarbībā mēs uzzināsim, kā atrast netieši norādītas funkcijas atvasinājumu. Tas nav tik grūti! Visi diferenciācijas noteikumi un elementāro funkciju atvasinājumu tabula paliek spēkā. Atšķirība ir vienā savdabīgā mirklī, kuru apskatīsim tieši tagad.

Jā, un es jums pateikšu labās ziņas - tālāk aplūkotie uzdevumi tiek veikti pēc diezgan stingra un skaidra algoritma bez akmens trīs celiņu priekšā.

1. piemērs

1) Pirmajā posmā mēs pievienojam sitienus abām daļām:

2) Mēs izmantojam atvasinājuma linearitātes noteikumus (pirmie divi stundas noteikumi Kā atrast atvasinājumu? Risinājumu piemēri):

3) Tiešā diferenciācija.
Kā atšķirt, ir pilnīgi skaidrs. Ko darīt, ja zem sitieniem ir “spēles”?

- līdz apkaunojumam, funkcijas atvasinājums ir vienāds ar tās atvasinājumu: .

Kā atšķirt
Šeit mums ir sarežģīta funkcija. Kāpēc? Šķiet, ka zem sinusa ir tikai viens burts “Y”. Bet fakts ir tāds, ka ir tikai viens burts “y” - PATS IR FUNKCIJA(skat. definīciju nodarbības sākumā). Tādējādi sinusa ir ārējā funkcija, – iekšējā funkcija. Mēs izmantojam diferenciācijas likumu sarežģīta funkcija :

Mēs atšķiram produktu saskaņā ar parasto noteikumu :

Lūdzu, ņemiet vērā, ka tā ir arī sarežģīta funkcija, jebkura “spēle ar zvaniņiem un svilpieniem” ir sarežģīta funkcija:

Pašam risinājumam vajadzētu izskatīties apmēram šādi:


Ja ir iekavas, izvērsiet tās:

4) Kreisajā pusē mēs apkopojam terminus, kas satur “Y” ar pirmskaitli. IN labā puse- pārsūtīt visu pārējo:

5) Kreisajā pusē mēs izņemam atvasinājumu no iekavām:

6) Un saskaņā ar proporcijas likumu mēs nolaižam šīs iekavas labās puses saucējā:

Atvasinājums ir atrasts. Gatavs.

Interesanti atzīmēt, ka jebkuru funkciju var netieši pārrakstīt. Piemēram, funkcija var pārrakstīt šādi: . Un nošķiriet to, izmantojot tikko apspriesto algoritmu. Faktiski frāzes “netiešā funkcija” un “netiešā funkcija” atšķiras ar vienu semantisku niansi. Frāze “netieši norādīta funkcija” ir vispārīgāka un pareizāka, – šī funkcija ir norādīta netieši, bet šeit jūs varat izteikt "spēli" un parādīt funkciju tieši. Frāze “netiešā funkcija” attiecas uz “klasisko” netiešo funkciju, kad “y” nevar izteikt.

Otrais risinājums

Uzmanību! Jūs varat iepazīties ar otro metodi tikai tad, ja zināt, kā pārliecinoši atrast daļēji atvasinājumi. Calculus iesācēji un manekeni, lūdzu nelasi un izlaid šo punktu, pretējā gadījumā galva būs pilnīgs bardaks.

Atradīsim implicītās funkcijas atvasinājumu, izmantojot otro metodi.

Mēs nododam visus noteikumus uz kreisā puse:

Un apsveriet divu mainīgo funkciju:

Tad mūsu atvasinājumu var atrast, izmantojot formulu
Atradīsim daļējos atvasinājumus:

Tādējādi:

Otrais risinājums ļauj veikt pārbaudi. Bet viņiem nav ieteicams izrakstīt darba gala versiju, jo parciālie atvasinājumi tiek apgūti vēlāk, un studentam, kurš studē tēmu “Viena mainīgā funkcijas atvasinājums”, parciālie atvasinājumi vēl nav jāzina.

Apskatīsim vēl dažus piemērus.

