Šajā video mēs analizēsim visu komplektu lineārie vienādojumi, kas tiek atrisināti, izmantojot vienu un to pašu algoritmu - tāpēc tos sauc par vienkāršākajiem.
Vispirms definēsim: kas ir lineārais vienādojums un kuru sauc par vienkāršāko?
Lineārs vienādojums ir tāds, kurā ir tikai viens mainīgais un tikai līdz pirmajai pakāpei.
Vienkāršākais vienādojums nozīmē konstrukciju:
Visi pārējie lineārie vienādojumi tiek reducēti līdz vienkāršākajiem, izmantojot algoritmu:
- Izvērsiet iekavas, ja tādas ir;
- Pārvietot terminus, kas satur mainīgo uz vienu vienādības zīmes pusi, un terminus bez mainīgā uz otru;
- Dodiet līdzīgus terminus pa kreisi un pa labi no vienādības zīmes;
- Sadaliet iegūto vienādojumu ar mainīgā $x$ koeficientu.
Protams, šis algoritms ne vienmēr palīdz. Fakts ir tāds, ka dažkārt pēc visām šīm mahinācijām mainīgā $x$ koeficients izrādās vienāds ar nulli. Šajā gadījumā ir iespējamas divas iespējas:
- Vienādojumam vispār nav atrisinājumu. Piemēram, kad izrādās kaut kas līdzīgs $0\cdot x=8$, t.i. kreisajā pusē ir nulle, bet labajā pusē ir skaitlis, kas nav nulle. Tālāk esošajā videoklipā apskatīsim vairākus iemeslus, kāpēc šāda situācija ir iespējama.
- Risinājums ir visi skaitļi. Vienīgais gadījums, kad tas ir iespējams, ir tad, kad vienādojums ir reducēts līdz konstrukcijai $0\cdot x=0$. Diezgan loģiski, ka neatkarīgi no tā, kādu $x$ mēs aizstātu, tomēr izrādīsies “nulle ir vienāda ar nulli”, t.i. pareiza skaitliskā vienādība.
Tagad redzēsim, kā tas viss darbojas, izmantojot reālas dzīves piemērus.
Vienādojumu risināšanas piemēri
Šodien mums ir darīšana ar lineāriem vienādojumiem un tikai visvienkāršākajiem. Kopumā lineārais vienādojums nozīmē jebkuru vienādību, kas satur tieši vienu mainīgo, un tas attiecas tikai uz pirmo pakāpi.
Šādas konstrukcijas tiek atrisinātas aptuveni tādā pašā veidā:
- Pirmkārt, jums ir jāpaplašina iekavas, ja tādas ir (kā mūsu pēdējā piemērā);
- Pēc tam apvienojiet līdzīgus
- Visbeidzot, izolējiet mainīgo, t.i. pārvietot visu, kas saistīts ar mainīgo — terminus, kuros tas ir ietverts — uz vienu pusi, un visu, kas paliek bez tā, uz otru pusi.
Tad, kā likums, katrā iegūtās vienādības pusē ir jāiesniedz līdzīgi, un pēc tam atliek tikai dalīt ar koeficientu “x”, un mēs saņemsim galīgo atbildi.
Teorētiski tas izskatās jauki un vienkārši, taču praksē pat pieredzējuši vidusskolēni var pieļaut aizvainojošas kļūdas diezgan vienkāršos lineārajos vienādojumos. Parasti kļūdas tiek pieļautas, atverot iekavas vai aprēķinot “plusi” un “mīnusus”.
Turklāt gadās, ka lineāram vienādojumam vispār nav atrisinājumu vai arī risinājums ir visa skaitļa līnija, t.i. jebkurš skaitlis. Šīs smalkumus aplūkosim šodienas nodarbībā. Bet mēs sāksim, kā jūs jau sapratāt, ar pašu vienkāršus uzdevumus.
Vienkāršu lineāro vienādojumu risināšanas shēma
Pirmkārt, ļaujiet man vēlreiz uzrakstīt visu shēmu vienkāršāko lineāro vienādojumu risināšanai:
- Paplašiniet iekavas, ja tādas ir.
- Mēs izdalām mainīgos, t.i. Mēs pārvietojam visu, kas satur “X”, uz vienu pusi un visu bez “X” uz otru.
- Mēs piedāvājam līdzīgus terminus.
- Mēs visu sadalām ar koeficientu “x”.
Protams, šī shēma ne vienmēr darbojas, tajā ir daži smalkumi un triki, un tagad mēs tos iepazīsim.
Vienkāršu lineāro vienādojumu reālu piemēru risināšana
Uzdevums Nr.1
Pirmajā solī mums ir jāatver iekavas. Bet tie nav šajā piemērā, tāpēc mēs izlaižam šo soli. Otrajā solī mums ir jāizolē mainīgie. Piezīme: mēs runājam par tikai par atsevišķiem noteikumiem. Pierakstīsim to:
Mēs piedāvājam līdzīgus terminus kreisajā un labajā pusē, taču tas jau ir izdarīts šeit. Tāpēc mēs pārejam uz ceturto soli: dala ar koeficientu:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Tātad mēs saņēmām atbildi.
Uzdevums Nr.2
Šajā uzdevumā mēs varam redzēt iekavas, tāpēc paplašināsim tās:
Gan pa kreisi, gan pa labi redzam aptuveni vienādu dizainu, bet rīkosimies pēc algoritma, t.i. atdalot mainīgos:
Šeit ir daži līdzīgi:
Pie kādām saknēm tas darbojas? Atbilde: jebkuram. Tāpēc mēs varam rakstīt, ka $x$ ir jebkurš skaitlis.
Uzdevums Nr.3
Trešais lineārais vienādojums ir interesantāks:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
Šeit ir vairākas iekavas, bet tās nav reizinātas ar neko, vienkārši pirms tām ir dažādas zīmes. Sadalīsim tos:
Mēs veicam otro mums jau zināmo soli:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Aprēķināsim:
Mēs veicam pēdējais solis— visu dala ar koeficientu “x”:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Lietas, kas jāatceras, risinot lineāros vienādojumus
Ja mēs ignorējam pārāk vienkāršus uzdevumus, es gribētu teikt sekojošo:
- Kā jau teicu iepriekš, ne katram lineārajam vienādojumam ir risinājums - dažreiz vienkārši nav sakņu;
- Pat ja ir saknes, starp tām var būt nulle - tur nav nekā slikta.
Nulle ir tāds pats skaitlis kā citi; jums nevajadzētu to nekādā veidā diskriminēt vai pieņemt, ka, ja jūs saņemat nulle, tad esat izdarījis kaut ko nepareizi.
Vēl viena iezīme ir saistīta ar kronšteinu atvēršanu. Lūdzu, ņemiet vērā: ja priekšā ir “mīnuss”, mēs to noņemam, bet iekavās mainām zīmes uz pretī. Un tad mēs varam to atvērt, izmantojot standarta algoritmus: mēs iegūsim to, ko redzējām iepriekš minētajos aprēķinos.
Izpratne par šo vienkāršo faktu palīdzēs izvairīties no stulbām un sāpinošām kļūdām vidusskolā, kad šādas lietas tiek uzskatītas par pašsaprotamām.
Sarežģītu lineāro vienādojumu risināšana
Pāriesim pie vairāk sarežģīti vienādojumi. Tagad konstrukcijas kļūs sarežģītākas un, veicot dažādas transformācijas, parādīsies kvadrātiskā funkcija. Tomēr mums no tā nav jābaidās, jo, ja saskaņā ar autora plānu mēs risinām lineāru vienādojumu, tad transformācijas procesā noteikti tiks atcelti visi monomi, kas satur kvadrātfunkciju.
Piemērs Nr.1
Acīmredzot pirmais solis ir kronšteinu atvēršana. Darīsim to ļoti uzmanīgi:
Tagad apskatīsim privātumu:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Šeit ir daži līdzīgi:
Acīmredzot šim vienādojumam nav atrisinājumu, tāpēc mēs to rakstīsim atbildē:
\[\varnothing\]
vai arī nav sakņu.
