A. Dotas divas taisnes.Šīs taisnes, kā norādīts 1.nodaļā, veido dažādus pozitīvos un negatīvos leņķus, kas var būt gan akūti, gan neasi. Zinot vienu no šiem leņķiem, mēs varam viegli atrast jebkuru citu.

Starp citu, visiem šiem leņķiem pieskares skaitliskā vērtība ir vienāda, atšķirība var būt tikai zīmē

Līniju vienādojumi. Skaitļi ir pirmās un otrās taisnes virziena vektoru projekcijas.Leņķis starp šiem vektoriem ir vienāds ar vienu no taisnes veidotajiem leņķiem. Tāpēc problēma ir saistīta ar leņķa noteikšanu starp vektoriem

Vienkāršības labad varam piekrist, ka leņķis starp divām taisnēm ir akūts pozitīvs leņķis (kā, piemēram, 53. att.).

Tad šī leņķa tangensa vienmēr būs pozitīva. Tātad, ja formulas (1) labajā pusē ir mīnusa zīme, tad tā ir jāatmet, t.i., jāsaglabā tikai absolūtā vērtība.

Piemērs. Nosakiet leņķi starp taisnām līnijām

Saskaņā ar formulu (1) mums ir

Ar. Ja norādīts, kura no leņķa malām ir tā sākums un kura beigas, tad, vienmēr skaitot leņķa virzienu pretēji pulksteņrādītāja virzienam, no formulas (1) varam izvilkt ko vairāk. Kā tas ir viegli redzams no att. 53, formulas (1) labajā pusē iegūtā zīme norādīs, kādu leņķi - akūtu vai stulbu - veido otrā taisne ar pirmo.

(Tiešām, no 53. attēla redzams, ka leņķis starp pirmo un otro virziena vektoru ir vai nu vienāds ar vēlamo leņķi starp taisnēm, vai arī atšķiras no tā par ±180°.)

d. Ja taisnes ir paralēlas, tad to virziena vektori ir paralēli.Piemērojot divu vektoru paralēlisma nosacījumu, iegūstam!

Tas ir nepieciešams un pietiekams nosacījums divu līniju paralēlismam.

Piemērs. Tieša

ir paralēli, jo

e. Ja taisnes ir perpendikulāras, tad arī to virziena vektori ir perpendikulāri. Piemērojot divu vektoru perpendikulitātes nosacījumu, iegūstam divu taisnu līniju perpendikulitātes nosacījumu, proti

Piemērs. Tieša

ir perpendikulāri tādēļ, ka

Saistībā ar paralēlisma un perpendikularitātes nosacījumiem atrisināsim šādas divas problēmas.

f. Novelciet līniju caur punktu, kas ir paralēls dotajai taisnei

Risinājums tiek veikts šādi. Tā kā vēlamā taisne ir paralēla šai, tad tās virziena vektoram varam ņemt to pašu, ko dotajai taisnei, t.i., vektoru ar projekcijām A un B. Un tad tiks ierakstīts vēlamās taisnes vienādojums veidlapa (1. §)

Piemērs. Taisnes vienādojums, kas iet caur punktu (1; 3), kas ir paralēls taisnei

būs nākamais!

g. Novelciet līniju caur punktu, kas ir perpendikulārs dotajai līnijai

Šeit vairs nav piemērots vektors ar projekcijām A un kā virzošais vektors, bet ir jāņem vektors perpendikulāri tam. Tāpēc šī vektora projekcijas ir jāizvēlas atbilstoši abu vektoru perpendikularitātes nosacījumam, t.i., saskaņā ar nosacījumu

Šo nosacījumu var izpildīt neskaitāmos veidos, jo šeit ir viens vienādojums ar diviem nezināmajiem Bet vienkāršākais veids ir ņemt vai Tad vēlamās rindas vienādojums tiks ierakstīts formā

Piemērs. Taisnes vienādojums, kas iet caur punktu (-7; 2) perpendikulārā taisnē

būs šādi (pēc otrās formulas)!

