Apskatīsim tēmu par izteiksmju pārveidošanu ar pakāpēm, bet vispirms pakavēsimies pie vairākām transformācijām, kuras var veikt ar jebkādām izteiksmēm, ieskaitot spēka izteiksmes. Mēs iemācīsimies atvērt iekavas, pievienot līdzīgus terminus, strādāt ar bāzēm un eksponentiem un izmantot pakāpju īpašības.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kas ir spēka izpausmes?
Skolas kursos daži cilvēki lieto frāzi " spēka izpausmes“, taču šis termins pastāvīgi atrodams kolekcijās, kas paredzētas gatavošanai vienotajam valsts eksāmenam. Vairumā gadījumu frāze apzīmē izteiksmes, kuru ierakstos ir grādi. Tas ir tas, ko mēs atspoguļosim savā definīcijā.
1. definīcija
Spēka izpausme ir izteiksme, kas satur grādus.
Sniegsim vairākus spēka izteiksmju piemērus, sākot ar spēku ar dabiskais rādītājs un beidzot ar grādu ar reālu eksponentu.
Vienkāršākās pakāpju izteiksmes var uzskatīt par skaitļa pakāpēm ar naturālo eksponentu: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1, (a 2) 3 . Un arī pakāpes ar nulles eksponentu: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. Un pakāpes ar negatīvu veselu skaitļu pakāpēm: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.
Ir nedaudz grūtāk strādāt ar grādu, kam ir racionāli un iracionāli eksponenti: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .
Indikators var būt mainīgais 3 x - 54 - 7 3 x - 58 vai logaritms x 2 · l g x − 5 · x l g x.
Mēs esam risinājuši jautājumu par to, kas ir varas izpausmes. Tagad sāksim tos pārveidot.
Galvenie spēka izteiksmju transformāciju veidi
Vispirms apskatīsim izteiksmes pamata identitātes transformācijas, kuras var veikt ar spēka izteiksmēm.
1. piemērs
Aprēķiniet jaudas izteiksmes vērtību 2 3 (4 2–12).
Risinājums
Visas pārvērtības veiksim, ievērojot darbību secību. Šajā gadījumā mēs sāksim ar darbību veikšanu iekavās: aizstāsim grādu ar ciparu vērtību un aprēķināsim divu skaitļu starpību. Mums ir 2 3 (4 2–12) = 2 3 (16–12) = 2 3 4.
Viss, kas mums jādara, ir nomainīt grādu 2 3 tās nozīmi 8 un aprēķiniet produktu 8 4 = 32. Lūk, mūsu atbilde.
Atbilde: 2 3 · (4 2 - 12) = 32 .
2. piemērs
Vienkāršojiet izteiksmi ar pilnvarām 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.
Risinājums
Izteiksme, kas mums dota problēmas paziņojumā, satur līdzīgus terminus, ko mēs varam dot: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.
Atbilde: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1.
3. piemērs
Izteikt izteiksmi ar pakāpēm 9 - b 3 · π - 1 2 kā reizinājumu.
Risinājums
Iedomāsimies skaitli 9 kā spēku 3 2 un izmantojiet saīsināto reizināšanas formulu:
9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1
Atbilde: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .
Tagad pāriesim pie identitātes transformāciju analīzes, kuras var īpaši attiecināt uz spēka izteiksmēm.
Darbs ar bāzi un eksponentu
Bāzes vai eksponenta pakāpei var būt skaitļi, mainīgie un dažas izteiksmes. Piemēram, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7 Un . Darbs ar šādiem ierakstiem ir sarežģīts. Daudz vienkāršāk ir aizstāt izteiksmi pakāpes bāzē vai izteiksmi eksponentā ar identiski vienādu izteiksmi.
Pakāpju un eksponenta transformācijas tiek veiktas saskaņā ar mums zināmiem noteikumiem atsevišķi viens no otra. Vissvarīgākais ir tas, ka transformācijas rezultātā tiek iegūta izteiksme, kas ir identiska sākotnējam.
Transformāciju mērķis ir vienkāršot sākotnējo izteiksmi vai iegūt problēmas risinājumu. Piemēram, iepriekš sniegtajā piemērā (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 varat veikt darbības, lai pārietu uz grādu 4 , 1 1 , 3 . Atverot iekavas, varam uzrādīt līdzīgus terminus spēka bāzei (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) un iegūt vienkāršākas formas spēka izteiksmi a 2 (x + 1).
