Hiperbola ir to punktu lokuss, kuru attāluma starpība līdz diviem dotajiem punktiem, ko sauc par fokusiem, ir nemainīga vērtība (šai konstantei jābūt pozitīvai un mazākai par attālumu starp fokusiem).

Apzīmēsim šo konstanti ar 2a, attālumu starp fokusiem ar un izvēlēsimies koordinātu asis tāpat kā § 3. Ļaujiet būt patvaļīgs hiperbolas punkts.

Pēc hiperbolas definīcijas

Vienlīdzības labajā pusē ir jāatlasa pluszīme ja un mīnusa zīme, ja

Tā kā pēdējo vienādību var uzrakstīt šādi:

Šis ir hiperbolas vienādojums izvēlētajā koordinātu sistēmā.

Atbrīvojoties no radikāļiem šajā vienādojumā (kā 3.§), mēs varam reducēt vienādojumu līdz tā vienkāršākajai formai.

Pirmā radikāļa nodošana uz labā puse abas puses vienādībā un kvadrātā, pēc acīmredzamām pārvērtībām iegūstam:

Vēlreiz sadalot abas vienādības puses kvadrātā, apvienojot līdzīgus nosacījumus un dalot ar brīvo terminu, mēs iegūstam:

Kopš , vērtība ir pozitīva. Apzīmējot to caur , t.i., pieņemot

iegūstam hiperbolas kanonisko vienādojumu.

Izpētīsim hiperbolas formu.

1) Hiperbolas simetrijas. Tā kā vienādojums (3) satur tikai pašreizējo koordinātu kvadrātus, koordinātu asis ir hiperbolas simetrijas asis (sk. līdzīgu apgalvojumu par elipsi). Hiperbolas simetrijas asi, uz kuras atrodas perēkļi, sauc par fokusa asi. Simetrijas asu krustpunktu - simetrijas centru - sauc par hiperbolas centru. Hiperbolai, kas norādīta ar (3) vienādojumu, fokusa ass sakrīt ar Vērša asi, un centrs ir izcelsme.

2) Krustošanās punkti ar simetrijas asīm. Atradīsim hiperbolas krustošanās punktus ar simetrijas asīm – hiperbolas virsotnes. Pieņemot, ka vienādojumā mēs atrodam hiperbolas ar asi krustošanās punktu abscises

Līdz ar to punkti ir hiperbolas virsotnes (51. att.); attālums starp tiem ir 2a. Lai atrastu krustošanās punktus ar Oy asi, ievietojam vienādojumu Lai noteiktu šo punktu ordinātas, iegūstam vienādojumu

tas ir, y mēs ieguvām iedomātas vērtības; tas nozīmē, ka Oy ass nekrustojas ar hiperbolām.

Saskaņā ar to simetrijas asi, kas krustojas ar hiperbolu, sauc par reālo simetrijas asi (fokālo asi), bet simetrijas asi, kas nekrustojas ar hiperbolu, sauc par iedomāto simetrijas asi. Hiperbolai, kas dota ar (3) vienādojumu, reālā simetrijas ass ir ass, iedomātā simetrijas ass ir ass.Nogriezni, kas savieno hiperbolas virsotnes, kā arī tā garumu 2a sauc par reālo asi hiperbola. Ja uz hiperbolas iedomātās simetrijas ass uzzīmējam nogriežņus OB un garumu b abās tās centra O pusēs, tad segmentu un tā garumu sauc par hiperbolas iedomāto asi. Lielumus a un b sauc attiecīgi par reālo un iedomāto hiperbolas pusasi.

3) Hiperbolas forma. Pētot hiperbolas formu, pietiek ņemt vērā pozitīvās x un y vērtības, jo līkne atrodas simetriski attiecībā pret koordinātu asīm.

Tā kā no (3) vienādojuma izriet, ka 1, tad var mainīties no a līdz Kad palielinās no a līdz tad Y arī palielinās no 0 līdz Līknei ir tāda forma, kā parādīts attēlā. 51. Tas atrodas ārpus joslas, ko ierobežo taisnas līnijas, un sastāv no diviem atsevišķiem atzariem. Jebkuram punktam M vienā no šiem atzariem (labais atzars), jebkuram cita atzara punktam M (kreisais atzars).

4) Hiperbolas asimptotes. Lai skaidrāk iedomāties hiperbolas veidu, apsveriet divas ar to cieši saistītas taisnas līnijas - tā sauktās asimptotes.

Pieņemot, ka x un y ir pozitīvi, mēs atrisinām hiperbolas vienādojumu (3) attiecībā pret ordinātu y:

Salīdzināsim vienādojumu ar taisnes vienādojumu, izsaucot atbilstošus divus punktus, kas atrodas attiecīgi uz šīs taisnes un uz hiperbolas un kuriem ir vienāda abscisa (51. att.). Acīmredzot atbilstošo punktu ordinātu starpība Y - y izsaka attālumu starp tiem, t.i.

Parādīsim, ka ar neierobežotu pieaugumu attālumam MN, nogalinot, ir tendence uz nulli. Patiešām,

Pēc vienkāršošanas mēs iegūstam:

No pēdējās formulas redzam, ka ar neierobežotu abscisu pieaugumu attālums MN samazinās un tiecas uz nulli. No tā izriet, ka, kad punkts M, pārvietojoties pa hiperbolu pirmajā kvadrantā, virzās uz bezgalību, tad tā attālums līdz taisnei samazinās un tiecas uz nulli. Tas pats apstāklis ​​notiks, kad punkts M pārvietojas pa hiperbolu trešajā kvadrantā (simetrijas dēļ attiecībā pret izcelsmi O).

