Grafikējot funkciju, ir svarīgi noteikt izliekuma intervālus un lēciena punktus. Mums ir nepieciešams, lai tie kopā ar samazinājuma un palielināšanas intervāliem skaidri attēlotu funkciju grafiskā formā.

Lai izprastu šo tēmu, ir nepieciešamas zināšanas par to, kas ir funkcijas atvasinājums un kā to novērtēt noteiktā secībā, kā arī prasme atrisināt dažādi veidi nevienlīdzības

Raksta sākumā ir definēti pamatjēdzieni. Tad mēs parādīsim, kāda saistība pastāv starp izliekuma virzienu un otrā atvasinājuma vērtību noteiktā intervālā. Tālāk mēs norādīsim nosacījumus, kādos var noteikt grafika lēciena punktus. Visi argumenti tiks ilustrēti ar problēmu risinājumu piemēriem.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1. definīcija

Virzienā uz leju noteiktā intervālā gadījumā, ja tā grafiks atrodas ne zemāk par pieskari tam jebkurā šī intervāla punktā.

2. definīcija

Diferencējamā funkcija ir izliekta uz augšu noteiktā intervālā, ja dotās funkcijas grafiks neatrodas augstāk par tās pieskari jebkurā šī intervāla punktā.

Uz leju izliektu funkciju var saukt arī par ieliektu funkciju. Abas definīcijas ir skaidri parādītas zemāk esošajā diagrammā:

3. definīcija

Funkcijas lēciena punkts– tas ir punkts M (x 0 ; f (x 0)), kurā funkcijas grafikam ir pieskare, ja punkta x 0 tuvumā atrodas atvasinājums, kur no kreisās puses un labā puse funkcijas grafikā ir dažādi izliekuma virzieni.

Vienkārši sakot, lēciena punkts ir vieta grafikā, kur ir pieskares, un grafa izliekuma virziens, ejot cauri šai vietai, mainīs izliekuma virzienu. Ja neatceraties, kādos apstākļos ir iespējama vertikālās un nevertikālās pieskares esamība, iesakām atkārtot sadaļu par funkcijas grafika pieskares punktu punktā.

Tālāk ir redzams funkcijas grafiks, kurā ir vairāki lēciena punkti, kas ir iezīmēti sarkanā krāsā. Precizēsim, ka locījuma punktu klātbūtne nav obligāta. Vienas funkcijas grafikā var būt viena, divas, vairākas, bezgalīgi daudz vai neviena.

Šajā sadaļā mēs runāsim par teorēmu, ar kuras palīdzību jūs varat noteikt izliekuma intervālus konkrētas funkcijas grafikā.

4. definīcija

Funkcijas grafiks būs izliekts uz leju vai uz augšu, ja attiecīgajai funkcijai y = f (x) ir otrs galīgs atvasinājums norādītajā intervālā x ar nosacījumu, ka nevienādība f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f) "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) būs patiess.

Izmantojot šo teorēmu, jūs varat atrast ieliekuma un izliekuma intervālus jebkurā funkcijas grafikā. Lai to izdarītu, jums vienkārši jāatrisina nevienādības f "" (x) ≥ 0 un f "" (x) ≤ 0 atbilstošās funkcijas definīcijas jomā.

Precizēsim, ka tie punkti, kuros otrs atvasinājums neeksistē, bet ir definēta funkcija y = f (x), tiks iekļauti izliekuma un ieliekuma intervālos.

Apskatīsim konkrētas problēmas piemēru, lai redzētu, kā pareizi piemērot šo teorēmu.

1. piemērs

Stāvoklis:ņemot vērā funkciju y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . Nosakiet, kādos intervālos tā grafikam būs izliekums un ieliekums.

Risinājums

Šīs funkcijas definīcijas domēns ir viss reālo skaitļu kopums. Sāksim ar otrā atvasinājuma aprēķināšanu.

y " = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 " = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y " " = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

Mēs redzam, ka otrā atvasinājuma definīcijas apgabals sakrīt ar pašas funkcijas apgabalu, tas nozīmē, ka, lai identificētu izliekuma intervālus, ir jāatrisina nevienādības f "" (x) ≥ 0 un f "" (x) ) ≤ 0.

y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

Mēs saņēmām šo grafiku dotā funkcija segmentā būs ieliekums [2; + ∞) un izliekums uz segmenta (- ∞; 2 ] .

Skaidrības labad uzzīmēsim funkcijas grafiku un atzīmēsim izliekto daļu ar zilu un ieliekto daļu ar sarkanu.

Atbilde: dotās funkcijas grafikā segmentā būs ieliekums [2; + ∞) un izliekums uz segmenta (- ∞; 2 ] .

Bet ko darīt, ja otrā atvasinājuma definīcijas apgabals nesakrīt ar funkcijas definīcijas domēnu? Šeit mums noderēs iepriekš izteiktā piezīme: ieliektajā un izliektajā segmentā iekļausim arī tos punktus, kur galīgais otrais atvasinājums nepastāv.

2. piemērs

Stāvoklis:ņemot vērā funkciju y = 8 x x - 1 . Nosakiet, kādos intervālos tā grafiks būs ieliekts un kuros tas būs izliekts.

