Leņķis starp rindām telpā mēs sauksim jebkuru no blakus esošie stūri, ko veido divas taisnas līnijas, kas novilktas caur patvaļīgu punktu, kas ir paralēls datiem.

Telpā dotas divas rindas:

Acīmredzot leņķi φ starp taisnēm var uzskatīt par leņķi starp to virziena vektoriem un . Tā kā , Tad, izmantojot formulu kosinusa leņķa starp vektoriem mēs iegūstam

Divu taisnu līniju paralēlisma un perpendikulitātes nosacījumi ir līdzvērtīgi to virziena vektoru paralēlisma un perpendikularitātes nosacījumiem un:

Divi taisni paralēli tad un tikai tad, ja to atbilstošie koeficienti ir proporcionāli, t.i. l 1 paralēle l 2 tad un tikai tad, ja paralēli .

Divi taisni perpendikulāri tad un tikai tad, ja atbilstošo koeficientu reizinājumu summa ir vienāda ar nulli: .

U mērķis starp līniju un plakni

Lai tas ir taisni d- nav perpendikulāra θ plaknei;
d′− līnijas projekcija d uz θ plakni;
Mazākais leņķis starp taisnām līnijām d Un d'' mēs piezvanīsim leņķis starp taisni un plakni.
Apzīmēsim to kā φ=( d,θ)
Ja d⊥θ, tad ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− taisnstūra koordinātu sistēma.
Plaknes vienādojums:

θ: Ax+Autors+Cz+D=0

Mēs pieņemam, ka taisni nosaka punkts un virziena vektors: d[M 0,lpp→]
Vektors n→(A,B,C)⊥θ
Tad atliek noskaidrot leņķi starp vektoriem n→ un lpp→, apzīmēsim to kā γ=( n→,lpp→).

Ja leņķis γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Ja leņķis ir γ>π/2, tad vēlamais leņķis ir φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Tad leņķis starp taisni un plakni var aprēķināt, izmantojot formulu:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Kp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√lpp 21+lpp 22+lpp 23

29. jautājums. Kvadrātiskās formas jēdziens. Kvadrātisko formu zīmju noteiktība.

Kvadrātiskā forma j (x 1, x 2, …, x n) n reāli mainīgie x 1, x 2, …, x n sauc par formas summu
, (1)

Kur a ij – daži skaitļi, ko sauc par koeficientiem. Nezaudējot vispārīgumu, mēs to varam pieņemt a ij = a ji.

Kvadrātiskā forma tiek saukta derīgs, Ja a ij Î GR. Kvadrātiskās formas matrica sauc par matricu, kas sastāv no tās koeficientiem. Kvadrātiskā forma (1) atbilst vienīgajai simetriskajai matricai
Tas ir A T = A. Līdz ar to kvadrātisko formu (1) var ierakstīt matricas formā j ( X) = x T Ah, Kur x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Un otrādi, katra simetriskā matrica (2) atbilst unikālai kvadrātveida formai līdz mainīgo apzīmējumam.

Kvadrātiskās formas rangs sauc par tās matricas rangu. Kvadrātiskā forma tiek saukta nedeģenerēts, ja tā matrica nav vienskaitlī A. (atcerieties, ka matrica A sauc par nedeģenerētu, ja tā determinants nav vienāds ar nulli). Pretējā gadījumā kvadrātiskā forma ir deģenerēta.

pozitīvs noteikts(vai stingri pozitīvs), ja

j ( X) > 0 , jebkuram X = (X 1 , X 2 , …, x n), izņemot X = (0, 0, …, 0).

Matrica A pozitīva noteikta kvadrātiskā forma j ( X) sauc arī par pozitīvu noteiktu. Tāpēc pozitīva noteikta kvadrātiskā forma atbilst unikālai pozitīvai noteiktai matricai un otrādi.

Tiek saukta kvadrātiskā forma (1). negatīvi definēts(vai stingri negatīvi), ja

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), izņemot X = (0, 0, …, 0).

Līdzīgi kā iepriekš, negatīvas noteiktas kvadrātiskās formas matricu sauc arī par negatīvu noteiktu.

Līdz ar to pozitīvā (negatīvā) noteiktā kvadrātiskā forma j ( X) sasniedz minimālo (maksimālo) vērtību j ( X*) = 0 plkst X* = (0, 0, …, 0).

Pieraksti to Lielākā daļa kvadrātveida formas nav noteiktas ar zīmi, tas ir, tās nav ne pozitīvas, ne negatīvas. Šādas kvadrātiskās formas izzūd ne tikai koordinātu sistēmas sākumā, bet arī citos punktos.

Kad n> 2, kvadrātveida formas zīmes pārbaudei nepieciešami īpaši kritēriji. Apskatīsim tos.

Lielākie nepilngadīgie kvadrātveida formas sauc par nepilngadīgajiem:

tas ir, tie ir nepilngadīgie 1, 2, ..., n matricas A, kas atrodas augšējā kreisajā stūrī, pēdējais no tiem sakrīt ar matricas determinantu A.

Pozitīvās noteiktības kritērijs (Silvestra kritērijs)

X) = x T Ah bija pozitīvs noteikti, ir nepieciešams un pietiekams, lai visi matricas galvenie nepilngadīgie A bija pozitīvas, tas ir: M 1 > 0, M 2 > 0, …, Mn > 0. Negatīvās noteiktības kritērijs Lai kvadrātveida forma j ( X) = x T Ah bija negatīvs noteikts, ir nepieciešams un pietiekami, lai tā galvenie nepilngadīgie pāra secībā būtu pozitīvi, bet nepāra secībā - negatīvi, t.i.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Ak-o-o-o... nu, tas ir grūti, it kā viņš pie sevis nolasītu teikumu =) Tomēr vēlāk palīdzēs atslābums, jo īpaši tāpēc, ka šodien nopirku atbilstošos aksesuārus. Tāpēc pāriesim pie pirmās sadaļas, ceru, ka līdz raksta beigām saglabāšu jautru noskaņojumu.