Visbeidzot, pateicoties hiperbolas simetrijai attiecībā pret Oy asi, mēs iegūsim otru taisni, kas simetriski atrodas taisnei, kurai arī punkts M bezgalīgi tuvosies, pārvietojoties pa hiperbolu un virzoties prom līdz bezgalībai ( otrais un ceturtais kvadrants).

Šīs divas taisnes tiek sauktas par hiperbolas asimptotēm, un, kā mēs redzējām, tām ir vienādojumi:

Acīmredzot hiperbolas asimptoti atrodas gar taisnstūra diagonālēm, kura viena mala ir paralēla Ox asij un ir vienāda ar 2a, otra ir paralēla Oy asij un ir vienāda ar un centrs atrodas pie koordinātu izcelsme (sk. 51. att.).

Zīmējot hiperbolu, izmantojot tās vienādojumu, vispirms ieteicams izveidot tās asimptotus.

Vienādmalu hiperbola. Hiperbolas gadījumā to sauc par vienādmalu; tā vienādojums ir iegūts no (3) un tam ir šāda forma:

Acīmredzot vienādmalu hiperbolas asimptotu leņķiskie koeficienti būs Līdz ar to vienādmalu hiperbolas asimptoti ir perpendikulāri viens otram un sadala leņķus starp tās simetrijas asīm.

Kā vietnē ievietot matemātiskās formulas?

Ja jums kādreiz ir jāpievieno viena vai divas matemātiskas formulas tīmekļa lapai, vienkāršākais veids, kā to izdarīt, ir aprakstīts rakstā: matemātiskās formulas ir viegli ievietojamas vietnē attēlu veidā, ko automātiski ģenerē Wolfram Alpha. . Papildus vienkāršībai, šī universāla metode palīdzēs uzlabot vietnes redzamību meklētājprogrammas. Tas darbojas jau ilgu laiku (un, domāju, darbosies mūžīgi), bet jau ir morāli novecojis.

Ja savā vietnē regulāri izmantojat matemātiskās formulas, tad iesaku izmantot MathJax – īpašu JavaScript bibliotēku, kas tīmekļa pārlūkprogrammās parāda matemātiskos apzīmējumus, izmantojot MathML, LaTeX vai ASCIIMathML marķējumu.

Ir divi veidi, kā sākt lietot MathJax: (1) izmantojot vienkāršu kodu, jūs varat ātri pievienot savai vietnei MathJax skriptu, kas īstajā laikā tiks automātiski ielādēts no attālā servera (serveru saraksts); (2) lejupielādējiet MathJax skriptu no attālā servera savā serverī un pievienojiet to visām vietnes lapām. Otrā metode - sarežģītāka un laikietilpīgāka - paātrinās jūsu vietnes lapu ielādi, un, ja MathJax vecākais serveris kādu iemeslu dēļ īslaicīgi nebūs pieejams, tas nekādā veidā neietekmēs jūsu vietni. Neskatoties uz šīm priekšrocībām, es izvēlējos pirmo metodi, jo tā ir vienkāršāka, ātrāka un neprasa tehniskas iemaņas. Sekojiet manam piemēram, un jau pēc 5 minūtēm jūs savā vietnē varēsiet izmantot visas MathJax funkcijas.

MathJax bibliotēkas skriptu var savienot no attālā servera, izmantojot divas koda opcijas, kas iegūtas no galvenās MathJax vietnes vai dokumentācijas lapas:

Viena no šīm koda opcijām ir jākopē un jāielīmē jūsu tīmekļa lapas kodā, vēlams starp tagiem un vai tūlīt aiz taga. Saskaņā ar pirmo opciju MathJax tiek ielādēts ātrāk un mazāk palēnina lapu. Bet otrā opcija automātiski uzrauga un ielādē jaunākās MathJax versijas. Ja ievietojat pirmo kodu, tas būs periodiski jāatjaunina. Ja ievietosiet otro kodu, lapas tiks ielādētas lēnāk, taču jums nebūs pastāvīgi jāuzrauga MathJax atjauninājumi.

Vienkāršākais veids, kā savienot MathJax, ir pakalpojumā Blogger vai WordPress: vietnes vadības panelī pievienojiet logrīku, kas paredzēts trešās puses JavaScript koda ievietošanai, kopējiet tajā pirmo vai otro lejupielādes koda versiju un novietojiet logrīku tuvāk. līdz veidnes sākumam (starp citu, tas nemaz nav nepieciešams, jo MathJax skripts tiek ielādēts asinhroni). Tas ir viss. Tagad apgūstiet MathML, LaTeX un ASCIIMathML iezīmēšanas sintaksi, un esat gatavs ievietot matemātiskās formulas savas vietnes tīmekļa lapās.

Jebkurš fraktāls tiek konstruēts saskaņā ar noteiktu noteikumu, kas tiek lietots secīgi neierobežotu skaitu reižu. Katru šādu laiku sauc par iterāciju.

Mengera sūkļa konstruēšanas iteratīvais algoritms ir pavisam vienkāršs: sākotnējais kubs ar 1. malu tiek sadalīts ar plaknēm, kas ir paralēlas tā virsmām, 27 vienādos kubos. No tā tiek noņemts viens centrālais kubs un 6 tam blakus esošie kubi gar virsmām. Rezultāts ir komplekts, kas sastāv no atlikušajiem 20 mazākiem kubiņiem. Izdarot to pašu ar katru no šiem kubiem, mēs iegūstam komplektu, kas sastāv no 400 mazākiem kubiņiem. Turpinot šo procesu bezgalīgi, mēs iegūstam Menger sūkli.