Risinājums

Vispirms noskaidrosim funkcijas definīcijas jomu.

x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1; + ∞)

Tagad mēs aprēķinām otro atvasinājumu:

y " = 8 x x - 1 " = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 " = - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2 " x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 · (x - 1) 3

Otrā atvasinājuma definīcijas apgabals ir kopa x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) . Mēs redzam, ka x vienāds ar nulli piederēs sākotnējās funkcijas domēnam, bet ne otrā atvasinājuma domēnam. Šis punkts jāiekļauj ieliektajā vai izliektajā segmentā.

Pēc tam mums ir jāatrisina nevienādības f "" (x) ≥ 0 un f "" (x) ≤ 0 dotās funkcijas definīcijas jomā. Šim nolūkam mēs izmantojam intervāla metodi: ar x = - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 vai x = - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 skaitītājs 2 · (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 · x - 1 3 kļūst par 0, un saucējs ir 0, ja x ir nulle vai viens.

Atzīmēsim iegūtos punktus grafikā un noteiksim izteiksmes zīmi visos intervālos, kas tiks iekļauti sākotnējās funkcijas definīcijas jomā. Šis apgabals diagrammā ir norādīts ar ēnojumu. Ja vērtība ir pozitīva, intervālu atzīmējam ar plusu, ja negatīvu, tad ar mīnusu.

Tāpēc

f "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) un f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)

Iekļaujam iepriekš atzīmēto punktu x = 0 un iegūstam vēlamo atbildi. Sākotnējās funkcijas grafiks būs izliekts uz leju pie 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , un uz augšu – uz x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Uzzīmēsim grafiku, iezīmējot izliekto daļu ar zilu un ieliekto daļu ar sarkanu. Vertikālā asimptote ir atzīmēta ar melnu punktētu līniju.

Atbilde: Sākotnējās funkcijas grafiks būs izliekts uz leju pie 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , un uz augšu – uz x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Funkcijas grafika locīšanas nosacījumi

Sāksim ar nepieciešamā nosacījuma formulēšanu noteiktas funkcijas grafika locījumam.

5. definīcija

Pieņemsim, ka mums ir funkcija y = f (x), kuras grafikā ir lēciena punkts. Pie x = x 0 tam ir nepārtraukts otrs atvasinājums, tāpēc būs spēkā vienādība f "" (x 0) = 0.

Ņemot vērā šis nosacījums, mums jāmeklē locījuma punkti starp tiem, kuros otrais atvasinājums kļūs par 0. Ar šo nosacījumu nepietiks: ne visi šādi punkti mums ir piemēroti.

Ņemiet vērā arī to, ka saskaņā ar vispārīga definīcija, mums būs nepieciešama pieskares līnija, vertikāla vai nevertikāla. Praksē tas nozīmē, ka, lai atrastu lēciena punktus, jāņem tie, kuros dotās funkcijas otrais atvasinājums kļūst par 0. Tāpēc, lai atrastu lēciena punktu abscisu, ir jāņem visi x 0 no funkcijas definīcijas apgabala, kur lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ un lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞. Visbiežāk tie ir punkti, kuros pirmā atvasinājuma saucējs kļūst par 0.

Pirmais pietiekošais nosacījums lēciena punkta pastāvēšanai funkcijas grafikā

Mēs esam atraduši visas x 0 vērtības, kuras var uzskatīt par lēciena punktu abscisēm. Pēc tam mums jāpiemēro pirmais pietiekams locījuma nosacījums.

6. definīcija

Pieņemsim, ka mums ir funkcija y = f (x), kas ir nepārtraukta punktā M (x 0 ; f (x 0)). Turklāt tai šajā punktā ir tangenss, un pašai funkcijai ir otrs atvasinājums šī punkta x 0 tuvumā. Tādā gadījumā, ja kreisajā un labajā pusē otrais atvasinājums iegūst pretējas zīmes, tad šo punktu var uzskatīt par lēciena punktu.

Mēs redzam, ka šis nosacījums neprasa, lai šajā punktā obligāti būtu otrs atvasinājums; pietiek ar tā klātbūtni punkta x 0 tuvumā.

Visu iepriekš minēto ir ērti izklāstīt darbību secības veidā.

1. Vispirms jāatrod visas iespējamo lēciena punktu abscises x 0, kur f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ .
2. Noskaidrosim, kādos punktos atvasinājums mainīs zīmi. Šīs vērtības ir lēciena punktu abscises, un tiem atbilstošie punkti M (x 0 ; f (x 0)) ir paši lēciena punkti.

Skaidrības labad mēs analizēsim divas problēmas.

3. piemērs

Stāvoklis:ņemot vērā funkciju y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x. Nosakiet, kur šīs funkcijas grafikā būs lēciena punkti un izliekuma punkti.

Risinājums

Norādītā funkcija ir definēta visai reālo skaitļu kopai. Mēs aprēķinām pirmo atvasinājumu:

y" = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x " = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2

Tagad atradīsim pirmā atvasinājuma definīcijas domēnu. Tā ir arī visu reālo skaitļu kopa. Tas nozīmē, ka vienādības lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ un lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ nevar izpildīt nevienai x 0 vērtībai.