Divu taisnu līniju relatīvais novietojums

Tas ir gadījums, kad publika dzied līdzi korī. Divas taisnas līnijas var:

1) sērkociņš;

2) būt paralēli: ;

3) vai krustojas vienā punktā: .

Palīdzība manekeniem : Lūdzu atceries matemātiskā zīme krustojumos, tas notiks ļoti bieži. Apzīmējums nozīmē, ka līnija krustojas ar līniju punktā .

Kā noteikt divu līniju relatīvo stāvokli?

Sāksim ar pirmo gadījumu:

Divas līnijas sakrīt tad un tikai tad, ja to atbilstošie koeficienti ir proporcionāli, tas ir, ir tāds skaitlis “lambda”, ka vienādības ir izpildītas

Aplūkosim taisnes un no atbilstošajiem koeficientiem izveidosim trīs vienādojumus: . No katra vienādojuma izriet, ka tāpēc šīs līnijas sakrīt.

Patiešām, ja visi vienādojuma koeficienti reiziniet ar –1 (izmaiņas zīmes) un visus vienādojuma koeficientus apgriežot ar 2, jūs iegūstat to pašu vienādojumu: .

Otrais gadījums, kad līnijas ir paralēlas:

Divas taisnes ir paralēlas tad un tikai tad, ja to mainīgo koeficienti ir proporcionāli: , Bet.

Piemēram, apsveriet divas taisnas līnijas. Mēs pārbaudām atbilstošo koeficientu proporcionalitāti mainīgajiem:

Tomēr ir pilnīgi skaidrs, ka.

Un trešais gadījums, kad līnijas krustojas:

Divas taisnes krustojas tad un tikai tad, ja to mainīgo koeficienti NAV proporcionāli, tas ir, NAV tādas “lambda” vērtības, lai vienādības būtu izpildītas

Tātad taisnām līnijām mēs izveidosim sistēmu:

No pirmā vienādojuma izriet, ka , un no otrā vienādojuma: , kas nozīmē sistēma ir nekonsekventa(nav risinājumu). Tādējādi mainīgo lielumu koeficienti nav proporcionāli.

Secinājums: līnijas krustojas

IN praktiskas problēmas ah, jūs varat izmantot tikko apspriesto risinājuma shēmu. Starp citu, tas ļoti atgādina vektoru kolinearitātes pārbaudes algoritmu, kuru mēs apskatījām klasē Vektoru lineārās (ne)atkarības jēdziens. Vektoru bāze. Bet ir arī civilizētāks iepakojums:

1. piemērs

Uzziniet līniju relatīvo novietojumu:

Risinājums pamatojoties uz taisnu līniju virzīšanas vektoru izpēti:

a) No vienādojumiem atrodam līniju virziena vektorus: .

, kas nozīmē, ka vektori nav kolineāri un līnijas krustojas.

Katram gadījumam krustojumā uzlikšu akmeni ar zīmēm:

Pārējie lec pāri akmenim un seko tālāk, taisni uz Kaščeju Nemirstīgo =)

b) Atrodiet līniju virziena vektorus:

Līnijām ir vienāds virziena vektors, kas nozīmē, ka tās ir paralēlas vai sakrīt. Šeit nav jāskaita noteicējs.

Ir skaidrs, ka nezināmo koeficienti ir proporcionāli, un .

Noskaidrosim, vai vienlīdzība ir patiesa:

Tādējādi

c) Atrodiet līniju virziena vektorus:

Aprēķināsim determinantu, kas sastāv no šo vektoru koordinātām:
, tāpēc virziena vektori ir kolineāri. Līnijas ir paralēlas vai sakrīt.

Proporcionalitātes koeficientu “lambda” ir viegli redzēt tieši no kolineāro virzienu vektoru attiecības. Tomēr to var atrast arī, izmantojot pašu vienādojumu koeficientus: .

Tagad noskaidrosim, vai vienlīdzība ir patiesa. Abi bezmaksas nosacījumi ir nulle, tāpēc:

Iegūtā vērtība apmierina šo vienādojumu (jebkurš skaitlis kopumā to apmierina).

Tādējādi līnijas sakrīt.

Atbilde:

Ļoti drīz jūs iemācīsities (vai pat jau esat iemācījušies) atrisināt mutiski apspriesto problēmu burtiski dažu sekunžu laikā. Šajā sakarā es neredzu jēgu kaut ko piedāvāt neatkarīgam risinājumam, labāk ir likt vēl vienu svarīgu ķieģeli ģeometriskajā pamatnē:

Kā izveidot taisni, kas ir paralēla dotajai?

Par nezināšanu par šo vienkāršākais uzdevums Lakstīgala Laupītājs bargi soda.

2. piemērs

Taisni nosaka vienādojums. Uzrakstiet vienādojumu paralēlai taisnei, kas iet caur punktu.

Risinājums: Nezināmo rindu apzīmēsim ar burtu . Ko par viņu saka stāvoklis? Taisnā līnija iet caur punktu. Un, ja līnijas ir paralēlas, tad ir acīmredzams, ka taisnes virziena vektors “tse” ir piemērots arī taisnes “de” konstruēšanai.

Mēs izņemam virziena vektoru no vienādojuma:

Atbilde:

Ģeometrijas piemērs izskatās vienkāršs:

Analītiskā pārbaude sastāv no šādiem posmiem:

1) Pārbaudām, vai līnijām ir vienāds virziena vektors (ja taisnes vienādojums nav pareizi vienkāršots, tad vektori būs kolineāri).