Definīcija. Funkcijas grafika asimptote ir taisne, kurai piemīt īpašība, ka attālumam no funkcijas grafika punkta līdz šai taisnei ir tendence uz nulli, grafikas punktam uz nenoteiktu laiku pārvietojoties no sākuma..

Pēc to atrašanas metodēm izšķir trīs asimptotu veidus: vertikālo, horizontālo, slīpo.

Acīmredzot horizontālie ir īpaši slīpo (pie ) gadījumi.

Funkcijas grafika asimptotu atrašana balstās uz šādiem apgalvojumiem.

1. teorēma. Lai funkcija ir definēta vismaz kādā punkta pusapkārtnē un vismaz viena no tās vienpusējām robežām šajā punktā ir bezgalīga, t.i. izlīdzināts. Tad taisne ir funkcijas grafika vertikālā asimptote.

Tādējādi funkcijas grafika vertikālās asimptotes jāmeklē funkcijas pārtraukuma punktos vai tās definīcijas apgabala galos (ja tie ir galīgi skaitļi).

2. teorēma. Lai funkcija ir definēta argumentu vērtībām, kas ir pietiekami lielām absolūtā vērtībā, un funkcijai ir ierobežots ierobežojums . Tad taisne ir funkcijas grafika horizontālā asimptote.

Var gadīties tā , A , un ir galīgi skaitļi, tad grafikā ir divas dažādas horizontālās asimptotes: kreisās un labās puses. Ja eksistē tikai viena no ierobežotajām robežām, tad grafikā ir vai nu viena kreisās puses, vai viena labās puses horizontālā asimptote.

3. teorēma. Lai funkcija tiek definēta argumenta vērtībām, kas ir pietiekami lielas absolūtā vērtībā, un ir ierobežotas robežas Un . Tad taisne ir funkcijas grafika slīpā asimptote.

Ņemiet vērā: ja vismaz viena no šīm robežām ir bezgalīga, tad nav slīpas asimptotes.

Slīpa asimptote, tāpat kā horizontāla, var būt vienpusēja.

Piemērs. Atrodiet visas funkcijas grafika asimptotes.

Risinājums.

Funkcija ir definēta . Ļaujiet mums atrast tā vienpusējās robežas punktos.

Jo Un (pārējās divas vienpusējās robežas var vairs nebūt), tad taisnes ir funkcijas grafika vertikālas asimptotes.

Aprēķināsim

(piemēro L'Hopital noteikumu) = .

Tas nozīmē, ka taisnā līnija ir horizontāla asimptote.

Tā kā pastāv horizontālā asimptote, mēs vairs nemeklējam slīpos (tās neeksistē).

Atbilde: Grafikā ir divas vertikālas asimptotes un viena horizontāla.

Vispārējo funkciju izpēte y = f(x).

Funkcijas apjoms. Atrodiet tā definīcijas jomu D(f) . Ja tas nav pārāk grūti, ir lietderīgi atrast arī diapazonu E(f) . (Tomēr daudzos gadījumos jautājums par atrašanu E(f) tiek atlikta līdz funkcijas galējībām.)

Funkcijas īpašās īpašības. Noskaidrojiet funkcijas vispārīgās īpašības: vienmērīgumu, dīvainību, periodiskumu utt. Ne katrai funkcijai ir tādas īpašības kā pāra vai nepāra. Funkcija acīmredzami nav ne pāra, ne nepāra, ja tās definīcijas apgabals ir asimetrisks attiecībā pret punktu 0 uz ass Vērsis. Tādā pašā veidā jebkurai periodiskai funkcijai definīcijas apgabals sastāv vai nu no visas reālās ass, vai arī no periodiski atkārtojošu intervālu sistēmu savienības.

Vertikālās asimptotes. Uzziniet, kā funkcija darbojas, kad arguments tuvojas definīcijas domēna robežpunktiem D(f), ja tādi robežpunkti pastāv. Šajā gadījumā var parādīties vertikālas asimptotes. Ja funkcijai ir pārtraukuma punkti, kuros tā nav definēta, tad arī šajos punktos jāpārbauda, ​​vai funkcijai nav vertikālu asimptotu.

Slīpi un horizontāli asimptoti. Ja definīcijas domēns D(f) ietver formas (a;+) vai (−;b) starus, tad var mēģināt atrast slīpās asimptotes (vai horizontālās asimptotes) attiecīgi x+ vai x−, t.i. atrast limxf (x). Slīpi asimptoti: y = kx + b, kur k=limx+xf(x) un b=limx+(f(x)−x). Asimptoti ir horizontāli: y = b, kur limxf(x)=b.

Grafika krustošanās punktu atrašana ar asīm. Grafika krustošanās punkta atrašana ar asi Oy. Lai to izdarītu, jums jāaprēķina vērtība f(0). Atrodiet arī grafa krustpunktus ar asi Vērsis, kāpēc atrast vienādojuma saknes f(x) = 0 (vai pārliecinieties, ka nav sakņu). Vienādojumu bieži var atrisināt tikai aptuveni, bet sakņu atdalīšana palīdz labāk izprast grafika struktūru. Tālāk jums ir jānosaka funkcijas zīme intervālos starp saknēm un pārtraukuma punktiem.