2. piemērs

Atrodiet netieši norādītas funkcijas atvasinājumu

Pievienojiet sitienus abām daļām:

Mēs izmantojam linearitātes noteikumus:

Atvasinājumu atrašana:

Visu kronšteinu atvēršana:

Mēs pārvietojam visus terminus ar uz kreiso pusi, pārējos uz labo pusi:

Galīgā atbilde:

3. piemērs

Atrodiet netieši norādītas funkcijas atvasinājumu

Pilnīgs risinājums un noformējuma paraugs nodarbības beigās.

Nereti pēc diferenciācijas rodas frakcijas. Šādos gadījumos jums ir jāatbrīvojas no frakcijām. Apskatīsim vēl divus piemērus.

4. piemērs

Atrodiet netieši norādītas funkcijas atvasinājumu

Mēs ievietojam abas daļas zem sitieniem un izmantojam linearitātes likumu:

Atšķiriet, izmantojot sarežģītu funkciju diferencēšanas noteikumu un koeficientu diferenciācijas likums :

Iekavu paplašināšana:

Tagad mums ir jāatbrīvojas no frakcijas. To var izdarīt vēlāk, bet racionālāk ir to darīt uzreiz. Daļas saucējs satur . Pavairot uz . Sīkāk tas izskatīsies šādi:

Dažreiz pēc diferenciācijas parādās 2-3 frakcijas. Ja mums būtu, piemēram, vēl viena daļskaitļa, tad operācija būtu jāatkārto – jāreizina katrs katras daļas termins ieslēgts

Kreisajā pusē mēs to ievietojam no iekavām:

Galīgā atbilde:

5. piemērs

Atrodiet netieši norādītas funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Vienīgais ir tas, ka, pirms atbrīvojaties no frakcijas, vispirms būs jāatbrīvojas no pašas frakcijas trīsstāvu struktūras. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Parametriski definētas funkcijas atvasinājums

Neuzsvērsim, viss šajā punktā ir arī diezgan vienkāršs. Jūs varat pierakstīt parametriski definētas funkcijas vispārīgo formulu, bet, lai tas būtu skaidrs, es tūlīt uzrakstīšu konkrēts piemērs. Parametriskā formā funkcija tiek dota ar diviem vienādojumiem: . Bieži vien vienādojumi tiek rakstīti nevis zem krokainajām iekavām, bet gan secīgi: , .

Mainīgo sauc par parametru un var ņemt vērtības no “mīnus bezgalības” līdz “plus bezgalībai”. Apsveriet, piemēram, vērtību un aizstājiet to abos vienādojumos: . Vai arī cilvēciski: "ja x ir vienāds ar četriem, tad y ir vienāds ar vienu." Jūs varat atzīmēt punktu koordinātu plaknē, un šis punkts atbildīs parametra vērtībai. Tāpat jūs varat atrast punktu jebkurai parametra “te” vērtībai. Tāpat kā ar “parasto” funkciju, par Amerikas indiāņi parametriski definētas funkcijas gadījumā tiek ievērotas arī visas tiesības: var veidot grafiku, atrast atvasinājumus utt. Starp citu, ja jums ir nepieciešams uzzīmēt parametriski definētas funkcijas grafiku, varat izmantot manu programmu.

Vienkāršākajos gadījumos funkciju var attēlot skaidri. Izteiksim parametru no pirmā vienādojuma: - un aizstājiet to ar otro vienādojumu: . Rezultāts ir parasta kubiskā funkcija.

“Smagākos” gadījumos šis triks nedarbojas. Bet tas nav svarīgi, jo ir formula parametru funkcijas atvasinājuma atrašanai:

Mēs atrodam atvasinājumu no “spēles attiecībā pret mainīgo te”:

Visi diferenciācijas noteikumi un atvasinājumu tabula, protams, ir spēkā burtam , tādējādi, atvasinājumu atrašanas procesā nav nekādu jaunumu. Vienkārši nomainiet visus tabulā esošos “X” ar burtu “Te”.