2) Pārbaudiet, vai punkts apmierina iegūto vienādojumu.

Vairumā gadījumu analītisko testēšanu var viegli veikt mutiski. Apskatiet divus vienādojumus, un daudzi no jums ātri noteiks līniju paralēlismu bez jebkāda zīmējuma.

Neatkarīgu risinājumu piemēri šodien būs radoši. Jo vēl būs jāsacenšas ar Baba Jagu, un viņa, ziniet, ir visdažādāko mīklu cienītāja.

3. piemērs

Uzrakstiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu, kas ir paralēls taisnei if

Ir racionāls un ne tik racionāls veids, kā to atrisināt. Lielākā daļa īsceļu- nodarbības beigās.

Mēs nedaudz strādājām ar paralēlām līnijām un pie tām atgriezīsimies vēlāk. Sakrītošu līniju gadījums maz interesē, tāpēc apskatīsim problēmu, kas jums ir pazīstama skolas mācību programma:

Kā atrast divu līniju krustošanās punktu?

Ja taisni krustojas punktā , tad tā koordinātas ir risinājums lineāro vienādojumu sistēmas

Kā atrast līniju krustošanās punktu? Atrisiniet sistēmu.

Lūk ģeometriskā nozīme sistēmas no diviem lineārie vienādojumi ar diviem nezināmajiem- tās ir divas plaknes krustojošas (visbiežāk) līnijas.

4. piemērs

Atrodiet līniju krustošanās punktu

Risinājums: Ir divi risināšanas veidi – grafiskais un analītiskais.

Grafiskā metode ir vienkārši uzzīmēt dotās līnijas un noskaidrot krustošanās punktu tieši no zīmējuma:

Šeit ir mūsu punkts: . Lai pārbaudītu, katrā līnijas vienādojumā jāievieto tās koordinātas, tām ir jāiekļaujas gan tur, gan tur. Citiem vārdiem sakot, punkta koordinātas ir sistēmas risinājums. Būtībā mēs apskatījām grafisko risinājumu lineāro vienādojumu sistēmas ar diviem vienādojumiem, diviem nezināmiem.

Grafiskā metode, protams, nav slikta, taču ir manāmi trūkumi. Nē, runa nav par to, ka septītklasnieki šādi izlemj, bet gan par to, ka pareiza un PRECĪZA zīmējuma izveidošana prasīs laiku. Turklāt dažas taisnes nav tik vienkārši konstruējamas, un pats krustošanās punkts var atrasties kaut kur trīsdesmitajā valstībā ārpus piezīmju grāmatiņas lapas.

Tāpēc lietderīgāk ir meklēt krustpunktu analītiskā metode. Atrisināsim sistēmu:

Sistēmas risināšanai tika izmantota vienādojumu saskaitīšanas metode pa terminiem. Lai attīstītu atbilstošas ​​prasmes, apmeklējiet mācību stundu Kā atrisināt vienādojumu sistēmu?

Atbilde:

Pārbaude ir triviāla – krustojuma punkta koordinātām jāapmierina katrs sistēmas vienādojums.

5. piemērs

Atrodiet līniju krustošanās punktu, ja tās krustojas.

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Ir ērti sadalīt uzdevumu vairākos posmos. Stāvokļa analīze liecina, ka ir nepieciešams:
1) Pierakstiet taisnes vienādojumu.
2) Pierakstiet taisnes vienādojumu.
3) Noskaidro līniju relatīvo novietojumu.
4) Ja līnijas krustojas, tad atrodiet krustošanās punktu.

Darbības algoritma izstrāde ir raksturīga daudzām ģeometriskām problēmām, un es vairākkārt pievērsīšos tam.

Pilnīgs risinājums un atbilde nodarbības beigās:

Pirms nonācām stundas otrajā daļā, nebija nolietots pat apavu pāris:

Perpendikulāras līnijas. Attālums no punkta līdz līnijai.
Leņķis starp taisnām līnijām

Sāksim ar tipisku un ļoti svarīgu uzdevumu. Pirmajā daļā mēs uzzinājām, kā izveidot taisnu līniju paralēli šai, un tagad būda uz vistas kājām pagriezīsies par 90 grādiem:

Kā izveidot līniju, kas ir perpendikulāra noteiktai?

6. piemērs

Taisni nosaka vienādojums. Uzrakstiet vienādojumu perpendikulāri tai taisnei, kas iet caur punktu.

Risinājums: Pēc nosacījuma ir zināms, ka. Būtu jauki atrast līnijas virzošo vektoru. Tā kā līnijas ir perpendikulāras, triks ir vienkāršs:

No vienādojuma “noņemam” normālvektoru: , kas būs taisnes virzošais vektors.

Sastādām taisnas līnijas vienādojumu, izmantojot punktu un virziena vektoru:

Atbilde:

Izvērsīsim ģeometrisko skici:

Hmm... Oranžas debesis, oranža jūra, oranžs kamielis.

Risinājuma analītiskā pārbaude:

1) No vienādojumiem izņemam virziena vektorus un ar palīdzību vektoru skalārais reizinājums mēs nonākam pie secinājuma, ka taisnes patiešām ir perpendikulāras: .

Starp citu, jūs varat izmantot parastos vektorus, tas ir vēl vienkāršāk.

2) Pārbaudiet, vai punkts apmierina iegūto vienādojumu .

Pārbaudi atkal ir viegli veikt mutiski.

7. piemērs

Atrodiet perpendikulāru līniju krustošanās punktu, ja vienādojums ir zināms un periods.