Grafika krustošanās punktu atrašana ar asimptotu. Dažos gadījumos var būt nepieciešams atrast raksturīgus grafikas punktus, kas nebija minēti iepriekšējos punktos. Piemēram, ja funkcijai ir slīpa asimptote, tad varat mēģināt noskaidrot, vai grafikā ir krustošanās punkti ar šo asimptoti.

Izliekuma un ieliekuma intervālu atrašana. To dara, pārbaudot otrā atvasinājuma f(x) zīmi. Atrodiet lēciena punktus izliekto un ieliekto intervālu krustpunktos. Aprēķiniet funkcijas vērtību lēciena punktos. Ja funkcijai ir citi nepārtrauktības punkti (izņemot locījuma punkti), pie kura otrais atvasinājums ir vienāds ar 0 vai neeksistē, tad šajos punktos ir lietderīgi arī aprēķināt funkcijas vērtību. Atrodot f(x), mēs atrisinām nevienādību f(x)0. Katrā risinājuma intervālā funkcija būs izliekta uz leju. Atrisinot apgriezto nevienādību f(x)0, mēs atrodam intervālus, kuros funkcija ir izliekta uz augšu (tas ir, ieliekta). Mēs definējam lēciena punktus kā punktus, kuros funkcija maina izliekuma virzienu (un ir nepārtraukta).

Funkcijas grafika asimptotes

Asimptotes rēgs jau ilgu laiku klīst pa vietni, lai beidzot materializētos atsevišķā rakstā un sagādātu īpašu sajūsmu lasītājiem, kuri ir neizpratnē par pilnīgu funkcijas izpēti. Grafa asimptotu atrašana ir viena no retajām norādītā uzdevuma daļām, kas skolas kursā tiek apskatīta tikai pārskatā, jo notikumi griežas ap funkciju robežu aprēķināšanu, un tie tomēr attiecas uz augstākā matemātika. Apmeklētājiem, kuriem ir maz izpratnes par matemātisko analīzi, mājiens, manuprāt, ir skaidrs ;-) ...stop, stop, kur jūs dodaties? Ierobežojumi ir vienkārši!

Asimptotu piemēri tika sastapti uzreiz pirmajā nodarbībā par elementārfunkciju grafikiem, un tagad šī tēma tiek detalizēti aplūkota.

Tātad, kas ir asimptote?

Iedomājies mainīgs punkts, kas “ceļo” pa funkcijas grafiku. Asimptote ir taisna līnija, uz kuru bezgalīgi tuvu funkcijas grafiks tuvojas, kad tās mainīgais punkts virzās uz bezgalību.

Piezīme : Definīcija ir jēgpilna, ja nepieciešams formulējums aprēķinu apzīmējumā, lūdzu, skatiet mācību grāmatu.

Plaknē asimptotus klasificē pēc to dabiskās atrašanās vietas:

1) Vertikālās asimptotes, kas tiek dotas ar formas vienādojumu, kur “alfa” ir reāls skaitlis. Populārs pārstāvis pats nosaka ordinātu asi,
ar vieglu nelabuma sajūtu atceramies hiperbolu.

2) Slīpās asimptotes tradicionāli raksta ar taisnes vienādojumu ar slīpums. Dažkārt atsevišķa grupa piešķirt īpašs gadījums– horizontālās asimptotes. Piemēram, tā pati hiperbola ar asimptotu.

Ejam ātri, sitīsim tēmu ar īsu ložmetēja šāvienu:

Cik asimptotu var būt funkcijas grafikā?

Ne viens, viens, divi, trīs,... vai bezgala daudz. Mēs nemeklēsim tālu piemērus; atcerēsimies elementārās funkcijas. Parabolai, kubiskajai parabolai un sinusoidālajam vilnim vispār nav asimptotu. Eksponenciālas, logaritmiskas funkcijas grafikam ir viena asimptote. Arktangensam un arkotangensam ir divi no tiem, un tangensam un kotangensam ir bezgalīgi daudz. Nav nekas neparasts, ka grafikā ir gan horizontāli, gan vertikāli asimptoti. Hiperbola, vienmēr tevi mīlēs.

Ko nozīmē ? Funkcijas grafika vertikālās asimptotes

Grafa vertikālā asimptote, kā likums, atrodas funkcijas bezgalīgas pārtraukuma punktā. Tas ir vienkārši: ja kādā punktā funkcijai ir bezgalīgs pārtraukums, tad vienādojuma norādītā taisne ir grafika vertikālā asimptote.

Piezīme : Ņemiet vērā, ka ieraksts tiek izmantots, lai atsauktos uz diviem pilnīgi atšķirīgiem jēdzieniem. Tas, vai punkts ir netiešs vai taisnes vienādojums, ir atkarīgs no konteksta.

Tādējādi, lai noteiktu vertikālās asimptotes klātbūtni punktā, pietiek parādīt, ka vismaz viena no vienpusējām robežām bezgalīgs. Visbiežāk tas ir punkts, kurā funkcijas saucējs ir nulle. Būtībā mēs jau esam atraduši vertikālās asimptotes pēdējos nodarbības par funkcijas nepārtrauktību piemēros. Bet dažos gadījumos ir tikai viena vienpusēja robeža, un, ja tā ir bezgalīga, tad atkal - mīlestība un labvēlība vertikālajam asimptotam. Vienkāršākā ilustrācija: un ordinātu ass (sk. Elementāro funkciju grafikus un īpašības).

