Galvenās dinamiskās īpašības rotācijas kustība- impulsa moments attiecībā pret griešanās asi z:

un kinētiskā enerģija

Kopumā enerģiju rotācijas laikā ar leņķisko ātrumu nosaka pēc formulas:

, kur ir inerces tenzors.

Termodinamikā

Ar tieši tādu pašu argumentāciju kā translācijas kustības gadījumā, līdzsvarošana nozīmē, ka termiskā līdzsvarā vidējais rotācijas enerģija katra monatomiskās gāzes daļiņa: (3/2) k B T. Līdzīgi, ekvipartīcijas teorēma ļauj mums aprēķināt molekulu vidējo kvadrātisko leņķisko ātrumu.

Skatīt arī

Wikimedia fonds. 2010. gads.

Skatiet, kas ir “rotācijas kustības enerģija” citās vārdnīcās:

Šim terminam ir citas nozīmes, skatiet Enerģija (nozīmes). Enerģija, Dimensija... Vikipēdija

KUSTĪBAS- KUSTĪBAS. Saturs: Ģeometrija D.................452 Kinemātika D.................456 Dinamika D. . ..................461 Motoru mehānismi................465 Cilvēka kustību izpētes metodes......471 Cilvēka D patoloģija............. 474… Lielā medicīnas enciklopēdija

Kinētiskā enerģija ir mehāniskās sistēmas enerģija, kas ir atkarīga no tās punktu kustības ātruma. Bieži tiek atbrīvota translācijas un rotācijas kustības kinētiskā enerģija. Stingrāk sakot, kinētiskā enerģija ir atšķirība starp kopējo... ... Wikipedia

α peptīda termiskā kustība. Atomu, kas veido peptīdu, sarežģītā trīcošā kustība ir nejauša, un atsevišķa atoma enerģija svārstās plaši, bet, izmantojot līdzsvara likumu, tā tiek aprēķināta kā katra ... ... Wikipedia

α peptīda termiskā kustība. Atomu, kas veido peptīdu, sarežģītā trīcošā kustība ir nejauša, un atsevišķa atoma enerģija svārstās plaši, bet, izmantojot līdzsvara likumu, tā tiek aprēķināta kā katra ... ... Wikipedia

- (franču marées, vācu Gezeiten, angļu plūdmaiņas) periodiskas ūdens līmeņa svārstības Mēness un Saules piesaistes dēļ. Galvenā informācija. P. visvairāk pamanāms gar okeānu krastiem. Uzreiz pēc bēguma sākas okeāna līmenis...... Enciklopēdiskā vārdnīca F.A. Brokhauss un I.A. Efrons

Refrižeratorkuģa Ivory Tirupati sākotnējā stabilitāte ir negatīva Stabilitātes spēja ... Wikipedia

Refrižeratorkuģa Ivory Tirupati sākotnējā stabilitāte ir negatīva Stabilitāte ir peldoša kuģa spēja izturēt ārējos spēkus, kas liek tam ripot vai apgriezties un atgriezties līdzsvara stāvoklī pēc traucējuma beigām... ... Wikipedia

Kinētiskā enerģija ir aditīvs lielums. Tāpēc patvaļīgi kustīga ķermeņa kinētiskā enerģija ir vienāda ar visu n materiālo punktu kinētisko enerģiju summu, kuros šo ķermeni var mentāli sadalīt:

Ja ķermenis griežas ap stacionāru asi z ar leņķisko ātrumu, tad lineārais ātrums i-tais punkts , Ri – attālums līdz griešanās asij. Tāpēc

Salīdzinājumam mēs varam redzēt, ka ķermeņa I inerces moments ir inerces mērs rotācijas kustības laikā, tāpat kā masa m ir inerces mērs translācijas kustības laikā.

Vispārīgā gadījumā stingra ķermeņa kustību var attēlot kā divu kustību summu - translācijas ar ātrumu vc un rotācijas ar leņķisko ātrumu ω ap momentāno asi, kas iet caur inerces centru. Tad šī ķermeņa kopējā kinētiskā enerģija

Šeit Ic ir inerces moments ap momentāno rotācijas asi, kas iet caur inerces centru.

Rotācijas kustības dinamikas pamatlikums.

