Analizēsim divu veidu vienādojumu sistēmu risinājumus:

1. Sistēmas risināšana, izmantojot aizstāšanas metodi.
2. Sistēmas atrisināšana, saskaitot (atņemot) sistēmas vienādojumus.

Lai atrisinātu vienādojumu sistēmu ar aizstāšanas metodi jums jāievēro vienkāršs algoritms:
1. Izteikt. No jebkura vienādojuma mēs izsakām vienu mainīgo.
2. Aizstājējs. Izteiktā mainīgā vietā iegūto vērtību aizstājam ar citu vienādojumu.
3. Atrisiniet iegūto vienādojumu ar vienu mainīgo. Mēs atrodam sistēmas risinājumu.

Atrisināt sistēma ar terminu pa vārda saskaitīšanas (atņemšanas) metodi vajag:
1. Izvēlieties mainīgo, kuram veidosim identiskus koeficientus.
2. Mēs saskaitām vai atņemam vienādojumus, iegūstot vienādojumu ar vienu mainīgo.
3. Atrisiniet iegūto lineāro vienādojumu. Mēs atrodam sistēmas risinājumu.

Sistēmas risinājums ir funkciju grafiku krustošanās punkti.

Ļaujiet mums sīkāk apsvērt sistēmu risinājumu, izmantojot piemērus.

1. piemērs:

Atrisināsim ar aizstāšanas metodi

Vienādojumu sistēmas risināšana, izmantojot aizstāšanas metodi

2x+5y=1 (1 vienādojums)
x-10y=3 (2. vienādojums)

1. Izteikt
Redzams, ka otrajā vienādojumā ir mainīgais x ar koeficientu 1, kas nozīmē, ka visvieglāk ir izteikt mainīgo x no otrā vienādojuma.
x=3+10g

2. Pēc tam, kad esam to izteikuši, mainīgā x vietā pirmajā vienādojumā aizstājam 3+10y.
2(3+10g)+5y=1

3. Atrisiniet iegūto vienādojumu ar vienu mainīgo.
2(3+10g)+5y=1 (atveriet iekavas)
6+20g+5g=1
25 g = 1-6
25 g = -5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Vienādojumu sistēmas risinājums ir grafu krustošanās punkti, tāpēc jāatrod x un y, jo krustošanās punkts sastāv no x un y. Atrodam x, pirmajā punktā, kur to izteicām, aizvietojam y.
x=3+10g
x=3+10*(-0,2)=1

Punktus ir pieņemts rakstīt pirmajā vietā mēs rakstām mainīgo x, bet otrajā vietā mainīgo y.
Atbilde: (1; -0,2)

2. piemērs:

Risināsim, izmantojot pa vārda saskaitīšanas (atņemšanas) metodi.

Vienādojumu sistēmas atrisināšana, izmantojot saskaitīšanas metodi

3x-2y=1 (1 vienādojums)
2x-3y=-10 (2. vienādojums)

1. Mēs izvēlamies mainīgo, pieņemsim, ka izvēlamies x. Pirmajā vienādojumā mainīgajam x ir koeficients 3, otrajā - 2. Mums ir jāpadara koeficienti vienādi, šim nolūkam mums ir tiesības vienādojumus reizināt vai dalīt ar jebkuru skaitli. Mēs reizinām pirmo vienādojumu ar 2, bet otro ar 3 un iegūstam kopējo koeficientu 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3g=-10 |*3
6x-9g=-30

2. Atņemiet otro no pirmā vienādojuma, lai atbrīvotos no mainīgā x. Atrisiniet lineāro vienādojumu.
__6x-4y=2

5g=32 | :5
y=6,4

3. Atrodiet x. Mēs aizvietojam atrasto y jebkurā no vienādojumiem, teiksim, pirmajā vienādojumā.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Krustošanās punkts būs x=4,6; y=6,4
Atbilde: (4.6; 6.4)

Vai vēlaties sagatavoties eksāmeniem bez maksas? Pasniedzējs tiešsaistē par brīvu. Bez jokiem.

Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu noteikta persona vai saikne ar viņu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
• Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Ja nepieciešams - likumā noteiktajā kārtībā, tiesvedībā, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai lūgumiem no plkst. valdības aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.

Šī raksta materiāls ir paredzēts pirmajai iepazīšanai ar vienādojumu sistēmām. Šeit mēs iepazīstināsim ar vienādojumu sistēmas definīciju un tās risinājumiem, kā arī apskatīsim visizplatītākos vienādojumu sistēmu veidus. Kā parasti, mēs sniegsim paskaidrojošus piemērus.

Lapas navigācija.

Kas ir vienādojumu sistēma?

Vienādojumu sistēmas definīcijai tuvosimies pakāpeniski. Pirmkārt, teiksim, ka ir ērti to dot, norādot divus punktus: pirmkārt, ieraksta veidu un, otrkārt, šajā ierakstā iestrādāto nozīmi. Apskatīsim tos pēc kārtas un pēc tam vispārināsim argumentāciju vienādojumu sistēmu definīcijā.

Lai mūsu priekšā ir vairāki no tiem. Piemēram, ņemsim divus vienādojumus 2 x+y=−3 un x=5. Rakstīsim tos vienu zem otra un apvienosim kreisajā pusē ar cirtainu iekava:

Šāda veida ieraksti, kas ir vairāki vienādojumi, kas sakārtoti kolonnā un apvienoti kreisajā pusē ar cirtainu figūriekavu, ir vienādojumu sistēmu ieraksti.

Ko nozīmē šādi ieraksti? Tie definē visu šādu sistēmas vienādojumu risinājumu kopu, kas ir katra vienādojuma risinājums.

Nenāktu par ļaunu to aprakstīt citiem vārdiem. Pieņemsim, ka daži pirmā vienādojuma risinājumi ir visu pārējo sistēmas vienādojumu risinājumi. Tātad sistēmas ieraksts nozīmē tikai tos.

Tagad mēs esam gatavi adekvāti pieņemt vienādojumu sistēmas definīciju.

Definīcija.

Vienādojumu sistēmas izsauc ierakstus, kas ir vienādojumi, kas atrodas viens zem otra un ir apvienoti kreisajā pusē ar krokainu figūriekava, kas apzīmē visu vienādojumu atrisinājumu kopu, kas ir arī katra sistēmas vienādojuma atrisinājumi.

Mācību grāmatā ir dota līdzīga definīcija, taču tur tā ir dota nevis vispārējam gadījumam, bet gan diviem racionālie vienādojumi ar diviem mainīgajiem.

Galvenie veidi

Ir skaidrs, ka ir bezgalīgi daudz dažādu vienādojumu. Protams, ir arī bezgalīgs skaits vienādojumu sistēmu, kas sastādītas, izmantojot tās. Tāpēc vienādojumu sistēmu izpētes un darba ērtībai ir lietderīgi tās sadalīt grupās pēc līdzīgām īpašībām un pēc tam pāriet uz atsevišķu tipu vienādojumu sistēmu apsvēršanu.