Mēs aprēķinām otro atvasinājumu:

y "" = = 1 10 · x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 · 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 · x 2 - x - 6

y "" = 0 ⇔ 1 10 · (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 = - 2, x 2 = 1 + 25 2 = 3

Mēs atradām divu iespējamo lēciena punktu abscisu - 2 un 3. Mums atliek tikai pārbaudīt, kurā brīdī atvasinājums maina savu zīmi. Uzzīmēsim skaitļa līniju un uzzīmēsim uz tās šos punktus, pēc tam uz iegūtajiem intervāliem novietosim otrā atvasinājuma zīmes.

Loki parāda grafika izliekuma virzienu katrā intervālā.

Otrais atvasinājums maina zīmi uz pretējo (no plusa uz mīnusu) punktā ar abscisu 3, ejot cauri tam no kreisās puses uz labo, un arī dara to (no mīnusa uz plusu) punktā ar abscisu 3. Tas nozīmē, ka varam secināt, ka x = - 2 un x = 3 ir funkcijas grafika lēciena punktu abscises. Tie atbildīs grafika punktiem - 2; - 4 3 un 3; - 15 8 .

Vēlreiz apskatīsim skaitļu ass attēlu un iegūtās zīmes pa intervāliem, lai izdarītu secinājumus par ieliekuma un izliekuma vietām. Izrādās, ka izliekums atradīsies uz segmenta - 2; 3, un ieliekums uz segmentiem (- ∞; - 2 ] un [ 3; + ∞).

Problēmas risinājums ir skaidri parādīts diagrammā: Zilā krāsa– izliekums, sarkans – ieliekums, melnā krāsa nozīmē lieces punktus.

Atbilde: izliekums atradīsies uz segmenta - 2; 3, un ieliekums uz segmentiem (- ∞; - 2 ] un [ 3; + ∞).

4. piemērs

Stāvoklis: aprēķiniet funkcijas y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 grafika visu lēciena punktu abscisi.

Risinājums

Dotās funkcijas definīcijas domēns ir visu reālo skaitļu kopa. Mēs aprēķinām atvasinājumu:

y " = 1 8 · (x 2 + 3 x + 2) · x - 3 3 5 " = = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 " · (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 · (x - 3) 2 5

Atšķirībā no funkcijas, tās pirmais atvasinājums netiks definēts ar vērtību x, kas vienāds ar 3, bet:

lim x → 3 - 0 y " (x) = 13 · (3 - 0) 2 - 6 · (3 - 0) - 39 40 · 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y " (x) = 13 · (3 + 0) 2 - 6 · (3 + 0) - 39 40 · 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞

Tas nozīmē, ka grafa vertikālā pieskare iet caur šo punktu. Tāpēc 3 var būt lēciena punkta abscisa.

Mēs aprēķinām otro atvasinājumu. Mēs atrodam arī tā definīcijas domēnu un punktus, kuros tas pārvēršas par 0:

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 · x - 3 2 5" (x - 3) 4 5 = = 1 25 · 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y " " (x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3, 4556, x 2 = 51 - 1509 0,4675

Tagad mums ir vēl divi iespējamie lēciena punkti. Atzīmēsim tos visus uz skaitļu līnijas un atzīmēsim iegūtos intervālus ar zīmēm:

Izejot cauri katram norādītajam punktam, zīme mainīsies, kas nozīmē, ka tie visi ir lēciena punkti.

Atbilde: Uzzīmēsim funkcijas grafiku, iezīmējot ieliekumus ar sarkanu, izliekumu ar zilu un lēciena punktus ar melnu:

Zinot pirmo pietiekamo locījuma nosacījumu, varam noteikt nepieciešamos punktus, kuros otrā atvasinājuma klātbūtne nav nepieciešama. Pamatojoties uz to, pirmo nosacījumu var uzskatīt par universālāko un piemērotāko risināšanai dažādi veidi uzdevumus.

Ņemiet vērā, ka ir vēl divi lēciena nosacījumi, taču tos var piemērot tikai tad, ja norādītajā punktā ir galīgs atvasinājums.

Ja mums ir f "" (x 0) = 0 un f """ (x 0) ≠ 0, tad x 0 būs grafika y = f (x) lēciena punkta abscisa.

5. piemērs

Stāvoklis: ir dota funkcija y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5. Noteikt, vai funkcijas grafikā 3. punktā būs lēciena punkts; 4 5 .

Risinājums

Vispirms ir jāpārliecinās, ka šis punkts parasti piederēs šīs funkcijas grafikam.

y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

Dotā funkcija ir definēta visiem argumentiem, kas ir reāli skaitļi. Aprēķināsim pirmo un otro atvasinājumu:

y" = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 " = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 " = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)

Mēs noskaidrojām, ka otrais atvasinājums būs 0, ja x ir vienāds ar 0. Tas nozīmē, ka šim punktam nepieciešamais locīšanas nosacījums tiks izpildīts. Tagad mēs izmantojam otro nosacījumu: atrodiet trešo atvasinājumu un uzziniet, vai tas kļūs par 0 pie 3:

y " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10

Trešais atvasinājums nepazudīs nevienai x vērtībai. Līdz ar to varam secināt, ka šis punkts būs funkcijas grafika lēciena punkts.