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Problēmā ir vairākas darbības, tāpēc ir ērti formulēt risinājumu punktu pa punktam.

Mūsu aizraujošais ceļojums turpinās:

Attālums no punkta līdz līnijai

Mums priekšā ir taisna upes josla un mūsu uzdevums ir līdz tai nokļūt pa īsāko ceļu. Šķēršļu nav, un optimālākais maršruts būs pārvietošanās pa perpendikulu. Tas ir, attālums no punkta līdz līnijai ir perpendikulāra segmenta garums.

Attālums ģeometrijā tradicionāli tiek apzīmēts ar grieķu burtu “rho”, piemēram: – attālums no punkta “em” līdz taisnei “de”.

Attālums no punkta līdz līnijai izteikts ar formulu

8. piemērs

Atrodiet attālumu no punkta līdz līnijai

Risinājums: viss, kas jums jādara, ir rūpīgi jāaizstāj skaitļi formulā un jāveic aprēķini:

Atbilde:

Izveidosim zīmējumu:

Atrastais attālums no punkta līdz līnijai ir tieši sarkanā segmenta garums. Ja uz rūtainā papīra uzzīmējat zīmējumu 1 mērogā. = 1 cm (2 šūnas), tad attālumu var izmērīt ar parastu lineālu.

Apskatīsim citu uzdevumu, pamatojoties uz to pašu zīmējumu:

Uzdevums ir atrast punkta koordinātas, kas ir simetrisks punktam attiecībā pret taisni . Es iesaku veikt darbības pašam, bet es izklāstīšu risinājuma algoritmu ar starprezultātiem:

1) Atrodiet taisni, kas ir perpendikulāra tai.

2) Atrodiet līniju krustošanās punktu: .

Abas darbības ir detalizēti apspriestas šajā nodarbībā.

3) Punkts ir segmenta viduspunkts. Mēs zinām vidus un viena gala koordinātas. Autors formulas segmenta viduspunkta koordinātām mēs atradām .

Būtu lietderīgi pārbaudīt, vai attālums ir arī 2,2 vienības.

Šeit var rasties grūtības aprēķinos, bet tornī lieliski palīdz mikrokalkulators, kas ļauj aprēķināt parastās frakcijas. Esmu jums daudzkārt konsultējis un ieteikšu vēlreiz.

Kā atrast attālumu starp divām paralēlām līnijām?

9. piemērs

Atrodiet attālumu starp divām paralēlām līnijām

Šis ir vēl viens piemērs, kas jums jāizlemj pašiem. Es sniegšu jums nelielu mājienu: ir bezgala daudz veidu, kā to atrisināt. Apspriešana nodarbības beigās, bet labāk mēģināt uzminēt pašam, manuprāt, jūsu atjautība bija labi attīstīta.

Leņķis starp divām taisnēm

Katrs stūris ir aploka:


Ģeometrijā leņķis starp divām taisnēm tiek pieņemts par MAZĀKO leņķi, no kura automātiski izriet, ka tas nevar būt neass. Attēlā sarkanā loka norādītais leņķis netiek uzskatīts par leņķi starp krustojošām līnijām. Un viņa “zaļais” kaimiņš vai pretēji orientēts"aveņu" stūrītis.

Ja līnijas ir perpendikulāras, par leņķi starp tām var uzskatīt jebkuru no 4 leņķiem.

Kā atšķiras leņķi? Orientēšanās. Pirmkārt, ļoti svarīgs ir virziens, kurā leņķis tiek “ritināts”. Otrkārt, negatīvi orientētu leņķi raksta ar mīnusa zīmi, piemēram, ja .

Kāpēc es tev to teicu? Šķiet, ka varam iztikt ar ierasto leņķa jēdzienu. Fakts ir tāds, ka formulas, pēc kurām mēs atradīsim leņķus, var viegli izraisīt negatīvu rezultātu, un tam nevajadzētu jūs pārsteigt. Leņķis ar mīnusa zīmi nav sliktāks, un tam ir ļoti specifiska ģeometriskā nozīme. Zīmējumā negatīvam leņķim noteikti norādiet tā orientāciju ar bultiņu (pulksteņrādītāja virzienā).

Kā atrast leņķi starp divām taisnēm? Ir divas darba formulas:

10. piemērs

Atrodiet leņķi starp līnijām

Risinājums Un Pirmā metode

Apsveriet divas taisnas līnijas, kas norādītas vienādojumos in vispārējs skats:

Ja taisni nav perpendikulāri, Tas orientēts Leņķi starp tiem var aprēķināt, izmantojot formulu:

Pievērsīsim īpašu uzmanību saucējam - tieši tā skalārais produkts taisnu līniju virzīšanas vektori:

Ja , tad formulas saucējs kļūst par nulli, un vektori būs ortogonāli un līnijas būs perpendikulāras. Tāpēc formulējumā tika izteikta atruna par taisnu līniju neperpendikularitāti.

Pamatojoties uz iepriekš minēto, ir ērti formalizēt risinājumu divos posmos:

1) Aprēķināsim līniju virziena vektoru skalāro reizinājumu:
, kas nozīmē, ka līnijas nav perpendikulāras.

2) Atrodiet leņķi starp taisnēm, izmantojot formulu:

Izmantojot apgrieztā funkcija Ir viegli atrast pašu stūri. Šajā gadījumā mēs izmantojam arktangenta dīvainību (sk. Elementāro funkciju grafiki un īpašības):

Atbilde:

Atbildē mēs norādām precīza vērtība, kā arī aptuvenā vērtība (vēlams gan grādos, gan radiānos), kas aprēķināta, izmantojot kalkulatoru.

