Izmantojot šo pakalpojumu, jūs varat atrast funkcijas lielāko un mazāko vērtību viens mainīgais f(x) ar Word formatētu risinājumu. Ja ir dota funkcija f(x,y), tad jāatrod divu mainīgo funkcijas ekstrēmi. Varat arī atrast funkciju palielināšanas un samazināšanas intervālus.

Atrodiet funkcijas lielāko un mazāko vērtību

y =

segmentā [ ;]

Iekļaut teoriju

Noteikumi funkciju ievadīšanai:

Nepieciešamais nosacījums viena mainīgā funkcijas ekstrēmam

Vienādojums f" 0 (x *) = 0 ir nepieciešamais nosacījums viena mainīgā funkcijas ekstrēmums, t.i. punktā x * ir jāpazūd funkcijas pirmajam atvasinājumam. Tas identificē stacionārus punktus x c, kuros funkcija nepalielinās vai nesamazinās.

Pietiekams nosacījums viena mainīgā funkcijas ekstrēmumam

Pieņemsim, ka f 0 (x) ir divreiz diferencējams attiecībā pret x, kas pieder kopai D. Ja punktā x * nosacījums ir izpildīts:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Tad punkts x * ir funkcijas lokālais (globālais) minimums.

Ja punktā x * nosacījums ir izpildīts:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Tad punkts x * ir lokālais (globālais) maksimums.

Piemērs Nr.1. Atrodiet funkcijas lielāko un mazāko vērtību: segmentā.
Risinājums.

Kritiskais punkts ir viens x 1 = 2 (f’(x)=0). Šis punkts pieder segmentam. (Punkts x=0 nav kritisks, jo 0∉).
Mēs aprēķinām funkcijas vērtības segmenta galos un kritiskajā punktā.
f(1)=9, f(2)=5/2, f(3)=38/81
Atbilde: f min = 5/2 pie x=2; f max = 9 pie x = 1

Piemērs Nr.2. Izmantojot augstākas kārtas atvasinājumus, atrodiet funkcijas y=x-2sin(x) ekstrēmu.
Risinājums.
Atrodiet funkcijas atvasinājumu: y’=1-2cos(x) . Atradīsim kritiskos punktus: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Mēs atrodam y’’=2sin(x), aprēķiniet , kas nozīmē, ka x= π / 3 +2πk, k∈Z ir funkcijas minimālie punkti; , kas nozīmē x=- π / 3 +2πk, k∈Z ir funkcijas maksimālie punkti.

Piemērs Nr.3. Izpētīt ekstrēmuma funkciju punkta x=0 tuvumā.
Risinājums. Šeit ir jāatrod funkcijas galējība. Ja ekstremitāte x=0, tad noskaidro tā veidu (minimums vai maksimums). Ja starp atrastajiem punktiem nav x = 0, tad aprēķiniet funkcijas f(x=0) vērtību.
Jāņem vērā, ka tad, kad atvasinājums katrā dotā punkta pusē nemaina savu zīmi, iespējamās situācijas nav izsmeltas pat diferencējamām funkcijām: var gadīties, ka patvaļīgi mazai apkaimei vienā punkta pusē x 0 vai abās pusēs atvasinājuma izmaiņu zīme. Šajos punktos ir nepieciešams izmantot citas metodes, lai pētītu funkcijas ekstremitātē.

Standarta algoritms šādu problēmu risināšanai paredz, ka pēc funkcijas nulles atrašanas intervālos tiek noteiktas atvasinājuma zīmes. Pēc tam vērtību aprēķins atrastajos maksimālajos (vai minimālajos) punktos un intervāla robežās atkarībā no tā, kāds jautājums ir stāvoklī.

Iesaku darīt lietas nedaudz savādāk. Kāpēc? Es rakstīju par šo.

Es ierosinu šādas problēmas atrisināt šādi:

1. Atrodiet atvasinājumu.
2. Atrodiet atvasinājuma nulles.
3. Nosakiet, kuri no tiem pieder šim intervālam.
4. Mēs aprēķinām funkcijas vērtības pie 3. darbības intervāla un punktu robežām.
5. Izdarām secinājumu (atbildam uz uzdoto jautājumu).

Risinot sniegtos piemērus, risinājums netika detalizēti izskatīts kvadrātvienādojumi, jums tas ir jāspēj. Viņiem arī vajadzētu zināt.

Apskatīsim piemērus:

77422. Atrast funkcijas y=x lielāko vērtību 3 –3x+4 segmentā [–2;0].

Atradīsim atvasinājuma nulles:

Punkts x = –1 pieder nosacījumā norādītajam intervālam.

Mēs aprēķinām funkcijas vērtības punktos –2, –1 un 0:

Funkcijas lielākā vērtība ir 6.

Atbilde: 6

77425. Atrodiet nogrieznī funkcijas y = x 3 – 3x 2 + 2 mazāko vērtību.

Atradīsim dotās funkcijas atvasinājumu:

Atradīsim atvasinājuma nulles:

Punkts x = 2 pieder nosacījumā norādītajam intervālam.

Mēs aprēķinām funkcijas vērtības 1., 2. un 4. punktos:

Funkcijas mazākā vērtība ir –2.

Atbilde: -2

77426. Nogriežam [–3;3] atrodiet funkcijas y = x 3 – 6x 2 lielāko vērtību.

Atradīsim dotās funkcijas atvasinājumu:

Atradīsim atvasinājuma nulles:

Nosacījumā norādītais intervāls satur punktu x = 0.

Mēs aprēķinām funkcijas vērtības punktos –3, 0 un 3:

Funkcijas mazākā vērtība ir 0.

Atbilde: 0

77429. Atrodiet nogrieznī funkcijas y = x 3 – 2x 2 + x +3 mazāko vērtību.

Atradīsim dotās funkcijas atvasinājumu:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Mēs iegūstam saknes: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Nosacījumā norādītais intervāls satur tikai x = 1.

Atradīsim funkcijas vērtības 1. un 4. punktos:

Mēs noskaidrojām, ka funkcijas mazākā vērtība ir 3.

Atbilde: 3

77430. Atrast funkcijas y = x 3 + 2x 2 + x + 3 lielāko vērtību segmentā [– 4; -1].

Atradīsim dotās funkcijas atvasinājumu:

Atradīsim atvasinājuma nulles un atrisināsim kvadrātvienādojumu:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Iegūsim saknes:

Nosacījumā norādītais intervāls satur sakni x = –1.

Funkcijas vērtības atrodam punktos –4, –1, –1/3 un 1:

Mēs noskaidrojām, ka funkcijas lielākā vērtība ir 3.

Atbilde: 3

77433. Atrodiet segmentā funkcijas y = x 3 – x 2 – 40x +3 mazāko vērtību.

Atradīsim dotās funkcijas atvasinājumu:

Atradīsim atvasinājuma nulles un atrisināsim kvadrātvienādojumu:

3x 2 - 2x - 40 = 0

Iegūsim saknes:

Nosacījumā norādītais intervāls satur sakni x = 4.

Atrodiet funkciju vērtības 0 un 4 punktos:

Mēs atklājām, ka funkcijas mazākā vērtība ir –109.

Atbilde: -109

Apskatīsim metodi, kā noteikt lielāko un zemākā vērtība funkcijas bez atvasinājuma. Šo pieeju var izmantot, ja jums ir lielas problēmas. Princips ir vienkāršs - visas veselo skaitļu vērtības no intervāla aizstājam funkcijā (fakts ir tāds, ka visos šādos prototipos atbilde ir vesels skaitlis).

77437. Nogriežam [–2;2] atrodiet funkcijas y=7+12x–x 3 mazāko vērtību.

Aizstāšanas punkti no –2 līdz 2: Skatīt risinājumu

77434. Atrast funkcijas y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 lielāko vērtību segmentā [–2;0].

Tas ir viss. Veiksmi tev!

Ar cieņu Aleksandrs Krutickhs.