Grāda īpašību izmantošana
Spēku īpašības, kas rakstītas vienādību formā, ir viens no galvenajiem instrumentiem izteiksmju pārveidošanai ar pilnvarām. Šeit mēs piedāvājam galvenos, ņemot vērā to a Un b ir kādi pozitīvi skaitļi, un r Un s- patvaļīgi reālie skaitļi:
2. definīcija
- a r · a s = a r + s ;
- a r: a s = a r − s ;
- (a · b) r = a r · b r ;
- (a: b) r = a r: b r ;
- (a r) s = a r · s .
Gadījumos, kad mums ir darīšana ar naturāliem, veseliem skaitļiem, pozitīviem eksponentiem, ierobežojumi attiecībā uz skaitļiem a un b var būt daudz mazāk stingri. Tā, piemēram, ja ņemam vērā vienlīdzību a m · a n = a m + n, Kur m Un n – veseli skaitļi, tad tas attieksies uz visām a vērtībām, gan pozitīvajām, gan negatīvajām, kā arī uz a = 0.
Pakāpju īpašības var lietot bez ierobežojumiem gadījumos, kad pakāpju bāzes ir pozitīvas vai satur mainīgos lielumus, laukumu pieņemamām vērtībām kas ir tāds, ka bāzēm uz tā ir tikai pozitīvas vērtības. Patiesībā iekšā skolas mācību programma matemātikā skolēna uzdevums ir izvēlēties atbilstošu īpašību un pareizi to pielietot.
Gatavojoties stāties augstskolās, var rasties problēmas, kuru neprecīza rekvizītu piemērošana novedīs pie DL sašaurināšanās un citām risināšanas grūtībām. Šajā sadaļā mēs apskatīsim tikai divus šādus gadījumus. Plašāku informāciju par tēmu var atrast tēmā “Izteiksmju konvertēšana, izmantojot spēku īpašības”.
4. piemērs
Iedomājieties izteiksmi a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 spēka veidā ar pamatni a.
Risinājums
Pirmkārt, mēs izmantojam eksponēšanas īpašību un pārveidojam otro faktoru, izmantojot to (a 2)–3. Tad mēs izmantojam spēku reizināšanas un dalīšanas īpašības ar to pašu bāzi:
a 2 , 5 · a - 6: a - 5 , 5 = a 2 , 5 - 6: a - 5 , 5 = a - 3 , 5: a - 5 , 5 = a - 3 , 5 - ( - 5 , 5) = a 2 .
Atbilde: a 2, 5 · (a 2) - 3: a - 5, 5 = a 2.
Spēka izteiksmju transformāciju atbilstoši spēku īpašībām var veikt gan no kreisās puses uz labo, gan pretējā virzienā.
5. piemērs
Atrodiet jaudas izteiksmes vērtību 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .
Risinājums
Ja piemērosim vienlīdzību (a · b) r = a r · b r, no labās puses uz kreiso, mēs iegūstam reizinājumu formā 3 · 7 1 3 · 21 2 3 un pēc tam 21 1 3 · 21 2 3 . Saskaitīsim eksponentus, reizinot pilnvaras ar uz tiem pašiem pamatiem: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.
Ir vēl viens veids, kā veikt transformāciju:
3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21
Atbilde: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21
6. piemērs
Dota spēka izteiksme a 1, 5 - a 0, 5 - 6, ievadiet jaunu mainīgo t = a 0,5.
Risinājums
Iedomāsimies grādu a 1, 5 Kā a 0,5 3. Izmantojot īpašību no grādiem uz grādiem (a r) s = a r · s no labās puses uz kreiso un mēs iegūstam (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Jūs varat viegli ieviest jaunu mainīgo iegūtajā izteiksmē t = a 0,5: mēs saņemam t 3 - t - 6.
Atbilde: t 3 − t − 6 .
Pārvērš daļskaitļus, kas satur pakāpes
Mēs parasti strādājam ar divām pakāpju izteiksmju versijām ar daļskaitļiem: izteiksme apzīmē daļskaitli ar pakāpju vai satur šādu daļskaitli. Šādām izteiksmēm bez ierobežojumiem ir piemērojamas visas daļskaitļu pamattransformācijas. Tos var samazināt, pievienot jaunam saucējam vai apstrādāt atsevišķi ar skaitītāju un saucēju. Ilustrēsim to ar piemēriem.
7. piemērs
Vienkāršojiet jaudas izteiksmi 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .
Risinājums
Mums ir darīšana ar daļskaitli, tāpēc veiksim transformācijas gan skaitītājā, gan saucējā:
3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2
Ievietojiet mīnusa zīmi daļskaitļa priekšā, lai mainītu saucēja zīmi: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2
Atbilde: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2
Daļskaitļi, kas satur pakāpes, tiek samazināti līdz jaunam saucējam tāpat kā racionālās daļas. Lai to izdarītu, jums jāatrod papildu koeficients un jāreizina ar to daļskaitļa skaitītājs un saucējs. Papildu faktors ir jāizvēlas tā, lai tas nenovirzītos uz nulli nevienai mainīgo vērtībām no sākotnējās izteiksmes ODZ mainīgajiem.
8. piemērs
Samaziniet daļskaitļus līdz jaunam saucējam: a) a + 1 a 0, 7 līdz saucējam a, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 līdz saucējam x + 8 · y 1 2 .
Risinājums
a) Izvēlēsimies koeficientu, kas ļaus mums reducēt līdz jaunam saucējam. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, tāpēc kā papildu faktoru ņemsim vērā a 0, 3. Mainīgā lieluma a pieļaujamo vērtību diapazons ietver visu pozitīvo reālo skaitļu kopu. Grāds šajā jomā a 0, 3 neiet uz nulli.
Reizināsim daļskaitļa skaitītāju un saucēju ar a 0, 3:
a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a
b) Pievērsīsim uzmanību saucējam:
x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2
Sareizināsim šo izteiksmi ar x 1 3 + 2 · y 1 6, iegūstam kubu x 1 3 un 2 · y 1 6 summu, t.i. x + 8 · y 1 2 . Šis ir mūsu jaunais saucējs, līdz kuram mums jāsamazina sākotnējā daļa.
Tādā veidā mēs atradām papildu koeficientu x 1 3 + 2 · y 1 6 . Par mainīgo lielumu pieļaujamo vērtību diapazonu x Un y izteiksme x 1 3 + 2 y 1 6 nepazūd, tāpēc ar to varam reizināt daļskaitļa skaitītāju un saucēju:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 g 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 g 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 g 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2
Atbilde: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · g 1 2 .
9. piemērs
Samaziniet daļu: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.
Risinājums
a) Mēs izmantojam lielāko kopsaucēju (GCD), ar kuru mēs varam samazināt skaitītāju un saucēju. Skaitļiem 30 un 45 tas ir 15. Mēs varam arī veikt samazinājumu par x0,5+1 un uz x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .
Mēs iegūstam:
30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)
b) Šeit identisku faktoru klātbūtne nav acīmredzama. Jums būs jāveic dažas transformācijas, lai skaitītājā un saucējā iegūtu vienādus faktorus. Lai to izdarītu, mēs paplašinām saucēju, izmantojot kvadrātu atšķirības formulu:
a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4
Atbilde: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .
Pamatoperācijas ar daļskaitļiem ietver daļskaitļu pārvēršanu jaunā saucējā un daļskaitļu samazināšanu. Abas darbības tiek veiktas saskaņā ar vairākiem noteikumiem. Saskaitot un atņemot daļskaitļus, vispirms daļas tiek reducētas līdz kopsaucējam, pēc tam tiek veiktas darbības (saskaitīšana vai atņemšana) ar skaitītājiem. Saucējs paliek nemainīgs. Mūsu darbību rezultāts ir jauna daļa, kuras skaitītājs ir skaitītāju reizinājums, bet saucējs ir saucēju reizinājums.
10. piemērs
Veiciet darbības x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .
Risinājums
Sāksim ar to daļskaitļu atņemšanu, kas ir iekavās. Savedīsim tos pie kopsaucēja:
x 1 2 - 1 x 1 2 + 1
Atņemsim skaitītājus:
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2
Tagad mēs reizinām daļskaitļus:
4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2
Samazināsim par jaudu x 1 2, mēs iegūstam 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .
Turklāt jūs varat vienkāršot jaudas izteiksmi saucējā, izmantojot kvadrātu atšķirības formulu: kvadrāti: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .
Atbilde: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1
11. piemērs
Vienkāršojiet spēka likuma izteiksmi x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Risinājums
Mēs varam samazināt daļu par (x 2 , 7 + 1) 2. Mēs iegūstam daļu x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.
Turpināsim pārveidot pakāpju x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Tagad jūs varat izmantot pakāpju dalīšanas īpašību ar vienādām bāzēm: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .
Mēs pārejam no pēdējā produkta uz frakciju x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
Atbilde: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
Vairumā gadījumu ir ērtāk pārnest faktorus ar negatīviem eksponentiem no skaitītāja uz saucēju un atpakaļ, mainot eksponenta zīmi. Šī darbība ļauj vienkāršot turpmāko lēmumu. Dosim piemēru: jaudas izteiksmi (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 var aizstāt ar x 3 · (x + 1) 0, 2.