Pirmais iedalījums liecina par sevi pēc sistēmā iekļauto vienādojumu skaita. Ja ir divi vienādojumi, tad varam teikt, ka mums ir divu vienādojumu sistēma, ja ir trīs, tad trīs vienādojumu sistēma utt. Ir skaidrs, ka nav jēgas runāt par viena vienādojuma sistēmu, jo šajā gadījumā būtībā ir darīšana ar pašu vienādojumu, nevis sistēmu.

Nākamais dalījums ir balstīts uz mainīgo skaitu, kas iesaistīti sistēmas vienādojumu rakstīšanā. Ja ir viens mainīgais, tad mums ir darīšana ar vienādojumu sistēmu ar vienu mainīgo (saka arī ar vienu nezināmo), ja ir divi, tad ar vienādojumu sistēmu ar diviem mainīgajiem (ar diviem nezināmajiem) utt. Piemēram, ir vienādojumu sistēma ar diviem mainīgajiem x un y.

Tas attiecas uz visu dažādo ierakstā iesaistīto mainīgo skaitu. Tiem visiem nav jābūt iekļautiem katra vienādojuma ierakstā uzreiz; pietiek ar to klātbūtni vismaz vienā vienādojumā. Piemēram, ir vienādojumu sistēma ar trim mainīgajiem x, y un z. Pirmajā vienādojumā mainīgais x ir eksplicīti, un y un z ir netieši (var pieņemt, ka šiem mainīgajiem ir nulle), un otrajā vienādojumā ir x un z, bet mainīgais y nav skaidri parādīts. Citiem vārdiem sakot, pirmo vienādojumu var uzskatīt par , bet otrais – kā x+0·y−3·z=0.

Trešais punkts, kurā vienādojumu sistēmas atšķiras, ir pašu vienādojumu veids.

Skolā vienādojumu sistēmu apguve sākas ar sistēmas no diviem lineārie vienādojumi ar diviem mainīgajiem. Tas nozīmē, ka šādas sistēmas veido divus lineārus vienādojumus. Šeit ir daži piemēri: Un . Viņi apgūst pamatus darbam ar vienādojumu sistēmām.

Risinot sarežģītākas problēmas, jūs varat saskarties arī ar trīs lineāru vienādojumu sistēmām ar trim nezināmajiem.

Tālāk 9. klasē divu vienādojumu sistēmām ar diviem mainīgajiem tiek pievienoti nelineāri vienādojumi, pārsvarā veseli otrās pakāpes vienādojumi, retāk - vairāk augstas pakāpes. Šīs sistēmas sauc par nelineāru vienādojumu sistēmām, ja nepieciešams, norāda vienādojumu un nezināmo skaitu. Parādīsim šādu nelineāru vienādojumu sistēmu piemērus: Un .

Un tad sistēmās ir arī, piemēram, . Tos parasti sauc vienkārši par vienādojumu sistēmām, nenorādot, kuri vienādojumi. Šeit ir vērts atzīmēt, ka visbiežāk vienādojumu sistēmu vienkārši sauc par “vienādojumu sistēmu”, un precizējumi tiek pievienoti tikai nepieciešamības gadījumā.

Vidusskolā, kā materiāls tiek pētīts, iracionāls, trigonometrisks, logaritmisks un eksponenciālie vienādojumi : , , .

Ja skatāmies vēl tālāk uz pirmā kursa augstskolas programmu, tad galvenais uzsvars tiek likts uz lineāro algebrisko vienādojumu (SLAE) sistēmu izpēti un risināšanu, tas ir, vienādojumu, kuru kreisajā pusē ir pirmās pakāpes polinomi, un labajā pusē ir noteikti skaitļi. Bet tur atšķirībā no skolas vairs neņem divus lineārus vienādojumus ar diviem mainīgajiem, bet patvaļīgu skaitu vienādojumu ar patvaļīgu mainīgo skaitu, kas bieži vien nesakrīt ar vienādojumu skaitu.

Kāds ir vienādojumu sistēmas risinājums?

Termins "vienādojumu sistēmas risinājums" tieši attiecas uz vienādojumu sistēmām. Skolā tiek dota vienādojumu sistēmas ar diviem mainīgajiem risināšanas definīcija :

Definīcija.

Vienādojumu sistēmas atrisināšana ar diviem mainīgajiem tiek saukts par šo mainīgo vērtību pāri, kas pārvērš katru sistēmas vienādojumu par pareizo, citiem vārdiem sakot, ir katra sistēmas vienādojuma risinājums.

Piemēram, mainīgo vērtību pāris x=5, y=2 (to var uzrakstīt kā (5, 2)) ir vienādojumu sistēmas risinājums pēc definīcijas, jo sistēmas vienādojumi, kad x= 5, tajos tiek aizvietoti y=2, pārvēršas par pareizām skaitliskām vienādībām attiecīgi 5+2=7 un 5−2=3. Bet vērtību pāris x=3, y=0 nav šīs sistēmas risinājums, jo, aizstājot šīs vērtības vienādojumos, pirmais no tiem pārvērtīsies nepareizā vienādībā 3+0=7.

Līdzīgas definīcijas var formulēt sistēmām ar vienu mainīgo, kā arī sistēmām ar trim, četriem utt. mainīgie.

Definīcija.

Vienādojumu sistēmas atrisināšana ar vienu mainīgo būs tāda mainīgā vērtība, kas ir visu sistēmas vienādojumu sakne, tas ir, visus vienādojumus pārvēršot pareizos skaitliskās vienādībās.

Sniegsim piemēru. Aplūkosim vienādojumu sistēmu ar vienu formas mainīgo t . Skaitlis −2 ir tā atrisinājums, jo gan (−2) 2 =4, gan 5·(−2+2)=0 ir patiesas skaitliskās vienādības. Un t=1 nav sistēmas risinājums, jo, aizstājot šo vērtību, tiks iegūtas divas nepareizas vienādības 1 2 =4 un 5·(1+2)=0.

Definīcija.

Sistēmas risināšana ar trīs, četriem utt. mainīgie sauc trīs, četri utt. attiecīgi mainīgo lielumu vērtības, pārvēršot visus sistēmas vienādojumus patiesos vienādībās.

Tātad, pēc definīcijas, mainīgo vērtību trīskāršs x=1, y=2, z=0 ir sistēmas risinājums. , jo 2·1=2, 5·2=10 un 1+2+0=3 ir patiesas skaitliskās vienādības. Un (1, 0, 5) nav šīs sistēmas risinājums, jo, aizstājot šīs mainīgo vērtības sistēmas vienādojumos, otrā no tām pārvēršas par nepareizo vienādību 5·0=10, bet trešā pārāk 1+0+5=3.

Ņemiet vērā, ka vienādojumu sistēmām var nebūt atrisinājumu, tām var būt ierobežots atrisinājumu skaits, piemēram, viens, divi, ..., vai var būt bezgalīgi daudz atrisinājumu. Jūs to redzēsit, iedziļinoties tēmā.

Ņemot vērā vienādojumu sistēmas definīcijas un to atrisinājumus, varam secināt, ka vienādojumu sistēmas atrisinājums ir visu tās vienādojumu atrisinājumu kopu krustpunkts.