P.S. Būšu pateicīgs, ja pastāstīsiet par vietni sociālajos tīklos.

Kā segmentā atrast funkcijas lielākās un mazākās vērtības?

Priekš šī mēs sekojam labi zināmam algoritmam:

1 . ODZ funkciju atrašana.

2 . Funkcijas atvasinājuma atrašana

3 . Atvasinājuma pielīdzināšana nullei

4 . Mēs atrodam intervālus, kuros atvasinājums saglabā savu zīmi, un no tiem nosaka funkcijas pieauguma un samazināšanās intervālus:

Ja intervālā I funkcijas atvasinājums ir 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} palielinās šajā intervālā.

Ja intervālā I ir funkcijas atvasinājums, tad funkcija šajā intervālā samazinās.

5 . Mēs atradām funkcijas maksimālie un minimālie punkti.

IN funkcijas maksimālajā punktā atvasinājums maina zīmi no “+” uz “-”.

IN funkcijas minimālais punktsatvasinājums maina zīmi no "-" uz "+".

6 . Mēs atrodam funkcijas vērtību segmenta galos,

• tad salīdzinām funkcijas vērtību segmenta galos un maksimālajos punktos, un izvēlieties lielāko no tiem, ja jums jāatrod lielākā funkcijas vērtība
• vai salīdziniet funkcijas vērtību segmenta galos un minimālajos punktos, un izvēlieties mazāko no tiem, ja nepieciešams atrast funkcijas mazāko vērtību

Tomēr atkarībā no tā, kā funkcija darbojas segmentā, šo algoritmu var ievērojami samazināt.

Apsveriet funkciju . Šīs funkcijas grafiks izskatās šādi:

Apskatīsim vairākus problēmu risināšanas piemērus no Open Task Bank for

1 . Uzdevums B15 (Nr. 26695)

Uz segmentu.

1. Funkcija ir definēta visām x reālajām vērtībām

Acīmredzot šim vienādojumam nav atrisinājumu, un atvasinājums ir pozitīvs visām x vērtībām. Līdz ar to funkcija palielinās un iegūst lielāko vērtību intervāla labajā galā, tas ir, pie x=0.

Atbilde: 5.

2 . Uzdevums B15 (Nr. 26702)

Atrodiet funkcijas lielāko vērtību segmentā.

1. ODZ funkcijas title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Atvasinājums ir vienāds ar nulli vietā , tomēr šajos punktos tas nemaina zīmi:

Tāpēc title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} palielinās un iegūst lielāko vērtību intervāla labajā galā, pie .

Lai būtu skaidrs, kāpēc atvasinājums nemaina zīmi, mēs pārveidojam atvasinājuma izteiksmi šādi:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Atbilde: 5.

3. Uzdevums B15 (Nr. 26708)

Atrodiet mazāko funkcijas vērtību segmentā.

1. ODZ funkcijas: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Novietosim šī vienādojuma saknes uz trigonometriskā apļa.

Intervāls satur divus skaitļus: un

Uzliksim zīmes. Lai to izdarītu, mēs nosakām atvasinājuma zīmi punktā x=0: . Braucot caur punktiem un, atvasinājums maina zīmi.

Attēlosim funkcijas atvasinājuma zīmju maiņu uz koordinātu līnijas:

Acīmredzot punkts ir minimālais punkts (kurā atvasinājums maina zīmi no “-” uz “+”), un, lai segmentā atrastu mazāko funkcijas vērtību, ir jāsalīdzina funkcijas vērtības minimālais punkts un segmenta kreisajā galā, .

Šajā rakstā es runāšu par algoritms lielākās un mazākās vērtības atrašanai funkcijas, minimālie un maksimālie punkti.

No teorijas tas mums noteikti noderēs atvasinājumu tabula Un diferenciācijas noteikumi. Tas viss ir uz šīs plāksnes:

Algoritms lielākās un mazākās vērtības atrašanai.

