Hornera shēma – polinoma dalīšanas metode

$$P_n(x)=\summa\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1) )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$

uz binoma $x-a$. Būs jāstrādā ar tabulu, kuras pirmajā rindā ir dotā polinoma koeficienti. Otrās rindas pirmais elements būs skaitlis $a$, kas ņemts no binoma $x-a$:

Pēc n-tās pakāpes polinoma dalīšanas ar binomālu $x-a$, iegūstam polinomu, kura pakāpe ir par vienu mazāka par sākotnējo, t.i. vienāds ar $n-1$. Hornera shēmas tiešo pielietojumu visvieglāk ir demonstrēt ar piemēriem.

Piemērs Nr.1

Sadaliet $5x^4+5x^3+x^2-11$ ar $x-1$, izmantojot Hornera shēmu.

Izveidosim tabulu no divām rindām: pirmajā rindā pierakstām polinoma $5x^4+5x^3+x^2-11$ koeficientus, kas sakārtoti mainīgā $x$ pakāpju dilstošā secībā. Ņemiet vērā, ka šis polinoms nesatur $x$ līdz pirmajai pakāpei, t.i. $x$ koeficients pirmajai pakāpei ir 0. Tā kā mēs dalām ar $x-1$, otrajā rindā ierakstām vienu:

Sāksim aizpildīt tukšās šūnas otrajā rindā. Otrās rindas otrajā šūnā ierakstām skaitli $5$, vienkārši pārvietojot to no pirmās rindas atbilstošās šūnas:

Aizpildīsim nākamo šūnu pēc šāda principa: $1\cdot 5+5=10$:

Otrās rindas ceturto šūnu aizpildīsim tādā pašā veidā: $1\cdot 10+1=11$:

Piektajai šūnai mēs iegūstam: $1\cdot 11+0=11$:

Visbeidzot, pēdējai, sestajai šūnai ir: $1\cdot 11+(-11)=0$:

Problēma ir atrisināta, atliek tikai pierakstīt atbildi:

Kā redzat, skaitļi, kas atrodas otrajā rindā (starp vienu un nulli), ir polinoma koeficienti, kas iegūti pēc $5x^4+5x^3+x^2-11$ dalīšanas ar $x-1$. Protams, tā kā sākotnējā polinoma $5x^4+5x^3+x^2-11$ pakāpe bija vienāda ar četriem, iegūtā polinoma $5x^3+10x^2+11x+11$ pakāpe ir viena. mazāk, t.i. vienāds ar trīs. Pēdējais skaitlis otrajā rindā (nulle) nozīmē atlikumu, dalot polinomu $5x^4+5x^3+x^2-11$ ar $x-1$. Mūsu gadījumā atlikums ir nulle, t.i. polinomi dalās vienmērīgi. Šo rezultātu var raksturot arī šādi: polinoma $5x^4+5x^3+x^2-11$ vērtība $x=1$ ir vienāda ar nulli.

Secinājumu var formulēt arī šādā formā: tā kā polinoma $5x^4+5x^3+x^2-11$ vērtība pie $x=1$ ir vienāda ar nulli, tad vienotība ir polinoma sakne. 5x^4+5x^3+ x^2-11$.

Piemērs Nr.2

Sadaliet polinomu $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ ar $x+3$, izmantojot Hornera shēmu.

Uzreiz noteiksim, ka izteiksmei $x+3$ jābūt attēlotai formā $x-(-3)$. Hornera shēma ietvers tieši USD-3 USD. Tā kā sākotnējā polinoma $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ pakāpe ir vienāda ar četriem, tad dalīšanas rezultātā iegūstam trešās pakāpes polinomu:

Rezultāts nozīmē, ka

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$

Šajā situācijā atlikums, dalot $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ ar $x+3$, ir $4$. Vai arī, kas ir tas pats, polinoma $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ vērtība $x=-3$ ir vienāda ar $4$. Starp citu, to ir viegli pārbaudīt, tieši aizstājot $x=-3$ dotajā polinomā:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cpunkts (-3)^3-5 \cpunkts (-3)-47=4.$$

Tie. Hornera shēmu var izmantot, ja ir jāatrod polinoma vērtība noteiktai mainīgā vērtībai. Ja mūsu mērķis ir atrast visas polinoma saknes, tad Hornera shēmu var pielietot vairākas reizes pēc kārtas, līdz esam izsmēluši visas saknes, kā aprakstīts piemērā Nr.3.