Piemērs Nr.2
Mēs veicam tādas pašas darbības. Pirmais solis:
Pārvietosim visu ar mainīgo pa kreisi un bez tā - pa labi:
Šeit ir daži līdzīgi:
Acīmredzot šim lineārajam vienādojumam nav risinājuma, tāpēc mēs to rakstīsim šādi:
\[\varnothing\],
vai arī nav sakņu.
Risinājuma nianses
Abi vienādojumi ir pilnībā atrisināti. Izmantojot šīs divas izteiksmes kā piemēru, mēs vēlreiz pārliecinājāmies, ka pat visvienkāršākajos lineārajos vienādojumos viss var nebūt tik vienkārši: var būt vai nu viena, vai neviena, vai bezgalīgi daudz sakņu. Mūsu gadījumā mēs izskatījām divus vienādojumus, abiem vienkārši nav sakņu.
Bet es vēlos vērst jūsu uzmanību uz vēl vienu faktu: kā strādāt ar iekavām un kā tās atvērt, ja priekšā ir mīnusa zīme. Apsveriet šo izteiksmi:
Pirms atvēršanas viss jāreizina ar “X”. Lūdzu, ņemiet vērā: reizina katru atsevišķu terminu. Iekšpusē ir divi termini - attiecīgi divi termini un reizināts.
Un tikai pēc tam, kad ir pabeigtas šīs it kā elementārās, bet ļoti svarīgās un bīstamās pārvērtības, jūs varat atvērt kronšteinu no tā viedokļa, ka aiz tā ir mīnusa zīme. Jā, jā: tikai tagad, kad transformācijas ir pabeigtas, atceramies, ka iekavās priekšā ir mīnusa zīme, kas nozīmē, ka viss zemāk vienkārši maina zīmes. Tajā pašā laikā pazūd paši kronšteini un, pats galvenais, pazūd arī priekšējais "mīnuss".
Mēs darām to pašu ar otro vienādojumu:
Ne jau nejauši es pievēršu uzmanību šiem mazajiem, šķietami nenozīmīgajiem faktiem. Jo vienādojumu risināšana vienmēr ir elementāru transformāciju secība, kur nespēj skaidri un kompetenti veikt vienkāršas darbības noved pie tā, ka vidusskolēni nāk pie manis un atkal mācās risināt tik vienkāršus vienādojumus.
Protams, pienāks diena, kad šīs prasmes noslīpēsi līdz automātismam. Jums vairs nebūs katru reizi jāveic tik daudz pārveidojumu, jūs visu uzrakstīsit vienā rindā. Bet, kamēr jūs tikai mācāties, jums ir jāraksta katra darbība atsevišķi.
Vēl sarežģītāku lineāro vienādojumu risināšana
To, ko mēs tagad risināsim, diez vai var saukt par vienkāršāko uzdevumu, bet nozīme paliek nemainīga.
Uzdevums Nr.1
\[\kreisais(7x+1\labais)\kreisais(3x-1\labais)-21((x)^(2))=3\]
Sareizināsim visus elementus pirmajā daļā:
Padarīsim dažus privātuma pasākumus:
Šeit ir daži līdzīgi:
Pabeigsim pēdējo darbību:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Šeit ir mūsu galīgā atbilde. Un, neskatoties uz to, ka risināšanas procesā mums bija koeficienti ar kvadrātfunkciju, tie viens otru atcēla, kas padara vienādojumu lineāru, nevis kvadrātisku.
Uzdevums Nr.2
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
Uzmanīgi veiksim pirmo soli: reiziniet katru elementu no pirmās iekavas ar katru elementu no otrās. Pēc pārveidojumiem vajadzētu būt pavisam četriem jauniem terminiem:
Tagad rūpīgi veiksim reizināšanu katrā terminā:
Pārvietosim terminus ar “X” pa kreisi un tos, kuriem nav – pa labi:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Šeit ir līdzīgi termini:
Atkal esam saņēmuši galīgo atbildi.
Risinājuma nianses
Vissvarīgākā piezīme par šiem diviem vienādojumiem ir šāda: tiklīdz mēs sākam reizināt iekavas, kas satur vairāk nekā vienu terminu, tas tiek darīts saskaņā ar šādu noteikumu: mēs ņemam pirmo vārdu no pirmā un reizinām ar katru elementu no otrais; tad ņemam otro elementu no pirmā un līdzīgi reizinām ar katru elementu no otrā. Rezultātā mums būs četri termiņi.
Par algebrisko summu
Ar šo pēdējo piemēru es vēlētos studentiem atgādināt, ko algebriskā summa. Klasiskajā matemātikā ar $1-7$ mēs domājam vienkāršu konstrukciju: no viena atņemiet septiņus. Algebrā ar to mēs saprotam sekojošo: skaitlim “viens” pievienojam citu skaitli, proti, “mīnus septiņi”. Tādējādi algebriskā summa atšķiras no parastās aritmētiskās summas.
Tiklīdz, veicot visas transformācijas, katru saskaitīšanu un reizināšanu, jūs sākat redzēt konstrukcijas, kas līdzīgas iepriekš aprakstītajām, jums vienkārši nebūs problēmu algebrā, strādājot ar polinomiem un vienādojumiem.
Visbeidzot, apskatīsim vēl dažus piemērus, kas būs vēl sarežģītāki par tiem, kurus mēs tikko apskatījām, un, lai tos atrisinātu, mums būs nedaudz jāpaplašina mūsu standarta algoritms.
Vienādojumu risināšana ar daļskaitļiem
Lai atrisinātu šādus uzdevumus, mums mūsu algoritmam būs jāpievieno vēl viens solis. Bet vispirms ļaujiet man jums atgādināt mūsu algoritmu:
- Atveriet kronšteinus.
- Atsevišķi mainīgie.
- Ņemiet līdzi līdzīgus.
- Sadaliet ar attiecību.
Diemžēl šis brīnišķīgais algoritms, neskatoties uz visu tā efektivitāti, izrādās ne visai piemērots, ja mums priekšā ir daļskaitļi. Un tajā, ko mēs redzēsim tālāk, mums abos vienādojumos ir daļa gan kreisajā, gan labajā pusē.
Kā šajā gadījumā strādāt? Jā, tas ir ļoti vienkārši! Lai to izdarītu, algoritmam jāpievieno vēl viens solis, ko var veikt gan pirms, gan pēc pirmās darbības, proti, atbrīvošanās no daļskaitļiem. Tātad algoritms būs šāds:
- Atbrīvojieties no frakcijām.
- Atveriet kronšteinus.
- Atsevišķi mainīgie.
- Ņemiet līdzi līdzīgus.
- Sadaliet ar attiecību.
Ko nozīmē “atbrīvoties no frakcijām”? Un kāpēc to var izdarīt gan pēc, gan pirms pirmā standarta soļa? Faktiski mūsu gadījumā visas daļskaitļi savā saucējā ir skaitliski, t.i. Visur saucējs ir tikai skaitlis. Tāpēc, ja mēs reizinām abas vienādojuma puses ar šo skaitli, mēs atbrīvosimies no daļām.
Piemērs Nr.1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Atbrīvosimies no daļām šajā vienādojumā:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Lūdzu, ņemiet vērā: viss tiek reizināts ar “četri”, t.i. tas, ka jums ir divas iekavas, nenozīmē, ka jums katra no tām ir jāreizina ar "četri". Pierakstīsim:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Tagad paplašināsim:
Mēs izslēdzam mainīgo:
Mēs veicam līdzīgu terminu samazināšanu:
\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Esam saņēmuši gala risinājumu, pāriesim pie otrā vienādojuma.
Piemērs Nr.2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
Šeit mēs veicam visas tās pašas darbības:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Problēma ir atrisināta.
Tas patiesībā ir viss, ko es šodien gribēju jums pateikt.
Galvenie punkti
Galvenie atklājumi ir:
- Zināt lineāro vienādojumu risināšanas algoritmu.
- Spēja atvērt iekavas.
- Neuztraucieties, ja jums kaut kur ir kvadrātfunkcijas, visticamāk, turpmāko transformāciju procesā tās tiks samazinātas.
- Lineārajos vienādojumos ir trīs veidu saknes, pat visvienkāršākajos: viena sakne, visa skaitļu līnija ir sakne, un sakņu nav vispār.