h. Gadījumā, ja līnijas ir dotas ar formas vienādojumiem

Ikvienam skolēnam, kurš gatavojas vienotajam valsts eksāmenam matemātikā, noderēs atkārtot tēmu “Leņķa atrašana starp taisnēm”. Kā liecina statistika, nokārtojot sertifikācijas testu, uzdevumi šajā stereometrijas sadaļā rada grūtības liels daudzums studenti. Tajā pašā laikā uzdevumi, kuriem nepieciešams atrast leņķi starp taisnēm, ir atrodami vienotajā valsts eksāmenā gan pamata, gan specializētajā līmenī. Tas nozīmē, ka ikvienam ir jāspēj tās atrisināt.

Pamata momenti

Ir 4 veidu līniju relatīvās pozīcijas telpā. Tie var sakrist, krustoties, būt paralēli vai krustoties. Leņķis starp tiem var būt akūts vai taisns.

Lai atrastu leņķi starp līnijām vienotajā valsts eksāmenā vai, piemēram, risināšanā, skolēni Maskavā un citās pilsētās var izmantot vairākus veidus, kā atrisināt problēmas šajā stereometrijas sadaļā. Jūs varat izpildīt uzdevumu, izmantojot klasiskās konstrukcijas. Lai to izdarītu, ir vērts apgūt stereometrijas pamata aksiomas un teorēmas. Studentam jāprot loģiski spriest un veidot rasējumus, lai uzdevumu novestu līdz planimetriskai problēmai.

Varat arī izmantot koordinātu vektoru metodi, izmantojot vienkāršas formulas, noteikumus un algoritmus. Galvenais šajā gadījumā ir pareizi veikt visus aprēķinus. Shkolkovo izglītības projekts palīdzēs jums uzlabot jūsu problēmu risināšanas prasmes stereometrijā un citās skolas kursa sadaļās.

Ak-o-o-o... nu, tas ir grūti, it kā viņš pie sevis nolasītu teikumu =) Tomēr vēlāk palīdzēs atslābums, jo īpaši tāpēc, ka šodien nopirku atbilstošos aksesuārus. Tāpēc pāriesim pie pirmās sadaļas, ceru, ka līdz raksta beigām saglabāšu jautru noskaņojumu.

Divu taisnu līniju relatīvais novietojums

Tas ir gadījums, kad publika dzied līdzi korī. Divas taisnas līnijas var:

1) sērkociņš;

2) būt paralēli: ;

3) vai krustojas vienā punktā: .

Palīdzība manekeniem : Lūdzu atceries matemātiskā zīme krustojumos, tas notiks ļoti bieži. Apzīmējums nozīmē, ka līnija krustojas ar līniju punktā .

Kā noteikt divu līniju relatīvo stāvokli?

Sāksim ar pirmo gadījumu:

Divas līnijas sakrīt tad un tikai tad, ja to atbilstošie koeficienti ir proporcionāli, tas ir, ir tāds skaitlis “lambda”, ka vienādības ir izpildītas

Aplūkosim taisnes un no atbilstošajiem koeficientiem izveidosim trīs vienādojumus: . No katra vienādojuma izriet, ka tāpēc šīs līnijas sakrīt.

Patiešām, ja visi vienādojuma koeficienti reiziniet ar –1 (izmaiņas zīmes) un visus vienādojuma koeficientus apgriežot ar 2, jūs iegūstat to pašu vienādojumu: .

Otrais gadījums, kad līnijas ir paralēlas:

Divas taisnes ir paralēlas tad un tikai tad, ja to mainīgo koeficienti ir proporcionāli: , Bet.

Piemēram, apsveriet divas taisnas līnijas. Mēs pārbaudām atbilstošo koeficientu proporcionalitāti mainīgajiem:

Tomēr ir pilnīgi skaidrs, ka.