Nu mīnuss, mīnuss, nekāda lielā bēda. Šeit ir ģeometriska ilustrācija:

Nav pārsteidzoši, ka leņķis izrādījās negatīvas orientācijas, jo uzdevuma formulējumā pirmais skaitlis ir taisna līnija un tieši ar to sākās leņķa “atskrūvēšana”.

Ja jūs patiešām vēlaties iegūt pozitīvu leņķi, jums ir jāmaina līnijas, tas ir, jāņem koeficienti no otrā vienādojuma , un ņemt koeficientus no pirmā vienādojuma. Īsāk sakot, jums jāsāk ar tiešo .

Definīcija. Ja ir dotas divas rindas y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tad ass stūris starp šīm taisnēm tiks definētas kā

Divas taisnes ir paralēlas, ja k 1 = k 2. Divas taisnes ir perpendikulāras, ja k 1 = -1/ k 2.

Teorēma. Taisnes Ax + Bу + C = 0 un A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ir paralēlas, ja koeficienti A 1 = λA, B 1 = λB ir proporcionāli. Ja arī C 1 = λC, tad taisnes sakrīt. Divu taisnu krustpunkta koordinātas tiek atrastas kā šo taisnu vienādojumu sistēmas risinājums.

Caur ejošas līnijas vienādojums šis punkts

Perpendikulāri noteiktai līnijai

Definīcija. Taisni, kas iet caur punktu M 1 (x 1, y 1) un ir perpendikulāra taisnei y = kx + b, attēlo ar vienādojumu:

Attālums no punkta līdz līnijai

Teorēma. Ja dots punkts M(x 0, y 0), tad attālumu līdz taisnei Ax + Bу + C = 0 nosaka kā

.

Pierādījums. Pieņemsim, ka punkts M 1 (x 1, y 1) ir pamats perpendikulam, kas nomests no punkta M uz doto taisni. Tad attālums starp punktiem M un M 1:

(1)

Koordinātas x 1 un y 1 var atrast, atrisinot vienādojumu sistēmu:

Otrais sistēmas vienādojums ir līnijas vienādojums, kas iet cauri dots punkts M 0 ir perpendikulāra noteiktai taisnei. Ja mēs pārveidojam pirmo sistēmas vienādojumu formā:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + pēc 0 + C = 0,

tad, atrisinot, mēs iegūstam:

Aizvietojot šīs izteiksmes vienādojumā (1), mēs atrodam:

Teorēma ir pierādīta.

Piemērs. Nosakiet leņķi starp līnijām: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Piemērs. Parādiet, ka taisnes 3x – 5y + 7 = 0 un 10x + 6y – 3 = 0 ir perpendikulāras.

Risinājums. Mēs atrodam: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, tāpēc līnijas ir perpendikulāras.

Piemērs. Dotas ir trijstūra A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) virsotnes. Atrodiet augstuma vienādojumu, kas novilkts no virsotnes C.

Risinājums. Mēs atrodam malas AB vienādojumu: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Nepieciešamajam augstuma vienādojumam ir šāda forma: Ax + By + C = 0 vai y = kx + b. k = . Tad y = . Jo augstums iet caur punktu C, tad tā koordinātas atbilst šim vienādojumam: no kur b = 17. Kopā: .

Atbilde: 3 x + 2 g – 34 = 0.

Taisnes vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu noteiktā virzienā. Taisnes vienādojums, kas iet caur diviem dotiem punktiem. Leņķis starp divām taisnām līnijām. Divu taisnu paralēlisma un perpendikularitātes nosacījums. Divu taisnu krustpunkta noteikšana

1. Taisnes vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu A(x 1 , y 1) noteiktā virzienā, ko nosaka slīpums k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Šis vienādojums definē līniju zīmuli, kas iet caur punktu A(x 1 , y 1), ko sauc par staru kūļa centru.

2. Taisnes vienādojums, kas iet caur diviem punktiem: A(x 1 , y 1) un B(x 2 , y 2), rakstīts šādi:

Taisnes līnijas, kas iet caur diviem dotiem punktiem, leņķa koeficientu nosaka pēc formulas

3. Leņķis starp taisnām līnijām A Un B ir leņķis, par kādu jāpagriež pirmā taisne A ap šo līniju krustpunktu pretēji pulksteņrādītāja virzienam, līdz tas sakrīt ar otro līniju B. Ja divas taisnes ir dotas ar vienādojumiem ar slīpumu

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

tad leņķi starp tiem nosaka pēc formulas

Jāņem vērā, ka daļskaitļa skaitītājā pirmās rindas slīpums tiek atņemts no otrās rindas slīpuma.

Ja taisnes vienādojumi ir doti vispārīgā formā

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

leņķi starp tiem nosaka pēc formulas

4. Divu līniju paralēlisma nosacījumi:

a) Ja taisnes ir dotas ar vienādojumu (4) ar leņķa koeficientu, tad to paralēlismam nepieciešamais un pietiekams nosacījums ir to leņķisko koeficientu vienādība:

k 1 = k 2 . (8)

b) Gadījumā, ja taisnes ir dotas ar vienādojumiem vispārīgā formā (6), nepieciešams un pietiekams to paralēlisma nosacījums ir tas, ka koeficienti attiecīgajām strāvas koordinātām to vienādojumos ir proporcionāli, t.i.

5. Divu taisnu līniju perpendikulitātes nosacījumi:

a) Gadījumā, ja taisnes ir dotas ar vienādojumu (4) ar leņķa koeficientu, nepieciešams un pietiekams to perpendikulitātes nosacījums ir, lai to leņķiskie koeficienti būtu apgriezti pēc lieluma un pretēji pēc zīmes, t.i.