Atbilde: Parādīsim risinājumu attēlā:

Pieņemsim, ka f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0, ..., f (n) (x 0) = 0 un f (n + 1) (x 0) ≠ 0 Šajā gadījumā pāra n gadījumā iegūstam, ka x 0 ir grafika y = f (x) lēciena punkta abscisa.

6. piemērs

Stāvoklis:ņemot vērā funkciju y = (x - 3) 5 + 1. Aprēķiniet tā grafika lēciena punktus.

Risinājums

Šī funkcija ir definēta visai reālo skaitļu kopai. Mēs aprēķinām atvasinājumu: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . Tā kā tas tiks definēts arī visām argumenta reālajām vērtībām, nevertikālā tangensa pastāvēs jebkurā tās grafika punktā.

Tagad aprēķināsim, pie kādām vērtībām otrais atvasinājums kļūs par 0:

y "" = 5 · (x - 3) 4 " = 20 · x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

Mēs atklājām, ka pie x = 3 funkcijas grafikam var būt lēciena punkts. Lai to apstiprinātu, izmantosim trešo nosacījumu:

y " " " = 20 · (x - 3) 3 " = 60 · x - 3 2, y " " " (3) = 60 · 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 · (x - 3) 2" = 120 · (x - 3) , y (4) (3) = 120 · (3 - 3) = 0 g (5) = 120 · (x - 3)" = 120 , y (5) (3 ) = 120 ≠ 0

Mums ir n = 4 ar trešo pietiekamo nosacījumu. Tas ir pāra skaitlis, kas nozīmē, ka x = 3 būs lēciena punkta abscisa un tam atbilst funkcijas (3; 1) grafika punkts.

Atbilde:Šeit ir šīs funkcijas grafiks ar atzīmētiem izliekumiem, ieliekumiem un lēciena punktu:

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Instrukcijas

Punkti infekcija funkcijas jāpieder tās definīcijas jomai, kas jāatrod vispirms. Grafiks funkcijas ir līnija, kas var būt nepārtraukta vai ar pārtraukumiem, monotoni samazināties vai palielināties, ar minimumu vai maksimumu punktus(asimptoti), jābūt izliektiem vai ieliektiem. Pēkšņa divu maiņa jaunākie štati un to sauc par locījumu.

Priekšnoteikums esamību infekcija funkcijas sastāv no otrās vienādības ar nulli. Tādējādi, divreiz diferencējot funkciju un pielīdzinot iegūto izteiksmi nullei, mēs varam atrast iespējamo punktu abscisu infekcija.

Šis nosacījums izriet no grafika izliekuma un ieliekuma īpašību definīcijas funkcijas, t.i. otrā atvasinājuma negatīvās un pozitīvās vērtības. Punktā infekcija krasas šo īpašību izmaiņas nozīmē, ka atvasinājums šķērso nulles atzīmi. Tomēr ar nulli vēl nepietiek, lai norādītu uz locījumu.

Ir divi pietiekami nosacījumi, lai iepriekšējā posmā atrastā abscisa pieder pie punkta infekcija: Caur šo punktu jūs varat izdarīt pieskares punktu funkcijas. Otrajam atvasinājumam ir dažādas zīmes pa labi un pa kreisi no gaidītā punktus infekcija. Tādējādi tā esamība pašā punktā nav nepieciešama, pietiek noteikt, ka tajā tas maina zīmi Otrais atvasinājums funkcijas ir vienāds ar nulli, bet trešais nav.

Risinājums: atrodiet . Šajā gadījumā ierobežojumu nav, tāpēc tā ir visa reālo skaitļu telpa. Aprēķiniet pirmo atvasinājumu: y’ = 3 ∛(x - 5) + (3 x + 3)/∛(x - 5)².

Pievērs uzmanību . No tā izriet, ka atvasinājuma definīcijas joma ir ierobežota. Punkts x = 5 ir caurdurts, kas nozīmē, ka caur to var iziet pieskare, kas daļēji atbilst pirmajai pietiekamības zīmei infekcija.

Nosakiet iegūto izteiksmi x → 5 – 0 un x → 5 + 0. Tie ir vienādi ar -∞ un +∞. Jūs esat pierādījis, ka vertikālā pieskare iet caur punktu x=5. Šis punkts var izrādīties punkts infekcija, bet vispirms aprēķiniet otro atvasinājumu: Y'' = 1/∛(x - 5)² + 3/∛(x - 5)² - 2/3 (3 x + 3)/∛(x - 5)^5 = (2 x – 22)/∛(x — 5)^5.