No iepriekš minētā izriet arī acīmredzams fakts: ja funkcija ir nepārtraukta on , tad vertikālu asimptotu nav. Nez kāpēc ienāca prātā parabola. Tiešām, kur šeit var "pielīmēt" taisnu līniju? ...jā... es saprotu... Tēvoča Freida sekotāji kļuva histēriski =)

Apgrieztais apgalvojums parasti ir nepatiess: piemēram, funkcija nav definēta visā skaitļu rindā, bet tai ir pilnībā atņemtas asimptotes.

Funkcijas grafika slīpās asimptotes

Slīpi (īpašā gadījumā - horizontāli) asimptotes var uzzīmēt, ja funkcijas arguments tiecas uz “plus bezgalība” vai “mīnus bezgalība”. Tāpēc funkcijas grafikā nevar būt vairāk par divām slīpām asimptotēm. Piemēram, diagramma eksponenciālā funkcija ir viena horizontālā asimptote pie , un arktangenta grafikā ir divas šādas asimptotes, turklāt dažādas.

Kad grafiks abās vietās tuvojas vienam slīpam asimptotam, tad “bezgalības” parasti tiek apvienotas vienā ierakstā. Piemēram, ...jūs uzminējāt pareizi: .

Vispārīgs īkšķa noteikums:

Ja ir divi galīgais ierobežojums , tad taisne ir funkcijas grafika slīpā asimptote pie . Ja vismaz viena no uzskaitītajām robežām ir bezgalīga, tad nav slīpa asimptota.

Piezīme : formulas paliek spēkā, ja “x” tiecas tikai uz “plus bezgalību” vai tikai uz “mīnus bezgalību”.

Parādīsim, ka parabolai nav slīpu asimptotu:

Robeža ir bezgalīga, kas nozīmē, ka nav slīpa asimptota. Ņemiet vērā, ka, atrodot ierobežojumu vajadzība ir zudusi, jo atbilde jau ir saņemta.

Piezīme : Ja jums ir (vai būs) grūtības saprast plus-mīnus, mīnus-plus zīmes, lūdzu, skatiet palīdzību nodarbības sākumā
par bezgalīgi mazām funkcijām, kur es runāju par to, kā pareizi interpretēt šīs zīmes.

Acīmredzot jebkuram kvadrātam, kubiskā funkcija, polinoms 4. un augstākas pakāpes nav arī slīpu asimptotu.

Tagad pārliecināsimies, ka grafikā nav arī slīpas asimptotes. Lai atklātu nenoteiktību, mēs izmantojam L'Hopital noteikumu:
, kas bija tas, kas bija jāpārbauda.

Kad funkcija aug bezgalīgi, bet nav taisnas līnijas, kurai tuvinātos tās grafiks bezgala tuvu.

Pārejam uz nodarbības praktisko daļu:

Kā atrast funkcijas grafika asimptotus?

Tieši šādi tiek formulēts tipiskais uzdevums, un tas ietver VISU grafa asimptotu atrašanu (vertikāli, slīpi/horizontāli). Lai gan, precīzāk uzdodot jautājumu, mēs runājam par asimptotu klātbūtnes pētījumiem (galu galā to var nebūt). Sāksim ar kaut ko vienkāršu:

1. piemērs

Atrodiet funkcijas grafika asimptotus

Risinājumu var ērti iedalīt divos punktos:

1) Vispirms pārbaudām, vai ir vertikālas asimptotes. Saucējs iet uz nulli pie , un uzreiz ir skaidrs, ka šajā brīdī funkcijai ir bezgalīgs pārtraukums, un vienādojuma norādītā taisne ir funkcijas grafika vertikālā asimptote. Bet pirms šāda secinājuma izdarīšanas ir jāatrod vienpusīgi ierobežojumi:

Atgādinu par aprēķinu tehniku, kurai līdzīgi pievērsos rakstā Funkcijas nepārtrauktība. Lūzuma punkti. Izteiksmē zem ierobežojuma zīmes mēs aizstājam . Skaitītājā nav nekā interesanta:
.

Bet saucējā izrādās bezgala mazs negatīvs skaitlis :
, tas nosaka limita likteni.

Kreisās puses robeža ir bezgalīga, un principā jau ir iespējams pieņemt spriedumu par vertikālās asimptotes klātbūtni. Taču vienpusējās robežas ir vajadzīgas ne tikai tam - tās PALĪDZ SAPRAST, KĀ atrodas funkcijas grafiks, un PAREIZI to uzbūvēt. Tāpēc mums ir jāaprēķina arī labās rokas robeža:

Secinājums: vienpusējās robežas ir bezgalīgas, kas nozīmē, ka taisne ir funkcijas grafika vertikālā asimptote pie .

Pirmā robeža ierobežots, kas nozīmē, ka ir nepieciešams “turpināt sarunu” un atrast otro robežu:

Arī otrā robeža ierobežots.

Tādējādi mūsu asimptote ir:

Secinājums: vienādojuma norādītā taisne ir funkcijas grafika horizontālā asimptote pie .

Lai atrastu horizontālo asimptotu
varat izmantot vienkāršotu formulu:

Ja pastāv ierobežots robeža, tad taisne ir horizontālā asimptote funkcijas grafikam pie .

Ir viegli pamanīt, ka funkcijas skaitītājs un saucējs ir vienā augšanas secībā, kas nozīmē, ka meklētā robeža būs ierobežota:

Atbilde:

Atbilstoši nosacījumam zīmējums nav jātaisa, bet, ja mums ir funkcijas izpēte, tad uzreiz uzmetam skici:

Pamatojoties uz trim atrastajām robežām, mēģiniet pats izdomāt, kā varētu atrasties funkcijas grafiks. Vai tas vispār ir grūti? Atrodiet 5-6-7-8 punktus un atzīmējiet tos zīmējumā. Tomēr šīs funkcijas grafiks ir izveidots, izmantojot elementāras funkcijas diagrammas transformācijas, un lasītāji, kuri rūpīgi izskatīja iepriekš minētā raksta 21. piemēru, var viegli uzminēt, kāda veida līkne tā ir.

2. piemērs

Atrodiet funkcijas grafika asimptotus

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Atgādināšu, ka procesu ir ērti sadalīt divos punktos – vertikālajos un slīpajos asimptotos. Parauga risinājumā horizontālā asimptote tiek atrasta, izmantojot vienkāršotu shēmu.

Praksē visbiežāk sastopamas daļracionālās funkcijas, un pēc hiperbolu apmācības mēs sarežģīsim uzdevumu:

3. piemērs

Atrodiet funkcijas grafika asimptotus

Risinājums: Viens, divi un gatavs:

1) Vertikālās asimptotes atrodas bezgalīgas pārtraukuma punktos, tāpēc jums ir jāpārbauda, ​​vai saucējs iet uz nulli. Atrisināsim kvadrātvienādojumu:

Diskriminants ir pozitīvs, tāpēc vienādojumam ir divas reālas saknes, un darbs ir ievērojami palielināts =)

Lai vēl vairāk atrastu vienpusējas robežas, ir ērti faktorizēt kvadrātveida trinomu:
(kompaktam apzīmējumam “mīnuss” tika iekļauts pirmajā iekavā). Lai būtu drošībā, pārbaudīsim, atverot iekavas garīgi vai uz melnraksta.

Pārrakstīsim funkciju formā

Atradīsim vienpusējas robežas:

Un punktā:

Tādējādi taisnes ir attiecīgās funkcijas grafika vertikālas asimptotes.

2) Ja paskatās uz funkciju , tad ir pilnīgi skaidrs, ka robeža būs ierobežota un mums ir horizontāla asimptote. Īsumā parādīsim tā klātbūtni:

Tādējādi taisne (abscisu ass) ir šīs funkcijas diagrammas horizontālā asimptote.

Atbilde:

Atrastās robežas un asimptoti sniedz daudz informācijas par funkcijas grafiku. Mēģiniet garīgi iedomāties zīmējumu, ņemot vērā šādus faktus:

Uzmetiet uzmetuma diagrammas versiju.

Protams, atrastās robežas skaidri nenosaka grafika izskatu, un jūs varat kļūdīties, taču pats vingrinājums sniegs nenovērtējamu palīdzību pilnīgas funkcijas izpētes gaitā. Pareizais attēls ir nodarbības beigās.

4. piemērs

Atrodiet funkcijas grafika asimptotus

5. piemērs

Atrodiet funkcijas grafika asimptotus

Tie ir uzdevumi patstāvīgam risinājumam. Abos grafikos atkal ir horizontālas asimptotes, kuras uzreiz nosaka šādas pazīmes: 4. piemērā saucēja pieauguma secība vairāk, nekā skaitītāja pieauguma secība, un 5. piemērā skaitītājam un saucējam ir tāda pati pieauguma secība. Parauga risinājumā pirmā funkcija tiek pārbaudīta uz slīpo asimptotu klātbūtni pilnībā, bet otrā - caur robežu.

Manā subjektīvā iespaidā horizontālie asimptoti ir ievērojami biežāki nekā tie, kas ir “patiesi noliekti”. Ilgi gaidītais vispārīgais gadījums:

6. piemērs

Atrodiet funkcijas grafika asimptotus

Risinājums: žanra klasika:

1) Tā kā saucējs ir pozitīvs, funkcija ir nepārtraukta pa visu skaitļu līniju un nav vertikālu asimptotu. …Vai tas ir labs? Nav īstais vārds - lieliski! Punkts Nr.1 ​​ir slēgts.

2) Pārbaudīsim slīpo asimptotu klātbūtni:

Pirmā robeža ierobežots, tāpēc ejam tālāk. Aprēķinot otro robežu, lai novērstu nenoteiktību “bezgalība mīnus bezgalība”, mēs samazinām izteiksmi līdz kopsaucējam:

Arī otrā robeža ierobežots Tāpēc attiecīgās funkcijas grafikam ir slīpa asimptote:

Secinājums:

Tādējādi, kad funkcijas grafiks bezgala tuvu tuvojas taisnai līnijai:

Ņemiet vērā, ka tas šķērso savu slīpo asimptotu izcelsmē, un šādi krustošanās punkti ir diezgan pieņemami - ir svarīgi, lai bezgalībā “viss būtu normāli” (patiesībā šeit mēs runājam par asimptotiem).

7. piemērs

Atrodiet funkcijas grafika asimptotus

Risinājums: nav nekā īpaša, ko komentēt, tāpēc es to noformēšu aptuvenais paraugs gala risinājums:

1) Vertikālās asimptotes. Izpētīsim būtību.

Taisnā līnija ir vertikālā asimptote grafikam pie .

2) Slīpi asimptoti:

Taisnā līnija ir slīpā asimptote grafikam pie .