Noslēgumā šeit ir dažas saistītas definīcijas:

Definīcija.

nav locītavu, ja tai nav risinājumu, pretējā gadījumā sistēma tiek izsaukta locītavu.

Definīcija.

Vienādojumu sistēmu sauc nenoteikts, ja tam ir bezgala daudz risinājumu, un noteikti, ja tam ir ierobežots atrisinājumu skaits vai to nav vispār.

Šie termini ir ieviesti, piemēram, mācību grāmatā, bet skolā tos lieto diezgan reti, biežāk dzirdami augstskolās.

Bibliogrāfija.

1. Algebra: mācību grāmata 7. klasei vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 17. izd. - M.: Izglītība, 2008. - 240 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Algebra: 9. klase: izglītojoša. vispārējai izglītībai iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M.: Izglītība, 2009. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovičs A.G. Algebra. 7. klase. 2 stundās.1.daļa.Mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs. - 17. izd., pievienot. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Mordkovičs A.G. Algebra. 9. klase. 2 stundās.1.daļa.Mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs, P. V. Semenovs. - 13. izd., dzēsts. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Mordkovičs A.G. Algebra un matemātiskās analīzes sākums. 11. klase. 2 stundās.1.daļa.Mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem (profila līmenis) / A. G. Mordkovičs, P. V. Semenovs. - 2. izdevums, dzēsts. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 klasēm. vispārējā izglītība institūcijas / A. N. Kolmogorovs, A. M. Abramovs, Ju. P. Dudņicins un citi; Ed. A. N. Kolmogorovs - 14. izdevums - M.: Izglītība, 2004. - 384 lpp.: il. - ISBN 5-09-013651-3.
7. A. G. Kurošs. Augstākās algebras kurss.
8. Iļjins V.A., Pozņaks E.G. Analītiskā ģeometrija: Mācību grāmata: universitātēm. – 5. izd. – M.: Zinātne. Fizmatlit, 1999. – 224 lpp. - (Nu augstākā matemātika un paklājiņš. fizika). – ISBN 5-02-015234 – X (3. izdevums)

Ar šo matemātisko programmu jūs varat atrisināt divu lineāru vienādojumu sistēmu ar diviem mainīgā metode om aizstāšana un pievienošanas metode.

Programma ne tikai sniedz atbildi uz problēmu, bet arī sniedz detalizētu risinājumu ar risinājuma soļu skaidrojumiem divos veidos: aizstāšanas metode un pievienošanas metode.

Šī programma var būt noderīga vidusskolēniem vidusskolas gatavojoties testiem un eksāmeni, pārbaudot zināšanas pirms Vienotā valsts eksāmena, vecākiem, lai kontrolētu daudzu matemātikas un algebras uzdevumu risināšanu. Vai varbūt jums ir pārāk dārgi algot pasniedzēju vai iegādāties jaunas mācību grāmatas? Vai arī jūs vienkārši vēlaties pēc iespējas ātrāk paveikt matemātikas vai algebras mājasdarbus? Šajā gadījumā varat izmantot arī mūsu programmas ar detalizētiem risinājumiem.

Tādā veidā jūs varat vadīt savu un/vai savu apmācību. jaunākie brāļi vai māsas, savukārt izglītības līmenis risināmo problēmu jomā paaugstinās.

Noteikumi vienādojumu ievadīšanai

Jebkurš latīņu burts var darboties kā mainīgais.
Piemēram: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) utt.

Ievadot vienādojumus varat izmantot iekavas. Šajā gadījumā vienādojumi vispirms tiek vienkāršoti. Vienādojumiem pēc vienkāršojumiem jābūt lineāriem, t.i. formas ax+by+c=0 ar elementu secības precizitāti.
Piemēram: 6x+1 = 5(x+y)+2

Vienādojumos var izmantot ne tikai veselus skaitļus, bet arī daļskaitļi decimāldaļu un parasto daļskaitļu veidā.

Decimāldaļskaitļu ievadīšanas noteikumi.
Veselo skaitļu un daļskaitļu daļas iekšā decimāldaļas var atdalīt ar punktu vai komatu.
Piemēram: 2,1n + 3,5m = 55

Parasto daļskaitļu ievadīšanas noteikumi.
Tikai vesels skaitlis var darboties kā frakcijas skaitītājs, saucējs un vesels skaitlis.
Saucējs nevar būt negatīvs.
Ieejot skaitliskā daļa Skaitītāju no saucēja atdala dalījuma zīme: /
Visa daļa ir atdalīta no frakcijas ar & zīmi: &

Piemēri.
-1&2/3g + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7 (3,5p - 2&1/8q)

Atrisināt vienādojumu sistēmu

Tika atklāts, ka daži skripti, kas nepieciešami šīs problēmas risināšanai, netika ielādēti un programma var nedarboties.
Iespējams, jums ir iespējots AdBlock.
Šādā gadījumā atspējojiet to un atsvaidziniet lapu.

JavaScript jūsu pārlūkprogrammā ir atspējots.
Lai risinājums tiktu parādīts, jums ir jāiespējo JavaScript.
Šeit ir sniegti norādījumi par to, kā pārlūkprogrammā iespējot JavaScript.

Jo Ir daudz cilvēku, kas vēlas atrisināt problēmu, jūsu pieprasījums ir ievietots rindā.
Pēc dažām sekundēm zemāk parādīsies risinājums.
Lūdzu uzgaidiet sek...

Ja jūs pamanīja kļūdu risinājumā, tad par to varat rakstīt atsauksmju veidlapā.
Neaizmirsti norādiet, kurš uzdevums tu izlem ko ievadiet laukos.

Mūsu spēles, puzles, emulatori:

Nedaudz teorijas.

Lineāro vienādojumu sistēmu atrisināšana. Aizvietošanas metode

Darbību secība, risinot lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot aizstāšanas metodi:
1) izsaka vienu mainīgo no kāda sistēmas vienādojuma ar citu;
2) aizstāt iegūto izteiksmi ar citu sistēmas vienādojumu šī mainīgā vietā;

$$ \left\( \begin(masīvs)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(masīvs) \right. $$

Izteiksim y ar x no pirmā vienādojuma: y = 7-3x. Otrajā vienādojumā y vietā aizstājot izteiksmi 7-3x, iegūstam sistēmu:
$$ \left\( \begin(masīvs)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(masīvs) \right. $$

Ir viegli parādīt, ka pirmajai un otrajai sistēmai ir vienādi risinājumi. Otrajā sistēmā otrais vienādojums satur tikai vienu mainīgo. Atrisināsim šo vienādojumu:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Labā bultiņa -5x+14-6x=3 \Labā bultiņa -11x=-11 \Labā bultiņa x=1 $$

Vienādībā y=7-3x aizstājot skaitli 1, nevis x, mēs atrodam atbilstošo y vērtību:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Pāris (1;4) - sistēmas risinājums

Tiek sauktas vienādojumu sistēmas divos mainīgajos, kuriem ir vienādi risinājumi ekvivalents. Sistēmas, kurām nav risinājumu, arī tiek uzskatītas par līdzvērtīgām.