Es ceru, ka šī nodarbība palīdzēs jums apgūt vienkāršu, bet ļoti svarīgu tēmu visas matemātikas tālākai izpratnei. Ja kaut kas nav skaidrs, dodieties uz vietni un atrisiniet tur sniegtos piemērus. Sekojiet līdzi jaunumiem, jūs gaida vēl daudz interesantu lietu!
Šī vienādojuma daļa ir izteiksme iekavās. Lai atvērtu iekavas, apskatiet zīmi iekavu priekšā. Ja ir plus zīme, iekavu atvēršana izteiksmē neko nemainīs: vienkārši noņemiet iekavas. Ja ir mīnusa zīme, atverot iekavas, ir jānomaina visas zīmes, kas sākotnēji bija iekavās, uz pretējām. Piemēram, -(2x-3)=-2x+3.
Reizinot divas iekavas.
Ja vienādojumā ir divu iekavu reizinājums, izvērsiet iekavas saskaņā ar standarta noteikumu. Katrs termins pirmajā iekavā tiek reizināts ar katru vārdu otrajā iekavā. Iegūtie skaitļi tiek summēti. Šajā gadījumā divu “plusu” vai divu “mīnusu” reizinājums piešķir terminam “plus” zīmi, un, ja faktoriem ir dažādas zīmes, tas saņem “mīnusa” zīmi.
Apsvērsim.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Atverot iekavas, dažreiz paaugstinot izteiksmi līdz . Kvadrātveida un kubošanas formulas ir jāzina no galvas un jāatceras.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Formulas izteiksmes, kas lielāka par trīs, konstruēšanai var veikt, izmantojot Paskāla trīsstūri.
Avoti:
- iekavas paplašināšanas formula
Iekļauts iekavās matemātiskās operācijas var saturēt mainīgos un izteiksmes dažādas pakāpes grūtības. Lai pavairotos šādas izteiksmes, jums būs jāmeklē risinājums vispārējs skats, atverot iekavas un vienkāršojot rezultātu. Ja iekavās ir darbības bez mainīgajiem, tikai ar skaitliskās vērtības, tad nav nepieciešams atvērt iekavas, jo, ja jums ir dators, tā lietotājam ir pieejami ļoti ievērojami skaitļošanas resursi - tos ir vieglāk izmantot, nekā vienkāršot izteiksmi.
Instrukcijas
Reiziniet secīgi katru (vai minuend ar ), kas atrodas vienā iekavā, ar visu pārējo iekavu saturu, ja vēlaties iegūt rezultātu vispārīgā formā. Piemēram, ļaujiet sākotnējo izteiksmi rakstīt šādi: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Tad secīga reizināšana (tas ir, atverot iekavas) dos šādu rezultātu: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 – 5∗x∗5∗x – 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x – x∗x∗x∗x - x∗x∗2∗x = 150∗x + 300 – 25∗x² – 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² – x∗x³ – 2∗x³.
Vienkāršojiet rezultātu, saīsinot izteiksmes. Piemēram, iepriekšējā solī iegūto izteiksmi var vienkāršot šādi: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 — 13∗ x² — 8∗x³ — x∗x³.
Izmantojiet kalkulatoru, ja jums jāreizina x ir vienāds ar 4,75, tas ir, (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Lai aprēķinātu šo vērtību, dodieties uz Google vai Nigma meklētājprogrammas vietni un vaicājuma laukā ievadiet izteiksmi tās sākotnējā formā (5+4,75)*(6-4,75)*(4,75+2). Google parādīs 82.265625 uzreiz, neklikšķinot uz pogas, bet Nigma ar pogas klikšķi jānosūta dati uz serveri.
Tagad mēs pāriesim pie iekavu atvēršanas izteiksmēs, kurās iekavās esošā izteiksme tiek reizināta ar skaitli vai izteiksmi. Formulēsim noteikumu iekavu atvēršanai, pirms kuras ir mīnusa zīme: iekavas kopā ar mīnusa zīmi tiek izlaistas, un visu iekavās esošo terminu zīmes tiek aizstātas ar pretējām.
Viens izteiksmes transformācijas veids ir iekavu paplašināšana. ciparu, burtiski izteicieni un izteiksmes ar mainīgajiem var veidot, izmantojot iekavas, kas var norādīt darbību veikšanas secību, satur negatīvu skaitli utt. Pieņemsim, ka iepriekš aprakstītajās izteiksmēs skaitļu un mainīgo vietā var būt jebkādas izteiksmes.
Un pievērsīsim uzmanību vēl vienam punktam attiecībā uz risinājuma rakstīšanas īpatnībām, atverot iekavas. Iepriekšējā rindkopā mēs runājām par to, ko sauc par sākuma iekavām. Lai to izdarītu, ir noteikumi par iekavu atvēršanu, kurus mēs tagad pārskatīsim. Šo noteikumu nosaka fakts, ka pozitīvos skaitļus parasti raksta bez iekavām; šajā gadījumā iekavas nav vajadzīgas. Izteiksmi (−3.7)−(−2)+4+(−9) bez iekavām var uzrakstīt kā −3.7+2+4−9.
Visbeidzot, trešā noteikuma daļa ir vienkārši ieraksta īpatnību dēļ negatīvi skaitļi pa kreisi no izteiksmes (kuru mēs minējām sadaļā par iekavām negatīvu skaitļu rakstīšanai). Jūs varat saskarties ar izteiksmēm, kas sastāv no skaitļa, mīnusa zīmēm un vairākiem iekavu pāriem. Ja atveriet iekavas, pārejot no iekšējās uz ārējo, risinājums būs šāds: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5 ))=−( 5)=−5.
Kā atvērt iekavas?
Šeit ir paskaidrojums: −(−2 x) ir +2 x, un, tā kā šī izteiksme ir pirmajā vietā, +2 x var uzrakstīt kā 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/x)=−1 /x un −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Rakstītā iekavu atvēršanas noteikuma pirmā daļa tieši izriet no negatīvu skaitļu reizināšanas noteikuma. Tās otrā daļa ir skaitļu reizināšanas ar noteikumu sekas dažādas zīmes. Pāriesim pie piemēriem par iekavu atvēršanu produktos un divu skaitļu ar atšķirīgām zīmēm koeficientiem.
Atvēršanas iekavas: noteikumi, piemēri, risinājumi.
Iepriekš minētais noteikums ņem vērā visu šo darbību ķēdi un ievērojami paātrina iekavu atvēršanas procesu. Tas pats noteikums ļauj atvērt iekavas izteiksmēs, kas ir produkti, un daļējās izteiksmēs ar mīnusa zīmi, kas nav summas un atšķirības.
Apskatīsim šī noteikuma piemērošanas piemērus. Dosim atbilstošo noteikumu. Iepriekš mēs jau esam sastapušies ar formas −(a) un −(−a) izteiksmēm, kuras bez iekavām tiek rakstītas attiecīgi kā −a un a. Piemēram, −(3)=3 un. Tie ir īpaši norādītā noteikuma gadījumi. Tagad apskatīsim piemērus, kā atvērt iekavas, ja tajās ir summas vai atšķirības. Parādīsim šī noteikuma izmantošanas piemērus. Apzīmēsim izteiksmi (b1+b2) kā b, pēc kuras mēs izmantojam iekavas reizināšanas noteikumu ar izteiksmi no iepriekšējās rindkopas, iegūstam (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(a1·b+a2· b)=a1·b+a2·b.
Ar indukciju šo apgalvojumu var paplašināt līdz patvaļīgam terminu skaitam katrā iekavā. Atliek atvērt iekavas iegūtajā izteiksmē, izmantojot iepriekšējo rindkopu noteikumus, beigās iegūstam 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x· 2·x·y3.
Matemātikas noteikums ir atvērt iekavas, ja iekavās ir (+) un (-).
Šī izteiksme ir trīs faktoru (2+4), 3 un (5+7·8) reizinājums. Jums būs secīgi jāatver iekavas. Tagad mēs izmantojam noteikumu iekavas reizināšanai ar skaitli, mums ir ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Grādi, kuru pamatā ir daži iekavās rakstīti izteicieni, ar natūrā var uzskatīt par vairāku iekavu reizinājumu.