Piemērs Nr.3

Atrodiet visas polinoma $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ veselas saknes, izmantojot Hornera shēmu.

Attiecīgā polinoma koeficienti ir veseli skaitļi, un mainīgā lielākās pakāpes koeficients (t.i., $x^6$) ir vienāds ar vienu. Šajā gadījumā polinoma veselās saknes jāmeklē starp brīvā termina dalītājiem, t.i. starp skaitļa 45 dalītājiem. Dotā polinomā šādas saknes var būt skaitļi $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1 USD un -45 USD; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1 USD. Pārbaudīsim, piemēram, skaitli $1$:

Kā redzat, polinoma $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ vērtība ar $x=1$ ir vienāda ar $192$ (pēdējais skaitlis otrajā rindā), nevis $0 $, tāpēc vienotība nav šī polinoma sakne. Tā kā viena pārbaude neizdevās, pārbaudīsim vērtību $x=-1$. Šim nolūkam mēs neveidosim jaunu tabulu, bet turpināsim izmantot tabulu. Nr.1, pievienojot tai jaunu (trešo) rindiņu. Otrā rinda, kurā tika pārbaudīta $1 $ vērtība, tiks iezīmēta sarkanā krāsā un netiks izmantota turpmākajās diskusijās.

Tabulu, protams, var vienkārši pārrakstīt vēlreiz, taču tās manuāla aizpildīšana prasīs daudz laika. Turklāt var būt vairāki skaitļi, kuru pārbaude neizdosies, un katru reizi ir grūti uzrakstīt jaunu tabulu. Aprēķinot “uz papīra”, sarkanās līnijas var vienkārši izsvītrot.

Tātad polinoma $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ vērtība pie $x=-1$ ir vienāda ar nulli, t.i. skaitlis $-1$ ir šī polinoma sakne. Pēc polinoma $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ dalīšanas ar binomiālu $x-(-1)=x+1$ iegūstam polinomu $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, kuru koeficienti ņemti no tabulas trešās rindas. Nr.2 (skat. piemēru Nr.1). Aprēķinu rezultātu var uzrādīt arī šādā formā:

\begin(vienādojums)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\beigas(vienādojums)

Turpināsim veselu skaitļu sakņu meklēšanu. Tagad mums ir jāmeklē polinoma $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ saknes. Atkal šī polinoma veselo skaitļu saknes tiek meklētas starp tā brīvā termiņa dalītājiem, skaitļiem $45 $. Mēģināsim vēlreiz pārbaudīt skaitli $-1$. Mēs neveidosim jaunu tabulu, bet turpināsim izmantot iepriekšējo tabulu. Nr.2, t.i. Pievienosim tai vēl vienu rindiņu:

Tātad skaitlis $-1$ ir polinoma $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ sakne. Šo rezultātu var uzrakstīt šādi:

\begin(vienādojums)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(vienādojums)

Ņemot vērā vienlīdzību (2), vienlīdzību (1) var pārrakstīt šādā formā:

\begin(vienādojums)\begin(līdzināts) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\beigas (līdzināts)\beigas (vienādojums)

Tagad mums ir jāmeklē polinoma $x^4-22x^2+24x+45$ saknes - dabiski, starp tā brīvā termiņa dalītājiem (skaitļi $45$). Vēlreiz pārbaudīsim skaitli $-1$:

Skaitlis $-1$ ir polinoma $x^4-22x^2+24x+45$ sakne. Šo rezultātu var uzrakstīt šādi:

\begin(vienādojums)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(vienādojums)

Ņemot vērā vienlīdzību (4), mēs pārrakstām vienlīdzību (3) šādā formā:

\begin(vienādojums)\begin(līdzināts) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\end(līdzināts)\beigs(vienādojums)

Tagad mēs meklējam polinoma $x^3-x^2-21x+45$ saknes. Vēlreiz pārbaudīsim skaitli $-1$:

Pārbaude beidzās neveiksmīgi. Iezīmēsim sesto rindiņu sarkanā krāsā un mēģināsim pārbaudīt citu skaitli, piemēram, skaitli $3$:

Atlikusī daļa ir nulle, tāpēc skaitlis $3$ ir attiecīgā polinoma sakne. Tātad, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Tagad vienādību (5) var pārrakstīt šādi.

3. slaids

Horners Viljamss Džordžs (1786-22.9.1837) - angļu matemātiķis. Dzimis Bristolē. Viņš tur mācījās un strādāja, pēc tam Bātas skolās. Pamatdarbi par algebru. 1819. gadā publicēja metodi polinoma reālo sakņu aptuvenai aprēķināšanai, ko tagad sauc par Rufini-Hornera metodi (ķīniešiem šī metode bija zināma jau 13. gadsimtā) Shēma polinoma dalīšanai ar binomiālu x-a tiek nosaukta. pēc Hornera.

4. slaids

RAGA SHĒMA

Sadalīšanas metode n-tais polinoms pakāpe uz lineārā binoma - a, pamatojoties uz to, ka nepilnā koeficienta un atlikuma koeficienti ir saistīti ar dalāmā polinoma koeficientiem un ar formulām:

5. slaids

Aprēķini pēc Hornera shēmas ir ievietoti tabulā:

Piemērs 1. Dalīšana Parciālais koeficients ir x3-x2+3x - 13 un atlikums ir 42=f(-3).

6. slaids

Šīs metodes galvenā priekšrocība ir pieraksta kompaktums un iespēja ātri sadalīt polinomu binomālā. Patiesībā Hornera shēma ir vēl viens grupēšanas metodes ierakstīšanas veids, lai gan atšķirībā no pēdējās tā ir pilnīgi nevizuāla. Atbilde (faktorizācija) šeit tiek iegūta pati par sevi, un mēs neredzam tās iegūšanas procesu. Mēs neiesaistīsimies stingrā Hornera shēmas pamatojumā, bet tikai parādīsim, kā tā darbojas.

7. slaids

2. piemērs.

Pierādīsim, ka polinoms P(x)=x4-6x3+7x-392 dalās ar x-7, un atradīsim dalījuma koeficientu. Risinājums. Izmantojot Hornera shēmu, atrodam P(7): No šejienes iegūstam P(7)=0, t.i. atlikums, dalot polinomu ar x-7, ir vienāds ar nulli, un tāpēc polinoms P(x) ir (x-7) daudzkārtnis. Turklāt skaitļi tabulas otrajā rindā ir skaitļa koeficienti koeficients P(x) dalīts ar (x-7), tāpēc P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

8. slaids

Pareizināt polinomu x3 – 5x2 – 2x + 16.

Šim polinomam ir veselu skaitļu koeficienti. Ja vesels skaitlis ir šī polinoma sakne, tad tas ir skaitļa 16 dalītājs. Tātad, ja dotajam polinomam ir vesela skaitļa saknes, tad tie var būt tikai skaitļi ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Tiešā pārbaudē mēs esam pārliecināti, ka skaitlis 2 ir šī polinoma sakne, tas ir, x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), kur Q(x) ir otrās pakāpes polinoms.

9. slaids

Iegūtie skaitļi 1, −3, −8 ir polinoma koeficienti, ko iegūst, dalot sākotnējo polinomu ar x – 2. Tas nozīmē, ka dalīšanas rezultāts ir: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Dalīšanas rezultātā iegūtā polinoma pakāpe vienmēr ir par 1 mazāka nekā sākotnējā pakāpe. Tātad: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2) (x2 – 3x – 8).

Atpakaļ uz priekšu

Uzmanību! Slaidu priekšskatījumi ir paredzēti tikai informatīviem nolūkiem, un tie var neatspoguļot visas prezentācijas funkcijas. Ja jūs interesē Šis darbs, lūdzu, lejupielādējiet pilno versiju.

Nodarbības veids: Nodarbība primāro zināšanu apguvē un nostiprināšanā.

Nodarbības mērķis:

• Iepazīstiniet studentus ar polinoma sakņu jēdzienu un iemāciet viņiem tās atrast. Uzlabojiet prasmes izmantot Hornera shēmu, lai izvērstu polinomu pēc pakāpēm un dalītu polinomu ar binomiālu.
• Uzziniet, kā atrast vienādojuma saknes, izmantojot Hornera shēmu.
• Attīstīt abstrakto domāšanu.
• Veicināt skaitļošanas kultūru.
• Starpdisciplināru saikņu attīstība.

Nodarbību laikā

1. Organizatoriskais moments.

Informēt par nodarbības tēmu, formulēt mērķus.

2. Mājas darbu pārbaude.

3. Jauna materiāla apguve.

Ļaujiet Fn(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - n pakāpes polinoms x, kur a 0 , a 1 ,..., a n ir doti skaitļi un a 0 nav vienāds ar 0. Ja polinomu F n (x) dala ar atlikumu ar binomiāls x-a, tad koeficients (nepilnīgais koeficients) ir n-1 pakāpes polinoms Q n-1 (x), atlikums R ir skaitlis un vienādība ir patiesa F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R. Polinoms F n (x) dalās ar binomu (x-a) tikai tad, ja R=0.

Bezout teorēma: Atlikums R, dalot polinomu F n (x) ar binomālu (x-a) vienāds ar vērtību polinoms F n (x), ja x=a, t.i. R=Pn(a).

Nedaudz vēstures. Bezout teorēma, neskatoties uz tās šķietamo vienkāršību un acīmredzamību, ir viena no polinomu teorijas pamatteorēmām. Šī teorēma saista polinomu algebriskās īpašības (kas ļauj polinomus uzskatīt par veseliem skaitļiem) ar to funkcionālajām īpašībām (kas ļauj polinomus uzskatīt par funkcijām). Viens no veidiem, kā atrisināt augstākas pakāpes vienādojumus, ir vienādojuma kreisajā pusē esošo polinomu faktors. Polinoma un atlikuma koeficientu aprēķins ir uzrakstīts tabulas veidā, ko sauc par Hornera shēmu.

Hornera shēma ir polinomu dalīšanas algoritms, kas rakstīts īpašam gadījumam, kad koeficients ir vienāds ar binomiālu x–a.

Horners Viljams Džordžs (1786 - 1837), angļu matemātiķis. Pamatpētījums ir saistīts ar teoriju algebriskie vienādojumi. Izstrādāja metodi jebkuras pakāpes vienādojumu aptuvenai atrisināšanai. 1819. gadā viņš ieviesa svarīgu algebras metodi polinoma dalīšanai ar binomiālu x - a (Hornera shēma).

Hornera shēmas vispārīgās formulas atvasinājums.

Dalot polinomu f(x) ar atlikumu ar binomu (x-c) nozīmē atrast polinomu q(x) un skaitli r tā, lai f(x)=(x-c)q(x)+r

Uzrakstīsim šo vienādību detalizēti:

f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n = (x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r

Pielīdzināsim koeficientus vienādās pakāpēs:

xn:	f 0 = q 0	=> q 0 = f 0
xn-1:	f 1 = q 1 - c q 0	=> q 1 = f 1 + c q 0
xn-2:	f 2 = q 2 - c q 1	=> q 2 = f 2 + c q 1
...		...
x0:	f n = q n - c q n-1	=> q n = f n + c q n-1.

Hornera ķēdes demonstrēšana, izmantojot piemēru.

1. vingrinājums. Izmantojot Hornera shēmu, polinomu f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 ar atlikumu sadalām ar binomiālu x-2.

	1	-5	0	8
2	1	2*1+(-5)=-3	2*(-3)+0=-6	2*(-6)+8=-4

f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2) (x 2 -3x-6) -4, kur g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 atlikums.

Polinoma paplašināšana binoma pakāpēs.

Izmantojot Hornera shēmu, izvēršam polinomu f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 binoma (x+2) pakāpēs.

Rezultātā mums vajadzētu iegūt paplašinājumu f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2) ((x-1) )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3-3( x+2) 2 -2(x+2)+12

Hornera shēmu bieži izmanto, risinot trešās, ceturtās un augstākas pakāpes vienādojumus, kad ir ērti izvērst polinomu binomālā x-a. Numurs a sauca polinoma sakne F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, ja plkst. x=a polinoma F n (x) vērtība ir vienāda ar nulli: F n (a)=0, t.i. ja polinoms dalās ar binomu x-a.

Piemēram, skaitlis 2 ir polinoma F 3 (x)=3x 3 -2x-20 sakne, jo F 3 (2)=0. tas nozīmē. Ka šī polinoma faktorizācija satur koeficientu x-2.

F 3 (x)=3x3 -2x-20=(x-2)(3x2 +6x+10).

Jebkurš pakāpes polinoms F n(x). n 1 nevar būt vairāk nīstas saknes.

Jebkura vesela skaitļa sakne vienādojumā ar veselu skaitļu koeficientiem ir tā brīvā termiņa dalītājs.

Ja vienādojuma vadošais koeficients ir 1, tad visi racionālās saknes vienādojumi, ja tādi pastāv, ir veseli skaitļi.

Izpētītā materiāla konsolidācija.

Lai nostiprinātu jauno materiālu, skolēni aicināti aizpildīt skaitļus no mācību grāmatas 2.41 un 2.42 (65. lpp.).

(2 skolēni risina pie tāfeles, bet pārējie, izlēmuši, pārbauda uzdevumus kladē ar atbildēm uz tāfeles).

Apkopojot.

Izprotot Hornera shēmas uzbūvi un darbības principu, to var izmantot arī informātikas stundās, kad tiek izskatīts jautājums par veselu skaitļu pārvēršanu no decimālskaitļu sistēmas uz bināro sistēmu un otrādi. Pamats pārejai no vienas skaitļu sistēmas uz otru ir šāda vispārīgā teorēma

Teorēma. Lai pārvērstu veselu skaitli Ap no lpp-ar skaitļu sistēmu uz bāzes skaitļu sistēmu d nepieciešams Ap secīgi dalīt ar atlikumu ar skaitli d, rakstīts tajā pašā lpp-āra sistēma, līdz iegūtais koeficients kļūst vienāds ar nulli. Atlikumi no divīzijas būs d- ciparu cipari Reklāma, sākot no jaunākās kategorijas līdz vecākajam. Visas darbības ir jāveic iekšā lpp-ary skaitļu sistēma. Priekš vīrieša šo noteikumuērti tikai tad, kad lpp= 10, t.i. tulkojot no decimālā sistēma. Kas attiecas uz datoru, gluži pretēji, tajā ir “ērtāk” veikt aprēķinus binārā sistēma. Tāpēc, lai pārvērstu “2 uz 10”, binārajā sistēmā tiek izmantota secīga dalīšana ar desmit, un “10 pret 2” ir desmit pakāpju pievienošana. Lai optimizētu “10 in 2” aprēķinus, dators izmanto Hornera ekonomiskās skaitļošanas shēmu.

Mājasdarbs. Ir ierosināts izpildīt divus uzdevumus.

1. Izmantojot Hornera shēmu, sadaliet polinomu f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 ar binomiālu (x-3).

2. Atrodiet veselu skaitļu saknes polinomam f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6. (ņemot vērā, ka jebkura vesela skaitļa sakne vienādojumā ar veselu skaitļu koeficientiem ir tā brīvā termiņa dalītājs)

Literatūra.

1. Kurosh A.G. "Augstākās algebras kurss."
2. Nikoļskis S.M., Potapovs M.K. un citi. 10. klase “Algebra un matemātiskās analīzes sākums”.
3. http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.

Risinot vienādojumus un nevienādības, bieži vien ir nepieciešams faktorēt polinomu, kura pakāpe ir trīs vai augstāka. Šajā rakstā mēs apskatīsim vienkāršāko veidu, kā to izdarīt.

Kā parasti, pēc palīdzības vērsīsimies pie teorijas.

Bezout teorēma norāda, ka atlikums, dalot polinomu ar binomiālu, ir .

Bet mums ir svarīga nevis pati teorēma, bet gan no tā izriet:

Ja skaitlis ir polinoma sakne, tad polinoms dalās ar binoma bez atlikuma.

Mēs saskaramies ar uzdevumu kaut kādā veidā atrast vismaz vienu polinoma sakni, pēc tam dalīt polinomu ar , kur ir polinoma sakne. Rezultātā mēs iegūstam polinomu, kura pakāpe ir par vienu mazāka par sākotnējās pakāpes pakāpi. Un tad, ja nepieciešams, procesu var atkārtot.

Šis uzdevums ir sadalīts divās daļās: kā atrast polinoma sakni un dalīt polinomu ar binoma.

Apskatīsim šos punktus tuvāk.

1. Kā atrast polinoma sakni.

Vispirms pārbaudām, vai skaitļi 1 un -1 ir polinoma saknes.

Šeit mums palīdzēs šādi fakti:

Ja visu polinoma koeficientu summa ir nulle, tad skaitlis ir polinoma sakne.

Piemēram, polinomā koeficientu summa ir nulle: . Ir viegli pārbaudīt, kas ir polinoma sakne.

Ja polinoma koeficientu summa pie pāra pakāpēm ir vienāda ar koeficientu summu nepāra pakāpēm, tad skaitlis ir polinoma sakne. Brīvais termins tiek uzskatīts par pāra pakāpes koeficientu, jo , a ir pāra skaitlis.

Piemēram, polinomā pāra pakāpju koeficientu summa ir: , un nepāra pakāpju koeficientu summa ir: . Ir viegli pārbaudīt, kas ir polinoma sakne.

Ja ne 1, ne -1 nav polinoma saknes, mēs virzāmies tālāk.

Samazinātam pakāpes polinomam (tas ir, polinomam, kurā vadošais koeficients - koeficients pie - ir vienāds ar vienotību), ir derīga Vieta formula:

Kur ir polinoma saknes.

Ir arī Vieta formulas, kas attiecas uz atlikušajiem polinoma koeficientiem, bet mūs interesē šī.

No šīs Vietas formulas izriet, ka ja polinoma saknes ir veseli skaitļi, tad tie ir tā brīvā termina dalītāji, kas arī ir vesels skaitlis.

Pamatojoties uz to, mums ir jāieskaita polinoma brīvais termiņš faktoros un secīgi, no mazākā līdz lielākajam, jāpārbauda, ​​kurš no faktoriem ir polinoma sakne.

Apsveriet, piemēram, polinomu

Brīvā termiņa dalītāji: ; ; ;

Visu polinoma koeficientu summa ir vienāda ar , tāpēc skaitlis 1 nav polinoma sakne.

Pāra pakāpju koeficientu summa:

Nepāra pakāpju koeficientu summa:

Tāpēc arī skaitlis -1 nav polinoma sakne.

Pārbaudīsim, vai skaitlis 2 ir polinoma sakne: tāpēc skaitlis 2 ir polinoma sakne. Tas nozīmē, ka saskaņā ar Bezout teorēmu polinoms dalās ar binomiju bez atlikuma.

2. Kā sadalīt polinomu binomālā.

Polinomu var sadalīt binomā ar kolonnu.

Sadaliet polinomu ar binomu, izmantojot kolonnu:

Ir vēl viens veids, kā dalīt polinomu ar binomiālu - Hornera shēma.

Noskatieties šo video, lai saprastu kā sadalīt polinomu ar binomiju ar kolonnu, un izmantojot Hornera diagrammu.

Es atzīmēju, ka, ja, dalot ar kolonnu, sākotnējā polinomā trūkst zināmas nezināmā pakāpes, tā vietā rakstām 0 - tāpat kā sastādot tabulu Hornera shēmai.

Tātad, ja mums ir nepieciešams dalīt polinomu ar binomālu un dalīšanas rezultātā mēs iegūstam polinomu, tad mēs varam atrast polinoma koeficientus, izmantojot Hornera shēmu:

Varam arī izmantot Hornera shēma lai pārbaudītu, vai dotais skaitlis ir polinoma sakne: ja skaitlis ir polinoma sakne, tad atlikums, dalot polinomu ar ir vienāds ar nulli, tas ir, otrās rindas pēdējā kolonnā. Hornera diagrammā mēs iegūstam 0.

Izmantojot Hornera shēmu, mēs "nogalinām divus putnus ar vienu akmeni": vienlaikus pārbaudām, vai skaitlis ir polinoma sakne, un dalām šo polinomu ar binomālu.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu:

1. Pierakstīsim brīvā termina dalītājus un meklēsim polinoma saknes starp brīvā termina dalītājiem.

Dalītāji no 24:

2. Pārbaudīsim, vai skaitlis 1 ir polinoma sakne.

Polinoma koeficientu summa, tāpēc skaitlis 1 ir polinoma sakne.

3. Sadaliet sākotnējo polinomu binomālā, izmantojot Hornera shēmu.

A) Tabulas pirmajā rindā pierakstīsim sākotnējā polinoma koeficientus.

Tā kā trūkst saturošā termina, tabulas ailē, kurā jāraksta koeficients, ierakstām 0. Kreisajā pusē ierakstām atrasto sakni: skaitli 1.

B) Aizpildiet tabulas pirmo rindu.

Pēdējā kolonnā, kā paredzēts, mēs saņēmām nulli; mēs sadalījām sākotnējo polinomu ar binomiālu bez atlikuma. Dalīšanas rezultātā iegūtie polinoma koeficienti tabulas otrajā rindā ir parādīti zilā krāsā:

Ir viegli pārbaudīt, vai skaitļi 1 un -1 nav polinoma saknes

B) Turpināsim tabulu. Pārbaudīsim, vai skaitlis 2 ir polinoma sakne:

Tātad polinoma pakāpe, ko iegūst, dalot ar vienu mazāk grādu no sākotnējā polinoma, tāpēc koeficientu skaits un kolonnu skaits ir par vienu mazāks.

Pēdējā kolonnā mēs saņēmām -40 - skaitli, kas nav vienāds ar nulli, tāpēc polinoms dalās ar binomiālu ar atlikumu, un skaitlis 2 nav polinoma sakne.

C) Pārbaudīsim, vai skaitlis -2 ir polinoma sakne. Tā kā iepriekšējais mēģinājums neizdevās, lai izvairītos no neskaidrībām ar koeficientiem, es izdzēsīšu šim mēģinājumam atbilstošo rindu:

Lieliski! Mēs saņēmām nulli kā atlikumu, tāpēc polinoms tika sadalīts binomā bez atlikuma, tāpēc skaitlis -2 ir polinoma sakne. Polinoma koeficienti, kas iegūti, dalot polinomu ar binomu, tabulā ir parādīti zaļā krāsā.

Dalīšanas rezultātā iegūstam kvadrātveida trinomu , kuras saknes var viegli atrast, izmantojot Vietas teorēmu:

Tātad sākotnējā vienādojuma saknes ir:

{}

Atbilde:( }

Nodarbības mērķi:

• iemācīt studentiem atrisināt vienādojumus augstākas pakāpes izmantojot Hornera shēmu;
• attīstīt spēju strādāt pāros;
• kopā ar galvenajām kursa sadaļām radīt pamatu studentu spēju attīstībai;
• palīdzēt skolēnam novērtēt viņa potenciālu, attīstīt interesi par matemātiku, spēju domāt un runāt par tēmu.

Aprīkojums: kartītes grupu darbam, plakāts ar Hornera diagrammu.

Mācību metode: lekcija, stāsts, skaidrojums, treniņu vingrinājumu izpilde.

Kontroles forma: patstāvīgu problēmu risināšanas pārbaude, patstāvīgais darbs.

Nodarbību laikā

1. Organizatoriskais moments

2. Studentu zināšanu papildināšana

Kāda teorēma ļauj noteikt, vai skaitlis ir dotā vienādojuma sakne (noformulēt teorēmu)?

Bezout teorēma. Polinoma P(x) dalījuma atlikums ar binomu x-c ir vienāds P(c), skaitli c sauc par polinoma P(x) sakni, ja P(c)=0. Teorēma ļauj, neveicot dalīšanas darbību, noteikt, vai dotais skaitlis ir polinoma sakne.

Kādi apgalvojumi atvieglo sakņu atrašanu?

a) Ja polinoma vadošais koeficients ir vienāds ar vienu, tad polinoma saknes jāmeklē starp brīvā vārda dalītājiem.

b) Ja polinoma koeficientu summa ir 0, tad viena no saknēm ir 1.

c) Ja koeficientu summa pāra vietās ir vienāda ar koeficientu summu nepāra vietās, tad viena no saknēm ir vienāda ar -1.

d) Ja visi koeficienti ir pozitīvi, tad polinoma saknes ir negatīvi skaitļi.

e) Nepāra pakāpes polinomam ir vismaz viena reāla sakne.

3. Jauna materiāla apgūšana

Atrisinot veselus algebriskos vienādojumus, jāatrod polinomu sakņu vērtības. Šo darbību var ievērojami vienkāršot, ja aprēķinus veic, izmantojot īpašu algoritmu, ko sauc par Hornera shēmu. Šī ķēde ir nosaukta angļu zinātnieka Viljama Džordža Hornera vārdā. Hornera shēma ir algoritms polinoma P(x) dalījuma ar x-c koeficienta un atlikuma aprēķināšanai. Īsumā, kā tas darbojas.

