Šajā nodarbībā aplūkosim dažādas eksponenciālās nevienādības un uzzināsim, kā tās atrisināt, balstoties uz visvienkāršāko risināšanas paņēmienu eksponenciālās nevienlīdzības

1. Eksponenciālās funkcijas definīcija un īpašības

Atcerēsimies eksponenciālās funkcijas definīciju un pamatīpašības. Visu eksponenciālo vienādojumu un nevienādību risinājums ir balstīts uz šīm īpašībām.

Eksponenciālā funkcija ir formas funkcija , kur bāze ir pakāpe un šeit x ir neatkarīgais mainīgais, arguments; y ir atkarīgais mainīgais, funkcija.

Rīsi. 1. Eksponenciālās funkcijas grafiks

Grafikā parādīti pieaugošie un samazinošie eksponenti, ilustrējot eksponenciālo funkciju ar bāzi, kas attiecīgi ir lielāka par vienu un mazāka par vienu, bet lielāka par nulli.

Abas līknes iet caur punktu (0;1)

Eksponenciālās funkcijas īpašības:

Domēns: ;

Vērtību diapazons: ;

Funkcija ir monotona, palielinās ar, samazinās ar.

Monotoniskai funkcijai katrai vērtībai ir piešķirta viena argumenta vērtība.

Kad , kad arguments palielinās no mīnus līdz plus bezgalībai, funkcija palielinās no nulles ieskaitot līdz plus bezgalībai, t.i., noteiktām argumenta vērtībām mums ir monotoni pieaugoša funkcija (). Gluži pretēji, kad arguments palielinās no mīnusa līdz plus bezgalībai, funkcija samazinās no bezgalības līdz nullei ieskaitot, t.i., noteiktām argumenta vērtībām mums ir monotoni samazinoša funkcija ().

2. Vienkāršākās eksponenciālās nevienādības, risinājuma metode, piemērs

Pamatojoties uz iepriekš minēto, mēs piedāvājam metodi vienkāršu eksponenciālu nevienādību risināšanai:

Nevienādību risināšanas tehnika:

Izlīdzināt grādu bāzes;

Salīdziniet rādītājus, saglabājot vai mainot nevienlīdzības zīmi pret pretējo.

Sarežģītu eksponenciālo nevienādību risinājums parasti ir to reducēšana līdz vienkāršākajām eksponenciālajām nevienādībām.

Pakāpes bāze ir lielāka par vienu, kas nozīmē, ka tiek saglabāta nevienlīdzības zīme:

Pārveidosim labā puse pēc grāda īpašībām:

Pakāpes bāze ir mazāka par vienu, nevienlīdzības zīme ir jāapgriež otrādi:

Lai atrisinātu kvadrātvienādību, mēs atrisinām atbilstošo kvadrātvienādojumu:

Izmantojot Vietas teorēmu, mēs atrodam saknes:

Parabolas zari ir vērsti uz augšu.

Tādējādi mums ir risinājums nevienlīdzībai:

Ir viegli uzminēt, ka labo pusi var attēlot kā pakāpju ar nulles eksponentu:

Pakāpes bāze ir lielāka par vienu, nevienlīdzības zīme nemainās, iegūstam:

Atcerēsimies šādu nevienlīdzību risināšanas paņēmienu.

Apsveriet daļēju-racionālo funkciju:

Mēs atrodam definīcijas domēnu:

Funkcijas sakņu atrašana:

Funkcijai ir viena sakne,

Mēs izvēlamies nemainīgas zīmes intervālus un katram intervālam nosakām funkcijas zīmes:

Rīsi. 2. Zīmes noturības intervāli

Tādējādi mēs saņēmām atbildi.

Atbilde:

3. Standarta eksponenciālo nevienādību risināšana

Apskatīsim nevienlīdzības ar vienādiem rādītājiem, bet atšķirīgu bāzi.

Viena no eksponenciālās funkcijas īpašībām ir tāda, ka jebkurai argumenta vērtībai ir vajadzīgas stingri pozitīvas vērtības, kas nozīmē, ka to var iedalīt eksponenciālā funkcijā. Sadalīsim doto nevienādību ar tās labo pusi:

Pakāpes bāze ir lielāka par vienu, nevienlīdzības zīme tiek saglabāta.