Piemēram, pārveidosim izteiksmi (a+b+c)2. Pirmkārt, mēs to rakstām kā divu iekavu (a+b+c)·(a+b+c) reizinājumu, tagad iekavu reizinām ar iekavu, iegūstam a·a+a·b+a·c+ b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.
Mēs arī teiksim, ka, lai palielinātu divu skaitļu summas un atšķirības līdz dabiskajam pakāpēm, ieteicams izmantot Ņūtona binominālo formulu. Piemēram, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Ne mazāk ērti ir vispirms aizstāt dalīšanu ar reizināšanu un pēc tam izmantot atbilstošo noteikumu iekavas atvēršanai produktā.
Atliek saprast iekavu atvēršanas secību, izmantojot piemērus. Ņemsim izteiksmi (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Mēs aizstājam šos rezultātus ar sākotnējo izteiksmi: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7) . Atliek tikai pabeigt iekavas atvēršanu, kā rezultātā mums ir −5+3·2:4+6·7. Tas nozīmē, ka, pārejot no vienādības kreisās puses uz labo, notika iekavu atvēršana.
Ņemiet vērā, ka visos trīs piemēros mēs vienkārši noņēmām iekavas. Vispirms pievienojiet 445 pie 889. Šo darbību var veikt garīgi, taču tas nav ļoti viegli. Atvērsim iekavas un redzēsim, ka mainītā kārtība ievērojami vienkāršos aprēķinus.
Kā paplašināt iekavas citā pakāpē
Ilustrējošs piemērs un noteikums. Apskatīsim piemēru: . Izteiksmes vērtību var atrast, pievienojot 2 un 5 un pēc tam iegūstot iegūto skaitli ar pretējo zīmi. Noteikums nemainās, ja iekavās ir nevis divi, bet trīs vai vairāk termini. komentēt. Zīmes ir apgrieztas tikai terminu priekšā. Lai atvērtu iekavas, šajā gadījumā ir jāatceras sadales īpašība.
Par atsevišķiem cipariem iekavās
Jūsu kļūda nav zīmēs, bet gan nepareizā daļskaitļu apstrādē? 6. klasē mācījāmies par pozitīvajiem un negatīvajiem skaitļiem. Kā mēs atrisināsim piemērus un vienādojumus?
Cik ir iekavās? Ko jūs varat teikt par šiem izteicieniem? Protams, pirmā un otrā piemēra rezultāts ir vienāds, kas nozīmē, ka starp tiem var likt vienādības zīmi: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Ko mēs darījām ar iekavām?
6. slaida demonstrēšana ar iekavu atvēršanas noteikumiem. Tādējādi iekavu atvēršanas noteikumi palīdzēs mums atrisināt piemērus un vienkāršot izteiksmes. Tālāk studenti tiek aicināti strādāt pa pāriem: viņiem ir jāizmanto bultiņas, lai savienotu izteiksmi, kurā ir iekavas, ar atbilstošo izteiksmi bez iekavām.
11. slaids Reiz Saulainajā pilsētā Znaika un Danno strīdējās par to, kurš no viņiem ir pareizi atrisinājis vienādojumu. Tālāk skolēni paši atrisina vienādojumu, izmantojot iekavu atvēršanas noteikumus. Vienādojumu risināšana” Nodarbības mērķi: izglītojoši (zināšanu nostiprināšana par tēmu: “Atvēršanas iekavas.
Nodarbības tēma: “Atvēršanas iekavas. Šajā gadījumā jums ir jāreizina katrs vārds no pirmajām iekavām ar katru vārdu no otrajām iekavām un pēc tam jāpievieno rezultāti. Vispirms tiek ņemti pirmie divi faktori, kas ievietoti vēl vienā iekavā, un šajās iekavās tiek atvērtas iekavas saskaņā ar kādu no jau zināmajiem noteikumiem.
rawalan.freezeet.ru
Sākuma iekavas: noteikumi un piemēri (7. klase)
Iekavu galvenā funkcija ir mainīt darbību secību, aprēķinot vērtības skaitliskās izteiksmes . Piemēram, skaitliskā izteiksmē \(5·3+7\) vispirms tiks aprēķināts reizinājums un pēc tam saskaitīšana: \(5·3+7 =15+7=22\). Bet izteiksmē \(5·(3+7)\) vispirms tiks aprēķināta saskaitīšana iekavās un tikai pēc tam reizināšana: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Tomēr, ja mums ir darīšana ar algebriskā izteiksme kas satur mainīgs- piemēram, šādi: \(2(x-3)\) - tad nav iespējams aprēķināt iekavās esošo vērtību, mainīgais ir ceļā. Tāpēc šajā gadījumā iekavas tiek “atvērtas”, izmantojot atbilstošos noteikumus.
Iekavu atvēršanas noteikumi
Ja kronšteina priekšā ir plus zīme, tad kronšteins tiek vienkārši noņemts, izteiksme tajā paliek nemainīga. Citiem vārdiem sakot:
Šeit jāprecizē, ka matemātikā, lai saīsinātu apzīmējumus, plus zīmi pieņemts nerakstīt, ja tas izteiksmē parādās pirmais. Piemēram, ja saskaitām divus pozitīvus skaitļus, piemēram, septiņi un trīs, tad rakstām nevis \(+7+3\), bet vienkārši \(7+3\), neskatoties uz to, ka arī septiņi ir pozitīvs skaitlis. . Tāpat, ja redzat, piemēram, izteicienu \((5+x)\) - zināt to pirms iekavas ir pluss, kas nav rakstīts.
Piemērs
. Atveriet iekava un ievadiet līdzīgus terminus: \((x-11)+(2+3x)\).
Risinājums
: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).
Ja iekavas priekšā ir mīnusa zīme, tad, kad iekava tiek noņemta, katrs izteiksmes termins tajā maina zīmi uz pretējo:
Šeit ir jāprecizē, ka, kamēr iekavās bija a, bija plusa zīme (viņi to vienkārši neuzrakstīja), un pēc kronšteina noņemšanas šis plus tika mainīts uz mīnusu.
Piemērs
: vienkāršojiet izteiksmi \(2x-(-7+x)\).
Risinājums
: iekavas iekšpusē ir divi termini: \(-7\) un \(x\), un pirms iekavas ir mīnuss. Tas nozīmē, ka zīmes mainīsies – un septiņi tagad būs plus, un x tagad būs mīnuss. Atveriet kronšteinu un mēs piedāvājam līdzīgus terminus .
Piemērs.
Atveriet iekava un ievadiet līdzīgus terminus \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Risinājums
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Ja iekavas priekšā ir koeficients, tad katrs iekavas elements tiek reizināts ar to, tas ir:
Piemērs.
Izvērsiet iekavas \(5(3-x)\).
Risinājums
: iekavās ir \(3\) un \(-x\), un pirms iekavas ir piecinieks. Tas nozīmē, ka katrs iekavas elements tiek reizināts ar \(5\) — es jums to atgādinu Reizināšanas zīme starp skaitli un iekavām nav rakstīta matemātikā, lai samazinātu ierakstu lielumu.
Piemērs.
Izvērsiet iekavas \(-2(-3x+5)\).
Risinājums
: tāpat kā iepriekšējā piemērā, \(-3x\) un \(5\) iekavās tiek reizināti ar \(-2\).
Atliek apsvērt pēdējo situāciju.
Reizinot iekavu ar iekavu, katrs pirmās iekavas vārds tiek reizināts ar katru otrās iekavas vārdu:
Piemērs.
Izvērsiet iekavas \((2-x)(3x-1)\).
Risinājums
: Mums ir iekavu produkts, un to var nekavējoties paplašināt, izmantojot iepriekš minēto formulu. Bet, lai neapjuktu, darīsim visu soli pa solim.
1. darbība. Noņemiet pirmo kronšteinu un reiziniet katru elementu ar otro kronšteinu:
2. darbība. Izvērsiet iekavu un koeficienta produktus, kā aprakstīts iepriekš:
- Pirmās lietas vispirms...
3. darbība. Tagad mēs reizinām un parādām līdzīgus terminus:
Nav nepieciešams tik detalizēti aprakstīt visas pārvērtības, tās var pavairot uzreiz. Bet, ja jūs tikai mācāties atvērt iekavas, rakstiet detalizēti, būs mazāka iespēja kļūdīties.