Rotācijas kustības dinamika

Rotācijas kustības dinamikas pamatlikums:

vai M=Jē, kur M ir spēka moments M = [ r F ] , J - inerces moments ir ķermeņa impulsa moments.

ja M(ārējais)=0 ​​- leņķiskā impulsa saglabāšanas likums. - rotējoša ķermeņa kinētiskā enerģija.

strādāt rotācijas kustībā.

Leņķiskā impulsa saglabāšanas likums.

Materiāla punkta A leņķiskais impulss (kustības impulss) attiecībā pret fiksētu punktu O ir fiziskais lielums, ko nosaka vektora reizinājums:

kur r ir rādiusa vektors, kas novilkts no punkta O uz punktu A, p=mv ir materiālā punkta impulss (1. att.); L ir pseidovektors, kura virziens sakrīt ar labā propellera translācijas kustības virzienu, kad tas griežas no r uz r.

Leņķiskā impulsa vektora modulis

kur α ir leņķis starp vektoriem r un p, l ir vektora p plecs attiecībā pret punktu O.

Leņķiskais impulss attiecībā pret fiksētu asi z ir skalārais lielums Lz, kas vienāds ar leņķiskā momenta vektora projekciju uz šo asi, kas noteikts attiecībā pret šīs ass patvaļīgu punktu O. Leņķiskais impulss Lz nav atkarīgs no punkta O stāvokļa uz z ass.

Kad absolūti stingrs ķermenis griežas ap fiksētu asi z, katrs ķermeņa punkts pārvietojas pa apli ar nemainīgu rādiusu ri ar ātrumu vi. Ātrums vi un impulss mivi ir perpendikulāri šim rādiusam, t.i., rādiuss ir vektora mivi plecs. Tas nozīmē, ka mēs varam rakstīt, ka atsevišķas daļiņas leņķiskais impulss ir vienāds ar

un ir vērsta pa asi virzienā, ko nosaka labās skrūves noteikums.

Cieta ķermeņa impulss attiecībā pret asi ir atsevišķu daļiņu leņķiskā impulsa summa:

Izmantojot formulu vi = ωri, mēs iegūstam

Tādējādi stingra ķermeņa leņķiskais impulss attiecībā pret asi ir vienāds ar ķermeņa inerces momentu attiecībā pret to pašu asi, kas reizināts ar leņķisko ātrumu. Atšķirsim vienādojumu (2) attiecībā pret laiku:

Šī formula ir cita vienādojuma forma stingra ķermeņa rotācijas kustības dinamikai attiecībā pret fiksētu asi: stingra ķermeņa leņķiskā impulsa atvasinājums attiecībā pret asi ir vienāds ar spēka momentu attiecībā pret to pašu ass.

Var parādīt, ka pastāv vektoru vienādība

Slēgtā sistēmā ārējo spēku moments M = 0 un no kurienes

Izteiksme (4) atspoguļo leņķiskā impulsa saglabāšanas likumu: slēgtas sistēmas leņķiskais impulss tiek saglabāts, tas ir, tas laika gaitā nemainās.

Leņķiskā impulsa saglabāšanas likums, kā arī enerģijas nezūdamības likums ir dabas pamatlikums. Tas ir saistīts ar telpas simetrijas īpašību - tās izotropiju, t.i., ar fizikālo likumu nemainīgumu attiecībā uz atskaites sistēmas koordinātu asu virziena izvēli (attiecībā pret slēgtas sistēmas griešanos telpā jebkurā laikā leņķis).

Šeit mēs demonstrēsim leņķiskā impulsa saglabāšanas likumu, izmantojot Žukovska soliņu. Cilvēku, kurš sēž uz sola, kas rotē ap vertikālo asi un izstieptās rokās tur hanteles (2. att.), griež ārējs mehānisms ar leņķisko ātrumu ω1. Ja cilvēks piespiež hanteles savam ķermenim, sistēmas inerces moments samazināsies. Bet ārējo spēku moments ir nulle, sistēmas leņķiskais impulss saglabājas un griešanās leņķiskais ātrums ω2 palielinās. Līdzīgi, lecot virs galvas, vingrotājs piespiež rokas un kājas pie ķermeņa, lai samazinātu inerces momentu un tādējādi palielinātu griešanās leņķisko ātrumu.

Spiediens šķidrumā un gāzē.