Un trešais gadījums, kad līnijas krustojas:

Divas taisnes krustojas tad un tikai tad, ja to mainīgo koeficienti NAV proporcionāli, tas ir, NAV tādas “lambda” vērtības, lai vienādības būtu izpildītas

Tātad taisnām līnijām mēs izveidosim sistēmu:

No pirmā vienādojuma izriet, ka , un no otrā vienādojuma: , kas nozīmē sistēma ir nekonsekventa(nav risinājumu). Tādējādi mainīgo lielumu koeficienti nav proporcionāli.

Secinājums: līnijas krustojas

IN praktiskas problēmas varat izmantot tikko apspriesto risinājumu shēmu. Starp citu, tas ļoti atgādina vektoru kolinearitātes pārbaudes algoritmu, kuru mēs apskatījām klasē Vektoru lineārās (ne)atkarības jēdziens. Vektoru bāze. Bet ir arī civilizētāks iepakojums:

1. piemērs

Uzziniet līniju relatīvo novietojumu:

Risinājums pamatojoties uz taisnu līniju virzīšanas vektoru izpēti:

a) No vienādojumiem atrodam līniju virziena vektorus: .

, kas nozīmē, ka vektori nav kolineāri un līnijas krustojas.

Katram gadījumam krustojumā uzlikšu akmeni ar zīmēm:

Pārējie lec pāri akmenim un seko tālāk, taisni uz Kaščeju Nemirstīgo =)

b) Atrodiet līniju virziena vektorus:

Līnijām ir vienāds virziena vektors, kas nozīmē, ka tās ir paralēlas vai sakrīt. Šeit nav jāskaita noteicējs.

Ir skaidrs, ka nezināmo koeficienti ir proporcionāli, un .

Noskaidrosim, vai vienlīdzība ir patiesa:

Tādējādi

c) Atrodiet līniju virziena vektorus:

Aprēķināsim determinantu, kas sastāv no šo vektoru koordinātām:
, tāpēc virziena vektori ir kolineāri. Līnijas ir paralēlas vai sakrīt.

Proporcionalitātes koeficientu “lambda” ir viegli redzēt tieši no kolineāro virzienu vektoru attiecības. Tomēr to var atrast arī, izmantojot pašu vienādojumu koeficientus: .

Tagad noskaidrosim, vai vienlīdzība ir patiesa. Abi bezmaksas nosacījumi ir nulle, tāpēc:

Iegūtā vērtība apmierina šo vienādojumu (jebkurš skaitlis kopumā to apmierina).

Tādējādi līnijas sakrīt.

Atbilde:

Ļoti drīz jūs iemācīsities (vai pat jau esat iemācījušies) atrisināt mutiski apspriesto problēmu burtiski dažu sekunžu laikā. Šajā sakarā es neredzu jēgu kaut ko piedāvāt neatkarīgam risinājumam, labāk ir likt vēl vienu svarīgu ķieģeli ģeometriskajā pamatnē:

Kā izveidot taisni, kas ir paralēla dotajai?

Par šī vienkāršākā uzdevuma nezināšanu Lakstīgala Laupītājs bargi sodīs.

2. piemērs

Taisni nosaka vienādojums. Uzrakstiet vienādojumu paralēlai taisnei, kas iet caur punktu.

Risinājums: Nezināmo rindu apzīmēsim ar burtu . Ko par viņu saka stāvoklis? Taisnā līnija iet caur punktu. Un, ja līnijas ir paralēlas, tad ir acīmredzams, ka taisnes virziena vektors “tse” ir piemērots arī taisnes “de” konstruēšanai.

Mēs izņemam virziena vektoru no vienādojuma:

Atbilde:

Ģeometrijas piemērs izskatās vienkāršs:

Analītiskā pārbaude sastāv no šādiem posmiem:

1) Pārbaudām, vai līnijām ir vienāds virziena vektors (ja taisnes vienādojums nav pareizi vienkāršots, tad vektori būs kolineāri).

2) Pārbaudiet, vai punkts apmierina iegūto vienādojumu.

Vairumā gadījumu analītisko testēšanu var viegli veikt mutiski. Apskatiet divus vienādojumus, un daudzi no jums ātri noteiks līniju paralēlismu bez jebkāda zīmējuma.