Izlaidiet saucēju, jo jūs jau esat ņēmis vērā punktu x = 5. Atrisiniet vienādojumu 2 x – 22 = 0. Tam ir viena sakne x = 11. Pēdējais solis ir apstiprināt, ka punktus x=5 un x=11 ir punkti infekcija. Analizējiet otrā atvasinājuma uzvedību to tuvumā. Acīmredzot punktā x = 5 tas maina zīmi no “+” uz “-”, bet punktā x = 11 – otrādi. Secinājums: abi punktus ir punkti infekcija. Pirmais pietiekošais nosacījums ir izpildīts.

Funkcijas grafiks y=f(x) sauca izliekts uz intervālu (a; b), ja tas atrodas zem jebkuras tā pieskares šajā intervālā.

Funkcijas grafiks y=f(x) sauca ieliekts uz intervālu (a; b), ja tas atrodas virs jebkuras tā pieskares šajā intervālā.

Attēlā parādīta līkne, kas ir izliekta pie (a; b) un ieliekts tālāk (b; c).

Piemēri.

Apskatīsim pietiekamu kritēriju, kas ļauj noteikt, vai funkcijas grafiks dotajā intervālā būs izliekts vai ieliekts.

Teorēma. Ļaujiet y=f(x) diferencējams ieslēgts (a; b). Ja visos intervāla punktos (a; b) otrais funkcijas atvasinājums y = f(x) negatīvs, t.i. f ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 – ieliekts.

Pierādījums. Pieņemsim skaidrības labad, ka f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Ņemsim funkcijas grafikā y = f(x) patvaļīgs punkts M0 ar abscisu x 0 Î ( a; b) un izvelciet caur punktu M0 pieskares. Viņas vienādojums. Mums jāparāda, ka funkcijas grafiks ir (a; b) atrodas zem šīs pieskares, t.i. tajā pašā vērtībā x līknes ordinātas y = f(x) būs mazāks par pieskares ordinātu.

Tātad, līknes vienādojums ir y = f(x). Apzīmēsim abscisai atbilstošās pieskares ordinātas x. Tad . Līdz ar to starpība starp līknes ordinātām un tangensu tai pašai vērtībai x būs .

Atšķirība f(x) – f(x 0) pārveidot pēc Lagranža teorēmas, kur c starp x Un x 0.

Tādējādi

Mēs atkal piemērojam Lagranža teorēmu izteiksmei kvadrātiekavās: , kur c 1 starp c 0 Un x 0. Atbilstoši teorēmas nosacījumiem f ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Tādējādi jebkurš līknes punkts atrodas zem līknes pieskares visām vērtībām x Un x 0 Î ( a; b), kas nozīmē, ka līkne ir izliekta. Teorēmas otrā daļa ir pierādīta līdzīgā veidā.

Piemēri.

Grafika punkts nepārtraukta funkcija, atdalot tās izliekto daļu no ieliektās daļas, sauc lēciena punkts.

Acīmredzot lieces punktā pieskares, ja tāda pastāv, šķērso līkni, jo vienā šī punkta pusē līkne atrodas zem pieskares, bet otrā pusē - virs tās.

Noteiksim pietiekamus nosacījumus tam, ka noteiktais līknes punkts ir lēciena punkts.

Teorēma. Ļaujiet līkni definēt ar vienādojumu y = f(x). Ja f ""(x 0) = 0 vai f ""(x 0) nepastāv pat tad, kad iet caur vērtību x = x 0 atvasinājums f ""(x) maina zīmi, tad punkts funkcijas grafikā ar abscisu x = x 0 ir lēciena punkts.

Pierādījums. Ļaujiet f ""(x) < 0 при x < x 0 Un f ""(x) > 0 plkst x > x 0. Tad plkst x < x 0 līkne ir izliekta, un kad x > x 0– ieliekts. Tāpēc punkts A, guļus uz izliekuma, ar abscisu x 0 ir lēciena punkts. Līdzīgi var aplūkot otro gadījumu, kad f ""(x) > 0 plkst x < x 0 Un f ""(x) < 0 при x > x 0.

Tādējādi locījuma punkti jāmeklē tikai starp tiem punktiem, kur otrs atvasinājums pazūd vai neeksistē.

Piemēri. Atrodiet lēciena punktus un nosakiet līkņu izliekuma un ieliekuma intervālus.

FUNKCIJAS GRAFIKA ASIMPTOTI

Pētot funkciju, ir svarīgi noteikt tās grafika formu neierobežotā grafika punkta attālumā no sākuma.

Īpaši interesants ir gadījums, kad funkcijas grafiks, kad tās mainīgais punkts tiek noņemts līdz bezgalībai, neierobežoti tuvojas noteiktai taisnei.

Taisni sauc asimptote funkciju grafika y = f(x), ja attālums no mainīgā punkta M grafika uz šo līniju, noņemot punktu M līdz bezgalībai tiecas uz nulli, t.i. punktam uz funkcijas grafika, jo tas tiecas uz bezgalību, bezgalīgi jātuvojas asimptotam.

Līkne var tuvoties savai asimptotam, paliekot vienā tās pusē vai dažādās pusēs, šķērsojot asimptotu bezgalīgi daudz reižu un pārvietojoties no vienas puses uz otru.