Piezīme visai sadaļai. Patiesībā jums nav jāatceras visi četri noteikumi, jums ir jāatceras tikai viens, šis: \(c(a-b)=ca-cb\) . Kāpēc? Jo, ja c vietā aizstājat vienu, jūs iegūsit noteikumu \((a-b)=a-b\) . Un, ja mēs aizstājam mīnus viens, mēs iegūstam noteikumu \(-(a-b)=-a+b\) . Nu, ja aizstājat citu iekavu c vietā, varat iegūt pēdējo noteikumu.
Iekavas iekavās
Dažreiz praksē rodas problēmas ar iekavām, kas ir ligzdotas citās iekavās. Šeit ir šāda uzdevuma piemērs: vienkāršojiet izteiksmi \(7x+2(5-(3x+y))\).
Lai veiksmīgi atrisinātu šādus uzdevumus, jums ir nepieciešams:
- rūpīgi jāsaprot iekavu ligzdošana - kura kurā atrodas;
— secīgi atveriet kronšteinus, sākot, piemēram, ar visdziļāko.
Tas ir svarīgi, atverot kādu no kronšteiniem nepieskarieties pārējai izteiksmei, vienkārši pārrakstot to kā ir.
Kā piemēru aplūkosim iepriekš rakstīto uzdevumu.
Piemērs.
Atveriet iekavas un ievadiet līdzīgus vārdus \(7x+2(5-(3x+y))\).
Risinājums:
Sāksim uzdevumu, atverot iekšējo kronšteinu (iekšpusē esošo). Paplašinot to, mēs runājam tikai ar to, kas ar to tieši attiecas - tas ir pats kronšteins un mīnuss tā priekšā (izcelts zaļā krāsā). Mēs pārrakstām visu pārējo (neizcelto) tāpat kā tas bija.
Matemātikas uzdevumu risināšana tiešsaistē
Tiešsaistes kalkulators.
Polinoma vienkāršošana.
Polinomu reizināšana.
Ar šo matemātikas programmu jūs varat vienkāršot polinomu.
Kamēr programma darbojas:
- reizina polinomus
— summē monomālus (dod līdzīgus)
- atver iekavas
- paaugstina polinomu pakāpē
Polinomu vienkāršošanas programma ne tikai sniedz atbildi uz problēmu, tā sniedz detalizētu risinājumu ar paskaidrojumiem, t.i. parāda risinājuma procesu, lai jūs varētu pārbaudīt savas zināšanas matemātikā un/vai algebrā.
Šī programma var būt noderīga studentiem vidusskolas gatavojoties testiem un eksāmeni, pārbaudot zināšanas pirms Vienotā valsts eksāmena, vecākiem, lai kontrolētu daudzu matemātikas un algebras uzdevumu risināšanu. Vai varbūt jums ir pārāk dārgi algot pasniedzēju vai iegādāties jaunas mācību grāmatas? Vai arī jūs vienkārši vēlaties pēc iespējas ātrāk paveikt matemātikas vai algebras mājasdarbus? Šajā gadījumā varat izmantot arī mūsu programmas ar detalizētiem risinājumiem.
Tādā veidā jūs varat vadīt savu un/vai savu apmācību. jaunākie brāļi vai māsas, savukārt izglītības līmenis risināmo problēmu jomā paaugstinās.
Jo Ir daudz cilvēku, kas vēlas atrisināt problēmu, jūsu pieprasījums ir ievietots rindā.
Pēc dažām sekundēm zemāk parādīsies risinājums.
Lūdzu, uzgaidiet mirkli.
Nedaudz teorijas.
Monomala un polinoma reizinājums. Polinoma jēdziens
Starp dažādām algebrā aplūkotajām izteiksmēm ir svarīga vieta aizņem monomu summas. Šeit ir šādu izteicienu piemēri:
Monomu summu sauc par polinomu. Polinoma terminus sauc par polinoma terminiem. Monomiālus klasificē arī kā polinomus, uzskatot, ka mononoms ir polinoms, kas sastāv no viena locekļa.
Visus terminus attēlosim standarta formas monomu veidā:
Iesniegsim līdzīgus terminus iegūtajā polinomā:
Rezultāts ir polinoms, kura visi termini ir standarta formas monomi, un starp tiem nav līdzīgu. Tādus polinomus sauc standarta formas polinomi.
Aiz muguras polinoma pakāpe standarta veidlapas veidlapā, ir augstākās no tās locekļu pilnvarām. Tādējādi binomam ir trešā pakāpe, bet trinomim ir otrā pakāpe.
Parasti standarta formas polinomu termini, kas satur vienu mainīgo, ir sakārtoti eksponentu dilstošā secībā. Piemēram:
Vairāku polinomu summu var pārveidot (vienkāršot) standarta formas polinomā.
Dažreiz polinoma termini ir jāsadala grupās, katru grupu iekļaujot iekavās. Tā kā pievienojošās iekavas ir atverošo iekavu apgrieztā transformācija, to ir viegli formulēt iekavu atvēršanas noteikumi:
Ja pirms iekavām ir zīme “+”, tad iekavās ietvertos terminus raksta ar tādām pašām zīmēm.
Ja pirms iekavām ir zīme “-”, tad iekavās ietvertos terminus raksta ar pretējām zīmēm.
Monoma un polinoma reizinājuma transformācija (vienkāršošana).
Izmantojot reizināšanas sadales īpašību, jūs varat pārveidot (vienkāršot) monoma un polinoma reizinājumu polinomā. Piemēram:
Monoma un polinoma reizinājums ir identiski vienāds ar šī monoma un katra polinoma skaitļa reizinājumu summu.
Šis rezultāts parasti tiek formulēts kā likums.
Lai reizinātu monomu ar polinomu, šis monoms ir jāreizina ar katru polinoma vārdu.
Mēs jau esam izmantojuši šo noteikumu vairākas reizes, lai reizinātu ar summu.
Polinomu reizinājums. Divu polinomu reizinājuma transformācija (vienkāršošana).
Kopumā divu polinoma reizinājums ir identiski vienāds ar viena polinoma katra vārda reizinājumu un otra polinoma katra vārda reizinājumu.
Parasti tiek izmantots šāds noteikums.
Lai reizinātu polinomu ar polinomu, jums ir jāreizina katrs viena polinoma termins ar otru un jāsaskaita iegūtie produkti.
Saīsinātās reizināšanas formulas. Summa kvadrāti, kvadrātu atšķirības un atšķirības
Ar dažām izteiksmēm algebriskajās transformācijās nākas saskarties biežāk nekā ar citām. Iespējams, visizplatītākās izteiksmes ir u, t.i., summas kvadrāts, starpības kvadrāts un kvadrātu starpība. Jūs pamanījāt, ka šo izteiksmju nosaukumi šķiet nepilnīgi, piemēram, tas, protams, nav tikai summas kvadrāts, bet arī a un b summas kvadrāts. Taču a un b summas kvadrāts negadās īpaši bieži, parasti burtu a un b vietā tajā ir dažādas, dažkārt diezgan sarežģītas izteiksmes.
Izteiksmes var viegli pārveidot (vienkāršot) standarta formas polinomos; patiesībā jūs jau esat saskāries ar šādu uzdevumu, reizinot polinomus:
Ir lietderīgi atcerēties iegūtās identitātes un lietot tās bez starpaprēķiniem. To palīdz īsi verbāli formulējumi.
- summas kvadrāts vienāds ar summu kvadrāti un dubulto produktu.
— starpības kvadrāts ir vienāds ar kvadrātu summu bez dubultreizinājuma.
- kvadrātu starpība ir vienāda ar starpības un summas reizinājumu.
Šīs trīs identitātes ļauj transformācijās aizstāt tās kreisās daļas ar labajām un otrādi - labās puses daļas ar kreisajām. Visgrūtākais ir saskatīt atbilstošās izteiksmes un saprast, kā tajos tiek aizstāti mainīgie a un b. Apskatīsim vairākus saīsināto reizināšanas formulu izmantošanas piemērus.