Lineāro vienādojumu sistēmu risināšana ar saskaitīšanu

Apskatīsim citu veidu, kā atrisināt lineāro vienādojumu sistēmas - saskaitīšanas metodi. Šādā veidā risinot sistēmas, kā arī risinot ar aizstāšanu, mēs no šīs sistēmas pārejam uz citu, līdzvērtīgu sistēmu, kurā viens no vienādojumiem satur tikai vienu mainīgo.

Darbību secība, risinot lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot saskaitīšanas metodi:
1) reiziniet sistēmas termina vienādojumus ar terminu, izvēloties faktorus tā, lai viena mainīgā koeficienti kļūtu par pretējiem skaitļiem;
2) saskaita sistēmas vienādojumu kreiso un labo pusi pēc termiņa;
3) atrisina iegūto vienādojumu ar vienu mainīgo;
4) atrodiet atbilstošo otrā mainīgā vērtību.

Piemērs. Atrisināsim vienādojumu sistēmu:
$$ \left\( \begin(masīvs)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(masīvs) \right. $$

Šīs sistēmas vienādojumos y koeficienti ir pretēji skaitļi. Saskaitot vienādojumu kreiso un labo pusi pa vārdam, iegūstam vienādojumu ar vienu mainīgo 3x=33. Aizstāsim vienu no sistēmas vienādojumiem, piemēram, pirmo, ar vienādojumu 3x=33. Iegūsim sistēmu
$$ \left\( \begin(masīvs)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(masīvs) \right. $$

No vienādojuma 3x=33 mēs atklājam, ka x=11. Aizvietojot šo x vērtību vienādojumā \(x-3y=38\), iegūstam vienādojumu ar mainīgo y: \(11-3y=38\). Atrisināsim šo vienādojumu:
\(-3y=27 \labā bultiņa y=-9 \)

Tādējādi mēs atradām vienādojumu sistēmas risinājumu, saskaitot: \(x=11; y=-9\) vai \((11;-9)\)

Izmantojot to, ka sistēmas vienādojumos koeficienti y ir pretēji skaitļi, tā atrisinājumu reducējām līdz ekvivalentas sistēmas atrisinājumam (summējot katra sākotnējās sistēmas vienādojuma abas puses), kurā viens vienādojumos ir tikai viens mainīgais.

Grāmatas (mācību grāmatas) Vienotā valsts eksāmena un vienotā valsts eksāmena testu tēzes tiešsaistē Spēles, puzles Funkciju grafiku zīmēšana Krievu valodas pareizrakstības vārdnīca Jauniešu slenga vārdnīca Krievu skolu katalogs Krievijas vidējo izglītības iestāžu katalogs Krievijas universitāšu katalogs Saraksts uzdevumiem Nodarbības saturs

Lineārie vienādojumi divos mainīgajos

Skolēnam ir 200 rubļu, lai paēstu pusdienas skolā. Kūka maksā 25 rubļus, bet kafijas tase maksā 10 rubļus. Cik kūkas un kafijas tases var nopirkt par 200 rubļiem?

Apzīmēsim kūku skaitu ar x, un kafijas tasīšu skaitu y. Tad kūku izmaksas tiks apzīmētas ar izteiksmi 25 x, un kafijas tasīšu izmaksas 10 punktos y .

25x- cena x kūkas
10y — cena y kafijas tases

Kopējai summai jābūt 200 rubļiem. Tad mēs iegūstam vienādojumu ar diviem mainīgajiem x Un y

25x+ 10y= 200

Cik sakņu ir šim vienādojumam?

Tas viss ir atkarīgs no studenta apetītes. Ja viņš pērk 6 kūkas un 5 tases kafijas, tad vienādojuma saknes būs skaitļi 6 un 5.

Tiek uzskatīts, ka vērtību pāris 6 un 5 ir vienādojuma 25 saknes x+ 10y= 200. Rakstīts kā (6; 5), kur pirmais skaitlis ir mainīgā vērtība x, bet otrais - mainīgā vērtība y .

6 un 5 nav vienīgās saknes, kas apvērš 25. vienādojumu x+ 10y= 200 līdz identitātei. Ja vēlas, par tiem pašiem 200 rubļiem students var iegādāties 4 kūkas un 10 kafijas tases:

Šajā gadījumā 25. vienādojuma saknes x+ 10y= 200 ir vērtību pāris (4; 10).

Turklāt skolēns var nemaz nepirkt kafiju, bet pirkt kūkas par visiem 200 rubļiem. Tad 25. vienādojuma saknes x+ 10y= 200 būs vērtības 8 un 0

Vai otrādi, nepērciet kūkas, bet pērciet kafiju par visiem 200 rubļiem. Tad 25. vienādojuma saknes x+ 10y= 200, vērtības būs 0 un 20

Mēģināsim uzskaitīt visas iespējamās 25. vienādojuma saknes x+ 10y= 200. Vienosimies, ka vērtības x Un y pieder veselu skaitļu kopai. Un ļaujiet šīm vērtībām būt lielākas vai vienādas ar nulli:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Tas būs ērti pašam studentam. Ērtāk ir pirkt veselas kūkas nekā, piemēram, vairākas veselas kūkas un pusi kūkas. Arī kafiju ir ērtāk ņemt veselās krūzēs, nekā, piemēram, vairākas veselas krūzes un pustasi.

Ņemiet vērā, ka nepāra x vienlīdzību nav iespējams panākt nekādos apstākļos y. Pēc tam vērtības xšādi skaitļi būs 0, 2, 4, 6, 8. Un zinot x var viegli noteikt y

Tādējādi mēs saņēmām šādus vērtību pārus (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Šie pāri ir 25. vienādojuma risinājumi vai saknes x+ 10y= 200. Viņi pārvērš šo vienādojumu par identitāti.

Formas vienādojums cirvis + ar = c sauca lineārs vienādojums ar diviem mainīgajiem. Šī vienādojuma atrisinājums vai saknes ir vērtību pāris ( x; y), kas to pārvērš identitātē.

Ņemiet vērā arī to, ka formā ir ierakstīts lineārs vienādojums ar diviem mainīgajiem ax + b y = c , tad viņi saka, ka tas ir rakstīts kanonisks(parastā) forma.

Dažus lineāros vienādojumus divos mainīgajos var reducēt līdz kanoniskajai formai.

Piemēram, vienādojums 2(16x+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) var vest pie prāta cirvis + ar = c. Atvērsim iekavas abās šī vienādojuma pusēs un iegūsim 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Mēs grupējam terminus, kas satur nezināmus vienādojuma kreisajā pusē, un terminus, kas satur nezināmus, labajā pusē. Tad mēs saņemam 32x− 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Mēs piedāvājam līdzīgus terminus abās pusēs, iegūstam vienādojumu 16 x+ 8y= 32. Šis vienādojums tiek reducēts līdz formai cirvis + ar = c un ir kanonisks.

