Instrukcijas

Ir ierasts atdalīt parasto un decimāldaļu frakcijas, iepazīšanās ar kuru sākas gadā vidusskola. Pašlaik nav nevienas zināšanu jomas, kurā tas netiktu pielietots. Pat mēs sakām, ka pirmais 17. gadsimts, un viss uzreiz, kas nozīmē 1600.-1625. Tāpat bieži nākas saskarties ar elementārām darbībām, kā arī to pārveidošanu no viena veida uz citu.

Daļskaitļu samazināšana līdz kopsaucējam, iespējams, ir vissvarīgākā darbība. Tas ir absolūti visu aprēķinu pamatā. Tātad, pieņemsim, ka ir divi frakcijas a/b un c/d. Pēc tam, lai tos apvienotu līdz kopsaucējam, jāatrod skaitļu b un d mazākais kopīgais daudzkārtnis (M) un pēc tam jāreizina pirmā skaitļa skaitītājs. frakcijas ar (M/b) un otro skaitītāju ar (M/d).

Daļskaitļu salīdzināšana ir vēl viens svarīgs uzdevums. Lai to izdarītu, sniedziet doto vienkāršu frakcijas uz kopsaucēju un pēc tam salīdziniet skaitītājus, kuru skaitītājs ir lielāks, šo daļskaitli un lielāku.

Lai veiktu parasto daļskaitļu saskaitīšanu vai atņemšanu, tie jāsavieno līdz kopsaucējam un pēc tam no šīm daļām jāveic nepieciešamie matemātiskie aprēķini. Saucējs paliek nemainīgs. Pieņemsim, ka no a/b ir jāatņem c/d. Lai to izdarītu, jāatrod M skaitļu b un d mazākais kopīgais daudzkārtnis un pēc tam no viena skaitītāja jāatņem otrs, nemainot saucēju: (a*(M/b)-(c*(M/d)) /M

Lai to izdarītu, pietiek vienkārši reizināt vienu daļu ar citu, vienkārši reiziniet to skaitītājus un saucējus:
(a/b)*(c/d)=(a*c)/(b*d)Lai dalītu vienu daļu ar citu, jums ir jāreizina dividendes daļa ar dalītāja apgriezto daļu. (a/b)/(c/d)=(a*d)/(b*c)
Ir vērts atgādināt, ka, lai iegūtu apgriezto daļu, jums ir jāapmaina skaitītājs un saucējs.

Vienosimies, ka “darbības ar daļskaitļiem” mūsu nodarbībā nozīmēs darbības ar parastajām daļskaitļiem. Parasta daļdaļa ir daļa, kurai ir tādi atribūti kā skaitītājs, daļskaitļa līnija un saucējs. Tas atšķir parasto daļskaitli no decimālskaitļa, ko iegūst no parastās daļskaitļa, samazinot saucēju līdz 10 reizinātājam. Decimālzīme rakstīts ar komatu, atdalot visu daļu no daļdaļas. Mēs runāsim par darbībām ar parastām daļskaitļiem, jo ​​tieši tās sagādā vislielākās grūtības skolēniem, kuri ir aizmirsuši šīs tēmas pamatus, kas apskatīti skolas matemātikas kursa pirmajā pusē. Tajā pašā laikā, pārveidojot izteiksmes par augstākā matemātika Galvenokārt tiek izmantotas darbības ar parastajām frakcijām. Daļskaitļu saīsinājumi vien ir tā vērti! Decimāldaļskaitļi nesagādā īpašas grūtības. Tātad, uz priekšu!

Tiek uzskatīts, ka divas daļas ir vienādas, ja .

Piemēram, kopš

Daļskaitļi un (kopš), un (kopš) arī ir vienādi.

Acīmredzot abas daļas un ir vienādas. Tas nozīmē, ka, ja dotās daļskaitļa skaitītāju un saucēju reizina vai dala ar vienu un to pašu naturālo skaitli, jūs iegūsit daļu, kas vienāda ar doto: .

Šo īpašību sauc par frakcijas pamatīpašību.

Daļskaitļa pamatīpašību var izmantot, lai mainītu daļskaitļa skaitītāja un saucēja zīmes. Ja daļskaitļa skaitītāju un saucēju reizina ar -1, mēs iegūstam . Tas nozīmē, ka daļskaitļa vērtība nemainīsies, ja vienlaikus tiek mainītas skaitītāja un saucēja zīmes. Ja maināt tikai skaitītāja vai tikai saucēja zīmi, tad daļskaitlis mainīs savu zīmi:

Frakcijas samazināšana

Izmantojot daļskaitļa pamatīpašību, jūs varat aizstāt doto daļskaitli ar citu daļskaitli, kas ir vienāda ar doto, bet ar mazāku skaitītāju un saucēju. Šo aizstāšanu sauc par frakciju samazināšanu.

Piemēram, tiek dota daļa. Numuriem 36 un 48 ir vislielākie kopīgs dalītājs 12. Tad

.