Šo nosacījumu var ierakstīt arī formā

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Ja taisnu vienādojumi ir doti vispārīgā formā (6), tad to perpendikulitātes nosacījums (nepieciešams un pietiekams) ir izpildīt vienādību

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Divu taisnu krustpunkta koordinātas tiek atrastas, atrisinot vienādojumu sistēmu (6). Līnijas (6) krustojas tad un tikai tad

1. Uzrakstiet vienādojumus taisnēm, kas iet caur punktu M, no kurām viena ir paralēla, bet otra perpendikulāra dotajai taisnei l.

Šis materiāls ir veltīts tādam jēdzienam kā leņķis starp divām krustojošām līnijām. Pirmajā rindkopā mēs paskaidrosim, kas tas ir, un parādīsim to ilustrācijās. Pēc tam apskatīsim veidus, kā var atrast šī leņķa sinusu, kosinusu un pašu leņķi (atsevišķi aplūkosim gadījumus ar plakni un trīsdimensiju telpu), dosim nepieciešamās formulas un precīzi parādīsim ar piemēriem kā tos izmanto praksē.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Lai saprastu, kāds ir leņķis, kas veidojas, kad krustojas divas līnijas, mums jāatceras pati leņķa definīcija, perpendikularitāte un krustošanās punkts.

1. definīcija

Mēs saucam divas līnijas, kas krustojas, ja tām ir viena kopīgs punkts. Šo punktu sauc par divu līniju krustošanās punktu.

Katra taisne tiek sadalīta ar krustojuma punktu staros. Abas taisnās līnijas veido 4 leņķus, no kuriem divi ir vertikāli un divi atrodas blakus. Ja zinām vienas no tām mēru, tad varam noteikt pārējos.

Pieņemsim, ka zinām, ka viens no leņķiem ir vienāds ar α. Šajā gadījumā leņķis, kas ir vertikāls attiecībā pret to, arī būs vienāds ar α. Lai atrastu atlikušos leņķus, mums jāaprēķina starpība 180 ° - α. Ja α ir vienāds ar 90 grādiem, tad visi leņķi būs taisni. Taisnes, kas krustojas taisnā leņķī, sauc par perpendikulārām (perpendikulitātes jēdzienam ir veltīts atsevišķs raksts).

Apskatiet attēlu:

Pāriesim pie galvenās definīcijas formulēšanas.

2. definīcija

Leņķis, ko veido divas krustojošas līnijas, ir mazākā no 4 leņķiem, kas veido šīs divas līnijas.

No definīcijas jāizdara svarīgs secinājums: leņķa lielums šajā gadījumā tiks izteikts ar jebkuru reālu skaitli intervālā (0, 90]. Ja līnijas ir perpendikulāras, tad leņķis starp tām jebkurā gadījumā būs vienāds ar 90 grādiem.

Spēja atrast leņķa mēru starp divām krustojošām līnijām ir noderīga daudzu praktisku problēmu risināšanai. Risinājuma metodi var izvēlēties no vairākām iespējām.

Sākumā mēs varam izmantot ģeometriskās metodes. Ja mēs zinām kaut ko par papildinošiem leņķiem, mēs varam tos saistīt ar mums nepieciešamo leņķi, izmantojot vienādu vai līdzīgu figūru īpašības. Piemēram, ja mēs zinām trijstūra malas un ir jāaprēķina leņķis starp taisnēm, uz kurām atrodas šīs malas, tad mūsu risinājumam ir piemērota kosinusa teorēma. Ja mums ir nosacījums taisnleņķa trīsstūris, tad aprēķiniem mums būs nepieciešamas arī leņķa sinusa, kosinusa un pieskares zināšanas.

Arī koordinātu metode ir ļoti ērta šāda veida problēmu risināšanai. Paskaidrosim, kā to pareizi lietot.

Mums ir taisnstūra (Dekarta) koordinātu sistēma O x y, kurā ir dotas divas taisnes. Apzīmēsim tos ar burtiem a un b. Taisnās līnijas var aprakstīt, izmantojot dažus vienādojumus. Sākotnējām līnijām ir krustošanās punkts M. Kā noteikt vajadzīgo leņķi (apzīmēsim to α) starp šīm taisnēm?

Sāksim ar leņķa atrašanas pamatprincipa formulēšanu noteiktos apstākļos.

Mēs zinām, ka taisnes jēdziens ir cieši saistīts ar tādiem jēdzieniem kā virziena vektors un normāls vektors. Ja mums ir noteiktas taisnes vienādojums, mēs varam no tā ņemt šo vektoru koordinātas. Mēs to varam izdarīt uzreiz divām krustojošām līnijām.

Leņķi, ko ierobežo divas krustojošas līnijas, var atrast, izmantojot:

• leņķis starp virziena vektoriem;
• leņķis starp normāliem vektoriem;
• leņķis starp vienas taisnes normālvektoru un otras taisnes virziena vektoru.

Tagad apskatīsim katru metodi atsevišķi.

1. Pieņemsim, ka mums ir taisne a ar virziena vektoru a → = (a x, a y) un taisne b ar virziena vektoru b → (b x, b y). Tagad uzzīmēsim divus vektorus a → un b → no krustojuma punkta. Pēc tam mēs redzēsim, ka tie katrs atradīsies uz savas taisnās līnijas. Tad mums viņiem ir četras iespējas relatīvā pozīcija. Skatīt ilustrāciju:

Ja leņķis starp diviem vektoriem nav neass, tad tas būs leņķis, kas mums nepieciešams starp krustojošām taisnēm a un b. Ja tas ir neass, tad vēlamais leņķis būs vienāds ar leņķi, kas atrodas blakus leņķim a →, b → ^. Tādējādi α = a → , b → ^, ja a → , b → ^ ≤ 90 ° , un α = 180 ° - a → , b → ^ ja a → , b → ^ > 90 ° .