Iepriekš apspriestais 25. vienādojums x+ 10y= 200 ir arī lineārs vienādojums ar diviem mainīgajiem kanoniskā formā. Šajā vienādojumā parametri a , b Un c ir vienādi ar vērtībām attiecīgi 25, 10 un 200.

Patiesībā vienādojums cirvis + ar = c ir neskaitāmi risinājumi. Vienādojuma atrisināšana 25x+ 10y= 200, mēs meklējām tās saknes tikai veselu skaitļu kopā. Rezultātā mēs ieguvām vairākus vērtību pārus, kas pārvērta šo vienādojumu par identitāti. Bet uz daudziem racionālie skaitļi vienādojums 25 x+ 10y= 200 būs bezgalīgi daudz risinājumu.

Lai iegūtu jaunus vērtību pārus, jums ir jāņem patvaļīga vērtība x, tad izteikt y. Piemēram, pieņemsim mainīgo x vērtība 7. Tad iegūstam vienādojumu ar vienu mainīgo 25 × 7 + 10y= 200 kurā var izteikties y

Ļaujiet x= 15. Tad vienādojums 25x+ 10y= 200 kļūst par 25 × 15 + 10y= 200. No šejienes mēs to atrodam y = −17,5

Ļaujiet x= –3 . Tad vienādojums 25x+ 10y= 200 kļūst par 25 × (–3) + 10y= 200. No šejienes mēs to atrodam y = −27,5

Divu lineāru vienādojumu sistēma ar diviem mainīgajiem

Vienādojumam cirvis + ar = c jūs varat ņemt patvaļīgas vērtības tik reižu, cik vēlaties x un atrodiet vērtības y. Atsevišķi ņemot, šādam vienādojumam būs neskaitāmi risinājumi.

Bet gadās arī, ka mainīgie x Un y savienoti nevis ar vienu, bet ar diviem vienādojumiem. Šajā gadījumā tie veido tā saukto Lineāro vienādojumu sistēma divos mainīgajos. Šādai vienādojumu sistēmai var būt viens vērtību pāris (vai citiem vārdiem sakot: “viens risinājums”).

Var arī gadīties, ka sistēmai vispār nav risinājumu. Lineāru vienādojumu sistēmai retos un izņēmuma gadījumos var būt neskaitāmi risinājumi.

Divi lineāri vienādojumi veido sistēmu, kad vērtības x Un y ievadiet katrā no šiem vienādojumiem.

Atgriezīsimies pie paša pirmā vienādojuma 25 x+ 10y= 200. Viens no šī vienādojuma vērtību pāriem bija pāris (6; 5) . Šis ir gadījums, kad par 200 rubļiem varēja nopirkt 6 kūkas un 5 tases kafijas.

Formulēsim uzdevumu tā, lai pāris (6; 5) kļūtu par vienīgo 25. vienādojuma risinājumu x+ 10y= 200. Lai to izdarītu, izveidosim citu vienādojumu, kas savienotu to pašu x kūkas un y kafijas tases.

Problēmas tekstu formulēsim šādi:

“Students nopirka vairākas kūkas un vairākas kafijas tases par 200 rubļiem. Kūka maksā 25 rubļus, bet kafijas tase maksā 10 rubļus. Cik kūku un kafijas tasīšu skolēns iegādājās, ja ir zināms, ka kūku skaits ir par vienu vienību lielāks nekā kafijas tasīšu skaits?

Mums jau ir pirmais vienādojums. Šis ir vienādojums 25 x+ 10y= 200. Tagad izveidosim nosacījuma vienādojumu "kūku skaits ir par vienu vienību lielāks nekā kafijas tasīšu skaits" .

Kūku skaits ir x, un kafijas tasīšu skaits ir y. Jūs varat uzrakstīt šo frāzi, izmantojot vienādojumu x−y= 1. Šis vienādojums nozīmēs, ka atšķirība starp kūkām un kafiju ir 1.

x = y+ 1 . Šis vienādojums nozīmē, ka kūku skaits ir par vienu vairāk nekā kafijas tasīšu skaits. Tāpēc, lai iegūtu vienlīdzību, kafijas tasīšu skaitam tiek pievienots viens. To var viegli saprast, ja mēs izmantojam skalu modeli, ko ņēmām vērā, pētot vienkāršākās problēmas:

Mēs saņēmām divus vienādojumus: 25 x+ 10y= 200 un x = y+ 1. Tā kā vērtības x Un y, proti, 6 un 5 ir iekļauti katrā no šiem vienādojumiem, tad kopā tie veido sistēmu. Pierakstīsim šo sistēmu. Ja vienādojumi veido sistēmu, tad tos ierāmē sistēmas zīme. Sistēmas simbols ir krokains figūriekava:

Atrisināsim šo sistēmu. Tas ļaus mums redzēt, kā mēs nonākam pie vērtībām 6 un 5. Ir daudzas metodes šādu sistēmu risināšanai. Apskatīsim populārākos no tiem.

Aizvietošanas metode

Šīs metodes nosaukums runā pats par sevi. Tās būtība ir aizstāt vienu vienādojumu ar citu, iepriekš izsakot vienu no mainīgajiem.

Mūsu sistēmā nekas nav jāizsaka. Otrajā vienādojumā x = y+ 1 mainīgais x jau izteikts. Šis mainīgais ir vienāds ar izteiksmi y+ 1 . Tad jūs varat aizstāt šo izteiksmi ar pirmo vienādojumu, nevis mainīgo x

Pēc izteiksmes aizstāšanas y Tā vietā pirmajā vienādojumā + 1 x, mēs iegūstam vienādojumu 25(y+ 1) + 10y= 200 . Šis ir lineārs vienādojums ar vienu mainīgo. Šo vienādojumu ir diezgan viegli atrisināt:

Mēs atradām mainīgā vērtību y. Tagad aizstāsim šo vērtību vienā no vienādojumiem un atradīsim vērtību x. Šim nolūkam ir ērti izmantot otro vienādojumu x = y+ 1 . Aizstāsim tajā vērtību y

Tas nozīmē, ka pāris (6; 5) ir vienādojumu sistēmas risinājums, kā mēs iecerējām. Mēs pārbaudām un pārliecināmies, ka pāris (6; 5) apmierina sistēmu:

2. piemērs

Aizstāsim pirmo vienādojumu x= 2 + y otrajā vienādojumā 3 x− 2y= 9. Pirmajā vienādojumā mainīgais x vienāds ar izteiksmi 2 + y. Aizstāsim šo izteiksmi ar otro vienādojumu x

Tagad atradīsim vērtību x. Lai to izdarītu, aizstāsim vērtību y pirmajā vienādojumā x= 2 + y

Tas nozīmē, ka sistēmas risinājums ir pāra vērtība (5; 3)

3. piemērs. Izmantojot aizstāšanas metodi, atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu:

Šeit, atšķirībā no iepriekšējiem piemēriem, viens no mainīgajiem nav skaidri izteikts.

Lai aizstātu vienu vienādojumu ar citu, vispirms ir nepieciešams .