Parasti daļskaitļa samazināšana vienmēr ir iespējama, ja skaitītājs un saucējs nav savstarpēji pirmskaitļi. Ja skaitītājs un saucējs ir savstarpēji pirmskaitļi, tad daļu sauc par nereducējamu.

Tātad, lai samazinātu daļu, nozīmē dalīt daļas skaitītāju un saucēju ar kopīgu koeficientu. Viss iepriekš minētais attiecas arī uz frakcionētām izteiksmēm, kas satur mainīgos.

1. piemērs. Samazināt frakciju

Risinājums. Lai skaitītāju faktorizētu, vispirms uzrādot monomu - 5 xy kā summa - 2 xy - 3xy, saņemam

Lai faktorizētu saucēju, mēs izmantojam kvadrātu starpības formulu:

Rezultātā

.

Daļskaitļu samazināšana līdz kopsaucējam

Ļaujiet divām daļām un . Tiem ir dažādi saucēji: 5 un 7. Izmantojot daļskaitļu pamatīpašību, jūs varat aizstāt šīs daļskaitļus ar citiem, kas tiem ir vienādi un tādi, lai iegūtajām daļām būtu vienādi saucēji. Daļas skaitītāju un saucēju reizinot ar 7, mēs iegūstam

Daļas skaitītāju un saucēju reizinot ar 5, mēs iegūstam

Tātad daļskaitļi tiek samazināti līdz kopsaucējam:

.

Bet tas nav vienīgais problēmas risinājums: piemēram, šīs daļas var arī samazināt līdz kopsaucējam 70:

,

un vispār uz jebkuru saucēju, kas dalās gan ar 5, gan ar 7.

Apskatīsim citu piemēru: apvienosim daļskaitļus un pie kopsaucēja. Argumentējot tāpat kā iepriekšējā piemērā, mēs iegūstam

,

.

Bet šajā gadījumā ir iespējams reducēt daļas līdz kopsaucējam, kas ir mazāks par šo daļu saucēju reizinājumu. Atradīsim skaitļu 24 un 30 mazāko kopējo daudzkārtni: LCM(24, 30) = 120.

Tā kā 120:4 = 5, lai uzrakstītu daļskaitli ar saucēju 120, gan skaitītājs, gan saucējs jāreizina ar 5, šo skaitli sauc par papildu koeficientu. Līdzekļi .

Tālāk mēs iegūstam 120:30=4. Daļas skaitītāju un saucēju reizinot ar papildu koeficientu 4, mēs iegūstam .

Tātad šīs daļas tiek reducētas līdz kopsaucējam.

Šo daļu saucēju mazākais kopsaucējs ir mazākais iespējamais kopsaucējs.

Daļskaitļu izteiksmēm, kurās ir iekļauti mainīgie, kopsaucējs ir polinoms, kas tiek dalīts ar katras daļas saucēju.

2. piemērs. Atrodiet daļskaitļu kopsaucēju un.

Risinājums. Šo daļu kopsaucējs ir polinoms, jo tas dalās gan ar, gan. Tomēr šis polinoms nav vienīgais, kas var būt šo daļu kopsaucējs. Tas var būt arī polinoms , un polinoms , un polinoms utt. Parasti viņi ņem tādu kopsaucēju, ka jebkurš cits kopsaucējs tiek dalīts ar izvēlēto bez atlikuma. Šo saucēju sauc par mazāko kopsaucēju.

Mūsu piemērā mazākais kopsaucējs ir . Ieguva:

;

.

Mēs varējām samazināt daļskaitļus līdz to zemākajam kopsaucējam. Tas notika, reizinot pirmās daļdaļas skaitītāju un saucēju ar , bet otrās daļas skaitītāju un saucēju - ar . Polinomus sauc par papildu faktoriem attiecīgi pirmajai un otrajai frakcijai.

Daļskaitļu saskaitīšana un atņemšana

Frakciju pievienošana ir definēta šādi:

.

Piemēram,

.

Ja b = d, Tas

.

Tas nozīmē, ka, lai pievienotu daļskaitļus ar vienu un to pašu saucēju, pietiek ar skaitītāju pievienošanu un saucēju atstāt to pašu. Piemēram,

.

Ja frakcijas pievieno ar dažādi saucēji, tad tie parasti samazina daļskaitļus līdz mazākajam kopsaucējam un pēc tam pievieno skaitītājus. Piemēram,

.

Tagad apskatīsim piemēru, kā pievienot daļskaitļus ar mainīgajiem.

3. piemērs. Pārvērst izteiksmi par vienu daļu

.

Risinājums. Atradīsim mazāko kopsaucēju. Lai to izdarītu, mēs vispirms faktorizējam saucējus.

Daļskaitļu reizināšana un dalīšana.

Uzmanību!
Ir papildu
materiāli speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas ir ļoti "ne ļoti..."
Un tiem, kas "ļoti...")