Mēs atrodam “x” atvasinājumu attiecībā pret mainīgo te:

Tagad atliek tikai aizstāt atrastos atvasinājumus mūsu formulā:

Gatavs. Atvasinājums, tāpat kā pati funkcija, arī ir atkarīgs no parametra.

Kas attiecas uz apzīmējumu, tā vietā, lai to ierakstītu formulā, to varētu vienkārši uzrakstīt bez apakšindeksa, jo tas ir “parasts” atvasinājums “attiecībā uz X”. Bet literatūrā vienmēr ir iespēja, tāpēc es neatkāpšos no standarta.

6. piemērs

Mēs izmantojam formulu

Šajā gadījumā:

Tādējādi:

Īpaša parametru funkcijas atvasinājuma atrašanas iezīme ir fakts, ka katrā solī ir izdevīgi pēc iespējas vienkāršot rezultātu. Tātad aplūkotajā piemērā, kad es to atradu, es atvēru iekavas zem saknes (lai gan, iespējams, es to nedarīju). Pastāv liela iespēja, ka, aizstājot formulu, daudzas lietas tiks labi samazinātas. Lai gan, protams, ir piemēri ar neveiklām atbildēm.

7. piemērs

Atrodiet parametriski norādītas funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi.

Rakstā Vienkāršākās tipiskās problēmas ar atvasinājumiem mēs apskatījām piemērus, kuros mums vajadzēja atrast funkcijas otro atvasinājumu. Parametriski definētai funkcijai var atrast arī otro atvasinājumu, un tas tiek atrasts, izmantojot šādu formulu: . Ir pilnīgi skaidrs, ka, lai atrastu otro atvasinājumu, vispirms ir jāatrod pirmais atvasinājums.

8. piemērs

Atrodiet parametriski dotas funkcijas pirmo un otro atvasinājumu

Vispirms atradīsim pirmo atvasinājumu.
Mēs izmantojam formulu

Šajā gadījumā:

Atrastos atvasinājumus aizstājam formulā. Vienkāršošanas nolūkos mēs izmantojam trigonometrisko formulu:

Apsveriet iespēju definēt līniju plaknē, kurā mainīgie x, y ir trešā mainīgā t funkcijas (ko sauc par parametru):

Katrai vērtībai t no noteikta intervāla atbilst noteiktas vērtības x Un y, a, tāpēc noteikts plaknes punkts M (x, y). Kad t iet cauri visām vērtībām no noteiktā intervāla, tad punktu M (x, y) apraksta kādu rindiņu L. Vienādojumus (2.2) sauc par parametriskiem līniju vienādojumiem L.

Ja funkcijai x = φ(t) ir apgrieztā vērtība t = Ф(x), tad, aizstājot šo izteiksmi vienādojumā y = g(t), iegūstam y = g(Ф(x)), kas norāda y kā funkcija no x. Šajā gadījumā mēs sakām, ka vienādojumi (2.2) nosaka funkciju y parametriski.

1. piemērs.Ļaujiet M(x,y)– patvaļīgs punkts uz rādiusa apļa R un centrēts uz izcelsmi. Ļaujiet t- leņķis starp asi Vērsis un rādiuss OM(skat. 2.3. att.). Tad x, y tiek izteikti caur t:

Vienādojumi (2.3) ir apļa parametriski vienādojumi. Izslēgsim parametru t no vienādojumiem (2.3). Lai to izdarītu, katru vienādojumu izliek kvadrātā un saskaita, iegūstam: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) vai x 2 + y 2 = R 2 – apļa vienādojums Dekarta zīmē. koordinātu sistēma. Tas definē divas funkcijas: Katra no šīm funkcijām ir norādīta ar parametru vienādojumiem (2.3), bet pirmajai funkcijai un otrajai funkcijai.

2. piemērs. Parametriskie vienādojumi

definēt elipsi ar pusasīm a, b(2.4. att.). Parametra izslēgšana no vienādojumiem t, iegūstam elipses kanonisko vienādojumu:

3. piemērs. Cikloīds ir taisne, ko apraksta uz apļa novietots punkts, ja šis aplis ripinās neslīdot pa taisnu līniju (2.5. att.). Ieviesīsim cikloīda parametriskos vienādojumus. Ļaujiet ritošā apļa rādiusam būt a, punkts M, aprakstot cikloīdu, kustības sākumā sakrita ar koordinātu izcelsmi.