Izteicienu pārvēršana ar saknēm un pilnvarām
Problēmās ir jaudas izteiksmes, kas satur ne tikai pakāpes ar daļskaitļa eksponentiem, bet arī saknes. Ieteicams šādus izteicienus reducēt tikai līdz saknēm vai tikai pilnvarām. Vēlams iegūt grādus, jo ar tiem ir vieglāk strādāt. Šī pāreja ir īpaši vēlama, ja sākotnējās izteiksmes mainīgo lielumu ODZ ļauj aizstāt saknes ar pilnvarām bez nepieciešamības piekļūt modulim vai sadalīt ODZ vairākos intervālos.
12. piemērs
Izteikt izteiksmi x 1 9 · x · x 3 6 kā pakāpju.
Risinājums
Pieļaujamo mainīgo vērtību diapazons x ir definēts ar divām nevienādībām x ≥ 0 un x x 3 ≥ 0, kas nosaka kopu [ 0 , + ∞) .
Šajā komplektā mums ir tiesības pāriet no saknēm uz spējām:
x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6
Izmantojot pakāpju īpašības, mēs vienkāršojam iegūto jaudas izteiksmi.
x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
Atbilde: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .
Pakāpju konvertēšana ar mainīgajiem eksponentā
Šīs pārvērtības ir diezgan viegli veikt, ja pareizi izmantojat pakāpes īpašības. Piemēram, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.
Mēs varam aizstāt ar pakāpju reizinājumu, kuru eksponenti ir kāda mainīgā un skaitļa summa. Kreisajā pusē to var izdarīt ar izteiksmes kreisās puses pirmo un pēdējo vārdu:
5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0, 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0 .
Tagad sadalīsim abas vienādības puses ar 7 2 x. Šai izteiksmei mainīgajam x ir tikai pozitīvas vērtības:
5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0
Samazināsim daļskaitļus ar pakāpēm, iegūstam: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.
Visbeidzot, pakāpju attiecība ar vienādiem eksponentiem tiek aizstāta ar attiecību pakāpēm, kā rezultātā tiek iegūts vienādojums 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, kas ir ekvivalents 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .
Ieviesīsim jaunu mainīgo t = 5 7 x , kas reducē risinājumu uz sākotnējo eksponenciālais vienādojums uz lēmumu kvadrātvienādojums 5 · t 2 - 3 · t - 2 = 0 .
Izteiksmju konvertēšana ar pakāpēm un logaritmiem
Problēmās atrodamas arī izteiksmes, kas satur pakāpju un logaritmus. Šādu izteiksmju piemērs ir: 1 4 1 - 5 · log 2 3 vai log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Šādu izteiksmju transformācija tiek veikta, izmantojot iepriekš apspriestās logaritmu pieejas un īpašības, kuras mēs detalizēti apspriedām tēmā “Logaritmisko izteiksmju transformācija”.
Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter
1. § Literatūras izteiksmes vienkāršošanas jēdziens
Šajā nodarbībā iepazīsimies ar jēdzienu “līdzīgi termini” un, izmantojot piemērus, uzzināsim, kā veikt līdzīgu terminu reducēšanu, tādējādi vienkāršojot burtiskās izteiksmes.
Noskaidrosim jēdziena “vienkāršošana” nozīmi. Vārds "vienkāršošana" ir cēlies no vārda "vienkāršot". Vienkāršot nozīmē padarīt vienkāršu, vienkāršāku. Tāpēc burtu izteiksmes vienkāršošana nozīmē to padarīt īsāku ar minimālu darbību skaitu.
Apsveriet izteiksmi 9x + 4x. Šī ir burtiska izteiksme, kas ir summa. Termini šeit tiek parādīti kā skaitļa un burta reizinājums. Šādu terminu skaitlisko koeficientu sauc par koeficientu. Šajā izteiksmē koeficienti būs skaitļi 9 un 4. Lūdzu, ņemiet vērā, ka faktors, kas attēlots ar burtu, ir vienāds abos šīs summas izteiksmē.
Atcerēsimies reizināšanas sadales likumu:
Lai reizinātu summu ar skaitli, katru terminu var reizināt ar šo skaitli un pievienot iegūtos reizinājumus.
IN vispārējs skats rakstīts šādi: (a + b) ∙ c = ac + bc.
Šis likums ir spēkā abos virzienos ac + bc = (a + b) ∙ c
Pielietosim to mūsu burtiskajai izteiksmei: 9x un 4x reizinājumu summa ir vienāda ar reizinājumu, kura pirmais faktors ir vienāds ar summu 9 un 4, otrais koeficients ir x.