Atbilde:

Atrastās vienpusējās robežas un asimptotes ļauj ar lielu pārliecību paredzēt, kā izskatās šīs funkcijas grafiks. Pareizs zīmējums nodarbības beigās.

8. piemērs

Atrodiet funkcijas grafika asimptotus

Šis ir neatkarīga risinājuma piemērs; dažu ierobežojumu aprēķināšanas ērtībai varat dalīt skaitītāju ar saucēja vārdu ar vārdu. Atkal, analizējot rezultātus, mēģiniet uzzīmēt šīs funkcijas grafiku.

Acīmredzot “īsto” slīpo asimptotu īpašnieki ir to daļējo racionālo funkciju grafiki, kurās skaitītāja vadošā pakāpe ir par vienu lielāku par saucēja vadošo pakāpi. Ja tas ir vairāk, tad nebūs slīpa asimptota (piemēram, ).

Bet dzīvē notiek arī citi brīnumi:

9. piemērs

11. piemērs

Pārbaudiet funkcijas grafiku asimptotu klātbūtnei

Risinājums: acīmredzami , tāpēc aplūkojam tikai labo pusplakni, kur ir funkcijas grafiks.

Tādējādi taisne (ordinātu ass) ir vertikālā asimptote funkcijas grafikam pie .

2) Pētījumu par slīpo asimptotu var veikt pēc pilnas shēmas, bet rakstā L'Hopital's Rules mēs noskaidrojām, ka lineārā funkcija augstāka pieauguma secība nekā logaritmiskā, tāpēc: (Skatiet tās pašas nodarbības 1. piemēru).

Secinājums: x ass ir funkcijas diagrammas horizontālā asimptote pie .

Atbilde:
, Ja ;
, Ja.

Zīmējums skaidrības labad:

Interesanti, ka šķietami līdzīgai funkcijai asimptotu nemaz nav (tie, kas vēlas, var to pārbaudīt).

Divas pēdējie piemēri Priekš pašmācība:

12. piemērs

Pārbaudiet funkcijas grafiku asimptotu klātbūtnei

Daudzos gadījumos funkcijas grafika konstruēšana ir vienkāršāka, ja vispirms izveido līknes asimptotus.

Definīcija 1. Asimptotes ir tās taisnes, kurām funkcijas grafiks patvaļīgi tuvojas, ja mainīgajam ir tendence plus bezgalība vai mīnus bezgalība.

Definīcija 2. Taisni sauc par funkcijas grafika asimptotu, ja attālums no mainīgā punkta M funkcijas grafikam līdz šai taisnei ir tendence uz nulli, punktam attālinoties uz nenoteiktu laiku M no sākuma pa jebkuru funkcijas grafika atzaru.

Ir trīs veidu asimptoti: vertikāli, horizontāli un slīpi.

Vertikālās asimptotes

Definīcija . Taisni x = a ir funkcijas grafika vertikālā asimptote, ja punkts x = a ir šīs funkcijas otrā veida pārtraukuma punkts.

No definīcijas izriet, ka taisnā līnija x = a ir funkcijas grafika vertikālā asimptote f(x) ja ir izpildīts vismaz viens no nosacījumiem:

Šajā gadījumā funkcija f(x) var nebūt definēts vispār, attiecīgi, kad x ≥ a Un x ≤ a .

komentēt:

Piemērs 1. Funkcijas grafiks y=ln x ir vertikāla asimptota x= 0 (t.i., sakrīt ar asi Oy) uz definīcijas apgabala robežas, jo funkcijas robeža kā x tiecas uz nulli no labās puses, ir vienāda ar mīnus bezgalību:

(attēls augšā).

pats un tad redzi risinājumus

2. piemērs. Atrodiet funkcijas grafika asimptotus.

3. piemērs. Atrodiet funkcijas grafika asimptotus

Horizontālās asimptotes

If (funkcijas robeža, jo argumentam ir tendence uz plus vai mīnus bezgalību, ir vienāda ar noteiktu vērtību b), Tas y = b – horizontālā asimptote greizs y = f(x) (pa labi, ja X tiecas uz plus bezgalību, pa kreisi, kad X tiecas uz mīnus bezgalību, un divpusējs, ja robežas, kā X ir tendence uz plus vai mīnus bezgalību, ir vienādas).

Piemērs 5. Funkcijas grafiks

plkst a> 1 ir atstājis horizontālu asimpototu y= 0 (t.i., sakrīt ar asi Vērsis), jo funkcijas kā “x” robežai ir tendence mīnus bezgalība ir nulle:

Līknei nav taisnās horizontālās asimptotes, jo funkcijas robežai kā “x” ir tendence plus bezgalība ir vienāda ar bezgalību:

Slīpi asimptoti

Vertikālās un horizontālās asimptotes, kuras mēs pārbaudījām iepriekš, ir paralēlas koordinātu asīm, tāpēc, lai tās izveidotu, mums vajadzēja tikai noteiktu skaitli- punkts uz abscisas vai ordinātu ass, caur kuru iet asimptote. Slīpam asimptotam ir nepieciešams lielāks slīpums k, kas parāda līnijas slīpuma leņķi un brīvo termiņu b, kas parāda, cik daudz līnija atrodas virs vai zem sākuma. Tie, kas nav aizmirsuši analītisko ģeometriju un no tās taisnes vienādojumus, pamanīs, ka slīpai asimptotam viņi atrod taisnes vienādojumu ar leņķa koeficientu. Slīpās asimptotes esamību nosaka sekojošā teorēma, uz kuras pamata tiek atrasti tikko minētie koeficienti.