Gāzes molekulas, veicot haotisku, haotisku kustību, nav savienotas vai ir diezgan vāji saistītas ar mijiedarbības spēkiem, tāpēc tās pārvietojas gandrīz brīvi un sadursmju rezultātā izkliedējas visos virzienos, vienlaikus aizpildot visu tām paredzēto tilpumu. , t.i., gāzes tilpumu nosaka tilpuma tvertne, ko aizņem gāze.

Un šķidrums, kam ir noteikts tilpums, iegūst tā trauka formu, kurā tas ir ievietots. Bet atšķirībā no gāzēm šķidrumos, vidējais attālums starp molekulām vidēji paliek nemainīgs, tāpēc šķidruma tilpums ir praktiski nemainīgs.

Šķidrumu un gāzu īpašības daudzējādā ziņā ir ļoti atšķirīgas, taču vairākās mehāniskās parādībās to īpašības nosaka vieni un tie paši parametri un identiski vienādojumi. Šī iemesla dēļ hidroaeromehānika ir mehānikas nozare, kas pēta gāzu un šķidrumu līdzsvaru un kustību, mijiedarbību starp tiem un starp tiem apkārt plūstošajiem cietajiem ķermeņiem, t.i. tiek piemērota vienota pieeja šķidrumu un gāzu izpētē.

Mehānikā šķidrumus un gāzes ar augstu precizitātes pakāpi uzskata par cietām vielām, kas ir nepārtraukti sadalītas tajā telpas daļā, kuru tie aizņem. Gāzēm blīvums lielā mērā ir atkarīgs no spiediena. Tas ir noteikts no pieredzes. ka šķidruma un gāzes saspiežamību bieži var atstāt novārtā un ieteicams lietot vienu jēdzienu - šķidruma nesaspiežamība - visur šķidrums ar vienādu blīvumu, kas laika gaitā nemainās.

Novietosim plānu plāksni miera stāvoklī, kā rezultātā šķidruma daļas, kas atrodas dažādās plāksnes malās, iedarbosies uz katru tās elementu ΔS ar spēkiem ΔF, kas būs vienādi pēc lieluma un vērsti perpendikulāri platformai ΔS, neatkarīgi no platformas orientācijas, pretējā gadījumā tangenciālu spēku klātbūtne iedarbinātu šķidruma daļiņas (1. att.)

Fizikālo lielumu, ko nosaka normālais spēks, kas iedarbojas uz šķidruma (vai gāzes) daļu laukuma vienībā, sauc par šķidruma (vai gāzes) spiedienu p/: p=ΔF/ΔS.

Spiediena mērvienība - paskals (Pa): 1 Pa vienāds ar spiedienu, ko rada 1 N spēks, kas ir vienmērīgi sadalīts pa virsmu, kas ir normāla tai ar laukumu 1 m2 (1 Pa = 1 N/m2).

Spiediens šķidrumu (gāzu) līdzsvarā pakļaujas Paskāla likumam: spiediens jebkurā šķidruma vietā, kas atrodas miera stāvoklī, ir vienāds visos virzienos, un spiediens tiek vienādi pārraidīts visā tilpumā, ko aizņem šķidrums miera stāvoklī.

Izpētīsim šķidruma svara ietekmi uz spiediena sadalījumu stacionāra nesaspiežamā šķidruma iekšienē. Kad šķidrums ir līdzsvarā, spiediens jebkurā horizontālajā līnijā vienmēr ir vienāds, pretējā gadījumā līdzsvara nebūtu. Tas nozīmē, ka šķidruma brīvā virsma miera stāvoklī vienmēr ir horizontāla (mēs neņemam vērā šķidruma piesaisti pie trauka sienām). Ja šķidrums ir nesaspiežams, tad šķidruma blīvums nav atkarīgs no spiediena. Tad ar šķidruma kolonnas šķērsgriezumu S, tās augstumu h un blīvumu ρ, svars P=ρgSh, savukārt spiediens uz apakšējo pamatni: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

tas ir, spiediens mainās lineāri atkarībā no augstuma. Spiedienu ρgh sauc par hidrostatisko spiedienu.

Saskaņā ar formulu (1) spiediena spēks uz šķidruma apakšējiem slāņiem būs lielāks nekā uz augšējiem slāņiem, tāpēc uz šķidrumā iegremdētu ķermeni iedarbojas spēks, ko nosaka Arhimēda likums: ķermenis, kas iegremdēts uz šķidrumu (gāzi) iedarbojas no šā šķidruma puses virzīts spēks uz augšu, peldošais spēks, kas vienāds ar ķermeņa izspiestā šķidruma (gāzes) svaru: FA = ρgV, kur ρ ir šķidruma blīvums, V ir šķidrumā iegremdētā ķermeņa tilpums.