Noteiksim koordinātas x, y punkti M pēc tam, kad aplis ir pagriezts leņķī t
(2.5. att.), t = ÐMCB. Loka garums M.B. vienāds ar segmenta garumu O.B. tā kā aplis ripo neslīdot, tāpēc

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB - AB = at - asint = a(t - sint),

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – izmaksas).

Tātad tiek iegūti cikloīda parametriskie vienādojumi:

Mainot parametru t no 0 līdz 2π aplis pagriež vienu apgriezienu, un punkts M apraksta vienu cikloīda loku. Vienādojumi (2.5) dod y kā funkcija no x. Lai gan funkcija x = a(t — sint) ir apgriezta funkcija, bet tā nav izteikta izteiksmē elementāras funkcijas, tātad funkcija y = f(x) netiek izteikts ar elementārām funkcijām.

Aplūkosim parametriski ar vienādojumiem (2.2) definētas funkcijas diferenciāciju. Funkcijai x = φ(t) noteiktā izmaiņu intervālā t ir apgriezta funkcija t = Ф(x), Tad y = g(Ф(x)). Ļaujiet x = φ(t), y = g(t) ir atvasinājumi, un x"t≠0. Saskaņā ar sarežģītu funkciju diferenciācijas likumu y"x=y"t × t"x. Pamatojoties uz diferenciācijas likumu apgrieztā funkcija, Tāpēc:

Iegūtā formula (2.6) ļauj atrast parametriski norādītas funkcijas atvasinājumu.

4. piemērs. Ļaujiet funkcijai y, atkarībā no x, ir norādīts parametriski:

Risinājums. .
5. piemērs. Atrodiet slīpumu k pieskare cikloīdam punktā M 0, kas atbilst parametra vērtībai.
Risinājums. No cikloīdu vienādojumiem: y" t = asint, x" t = a(1 — izmaksas), Tāpēc

Slīpuma koeficients pieskares punktā M0 vienāds ar vērtību plkst t 0 = π/4:

DIFERENCIĀLĀ FUNKCIJA

Ļaujiet funkcijai punktā x 0 ir atvasinājums. A-prioritāte:
tāpēc atbilstoši limita īpašībām (1.8. sadaļa), kur a– bezgalīgi mazs plkst Δx → 0. No šejienes

Δy = f "(x0)Δx + α × Δx. (2.7.)

Tā kā Δx → 0, otrais vienlīdzības (2.7) loceklis ir augstākas kārtas bezgalīgi mazs, salīdzinot ar , tāpēc Δy un f " (x 0) × Δx ir līdzvērtīgi, bezgalīgi mazi (ja f "(x 0) ≠ 0).

Tādējādi funkcijas Δy pieaugums sastāv no diviem vārdiem, no kuriem pirmais f "(x 0) × Δx ir galvenā daļa pieaugums Δy, lineārs attiecībā pret Δx (f "(x 0)≠ 0).

Diferenciāls Funkciju f(x) punktā x 0 sauc par funkcijas pieauguma galveno daļu un apzīmē: dy vai df(x0). Tāpēc

df (x0) =f "(x0) × Δx. (2.8)

1. piemērs. Atrodiet funkcijas diferenciāli dy un funkcijas Δy pieaugums funkcijai y = x 2 pie:
1) patvaļīgi x un Δ x; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.

Risinājums

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Ja x 0 = 20, Δx = 0,1, tad Δy = 40 × 0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40 × 0,1 = 4.

Vienādību (2.7) rakstīsim šādā formā:

Δy = dy + a × Δx. (2.9)

Pieaugums Δy atšķiras no diferenciāļa dy līdz bezgalīgi mazam augstākas kārtas skaitlim, salīdzinot ar Δx, tāpēc aptuvenos aprēķinos tiek izmantota aptuvenā vienādība Δy ≈ dy, ja Δx ir pietiekami mazs.