Teorēma. Lai izveidotu līkni y = f(x) bija asimptote y = kx + b, tas ir nepieciešams un pietiekams, lai pastāvētu ierobežotas robežas k Un b aplūkojamās funkcijas mainīgo tendences x uz plus bezgalību un mīnus bezgalību:

(1)

(2)

Tādā veidā atrastie skaitļi k Un b un ir slīpie asimptota koeficienti.

Pirmajā gadījumā (kā x tiecas uz plus bezgalību) iegūst pa labi slīpu asimptotu, otrajā (kā x tiecas uz mīnus bezgalību) iegūst kreiso slīpo asimptotu. Labā slīpā asimptote ir parādīta attēlā. zemāk.

Meklējot vienādojumu slīpai asimptotei, jāņem vērā X tendence gan uz plus bezgalību, gan uz mīnus bezgalību. Dažām funkcijām, piemēram, daļējām racionālajām, šīs robežas sakrīt, bet daudzām funkcijām šīs robežas ir atšķirīgas un var pastāvēt tikai viena no tām.

Ja robežas sakrīt un x mēdz plus bezgalība un mīnus bezgalība, taisne y = kx + b ir līknes divpusēja asimptote.

Ja vismaz viena no robežām, kas nosaka asimptotu y = kx + b, neeksistē, tad funkcijas grafikā nav slīpas asimptotes (bet var būt vertikāla).

Ir viegli redzēt, ka horizontālā asimptote y = b ir īpašs slīpuma gadījums y = kx + b plkst k = 0 .

Tāpēc, ja kādā virzienā līkne ir horizontālā asimptote, tad šajā virzienā nav slīpuma un otrādi.

6. piemērs. Atrodiet funkcijas grafika asimptotus

Risinājums. Funkcija ir definēta visā skaitļu rindā, izņemot x= 0, t.i.

Tāpēc lūzuma punktā x= 0 līknei var būt vertikāla asimptote. Patiešām, funkcijas robeža, kad x tiecas uz nulli no kreisās puses, ir vienāda ar plus bezgalību:

Tāpēc x= 0 – šīs funkcijas grafika vertikālā asimptote.

Šīs funkcijas grafikam nav horizontālas asimptotes, jo funkcijas robeža kā x tiecas uz plus bezgalību ir vienāda ar plus bezgalību:

Noskaidrosim slīpa asimptota klātbūtni:

Ir noteikti ierobežojumi k= 2 un b= 0. Taisni y = 2x ir šīs funkcijas diagrammas divvirzienu slīpā asimptote (attēls piemēra iekšpusē).

7. piemērs. Atrodiet funkcijas grafika asimptotus

Risinājums. Funkcijai ir viens pārtraukuma punkts x= –1. Aprēķināsim vienpusējās robežas un noteiksim pārtraukuma veidu:

Secinājums: x= −1 ir otrā veida pārtraukuma punkts, tātad taisne x= −1 ir šīs funkcijas grafika vertikālā asimptote.

Mēs meklējam slīpās asimptotes. Tā kā šī funkcija ir daļēji racionāla, ierobežojumi pēc un pēc vēlēšanās sakrīt. Tādējādi mēs atrodam koeficientus taisnās līnijas - slīpās asimptotes aizstāšanai vienādojumā:

Aizvietojot atrastos koeficientus taisnes vienādojumā ar slīpuma koeficientu, iegūstam slīpās asimptotes vienādojumu:

y = −3x + 5 .

Attēlā funkcijas grafiks ir norādīts bordo krāsā, bet asimptoti ir norādīti melnā krāsā.

8. piemērs. Atrodiet funkcijas grafika asimptotus

Risinājums. Tā kā šī funkcija ir nepārtraukta, tās grafikā nav vertikālu asimptotu. Mēs meklējam slīpos asimptotus:

.

Tādējādi šīs funkcijas grafikam ir asimptote y= 0 at un nav asyptotes pie .

9. piemērs. Atrodiet funkcijas grafika asimptotus

Risinājums. Vispirms mēs meklējam vertikālās asimptotes. Lai to izdarītu, mēs atrodam funkcijas definīcijas domēnu. Funkcija ir definēta, ja nevienlīdzība un . Mainīgā zīme x atbilst zīmei. Tāpēc apsveriet ekvivalento nevienlīdzību. No tā mēs iegūstam funkcijas definīcijas domēnu: . Vertikālā asimptote var atrasties tikai uz funkcijas definīcijas apgabala robežas. Bet x= 0 nevar būt vertikāla asimptote, jo funkcija ir definēta x = 0 .

Apsveriet labās puses ierobežojumu pie (kreisās puses ierobežojuma nav):

.

Punkts x= 2 ir otrā veida pārtraukuma punkts, tātad taisne x= 2 - šīs funkcijas grafika vertikālā asimptote.

Mēs meklējam slīpos asimptotus:

Tātad, y = x+ 1 - šīs funkcijas grafika slīpā asimptote pie . Mēs meklējam slīpo asimptotu:

Tātad, y = −x− 1 - slīpā asimptote pie .

10. piemērs. Atrodiet funkcijas grafika asimptotus

Risinājums. Funkcijai ir definīcijas domēns . Tā kā šīs funkcijas grafika vertikālā asimptote var atrasties tikai uz definīcijas apgabala robežas, funkcijas vienpusējās robežas atrodam pie .