Rotācijas kinētiskā enerģija

Lekcija 3. Stingrā ķermeņa dinamika

Lekcijas konspekts

3.1. Spēka mirklis.

3.2. Rotācijas kustības pamatvienādojumi. Inerces moments.

3.3. Rotācijas kinētiskā enerģija.

3.4. Impulsa moments. Leņķiskā impulsa saglabāšanas likums.

3.5. Analoģija starp translācijas un rotācijas kustību.

Spēka mirklis

Apskatīsim stingra ķermeņa kustību ap fiksētu asi. Ļaujiet ciets ir fiksēta griešanās ass OO ( 3.1.att) un tam tiek piemērots patvaļīgs spēks.

Rīsi. 3.1

Sadalīsim spēku divās spēka komponentēs, spēks atrodas griešanās plaknē, un spēks ir paralēls rotācijas asij. Tad spēku sadalīsim divās sastāvdaļās: – iedarbojoties pa rādiusa vektoru un – perpendikulāri tam.

Ne katrs spēks, kas pielikts ķermenim, to pagriezīs. Spēki rada spiedienu uz gultņiem, bet negriež tos.

Spēks var vai nevar izsist ķermeni no līdzsvara, atkarībā no tā, kurā rādiusa vektorā tas tiek pielietots. Tāpēc tiek ieviests spēka momenta jēdziens ap asi. Spēka mirklis attiecībā pret griešanās asi sauc par rādiusa vektora un spēka vektorreizinājumu.

Vektors ir vērsts pa rotācijas asi, un to nosaka šķērsprodukta noteikums vai labās skrūves noteikums vai karkasa noteikums.

Spēka momenta modulis

kur α ir leņķis starp vektoriem un .

No 3.1.att. tas ir skaidrs .

r 0– īsāko attālumu no griešanās ass līdz spēka darbības līnijai sauc par spēka plecu. Tad var uzrakstīt spēka momentu

M = F r 0 . (3.3)

No att. 3.1.

Kur F– vektora projekcija virzienā, kas ir perpendikulārs rādiusa vektoram. Šajā gadījumā spēka moments ir vienāds ar

. (3.4)

Ja uz ķermeni iedarbojas vairāki spēki, tad iegūtais spēka moments ir vienāds ar atsevišķu spēku momentu vektoru summu, bet tā kā visi momenti ir vērsti pa asi, tos var aizstāt algebriskā summa. Moments tiks uzskatīts par pozitīvu, ja tas griež ķermeni pulksteņrādītāja virzienā, un par negatīvu, ja tas griežas pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Ja visi spēku momenti () ir vienādi ar nulli, ķermenis būs līdzsvarā.

Griezes momenta jēdzienu var demonstrēt, izmantojot "kaprīzu spoli". Vītnes spoli velk aiz vītnes brīvā gala ( rīsi. 3.2).

Rīsi. 3.2

Atkarībā no vītnes spriegojuma virziena, spole ripinās vienā vai otrā virzienā. Ja velk leņķī α , tad spēka moments ap asi PAR(perpendikulāri attēlam) pagriež spoli pretēji pulksteņrādītāja virzienam, un tā ripinās atpakaļ. Spriegojuma gadījumā leņķī β griezes moments tiek virzīts pretēji pulksteņrādītāja virzienam, un spole ripo uz priekšu.

Izmantojot līdzsvara nosacījumu (), iespējams konstruēt vienkāršus mehānismus, kas ir spēka “transformatori”, t.i. Pieliekot mazāku spēku, jūs varat pacelt un pārvietot dažāda svara kravas. Uz šī principa ir balstītas sviras, ķerras, dažāda veida bloki, kas tiek plaši izmantoti būvniecībā. Līdzsvara stāvokļa uzturēšanai celtniecības celtņos, lai kompensētu kravas svara radīto spēka momentu, vienmēr ir pretsvaru sistēma, kas rada pretējas zīmes spēka momentu.