Neatkarīgu risinājumu piemēri šodien būs radoši. Jo vēl būs jāsacenšas ar Baba Jagu, un viņa, ziniet, ir visdažādāko mīklu cienītāja.

3. piemērs

Uzrakstiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu, kas ir paralēls taisnei if

Ir racionāls un ne tik racionāls veids, kā to atrisināt. Lielākā daļa īsceļu- nodarbības beigās.

Mēs nedaudz strādājām ar paralēlām līnijām un pie tām atgriezīsimies vēlāk. Sakrītošu līniju gadījums maz interesē, tāpēc apskatīsim problēmu, kas jums ir pazīstama skolas mācību programma:

Kā atrast divu līniju krustošanās punktu?

Ja taisni krustojas punktā , tad tā koordinātas ir risinājums lineāro vienādojumu sistēmas

Kā atrast līniju krustošanās punktu? Atrisiniet sistēmu.

Lūk ģeometriskā nozīme sistēmas no diviem lineārie vienādojumi ar diviem nezināmajiem- tās ir divas plaknes krustojošas (visbiežāk) līnijas.

4. piemērs

Atrodiet līniju krustošanās punktu

Risinājums: Ir divi risināšanas veidi – grafiskais un analītiskais.

Grafiskā metode ir vienkārši uzzīmēt dotās līnijas un noskaidrot krustošanās punktu tieši no zīmējuma:

Šeit ir mūsu punkts: . Lai pārbaudītu, katrā līnijas vienādojumā jāievieto tās koordinātas, tām ir jāiekļaujas gan tur, gan tur. Citiem vārdiem sakot, punkta koordinātas ir sistēmas risinājums. Būtībā mēs apskatījām grafisko risinājumu lineāro vienādojumu sistēmas ar diviem vienādojumiem, diviem nezināmiem.

Grafiskā metode, protams, nav slikta, taču ir manāmi trūkumi. Nē, runa nav par to, ka septītklasnieki šādi izlemj, bet gan par to, ka pareiza un PRECĪZA zīmējuma izveidošana prasīs laiku. Turklāt dažas taisnes nav tik vienkārši konstruējamas, un pats krustošanās punkts var atrasties kaut kur trīsdesmitajā valstībā ārpus piezīmju grāmatiņas lapas.

Tāpēc lietderīgāk ir meklēt krustpunktu analītiskā metode. Atrisināsim sistēmu:

Sistēmas risināšanai tika izmantota vienādojumu saskaitīšanas metode pa terminiem. Lai attīstītu atbilstošas ​​prasmes, apmeklējiet mācību stundu Kā atrisināt vienādojumu sistēmu?

Atbilde:

Pārbaude ir triviāla – krustojuma punkta koordinātām jāapmierina katrs sistēmas vienādojums.

5. piemērs

Atrodiet līniju krustošanās punktu, ja tās krustojas.

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Ir ērti sadalīt uzdevumu vairākos posmos. Stāvokļa analīze liecina, ka ir nepieciešams:
1) Pierakstiet taisnes vienādojumu.
2) Pierakstiet taisnes vienādojumu.
3) Noskaidro līniju relatīvo novietojumu.
4) Ja līnijas krustojas, tad atrodiet krustošanās punktu.

Darbības algoritma izstrāde ir raksturīga daudzām ģeometriskām problēmām, un es vairākkārt pievērsīšos tam.

Pilnīgs risinājums un atbilde nodarbības beigās:

Pirms nonācām stundas otrajā daļā, nebija nolietots pat apavu pāris:

Perpendikulāras līnijas. Attālums no punkta līdz līnijai.
Leņķis starp taisnām līnijām

Sāksim ar tipisku un ļoti svarīgu uzdevumu. Pirmajā daļā mēs uzzinājām, kā izveidot taisnu līniju paralēli šai, un tagad būda uz vistas kājām pagriezīsies par 90 grādiem:

Kā izveidot līniju, kas ir perpendikulāra noteiktai?