Pamatojoties uz to, ka kosinusus vienādi leņķi ir vienādi, iegūtās vienādības varam pārrakstīt šādi: cos α = cos a → , b → ^ , ja a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, ja a →, b → ^ > 90 °.

Otrajā gadījumā tika izmantotas reducēšanas formulas. Tādējādi

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Pēdējo formulu rakstīsim vārdos:

3. definīcija

Leņķa kosinuss, ko veido divas krustojošas taisnes, būs vienāds ar leņķa kosinusa moduli starp tā virziena vektoriem.

Formulas vispārīgā forma leņķa kosinusam starp diviem vektoriem a → = (a x , a y) un b → = (b x , b y) izskatās šādi:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

No tā mēs varam iegūt formulu leņķa kosinusam starp divām dotajām taisnēm:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Tad pašu leņķi var atrast, izmantojot šādu formulu:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Šeit a → = (a x , a y) un b → = (b x , b y) ir doto līniju virziena vektori.

Sniegsim piemēru problēmas risināšanai.

1. piemērs

Taisnstūra koordinātu sistēmā plaknē ir dotas divas krustojošas taisnes a un b. Tos var aprakstīt ar parametru vienādojumiem x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R un x 5 = y - 6 - 3. Aprēķiniet leņķi starp šīm līnijām.

Risinājums

Mūsu stāvoklī ir parametrisks vienādojums, kas nozīmē, ka šai taisnei mēs varam uzreiz pierakstīt tās virziena vektora koordinātas. Lai to izdarītu, mums ir jāņem parametra koeficientu vērtības, t.i. taisnei x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R būs virziena vektors a → = (4, 1).

Otrā rinda ir aprakstīta, izmantojot kanonisko vienādojumu x 5 = y - 6 - 3. Šeit mēs varam ņemt koordinātas no saucējiem. Tādējādi šai taisnei ir virziena vektors b → = (5 , - 3) .

Tālāk mēs pārejam tieši uz leņķa atrašanu. Lai to izdarītu, vienkārši aizvietojiet abu vektoru esošās koordinātas iepriekš minētajā formulā α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Mēs iegūstam sekojošo:

α = a rc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Atbilde: šīs taisnās līnijas veido 45 grādu leņķi.

Mēs varam atrisināt līdzīgu problēmu, atrodot leņķi starp normāliem vektoriem. Ja mums ir taisne a ar normālu vektoru n a → = (n a x , n a y) un taisne b ar normālu vektoru n b → = (n b x , n b y), tad leņķis starp tām būs vienāds ar leņķi starp n a → un n b → vai leņķis, kas būs blakus n a →, n b → ^. Šī metode ir parādīta attēlā:

Formulas leņķa kosinusa aprēķināšanai starp krustojošām līnijām un pašu šo leņķi, izmantojot normālu vektoru koordinātas, izskatās šādi:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n n a 2 x by + n a n b 2

Šeit n a → un n b → apzīmē divu doto līniju normālos vektorus.

2. piemērs

Taisnstūra koordinātu sistēmā divas taisnes ir dotas, izmantojot vienādojumus 3 x + 5 y - 30 = 0 un x + 4 y - 17 = 0. Atrodiet starp tiem esošā leņķa sinusu un kosinusu un paša šī leņķa lielumu.

Risinājums

Sākotnējās līnijas tiek norādītas, izmantojot parastos līniju vienādojumus formā A x + B y + C = 0. Normālo vektoru apzīmējam kā n → = (A, B). Atradīsim pirmā normālvektora koordinātas vienai rindai un ierakstīsim tās: n a → = (3, 5) . Otrajai rindai x + 4 y - 17 = 0 normālajam vektoram būs koordinātas n b → = (1, 4). Tagad pievienosim iegūtās vērtības formulai un aprēķināsim kopsummu:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Ja mēs zinām leņķa kosinusu, tad varam aprēķināt tā sinusu, izmantojot pamata trigonometriskā identitāte. Tā kā taisnu līniju veidotais leņķis α nav strups, tad sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

Šajā gadījumā α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Atbilde: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Analizēsim pēdējo gadījumu – leņķa atrašanu starp taisnēm, ja zinām vienas taisnes virziena vektora un otras normālvektora koordinātas.

Pieņemsim, ka taisnei a ir virziena vektors a → = (a x , a y) , bet taisnei b ir normālvektors n b → = (n b x , n b y) . Mums šie vektori jānovieto malā no krustošanās punkta un jāapsver visas to relatīvās pozīcijas iespējas. Skatīt attēlā:

Ja leņķis starp dotajiem vektoriem nav lielāks par 90 grādiem, izrādās, ka tas papildinās leņķi starp a un b līdz taisnam leņķim.

a → , n b → ^ = 90 ° - α , ja a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Ja tas ir mazāks par 90 grādiem, mēs iegūstam sekojošo:

a → , n b → ^ > 90 ° , tad a → , n b → ^ = 90 ° + α

Izmantojot vienādu leņķu kosinusu vienādības likumu, mēs rakstām:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α pie a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90° + α = - sin α pie a → , n b → ^ > 90° .

Tādējādi

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Formulēsim secinājumu.

4. definīcija

Lai atrastu leņķa sinusu starp divām līnijām, kas krustojas plaknē, jāaprēķina leņķa kosinusa modulis starp pirmās līnijas virziena vektoru un otrās normālo vektoru.

Pierakstīsim vajadzīgās formulas. Leņķa sinusa atrašana:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Paša leņķa atrašana:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Šeit a → ir pirmās rindas virziena vektors, un n b → ir otrās rindas normālais vektors.