9 + 4 = 13, tas ir 13x.
9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.
Trīs darbību vietā izteiksmē ir palikusi tikai viena darbība - reizināšana. Tas nozīmē, ka esam padarījuši savu burtisko izteiksmi vienkāršāku, t.i. to vienkāršoja.
§ 2 Līdzīgu terminu samazināšana
Termini 9x un 4x atšķiras tikai pēc to koeficientiem - šādus terminus sauc par līdzīgiem. Līdzīgu terminu burtu daļa ir vienāda. Līdzīgi termini ietver arī skaitļus un vienādus terminus.
Piemēram, izteiksmē 9a + 12 - 15 līdzīgi termini būs skaitļi 12 un -15, bet reizinājuma 12 un 6a summā skaitlis 14 un reizinājums 12 un 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) vienādi vārdi, ko attēlo 12. un 6.a reizinājums.
Svarīgi atzīmēt, ka termini, kuru koeficienti ir vienādi, bet burtu faktori ir atšķirīgi, nav līdzīgi, lai gan dažkārt ir lietderīgi tiem piemērot sadales reizināšanas likumu, piemēram, reizinājumu 5x un 5y summa ir vienāds ar skaitļa 5 un x un y summas reizinājumu
5x + 5y = 5(x + y).
Vienkāršosim izteiksmi -9a + 15a - 4 + 10.
Līdzīgi termini šajā gadījumā ir termini -9a un 15a, jo tie atšķiras tikai pēc to koeficientiem. Viņu burtu reizinātājs ir vienāds, un arī termini -4 un 10 ir līdzīgi, jo tie ir cipari. Pievienojiet līdzīgus terminus:
9a + 15a - 4 + 10
9a + 15a = 6a;
Mēs iegūstam: 6a + 6.
Vienkāršojot izteiksmi, mēs atradām līdzīgu terminu summas, matemātikā to sauc par līdzīgu terminu samazināšanu.
Ja šādu terminu pievienošana ir sarežģīta, varat izdomāt tiem vārdus un pievienot objektus.
Piemēram, apsveriet izteicienu:
Katram burtam ņemam savu objektu: b-ābols, c-bumbieris, tad sanāk: 2 āboli mīnus 5 bumbieri plus 8 bumbieri.
Vai no āboliem var atņemt bumbierus? Protams, nē. Bet mīnus 5 bumbieriem varam pievienot 8 bumbierus.
Iesniegsim līdzīgus terminus -5 bumbieri + 8 bumbieri. Līdzīgiem terminiem ir viena burta daļa, tāpēc, apvienojot līdzīgus vārdus, pietiek ar koeficientu pievienošanu un burta daļu pievienošanu rezultātam:
(-5 + 8) bumbieri - sanāk 3 bumbieri.
Atgriežoties pie mūsu burtiskās izteiksmes, mums ir -5 s + 8 s = 3 s. Tādējādi pēc līdzīgu terminu ienesšanas iegūstam izteiksmi 2b + 3c.
Tātad šajā nodarbībā jūs iepazināties ar jēdzienu "līdzīgi termini" un uzzinājāt, kā vienkāršot burtu izteiksmes, samazinot līdzīgus terminus.
Izmantotās literatūras saraksts:
- Matemātika. 6. klase: stundu plāni I.I. mācību grāmatai. Zubareva, A.G. Mordkovičs // autors-sastādītājs L.A. Topiliņa. Mnemosyne 2009.
- Matemātika. 6. klase: mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem. I.I.Zubareva, A.G. Mordkovičs. - M.: Mnemosyne, 2013.
- Matemātika. 6. klase: mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm/G.V. Dorofejevs, I.F. Šarigins, S.B. Suvorovs un citi/rediģēja G.V. Dorofejeva, I.F. Šarigina; Krievijas Zinātņu akadēmija, Krievijas Izglītības akadēmija. M.: “Apgaismība”, 2010. gads.
- Matemātika. 6. klase: mācības vispārējās izglītības iestādēm/N.Ya. Viļenkins, V.I. Žohovs, A.S. Česnokovs, S.I. Švarcburds. – M.: Mnemosyna, 2013. gads.
- Matemātika. 6. klase: mācību grāmata/G.K. Muravins, O.V. Muravina. – M.: Bustards, 2014.
Izmantotie attēli:
Nodarbības sākumā apskatīsim kvadrātsakņu pamatīpašības, un tad apskatīsim vairākas sarežģīti piemēri lai vienkāršotu izteiksmes, kas satur kvadrātsaknes.