Ilustrēsim risinājumu:

6.3. attēlā parādīti funkciju un grafiki. Acīmredzot, ja arguments ir lielāks par nulli, funkcijas grafiks ir augstāks, šī funkcija ir lielāka. Ja argumentu vērtības ir negatīvas, funkcija samazinās, tā ir mazāka. Ja arguments ir vienāds, funkcijas ir vienādas, kas nozīmē dots punkts ir arī dotās nevienlīdzības risinājums.

Rīsi. 3. Ilustrācija, piemēram, 4

Pārveidosim doto nevienādību atbilstoši pakāpes īpašībām:

Šeit ir daži līdzīgi termini:

Sadalīsim abas daļas:

Tagad mēs turpinām risināt līdzīgi kā 4. piemērā, sadaliet abas daļas ar:

Pakāpes bāze ir lielāka par vienu, nevienlīdzības zīme paliek:

4. Eksponenciālo nevienādību grafiskais risinājums

6. piemērs — atrisiniet nevienādību grafiski:

Apskatīsim funkcijas kreisajā un labajā pusē un izveidosim katrai no tām grafiku.

Funkcija ir eksponenciāla un palielinās visā tās definīcijas jomā, t.i., visām argumenta reālajām vērtībām.

Funkcija ir lineāra un samazinās visā tās definīcijas jomā, t.i., visām argumenta reālajām vērtībām.

Ja šīs funkcijas krustojas, tas ir, sistēmai ir risinājums, tad šāds risinājums ir unikāls un viegli uzminams. Lai to izdarītu, atkārtojam veselus skaitļus ()

Ir viegli saprast, ka šīs sistēmas sakne ir:

Tādējādi funkciju grafiki krustojas punktā ar argumentu, kas vienāds ar vienu.

Tagad mums ir jāsaņem atbilde. Dotās nevienādības nozīme ir tāda, ka eksponentam jābūt lielākam par vai vienādam ar lineārā funkcija, tas ir, būt augstākam vai sakrist ar to. Atbilde ir acīmredzama: (6.4. attēls)

Rīsi. 4. Ilustrācija, piemēram, 6

Tātad, mēs aplūkojām dažādu standarta eksponenciālo nevienādību atrisināšanu. Tālāk mēs pārejam pie sarežģītākas eksponenciālās nevienlīdzības apsvēršanas.

Bibliogrāfija

Mordkovičs A. G. Algebra un matemātiskās analīzes pirmsākumi. - M.: Mnemosīne. Muravins G. K., Muravins O. V. Algebra un matemātiskās analīzes pirmsākumi. - M.: Dumpis. Kolmogorovs A. N., Abramovs A. M., Dudnitsyn Yu. P. et al. Algebra un matemātiskās analīzes sākums. - M.: Apgaismība.

Matemātika. md. Matemātika-atkārtošana. com. Diffur. kemsu. ru.

Mājasdarbs

1. Algebra un analīzes sākums, 10.-11. klase (A. N. Kolmogorovs, A. M. Abramovs, Ju. P. Dudņicins) 1990, Nr. 472, 473;

2. Atrisiniet nevienlīdzību:

3. Atrisiniet nevienlīdzību.

Teorija:

Risinot nevienlīdzības, tiek izmantoti šādi noteikumi:

1. Jebkuru nevienādības terminu var pārnest no vienas daļas
nevienlīdzība citā ar pretēju zīmi, bet nevienlīdzības zīme nemainās.

2. Abas nevienādības puses var reizināt vai dalīt ar vienu
un tas pats pozitīvais skaitlis, nemainot nevienlīdzības zīmi.

3. Abas nevienādības puses var reizināt vai dalīt ar vienu
un arī negatīvs skaitlis, mainot nevienlīdzības zīmi uz
pretī.

Atrisiniet nevienlīdzību – 8 x + 11< − 3 x − 4
Risinājums.