Šī darbība ir daudz jaukāka nekā saskaitīšana-atņemšana! Jo tā ir vieglāk. Atgādinām, ka, lai reizinātu daļu ar daļskaitli, jums jāreizina skaitītāji (tas būs rezultāta skaitītājs) un saucēji (tas būs saucējs). Tas ir:

Piemēram:

Viss ir ārkārtīgi vienkārši. Un lūdzu nemeklēt kopsaucēju! Viņš te nav vajadzīgs...

Lai dalītu daļu ar daļu, jums ir jāapgriež otrais(tas ir svarīgi!) daļu un reiziniet tos, t.i.:

Piemēram:

Ja jūs saskaraties ar reizināšanu vai dalīšanu ar veseliem skaitļiem un daļskaitļiem, tas ir labi. Tāpat kā ar saskaitīšanu, mēs veidojam daļskaitli no vesela skaitļa ar vienu saucējā — un uz priekšu! Piemēram:

Vidusskolā bieži nākas saskarties ar trīsstāvu (vai pat četrstāvu!) daļskaitļiem. Piemēram:

Kā es varu padarīt šo frakciju pienācīgu? Jā, ļoti vienkārši! Izmantojiet divu punktu dalījumu:

Bet neaizmirstiet par dalīšanas kārtību! Atšķirībā no reizināšanas, tas šeit ir ļoti svarīgi! Protams, nejauksim ne 4:2, ne 2:4. Bet trīsstāvu daļā ir viegli kļūdīties. Lūdzu, ņemiet vērā, piemēram:

Pirmajā gadījumā (izteiksme kreisajā pusē):

Otrajā (izteiksme labajā pusē):

Vai jūtat atšķirību? 4 un 1/9!

Kas nosaka sadalīšanas kārtību? Vai nu ar iekavām, vai (kā šeit) ar horizontālo līniju garumu. Attīstiet savu aci. Un, ja nav iekavu vai domuzīmju, piemēram:

tad dala un reizina secībā, no kreisās puses uz labo!

Un vēl viena ļoti vienkārša un svarīga tehnika. Darbībās ar grādiem tas jums noderēs! Dalīsim vienu ar jebkuru daļskaitli, piemēram, ar 13/15:

Šāviens ir apgriezies! Un tas notiek vienmēr. Dalot 1 ar jebkuru daļskaitli, rezultāts ir tā pati daļa, tikai otrādi.

Tas ir viss operācijām ar daļskaitļiem. Lieta ir diezgan vienkārša, taču tā rada vairāk nekā pietiekami daudz kļūdu. Piezīme praktiski padomi, un to (kļūdu) būs mazāk!

Praktiski padomi:

1. Pats galvenais, strādājot ar daļskaitļiem, ir precizitāte un vērība! Tie nav vispārīgi vārdi, nevis laba vēlējumi! Tā ir ārkārtēja nepieciešamība! Veiciet visus aprēķinus par vienoto valsts eksāmenu kā pilnvērtīgu uzdevumu, mērķtiecīgu un skaidru. Labāk ir uzrakstīt divas papildu rindiņas melnrakstā, nekā sajaukt, veicot garīgos aprēķinus.

2. Piemēros ar dažādi veidi frakcijas - pārejiet uz parastajām daļām.

3. Mēs samazinām visas frakcijas, līdz tās apstājas.

4. Daudzlīmeņu daļskaitļu izteiksmes reducējam uz parastajām, izmantojot dalīšanu pa diviem punktiem (ievērojam dalīšanas secību!).

5. Sadaliet vienību ar daļskaitli savā galvā, vienkārši apgriežot daļu.

Šeit ir uzdevumi, kas jums noteikti ir jāizpilda. Atbildes tiek sniegtas pēc visiem uzdevumiem. Izmantojiet materiālus par šo tēmu un praktiskus padomus. Novērtējiet, cik piemēru jūs varējāt pareizi atrisināt. Pirmā reize! Bez kalkulatora! Un izdari pareizos secinājumus...

Atcerieties - pareizā atbilde ir saņemts no otrās (it īpaši trešās) reizes neskaitās! Tāda ir skarbā dzīve.

Tātad, atrisināt eksāmenu režīmā ! Tā, starp citu, jau ir gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam. Atrisinām piemēru, pārbaudām, atrisinām nākamo. Mēs visu izlēmām – vēlreiz pārbaudījām no pirmās līdz pēdējam. Bet tikai Tad paskaties atbildes.

Aprēķināt:

Vai esat izlēmuši?

Mēs meklējam atbildes, kas atbilst jums. Es tās apzināti pierakstīju nesakārtoti, prom no kārdinājuma, tā teikt... Lūk, ar semikolu rakstītas, atbildes.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Tagad mēs izdarām secinājumus. Ja viss izdevās, priecājos par jums! Pamata aprēķini ar daļskaitļiem nav jūsu problēma! Jūs varat darīt nopietnākas lietas. Ja nē...