Man ir ērtāk paskaidrot konkrēts piemērs. Apsveriet:

Piemērs: Atrodiet funkcijas y=x^5+20x^3–65x lielāko vērtību segmentā [–4;0].

1. darbība. Mēs ņemam atvasinājumu.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

2. darbība. Ekstrēmu punktu atrašana.

Ekstrēma punkts mēs saucam tos punktus, kuros funkcija sasniedz savu lielāko vai minimālo vērtību.

Lai atrastu galējos punktus, funkcijas atvasinājums ir jāpielīdzina nullei (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Tagad mēs atrisinām šo bikvadrātisko vienādojumu, un atrastās saknes ir mūsu galējie punkti.

Es atrisinu šādus vienādojumus, aizstājot t = x^2, tad 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Samazināsim vienādojumu par 5, iegūstam: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 — 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + kvadrāts (196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - kvadrāts (196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Mēs veicam apgrieztās izmaiņas x^2 = t:

X_(1 un 2) = ± kvadrāts (1) = ±1
x_(3 un 4) = ±sqrt(-13) (izslēdzam, nevar būt negatīvi skaitļi, ja vien mēs nerunājam par kompleksajiem skaitļiem)

Kopā: x_(1) = 1 un x_(2) = -1 - tie ir mūsu ekstrēma punkti.

3. darbība. Nosakiet lielāko un mazāko vērtību.

Aizvietošanas metode.

Stāvoklī mums tika dots segments [b][–4;0]. Punkts x=1 nav iekļauts šajā segmentā. Tāpēc mēs to neapsveram. Bet papildus punktam x=-1 mums jāņem vērā arī kreisais un labā robeža no mūsu segmenta, tas ir, punkti -4 un 0. Lai to izdarītu, mēs visus šos trīs punktus aizstājam ar sākotnējo funkciju. Ņemiet vērā, ka sākotnējais ir tas, kas dots nosacījumā (y=x^5+20x^3–65x), daži cilvēki sāk to aizstāt ar atvasinājumu...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Tas nozīmē, ka funkcijas lielākā vērtība ir [b]44, un tā tiek sasniegta punktā [b]-1, ko sauc par funkcijas maksimālo punktu segmentā [-4; 0].

Nolēmām un saņēmām atbildi, esam lieliski, varat atpūsties. Bet stop! Vai jums nešķiet, ka aprēķināt y(-4) ir pārāk grūti? Ierobežota laika apstākļos labāk ir izmantot citu metodi, es to saucu šādi:

Caur zīmju noturības intervāliem.

Šie intervāli tiek atrasti funkcijas atvasinājumam, tas ir, mūsu bikvadrātiskajam vienādojumam.

Es to daru šādi. Es zīmēju virzītu segmentu. Es ievietoju punktus: -4, -1, 0, 1. Neskatoties uz to, ka 1 nav iekļauts dotajā segmentā, tas tomēr jāņem vērā, lai pareizi noteiktu zīmes noturības intervālus. Ņemsim kādu skaitli, kas daudzkārt lielāks par 1, piemēram, 100, un prātīgi aizstājam to mūsu bikvadrātiskajā vienādojumā 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Pat neskaitot neko, kļūst skaidrs, ka 100. punktā funkcijai ir pluszīme. Tas nozīmē, ka intervāliem no 1 līdz 100 tam ir plus zīme. Izejot cauri 1 (ejam no labās puses uz kreiso), funkcija mainīs zīmi uz mīnusu. Pārejot caur punktu 0, funkcija saglabās savu zīmi, jo tā ir tikai segmenta robeža, nevis vienādojuma sakne. Pārejot cauri -1, funkcija atkal mainīs zīmi uz plusu.

No teorijas mēs zinām, kur atrodas funkcijas atvasinājums (un mēs to uzzīmējām tieši tai) maina zīmi no plusa uz mīnusu (mūsu gadījumā punkts -1) funkcija sasniedz tā vietējais maksimums (y(-1)=44, kā aprēķināts iepriekš)šajā segmentā (tas ir loģiski ļoti saprotams, funkcija pārstāja palielināties, jo sasniedza maksimumu un sāka samazināties).

Attiecīgi, ja funkcijas atvasinājums maina zīmi no mīnusa uz plusu, tiek sasniegts funkcijas lokālais minimums. Jā, jā, mēs arī atklājām, ka vietējais minimālais punkts ir 1, un y(1) ir segmenta funkcijas minimālā vērtība, piemēram, no -1 līdz +∞. Lūdzu, ņemiet vērā, ka tas ir tikai LOKĀLAIS MINIMUMS, tas ir, minimums noteiktā segmentā. Tā kā funkcijas reālais (globālais) minimums sasniegs kaut kur tur, pie -∞.

Manuprāt, pirmā metode ir teorētiski vienkāršāka, bet otrā ir vienkāršāka no aritmētisko darbību viedokļa, bet daudz sarežģītāka no teorijas viedokļa. Galu galā dažreiz ir gadījumi, kad funkcija nemaina zīmi, izejot cauri vienādojuma saknei, un kopumā jūs varat sajaukt ar šiem lokālajiem, globālajiem maksimumiem un minimumiem, lai gan jums tas tik un tā būs labi jāapgūst, ja plāno iestāties tehniskajā universitātē (un kāpēc gan vēl kārto profila vienoto valsts eksāmenu un risina šo uzdevumu). Bet prakse un tikai prakse iemācīs šādas problēmas atrisināt vienreiz un uz visiem laikiem. Un jūs varat trenēties mūsu vietnē. Šeit .

Ja jums ir kādi jautājumi vai kaut kas nav skaidrs, noteikti jautājiet. Ar prieku jums atbildēšu un veiksim izmaiņas un papildinājumus rakstā. Atcerieties, ka mēs veidojam šo vietni kopā!

Bieži vien fizikā un matemātikā ir jāatrod funkcijas mazākā vērtība. Tagad mēs jums pateiksim, kā to izdarīt.

Kā atrast funkcijas mazāko vērtību: instrukcijas

1. Lai aprēķinātu mazāko vērtību nepārtraukta funkcija konkrētajā segmentā jums jāievēro šāds algoritms:
2. Atrodiet funkcijas atvasinājumu.
3. Atrodiet dotajā segmentā punktus, kuros atvasinājums ir vienāds ar nulli, kā arī visus kritiskos punktus. Pēc tam noskaidrojiet funkcijas vērtības šajos punktos, tas ir, atrisiniet vienādojumu, kur x ir vienāds ar nulli. Uzziniet, kura vērtība ir mazākā.
4. Nosakiet, kāda vērtība funkcijai ir galapunktos. Šajos punktos nosakiet funkcijas mazāko vērtību.
5. Salīdziniet iegūtos datus ar zemāko vērtību. Mazākais no iegūtajiem skaitļiem būs mazākā funkcijas vērtība.

Ņemiet vērā, ka, ja funkcijai segmentā nav mazākie punkti, tas nozīmē, ka noteiktā segmentā tas palielinās vai samazinās. Tāpēc funkcijas galīgajiem segmentiem jāaprēķina mazākā vērtība.

Visos citos gadījumos funkcijas vērtību aprēķina pēc dotā algoritma. Katrā algoritma punktā jums būs jāatrisina vienkāršs lineārais vienādojums ar vienu sakni. Lai izvairītos no kļūdām, atrisiniet vienādojumu, izmantojot attēlu.

Kā atrast funkcijas mazāko vērtību pusatvērtā segmentā? Funkcijas pusatvērtajā vai atvērtajā periodā mazākā vērtība jāatrod šādi. Funkcijas vērtības beigu punktos aprēķiniet funkcijas vienpusējo robežu. Citiem vārdiem sakot, atrisiniet vienādojumu, kurā tendences punktus dod vērtības a+0 un b+0, kur a un b ir nosaukumi kritiskie punkti.

Tagad jūs zināt, kā atrast funkcijas mazāko vērtību. Galvenais ir veikt visus aprēķinus pareizi, precīzi un bez kļūdām.