Grāmatas (mācību grāmatas) Abstracts Vienotais valsts eksāmens un OGE testi Tiešsaistes spēles, puzles Funkciju grafiku konstruēšana Krievu valodas pareizrakstības vārdnīca Jaunatnes slenga vārdnīca Krievu skolu katalogs Krievijas vidējo izglītības iestāžu katalogs Krievijas augstskolu katalogs Uzdevumu saraksts GCD un LCM atrašana Polinoma vienkāršošana (polinomu reizināšana) Polinoma dalīšana ar polinoms ar kolonnu Aprēķins skaitliskās daļas Procentuālu uzdevumu risināšana Kompleksie skaitļi: summa, starpība, reizinājums un koeficients 2 lineāru vienādojumu sistēmas ar diviem mainīgajiem Risinājums kvadrātvienādojums Binoma kvadrāta izolēšana un kvadrāttrīnoma faktorēšana Nevienādību risināšana Nevienādību sistēmu atrisināšana Grafa uzzīmēšana kvadrātiskā funkcija Lineāras daļfunkcijas grafika uzzīmēšana Aritmētikas un ģeometriskās progresijas Trigonometrisko, eksponenciālo, logaritmiskie vienādojumi Robežu aprēķins, atvasinājums, tangenss Integrāls, antiatvasinājums Trijstūri risināšanas Darbību aprēķins ar vektoriem Darbību aprēķins ar līnijām un plaknēm Ģeometrisko figūru laukums Ģeometrisko figūru perimetrs Ģeometrisko ķermeņu tilpums Ģeometrisko ķermeņu virsmas laukums
Satiksmes situāciju konstruktors
Laika ziņas - horoskopi
www.mathsolution.ru
Paplašinot iekavas
Mēs turpinām pētīt algebras pamatus. Šajā nodarbībā mēs uzzināsim, kā izteicienos izvērst iekavas. Iekavu izvēršana nozīmē iekavu noņemšanu no izteiksmes.
Lai atvērtu iekavas, jāiegaumē tikai divi noteikumi. Regulāri praktizējot, jūs varat atvērt kronšteinus ar acis aizvērtas, un tos noteikumus, kas bija jāiegaumē, var droši aizmirst.
Pirmais noteikums iekavu atvēršanai
Apsveriet šādu izteiksmi:
Šīs izteiksmes vērtība ir 2 . Atvērsim šajā izteiksmē iekavas. Paplašināt iekavas nozīmē atbrīvoties no tām, neietekmējot izteiciena nozīmi. Tas ir, pēc atbrīvošanās no iekavām izteiksmes vērtība 8+(−9+3) joprojām jābūt vienādam ar divi.
Pirmais iekavu atvēršanas noteikums ir šāds:
Atverot iekavas, ja iekavām priekšā ir pluss, tad šis pluss tiek izlaists kopā ar iekavām.
Tātad, mēs to redzam izteiksmē 8+(−9+3) Pirms iekavām ir plus zīme. Šis plus ir jāizlaiž kopā ar iekavām. Citiem vārdiem sakot, iekavas pazudīs kopā ar plusu, kas stāvēja to priekšā. Un tas, kas bija iekavās, tiks rakstīts bez izmaiņām:
8−9+3 . Šī izteiksme ir vienāda ar 2 , tāpat kā iepriekšējā izteiksme ar iekavām, bija vienāda ar 2 .
8+(−9+3) Un 8−9+3
8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3
2. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas 3 + (−1 − 4)
Pirms iekavām ir plus, kas nozīmē, ka šis plus ir izlaists kopā ar iekavām. Tas, kas bija iekavās, paliks nemainīgs:
3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4
3. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas 2 + (−1)
Šajā piemērā iekavu atvēršana kļuva par sava veida apgrieztu darbību, aizstājot atņemšanu ar saskaitīšanu. Ko tas nozīmē?
Izteiksmē 2−1 notiek atņemšana, bet to var aizstāt ar saskaitīšanu. Tad mēs iegūstam izteiksmi 2+(−1) . Bet ja izteiksmē 2+(−1) atveriet iekavas, jūs saņemsiet oriģinālu 2−1 .
Tāpēc pirmo iekavu atvēršanas noteikumu var izmantot, lai pēc dažām transformācijām vienkāršotu izteiksmes. Tas ir, atbrīvojiet to no iekavām un padariet to vienkāršāku.
Piemēram, vienkāršosim izteiksmi 2a+a-5b+b .
Lai vienkāršotu šo izteiksmi, var dot līdzīgus terminus. Atgādināsim, ka, lai samazinātu līdzīgus vārdus, jums jāpievieno līdzīgu terminu koeficienti un rezultāts jāreizina ar kopējo burtu daļu:
Dabūja izteiksmi 3a+(−4b). Noņemsim iekavas šajā izteiksmē. Iekavām priekšā ir plus, tāpēc iekavu atvēršanai mēs izmantojam pirmo noteikumu, tas ir, mēs izlaižam iekavas kopā ar plusu, kas ir pirms šīm iekavām:
Tātad izteiksme 2a+a-5b+b vienkāršo uz 3a-4b .
Atverot dažas iekavas, pa ceļam varat sastapties ar citiem. Mēs viņiem piemērojam tos pašus noteikumus kā pirmajiem. Piemēram, izvērsim iekavas šādā izteiksmē:
Ir divas vietas, kur jāatver iekavas. Šajā gadījumā tiek piemērots pirmais iekavu atvēršanas noteikums, proti, iekavu izlaišana kopā ar plus zīmi, kas ir pirms šīm iekavām:
2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6
3. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas 6+(−3)+(−2)
Abās vietās, kur ir iekavas, pirms tām ir plus. Šeit atkal ir spēkā pirmais iekavu atvēršanas noteikums:
Dažreiz pirmais termins iekavās tiek rakstīts bez zīmes. Piemēram, izteiksmē 1+(2+3−4) pirmais termins iekavās 2 rakstīts bez zīmes. Rodas jautājums, kāda zīme parādīsies pirms diviem pēc iekavām un plus iekavām priekšā? Atbilde liek domāt – abiem priekšā būs pluss.
Patiesībā pat iekavās abiem priekšā ir pluss, bet mēs to neredzam, jo tas nav pierakstīts. Mēs jau teicām, ka pozitīvo skaitļu pilnīgs apzīmējums izskatās +1, +2, +3. Bet saskaņā ar tradīciju plusi netiek pierakstīti, tāpēc mēs redzam pozitīvos skaitļus, kas mums ir pazīstami 1, 2, 3 .
Tāpēc, lai izteicienā paplašinātu iekavas 1+(2+3−4) , kā parasti, jums ir jāizlaiž iekavas kopā ar plus zīmi šo iekavu priekšā, bet pirmo terminu, kas bija iekavās, ierakstiet ar plus zīmi:
1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4
4. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas −5 + (2 − 3)
Iekavām priekšā ir pluss, tāpēc iekavu atvēršanai piemērojam pirmo noteikumu, proti, iekavas izlaižam kopā ar plusu, kas ir pirms šīm iekavām. Bet pirmais termins, ko rakstām iekavās ar plus zīmi:
−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3
5. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas (−5)
Iekavās priekšā ir plus, bet tas nav pierakstīts, jo pirms tam nebija citu skaitļu vai izteicienu. Mūsu uzdevums ir noņemt iekavas, piemērojot pirmo iekavu atvēršanas noteikumu, proti, izlaist iekavas kopā ar šo plusu (pat ja tas ir neredzams)
6. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas 2a + (−6a + b)
Pirms iekavām ir plus, kas nozīmē, ka šis plus ir izlaists kopā ar iekavām. Tas, kas bija iekavās, tiks rakstīts nemainīgs:
2a + (−6a + b) = 2a −6a + b
7. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)
Šajā izteiksmē ir divas vietas, kur jāpaplašina iekavas. Abās sadaļās pirms iekavām ir pluszīme, kas nozīmē, ka šis plus ir izlaists kopā ar iekavām. Tas, kas bija iekavās, tiks rakstīts nemainīgs:
5a + (-7b + 6c) + 3a + (-2d) = 5a -7b + 6c + 3a - 2d
Otrais iekavu atvēršanas noteikums
Tagad apskatīsim otro iekavu atvēršanas noteikumu. To lieto, ja pirms iekavām ir mīnuss.
Ja pirms iekavām ir mīnuss, tad šis mīnuss tiek izlaists kopā ar iekavām, bet termini, kas bija iekavās, maina savu zīmi uz pretējo.