3.2. Rotācijas pamatvienādojums
kustības. Inerces moments

Apsveriet absolūti stingru ķermeni, kas rotē ap fiksētu asi OO(3.3.att). Garīgi sadalīsim šo ķermeni elementos ar masām Δ m 1, Δ m 2, …, Δ m n. Pagriežot, šie elementi aprakstīs apļus ar rādiusiem r 1,r 2 , …,r n. Spēki attiecīgi iedarbojas uz katru elementu F 1,F 2 , …,Fn. Ķermeņa rotācija ap asi OO notiek pilna griezes momenta ietekmē M.

M = M 1 + M 2 + … + M n (3.4)

Kur M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n

Saskaņā ar Ņūtona II likumu katrs spēks F, iedarbojoties uz elementu ar masu D m, izraisa šī elementa paātrinājumu a, t.i.

F i = D m i a i (3.5)

Aizvietojot atbilstošās vērtības ar (3.4), mēs iegūstam

Rīsi. 3.3

Zinot saistību starp lineāro leņķisko paātrinājumu ε () un ka leņķiskais paātrinājums visiem elementiem ir vienāds, formulai (3.6.) būs forma

M = (3.7)

=es (3.8)

es– ķermeņa inerces moments attiecībā pret fiksēto asi.

Tad mēs saņemsim

M = I ε (3.9)

Vai vektora formā

(3.10)

Šis vienādojums ir rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojums. Pēc formas tas ir līdzīgs Ņūtona likuma II vienādojumam. No (3.10) inerces moments ir vienāds ar

Tādējādi dotā ķermeņa inerces moments ir spēka momenta attiecība pret tā izraisīto leņķisko paātrinājumu. No (3.11) ir skaidrs, ka inerces moments ir ķermeņa inerces mērs attiecībā uz rotācijas kustību. Inerces momentam ir tāda pati loma kā masai translācijas kustībā. SI vienība [ es] = kg m 2. No formulas (3.7) izriet, ka inerces moments raksturo ķermeņa daļiņu masu sadalījumu attiecībā pret griešanās asi.

Tātad elementa ar masas ∆m inerces moments, kas pārvietojas pa apli ar rādiusu r, ir vienāds ar

I = r 2 D m (3.12)

es = (3.13)

Nepārtraukta masas sadalījuma gadījumā summu var aizstāt ar integrāli

I= ∫ r 2 dm (3.14)

kur integrācija tiek veikta pa visu ķermeņa masu.

Tas parāda, ka ķermeņa inerces moments ir atkarīgs no masas un tās sadalījuma attiecībā pret griešanās asi. To var pierādīt eksperimentāli ( Att.3.4).

Rīsi. 3.4

Divi apaļi cilindri, viens dobs (piemēram, metāla), otrs ciets (koka) ar vienādiem garumiem, rādiusiem un masām sāk ripot vienlaicīgi. Dobs cilindrs, kuram ir liels inerces moments, atpaliks no cietā.

Inerces momentu var aprēķināt, ja masa ir zināma m un tā sadalījums attiecībā pret rotācijas asi. Vienkāršākais gadījums ir gredzens, kad visi masas elementi atrodas vienādi no rotācijas ass ( rīsi. 3.5):

es = (3.15)

Rīsi. 3.5

Iesniegsim izteiksmes dažādu simetrisku masas ķermeņu inerces momentiem m.

1. Inerces moments gredzeni, dobs plānsienu cilindrs attiecībā pret rotācijas asi, kas sakrīt ar simetrijas asi.

, (3.16)

r– gredzena vai cilindra rādiuss

2. Cietam cilindram un diskam inerces moments ap simetrijas asi

(3.17)

3. Lodes inerces moments ap asi, kas iet caur centru

(3.18)

r– bumbiņas rādiuss

4. Tieva stieņa ar garu garumu inerces moments l attiecībā pret asi, kas ir perpendikulāra stienim un iet caur tā vidu

(3.19)

l– stieņa garums.

Ja rotācijas ass neiet cauri masas centram, tad ķermeņa inerces momentu attiecībā pret šo asi nosaka Šteinera teorēma.

(3.20)

Saskaņā ar šo teorēmu inerces moments ap patvaļīgu asi O’O’ ( ) ir vienāds ar inerces momentu ap paralēlu asi, kas iet caur ķermeņa masas centru ( ) plus ķermeņa masas reizinājums ar attāluma kvadrātu A starp asīm ( rīsi. 3.6).