Ja ar d apzīmējam attālumu no punkta M līkne līdz asimptotam, tad ir skaidrs, ka d ir tendence uz nulli, punktam attālinoties M līdz bezgalībai.

Tālāk mēs nošķirsim vertikālās un slīpās asimptotes.

VERTIKĀLIE ASIMPTOTI

Ļaujiet plkst x→ x 0 no jebkuras sānu funkcijas y = f(x) absolūtā vērtībā neierobežoti palielinās, t.i. vai vai . Tad no asimptotes definīcijas izriet, ka taisne x = x 0 ir asimptote. Arī pretējais ir acīmredzams, ja līnija x = x 0 ir asimptote, t.i. .

Tādējādi funkcijas grafika vertikālā asimptote y = f(x) sauc par taisni, ja f(x)→ ∞ vismaz vienā no nosacījumiem x→ x 0– 0 vai x → x 0 + 0, x = x 0

Tāpēc, lai atrastu funkcijas grafika vertikālās asimptotes y = f(x) jāatrod šīs vērtības x = x 0, pie kuras funkcija iet līdz bezgalībai (cieš bezgalīgu pārtraukumu). Tad vertikālā asimptote ir vienādojums x = x 0.

Piemēri.

SLĪPI ASIMPTOTI

Tā kā asimptote ir taisna līnija, tad, ja līkne y = f(x) ir slīps asimptote, tad tā vienādojums būs y = kx + b. Mūsu uzdevums ir atrast koeficientus k Un b.

Teorēma. Taisni y = kx + b kalpo kā slīps asimptots plkst x→ +∞ funkcijas grafikam y = f(x) tad un tikai tad, kad . Līdzīgs apgalvojums attiecas uz x → –∞.

Pierādījums. Ļaujiet MP– segmenta garums, kas vienāds ar attālumu no punkta M līdz asimptotam. Pēc nosacījuma. Ar φ apzīmēsim asimptotes slīpuma leņķi pret asi Vērsis. Tad no ΔMNP tam seko. Tā kā φ ir nemainīgs leņķis (φ ≠ π/2), tad , bet

Atliek apsvērt grafa izliekums, ieliekums un krokas. Sāksim ar vietnēm, kuras apmeklētājiem tik ļoti patīk fiziski vingrinājumi. Lūdzu, piecelieties un noliecieties uz priekšu vai atpakaļ. Tas ir izspiedums. Tagad izstiepiet rokas sev priekšā, plaukstas uz augšu, un iedomājieties, ka turat lielu baļķi uz krūtīm... ...nu, ja jums nepatīk baļķis, ļaujiet to darīt kaut kam/kādam citam = ) Tas ir ieliekums. Vairāki avoti satur sinonīmus terminus izspiesties uz augšu Un izspiesties uz leju, bet es esmu īso nosaukumu cienītājs.

! Uzmanību : daži autori noteikt izliekumu un ieliekumu tieši pretēji. Tas ir arī matemātiski un loģiski pareizi, bet bieži vien pilnīgi nepareizi no būtiskā viedokļa, tostarp mūsu nespeciālistu izpratnes par terminiem līmenī. Tā, piemēram, lēcu ar bumbuļiem sauc par abpusēji izliektu lēcu, bet ne ar padziļinājumiem (abpusēji ieliektu).
Un, teiksim, "ieliekta" gulta - tā joprojām nepārprotami "nelīp" =) (tomēr, ja jūs pakāpjat zem tās, tad mēs jau runāsim par izliekumu; =)) Es pieturos pie pieejas, kas atbilst dabiskajam cilvēku asociācijas.

Grafa izliekuma un ieliekuma formāla definīcija tējkannai ir diezgan sarežģīta, tāpēc mēs aprobežosimies ar jēdziena ģeometrisku interpretāciju. konkrētus piemērus. Apsveriet tādas funkcijas grafiku, kas nepārtraukts visā skaitļu rindā:

Ar to ir viegli būvēt ģeometriskās transformācijas, un, iespējams, daudzi lasītāji zina, kā to iegūst no kubiskās parabolas.

Piezvanīsim akords līnijas savienošana divi dažādi punkti grafikas māksla.

Funkcijas grafiks ir izliekts kādā intervālā, ja tas atrodas ne mazāk jebkurš dotā intervāla akords. Eksperimentālā līnija ir izliekta uz , un, protams, šeit jebkura grafika daļa atrodas VIRS tās akords. Lai ilustrētu definīciju, es uzzīmēju trīs melnas līnijas.

Grafu funkcijas ir ieliekts uz intervālu, ja tas atrodas ne augstāk jebkurš šī intervāla akords. Aplūkotajā piemērā pacients ir ieliekts intervālā . Brūnu segmentu pāris pārliecinoši parāda, ka šeit jebkurš diagrammas fragments atrodas zem tā akords.

Punkts diagrammā, kurā tas mainās no izliekta uz ieliektu vai no ieliekuma līdz izliekumam sauc lēciena punkts. Mums tas ir vienā eksemplārā (pirmais gadījums), un praksē ar lēciena punktu varam domāt gan pašai līnijai piederošo zaļo punktu, gan vērtību “X”.