Ņemot vērā, ka Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), iegūstam aptuvenu formulu:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

2. piemērs. Aprēķiniet aptuveni.

Risinājums. Apsveriet:

Izmantojot formulu (2.10), iegūstam:

Tātad ≈ 2,025.

Apsvērsim ģeometriskā nozīme diferenciālis df(x 0)(2.6. att.).

Uzzīmēsim pieskares grafam funkcijas y = f(x) punktā M 0 (x0, f(x 0)), pieņemsim, ka φ ir leņķis starp pieskares KM0 un Ox asi, tad f"( x 0) = tanφ. No ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0) × Δx = df(x 0). Bet PN ir pieskares ordinātas pieaugums, x mainās no x 0 uz x 0 + Δx.

Līdz ar to funkcijas f(x) diferenciālis punktā x 0 ir vienāds ar pieskares ordinātu pieaugumu.

Atradīsim funkcijas diferenciāli
y = x. Tā kā (x)" = 1, tad dx = 1×Δx = Δx. Pieņemsim, ka neatkarīgā mainīgā x diferenciālis ir vienāds ar tā pieaugumu, t.i., dx = Δx.

Ja x ir patvaļīgs skaitlis, tad no vienādības (2.8) iegūstam df(x) = f "(x)dx, no kurienes .
Tādējādi funkcijas y = f(x) atvasinājums ir vienāds ar tās diferenciāļa attiecību pret argumenta diferenciāli.

Apskatīsim funkcijas diferenciāļa īpašības.

Ja u(x), v(x) ir diferencējamas funkcijas, tad ir derīgas šādas formulas:

Lai pierādītu šīs formulas, tiek izmantotas funkcijas summas, reizinājuma un koeficienta atvasinātās formulas. Pierādīsim, piemēram, formulu (2.12):

d(u×v) = (u×v)”Δx = (u×v” + u”×v)Δx = u×v”Δx + u”Δx×v = u×dv + v×du.

Apskatīsim kompleksās funkcijas diferenciāli: y = f(x), x = φ(t), t.i. y = f(φ(t)).

Tad dy = y" t dt, bet y" t = y" x ×x" t, tātad dy = y" x x" t dt. Ņemot vērā,

ka x" t = dx, mēs iegūstam dy = y" x dx =f "(x) dx.

Tādējādi kompleksās funkcijas diferenciāļa y = f(x), kur x =φ(t), forma ir dy = f "(x)dx, tāda pati kā gadījumā, ja x ir neatkarīgs mainīgais. Šī īpašība tiek saukts diferenciāļa formas nemainība A.

Funkciju var norādīt vairākos veidos. Tas ir atkarīgs no noteikuma, kas tiek izmantots, lai to norādītu. Funkcijas precīzā norādes forma ir y = f (x). Ir reizes, kad tā apraksts ir neiespējams vai neērts. Ja ir daudz pāru (x; y), kas jāaprēķina parametram t intervālā (a; b). Lai atrisinātu sistēmu x = 3 cos t y = 3 sin t ar 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Parametru funkcijas definīcija

No šejienes redzams, ka x = φ (t), y = ψ (t) ir definēti ar vērtību t ∈ (a; b) un tiem ir apgrieztā funkcija t = Θ (x), ja x = φ (t), tad mēs runājam par par parametriskā vienādojuma precizēšanu funkcijai formā y = ψ (Θ (x)).

Ir gadījumi, kad, lai pētītu funkciju, ir jāmeklē atvasinājums attiecībā pret x. Apskatīsim parametriski definētas funkcijas y x " = ψ " (t) φ " (t) atvasinājuma formulu, parunāsim par 2. un n-tās kārtas atvasinājumu.

Parametriski definētas funkcijas atvasinājuma formulas atvasināšana

Mums ir, ka x = φ (t), y = ψ (t), definēts un diferencējams priekš t ∈ a; b, kur x t " = φ " (t) ≠ 0 un x = φ (t), tad ir apgrieztā funkcija formā t = Θ (x).