Rīsi. 3.6

Rotācijas kinētiskā enerģija

Apskatīsim absolūti stingra ķermeņa griešanos ap fiksētu asi OO ar leņķisko ātrumu ω (rīsi. 3.7). Sadalīsim cieto ķermeni n elementārās masas ∆ m i. Katrs masas elements griežas pa rādiusa apli r i ar lineāro ātrumu (). Kinētiskā enerģija sastāv no atsevišķu elementu kinētiskajām enerģijām.

(3.21)

Rīsi. 3.7

Atcerēsimies no (3.13.) to – inerces moments attiecībā pret OO asi.

Tādējādi rotējoša ķermeņa kinētiskā enerģija

E k = (3.22)

Mēs apsvērām rotācijas kinētisko enerģiju ap fiksētu asi. Ja ķermenis ir iesaistīts divās kustībās: translācijas un rotācijas kustībā, tad ķermeņa kinētiskā enerģija sastāv no translācijas kustības kinētiskās enerģijas un rotācijas kinētiskās enerģijas.

Piemēram, masas bumba m ruļļi; lodes masas centrs pārvietojas translatīvi ar ātrumu u (rīsi. 3.8).

Rīsi. 3.8

Bumbiņas kopējā kinētiskā enerģija būs vienāda ar

(3.23)

3.4. Impulsa moments. Saglabāšanas likums
leņķiskais impulss

Fiziskais daudzums vienāds ar inerces momenta reizinājumu es uz leņķisko ātrumu ω , sauc par leņķisko impulsu (leņķisko impulsu) L attiecībā pret rotācijas asi.

– leņķiskais impulss ir vektora lielums un tā virziens sakrīt ar leņķiskā ātruma virzienu.

Iegūstam diferencējot vienādojumu (3.24) attiecībā pret laiku

kur, M– ārējo spēku kopējais moments. Izolētā sistēmā nav ārējo spēku griezes momenta ( M=0) un

1. Apsveriet ķermeņa rotāciju apkārt nekustīgs ass Z. Sadalīsim visu ķermeni elementārmasu kopā m i. Lineārais ātrums elementārā masa m i– v i = w R i, kur R i– masas attālums m i no rotācijas ass. Tāpēc kinētiskā enerģija i th elementārā masa būs vienāda ar . Ķermeņa kopējā kinētiskā enerģija: , šeit ir ķermeņa inerces moments attiecībā pret rotācijas asi.

Tādējādi ķermeņa kinētiskā enerģija, kas rotē ap fiksētu asi, ir vienāda ar:

2. Tagad ļaujiet ķermenim griežas attiecībā pret kādu asi un sevi ass kustas pakāpeniski, paliekot paralēli sev.

PIEMĒRAM: Lode, kas ripo bez slīdēšanas, veic rotācijas kustību, un tās smaguma centrs, caur kuru iet rotācijas ass (punkts “O”), pārvietojas translatīvi (4.17. att.).

Ātrums i-ka elementārā ķermeņa masa ir vienāda ar , kur ir kāda ķermeņa punkta “O” ātrums; – rādiusa vektors, kas nosaka elementārās masas pozīciju attiecībā pret punktu “O”.

Elementāras masas kinētiskā enerģija ir vienāda ar:

PIEZĪME: vektora reizinājums sakrīt virzienā ar vektoru, un tā modulis ir vienāds ar (4.18. att.).

Ņemot vērā šo piezīmi, mēs to varam rakstīt , kur ir masas attālums no rotācijas ass. Otrajā termiņā veicam faktoru ciklisku pārkārtošanos, pēc kuras iegūstam

Lai iegūtu ķermeņa kopējo kinētisko enerģiju, mēs summējam šo izteiksmi uz visām elementārmasām, ņemot konstantos faktorus ārpus summas zīmes. Mēs saņemam

Elementāro masu summa ir ķermeņa masa “m”. Izteiksme ir vienāda ar ķermeņa masas reizinājumu ar ķermeņa inerces centra rādiusa vektoru (pēc inerces centra definīcijas). Visbeidzot, ķermeņa inerces moments attiecībā pret asi, kas iet caur punktu “O”. Tāpēc mēs varam rakstīt

.

Ja par punktu “O” ņemam ķermeņa “C” inerces centru, rādiusa vektors būs vienāds ar nulli un otrais loceklis pazudīs. Tad, apzīmējot cauri – inerces centra ātrumu un cauri – ķermeņa inerces momentu attiecībā pret asi, kas iet caur punktu “C”, iegūstam:

(4.6)

Tādējādi ķermeņa kinētiskā enerģija plaknes kustībā sastāv no translācijas kustības enerģijas ar ātrumu vienāds ātrums inerces centrs un rotācijas enerģija ap asi, kas iet caur ķermeņa inerces centru.

Ārējo spēku darbs stingra ķermeņa rotācijas kustības laikā.

Atradīsim darbu, ko veic spēki, kad ķermenis griežas ap stacionāro Z asi.

Ļaujiet uz masu iedarboties iekšējam spēkam un ārējam spēkam (radītais spēks atrodas plaknē, kas ir perpendikulāra rotācijas asij) (4.19. att.). Šie spēki darbojas laikā dt darbs:

Veicot faktoru ciklisku pārkārtošanu jauktajos vektoru produktos, mēs atklājam:

kur , ir attiecīgi iekšējo un ārējo spēku momenti attiecībā pret punktu “O”.

Summējot visas elementārās masas, iegūstam laikus uz ķermeņa veikto elementāro darbu dt:

Iekšējo spēku momentu summa ir nulle. Tad, apzīmējot ārējo spēku kopējo momentu caur , mēs nonākam pie izteiksmes:

.

Ir zināms, ka divu vektoru skalārais reizinājums ir skalārs, kas vienāds ar viena vektora moduļa reizinājumu ar otrā vektora projekciju uz pirmā virzienu, ņemot vērā, ka , (vektora virzieni Z ass sakrīt), iegūstam

,

bet w dt=d j, t.i. leņķis, caur kuru ķermenis pagriežas laikā dt. Tāpēc

.

Darba zīme ir atkarīga no M z zīmes, t.i. no vektora projekcijas zīmes uz vektora virzienu.

Tātad, kad ķermenis griežas iekšējie spēki darbs netiek veikts, un ārējo spēku darbu nosaka formula .

Ierobežotā laika periodā paveiktais tiek atrasts integrācijas ceļā

.

Ja ārējo spēku radītā momenta projekcija virzienā paliek nemainīga, tad to var izņemt no integrālās zīmes:

, t.i. .

Tie. ārēja spēka darbs ķermeņa rotācijas kustības laikā ir vienāds ar ārējā spēka momenta projekcijas reizinājumu uz griešanās virzienu un leņķi.

No otras puses, ārēja spēka darbs, kas iedarbojas uz ķermeni, iet uz ķermeņa kinētiskās enerģijas palielināšanu (vai ir vienāds ar rotējošā ķermeņa kinētiskās enerģijas izmaiņām). Parādīsim šo:

;

Tāpēc

. (4.7)

Viens pats:

Elastīgie spēki;

Huka likums.

7. LEKCIJA

Hidrodinamika

Strāvas līnijas un caurules.

Hidrodinamika pēta šķidrumu kustību, bet tās likumi attiecas arī uz gāzu kustību. Stacionārā šķidruma plūsmā tā daļiņu ātrums katrā telpas punktā ir no laika neatkarīgs daudzums un ir koordinātu funkcija. Vienmērīgā plūsmā šķidruma daļiņu trajektorijas veido plūdlīniju. Strāvas līniju kombinācija veido strāvas cauruli (5.1. att.). Mēs pieņemam, ka šķidrums ir nesaspiežams, tad šķidruma tilpums, kas plūst cauri sekcijām S 1 un S 2 būs tas pats. Sekundē cauri šiem sadaļa pāriesšķidruma tilpums vienāds ar

, (5.1)

kur un ir šķidruma ātrumi sekcijās S 1 un S 2 , un vektori un ir definēti kā un , kur un ir sekciju normālie S 1 un S 2. Vienādojumu (5.1) sauc par strūklas nepārtrauktības vienādojumu. No tā izriet, ka šķidruma ātrums ir apgriezti proporcionāls strāvas caurules šķērsgriezumam.

Bernulli vienādojums.

Mēs apsvērsim ideālu nesaspiežamu šķidrumu, kurā nav iekšējas berzes (viskozitātes). Izvēlēsimies tievu strāvas cauruli stacionāri plūstošā šķidrumā (5.2. att.) ar sekcijām S 1 Un S 2, perpendikulāri straumlīnijām. Šķērsgriezumā 1 īsā laikā t daļiņas pārvietosies attālumā l 1, un sadaļā 2 - no attāluma l 2. Laicīgi cauri abām sadaļām t cauri iztecēs vienādi mazi šķidruma tilpumi V= V 1 = V 2 un pārlej daudz šķidruma m=rV, Kur r- šķidruma blīvums. Kopumā visa šķidruma mehāniskās enerģijas izmaiņas plūsmas caurulē starp sekcijām S 1 Un S 2 kas notika laikā t, var aizstāt, mainot tilpuma enerģiju V kas notika, kad tas tika pārvietots no 1. sadaļas uz 2. sadaļu. Ar šādu kustību mainīsies šī tilpuma kinētiskā un potenciālā enerģija un kopējās enerģijas izmaiņas

, (5.2)

kur v 1 un v 2 - šķidruma daļiņu ātrumi sekcijās S 1 Un S 2 attiecīgi; g- gravitācijas paātrinājums; h 1 Un h 2- sekciju centra augstums.

Ideālā šķidrumā nav berzes zudumu, tāpēc enerģijas pieaugums ir DE jābūt vienādam ar darbu, ko veic spiediena spēki uz piešķirto tilpumu. Ja nav berzes spēku, šis darbs:

Pielīdzinot vienādojumu (5.2) un (5.3) labās puses un pārceļot vienādības vienā pusē terminus ar vienādiem indeksiem, iegūstam

. (5.4)

Cauruļu sekcijas S 1 Un S 2 tika ņemti patvaļīgi, tāpēc var apgalvot, ka jebkurā strāvas caurules sadaļā izteiksme ir derīga

. (5.5)

Vienādojumu (5.5) sauc par Bernulli vienādojumu. Lai panāktu horizontālu plūdlīniju h = konst un vienlīdzība (5.4) iegūst formu

r /2 + p 1 = r /2 + p2 , (5.6)

tie. spiediens ir mazāks tajos punktos, kur ātrums ir lielāks.

Iekšējie berzes spēki.

Īstam šķidrumam ir raksturīga viskozitāte, kas izpaužas faktā, ka jebkura šķidruma un gāzes kustība spontāni apstājas, ja nav iemeslu, kas to izraisīja. Apskatīsim eksperimentu, kurā šķidruma slānis atrodas virs stacionāras virsmas un virs tā pārvietojas ar ātrumu , uz tā peld plāksne ar virsmu S(5.3. att.). Pieredze rāda, ka, lai plāksni pārvietotu nemainīgā ātrumā, ir nepieciešams uz to iedarboties ar spēku. Tā kā plāksne nesaņem paātrinājumu, tas nozīmē, ka šī spēka darbību līdzsvaro cits, vienāda lieluma un pretēji vērsts spēks, kas ir berzes spēks . Ņūtons parādīja, ka berzes spēks

, (5.7)

Kur d- šķidruma slāņa biezums, h - šķidruma viskozitātes koeficients vai berzes koeficients, mīnusa zīme ņem vērā atšķirīgs virziens vektori F tr Un v o. Ja mēs pārbaudām šķidruma daļiņu ātrumu dažādas vietas slānis, izrādās, ka tas mainās saskaņā ar lineāru likumu (5.3. att.):

v(z) = = (v 0 /d)·z.

Atšķirot šo vienlīdzību, mēs iegūstam dv/dz= v 0 /d. Paturot to prātā

formula (5.7) pieņems formu

F tr=- h(dv/dz)S , (5.8)

Kur h- dinamiskais viskozitātes koeficients. Lielums dv/dz sauc par ātruma gradientu. Tas parāda, cik ātri mainās ātrums ass virzienā z. Plkst dv/dz= const ātruma gradients ir skaitliski vienāds ar ātruma izmaiņām v kad tas mainās z par vienību. Ieliksim skaitliski formulā (5.8) dv/dz =-1 un S= 1, mēs iegūstam h = F. tas nozīmē fiziskā nozīme h: viskozitātes koeficients skaitliski vienāds ar spēku, kas iedarbojas uz šķidruma slāni ar vienības laukumu ar ātruma gradientu, kas vienāds ar vienību. Viskozitātes SI vienību sauc par paskālu sekundi (apzīmē Pa s). CGS sistēmā viskozitātes mērvienība ir 1 puze (P), ar 1 Pa s = 10P.