Tātad jums ir viena no divām problēmām. Vai abas uzreiz.) Zināšanu trūkums un (vai) neuzmanība. Bet šis atrisināms Problēmas.

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)

Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Tātad, ja skaitliskā izteiksme sastāv no skaitļiem un zīmēm +, −, · un:, tad secībā no kreisās uz labo vispirms jāveic reizināšana un dalīšana, pēc tam saskaitīšana un atņemšana, kas ļaus atrast vēlamā izteiksmes vērtība.

Skaidrības labad sniegsim dažus piemērus.

Piemērs.

Aprēķināt izteiksmes vērtību 14−2·15:6−3.

Risinājums.

Lai atrastu izteiksmes vērtību, ir jāveic visas tajā norādītās darbības saskaņā ar pieņemto šo darbību izpildes secību. Pirmkārt, secībā no kreisās uz labo, mēs veicam reizināšanu un dalīšanu, mēs iegūstam 14–2·15:6–3=14–30:6–3=14–5–3. Tagad veicam arī pārējās darbības secībā no kreisās uz labo: 14−5−3=9−3=6. Tādā veidā mēs atradām sākotnējās izteiksmes vērtību, tā ir vienāda ar 6.

Atbilde:

14−2·15:6−3=6.

Piemērs.

Atrodiet izteiciena nozīmi.

Risinājums.

Šajā piemērā mums vispirms ir jāveic reizināšana 2·(−7) un dalīšana ar reizināšanu izteiksmē . Atceroties kā , mēs atrodam 2·(−7)=−14. Un vispirms veikt darbības izteiksmē , tad , un izpildiet: .

Iegūtās vērtības aizstājam sākotnējā izteiksmē: .

Bet ja zem saknes zīmes ir skaitliska izteiksme? Lai iegūtu šādas saknes vērtību, vispirms jāatrod radikālas izteiksmes vērtība, ievērojot pieņemto darbību izpildes secību. Piemēram, .

Skaitliskās izteiksmēs saknes ir jāuztver kā daži skaitļi, un ir ieteicams nekavējoties aizstāt saknes ar to vērtībām un pēc tam atrast iegūtās izteiksmes vērtību bez saknēm, veicot darbības pieņemtajā secībā.

Piemērs.

Atrodiet izteiciena nozīmi ar saknēm.

Risinājums.

Vispirms noskaidrosim saknes vērtību . Lai to izdarītu, pirmkārt, mēs aprēķinām radikālas izteiksmes vērtību −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. Un, otrkārt, mēs atrodam saknes vērtību.

Tagad aprēķināsim otrās saknes vērtību no sākotnējās izteiksmes: .

Visbeidzot, mēs varam atrast sākotnējā izteiksmes nozīmi, aizstājot saknes ar to nozīmēm: .

Atbilde:

Diezgan bieži, lai atrastu izteiciena nozīmi ar saknēm, vispirms ir nepieciešams to pārveidot. Parādīsim piemēra risinājumu.

Piemērs.

Kāda ir izteiciena nozīme .

Risinājums.

Mēs nevaram aizstāt trīs sakni ar tās precīzu vērtību, kas neļauj mums aprēķināt šīs izteiksmes vērtību iepriekš aprakstītajā veidā. Tomēr mēs varam aprēķināt šīs izteiksmes vērtību, veicot vienkāršas transformācijas. Piemērojams kvadrātveida atšķirības formula: . Ņemot vērā, mēs iegūstam . Tādējādi sākotnējās izteiksmes vērtība ir 1.

Atbilde:

.

Ar grādiem

Ja bāze un eksponents ir skaitļi, tad to vērtību aprēķina, nosakot pakāpi, piemēram, 3 2 =3·3=9 vai 8 −1 =1/8. Ir arī ieraksti, kur bāze un/vai eksponents ir dažas izteiksmes. Šādos gadījumos ir jāatrod izteiksmes vērtība bāzē, izteiksmes vērtība eksponentā un pēc tam jāaprēķina pašas pakāpes vērtība.

Piemērs.

Atrodiet izteiksmes vērtību ar formas pakāpēm 2 3·4–10 +16·(1–1/2) 3,5–2·1/4.

Risinājums.

Sākotnējā izteiksmē ir divas pakāpes 2 3·4–10 un (1–1/2) 3,5–2·1/4. To vērtības jāaprēķina pirms citu darbību veikšanas.

Sāksim ar jaudu 2 3·4−10. Tās rādītājs satur skaitlisku izteiksmi, aprēķināsim tās vērtību: 3·4−10=12−10=2. Tagad jūs varat atrast pašas pakāpes vērtību: 2 3 · 4−10 =2 2 =4.

Bāze un eksponents (1–1/2) 3,5–2 1/4 satur izteiksmes, lai pēc tam atrastu eksponenta vērtību. Mums ir (1–1/2) 3,5–2 1/4 = (1/2) 3 = 1/8.