Piemēram, izvērsim iekavas nākamajā izteiksmē
Mēs redzam, ka pirms iekavām ir mīnuss. Tas nozīmē, ka jums ir jāpiemēro otrais paplašināšanas noteikums, proti, izlaidiet iekavas kopā ar mīnusa zīmi šo iekavu priekšā. Šajā gadījumā termini, kas bija iekavās, mainīs to zīmi uz pretējo:
Mēs saņēmām izteiksmi bez iekavām 5+2+3 . Šī izteiksme ir vienāda ar 10, tāpat kā iepriekšējā izteiksme ar iekavām bija vienāda ar 10.
Tādējādi starp izteicieniem 5−(−2−3) Un 5+2+3 jūs varat ievietot vienādības zīmi, jo tās ir vienādas ar vienu un to pašu vērtību:
5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3
2. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas 6 − (−2 − 5)
Pirms iekavām ir mīnuss, tāpēc iekavu atvēršanai piemērojam otro noteikumu, proti, izlaižam iekavas kopā ar mīnusu, kas ir pirms šīm iekavām. Šajā gadījumā mēs rakstām terminus, kas bija iekavās ar pretējām zīmēm:
6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5
3. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas 2 − (7 + 3)
Pirms iekavām ir mīnuss, tāpēc iekavu atvēršanai piemērojam otro noteikumu:
4. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas −(−3 + 4)
5. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)
Ir divas vietas, kur jāatver iekavas. Pirmajā gadījumā jums ir jāpiemēro otrais noteikums iekavas atvēršanai un, kad runa ir par izteiksmi +(−9−2) jums ir jāpiemēro pirmais noteikums:
−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2
6. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas −(−a − 1)
7. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas − (4a + 3)
8. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas a − (4b + 3) + 15
9. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas 2a + (3b - b) - (3c + 5)
Ir divas vietas, kur jāatver iekavas. Pirmajā gadījumā jums ir jāpiemēro pirmais noteikums iekavu atvēršanai un, kad runa ir par izteiksmi −(3c+5) jums jāpiemēro otrais noteikums:
2a + (3b - b) - (3c + 5) = 2a + 3b - b - 3c - 5
10. piemērs. Izteiksmē izvērsiet iekavas −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)
Ir trīs vietas, kur jāatver kronšteini. Vispirms jums jāpiemēro otrais noteikums iekavu atvēršanai, pēc tam pirmais un pēc tam atkal otrais:
−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a - 6b + 8c - 15
Kronšteinu atvēršanas mehānisms
Tagad pārbaudītie iekavu atvēršanas noteikumi ir balstīti uz reizināšanas sadales likumu:
Patiesībā atverošās iekavas ir procedūra, kurā kopējo koeficientu reizina ar katru iekavās norādīto terminu. Šīs reizināšanas rezultātā iekavas pazūd. Piemēram, izvērsim izteiksmē esošās iekavas 3×(4+5)
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
Tāpēc, ja jums ir jāreizina skaitlis ar izteiksmi iekavās (vai jāreizina izteiksme iekavās ar skaitli), jums ir jāsaka atvērsim iekavas.
Bet kā reizināšanas sadales likums ir saistīts ar iepriekš aplūkotajiem iekavu atvēršanas noteikumiem?
Fakts ir tāds, ka pirms iekavām ir kopīgs faktors. Piemērā 3×(4+5) kopējais faktors ir 3 . Un piemērā a(b+c) kopējais faktors ir mainīgais a.
Ja pirms iekavām nav skaitļu vai mainīgo, tad kopējais faktors ir 1 vai −1 , atkarībā no tā, kāda zīme ir iekavās priekšā. Ja iekavās ir pluss, tad kopējais faktors ir 1 . Ja pirms iekavām ir mīnuss, tad kopējais faktors ir −1 .
Piemēram, izvērsim izteiksmē esošās iekavas −(3b−1). Iekavu priekšā ir mīnusa zīme, tāpēc iekavu atvēršanai ir jāizmanto otrais noteikums, tas ir, izlaidiet iekavas kopā ar mīnusa zīmi iekavu priekšā. Un ierakstiet izteiksmi, kas bija iekavās ar pretējām zīmēm:
Mēs paplašinājām iekavas, izmantojot iekavu paplašināšanas noteikumu. Bet šīs pašas iekavas var atvērt, izmantojot sadales reizināšanas likumu. Lai to izdarītu, vispirms pirms iekavām ierakstiet kopējo koeficientu 1, kas netika pierakstīts:
Mīnusa zīme, kas iepriekš atradās pirms iekavām, attiecās uz šo vienību. Tagad jūs varat atvērt iekavas, izmantojot reizināšanas sadales likumu. Šim nolūkam kopējais faktors −1 jums jāreizina ar katru iekavās norādīto terminu un jāpievieno rezultāti.
Ērtības labad mēs aizstājam starpību iekavās ar summu:
−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1
Tāpat kā pagājušajā reizē, kad saņēmām izteicienu −3b+1. Visi piekritīs, ka šoreiz vairāk laika tika veltīts tik vienkārša piemēra risināšanai. Tāpēc iekavu atvēršanai ir prātīgāk izmantot gatavus noteikumus, par kuriem mēs runājām šajā nodarbībā:
Taču nav par ļaunu zināt, kā šie noteikumi darbojas.
Šajā nodarbībā mēs iemācījāmies vēl vienu identisku transformāciju. Kopā ar iekavu atvēršanu, vispārīgā izlikšanu no iekavām un līdzīgu terminu izcelšanu var nedaudz paplašināt risināmo problēmu loku. Piemēram:
Šeit jums jāveic divas darbības - vispirms atveriet iekavas un pēc tam pievienojiet līdzīgus terminus. Tātad, secībā:
1) Atveriet iekavas:
2) Mēs piedāvājam līdzīgus terminus:
Iegūtajā izteiksmē −10b+(−1) varat paplašināt iekavas:
2. piemērs. Atveriet iekavas un pievienojiet līdzīgus terminus šādā izteiksmē:
1) Atvērsim iekavas:
2) Iesniegsim līdzīgus terminus.Šoreiz, lai ietaupītu laiku un vietu, nepierakstīsim, kā koeficienti tiek reizināti ar kopējo burtu daļu
3. piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi 8m+3m un atrodiet tā vērtību m=-4
1) Pirmkārt, vienkāršosim izteiksmi. Lai vienkāršotu izteiksmi 8m+3m, tajā varat izņemt kopējo faktoru mārpus iekavām:
2) Atrodiet izteiksmes vērtību m(8+3) plkst m=-4. Lai to izdarītu, izteiksmē m(8+3) mainīgā vietā m aizstāt numuru −4
m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44
Iekavu galvenā funkcija ir mainīt darbību secību, aprēķinot vērtības. Piemēram, skaitliskā izteiksmē \(5·3+7\) vispirms tiks aprēķināts reizinājums un pēc tam saskaitīšana: \(5·3+7 =15+7=22\). Bet izteiksmē \(5·(3+7)\) vispirms tiks aprēķināta saskaitīšana iekavās un tikai pēc tam reizināšana: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Piemērs.
Izvērsiet kronšteinu: \(-(4m+3)\).
Risinājums
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Piemērs.
Atveriet iekava un ievadiet līdzīgus terminus \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Risinājums
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Piemērs.
Izvērsiet iekavas \(5(3-x)\).
Risinājums
: iekavās ir \(3\) un \(-x\), un pirms iekavas ir piecinieks. Tas nozīmē, ka katrs iekavas elements tiek reizināts ar \(5\) — es jums to atgādinu Reizināšanas zīme starp skaitli un iekavām nav rakstīta matemātikā, lai samazinātu ierakstu lielumu.
Piemērs.
Izvērsiet iekavas \(-2(-3x+5)\).
Risinājums
: tāpat kā iepriekšējā piemērā, \(-3x\) un \(5\) iekavās tiek reizināti ar \(-2\).
Piemērs.
Vienkāršojiet izteiksmi: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Risinājums
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Atliek apsvērt pēdējo situāciju.
Reizinot iekavu ar iekavu, katrs pirmās iekavas vārds tiek reizināts ar katru otrās iekavas vārdu:
\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)
Piemērs.