SVARĪGS! Diagrammas locījumus vajadzētu uzzīmēt uzmanīgi un ļoti gluda. Visa veida "nelīdzenumi" un "nelīdzenumi" ir nepieņemami. Tas prasa tikai nelielu apmācību.

Otrā pieeja izliekuma/ieliekuma noteikšanai teorētiski ir dota ar pieskares palīdzību:

Izliekta uz intervāla, kurā grafiks atrodas ne augstāk tai pievilkta tangensa noteiktā intervāla patvaļīgā punktā. Ieliekts intervālu grafikā - ne mazāk jebkura šī intervāla tangensa.

Hiperbola ir ieliekta intervālā un izliekta uz:

Izejot cauri koordinātu sākuma vietai, ieliekums mainās uz izliekumu, bet punkts NESKAITĪT lēciena punkts, jo funkcija nav noteikts tajā.

Stingrākus apgalvojumus un teorēmas par šo tēmu var atrast mācību grāmatā, un mēs pārejam pie intensīvās praktiskās daļas:

Kā atrast izliekuma intervālus, ieliekuma intervālus
un grafika lēciena punkti?

Materiāls ir vienkāršs, trafarets un strukturāli atkārtojas ekstrēma funkcijas izpēte.

Grafa izliekums/ieliekums raksturo otrais atvasinājums funkcijas.

Lai funkcija ir divreiz diferencējama kādā intervālā. Pēc tam:

– ja otrs atvasinājums atrodas uz intervāla, tad funkcijas grafiks ir izliekts uz šī intervāla;

– ja otrs atvasinājums atrodas uz intervāla, tad funkcijas grafiks šajā intervālā ir ieliekts.

Runājot par otrā atvasinājuma zīmēm, pa izglītības iestādēm staigā aizvēsturiska biedrība: “–” liecina, ka “funkcijas grafikā ūdeni ieliet nevar” (izliekums),
un “+” – “dod tādu iespēju” (ieliekums).

Nepieciešamais locījuma nosacījums

Ja kādā punktā funkcijas grafikā ir lēciena punkts, Tas:
vai vērtība neeksistē(sakārtosim, lasiet!).

Šī frāze nozīmē, ka funkcija nepārtraukts punktā un lietā – ir divreiz diferencējams kādā tā apkaimē.

Nosacījuma nepieciešamība liecina, ka ne vienmēr ir taisnība. Tas ir, no vienlīdzības (vai vērtības neesamības) vēl nevajadzētu locījuma esamība funkcijas grafikā punktā . Bet abās situācijās viņi zvana otrā atvasinājuma kritiskais punkts.

Pietiekams nosacījums locījumam

Ja otrais atvasinājums maina zīmi, ejot caur punktu, tad šajā punktā funkcijas grafikā ir locījums.

Var nebūt locījuma punktu (piemērs jau ir izpildīts), un šajā ziņā daži elementāri piemēri ir orientējoši. Analizēsim funkcijas otro atvasinājumu:

Tiek iegūta pozitīva konstante funkcija, tas ir jebkurai "x" vērtībai. Fakti, kas atrodas uz virsmas: parabola viscaur ir ieliekta definīcijas joma, nav locījuma punktu. Ir viegli pamanīt, ka negatīvais koeficients “apgriež” parabolu un padara to izliektu (kā mums pateiks otrais atvasinājums, negatīva konstante funkcija).

Eksponenciālā funkcija arī ieliekts pie:

jebkurai "x" vērtībai.

Protams, grafikā nav lēciena punktu.

Mēs pārbaudām logaritmiskās funkcijas grafiku izliekumam/ieliekumam:

Tādējādi logaritma atzars intervālā ir izliekts. Otrais atvasinājums ir definēts arī intervālā, taču ņemiet vērā to TAS IR AIZLIEGTS, jo šis intervāls nav iekļauts domēns funkcijas Prasība ir acīmredzama - tā kā tur nav logaritma grafa, tad, dabiski, nav runas par kaut kādu izliekumu/ieliekumu/locījumu.

Kā redzat, viss tiešām ļoti atgādina stāstu ar funkcijas palielināšanās, samazināšanās un ekstremitāšu. Līdzīgi man pašam algoritms funkcijas grafika izpēteiizliekumam, ieliekumam un saliekumu klātbūtnei:

2) Mēs meklējam kritiskās vērtības. Lai to izdarītu, ņemiet otro atvasinājumu un atrisiniet vienādojumu. Kritiski tiek uzskatīti arī punkti, kuros nav 2. atvasinājuma, bet kuri ir iekļauti pašas funkcijas definīcijas jomā!

3) Atzīmējiet uz skaitļu līnijas visus atrastos pārtraukuma punktus un kritiskie punkti (var nebūt ne viena, ne otra - tad nevajag neko zīmēt (kā pārāk vienkāršā gadījumā), pietiek aprobežoties ar rakstisku komentāru). Intervāla metode noteikt iegūto intervālu zīmes. Kā tikko paskaidrots, vajadzētu apsvērt tikai tie intervāli, kas ir iekļauti funkcijas definīcijas jomā. Izdarām secinājumus par funkciju grafika izliekuma/ieliekuma un lēciena punktiem. Mēs sniedzam atbildi.