6. piemērs

Taisni nosaka vienādojums. Uzrakstiet vienādojumu perpendikulāri tai taisnei, kas iet caur punktu.

Risinājums: Pēc nosacījuma ir zināms, ka. Būtu jauki atrast līnijas virzošo vektoru. Tā kā līnijas ir perpendikulāras, triks ir vienkāršs:

No vienādojuma “noņemam” normālvektoru: , kas būs taisnes virzošais vektors.

Sastādām taisnas līnijas vienādojumu, izmantojot punktu un virziena vektoru:

Atbilde:

Izvērsīsim ģeometrisko skici:

Hmm... Oranžas debesis, oranža jūra, oranžs kamielis.

Risinājuma analītiskā pārbaude:

1) No vienādojumiem izņemam virziena vektorus un ar palīdzību vektoru skalārais reizinājums mēs nonākam pie secinājuma, ka taisnes patiešām ir perpendikulāras: .

Starp citu, jūs varat izmantot parastos vektorus, tas ir vēl vienkāršāk.

2) Pārbaudiet, vai punkts apmierina iegūto vienādojumu .

Pārbaudi atkal ir viegli veikt mutiski.

7. piemērs

Atrodiet perpendikulāru līniju krustošanās punktu, ja vienādojums ir zināms un periods.

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Problēmā ir vairākas darbības, tāpēc ir ērti formulēt risinājumu punktu pa punktam.

Mūsu aizraujošais ceļojums turpinās:

Attālums no punkta līdz līnijai

Mums priekšā ir taisna upes josla un mūsu uzdevums ir līdz tai nokļūt pa īsāko ceļu. Šķēršļu nav, un optimālākais maršruts būs pārvietošanās pa perpendikulu. Tas ir, attālums no punkta līdz līnijai ir perpendikulāra segmenta garums.

Attālums ģeometrijā tradicionāli tiek apzīmēts ar grieķu burtu “rho”, piemēram: – attālums no punkta “em” līdz taisnei “de”.

Attālums no punkta līdz līnijai izteikts ar formulu

8. piemērs

Atrodiet attālumu no punkta līdz līnijai

Risinājums: viss, kas jums jādara, ir rūpīgi jāaizstāj skaitļi formulā un jāveic aprēķini:

Atbilde:

Izveidosim zīmējumu:

Atrastais attālums no punkta līdz līnijai ir tieši sarkanā segmenta garums. Ja uz rūtainā papīra uzzīmējat zīmējumu 1 mērogā. = 1 cm (2 šūnas), tad attālumu var izmērīt ar parastu lineālu.

Apskatīsim citu uzdevumu, pamatojoties uz to pašu zīmējumu:

Uzdevums ir atrast punkta koordinātas, kas ir simetrisks punktam attiecībā pret taisni . Es iesaku veikt darbības pašam, bet es izklāstīšu risinājuma algoritmu ar starprezultātiem:

1) Atrodiet taisni, kas ir perpendikulāra tai.

2) Atrodiet līniju krustošanās punktu: .

Abas darbības ir detalizēti apspriestas šajā nodarbībā.

3) Punkts ir segmenta viduspunkts. Mēs zinām vidus un viena gala koordinātas. Autors formulas segmenta viduspunkta koordinātām mēs atradām .

Būtu lietderīgi pārbaudīt, vai attālums ir arī 2,2 vienības.

Šeit var rasties grūtības aprēķinos, bet tornī lieliski palīdz mikrokalkulators, kas ļauj aprēķināt parastās frakcijas. Esmu jums daudzkārt konsultējis un ieteikšu vēlreiz.

Kā atrast attālumu starp divām paralēlām līnijām?

9. piemērs

Atrodiet attālumu starp divām paralēlām līnijām

Šis ir vēl viens piemērs, kas jums jāizlemj pašiem. Es sniegšu jums nelielu mājienu: ir bezgala daudz veidu, kā to atrisināt. Apspriešana nodarbības beigās, bet labāk mēģināt uzminēt pašam, manuprāt, jūsu atjautība bija labi attīstīta.