Izvērsiet iekavas \((2-x)(3x-1)\).
Risinājums
: Mums ir iekavu produkts, un to var nekavējoties paplašināt, izmantojot iepriekš minēto formulu. Bet, lai neapjuktu, darīsim visu soli pa solim.
1. darbība. Noņemiet pirmo iekavu — reiziniet katru tās vārdu ar otro iekava:
2. darbība. Izvērsiet iekavu un koeficienta produktus, kā aprakstīts iepriekš:
- Pirmās lietas vispirms...
Tad otrais.
3. darbība. Tagad mēs reizinām un parādām līdzīgus terminus:
Nav nepieciešams tik detalizēti aprakstīt visas pārvērtības, tās var pavairot uzreiz. Bet, ja jūs tikai mācāties atvērt iekavas, rakstiet detalizēti, būs mazāka iespēja kļūdīties.
Piezīme visai sadaļai. Patiesībā jums nav jāatceras visi četri noteikumi, jums ir jāatceras tikai viens, šis: \(c(a-b)=ca-cb\) . Kāpēc? Jo, ja c vietā aizstājat vienu, jūs iegūsit noteikumu \((a-b)=a-b\) . Un, ja mēs aizstājam mīnus viens, mēs iegūstam noteikumu \(-(a-b)=-a+b\) . Nu, ja aizstājat citu iekavu c vietā, varat iegūt pēdējo noteikumu.
Iekavas iekavās
Dažreiz praksē rodas problēmas ar iekavām, kas ir ligzdotas citās iekavās. Šeit ir šāda uzdevuma piemērs: vienkāršojiet izteiksmi \(7x+2(5-(3x+y))\).
Lai veiksmīgi atrisinātu šādus uzdevumus, jums ir nepieciešams:
- rūpīgi jāsaprot iekavu ligzdošana - kura kurā atrodas;
- secīgi atveriet kronšteinus, sākot, piemēram, ar visdziļāko.
Tas ir svarīgi, atverot kādu no kronšteiniem nepieskarieties pārējai izteiksmei, vienkārši pārrakstot to kā ir.
Kā piemēru aplūkosim iepriekš rakstīto uzdevumu.
Piemērs.
Atveriet iekavas un ievadiet līdzīgus vārdus \(7x+2(5-(3x+y))\).
Risinājums:
Piemērs.
Atveriet iekavas un ievadiet līdzīgus terminus \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Risinājums
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Šeit ir trīskārša iekavu ligzda. Sāksim ar visdziļāko (izcelts zaļā krāsā). Kronšteina priekšā ir pluss, tāpēc tas vienkārši nāk nost. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Tagad jums ir jāatver otrā kronšteina, starpposma. Bet pirms tam mēs vienkāršosim spokiem līdzīgo terminu izteiksmi šajā otrajā iekavā. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Tagad mēs atveram otro kronšteinu (izcelts zilā krāsā). Pirms iekava ir faktors – tāpēc katrs iekavās esošais termins tiek reizināts ar to. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
Un atveriet pēdējo iekava. Iekavas priekšā ir mīnusa zīme, tāpēc visas zīmes ir apgrieztas. |
||
Iekavu izvēršana ir matemātikas pamatprasme. Bez šīs prasmes 8. un 9. klasē nav iespējams iegūt atzīmi virs C. Tāpēc es iesaku jums labi izprast šo tēmu.
A+(b + c) var rakstīt bez iekavām: a+(b + c)=a + b + c. Šo darbību sauc par atvēršanas iekavām.
1. piemērs. Atvērsim iekavas izteiksmē a + (- b + c).
Risinājums. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c.
Ja iekavās ir zīme “+”, tad iekavas un šo “+” zīmi var izlaist, saglabājot iekavās esošo terminu zīmes. Ja pirmais vārds iekavās ir rakstīts bez zīmes, tad tas jāraksta ar “+” zīmi.
2. piemērs. Atradīsim izteiksmes vērtību -2,87+ (2,87-7,639).
Risinājums. Atverot iekavas, mēs iegūstam - 2,87 + (2,87 - 7,639) = - - 2,87 + 2,87 - 7,639 = 0 - 7,639 = - 7,639.
Lai atrastu izteiksmes vērtību - (- 9 + 5), jums jāpievieno cipariem-9 un 5 un atrodiet skaitli, kas ir pretējs iegūtajai summai: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.
To pašu vērtību var iegūt arī citā veidā: vispirms pierakstiet skaitļus, kas ir pretēji šiem terminiem (t.i., mainiet to zīmes), un pēc tam pievienojiet: 9 + (- 5) = 4. Tādējādi -(- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.
Lai uzrakstītu summu, kas ir pretēja vairāku terminu summai, jāmaina šo terminu zīmes.
Tas nozīmē - (a + b) = - a - b.
3. piemērs. Atradīsim izteiksmes vērtību 16 - (10 -18 + 12).
Risinājums. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.
Lai atvērtu iekavas, pirms kurām ir zīme “-”, šī zīme jāaizstāj ar “+”, mainot visu iekavās esošo terminu zīmes uz pretējām, un pēc tam atveriet iekavas.
4. piemērs. Atradīsim izteiksmes vērtību 9,36-(9,36 - 5,48).
Risinājums. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (-9,36 + 5,48) = = 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5,48.
Iekavu paplašināšana un komutatīvo un asociatīvo īpašību pielietošana papildinājumsļauj vienkāršot aprēķinus.
5. piemērs. Atradīsim izteiksmes vērtību (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.
Risinājums. Vispirms atveram iekavas un pēc tam atsevišķi atrodam visu pozitīvo un atsevišķi visu negatīvo skaitļu summu un, visbeidzot, saskaitīsim rezultātus:
(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.
6. piemērs. Atradīsim izteiksmes vērtību
Risinājums. Vispirms iedomāsimies katru terminu kā to veselo skaitļu un daļskaitļu summu, pēc tam atveriet iekavas, pēc tam pievienojiet veselus skaitļus un atsevišķi daļēja daļas un visbeidzot saskaitiet rezultātus:
Kā atvērt iekavas, pirms kurām ir “+” zīme? Kā var atrast izteiksmes vērtību, kas ir pretēja vairāku skaitļu summai? Kā izvērst iekavas, pirms kurām ir zīme “-”?
1218. Atveriet iekavas:
a) 3,4+(2,6+ 8,3); c) m+(n-k);
b) 4,57+(2,6 - 4,57); d) c+(-a+b).
1219. Atrodi izteiciena nozīmi:
1220. Atveriet iekavas:
a) 85+(7,8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4,7 -17)+7,5; e) -a + (m-2,6); h) -(a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(- a-b); i) (m-n)-(p-k).
1221. Atveriet iekavas un atrodiet izteiciena nozīmi:
1222. Vienkāršojiet izteiksmi:
1223. Rakstīt summa divus izteicienus un vienkāršojiet to:
a) - 4 - m un m + 6,4; d) a+b un p - b
b) 1,1+a un -26-a; e) - m + n un -k - n;
c) a + 13 un -13 + b; e)m - n un n - m.
1224. Uzrakstiet divu izteiksmju atšķirību un vienkāršojiet to:
1226. Izmantojiet vienādojumu, lai atrisinātu uzdevumu:
a) Vienā plauktā ir 42 grāmatas, otrā – 34. No otrā plaukta tika izņemtas vairākas grāmatas, un no pirmā plaukta tika izņemts tik daudz grāmatu, cik palika otrajā. Pēc tam pirmajā plauktā bija palikušas 12 grāmatas. Cik grāmatas tika izņemtas no otrā plaukta?
b) Pirmajā klasē mācās 42 skolēni, otrajā par 3 skolēniem mazāk nekā trešajā. Cik skolēnu ir trešajā klasē, ja šajās trīs klasēs ir 125 skolēni?
1227. Atrodi izteiciena nozīmi:
1228. Rēķini mutiski:
1229. Atrast augstākā vērtība izteicieni:
1230. Norādiet 4 secīgus veselus skaitļus, ja:
a) mazākais no tiem ir -12; c) mazākais no tiem ir n;
b) lielākais no tiem ir -18; d) lielākais no tiem ir vienāds ar k.