Ieteicams izteikt mainīgo, kura koeficients ir viens. Mainīgajam ir koeficients viens x, kas ir ietverts pirmajā vienādojumā x+ 2y= 11. Izteiksim šo mainīgo.

Pēc mainīgās izteiksmes x, mūsu sistēmai būs šāda forma:

Tagad aizstāsim pirmo vienādojumu ar otro un atradīsim vērtību y

Aizstāsim y x

Tas nozīmē, ka sistēmas risinājums ir vērtību pāris (3; 4)

Protams, var izteikt arī mainīgo y. Tas nemainīs saknes. Bet, ja jūs izteikt y, Rezultāts nav ļoti vienkāršs vienādojums, kura atrisināšana prasīs vairāk laika. Tas izskatīsies šādi:

Mēs redzam, ka šajā piemērā mēs izsakām x daudz ērtāk nekā izteikt y .

4. piemērs. Izmantojot aizstāšanas metodi, atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu:

Izteiksim pirmajā vienādojumā x. Pēc tam sistēma iegūs šādu formu:

y

Aizstāsim y pirmajā vienādojumā un atrodiet x. Varat izmantot sākotnējo vienādojumu 7 x+ 9y= 8, vai izmantojiet vienādojumu, kurā ir izteikts mainīgais x. Mēs izmantosim šo vienādojumu, jo tas ir ērti:

Tas nozīmē, ka sistēmas risinājums ir vērtību pāris (5; −3)

Papildināšanas metode

Saskaitīšanas metode sastāv no sistēmā iekļauto vienādojumu saskaitīšanas pēc termina. Šis papildinājums rada jaunu vienādojumu ar vienu mainīgo. Un šāda vienādojuma atrisināšana ir pavisam vienkārša.

Atrisināsim šādu vienādojumu sistēmu:

Saskaitīsim pirmā vienādojuma kreiso pusi ar otrā vienādojuma kreiso pusi. A labā puse pirmais vienādojums ar labā puse otrais vienādojums. Mēs iegūstam šādu vienādību:

Apskatīsim līdzīgus terminus:

Rezultātā mēs saņēmām vienkāršāko vienādojumu 3 x= 27, kuras sakne ir 9. Zinot vērtību x jūs varat atrast vērtību y. Aizstāsim vērtību x otrajā vienādojumā x−y= 3. Mēs iegūstam 9 − y= 3. No šejienes y= 6 .

Tas nozīmē, ka sistēmas risinājums ir vērtību pāris (9; 6)

2. piemērs

Saskaitīsim pirmā vienādojuma kreiso pusi ar otrā vienādojuma kreiso pusi. Un pirmā vienādojuma labā puse ar otrā vienādojuma labo pusi. Iegūtajā vienādībā mēs piedāvājam līdzīgus terminus:

Rezultātā mēs saņēmām vienkāršāko vienādojumu 5 x= 20, kuras sakne ir 4. Zinot vērtību x jūs varat atrast vērtību y. Aizstāsim vērtību x pirmajā vienādojumā 2 x+y= 11. Saņemsim 8+ y= 11. No šejienes y= 3 .

Tas nozīmē, ka sistēmas risinājums ir vērtību pāris (4;3)

Pievienošanas process nav detalizēti aprakstīts. Tas jādara garīgi. Saskaitot, abi vienādojumi jāsamazina līdz kanoniskajai formai. Tas ir, starp citu ac + by = c .

No aplūkotajiem piemēriem ir skaidrs, ka vienādojumu pievienošanas galvenais mērķis ir atbrīvoties no viena no mainīgajiem. Bet ne vienmēr vienādojumu sistēmu var uzreiz atrisināt, izmantojot saskaitīšanas metodi. Visbiežāk sistēma vispirms tiek nogādāta formā, kurā var pievienot šajā sistēmā iekļautos vienādojumus.

Piemēram, sistēma var atrisināt uzreiz, pievienojot. Saskaitot abus vienādojumus, termini y Un −y pazudīs, jo to summa ir nulle. Rezultātā veidojas vienkāršākais vienādojums 11 x= 22, kuras sakne ir 2. Tad varēs noteikt y vienāds ar 5.

Un vienādojumu sistēma Pievienošanas metodi nevar atrisināt uzreiz, jo tas neizraisīs viena no mainīgajiem pazušanu. Saskaitīšanas rezultātā tiks iegūts 8. vienādojums x+ y= 28, kam ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.

Ja abas vienādojuma puses tiek reizinātas vai dalītas ar vienu un to pašu skaitli, kas nav vienāds ar nulli, jūs iegūstat vienādojumu, kas ir līdzvērtīgs dotajam. Šis noteikums attiecas arī uz lineāru vienādojumu sistēmu ar diviem mainīgajiem. Vienu no vienādojumiem (vai abus vienādojumus) var reizināt ar jebkuru skaitli. Rezultāts būs līdzvērtīga sistēma, kuras saknes sakritīs ar iepriekšējo.

Atgriezīsimies pie pašas pirmās sistēmas, kurā bija aprakstīts, cik kūku un kafijas tasīšu nopircis skolēns. Šīs sistēmas risinājums bija vērtību pāris (6; 5).

Reizināsim abus šajā sistēmā iekļautos vienādojumus ar dažiem skaitļiem. Pieņemsim, ka mēs reizinām pirmo vienādojumu ar 2, bet otro ar 3

Rezultātā mēs saņēmām sistēmu
Šīs sistēmas risinājums joprojām ir vērtību pāris (6; 5)

Tas nozīmē, ka sistēmā iekļautos vienādojumus var reducēt līdz saskaitīšanas metodes piemērošanai piemērotai formai.

Atgriezīsimies pie sistēmas , ko nevarējām atrisināt, izmantojot pievienošanas metodi.

Reiziniet pirmo vienādojumu ar 6, bet otro ar -2

Tad mēs iegūstam šādu sistēmu:

Saskaitīsim šajā sistēmā iekļautos vienādojumus. Komponentu pievienošana 12 x un −12 x rezultāts būs 0, pievienojums 18 y un 4 y dos 22 y, un saskaitot 108 un −20, iegūstam 88. Tad iegūstam vienādojumu 22 y= 88, no šejienes y = 4 .

Ja sākumā ir grūti pievienot vienādojumus galvā, tad varat pierakstīt, kā tas tiek summēts kreisā puse pirmā vienādojuma labā puse ar otrā vienādojuma kreiso pusi un pirmā vienādojuma labā puse ar otrā vienādojuma labo pusi:

Zinot, ka mainīgā lieluma vērtība y vienāds ar 4, jūs varat atrast vērtību x. Aizstāsim y vienā no vienādojumiem, piemēram, pirmajā vienādojumā 2 x+ 3y= 18. Tad mēs iegūstam vienādojumu ar vienu mainīgo 2 x+ 12 = 18. Pārvietosim 12 uz labo pusi, mainot zīmi, iegūstam 2 x= 6, no šejienes x = 3 .