Leņķis starp divām taisnēm

Katrs stūris ir aploka:


Ģeometrijā leņķis starp divām taisnēm tiek pieņemts par MAZĀKO leņķi, no kura automātiski izriet, ka tas nevar būt neass. Attēlā sarkanā loka norādītais leņķis netiek uzskatīts par leņķi starp krustojošām līnijām. Un viņa “zaļais” kaimiņš vai pretēji orientēts"aveņu" stūrītis.

Ja līnijas ir perpendikulāras, par leņķi starp tām var uzskatīt jebkuru no 4 leņķiem.

Kā atšķiras leņķi? Orientēšanās. Pirmkārt, ļoti svarīgs ir virziens, kurā leņķis tiek “ritināts”. Otrkārt, negatīvi orientētu leņķi raksta ar mīnusa zīmi, piemēram, ja .

Kāpēc es tev to teicu? Šķiet, ka varam iztikt ar ierasto leņķa jēdzienu. Fakts ir tāds, ka formulas, pēc kurām mēs atradīsim leņķus, var viegli izraisīt negatīvu rezultātu, un tam nevajadzētu jūs pārsteigt. Leņķis ar mīnusa zīmi nav sliktāks, un tam ir ļoti specifiska ģeometriskā nozīme. Zīmējumā negatīvam leņķim noteikti norādiet tā orientāciju ar bultiņu (pulksteņrādītāja virzienā).

Kā atrast leņķi starp divām taisnēm? Ir divas darba formulas:

10. piemērs

Atrodiet leņķi starp līnijām

Risinājums Un Pirmā metode

Apsveriet divas taisnas līnijas, kas norādītas vienādojumos in vispārējs skats:

Ja taisni nav perpendikulāri, Tas orientēts Leņķi starp tiem var aprēķināt, izmantojot formulu:

Pievērsīsim īpašu uzmanību saucējam - tieši tā skalārais produkts taisnu līniju virzīšanas vektori:

Ja , tad formulas saucējs kļūst par nulli, un vektori būs ortogonāli un līnijas būs perpendikulāras. Tāpēc formulējumā tika izteikta atruna par taisnu līniju neperpendikularitāti.

Pamatojoties uz iepriekš minēto, ir ērti formalizēt risinājumu divos posmos:

1) Aprēķināsim līniju virziena vektoru skalāro reizinājumu:
, kas nozīmē, ka līnijas nav perpendikulāras.

2) Atrodiet leņķi starp taisnēm, izmantojot formulu:

Izmantojot apgrieztā funkcija Ir viegli atrast pašu stūri. Šajā gadījumā mēs izmantojam arktangenta dīvainību (sk. Elementāro funkciju grafiki un īpašības):

Atbilde:

Atbildē mēs norādām precīza vērtība, kā arī aptuvenā vērtība (vēlams gan grādos, gan radiānos), kas aprēķināta, izmantojot kalkulatoru.

Nu mīnuss, mīnuss, nekāda lielā bēda. Šeit ir ģeometriska ilustrācija:

Nav pārsteidzoši, ka leņķis izrādījās negatīvas orientācijas, jo uzdevuma formulējumā pirmais skaitlis ir taisna līnija un tieši ar to sākās leņķa “atskrūvēšana”.

Ja jūs patiešām vēlaties iegūt pozitīvu leņķi, jums ir jāmaina līnijas, tas ir, jāņem koeficienti no otrā vienādojuma , un ņemt koeficientus no pirmā vienādojuma. Īsāk sakot, jums jāsāk ar tiešo .

Definīcija. Ja ir dotas divas rindas y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tad ass stūris starp šīm taisnēm tiks definētas kā

Divas taisnes ir paralēlas, ja k 1 = k 2. Divas taisnes ir perpendikulāras, ja k 1 = -1/ k 2.