3. piemērs

Divas krustojošās taisnes ir dotas ar vienādojumu x - 5 = y - 6 3 un x + 4 y - 17 = 0. Atrodiet krustojuma leņķi.

Risinājums

No dotajiem vienādojumiem ņemam virzošā un normālā vektora koordinātas. Izrādās a → = (- 5, 3) un n → b = (1, 4). Mēs ņemam formulu α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 un aprēķinām:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Lūdzu, ņemiet vērā, ka mēs paņēmām vienādojumus no iepriekšējās problēmas un ieguvām tieši tādu pašu rezultātu, bet atšķirīgā veidā.

Atbilde:α = a r c sin 7 2 34

Piedāvāsim vēl vienu veidu, kā atrast vēlamo leņķi, izmantojot doto taisnu līniju leņķiskos koeficientus.

Mums ir taisne a, kas ir definēta taisnstūra koordinātu sistēmā, izmantojot vienādojumu y = k 1 x + b 1, un līnija b, kas definēta kā y = k 2 x + b 2. Tie ir līniju vienādojumi ar slīpumiem. Lai atrastu krustojuma leņķi, mēs izmantojam formulu:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, kur k 1 un k 2 ir leņķa koeficienti dotas taisnas līnijas. Lai iegūtu šo ierakstu, tika izmantotas formulas leņķa noteikšanai caur normālu vektoru koordinātām.

4. piemērs

Plaknē krustojas divas taisnes, kas dotas ar vienādojumu y = - 3 5 x + 6 un y = - 1 4 x + 17 4. Aprēķiniet krustojuma leņķa vērtību.

Risinājums

Mūsu līniju leņķiskie koeficienti ir vienādi ar k 1 = - 3 5 un k 2 = - 1 4. Saskaitīsim tos formulai α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 un aprēķināsim:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Atbilde:α = a r c cos 23 2 34

Šīs rindkopas secinājumos jāatzīmē, ka šeit dotās formulas leņķa atrašanai nav jāiemācās no galvas. Lai to izdarītu, pietiek zināt doto līniju vadotņu un/vai normālo vektoru koordinātas un prast tās noteikt pēc dažādi veidi vienādojumi. Bet labāk ir atcerēties vai pierakstīt formulas leņķa kosinusa aprēķināšanai.

Kā aprēķināt leņķi starp krustojošām līnijām telpā

Šāda leņķa aprēķinu var reducēt līdz virziena vektoru koordinātu aprēķināšanai un šo vektoru veidotā leņķa lieluma noteikšanai. Šādiem piemēriem tiek izmantots tas pats pamatojums, ko mēs minējām iepriekš.

Pieņemsim, ka mums ir taisnstūra koordinātu sistēma, kas atrodas trīsdimensiju telpā. Tajā ir divas taisnes a un b ar krustpunktu M. Lai aprēķinātu virziena vektoru koordinātas, mums jāzina šo līniju vienādojumi. Apzīmēsim virziena vektorus a → = (a x , a y , a z) un b → = (b x , b y , b z) . Lai aprēķinātu leņķa kosinusu starp tiem, mēs izmantojam formulu:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Lai atrastu pašu leņķi, mums ir nepieciešama šī formula:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

5. piemērs

Mums ir līnija, kas definēta trīsdimensiju telpā, izmantojot vienādojumu x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Ir zināms, ka tas krustojas ar O z asi. Aprēķiniet pārtveres leņķi un šī leņķa kosinusu.

Risinājums

Leņķi, kas jāaprēķina, apzīmēsim ar burtu α. Pierakstīsim virziena vektora koordinātas pirmajai taisnei – a → = (1, - 3, - 2) . Aplikācijas asij kā orientieri varam ņemt koordinātu vektoru k → = (0, 0, 1). Mēs esam saņēmuši nepieciešamos datus un varam pievienot tos vajadzīgajai formulai:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Rezultātā mēs noskaidrojām, ka mums vajadzīgais leņķis būs vienāds ar a r c cos 1 2 = 45 °.

Atbilde: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Ikvienam skolēnam, kurš gatavojas vienotajam valsts eksāmenam matemātikā, noderēs atkārtot tēmu “Leņķa atrašana starp taisnēm”. Kā liecina statistika, nokārtojot sertifikācijas testu, uzdevumi šajā stereometrijas sadaļā rada grūtības liels daudzums studenti. Tajā pašā laikā uzdevumi, kuriem nepieciešams atrast leņķi starp taisnēm, ir atrodami vienotajā valsts eksāmenā gan pamata, gan specializētajā līmenī. Tas nozīmē, ka ikvienam ir jāspēj tās atrisināt.

Pamata momenti

Ir 4 veidu līniju relatīvās pozīcijas telpā. Tie var sakrist, krustoties, būt paralēli vai krustoties. Leņķis starp tiem var būt akūts vai taisns.

Lai atrastu leņķi starp līnijām vienotajā valsts eksāmenā vai, piemēram, risināšanā, skolēni Maskavā un citās pilsētās var izmantot vairākus veidus, kā atrisināt problēmas šajā stereometrijas sadaļā. Jūs varat izpildīt uzdevumu, izmantojot klasiskās konstrukcijas. Lai to izdarītu, ir vērts apgūt stereometrijas pamata aksiomas un teorēmas. Studentam jāprot loģiski spriest un veidot rasējumus, lai uzdevumu novestu līdz planimetriskai problēmai.

Varat arī izmantot koordinātu vektoru metodi, izmantojot vienkāršas formulas, noteikumus un algoritmus. Galvenais šajā gadījumā ir pareizi veikt visus aprēķinus. Shkolkovo izglītības projekts palīdzēs jums uzlabot jūsu problēmu risināšanas prasmes stereometrijā un citās skolas kursa sadaļās.