Tagad mēs atgriežamies pie sākotnējās izteiksmes, aizstājam tajā esošos grādus ar to vērtībām un atrodam vajadzīgās izteiksmes vērtību: 2 3·4–10 +16·(1–1/2) 3,5–2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Atbilde:

2 3·4–10 +16·(1–1/2) 3,5–2·1/4 =6.

Ir vērts atzīmēt, ka biežāk ir gadījumi, kad ieteicams veikt iepriekšēju pārbaudi izteiksmes vienkāršošana ar pilnvarām uz pamatnes.

Piemērs.

Atrodiet izteiciena nozīmi .

Risinājums.

Spriežot pēc eksponentiem šajā izteiksmē, precīzas vērtības Jūs nevarēsit iegūt grādus. Mēģināsim vienkāršot sākotnējo izteicienu, iespējams, tas palīdzēs atrast tā nozīmi. Mums ir

Atbilde:

.

Spēki izteiksmēs bieži vien iet roku rokā ar logaritmiem, bet par izteicienu nozīmes atrašanu ar logaritmiem mēs runāsim kādā no.

Izteiksmes ar daļskaitļiem vērtības atrašana

Skaitlisko izteiksmju apzīmējumos var būt daļskaitļi. Ja jums ir jāatrod šāda izteiksmes nozīme, daļskaitļi, kas nav daļskaitļi, ir jāaizstāj ar to vērtībām, pirms turpināt pārējās darbības.

Daļskaitļu skaitītājs un saucējs (kas atšķiras no parastajām daļām) var saturēt gan dažus skaitļus, gan izteiksmes. Lai aprēķinātu šādas daļskaitļa vērtību, jums jāaprēķina izteiksmes vērtība skaitītājā, jāaprēķina izteiksmes vērtība saucējā un pēc tam jāaprēķina pašas daļas vērtība. Šī secība ir izskaidrojama ar to, ka daļa a/b, kur a un b ir dažas izteiksmes, būtībā atspoguļo formas (a):(b) koeficientu, jo .

Apskatīsim risinājuma piemēru.

Piemērs.

Atrodiet izteiksmes nozīmi ar daļskaitļiem .

Risinājums.

Sākotnējā skaitliskā izteiksmē ir trīs daļas Un . Lai atrastu sākotnējās izteiksmes vērtību, mums vispirms ir jāaizstāj šīs daļas ar to vērtībām. Darīsim to.

Daļas skaitītājs un saucējs satur skaitļus. Lai atrastu šādas daļskaitļa vērtību, aizstājiet daļskaitļu joslu ar dalījuma zīmi un veiciet šo darbību: .

Daļas skaitītājā ir izteiksme 7−2·3, tās vērtību ir viegli atrast: 7−2·3=7−6=1. Tādējādi,. Varat turpināt atrast trešās daļdaļas vērtību.

Trešā daļa skaitītājā un saucējā satur skaitliskas izteiksmes, tāpēc vispirms ir jāaprēķina to vērtības, un tas ļaus jums atrast pašas daļas vērtību. Mums ir .

Atliek aizstāt atrastās vērtības sākotnējā izteiksmē un veikt atlikušās darbības: .

Atbilde:

.

Bieži vien, atrodot izteiksmju vērtības ar daļskaitļiem, jums ir jāveic daļskaitļu izteiksmju vienkāršošana, pamatojoties uz darbību veikšanu ar daļskaitļiem un reducējošām daļām.

Piemērs.

Atrodiet izteiciena nozīmi .

Risinājums.

Pieci sakni nevar iegūt pilnībā, tāpēc, lai atrastu sākotnējās izteiksmes vērtību, vispirms to vienkāršosim. Priekš šī atbrīvosimies no iracionalitātes saucējā pirmā daļa: . Pēc tam sākotnējā izteiksme iegūst formu . Pēc daļskaitļu atņemšanas saknes pazudīs, kas ļaus mums atrast sākotnēji dotās izteiksmes vērtību: .

Atbilde:

.

Ar logaritmiem

Ja skaitliskā izteiksme satur , un ja ir iespējams no tiem atbrīvoties, tad tas tiek darīts pirms citu darbību veikšanas. Piemēram, atrodot izteiksmes log 2 4+2·3 vērtību, logaritms log 2 4 tiek aizstāts ar tā vērtību 2, pēc kā tiek veiktas pārējās darbības parastajā secībā, tas ir, log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.

Ja zem logaritma zīmes un/vai tās pamatā ir skaitliskās izteiksmes, vispirms tiek atrastas to vērtības, pēc kurām tiek aprēķināta logaritma vērtība. Piemēram, apsveriet izteiksmi ar formas logaritmu . Logaritma pamatnē un zem tā zīmes atrodamas to vērtības: . Tagad mēs atrodam logaritmu, pēc kura pabeidzam aprēķinus: .

Ja logaritmi nav precīzi aprēķināti, tad to iepriekšēja vienkāršošana, izmantojot . Šajā gadījumā jums ir labi jāpārvalda raksta materiāls logaritmisko izteiksmju konvertēšana.

Piemērs.