4. piemērs. Izmantojot saskaitīšanas metodi, atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu:

Sareizināsim otro vienādojumu ar −1. Pēc tam sistēma iegūs šādu formu:

Saskaitīsim abus vienādojumus. Komponentu pievienošana x Un −x rezultāts būs 0, pievienojums 5 y un 3 y dos 8 y, un, saskaitot 7 un 1, iegūst 8. Rezultāts ir 8. vienādojums y= 8, kuras sakne ir 1. Zinot, ka vērtība y vienāds ar 1, jūs varat atrast vērtību x .

Aizstāsim y pirmajā vienādojumā, mēs iegūstam x+ 5 = 7, tātad x= 2

5. piemērs. Izmantojot saskaitīšanas metodi, atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu:

Vēlams, lai termini, kas satur vienus un tos pašus mainīgos, atrastos viens zem otra. Tāpēc otrajā vienādojumā termini 5 y un −2 x Apmainīsimies vietām. Rezultātā sistēmai būs šāda forma:

Sareizināsim otro vienādojumu ar 3. Tad sistēma iegūs šādu formu:

Tagad pievienosim abus vienādojumus. Saskaitīšanas rezultātā iegūstam 8. vienādojumu y= 16, kura sakne ir 2.

Aizstāsim y Pirmajā vienādojumā mēs iegūstam 6 x− 14 = 40. Pārvietosim terminu −14 uz labo pusi, mainot zīmi, un iegūstam 6 x= 54 . No šejienes x= 9.

6. piemērs. Izmantojot saskaitīšanas metodi, atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu:

Atbrīvosimies no frakcijām. Reiziniet pirmo vienādojumu ar 36, bet otro ar 12

Iegūtajā sistēmā pirmo vienādojumu var reizināt ar -5, bet otro - ar 8

Saskaitīsim vienādojumus iegūtajā sistēmā. Tad iegūstam vienkāršāko vienādojumu −13 y= –156 . No šejienes y= 12. Aizstāsim y pirmajā vienādojumā un atrodiet x

7. piemērs. Izmantojot saskaitīšanas metodi, atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu:

Pārveidosim abus vienādojumus normālā formā. Šeit ir ērti piemērot proporcijas likumu abos vienādojumos. Ja pirmajā vienādojumā labā puse ir attēlota kā , bet otrā vienādojuma labā puse kā , tad sistēmai būs šāda forma:

Mums ir proporcija. Sareizināsim tā galējo un vidējo terminu. Pēc tam sistēma iegūs šādu formu:

Reizināsim pirmo vienādojumu ar –3 un atveram iekavas otrajā:

Tagad pievienosim abus vienādojumus. Šo vienādojumu pievienošanas rezultātā mēs iegūstam vienādību ar nulli abās pusēs:

Izrādās, ka sistēmai ir neskaitāmi risinājumi.

Bet mēs nevaram vienkārši paņemt no debesīm patvaļīgas vērtības x Un y. Mēs varam norādīt vienu no vērtībām, bet otra tiks noteikta atkarībā no mūsu norādītās vērtības. Piemēram, ļaujiet x= 2. Aizstāsim šo vērtību sistēmā:

Viena no vienādojumiem atrisināšanas rezultātā vērtība for y, kas apmierinās abus vienādojumus:

Iegūtais vērtību pāris (2; −2) apmierinās sistēmu:

Atradīsim citu vērtību pāri. Ļaujiet x= 4. Aizstāsim šo vērtību sistēmā:

Pēc acs var pateikt, ka vērtība y vienāds ar nulli. Tad mēs iegūstam vērtību pāri (4; 0), kas apmierina mūsu sistēmu:

8. piemērs. Izmantojot saskaitīšanas metodi, atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu:

Reiziniet pirmo vienādojumu ar 6 un otro ar 12

Pārrakstīsim to, kas palicis pāri:

Reizināsim pirmo vienādojumu ar −1. Pēc tam sistēma iegūs šādu formu:

Tagad pievienosim abus vienādojumus. Saskaitīšanas rezultātā veidojas 6. vienādojums b= 48, kura sakne ir 8. Aizstāt b pirmajā vienādojumā un atrodiet a

Lineāru vienādojumu sistēma ar trim mainīgajiem

Lineārais vienādojums ar trim mainīgajiem ietver trīs mainīgos lielumus ar koeficientiem, kā arī pārtveršanas terminu. Kanoniskā formā to var uzrakstīt šādi:

ax + by + cz = d

Šim vienādojumam ir neskaitāmi risinājumi. Dodot divus mainīgos dažādas nozīmes, var atrast trešo vērtību. Risinājums šajā gadījumā ir trīskāršs vērtību ( x; y; z), kas pārvērš vienādojumu par identitāti.

Ja mainīgie x, y, z ir savstarpēji savienoti ar trim vienādojumiem, tad veidojas trīs lineāru vienādojumu sistēma ar trim mainīgajiem. Lai atrisinātu šādu sistēmu, varat izmantot tās pašas metodes, kas attiecas uz lineāriem vienādojumiem ar diviem mainīgajiem: aizstāšanas metodi un saskaitīšanas metodi.

1. piemērs. Izmantojot aizstāšanas metodi, atrisiniet šādu vienādojumu sistēmu:

Izteiksim trešajā vienādojumā x. Pēc tam sistēma iegūs šādu formu:

Tagad veiksim aizstāšanu. Mainīgs x ir vienāds ar izteiksmi 3 − 2y − 2z . Aizstāsim šo izteiksmi pirmajā un otrajā vienādojumā:

Atvērsim iekavas abos vienādojumos un parādīsim līdzīgus terminus:

Mēs esam nonākuši pie lineāru vienādojumu sistēmas ar diviem mainīgajiem. Šajā gadījumā ir ērti izmantot pievienošanas metodi. Rezultātā mainīgais y pazudīs, un mēs varam atrast mainīgā vērtību z

Tagad atradīsim vērtību y. Lai to izdarītu, ir ērti izmantot vienādojumu − y+ z= 4. Aizstājiet tajā vērtību z

Tagad atradīsim vērtību x. Lai to izdarītu, ir ērti izmantot vienādojumu x= 3 − 2y − 2z . Aizstāsim tajā vērtības y Un z

Tādējādi vērtību trīskāršs (3; -2; 2) ir mūsu sistēmas risinājums. Pārbaudot, mēs pārliecināmies, ka šīs vērtības atbilst sistēmai:

2. piemērs. Atrisiniet sistēmu, izmantojot pievienošanas metodi

Saskaitīsim pirmo vienādojumu ar otro, reizinot ar –2.

Ja otro vienādojumu reizina ar –2, tas iegūst formu −6x+ 6y − 4z = −4 . Tagad pievienosim to pirmajam vienādojumam:

Redzam, ka elementāru transformāciju rezultātā tika noteikta mainīgā vērtība x. Tas ir vienāds ar vienu.