Temats:Funkcija. Īpašības kvadrātsakne
Nodarbība:Pārveidojiet un vienkāršojiet vairāk sarežģīti izteicieni ar saknēm
1. Kvadrātsakņu īpašību apskats
Īsi atkārtosim teoriju un atgādināsim kvadrātsakņu pamatīpašības.
Kvadrātsakņu īpašības:
1. tādēļ, ;
3. 
;
4. 
.
2. Piemēri izteiksmju vienkāršošanai ar saknēm
Pāriesim pie šo rekvizītu izmantošanas piemēriem.
1. piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi 
.
Risinājums. Lai vienkāršotu, skaitlis 120 ir jāfaktorē galvenajos faktoros:
Mēs atklāsim summas kvadrātu, izmantojot atbilstošu formulu:
2. piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi 
.
Risinājums. Ņemsim vērā, ka šai izteiksmei nav jēgas visām iespējamām mainīgā vērtībām, jo šī izteiksme satur kvadrātsaknes un daļdaļas, kas noved pie pieļaujamo vērtību diapazona “sašaurināšanas”. ODZ: 
().
Savedīsim izteiksmi iekavās līdz kopsaucējam un ierakstīsim pēdējās daļdaļas skaitītāju kā kvadrātu starpību:
Atbilde. plkst.
3. piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi 
.
Risinājums. Var redzēt, ka otrajai skaitītāja iekavai ir neērts izskats un tā ir jāvienkāršo; mēģināsim to faktorēt, izmantojot grupēšanas metodi.
Lai varētu iegūt kopīgu faktoru, mēs vienkāršojām saknes, faktorējot tās. Aizstāsim iegūto izteiksmi ar sākotnējo daļu:
Pēc frakcijas samazināšanas mēs izmantojam kvadrātu starpības formulu.
3. Piemērs, kā atbrīvoties no iracionalitātes
Piemērs 4. Atbrīvojieties no iracionalitātes (saknēm) saucējā: a) ; b) .
Risinājums. a) Lai atbrīvotos no iracionalitātes saucējā, tiek izmantota standarta metode, kā daļskaitļa skaitītāju un saucēju reizinot ar konjugācijas koeficientu ar saucēju (tāda pati izteiksme, bet ar pretēju zīmi). Tas tiek darīts, lai papildinātu daļskaitļa saucēju ar kvadrātu starpību, kas ļauj jums atbrīvoties no saknēm saucējā. Mūsu gadījumā darīsim šādi:
b) veikt līdzīgas darbības:
4. Piemērs pilna kvadrāta pierādīšanai un identificēšanai kompleksā radikālī
Piemērs 5. Pierādiet vienlīdzību 
.
Pierādījums. Izmantosim kvadrātsaknes definīciju, no kuras izriet, ka labās puses izteiksmes kvadrātam ir jābūt vienādam ar radikālo izteiksmi:
. Atvērsim iekavas, izmantojot summas kvadrāta formulu:
, mēs saņēmām pareizo vienlīdzību.
Pierādīts.
6. piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi.
Risinājums. Šo izteiksmi parasti sauc par kompleksu radikāli (sakne zem saknes). Šajā piemērā jums ir jāizdomā, kā izolēt pilnu kvadrātu no radikālas izteiksmes. Lai to izdarītu, ņemiet vērā, ka no diviem terminiem tas ir kandidāts uz dubultprodukta lomu kvadrātveida starpības formulā (atšķirība, jo ir mīnuss). Uzrakstīsim to šāda reizinājuma formā: , tad 1 apgalvo, ka tas ir viens no pilna kvadrāta vārdiem, un 1 apgalvo, ka ir otrais.
Aizstāsim šo izteiksmi zem saknes.
Jebkurā valodā var izteikt vienu un to pašu informāciju dažādos vārdos un revolūcijas. Matemātiskā valoda nav izņēmums. Taču vienu un to pašu izteiksmi var līdzvērtīgi uzrakstīt dažādos veidos. Un dažās situācijās viens no ierakstiem ir vienkāršāks. Šajā nodarbībā mēs runāsim par izteicienu vienkāršošanu.
Cilvēki sazinās tālāk dažādās valodās X. Mums svarīgs salīdzinājums ir pāris “krievu valoda - matemātiskā valoda”. To pašu informāciju var nodot dažādās valodās. Bet turklāt vienā valodā to var izrunāt dažādos veidos.