Atrodiet izteiksmes vērtību ar logaritmiem .

Risinājums.

Sāksim ar log 2 aprēķinu (log 2 256) . Tā kā 256 = 2 8, tad log 2 256 = 8, tāpēc log 2 (log 2 256) = log 2 8 = log 2 2 3 = 3.

Logaritmus log 6 2 un log 6 3 var grupēt. Summa logaritmu žurnāls 6 2+log 6 3 ir vienāds ar reizinājuma logaritmu log 6 (2 3), tādējādi log 6 2+log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Tagad apskatīsim daļu. Sākumā mēs pārrakstām logaritma bāzi saucējā formā kopējā frakcija kā 1/5, pēc kura mēs izmantosim logaritmu īpašības, kas ļaus iegūt daļskaitļa vērtību:
.

Atliek tikai aizstāt iegūtos rezultātus ar sākotnējo izteiksmi un pabeigt tās vērtības atrašanu:

Atbilde:

Kā atrast trigonometriskās izteiksmes vērtību?

Ja skaitliskā izteiksmē ir vai utt., to vērtības tiek aprēķinātas pirms citu darbību veikšanas. Ja zem zīmes trigonometriskās funkcijas Ja ir skaitliskās izteiksmes, vispirms tiek aprēķinātas to vērtības, pēc tam tiek atrastas trigonometrisko funkciju vērtības.

Piemērs.

Atrodiet izteiciena nozīmi .

Risinājums.

Pievēršoties rakstam, mēs iegūstam un cosπ=−1 . Mēs aizstājam šīs vērtības sākotnējā izteiksmē, tā iegūst formu . Lai atrastu tā vērtību, vispirms jāveic eksponēšana un pēc tam jāpabeidz aprēķini: .

Atbilde:

.

Ir vērts atzīmēt, ka, aprēķinot izteiksmju vērtības ar sinusiem, kosinusiem utt. bieži prasa iepriekšēju trigonometriskās izteiksmes konvertēšana.

Piemērs.

Kāda ir trigonometriskās izteiksmes vērtība .

Risinājums.

Pārveidosim sākotnējo izteiksmi, izmantojot , šajā gadījumā mums būs nepieciešama dubultā leņķa kosinusa formula un summas kosinusa formula:

Mūsu veiktās pārvērtības palīdzēja mums atrast izteiciena nozīmi.

Atbilde:

.

Vispārējs gadījums

Parasti skaitliskā izteiksme var saturēt saknes, pakāpes, daļskaitļus, dažas funkcijas un iekavas. Šādu izteiksmju vērtību atrašana sastāv no šādu darbību veikšanas:

• pirmās saknes, pilnvaras, daļas utt. tiek aizstātas ar viņu vērtībām,
• turpmākās darbības iekavās,
• un secībā no kreisās puses uz labo tiek veiktas atlikušās darbības - reizināšana un dalīšana, kam seko saskaitīšana un atņemšana.

Uzskaitītās darbības tiek veiktas līdz gala rezultāta iegūšanai.

Piemērs.

Atrodiet izteiciena nozīmi .

Risinājums.

Šīs izteiksmes forma ir diezgan sarežģīta. Šajā izteiksmē mēs redzam daļskaitļus, saknes, pakāpes, sinusus un logaritmus. Kā atrast tā vērtību?

Pārvietojoties pa ierakstu no kreisās puses uz labo, mēs saskaramies ar veidlapas daļu . Mēs to zinām, strādājot ar daļskaitļiem sarežģīts veids, mums atsevišķi jāaprēķina skaitītāja vērtība, atsevišķi saucējs un visbeidzot jāatrod daļskaitļa vērtība.

Skaitītājā mums ir formas sakne . Lai noteiktu tās vērtību, vispirms jāaprēķina radikālas izteiksmes vērtība . Šeit ir sinusa. Mēs varam atrast tā vērtību tikai pēc izteiksmes vērtības aprēķināšanas . To mēs varam darīt:. Tad kur un no kurienes .

Saucējs ir vienkāršs: .

Tādējādi .

Pēc šī rezultāta aizstāšanas sākotnējā izteiksmē tam būs forma . Iegūtā izteiksme satur pakāpi . Lai atrastu tā vērtību, mums vispirms ir jāatrod rādītāja vērtība, kas mums ir .

Tātad,.

Atbilde:

.

Ja nav iespējams aprēķināt precīzas sakņu, jaudu utt. vērtības, varat mēģināt no tām atbrīvoties, izmantojot dažas transformācijas, un pēc tam atgriezties pie vērtības aprēķināšanas saskaņā ar norādīto shēmu.

Racionāli veidi, kā aprēķināt izteiksmju vērtības

Skaitlisko izteiksmju vērtību aprēķināšanai nepieciešama konsekvence un precizitāte. Jā, ir jāievēro iepriekšējos punktos ierakstītā darbību secība, taču tas nav jādara akli un mehāniski. Ar to mēs domājam, ka bieži vien ir iespējams racionalizēt izteiciena nozīmes atrašanas procesu. Piemēram, noteiktas darbības ar skaitļiem īpašības var ievērojami paātrināt un vienkāršot izteiksmes vērtības atrašanu.