Atgriezīsimies pie galvenās sistēmas. Saskaitīsim otro vienādojumu ar trešo, kas reizināts ar −1. Ja trešo vienādojumu reizina ar –1, tas iegūst formu −4x + 5y − 2z = −1 . Tagad pievienosim to otrajam vienādojumam:

Mēs saņēmām vienādojumu x− 2y= –1. Aizstāsim tajā vērtību x ko atradām iepriekš. Tad mēs varam noteikt vērtību y

Tagad mēs zinām nozīmes x Un y. Tas ļauj noteikt vērtību z. Izmantosim vienu no sistēmā iekļautajiem vienādojumiem:

Tādējādi vērtību trīskāršs (1; 1; 1) ir mūsu sistēmas risinājums. Pārbaudot, mēs pārliecināmies, ka šīs vērtības atbilst sistēmai:

Lineāro vienādojumu sistēmu sastādīšanas uzdevumi

Vienādojumu sistēmu sastādīšanas uzdevums tiek atrisināts, ievadot vairākus mainīgos. Tālāk tiek apkopoti vienādojumi, pamatojoties uz uzdevuma nosacījumiem. No sastādītajiem vienādojumiem tie veido sistēmu un atrisina to. Pēc sistēmas atrisināšanas ir jāpārbauda, ​​vai tās risinājums atbilst problēmas nosacījumiem.

1. problēma. No pilsētas uz kolhozu izbrauca automašīna Volga. Viņa atgriezās atpakaļ pa citu ceļu, kas bija par 5 km īsāks nekā pirmais. Kopumā automašīna nobrauca 35 km turp un atpakaļ. Cik kilometru ir katra ceļa garums?

Risinājums

Ļaujiet x- pirmā ceļa garums, y- otrā garums. Ja automašīna nobrauca 35 km turp un atpakaļ, tad pirmo vienādojumu var uzrakstīt kā x+ y= 35. Šis vienādojums apraksta abu ceļu garumu summu.

Stāsta, ka mašīna atgriezusies pa ceļu, kas bijis par 5 km īsāks nekā pirmais. Tad otro vienādojumu var uzrakstīt kā x− y= 5. Šis vienādojums parāda, ka starpība starp ceļa garumiem ir 5 km.

Vai arī otro vienādojumu var uzrakstīt kā x= y+5. Mēs izmantosim šo vienādojumu.

Tā kā mainīgie x Un y abos vienādojumos apzīmē vienu un to pašu skaitli, tad no tiem varam izveidot sistēmu:

Atrisināsim šo sistēmu, izmantojot dažas no iepriekš pētītajām metodēm. Šajā gadījumā ir ērti izmantot aizstāšanas metodi, jo otrajā vienādojumā mainīgais x jau izteikts.

Aizstājiet otro vienādojumu ar pirmo un atrodiet y

Aizstāsim atrasto vērtību y otrajā vienādojumā x= y+ 5 un mēs atradīsim x

Pirmā ceļa garums tika norādīts ar mainīgo x. Tagad mēs esam atraduši tā nozīmi. Mainīgs x ir vienāds ar 20. Tas nozīmē, ka pirmā ceļa garums ir 20 km.

Un otrā ceļa garumu norādīja ar y. Šī mainīgā vērtība ir 15. Tas nozīmē, ka otrā ceļa garums ir 15 km.

Pārbaudīsim. Vispirms pārliecināsimies, vai sistēma ir pareizi atrisināta:

Tagad pārbaudīsim, vai risinājums (20; 15) atbilst problēmas nosacījumiem.

Tika teikts, ka automašīna turp un atpakaļ nobrauca 35 km. Saskaitām abu ceļu garumus un pārliecināmies, ka risinājums (20; 15) apmierina šis nosacījums: 20 km + 15 km = 35 km

Šāds nosacījums: automašīna atgriezās atpakaļ pa citu ceļu, kas bija 5 km īsāks nekā pirmais . Mēs redzam, ka risinājums (20; 15) arī atbilst šim nosacījumam, jo ​​15 km ir īsāks par 20 km reiz 5 km: 20 km - 15 km = 5 km

Veidojot sistēmu, ir svarīgi, lai mainīgie attēlotu vienādus skaitļus visos vienādojumos, kas iekļauti šajā sistēmā.

Tātad mūsu sistēmā ir divi vienādojumi. Šie vienādojumi savukārt satur mainīgos x Un y, kas attēlo vienus un tos pašus skaitļus abos vienādojumos, proti, ceļa garumu 20 km un 15 km.

2. problēma. Uz platformas tika uzkrauti ozola un priedes gulšņi, kopā 300 gulšņi. Zināms, ka visi ozolkoka gulšņi svēra par 1 tonnu mazāk nekā visi priedes gulšņi. Nosakiet, cik ozolkoka un priedes gulšņu bija atsevišķi, ja katrs ozols svēra 46 kg, bet katrs priedes gulšnis 28 kg.

Risinājums

Ļaujiet x ozols un y uz platformas tika uzkrauti priežu gulšņi. Ja kopā bija 300 gulšņu, tad pirmo vienādojumu var uzrakstīt kā x+y = 300 .

Visi ozolkoka gulšņi svēra 46 x kg, un priedes svēra 28 y Kilograms. Tā kā ozola gulšņi svēra par 1 tonnu mazāk nekā priedes gulšņi, otro vienādojumu var uzrakstīt kā 28y − 46x= 1000 . Šis vienādojums parāda, ka ozola un priedes gulšņu masas atšķirība ir 1000 kg.

Tonnas tika pārrēķinātas kilogramos, jo ozola un priedes gulšņu masa tika mērīta kilogramos.

Rezultātā mēs iegūstam divus vienādojumus, kas veido sistēmu

Atrisināsim šo sistēmu. Izteiksim pirmajā vienādojumā x. Pēc tam sistēma iegūs šādu formu:

Aizstājiet pirmo vienādojumu ar otro un atrodiet y

Aizstāsim y vienādojumā x= 300 − y un uzzini, kas tas ir x

Tas nozīmē, ka uz platformas tika uzkrauti 100 ozolkoka un 200 priedes gulšņi.

Pārbaudīsim, vai risinājums (100; 200) atbilst uzdevuma nosacījumiem. Vispirms pārliecināsimies, vai sistēma ir pareizi atrisināta:

Runāja, ka kopā esot 300 gulšņu. Saskaitām ozola un priedes gulšņu skaitu un pārliecināmies, ka risinājums (100; 200) atbilst šim nosacījumam: 100 + 200 = 300.

Šāds nosacījums: visi ozolkoka gulšņi svēra par 1 tonnu mazāk nekā visi priedes gulšņi . Redzam, ka risinājums (100; 200) arī atbilst šim nosacījumam, jo ​​46 × 100 kg ozolkoka gulšņi ir vieglāki par 28 × 200 kg priedes gulšņiem: 5600 kg – 4600 kg = 1000 kg.

3. problēma. Mēs paņēmām trīs vara-niķeļa sakausējuma gabalus proporcijās 2: 1, 3: 1 un 5: 1 pēc svara. No tiem tika sakausēts gabals, kas sver 12 kg, ar vara un niķeļa satura attiecību 4: 1. Atrodiet katra oriģinālā gabala masu, ja pirmā masa ir dubultota vairāk masas otrais.