Sākumā jums vajadzētu pāriet no parametriskā uzdevuma uz skaidru uzdevumu. Lai to izdarītu, jāiegūst kompleksa funkcija formā y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), kur ir arguments x.

Pamatojoties uz kompleksas funkcijas atvasinājuma atrašanas noteikumu, iegūstam, ka y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

Tas parāda, ka t = Θ (x) un x = φ (t) ir apgrieztās funkcijas no apgrieztās funkcijas formulas Θ " (x) = 1 φ " (t), tad y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Pāriesim pie vairāku piemēru risināšanas, izmantojot atvasinājumu tabulu saskaņā ar diferenciācijas noteikumu.

1. piemērs

Atrodiet atvasinājumu funkcijai x = t 2 + 1 y = t.

Risinājums

Pēc nosacījuma mums ir, ka φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, no šejienes mēs iegūstam, ka φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. Jums jāizmanto atvasinātā formula un jāraksta atbilde šādā formā:

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t

Atbilde: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Strādājot ar funkcijas h atvasinājumu, parametrs t norāda argumenta x izteiksmi caur to pašu parametru t, lai nezaudētu saikni starp atvasinājuma vērtībām un parametriski definēto funkciju ar argumentu uz kurām šīs vērtības atbilst.

Lai noteiktu parametriski dotas funkcijas otrās kārtas atvasinājumu, iegūtajai funkcijai jāizmanto pirmās kārtas atvasinājuma formula, tad mēs iegūstam, ka

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

2. piemērs

Atrodiet dotās funkcijas 2. un 2. kārtas atvasinājumus x = cos (2 t) y = t 2 .

Risinājums

Pēc nosacījuma mēs atklājam, ka φ (t) = cos (2 t), ψ (t) = t 2.

Tad pēc pārvērtībām

φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

No tā izriet, ka y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Iegūstam, ka pirmās kārtas atvasinājuma forma ir x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Lai atrisinātu, jums jāpiemēro otrās kārtas atvasinājuma formula. Mēs iegūstam formas izteiksmi

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = grēks (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Pēc tam 2. kārtas atvasinājuma norādīšana, izmantojot parametru funkciju

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Līdzīgu risinājumu var atrisināt, izmantojot citu metodi. Tad

φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 sin (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 ​​t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

No šejienes mēs to iegūstam

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = grēks (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Atbilde: y "" x = sin (2 t) — 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Līdzīgi tiek atrasti arī augstākas kārtas atvasinājumi ar parametriski definētām funkcijām.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Neuzsvērsim, viss šajā punktā ir arī diezgan vienkāršs. Parametiski definētai funkcijai var pierakstīt vispārīgo formulu, bet, lai būtu skaidrs, uzreiz pierakstīšu konkrētu piemēru. Parametriskā formā funkcija tiek dota ar diviem vienādojumiem: . Bieži vien vienādojumi tiek rakstīti nevis zem krokainajām iekavām, bet gan secīgi: , .

Mainīgo sauc par parametru, un tā vērtības var būt no “mīnus bezgalības” līdz “plus bezgalībai”. Apsveriet, piemēram, vērtību un aizstājiet to abos vienādojumos: . Vai arī cilvēciski: "ja x ir vienāds ar četriem, tad y ir vienāds ar vienu." Jūs varat atzīmēt punktu koordinātu plaknē, un šis punkts atbildīs parametra vērtībai. Tāpat jūs varat atrast punktu jebkurai parametra “te” vērtībai. Kas attiecas uz “parasto” funkciju, tad Amerikas indiāņiem ar parametriski definētu funkciju arī tiek ievērotas visas tiesības: var veidot grafiku, atrast atvasinājumus utt. Starp citu, ja jums ir nepieciešams uzzīmēt parametriski norādītas funkcijas grafiku, lejupielādējiet manu ģeometrisko programmu lapā Matemātiskās formulas un tabulas.