Piemēram, mēs zinām šo reizināšanas īpašību: ja reizinājuma viens no faktoriem ir vienāds ar nulli, tad reizinājuma vērtība ir vienāda ar nulli. Izmantojot šo īpašību, mēs varam uzreiz teikt, ka izteiksmes vērtība 0·(2·3+893–3234:54·65–79·56·2,2)·(45·36−2·4+456:3·43) ir vienāds ar nulli. Ja mēs ievērotu standarta darbību secību, vispirms būtu jāaprēķina iekavās ievietoto apgrūtinošo izteiksmju vērtības, kas aizņemtu daudz laika, un rezultāts joprojām būtu nulle.

Ir arī ērti izmantot atņemšanas īpašību vienādi skaitļi: ja no skaitļa atņemat vienādu skaitli, rezultāts ir nulle. Šo īpašību var aplūkot plašāk: atšķirība starp divām identiskām skaitliskām izteiksmēm ir nulle. Piemēram, neaprēķinot iekavās esošo izteiksmju vērtību, varat atrast izteiksmes vērtību (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), tas ir vienāds ar nulli, jo sākotnējā izteiksme ir identisku izteiksmju atšķirība.

Identitātes transformācijas var atvieglot izteiksmes vērtību racionālu aprēķinu. Piemēram, ne retāk tiek lietots terminu un faktoru grupēšana; Tātad izteiksmes 53·5+53·7–53·11+5 vērtību ir ļoti viegli atrast, ja koeficients 53 tiek izņemts no iekavām: 53·(5+7–11)+5=53·1+5=53+5=58. Tiešais aprēķins aizņemtu daudz ilgāku laiku.

Noslēdzot šo punktu, pievērsīsim uzmanību racionālai pieejai izteiksmju vērtību aprēķināšanai ar daļskaitļiem - tiek atcelti identiski faktori frakcijas skaitītājā un saucējā. Piemēram, to pašu izteiksmju samazināšana daļskaitļa skaitītājā un saucējā ļauj nekavējoties atrast tā vērtību, kas ir vienāda ar 1/2.

Literālas izteiksmes un izteiksmes ar mainīgajiem vērtības atrašana

Literatūras izteiksmes un izteiksmes ar mainīgajiem vērtība tiek atrasta noteiktām burtu un mainīgo vērtībām. Tas ir, mēs runājam par par literālās izteiksmes vērtības atrašanu dotajām burtu vērtībām vai par izteiksmes vērtības atrašanu ar mainīgajiem atlasītajām mainīgo vērtībām.

Noteikums Literatūras izteiksmes vai izteiksmes ar mainīgajiem vērtības atrašana dotajām burtu vērtībām vai atlasītajām mainīgo vērtībām ir šāda: jums ir jāaizstāj norādītās burtu vai mainīgo vērtības sākotnējā izteiksmē un jāaprēķina rezultātā skaitliskā izteiksme, šī ir vēlamā vērtība.

Piemērs.

Aprēķiniet izteiksmes 0,5·x−y vērtību pie x=2,4 un y=5.

Risinājums.

Lai atrastu vajadzīgo izteiksmes vērtību, vispirms ir jāaizstāj norādītās mainīgo vērtības sākotnējā izteiksmē un pēc tam jāveic šādas darbības: 0,5·2,4–5=1,2–5=–3,8.

Atbilde:

−3,8 .

Noslēgumā mēs atzīmējam, ka dažreiz veicot transformācijas burtiski izteicieni un izteiksmes ar mainīgajiem ļauj iegūt to vērtības neatkarīgi no burtu un mainīgo vērtībām. Piemēram, izteiksmi x+3−x var vienkāršot, pēc tam tā iegūstot formu 3. No tā mēs varam secināt, ka izteiksmes x+3−x vērtība ir vienāda ar 3 jebkurai mainīgā x vērtībām no tā pieļaujamo vērtību diapazona (APV). Vēl viens piemērs: izteiksmes vērtība ir 1 visām pozitīvajām x vērtībām, tātad laukumam pieņemamām vērtībām mainīgais x sākotnējā izteiksmē ir pozitīvu skaitļu kopa, un šajā reģionā vienādība ir spēkā.

Bibliogrāfija.

• Matemātika: mācību grāmata 5. klasei. vispārējā izglītība iestādes / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izd., dzēsts. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 lpp.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matemātika. 6. klase: izglītojoša. vispārējai izglītībai iestādes / [N. Jā, Vilenkins un citi]. - 22. izd., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: mācību grāmata 7. klasei. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 17. izd. - M.: Izglītība, 2008. - 240 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: mācību grāmata 8. klasei. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M.: Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. klase: izglītojoša. vispārējai izglītībai iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M.: Izglītība, 2009. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 klasēm. vispārējā izglītība institūcijas / A. N. Kolmogorovs, A. M. Abramovs, Ju P. Dudņicins un citi; Ed. A. N. Kolmogorovs - 14. izd. - M.: Izglītība, 2004. - 384 lpp.: ISBN 5-09-013651-3.

Frakcionētas izteiksmes bērnam ir grūti saprast. Lielākajai daļai cilvēku ir grūtības ar. Studējot tēmu “daļskaitļu pievienošana ar veseliem skaitļiem”, bērns iekrīt stuporā, un viņam ir grūti atrisināt problēmu. Daudzos piemēros pirms darbības veikšanas ir jāveic virkne aprēķinu. Piemēram, konvertējiet daļskaitļus vai pārveidojiet nepareizo daļskaitli par pareizu daļu.

Skaidrosim to bērnam. Ņemsim trīs ābolus, no kuriem divi būs veseli, un trešo sagriežam 4 daļās. Atdaliet vienu šķēli no sagrieztā ābola, bet atlikušās trīs novietojiet blakus diviem veseliem augļiem. Mēs iegūstam ¼ ābolu no vienas puses un 2 ¾ no otras puses. Ja mēs tos apvienojam, mēs iegūstam trīs ābolus. Mēģināsim samazināt 2 ¾ ābolus par ¼, tas ir, noņemiet vēl vienu šķēli, mēs iegūstam 2 2/4 ābolus.

Sīkāk apskatīsim darbības ar daļskaitļiem, kas satur veselus skaitļus:

Vispirms atcerēsimies aprēķina noteikumu daļskaitļu izteiksmēm ar kopsaucēju:

No pirmā acu uzmetiena viss ir viegli un vienkārši. Bet tas attiecas tikai uz izteiksmēm, kurām nav nepieciešama konvertēšana.

Kā atrast izteiksmes vērtību, ja saucēji ir atšķirīgi

Dažos uzdevumos jāatrod tāda izteiksmes nozīme, kur saucēji ir atšķirīgi. Apskatīsim konkrētu gadījumu:
3 2/7+6 1/3

Atradīsim šīs izteiksmes vērtību, atrodot kopsaucēju divām daļām.

Skaitļiem 7 un 3 tas ir 21. Veselo skaitļu daļas atstājam nemainīgas un daļdaļas salīdzinām līdz 21, šim nolūkam pirmo daļu reizinām ar 3, otro ar 7, iegūstam:
21.06.+7.21., neaizmirstiet, ka veselas daļas nevar pārveidot. Rezultātā mēs iegūstam divas daļas ar vienu un to pašu saucēju un aprēķinām to summu:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Kā rīkoties, ja pievienošanas rezultātā tiek iegūta nepareiza daļa, kurai jau ir vesela skaitļa daļa:
2 1/3+3 2/3
Šajā gadījumā mēs saskaitām veselās daļas un daļdaļas, iegūstam:
5 3/3, kā zināms, 3/3 ir viens, kas nozīmē 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Summas atrašana ir skaidra, apskatīsim atņemšanu:

No visa teiktā izriet noteikums operācijām ar jauktiem skaitļiem:

• Ja no daļskaitļa ir jāatņem vesels skaitlis, otrais skaitlis nav jāattēlo kā daļskaitlis, pietiek ar darbību veikt tikai ar veselām daļām.

Mēģināsim paši aprēķināt izteicienu nozīmi:

Sakārtosim to vairāk piemēru zem burta "m":

4 5/11-2 8/11, pirmās daļas skaitītājs ir mazāks par otro. Lai to izdarītu, mēs aizņemamies vienu veselu skaitli no pirmās daļdaļas, iegūstam,
3 5/11+11/11=3 veseli 16/11, no pirmās daļdaļas atņem otro:
3 16/11-2 8/11=1 vesels 8/11

• Esiet piesardzīgs, izpildot uzdevumu, neaizmirstiet pārvērst nepareizās daļskaitļus jauktās daļās, izceļot visu daļu. Lai to izdarītu, skaitītāja vērtība ir jāsadala ar saucēja vērtību, tad notiekošais aizņem visu daļu, atlikums būs skaitītājs, piemēram:

19/4=4 ¾, pārbaudīsim: 4*4+3=19, saucējs 4 paliek nemainīgs.

Apkopojiet:

Pirms uzsākt ar daļskaitļiem saistītu uzdevumu, jāanalizē, kāda veida izteiksme tā ir, kādas transformācijas jāveic daļskaitlī, lai risinājums būtu pareizs. Meklējiet racionālāku risinājumu. Neejiet grūtāko ceļu. Plānojiet visas darbības, vispirms atrisiniet tās melnraksta formā, pēc tam pārsūtiet uz skolas piezīmju grāmatiņu.

Lai izvairītos no neskaidrībām, risinot daļskaitļus, jums jāievēro konsekvences noteikums. Izlemiet visu uzmanīgi, nesteidzoties.