1. Pārvietosim dzimumlocekli - 3 x V kreisā puse nevienlīdzības un termins 11 - uz nevienlīdzības labo pusi, vienlaikus mainot zīmes uz pretējām - 3 x un plkst 11 .
Tad mēs saņemam

− 8 x + 3 x< − 4 − 11

- 5 x< − 15

2. Sadalīsim abas nevienādības puses - 5 x< − 15 uz negatīvu skaitli − 5 , un nevienlīdzības zīme < , mainīsies uz > , t.i. mēs pārejam uz pretējas nozīmes nevienlīdzību.
Mēs iegūstam:

- 5 x< − 15 | : (− 5 )

x > – 15 : (– 5 )

x > 3

x > 3— dotās nevienādības risinājums.

Pievērs uzmanību!

Ir divas risinājuma rakstīšanas iespējas: x > 3 vai kā skaitļu intervāls.

Atzīmēsim uz skaitļu līnijas nevienādības atrisinājumu kopu un uzrakstīsim atbildi skaitliskā intervāla formā.

x ∈ (3 ; + ∞ )

Atbilde: x > 3 vai x ∈ (3 ; + ∞ )

Algebriskās nevienādības.

Kvadrātiskās nevienādības. Augstāku pakāpju racionālās nevienlīdzības.

Nevienādību risināšanas metodes galvenokārt ir atkarīgas no tā, kurai klasei pieder funkcijas, kas veido nevienlīdzību.

1. es. Kvadrātiskās nevienādības, tas ir, formas nevienādības

ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Lai atrisinātu nevienlīdzību, varat:

1. Kvadrātveida trīsnoma koeficients, tas ir, ierakstiet nevienādību formā

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

1. Uzzīmējiet polinoma saknes uz skaitļu taisnes. Saknes sadala reālo skaitļu kopu intervālos, no kuriem katrā ir atbilstošs kvadrātiskā funkcija būs pastāvīgas zīmes.
2. Katrā intervālā nosakiet a (x - x 1) (x - x 2) zīmi un pierakstiet atbildi.

Ja kvadrātveida trinomim nav sakņu, tad D<0 и a>0 kvadrātveida trinomāls ir pozitīvs jebkuram x.

• Atrisiniet nevienlīdzību. x 2 + x - 6 > 0.

Kvadrātiskā trīsnoma koeficients (x + 3) (x - 2) > 0

Atbilde: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x - 6) 2 > 0

Šī nevienlīdzība attiecas uz jebkuru x, izņemot x = 6.

Atbilde: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15< 0.

Šeit D< 0, a = 1 >0. Kvadrātveida trinomāls ir pozitīvs visiem x.

Atbilde: x Î Ø.

Atrisiniet nevienādības:

1. 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
2. 3x² - 12x + 12 ≤ 0. Atbilde:
3. 3x² - 7x + 5 ≤ 0. Atbilde:
4. 2x² - 12x + 18 > 0. Atbilde:
5. Par kādām a vērtībām rodas nevienlīdzība

x² — cirvis > atbilst jebkuram x? Atbilde:

1. II. Augstāku pakāpju racionālas nevienlīdzības, tas ir, formas nevienādības

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

Polinoms augstākā pakāpe jāfaktorizē, tas ir, nevienādība jāraksta formā

a n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).

Atzīmējiet punktus uz skaitļu līnijas, kur polinoms pazūd.

Nosakiet polinoma zīmes katrā intervālā.

1) Atrisiniet nevienādību x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x + 6x - 6) =x (x - 1) (x 2 -5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Tātad x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Atbilde: (0; 1) (2; 3).

2) Atrisiniet nevienādību (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.

Atzīmēsim skaitļu ass punktus, kuros polinoms pazūd. Tie ir x = 1, x = -2, x = ½, x = - ½.

Punktā x = - ½ zīme nemainās, jo binomiāls (2x + 1) tiek paaugstināts līdz pat pakāpei, tas ir, izteiksme (2x + 1) 4 nemaina zīmi, ejot caur punktu x = - ½.

Atbilde: (-∞; -2) (½; 1).

3) Atrisiniet nevienādību: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.

Šī nevienlīdzība ir līdzvērtīga šādai kopai

(1) risinājums ir x (-∞; -2) (3; +∞). (2) atrisinājums ir x = 0, x = -2, x = 3. Apvienojot iegūtos risinājumus, iegūstam x О (-∞; -2] (0) (0) )