Vienkāršākajos gadījumos funkciju var attēlot skaidri. Izteiksim parametru no pirmā vienādojuma: - un aizstājiet to ar otro vienādojumu: . Rezultāts ir parasta kubiskā funkcija.

“Smagākos” gadījumos šis triks nedarbojas. Bet tas nav svarīgi, jo ir formula parametru funkcijas atvasinājuma atrašanai:

Mēs atrodam atvasinājumu no “spēles attiecībā pret mainīgo te”:

Visi diferenciācijas noteikumi un atvasinājumu tabula, protams, ir spēkā burtam , tādējādi, atvasinājumu atrašanas procesā nav nekādu jaunumu. Vienkārši nomainiet visus tabulā esošos “X” ar burtu “Te”.

Mēs atrodam “x” atvasinājumu attiecībā pret mainīgo te:

Tagad atliek tikai aizstāt atrastos atvasinājumus mūsu formulā:

Gatavs. Atvasinājums, tāpat kā pati funkcija, arī ir atkarīgs no parametra.

Kas attiecas uz apzīmējumu, tā vietā, lai to ierakstītu formulā, to varētu vienkārši uzrakstīt bez apakšindeksa, jo tas ir “parasts” atvasinājums “attiecībā uz X”. Bet literatūrā vienmēr ir iespēja, tāpēc es neatkāpšos no standarta.

6. piemērs

Mēs izmantojam formulu

Šajā gadījumā:

Tādējādi:

Īpaša parametru funkcijas atvasinājuma atrašanas iezīme ir fakts, ka katrā solī ir izdevīgi pēc iespējas vienkāršot rezultātu. Tātad aplūkotajā piemērā, kad es to atradu, es atvēru iekavas zem saknes (lai gan, iespējams, es to nedarīju). Pastāv liela iespēja, ka, aizstājot formulu, daudzas lietas tiks labi samazinātas. Lai gan, protams, ir piemēri ar neveiklām atbildēm.

7. piemērs

Atrodiet parametriski norādītas funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi.

Rakstā Vienkāršākās tipiskās problēmas ar atvasinājumiem mēs apskatījām piemērus, kuros mums vajadzēja atrast funkcijas otro atvasinājumu. Parametriski definētai funkcijai var atrast arī otro atvasinājumu, un tas tiek atrasts, izmantojot šādu formulu: . Ir pilnīgi skaidrs, ka, lai atrastu otro atvasinājumu, vispirms ir jāatrod pirmais atvasinājums.

8. piemērs

Atrodiet parametriski dotas funkcijas pirmo un otro atvasinājumu

Vispirms atradīsim pirmo atvasinājumu.
Mēs izmantojam formulu

Šajā gadījumā:

Formulā aizstāj atrastos atvasinājumus. Vienkāršošanas nolūkos mēs izmantojam trigonometrisko formulu:

Ievēroju, ka parametriskas funkcijas atvasinājuma atrašanas problēmā diezgan bieži vienkāršošanas nolūkos ir jāizmanto trigonometriskās formulas . Atcerieties tos vai turiet tos pa rokai, un nepalaidiet garām iespēju vienkāršot katru starprezultātu un atbildes. Par ko? Tagad mums ir jāņem atvasinājums no , un tas noteikti ir labāk nekā atrast atvasinājumu no .

Atradīsim otro atvasinājumu.
Mēs izmantojam formulu:.

Apskatīsim mūsu formulu. Saucējs jau ir atrasts iepriekšējā darbībā. Atliek atrast skaitītāju - pirmā atvasinājuma atvasinājumu attiecībā pret mainīgo “te”:

Atliek izmantot formulu:

Lai pastiprinātu materiālu, es piedāvāju jums vēl dažus piemērus, kurus varat atrisināt patstāvīgi.

9. piemērs

10. piemērs

Atrodiet un parametriski norādītai funkcijai

Es novēlu jums panākumus!

Es ceru, ka šī nodarbība bija noderīga, un tagad jūs varat viegli atrast netieši un no parametriskām funkcijām norādīto funkciju atvasinājumus

Risinājumi un atbildes:

3. piemērs: risinājums:






Tādējādi: