I. Tieši proporcionālie daudzumi.

Ļaujiet vērtībai y atkarīgs no izmēra X. Ja palielinot X vairākas reizes lielāks izmērs plkst palielinās par tādu pašu summu, tad šādas vērtības X Un plkst sauc par tieši proporcionāliem.

Piemēri.

1 . Iegādāto preču daudzums un pirkuma cena (ar fiksētu cenu par vienu preču vienību - 1 gab. vai 1 kg utt.) Cik reižu vairāk preču pirka, tik reižu vairāk samaksāja.

2 . Nobrauktais attālums un tam pavadītais laiks (ar nemainīgu ātrumu). Cik reižu garāks ir ceļš, cik reižu vairāk laika būs nepieciešams tā pabeigšanai.

3 . Ķermeņa tilpums un tā masa. ( Ja viens arbūzs ir 2 reizes lielāks par otru, tad tā masa būs 2 reizes lielāka)

II. Daudzumu tiešās proporcionalitātes īpašība.

Ja divi daudzumi ir tieši proporcionāli, tad divu patvaļīgi ņemto pirmā daudzuma vērtību attiecība ir vienāda ar otrā daudzuma divu atbilstošo vērtību attiecību.

1. uzdevums. Aveņu ievārījumam ņēmām 12 kg avenes un 8 kg Sahāra. Cik daudz cukura jums vajadzēs, ja to paņemsiet? 9 kg avenes?

Risinājums.

Mēs domājam šādi: lai tas būtu vajadzīgs x kg cukurs priekš 9 kg avenes Aveņu masa un cukura masa ir tieši proporcionāli lielumi: cik reižu mazāk aveņu, tik reižu mazāk cukura vajag. Tāpēc ņemto aveņu attiecība (pēc svara) ( 12:9 ) būs vienāds ar uzņemtā cukura attiecību ( 8:x). Mēs iegūstam proporciju:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Atbilde: ieslēgts 9 kg avenes jāņem 6 kg Sahāra.

Problēmas risinājums To varētu izdarīt šādi:

Ļaujiet tālāk 9 kg avenes jāņem x kg Sahāra.

(bultiņas attēlā ir vērstas vienā virzienā, un uz augšu vai uz leju nav nozīmes. Nozīme: cik reizes skaitlis 12 vairāk numuru 9 , tikpat reižu 8 vairāk numuru X, t.i., šeit ir tieša saistība).

Atbilde: ieslēgts 9 kg Man jāpaņem dažas avenes 6 kg Sahāra.

2. uzdevums. Auto priekš 3 stundas veicis attālumu 264 km. Cik ilgi viņam vajadzēs ceļot? 440 km, ja viņš brauc ar tādu pašu ātrumu?

Risinājums.

Ļaujiet par x stundas mašīna paies garām attālums 440 km.

Atbilde: mašīna paies garām 440 km 5 stundās.

Piemērs

1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6/7 = 0,8 utt.

Proporcionalitātes faktors

Tiek saukta nemainīga proporcionālu lielumu attiecība proporcionalitātes koeficients. Proporcionalitātes koeficients parāda, cik viena daudzuma vienību ir cita daudzuma vienībai.

Tiešā proporcionalitāte

Tiešā proporcionalitāte- funkcionālā atkarība, kurā noteikts daudzums ir atkarīgs no cita lieluma tā, ka to attiecība paliek nemainīga. Citiem vārdiem sakot, šie mainīgie mainās proporcionāli, vienādās daļās, tas ir, ja arguments mainās divreiz jebkurā virzienā, tad arī funkcija mainās divreiz tajā pašā virzienā.

Matemātiski tiešā proporcionalitāte tiek uzrakstīta kā formula:

f(x) = ax,a = const

Apgrieztā proporcionalitāte

Apgrieztā proporcionalitāte- tā ir funkcionāla atkarība, kurā neatkarīgās vērtības (argumenta) pieaugums izraisa proporcionālu atkarīgās vērtības (funkcijas) samazināšanos.

Matemātiski apgrieztā proporcionalitāte tiek uzrakstīta kā formula:

Funkciju īpašības:

Avoti

Wikimedia fonds. 2010. gads.

§ 129. Iepriekšējie precizējumi.

Cilvēks pastāvīgi nodarbojas ar visdažādākajiem daudzumiem. Darbinieks un strādnieks mēģina nokļūt līdz noteiktam laikam, gājējs steidzas uz noteiktu vietu pa īsāko ceļu, tvaika apkures katls uztraucas, ka katlā lēnām paaugstinās temperatūra, a uzņēmuma vadītājs plāno samazināt ražošanas izmaksas utt.

Varētu minēt jebkādus šādus piemērus. Laiks, attālums, temperatūra, izmaksas - tas viss ir dažādi daudzumi. Šīs grāmatas pirmajā un otrajā daļā mēs iepazināmies ar dažiem īpaši izplatītiem lielumiem: laukums, tilpums, svars. Studējot fiziku un citas zinātnes, mēs sastopamies ar daudziem lielumiem.

Iedomājieties, ka jūs ceļojat vilcienā. Ik pa brīdim jūs paskatāties pulkstenī un pamanāt, cik ilgi esat bijis ceļā. Piemēram, jūs sakāt, ka kopš vilciena atiešanas ir pagājušas 2, 3, 5, 10, 15 stundas utt. Šie skaitļi atspoguļo dažādus laika periodus; tos sauc par šī daudzuma (laika) vērtībām. Vai arī skatāties ārā pa logu un sekojat ceļa stabiem, lai redzētu attālumu, ko nobrauc jūsu vilciens. Jūsu priekšā mirgo skaitļi 110, 111, 112, 113, 114 km. Šie skaitļi atspoguļo dažādus attālumus, ko vilciens ir nobraucis no atiešanas vietas. Tos sauc arī par vērtībām, šoreiz ar atšķirīgu lielumu (ceļš vai attālums starp diviem punktiem). Tādējādi viens daudzums, piemēram, laiks, attālums, temperatūra var aizņemt tikpat daudz dažādas nozīmes.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka cilvēks gandrīz nekad neņem vērā tikai vienu lielumu, bet vienmēr saista to ar citiem lielumiem. Viņam jātiek galā ar diviem, trim un liels skaits daudzumus Iedomājieties, ka jums ir jāierodas skolā līdz pulksten 9. Jūs paskatāties pulkstenī un redzat, ka jums ir 20 minūtes. Tad tu ātri izdomā, vai jābrauc ar tramvaju vai uz skolu var iet kājām. Pēc pārdomām jūs nolemjat staigāt. Ievērojiet, ka, domājot, jūs atrisinājāt kādu problēmu. Šis uzdevums ir kļuvis vienkāršs un pazīstams, jo jūs katru dienu risinat šādas problēmas. Tajā jūs ātri salīdzinājāt vairākus daudzumus. Tas bijāt jūs, kurš skatījāties pulkstenī, kas nozīmē, ka ņēmāt vērā laiku, pēc tam domājāt, cik attālums no mājām līdz skolai ir; Visbeidzot, jūs salīdzinājāt divas vērtības: jūsu soļa ātrumu un tramvaja ātrumu un secinājāt, ka noteiktā laikā (20 minūtēs) jums būs laiks staigāt. No šī vienkāršs piemērs jūs redzat, ka mūsu praksē daži lielumi ir savstarpēji saistīti, tas ir, tie ir atkarīgi viens no otra

Divpadsmitajā nodaļā tika runāts par viendabīgu daudzumu attiecībām. Piemēram, ja viens segments ir 12 m, bet otrs ir 4 m, tad šo segmentu attiecība būs 12:4.

Mēs teicām, ka šī ir divu viendabīgu daudzumu attiecība. Vēl viens veids, kā to pateikt, ir divu skaitļu attiecība viens vārds.

Tagad, kad esam vairāk pazīstami ar daudzumiem un esam ieviesuši daudzuma vērtības jēdzienu, mēs varam izteikt attiecības definīciju jaunā veidā. Faktiski, kad mēs uzskatījām divus segmentus 12 m un 4 m, mēs runājām par vienu vērtību - garumu, un 12 m un 4 m bija tikai divi dažādas nozīmesšī vērtība.

Tāpēc nākotnē, kad mēs sāksim runāt par attiecībām, mēs apsvērsim divas viena daudzuma vērtības, un daudzuma vienas vērtības attiecība pret citu tā paša daudzuma vērtību tiks saukta par pirmās vērtības dalīšanas koeficientu. ar otro.

§ 130. Vērtības ir tieši proporcionālas.

Apskatīsim problēmu, kuras nosacījums ietver divus lielumus: attālumu un laiku.

1. uzdevums.Ķermenis, kas kustas taisni un vienmērīgi, katru sekundi nobrauc 12 cm Nosakiet ķermeņa nobraukto attālumu 2, 3, 4, ..., 10 sekundēs.

Izveidosim tabulu, kuru var izmantot, lai izsekotu laika un attāluma izmaiņām.

Tabula sniedz mums iespēju salīdzināt šīs divas vērtību sērijas. No tā redzam, ka pirmā daudzuma (laika) vērtībām pakāpeniski palielinoties 2, 3,..., 10 reizes, tad arī otrā daudzuma (attāluma) vērtības palielinās par 2, 3, ..., 10 reizes. Tādējādi, kad viena daudzuma vērtības palielinās vairākas reizes, cita lieluma vērtības palielinās par tādu pašu daudzumu, un, kad viena daudzuma vērtības samazinās vairākas reizes, cita lieluma vērtības samazinās par tas pats numurs.

Tagad aplūkosim problēmu, kas ietver divus šādus lielumus: vielas daudzumu un tā izmaksas.

2. uzdevums. 15 m auduma maksā 120 rubļus. Aprēķiniet šī auduma izmaksas vairākiem citiem tabulā norādītajiem skaitītāju daudzumiem.

Izmantojot šo tabulu, mēs varam izsekot, kā preces izmaksas pakāpeniski pieaug atkarībā no tā daudzuma pieauguma. Neskatoties uz to, ka šī problēma ir saistīta ar pilnīgi atšķirīgiem lielumiem (pirmajā uzdevumā - laiks un attālums, un šeit - preču daudzums un tā vērtība), tomēr šo daudzumu uzvedībā var atrast lielas līdzības.

Faktiski tabulas augšējā rindā ir cipari, kas norāda auduma metru skaitu, zem katra no tiem ir skaitlis, kas izsaka attiecīgā preču daudzuma izmaksas. Pat īss skatiens uz šo tabulu parāda, ka skaitļi gan augšējā, gan apakšējā rindā pieaug; rūpīgāk izpētot tabulu un salīdzinot atsevišķas kolonnas, atklājas, ka visos gadījumos otrā daudzuma vērtības palielinās tikpat reižu kā pirmā pieauguma vērtības, t.i., ja pirmais daudzums palielinās, teiksim, 10 reizes, tad arī otrā daudzuma vērtība pieauga 10 reizes.

Pārlūkojot tabulu no labās uz kreiso pusi, mēs atklāsim, ka norādītās daudzumu vērtības samazināsies tikpat reižu. Šajā ziņā starp pirmo un otro uzdevumu pastāv beznosacījumu līdzība.

Tiek saukti lielumu pāri, ar kuriem mēs sastapāmies pirmajā un otrajā uzdevumā tieši proporcionāls.

Tātad, ja divi lielumi ir saistīti viens ar otru tā, ka viena vērtībai vairākkārt palielinoties (samazinoties), otra vērtībai pieaugot (samazinoties) par tādu pašu summu, tad šādus lielumus sauc par tieši proporcionāliem. .

Tiek uzskatīts, ka šādi lielumi ir saistīti viens ar otru ar tieši proporcionālu attiecību.

Dabā un dzīvē mums apkārt ir daudz līdzīgu daudzumu. Šeit ir daži piemēri:

1. Laiks darbs (diena, divas dienas, trīs dienas utt.) un ieņēmumi, kas saņemts šajā laikā ar dienas algu.

2. Apjoms jebkurš priekšmets, kas izgatavots no viendabīga materiāla, un svarušo vienumu.

§ 131. Tieši proporcionālu lielumu īpašums.

Pieņemsim problēmu, kas ietver šādus divus daudzumus: darba laiks un ienākumi. Ja dienas ienākumi ir 20 rubļi, tad ienākumi par 2 dienām būs 40 rubļi utt. Visērtāk ir izveidot tabulu, kurā noteiktu skaitli dienas atbildīs noteiktiem ienākumiem.

Aplūkojot šo tabulu, mēs redzam, ka abiem daudzumiem bija 10 dažādas vērtības. Katra pirmās vērtības vērtība atbilst noteiktai otrās vērtības vērtībai, piemēram, 2 dienas atbilst 40 rubļiem; 5 dienas atbilst 100 rubļiem. Tabulā šie skaitļi ir uzrakstīti viens zem otra.

Mēs jau zinām, ja divi lielumi ir tieši proporcionāli, tad katrs no tiem, mainoties, palielinās tik reižu, cik otrs palielinās. No tā uzreiz izriet: ja mēs ņemam jebkuru divu pirmā daudzuma vērtību attiecību, tad tā būs vienāda ar otrā daudzuma divu atbilstošo vērtību attiecību. Patiešām:

Kāpēc tas notiek? Bet tāpēc, ka šīs vērtības ir tieši proporcionālas, t.i., kad viena no tām (laiks) pieauga 3 reizes, tad otra (peļņa) pieauga 3 reizes.

Tāpēc mēs esam nonākuši pie šāda secinājuma: ja mēs ņemam divas pirmā daudzuma vērtības un sadalām tās viena ar otru, un pēc tam dalām ar vienu atbilstošās otrā daudzuma vērtības, tad abos gadījumos mēs iegūsim viens un tas pats numurs, t.i., tās pašas attiecības. Tas nozīmē, ka abas attiecības, kuras rakstījām iepriekš, var savienot ar vienādības zīmi, t.i.

Nav šaubu, ja mēs ņemtu nevis šīs attiecības, bet citas, un nevis tādā secībā, bet pretējā secībā, mēs iegūtu arī attiecību vienlīdzību. Faktiski mēs apsvērsim mūsu daudzumu vērtības no kreisās uz labo pusi un ņemsim trešo un devīto vērtību:

60:180 = 1 / 3 .

Tātad mēs varam rakstīt:

Tas noved pie šāda secinājuma: ja divi daudzumi ir tieši proporcionāli, tad divu patvaļīgi ņemto pirmā daudzuma vērtību attiecība ir vienāda ar otrā daudzuma divu atbilstošo vērtību attiecību.

132.§ Tiešās proporcionalitātes formula.

Sastādīsim tabulu par dažāda daudzuma saldumu izmaksām, ja 1 kg no tiem maksā 10,4 rubļus.

Tagad darīsim to šādā veidā. Paņemiet jebkuru skaitli otrajā rindā un sadaliet to ar atbilstošo skaitli pirmajā rindā. Piemēram:

Jūs redzat, ka koeficientā visu laiku iegūst vienu un to pašu skaitli. Līdz ar to konkrētam tieši proporcionālu daudzumu pārim koeficients, kas dala jebkura lieluma vērtību ar cita lieluma atbilstošo vērtību, ir nemainīgs skaitlis (t.i., nemainās). Mūsu piemērā šis koeficients ir 10,4. Šo nemainīgo skaitli sauc par proporcionalitātes koeficientu. Šajā gadījumā tas izsaka mērvienības cenu, t.i., vienu preču kilogramu.

Kā atrast vai aprēķināt proporcionalitātes koeficientu? Lai to izdarītu, jums ir jāņem jebkura viena daudzuma vērtība un jāsadala ar otras vērtības atbilstošo vērtību.

Apzīmēsim šo viena daudzuma patvaļīgo vērtību ar burtu plkst , un cita daudzuma atbilstošā vērtība - burts X , tad proporcionalitātes koeficients (mēs to apzīmējam UZ) mēs atrodam pēc dalīšanas:

Šajā vienlīdzībā plkst - dalāms, X - dalītājs un UZ- koeficients, un, tā kā pēc dalīšanas īpašības dividende ir vienāda ar dalītāju, kas reizināts ar koeficientu, mēs varam rakstīt:

y = K x

Iegūto vienādību sauc tiešās proporcionalitātes formula. Izmantojot šo formulu, mēs varam aprēķināt jebkuru vērtību skaitu vienam no tieši proporcionālajiem lielumiem, ja mēs zinām otra daudzuma atbilstošās vērtības un proporcionalitātes koeficientu.

Piemērs. No fizikas mēs zinām šo svaru R jebkura ķermeņa masa ir vienāda ar tā īpatnējo svaru d , reizināts ar šī ķermeņa tilpumu V, t.i. R = d V.

Ņemsim piecus dažāda tilpuma dzelzs stieņus; Zinot dzelzs īpatnējo svaru (7.8), mēs varam aprēķināt šo lietņu svarus, izmantojot formulu:

R = 7,8 V.

Salīdzinot šo formulu ar formulu plkst = UZ X , mēs to redzam y = R, x = V, un proporcionalitātes koeficientu UZ= 7,8. Formula ir viena, tikai burti atšķiras.

Izmantojot šo formulu, izveidosim tabulu: lai 1. sagataves tilpums būtu vienāds ar 8 kubikmetriem. cm, tad tā svars ir 7,8 8 = 62,4 (g). 2. sagataves tilpums ir 27 kubikmetri. cm Tā svars ir 7,8 27 = 210,6 (g). Tabula izskatīsies šādi:

Aprēķiniet šajā tabulā trūkstošos skaitļus, izmantojot formulu R= d V.

133.§ Citas problēmas risināšanas metodes ar tieši proporcionāliem lielumiem.

Iepriekšējā rindkopā mēs atrisinājām problēmu, kuras nosacījums ietvēra tieši proporcionālus daudzumus. Šim nolūkam mēs vispirms atvasinājām tiešās proporcionalitātes formulu un pēc tam izmantojām šo formulu. Tagad mēs parādīsim divus citus veidus, kā atrisināt līdzīgas problēmas.

Izveidosim problēmu, izmantojot iepriekšējā rindkopā tabulā norādītos skaitliskos datus.

Uzdevums. Tukšs ar tilpumu 8 kubikmetri. cm sver 62,4 g Cik svērs sagatave ar tilpumu 64 kubikmetri? cm?

Risinājums. Dzelzs svars, kā zināms, ir proporcionāls tā tilpumam. Ja 8 kub. cm sver 62,4 g, tad 1 kub. cm svērs 8 reizes mazāk, t.i.

62,4:8 = 7,8 (g).

Tukšs ar tilpumu 64 kubikmetri. cm svērs 64 reizes vairāk nekā 1 kubikmetra sagatave. cm, t.i.

7,8 64 = 499,2 (g).

Mēs atrisinājām savu problēmu, samazinot līdz vienotībai. Šī nosaukuma nozīmi pamato fakts, ka, lai to atrisinātu, mums pirmajā jautājumā bija jāatrod tilpuma vienības svars.

2. Proporcijas metode. Atrisināsim to pašu uzdevumu, izmantojot proporciju metodi.

Tā kā dzelzs svars un tā tilpums ir tieši proporcionāli lielumi, viena daudzuma (tilpuma) divu vērtību attiecība ir vienāda ar cita daudzuma (svara) divu atbilstošo vērtību attiecību, t.i.

(vēstule R mēs norādījām nezināmo sagataves svaru). No šejienes:

(G).

Problēma tika atrisināta, izmantojot proporciju metodi. Tas nozīmē, ka, lai to atrisinātu, no nosacījumā iekļautajiem skaitļiem tika sastādīta proporcija.

§ 134. Vērtības ir apgriezti proporcionālas.

Apsveriet šādu problēmu: “Pieci mūrnieki var mūrēt mājas ķieģeļu sienas 168 dienās. Nosakiet, cik dienu laikā 10, 8, 6 utt. mūrnieki varētu paveikt vienu un to pašu darbu.

Ja 168 dienās mājas sienas uzliktu 5 mūrnieki, tad (ar tādu pašu darba ražīgumu) to varētu paveikt 10 mūrnieki uz pusi mazāk laika, jo vidēji 10 cilvēki veic divreiz vairāk darba nekā 5 cilvēki.

Sastādām tabulu, pēc kuras varētu sekot līdzi strādājošo skaita un darba stundu izmaiņām.

Piemēram, lai noskaidrotu, cik dienas nepieciešams 6 strādniekiem, vispirms ir jāaprēķina, cik dienas ir nepieciešams vienam strādniekam (168 5 = 840), un pēc tam — cik dienas nepieciešams sešiem darbiniekiem (840: 6 = 140). Aplūkojot šo tabulu, mēs redzam, ka abi daudzumi ieguva sešas dažādas vērtības. Katra pirmā daudzuma vērtība atbilst konkrētam; otrās vērtības vērtība, piemēram, 10 atbilst 84, skaitlis 8 atbilst skaitlim 105 utt.

Ja ņemam vērā abu lielumu vērtības no kreisās puses uz labo, mēs redzēsim, ka augšējā daudzuma vērtības palielinās, bet apakšējā daudzuma vērtības samazinās. Uz palielinājumu un samazinājumu attiecas šāds likums: strādājošo skaita vērtības palielinās tikpat reižu, cik samazinās pavadītā darba laika vērtības. Šo domu vēl vienkāršāk var izteikt šādi: jo vairāk strādnieku ir iesaistīti jebkurā uzdevumā, jo mazāk laika viņiem nepieciešams, lai paveiktu noteiktu darbu. Divus lielumus, ar kuriem mēs saskārāmies šajā problēmā, sauc apgriezti proporcionāls.

Tātad, ja divi lielumi ir saistīti viens ar otru tā, ka viena vērtībai vairākkārt palielinoties (samazinoties), otra vērtībai samazinoties (palielinoties) par tādu pašu lielumu, tad šādus lielumus sauc par apgriezti proporcionāliem. .

Dzīvē ir daudz līdzīgu daudzumu. Sniegsim piemērus.

1. Ja par 150 rubļiem. Ja nepieciešams iegādāties vairākus kilogramus smagus saldumus, konfekšu skaits būs atkarīgs no viena kilograma cenas. Jo augstāka cena, jo mazāk preču var nopirkt par šo naudu; to var redzēt no tabulas:

Konfekšu cenai pieaugot vairākas reizes, par tikpat daudz samazinās konfekšu kilogramu skaits, ko var nopirkt par 150 rubļiem. Šajā gadījumā divi daudzumi (preces svars un tā cena) ir apgriezti proporcionāli.

2. Ja attālums starp divām pilsētām ir 1200 km, tad to var pieveikt dažādi laiki atkarībā no kustības ātruma. Pastāv Dažādi ceļi pārvadājumi: kājām, zirga mugurā, ar velosipēdu, ar laivu, automašīnā, vilcienā, lidmašīnā. Jo mazāks ātrums, jo vairāk laika nepieciešams kustībai. To var redzēt no tabulas:

Vairākas reizes palielinot ātrumu, brauciena laiks samazinās par tādu pašu summu. Tas nozīmē, ka šajos apstākļos ātrums un laiks ir apgriezti proporcionāli lielumi.

§ 135. Apgriezti proporcionālu lielumu īpašība.

Ņemsim otro piemēru, kuru apskatījām iepriekšējā rindkopā. Tur mēs tikām galā ar diviem lielumiem – ātrumu un laiku. Ja aplūkosim šo lielumu vērtību tabulu no kreisās uz labo pusi, mēs redzēsim, ka pirmā daudzuma (ātruma) vērtības palielinās, bet otrā (laika) vērtības samazinās, un ātrums palielinās par tikpat, cik laiks samazinās. Nav grūti saprast, ka, ja ierakstāt viena daudzuma dažu vērtību attiecību, tad tā nebūs vienāda ar cita daudzuma atbilstošo vērtību attiecību. Faktiski, ja mēs ņemam augšējās vērtības ceturtās vērtības attiecību pret septīto vērtību (40: 80), tad tā nebūs vienāda ar apakšējās vērtības ceturtās un septītās vērtības attiecību (30: 15). To var uzrakstīt šādi:

40:80 nav vienāds ar 30:15 vai 40:80 =/=30:15.

Bet, ja vienas no šīm attiecībām vietā ņemam pretējo, tad iegūstam vienlīdzību, t.i., no šīm attiecībām varēs izveidot proporciju. Piemēram:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Pamatojoties uz iepriekš minēto, mēs varam izdarīt šādu secinājumu: ja divi lielumi ir apgriezti proporcionāli, tad divu patvaļīgi ņemtu viena daudzuma vērtību attiecība ir vienāda ar cita daudzuma atbilstošo vērtību apgriezto attiecību.

§ 136. Apgrieztās proporcionalitātes formula.

Apsveriet problēmu: “Ir 6 dažāda izmēra un dažādu šķiru zīda auduma gabali. Visi gabali maksā vienādi. Vienā gabalā ir 100 m auduma, cena 20 rubļi. par metru Cik metru ir katrā no pārējām piecām daļām, ja auduma metrs šajos gabalos maksā attiecīgi 25, 40, 50, 80, 100 rubļus? Lai atrisinātu šo problēmu, izveidosim tabulu:

Mums jāaizpilda tukšās šūnas šīs tabulas augšējā rindā. Vispirms mēģināsim noteikt, cik metru ir otrajā gabalā. To var izdarīt šādi. No problēmas apstākļiem ir zināms, ka visu gabalu izmaksas ir vienādas. Pirmā gabala izmaksas ir viegli noteikt: tajā ir 100 metri, un katrs metrs maksā 20 rubļus, kas nozīmē, ka pirmā zīda gabala vērtība ir 2000 rubļu. Tā kā otrajā zīda gabalā ir tikpat daudz rubļu, tad, dalot 2000 rubļu. par viena metra cenu, t.i., 25, atrodam otrā gabala izmēru: 2000: 25 = 80 (m). Tādā pašā veidā mēs atradīsim visu pārējo gabalu izmērus. Tabula izskatīsies šādi:

Ir viegli redzēt, ka starp skaitītāju skaitu un cenu pastāv apgriezti proporcionāla sakarība.

Ja pats veiksit nepieciešamos aprēķinus, pamanīsit, ka katru reizi skaitlis 2000 ir jādala ar 1 m cenu Gluži pretēji, ja tagad sākat gabala izmēru metros reizināt ar 1 m cenu. , jūs vienmēr saņemsit numuru 2000. Tas un tas bija jāgaida, jo katrs gabals maksā 2000 rubļu.

No šejienes mēs varam izdarīt šādu secinājumu: noteiktam apgriezti proporcionālu daudzumu pārim jebkura lieluma jebkuras vērtības reizinājums ar cita lieluma atbilstošo vērtību ir nemainīgs skaitlis (t.i., nemainās).

Mūsu uzdevumā šis produkts ir vienāds ar 2000. Pārbaudiet, vai iepriekšējā uzdevumā, kurā tika runāts par kustības ātrumu un laiku, kas nepieciešams, lai pārvietotos no vienas pilsētas uz otru, šai problēmai bija arī nemainīgs skaitlis (1200).

Ņemot vērā visu, ir viegli iegūt apgrieztās proporcionalitātes formulu. Viena lieluma noteiktu vērtību apzīmēsim ar burtu X , un cita daudzuma atbilstošā vērtība tiek attēlota ar burtu plkst . Pēc tam, pamatojoties uz iepriekš minēto, darbs X ieslēgts plkst jābūt vienādam ar kādu nemainīgu vērtību, ko apzīmējam ar burtu UZ, t.i.

x y = UZ.

Šajā vienlīdzībā X - reizinātājs plkst - reizinātājs un K- darbs. Atbilstoši reizināšanas īpašībai reizinātājs ir vienāds ar reizinājumu, kas dalīts ar reizinātāju. nozīmē,

Šī ir apgrieztās proporcionalitātes formula. Izmantojot to, mēs varam aprēķināt jebkuru vērtību skaitu vienam no apgriezti proporcionālajiem lielumiem, zinot otra vērtības un nemainīgo skaitli UZ.

Apskatīsim citu problēmu: “Vienas esejas autors aprēķināja, ja viņa grāmata ir parastā formātā, tad tai būs 96 lappuses, bet, ja kabatas formātā, tad 300 lappuses. Viņš mēģināja dažādi varianti, sākās ar 96 lappusēm, un tad viņam bija 2500 burti vienā lapā. Tad viņš paņēma tabulā redzamos lappušu numurus un vēlreiz aprēķināja, cik burtu būs uz lapas.

Mēģināsim aprēķināt, cik burtu būs uz lapas, ja grāmatai ir 100 lappuses.

Visā grāmatā ir 240 000 burtu, jo 2500 96 = 240 000.

Ņemot to vērā, mēs izmantojam apgrieztās proporcionalitātes formulu ( plkst - burtu skaits lapā, X - lappušu skaits):

Mūsu piemērā UZ= 240 000 tātad

Tātad lapā ir 2400 burtu.

Tāpat mēs uzzinām, ka, ja grāmatai ir 120 lappuses, tad burtu skaits lapā būs:

Mūsu tabula izskatīsies šādi:

Pārējās šūnas aizpildiet pats.

137.§ Citas uzdevumu risināšanas metodes ar apgriezti proporcionāliem lielumiem.

Iepriekšējā rindkopā mēs atrisinājām problēmas, kuru nosacījumi ietvēra apgriezti proporcionālus lielumus. Vispirms mēs atvasinājām apgrieztās proporcionalitātes formulu un pēc tam izmantojām šo formulu. Tagad mēs parādīsim divus citus šādu problēmu risinājumus.

1. Reducēšanas līdz vienotībai metode.

Uzdevums. 5 virpotāji var paveikt kādu darbu 16 dienu laikā. Cik dienu laikā 8 virpotāji var paveikt šo darbu?

Risinājums. Pastāv apgriezta sakarība starp virpotāju skaitu un darba stundām. Ja 5 virpotāji darbu paveic 16 dienās, tad vienam cilvēkam šim būs nepieciešams 5 reizes vairāk laika, t.i.

5 virpotāji pabeidz darbu 16 dienās,

1 virpotājs to pabeigs 16 5 = 80 dienās.

Problēma jautā, cik dienas būs nepieciešamas 8 virpotāji, lai pabeigtu darbu. Acīmredzot viņi ar darbu tiks galā 8 reizes ātrāk nekā 1 virpotājs, t.i., iekšā

80: 8 = 10 (dienas).

Tas ir problēmas risinājums, samazinot to līdz vienotībai. Šeit vispirms bija jānosaka laiks, kas nepieciešams viena strādnieka darba pabeigšanai.

2. Proporcijas metode. Atrisināsim to pašu problēmu otrā veidā.

Tā kā starp strādnieku skaitu un darba laiku pastāv apgriezti proporcionāla sakarība, varam rakstīt: 5 virpotāju darba ilgums jauns virpotāju skaits (8) 8 virpotāju darba ilgums iepriekšējais virpotāju skaits (5) Apzīmēsim nepieciešamais darba ilgums ar vēstuli X un aizstājiet vajadzīgos skaitļus ar vārdiem izteiktajā proporcijā:

Tāda pati problēma tiek atrisināta ar proporciju metodi. Lai to atrisinātu, mums bija jāizveido proporcija no problēmas izklāstā iekļautajiem skaitļiem.

Piezīme. Iepriekšējos punktos mēs izskatījām tiešās un apgrieztās proporcionalitātes jautājumu. Daba un dzīve mums sniedz daudz piemēru tiešai un apgriezti proporcionālai daudzumu atkarībai. Tomēr jāatzīmē, ka šie divi atkarības veidi ir tikai vienkāršākie. Kopā ar tiem pastāv arī citas, daudz sarežģītākas atkarības starp daudzumiem. Turklāt nevajadzētu domāt, ka, ja kādi divi lielumi vienlaikus palielinās, tad starp tiem noteikti ir tieša proporcionalitāte. Tas ir tālu no patiesības. Piemēram, nodevas par dzelzceļš palielinās atkarībā no attāluma: jo tālāk braucam, jo ​​vairāk maksājam, taču tas nenozīmē, ka maksājums ir proporcionāls attālumam.

Piemērs

1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6/7 = 0,8 utt.

Proporcionalitātes faktors

Tiek saukta nemainīga proporcionālu lielumu attiecība proporcionalitātes koeficients. Proporcionalitātes koeficients parāda, cik viena daudzuma vienību ir cita daudzuma vienībai.

Tiešā proporcionalitāte

Tiešā proporcionalitāte- funkcionālā atkarība, kurā noteikts daudzums ir atkarīgs no cita lieluma tā, ka to attiecība paliek nemainīga. Citiem vārdiem sakot, šie mainīgie mainās proporcionāli, vienādās daļās, tas ir, ja arguments mainās divreiz jebkurā virzienā, tad arī funkcija mainās divreiz tajā pašā virzienā.

Matemātiski tiešā proporcionalitāte tiek uzrakstīta kā formula:

f(x) = ax,a = const

Apgrieztā proporcionalitāte

Apgrieztā proporcionalitāte- tā ir funkcionāla atkarība, kurā neatkarīgās vērtības (argumenta) pieaugums izraisa proporcionālu atkarīgās vērtības (funkcijas) samazināšanos.

Matemātiski apgrieztā proporcionalitāte tiek uzrakstīta kā formula:

Funkciju īpašības:

Avoti

Wikimedia fonds. 2010. gads.

Pamatmērķi:

• ieviest lielumu tiešās un apgriezti proporcionālās atkarības jēdzienu;
• iemācīt risināt problēmas, izmantojot šīs atkarības;
• veicināt problēmu risināšanas prasmju attīstību;
• nostiprināt prasmi risināt vienādojumus, izmantojot proporcijas;
• atkārtojiet darbības ar parasto un decimāldaļas;
• attīstīties loģiskā domāšana studenti.

NODARBĪBU LAIKĀ

es Pašnoteikšanās darbībai(Organizācijas laiks)

- Puiši! Šodien nodarbībā iepazīsimies ar problēmām, kas risinātas, izmantojot proporcijas.

II. Zināšanu atjaunošana un aktivitāšu grūtību fiksēšana

2.1. Mutisks darbs (3 min)

– Atrodi izteicienu nozīmi un noskaidro atbildēs šifrēto vārdu.

14 – s; 0,1 – un; 7 – l; 0,2 – a; 17 – iekšā; 25 – līdz

- Rezultātā iegūtais vārds ir spēks. Labi padarīts!
– Mūsu šodienas nodarbības moto: Spēks ir zināšanās! Es meklēju - tas nozīmē, ka es mācos!
– Izveidojiet proporciju no iegūtajiem skaitļiem. (14:7 = 0,2:0,1 utt.)

2.2. Apskatīsim attiecības starp mums zināmajiem daudzumiem (7 min)

– attālums, ko automašīna veic ar nemainīgu ātrumu, un tās kustības laiks: S = v t ( pieaugot ātrumam (laikam), attālums palielinās);
– transportlīdzekļa ātrums un ceļojumā pavadītais laiks: v=S:t(palielinoties ceļa nobraukšanas laikam, ātrums samazinās);
– par vienu cenu iegādāto preču izmaksas un to daudzums: C = a · n (palielinoties (samazinoties) cenai, pirkuma izmaksas palielinās (samazinās));
– preces cena un tās daudzums: a = C: n (palielinoties daudzumam, cena samazinās)
– taisnstūra laukums un tā garums (platums): S = a · b (palielinoties garumam (platumam), laukums palielinās);
– taisnstūra garums un platums: a = S: b (garumam palielinoties platums samazinās;
– darbinieku skaits, kas veic kādu darbu ar vienādu darba ražīgumu, un laiks, kas nepieciešams šī darba pabeigšanai: t = A: n (palielinoties strādnieku skaitam, darba veikšanai patērētais laiks samazinās) utt. .

Mēs esam ieguvuši atkarības, kurās, palielinoties vienam daudzumam vairākas reizes, otrs uzreiz palielinās par tādu pašu summu (piemēri parādīti ar bultiņām) un atkarības, kurās, palielinoties vienam daudzumam vairākas reizes, otrais daudzums samazinās par tikpat reižu.
Šādas atkarības sauc par tiešo un apgriezto proporcionalitāti.
Tieši proporcionāla atkarība– sakarība, kurā, vienai vērtībai palielinoties (samazinoties) vairākas reizes, otrā vērtība palielinās (samazinās) par tādu pašu summu.
Apgriezti proporcionāla attiecība– sakarība, kurā, vienai vērtībai palielinoties (samazinoties) vairākas reizes, otrā vērtība samazinās (palielinās) par tādu pašu summu.

III. Mācību uzdevuma noteikšana

– Ar kādu problēmu mēs saskaramies? (Iemācīties atšķirt tiešās un apgrieztās atkarības)
- Šis - mērķis mūsu nodarbība. Tagad formulējiet temats nodarbība. (Tiešā un apgriezti proporcionālā attiecība).
- Labi padarīts! Pierakstiet piezīmju grāmatiņās stundas tēmu. (Skolotājs uzraksta tēmu uz tāfeles.)

IV. Jaunu zināšanu "atklāšana".(10 min)

Apskatīsim uzdevumu Nr.199.

1. Printeris izdrukā 27 lapas 4,5 minūtēs. Cik ilgs laiks būs nepieciešams, lai izdrukātu 300 lapas?

27 lapas – 4,5 min.
300 lappuses - x?

2. Kastītē ir 48 tējas iepakojumi, katrs pa 250 g. Cik 150g šīs tējas iepakojumus jūs saņemsiet?

48 iepakojumi – 250 g.
X? - 150 g.

3. Automašīna nobrauca 310 km, izmantojot 25 litrus benzīna. Cik tālu var nobraukt automašīna ar pilnu 40L tvertni?

310 km – 25 l
X? – 40 l

4. Vienam no sajūga pārnesumiem ir 32 zobi, bet otram - 40. Cik apgriezienus veiks otrais pārnesums, kamēr pirmais 215?

32 zobi – 315 apgr.
40 zobi – x?

Lai sastādītu proporciju, ir nepieciešams viens bultiņu virziens, tāpēc apgrieztā proporcionalitātē viena attiecība tiek aizstāta ar apgriezto.

Pie tāfeles skolēni atrod lielumu nozīmi, uz vietas skolēni pēc izvēles risina vienu uzdevumu.

– Formulējiet noteikumu problēmu risināšanai ar tiešu un apgriezti proporcionālu atkarību.

Uz tāfeles parādās tabula:

V. Primārā konsolidācija ārējā runā(10 min)

Darba lapas uzdevumi:

1. No 21 kg kokvilnas sēklu ieguva 5,1 kg eļļas. Cik daudz eļļas iegūs no 7 kg kokvilnas sēklu?
2. Lai uzbūvētu stadionu, 5 buldozeri notīrīja vietu 210 minūtēs. Cik ilgs laiks būtu nepieciešams 7 buldozeriem, lai notīrītu šo vietni?

VI. Patstāvīgs darbs ar pašpārbaudi pret standartu(5 minūtes)

Divi skolēni patstāvīgi veic uzdevumu Nr.225 uz slēptām tāfelēm, bet pārējie - burtnīcās. Pēc tam viņi pārbauda algoritma darbību un salīdzina to ar risinājumu uz tāfeles. Kļūdas tiek novērstas un to cēloņi tiek noteikti. Ja uzdevums ir izpildīts pareizi, tad skolēni pieliek zīmi “+”.
Studenti, kuri pieļauj kļūdas patstāvīgajā darbā, var izmantot konsultantus.

VII. Iekļaušana zināšanu sistēmā un atkārtošana№ 271, № 270.

Padomē strādā seši cilvēki. Pēc 3-4 minūtēm skolēni, kas strādā pie tāfeles, prezentē savus risinājumus, bet pārējie pārbauda uzdevumus un piedalās diskusijā.

VIII. Pārdomas par aktivitāti (nodarbības kopsavilkums)

– Ko jaunu jūs uzzinājāt nodarbībā?
-Ko viņi atkārtoja?
– Kāds ir proporciju uzdevumu risināšanas algoritms?
– Vai esam sasnieguši savu mērķi?
– Kā jūs vērtējat savu darbu?