Dots patvaļīgs polinoms P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n. Dalot šo polinomu ar x-c, tas tiek attēlots formā P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Daļējs g(x)=in 0 x n-1 + in n x n-2 +...+in n-2 x + in n-1, kur in 0 =a 0, in n =st n-1 +a n , n=1,2,3,…n-1. Atlikums r(x)= st n-1 +a n. Šo aprēķina metodi sauc par Hornera shēmu. Vārds “shēma” algoritma nosaukumā ir saistīts ar to, ka tā ieviešana parasti tiek formatēta šādi. Vispirms uzzīmē 2. tabulu(n+2). Apakšējā kreisajā šūnā ierakstiet skaitli c, bet augšējā rindā - polinoma P(x) koeficientus. Šajā gadījumā augšējā kreisā šūna ir tukša.

	0 = a 0	in 1 =st 1 +a 1	in 2 = sv 1 + A 2		in n-1 =st n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=st n-1 +a n

Skaitlis, kas pēc algoritma izpildes izrādās ierakstīts apakšējā labajā šūnā, ir polinoma P(x) dalījuma ar x-c atlikums. Pārējie skaitļi 0, 1, 2,... apakšējā rindā ir koeficienta koeficienti.

Piemēram: sadaliet polinomu P(x)= x 3 -2x+3 ar x-2.

Mēs iegūstam, ka x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.

4. Apgūstamā materiāla konsolidācija

1. piemērs: Pareizināt polinomu P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 faktoros ar veselu skaitļu koeficientiem.

Mēs meklējam veselas saknes starp brīvā termiņa dalītājiem -1: 1; -1. Izveidosim tabulu:

X = -1 – sakne

P(x)= (x+1) (2x3 -9x2 +6x-1)

Pārbaudīsim 1/2.

					X=1/2 — sakne

Tāpēc polinomu P(x) var attēlot formā

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

2. piemērs: Atrisiniet vienādojumu 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Tā kā vienādojuma kreisajā pusē uzrakstītā polinoma koeficientu summa ir vienāda ar nulli, tad viena no saknēm ir 1. Izmantosim Hornera shēmu:

						X=1 — sakne

Mēs iegūstam P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). Saknes meklēsim starp brīvā termiņa 2 dalītājiem.

Noskaidrojām, ka veselu sakņu vairs nav. Pārbaudīsim 1/2; -1/2.

					X= -1/2 - sakne

Atbilde: 1; -1/2.

3. piemērs: Atrisiniet vienādojumu 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.

Šī vienādojuma saknes meklēsim starp brīvā termina 5 dalītājiem: 1;-1;5;-5. x=1 ir vienādojuma sakne, jo koeficientu summa ir nulle. Izmantosim Hornera shēmu:

Uzrādīsim vienādojumu kā trīs faktoru reizinājumu: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. Lemjot kvadrātvienādojums 5x 2 -7x+5=0, sanāca D=49-100=-51, sakņu nav.

1. karte

1. Polinoma koeficients: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Atrisiniet vienādojumu: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

2. karte

1. Polinoma koeficients: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. Atrisiniet vienādojumu: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

3. karte

1. Koeficients: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. Atrisiniet vienādojumu: x 3 -2x 2 +4x-8=0

4. karte

1. Koeficients: 5x3 -46x2 +79x-14
2. Atrisiniet vienādojumu: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Rezumējot

Zināšanu pārbaude, risinot pāros, tiek veikta klasē, atpazīstot darbības metodi un atbildes nosaukumu.

Mājasdarbs:

Atrisiniet vienādojumus:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

b) 5x4 -36x3 +62x2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

d) x 4 +2x 3 -x-2=0

Literatūra

1. N.Ya. Vilenkin et al., Algebra un analīzes sākums, 10. klase ( padziļināta izpēte Matemātika): Apgaismība, 2005.
2. U.I. Saharčuks, L.S. Sagatelova, Augstāku pakāpju vienādojumu risinājums: Volgograda, 2007.
3. S.B. Gaškovs, Skaitļu sistēmas un to pielietojums.