Teorēma. Taisnes Ax + Bу + C = 0 un A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ir paralēlas, ja koeficienti A 1 = λA, B 1 = λB ir proporcionāli. Ja arī C 1 = λC, tad taisnes sakrīt. Divu taisnu krustpunkta koordinātas tiek atrastas kā šo taisnu vienādojumu sistēmas risinājums.

Caur ejošas līnijas vienādojums šis punkts

Perpendikulāri noteiktai līnijai

Definīcija. Taisni, kas iet caur punktu M 1 (x 1, y 1) un ir perpendikulāra taisnei y = kx + b, attēlo ar vienādojumu:

Attālums no punkta līdz līnijai

Teorēma. Ja dots punkts M(x 0, y 0), tad attālumu līdz taisnei Ax + Bу + C = 0 nosaka kā

.

Pierādījums. Pieņemsim, ka punkts M 1 (x 1, y 1) ir pamats perpendikulam, kas nomests no punkta M uz doto taisni. Tad attālums starp punktiem M un M 1:

(1)

Koordinātas x 1 un y 1 var atrast, atrisinot vienādojumu sistēmu:

Otrais sistēmas vienādojums ir līnijas vienādojums, kas iet cauri dots punkts M 0 ir perpendikulāra noteiktai taisnei. Ja mēs pārveidojam pirmo sistēmas vienādojumu formā:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + pēc 0 + C = 0,

tad, atrisinot, mēs iegūstam:

Aizvietojot šīs izteiksmes vienādojumā (1), mēs atrodam:

Teorēma ir pierādīta.

Piemērs. Nosakiet leņķi starp līnijām: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Piemērs. Parādiet, ka taisnes 3x – 5y + 7 = 0 un 10x + 6y – 3 = 0 ir perpendikulāras.

Risinājums. Mēs atrodam: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, tāpēc līnijas ir perpendikulāras.

Piemērs. Dotas ir trijstūra A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) virsotnes. Atrodiet augstuma vienādojumu, kas novilkts no virsotnes C.

Risinājums. Mēs atrodam malas AB vienādojumu: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Nepieciešamajam augstuma vienādojumam ir šāda forma: Ax + By + C = 0 vai y = kx + b. k = . Tad y = . Jo augstums iet caur punktu C, tad tā koordinātas atbilst šim vienādojumam: no kur b = 17. Kopā: .

Atbilde: 3 x + 2 g – 34 = 0.

Taisnes vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu noteiktā virzienā. Taisnes vienādojums, kas iet caur diviem dotiem punktiem. Leņķis starp divām taisnām līnijām. Divu taisnu paralēlisma un perpendikularitātes nosacījums. Divu taisnu krustpunkta noteikšana

1. Taisnes vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu A(x 1 , y 1) noteiktā virzienā, ko nosaka slīpums k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Šis vienādojums definē līniju zīmuli, kas iet caur punktu A(x 1 , y 1), ko sauc par staru kūļa centru.

2. Taisnes vienādojums, kas iet caur diviem punktiem: A(x 1 , y 1) un B(x 2 , y 2), rakstīts šādi:

Taisnes līnijas, kas iet caur diviem dotiem punktiem, leņķa koeficientu nosaka pēc formulas

3. Leņķis starp taisnām līnijām A Un B ir leņķis, par kādu jāpagriež pirmā taisne A ap šo līniju krustpunktu pretēji pulksteņrādītāja virzienam, līdz tas sakrīt ar otro līniju B. Ja divas taisnes ir dotas ar vienādojumiem ar slīpumu

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

tad leņķi starp tiem nosaka pēc formulas

Jāņem vērā, ka daļskaitļa skaitītājā pirmās rindas slīpums tiek atņemts no otrās rindas slīpuma.

Ja taisnes vienādojumi ir doti vispārīgā formā

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

leņķi starp tiem nosaka pēc formulas

4. Divu līniju paralēlisma nosacījumi:

a) Ja taisnes ir dotas ar vienādojumu (4) ar leņķa koeficientu, tad to paralēlismam nepieciešamais un pietiekams nosacījums ir to leņķisko koeficientu vienādība:

k 1 = k 2 . (8)

b) Gadījumā, ja taisnes ir dotas ar vienādojumiem vispārīgā formā (6), nepieciešams un pietiekams to paralēlisma nosacījums ir tas, ka koeficienti attiecīgajām strāvas koordinātām to vienādojumos ir proporcionāli, t.i.

5. Divu taisnu līniju perpendikulitātes nosacījumi:

a) Gadījumā, ja taisnes ir norādītas ar vienādojumu (4) ar leņķa koeficientu, nepieciešams un pietiekams nosacījums to perpendikularitātei ir, ka tās nogāzes ir apgriezti pēc lieluma un pretējās pēc zīmes, t.i.

Šo nosacījumu var ierakstīt arī formā

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Ja taisnu vienādojumi ir doti vispārīgā formā (6), tad to perpendikulitātes nosacījums (nepieciešams un pietiekams) ir izpildīt vienādību

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Divu taisnu krustpunkta koordinātas tiek atrastas, atrisinot vienādojumu sistēmu (6). Līnijas (6) krustojas tad un tikai tad

1. Uzrakstiet vienādojumus taisnēm, kas iet caur punktu M, no kurām viena ir paralēla, bet otra perpendikulāra dotajai taisnei l.

Instrukcijas

Piezīme

Periods trigonometriskā funkcija Pieskare ir vienāda ar 180 grādiem, kas nozīmē, ka taisnu līniju slīpuma leņķi absolūtā vērtībā nevar pārsniegt šo vērtību.

Noderīgs padoms

Ja leņķiskie koeficienti ir vienādi viens ar otru, tad leņķis starp šādām līnijām ir 0, jo šādas līnijas vai nu sakrīt, vai ir paralēlas.

Lai noteiktu leņķa vērtību starp krustojošām līnijām, ir nepieciešams pārvietot abas līnijas (vai vienu no tām) uz jaunu pozīciju, izmantojot paralēlās tulkošanas metodi, līdz tās krustojas. Pēc tam jums vajadzētu atrast leņķi starp iegūtajām krustošanās līnijām.

Jums būs nepieciešams

• Lineāls, taisnleņķa trīsstūris, zīmulis, transportieri.

Instrukcijas

Tātad ir dots vektors V = (a, b, c) un plakne A x + B y + C z = 0, kur A, B un C ir normālā N koordinātas. Tad leņķa kosinuss α starp vektoriem V un N ir vienāds ar: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Lai aprēķinātu leņķi grādos vai radiānos, no iegūtās izteiksmes jāaprēķina kosinusa apgrieztā funkcija, t.i. arkosīns:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Piemērs: atrast stūra starp vektors(5, -3, 8) un lidmašīna, dota vispārējais vienādojums 2 x – 5 y + 3 z = 0. Risinājums: pierakstiet plaknes N = (2, -5, 3) normālvektora koordinātas. Aizstāt visu zināmās vērtības dotajā formulā: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video par tēmu

Taisna līnija, kurai ir tāds pats apkārtmērs kā kopīgs punkts, ir pieskares aplim. Vēl viena pieskares iezīme ir tā, ka tā vienmēr ir perpendikulāra rādiusam, kas novilkts līdz saskares punktam, tas ir, pieskares un rādiuss veido taisnu līniju stūra. Ja no viena punkta A novilktas divas riņķa pieskares AB un AC, tad tās vienmēr ir vienādas viena ar otru. Leņķa noteikšana starp pieskarēm ( stūra ABC) ir izveidots, izmantojot Pitagora teorēmu.

Instrukcijas

Lai noteiktu leņķi, jāzina apļa OB un OS rādiuss un pieskares sākuma punkta attālums no riņķa centra - O. Tātad leņķi ABO un ACO ir vienādi, rādiuss OB ir, piemēram, 10 cm, un attālums līdz apļa AO centram ir 15 cm Nosakiet pieskares garumu, izmantojot formulu saskaņā ar Pitagora teorēmu: AB = Kvadrātsakne no AO2 – OB2 vai 152 – 102 = 225 – 100 = 125;