Piemēram: “Petja ir draugs ar Vasju”, “Vasja ir draugs ar Petju”, “Petja un Vasja ir draugi”. Saka savādāk, bet tas pats. No jebkuras no šīm frāzēm mēs saprastu, par ko mēs runājam.
Apskatīsim šo frāzi: "Zēns Petja un zēns Vasja ir draugi." Mēs saprotam, ko domājam mēs runājam par. Tomēr mums nepatīk šīs frāzes skanējums. Vai mēs nevaram to vienkāršot, pateikt to pašu, bet vienkāršāk? "Zēns un zēns" - jūs varat teikt vienreiz: "Zēni Petja un Vasja ir draugi."
“Zēni”... Vai pēc viņu vārdiem nav skaidrs, ka viņi nav meitenes? Mēs noņemam “zēnus”: “Petja un Vasja ir draugi.” Un vārdu “draugi” var aizstāt ar “draugiem”: “Petja un Vasja ir draugi”. Rezultātā pirmā, garā, neglītā frāze tika aizstāta ar līdzvērtīgu apgalvojumu, ko ir vieglāk pateikt un vieglāk saprast. Mēs esam vienkāršojuši šo frāzi. Vienkāršot nozīmē pateikt to vienkāršāk, bet nezaudēt vai nesagrozīt nozīmi.
Matemātiskajā valodā notiek aptuveni tas pats. Var teikt vienu un to pašu, uzrakstīt savādāk. Ko nozīmē izteiksmes vienkāršošana? Tas nozīmē, ka oriģinālajai izteiksmei ir daudz līdzvērtīgu izteicienu, tas ir, tie, kas nozīmē vienu un to pašu. Un no visas šīs daudzveidības mums jāizvēlas visvienkāršākais, mūsuprāt, vai vispiemērotākais mūsu tālākajiem mērķiem.
Piemēram, apsveriet skaitlisko izteiksmi . Tas būs līdzvērtīgs .
Tas būs arī līdzvērtīgs pirmajiem diviem: 
.
Izrādās, ka mēs esam vienkāršojuši savus izteicienus un atraduši īsāko ekvivalentu izteiksmi.
Priekš skaitliskās izteiksmes jums vienmēr ir jāveic visas darbības un jāiegūst līdzvērtīga izteiksme viena skaitļa formā.
Apskatīsim burtiskas izteiksmes piemēru . Acīmredzot tas būs vienkāršāk.
Vienkāršojot burtiski izteicieni ir nepieciešams veikt visas iespējamās darbības.
Vai vienmēr ir jāvienkāršo izteiksme? Nē, dažreiz mums ērtāk būs līdzvērtīgs, bet garāks ieraksts.
Piemērs: jums ir jāatņem skaitlis no skaitļa.
Var aprēķināt, bet, ja pirmais skaitlis būtu attēlots ar tā ekvivalentu apzīmējumu: , tad aprēķini būtu momentāni: .
Tas ir, vienkāršota izteiksme mums ne vienmēr ir izdevīga turpmākiem aprēķiniem.
Tomēr ļoti bieži mēs saskaramies ar uzdevumu, kas izklausās tikai kā "vienkāršojiet izteiksmi".
Vienkāršojiet izteicienu: .
Risinājums
1) Veiciet darbības pirmajā un otrajā iekavās: .
2) Aprēķināsim produktus: .
Acīmredzot pēdējai izteiksmei ir vienkāršāka forma nekā sākotnējai. Mēs to esam vienkāršojuši.
Lai vienkāršotu izteiksmi, tas jāaizstāj ar ekvivalentu (vienāds).
Lai noteiktu līdzvērtīgu izteiksmi, jums ir nepieciešams:
1) veikt visas iespējamās darbības,
2) izmantot saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas un dalīšanas īpašības, lai vienkāršotu aprēķinus.
Saskaitīšanas un atņemšanas īpašības:
1. Saskaitīšanas komutatīva īpašība: terminu pārkārtošana nemaina summu.
2. Saskaitīšanas kombinētā īpašība: lai divu skaitļu summai pievienotu trešo skaitli, pirmajam skaitlim var pievienot otrā un trešā skaitļa summu.
3. Īpašība atņemt summu no skaitļa: lai atņemtu summu no skaitļa, jūs varat atņemt katru terminu atsevišķi.
Reizināšanas un dalīšanas īpašības
1. Reizināšanas komutatīva īpašība: faktoru pārkārtošana reizinājumu nemaina.
2. Kombinatīvā īpašība: lai reizinātu skaitli ar divu skaitļu reizinājumu, vispirms to var reizināt ar pirmo koeficientu un pēc tam iegūto reizinājumu ar otro koeficientu.
3. Reizināšanas sadales īpašība: lai reizinātu skaitli ar summu, tas jāreizina ar katru vārdu atsevišķi.
Apskatīsim, kā mēs faktiski veicam garīgos aprēķinus.
Aprēķināt:
Risinājums
1) Iedomāsimies, kā
2) Iedomāsimies pirmo koeficientu kā bitu vārdu summu un veiksim reizināšanu:
3) varat iedomāties, kā un veikt reizināšanu:
4) Aizstāt pirmo koeficientu ar ekvivalentu summu:
Sadales likumu var izmantot arī otrā puse: .
Veiciet tālāk norādītās darbības.
1) 
2) 
Risinājums
1) Ērtības labad varat izmantot sadales likumu, tikai pretējā virzienā - izņemiet kopējo koeficientu no iekavām.
2) Izņemsim kopējo faktoru no iekavām
Virtuvei un priekšnamam nepieciešams iegādāties linoleju. Virtuves zona - , gaitenis - . Ir trīs veidu linoleji: par un rubļi par. Cik katrs maksās? trīs veidi linolejs? (1. att.)
Rīsi. 1. Ilustrācija problēmas izklāstam
Risinājums
1. metode. Varat atsevišķi uzzināt, cik daudz naudas būs nepieciešams, lai iegādātos virtuves linoleju, un pēc tam novietot to gaitenī un saskaitīt iegūtos produktus.
1. piezīme
Būla funkciju var uzrakstīt, izmantojot Būla izteiksmi, un pēc tam to var pārvietot uz loģisko ķēdi. Ir nepieciešams vienkāršot loģiskās izteiksmes, lai iegūtu pēc iespējas vienkāršāko (un līdz ar to lētāku) loģisko shēmu. Faktiski loģiskā funkcija, loģiskā izteiksme un loģiskā ķēde ir trīs dažādas valodas, kas runā par vienu vienību.
Lai vienkāršotu loģiskās izteiksmes, izmantojiet algebras loģikas likumi.
Dažas transformācijas ir līdzīgas formulu pārveidojumiem klasiskajā algebrā (izņemot kopējo faktoru no iekavām, izmantojot komutatīvos un kombinētos likumus utt.), savukārt citas transformācijas ir balstītas uz īpašībām, kuru klasiskās algebras operācijām nepiemīt (izmantojot distributīvu). konjunkcijas likums, absorbcijas likumi, līmēšana, de Morgana likumi utt.).
Loģiskās algebras likumi ir formulēti loģisko pamatoperāciju veikšanai - “NOT” – inversija (negācija), “AND” – konjunkcija (loģiskā reizināšana) un “OR” – disjunkcija (loģiskā saskaitīšana).
Dubultās noliegšanas likums nozīmē, ka darbība “NOT” ir atgriezeniska: ja to lietojat divas reizes, tad galu galā loģiskā vērtība nemainīsies.
Izslēgtā vidus likums nosaka, ka jebkura loģiskā izteiksme ir patiesa vai nepatiesa (“nav trešās”). Tāpēc, ja $A=1$, tad $\bar(A)=0$ (un otrādi), kas nozīmē, ka šo lielumu konjunkcija vienmēr ir vienāda ar nulli, bet disjunkcija vienmēr ir vienāda ar vienu.
$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$
Vienkāršosim šo formulu:
3. attēls.
No tā izriet, ka $ A = 0 $, $ B = 1 $, $ C = 1 $, $ D = 1 $.
Atbilde: Studenti $B$, $C$ un $D$ spēlē šahu, bet students $A$ nespēlē.
Vienkāršojot loģiskās izteiksmes, varat veikt šādu darbību secību:
- Aizstāt visas “nepamata” darbības (ekvivalence, implikācija, ekskluzīvs VAI utt.) ar to izteiksmēm, izmantojot inversijas, konjunkcijas un disjunkcijas pamatoperācijas.
- Paplašiniet sarežģītu izteiksmju inversijas saskaņā ar De Morgana noteikumiem tā, lai noliegšanas darbības paliktu tikai atsevišķiem mainīgajiem.
- Pēc tam vienkāršojiet izteiksmi, izmantojot iekavas, kopējos faktorus novietojot ārpus iekavām un citus loģiskās algebras likumus.
2. piemērs
Šeit secīgi tiek lietots De Morgana likums, sadales likums, izslēgtā vidus likums, komutatīvais likums, atkārtošanās likums, atkal komutatīvais likums un absorbcijas likums.