Mēģiniet verbāli lietot algoritmu funkcijām . Otrajā gadījumā, starp citu, ir piemērs, kad grafikā kritiskajā punktā nav lēciena punkta. Tomēr sāksim ar nedaudz sarežģītākiem uzdevumiem:

1. piemērs

Risinājums:
1) Funkcija ir definēta un nepārtraukta visā skaitļu rindā. Ļoti labi.

2) Atradīsim otro atvasinājumu. Vispirms varat veikt kubu uzbūvi, taču to ir daudz izdevīgāk izmantot noteikums sarežģītu funkciju diferencēšanai:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka , kas nozīmē, ka funkcija ir nesamazinās. Lai gan tas neattiecas uz uzdevumu, vienmēr ir ieteicams pievērst uzmanību šādiem faktiem.

Atradīsim otrā atvasinājuma kritiskos punktus:

- kritiskais punkts

3) Pārbaudīsim, vai ir izpildīts pietiekamā locījuma nosacījums. Nosakīsim otrā atvasinājuma zīmes iegūtajos intervālos.

Uzmanību! Tagad mēs strādājam ar otro atvasinājumu (nevis ar funkciju!)

Rezultātā tika iegūts viens kritisks punkts: .

3) Atzīmējiet divus pārtraukuma punktus uz skaitļu līnijas, kritisko punktu, un nosakiet otrā atvasinājuma zīmes iegūtajos intervālos:

Es atgādinu jums svarīgu tehniku intervāla metode, kas ļauj ievērojami paātrināt risinājumu. Otrais atvasinājums izrādījās ļoti apgrūtinoši, tāpēc nav nepieciešams aprēķināt tās vērtības, pietiek ar to, lai katrā intervālā veiktu “tāmi”. Izvēlēsimies, piemēram, punktu, kas pieder kreisajam intervālam,
un veiciet aizstāšanu:

Tagad analizēsim reizinātājus:

Divi “mīnus” un “plus” dod “plusu”, kas nozīmē, ka otrais atvasinājums ir pozitīvs visā intervālā.

Komentētās darbības ir viegli izpildāmas mutiski. Turklāt ir izdevīgi ignorēt faktoru vispār - tas ir pozitīvs jebkuram “x” un neietekmē mūsu otrā atvasinājuma zīmes.

Tātad, kādu informāciju jūs mums sniedzāt?

Atbilde: funkcijas grafiks ir ieliekts pie un izliekta uz . Izcelsmē (tas ir skaidrs) grafikā ir lēciena punkts.

Izejot cauri punktiem, arī otrs atvasinājums maina zīmi, taču tos neuzskata par lēciena punktiem, jo ​​tajos cieš funkcija bezgalīgas pauzes.

Analizētajā piemērā pirmais atvasinājums informē mūs par funkcijas izaugsmi definīcijas joma. Vienmēr būtu tāda freebie =) Turklāt ir skaidrs, ka ir trīs asimptote. Ir iegūts daudz datu, kas ļauj augsta pakāpe pašreizējo uzticamību izskats grafikas māksla. Arī funkcija ir nepāra. Pamatojoties uz konstatētajiem faktiem, mēģiniet izveidot aptuvenu skici. Attēls nodarbības beigās.

Uzdevums patstāvīgam risinājumam:

6. piemērs

Pārbaudiet funkcijas grafiku izliekumam, ieliekumam un atrodiet grafa lēciena punktus, ja tādi pastāv.

Izlasē zīmējuma nav, taču nav aizliegts izvirzīt hipotēzi;)

Materiālu slīpējam, nenumerējot algoritma punktus:

7. piemērs

Pārbaudiet funkcijas grafiku izliekumam, ieliekumam un atrodiet lēciena punktus, ja tādi pastāv.

Risinājums: funkcija pieļauj bezgalīga plaisa punktā.

Kā parasti, ar mums viss ir kārtībā:

Atvasinājumi nav tie grūtākie, galvenais ir uzmanīties ar savu “frizūru”.
Inducētajā maratonā tiek atklāti divi otrā atvasinājuma kritiskie punkti:

Nosakīsim iegūto intervālu zīmes:

Punktā grafikā ir lēciena punkts; atradīsim punkta ordinātas:

Ejot caur punktu, otrais atvasinājums zīmi nemaina, tāpēc grafikā NAV locījuma.

Atbilde: izliekuma intervāli: ; ieliekuma intervāls: ; lēciena punkts: .

Apsvērsim pēdējie piemēri ar papildu zvaniņiem un svilpēm:

8. piemērs

Atrodiet grafika izliekuma, ieliekuma un lēciena punktu intervālus

Risinājums: ar atrašanu definīcijas joma Nav īpašu problēmu:
, savukārt funkcijai punktos ir pārtraukumi.

Dosimies pa ceļu:

- kritiskais punkts.

Definēsim zīmes un ņemsim vērā intervālus tikai no funkciju domēna:

Punktā grafikā ir lēciena punkts; aprēķināsim ordinātas: