Atrodiet katras 2x2 matricas definīciju. Katrs jebkuras matricas elements, ieskaitot transponēto, ir saistīts ar atbilstošu 2x2 matricu. Lai atrastu 2x2 matricu, kas atbilst konkrētam elementam, izsvītrojiet rindu un kolonnu, kurā atrodas dotais elements, tas ir, jums ir jāizsvītro pieci sākotnējās 3x3 matricas elementi. Nešķērsoti paliks četri elementi, kas ir atbilstošās 2x2 matricas elementi.

• Piemēram, lai atrastu 2x2 matricu elementam, kas atrodas otrās rindas un pirmās kolonnas krustpunktā, izsvītrojiet piecus elementus, kas atrodas otrajā rindā un pirmajā kolonnā. Atlikušie četri elementi ir atbilstošās 2x2 matricas elementi.
• Atrodiet katras 2x2 matricas determinantu. Lai to izdarītu, no galvenās diagonāles elementu reizinājuma atņem sekundārās diagonāles elementu reizinājumu (sk. attēlu).
• Detalizētu informāciju par 2x2 matricām, kas atbilst konkrētiem 3x3 matricas elementiem, var atrast internetā.

Izveidojiet kofaktoru matricu. Iepriekš iegūtos rezultātus pierakstiet jaunas kofaktoru matricas veidā. Lai to izdarītu, uzrakstiet katras 2x2 matricas atrasto determinantu, kurā atradās attiecīgais 3x3 matricas elements. Piemēram, ja apsverat 2x2 matricu elementam (1,1), ierakstiet tā determinantu pozīcijā (1,1). Pēc tam nomainiet atbilstošo elementu zīmes saskaņā ar noteiktu shēmu, kas parādīta attēlā.

• Zīmju maiņas shēma: pirmās rindas pirmā elementa zīme nemainās; pirmās rindas otrā elementa zīme ir apgriezta; pirmās rindas trešā elementa zīme nemainās, un tā rindiņu pa rindiņai. Lūdzu, ņemiet vērā, ka diagrammā redzamās zīmes “+” un “-” (skat. attēlu) nenorāda, ka attiecīgais elements būs pozitīvs vai negatīvs. Šajā gadījumā zīme “+” norāda, ka elementa zīme nemainās, un zīme “-” norāda uz elementa zīmes maiņu.
• Detalizētu informāciju par kofaktoru matricām var atrast internetā.
• Tādā veidā jūs atradīsiet sākotnējās matricas adjoint matricu. Dažreiz to sauc par sarežģītu konjugētu matricu. Šāda matrica tiek apzīmēta kā adj(M).

Sadaliet katru adjungētās matricas elementu ar tā determinantu. Matricas M determinants tika aprēķināts pašā sākumā, lai to pārbaudītu apgrieztā matrica pastāv. Tagad sadaliet katru blakus esošās matricas elementu ar šo determinantu. Uzrakstiet katras dalīšanas darbības rezultātu, kur atrodas attiecīgais elements. Tādā veidā jūs atradīsiet matricu apgriezti oriģinālajai.

• Matricas determinants, kas parādīts attēlā, ir 1. Tādējādi šeit blakus matrica ir apgrieztā matrica (jo, ja jebkurš skaitlis tiek dalīts ar 1, tas nemainās).
• Dažos avotos dalīšanas darbība tiek aizstāta ar reizināšanas ar 1/det(M) darbību. Tomēr gala rezultāts nemainās.

Uzrakstiet apgriezto matricu. Uzrakstiet elementus, kas atrodas lielās matricas labajā pusē, kā atsevišķu matricu, kas ir apgrieztā matrica.

Ievadiet sākotnējo matricu kalkulatora atmiņā. Lai to izdarītu, noklikšķiniet uz pogas Matrix, ja tā ir pieejama. Texas Instruments kalkulatoram, iespējams, būs jānospiež 2. un Matrix pogas.

Atlasiet izvēlni Rediģēt. Dariet to, izmantojot bultiņu pogas vai atbilstošo funkciju pogu, kas atrodas kalkulatora tastatūras augšpusē (pogas atrašanās vieta atšķiras atkarībā no kalkulatora modeļa).

Ievadiet matricas apzīmējumu. Lielākā daļa grafisko kalkulatoru var strādāt ar 3-10 matricām, kuras var apzīmēt burti A-J. Parasti vienkārši atlasiet [A], lai norādītu sākotnējo matricu. Pēc tam nospiediet taustiņu Enter.

Ievadiet matricas izmēru.Šajā rakstā ir runāts par 3x3 matricām. Bet grafiskie kalkulatori var strādāt ar matricām lieli izmēri. Ievadiet rindu skaitu, nospiediet taustiņu Enter, pēc tam ievadiet kolonnu skaitu un vēlreiz nospiediet taustiņu Enter.

Ievadiet katru matricas elementu. Kalkulatora ekrānā tiks parādīta matrica. Ja iepriekš kalkulatorā esat ievadījis matricu, tā parādīsies ekrānā. Kursors iezīmēs pirmo matricas elementu. Ievadiet pirmā elementa vērtību un nospiediet taustiņu Enter. Kursors automātiski pārvietosies uz nākamo matricas elementu.

1. definīcija: matricu sauc par vienskaitli, ja tās determinants ir nulle.

2. definīcija: matricu sauc par nevienskaitli, ja tās determinants nav vienāds ar nulli.

Matricu "A" sauc apgrieztā matrica, ja ir izpildīts nosacījums A*A-1 = A-1 *A = E (vienību matrica).

Kvadrātveida matrica ir apgriežama tikai tad, ja tā nav vienskaitlī.

Shēma apgrieztās matricas aprēķināšanai:

1) Aprēķināt matricas "A" determinantu, ja ∆ A = 0, tad apgrieztā matrica nepastāv.

2) Atrodiet visus matricas "A" algebriskos papildinājumus.

3) Izveidojiet algebrisko saskaitījumu matricu (Aij)

4) Transponē algebrisko komplementu matricu (Aij )T

5) Reiziniet transponēto matricu ar šīs matricas determinanta apgriezto vērtību.

6) Veiciet pārbaudi:

No pirmā acu uzmetiena tas var šķist sarežģīti, bet patiesībā viss ir ļoti vienkārši. Visi risinājumi ir balstīti uz vienkāršām aritmētiskām darbībām, galvenais risinot ir neapjukt ar “-” un “+” zīmēm un tās nepazaudēt.

Tagad kopīgi atrisināsim praktisku uzdevumu, aprēķinot apgriezto matricu.

Uzdevums: atrodiet apgriezto matricu "A", kas parādīta attēlā zemāk:

1. Pirmā lieta, kas jādara, ir atrast matricas "A" determinantu:

Paskaidrojums:

Mēs esam vienkāršojuši savu noteicēju, izmantojot tā pamatfunkcijas. Pirmkārt, mēs pievienojām 2. un 3. rindai pirmās rindas elementus, kas reizināti ar vienu skaitli.

Otrkārt, nomainījām determinanta 2. un 3. aili, un atbilstoši tā īpašībām mainījām zīmi priekšā.

Treškārt, mēs izņēmām otrās rindas kopējo koeficientu (-1), tādējādi atkal mainot zīmi, un tas kļuva pozitīvs. Mēs arī vienkāršojām 3. rindiņu tāpat kā piemēra pašā sākumā.

Mums ir trīsstūra determinants, kura elementi zem diagonāles ir vienādi ar nulli, un pēc īpašības 7 tas ir vienāds ar diagonālo elementu reizinājumu. Galu galā mēs saņēmām ∆ A = 26, tāpēc pastāv apgrieztā matrica.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 = -1*(9+2) = -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Nākamais solis ir sastādīt matricu no iegūtajiem papildinājumiem:

5. Reiziniet šo matricu ar determinanta apgriezto vērtību, tas ir, ar 1/26:

6. Tagad mums tikai jāpārbauda:

Pārbaudes laikā mēs saņēmām identitātes matricu, tāpēc risinājums tika veikts absolūti pareizi.

2 veids, kā aprēķināt apgriezto matricu.

1. Elementārās matricas transformācija

2. Apgrieztā matrica caur elementāro pārveidotāju.

Elementārā matricas transformācija ietver:

1. Virknes reizināšana ar skaitli, kas nav vienāds ar nulli.

2. Jebkurai rindai pievienojot citu rindu, kas reizināta ar skaitli.

3. Apmainiet matricas rindas.

4. Pielietojot elementāru pārveidojumu ķēdi, iegūstam citu matricu.

A -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2.A -1 * A = E

Apskatīsim šo praktisks piemērs ar reāliem skaitļiem.

Vingrinājums: Atrodiet apgriezto matricu.

Risinājums:

Pārbaudīsim:

Neliels risinājuma skaidrojums:

Pirmkārt, mēs pārkārtojām matricas 1. un 2. rindu, pēc tam pirmo rindu reizinām ar (-1).

Pēc tam mēs reizinājām pirmo rindu ar (-2) un pievienojām to ar otro matricas rindu. Tad mēs reizinām 2. rindu ar 1/4.

Pārveidošanas pēdējais posms bija otrās rindas reizināšana ar 2 un pievienošana pirmajai. Tā rezultātā mums ir identitātes matrica kreisajā pusē, tāpēc apgrieztā matrica ir matrica labajā pusē.

Pēc pārbaudes mēs pārliecinājāmies, ka lēmums ir pareizs.

Kā redzat, apgrieztās matricas aprēķināšana ir ļoti vienkārša.

Šīs lekcijas noslēgumā es arī vēlētos nedaudz laika veltīt šādas matricas īpašībām.

Dotās matricas apgrieztā matrica ir tāda matrica, kas reizinot sākotnējo matricu, iegūst identitātes matricu: Obligāts un pietiekams nosacījums apgrieztās matricas klātbūtnei ir tas, ka sākotnējās matricas determinants ir nav vienāds ar nulli (kas savukārt nozīmē, ka matricai jābūt kvadrātveida). Ja matricas determinants ir vienāds ar nulli, tad to sauc par vienskaitli un šādai matricai nav inversa. IN augstākā matemātika apgrieztās matricas ir svarīgas un tiek izmantotas, lai atrisinātu vairākas problēmas. Piemēram, uz apgrieztās matricas atrašana tika konstruēta matricu metode vienādojumu sistēmu risināšanai. Mūsu pakalpojumu vietne ļauj Aprēķiniet apgriezto matricu tiešsaistē divas metodes: Gausa-Jordana metode un algebrisko saskaitījumu matricas izmantošana. Pārtraukums nozīmē liels skaits elementāras pārvērtības matricas iekšienē, otrais ir determinantu un algebrisko papildinājumu aprēķins visiem elementiem. Lai tiešsaistē aprēķinātu matricas determinantu, varat izmantot mūsu citu pakalpojumu - Matricas determinanta aprēķināšana tiešsaistē

Atrodiet vietnes apgriezto matricu

tīmekļa vietneļauj atrast apgrieztā matrica tiešsaistēātri un bez maksas. Vietnē tiek veikti aprēķini, izmantojot mūsu pakalpojumu, un rezultāts tiek sniegts ar detalizētu risinājumu atrašanai apgrieztā matrica. Serveris vienmēr sniedz tikai precīzu un pareizu atbildi. Uzdevumos pēc definīcijas apgrieztā matrica tiešsaistē, nepieciešams, lai determinants matricas nebija nulle, pretējā gadījumā tīmekļa vietne ziņos par neiespējamību atrast apgriezto matricu, jo sākotnējās matricas determinants ir vienāds ar nulli. Uzdevums atrast apgrieztā matrica atrodams daudzās matemātikas nozarēs, kas ir viens no algebras pamatjēdzieniem un matemātisks instruments lietišķo problēmu risināšanā. Neatkarīga apgrieztās matricas definīcija prasa ievērojamas pūles, daudz laika, aprēķinus un lielu rūpību, lai izvairītos no drukas kļūdām vai nelielām kļūdām aprēķinos. Tāpēc mūsu pakalpojums apgrieztās matricas atrašana tiešsaistē ievērojami atvieglos jūsu uzdevumu un kļūs par neaizstājamu rīku matemātisko uzdevumu risināšanā. Pat ja jūs atrast apgriezto matricu pats, iesakām pārbaudīt savu risinājumu mūsu serverī. Ievadiet savu sākotnējo matricu mūsu vietnē Aprēķiniet apgriezto matricu tiešsaistē un pārbaudiet savu atbildi. Mūsu sistēma nekad nepieļauj kļūdas un neatrod apgrieztā matrica dotā dimensija režīmā tiešsaistē uzreiz! Vietnē tīmekļa vietne rakstzīmju ieraksti ir atļauti elementos matricas, šajā gadījumā apgrieztā matrica tiešsaistē tiks pasniegta vispārīgā simboliskā formā.

Daudzos īpašībās līdzīgi kā apgrieztā veidā.

Enciklopēdisks YouTube

1 / 5

✪ Kā atrast matricas apgriezto vērtību - bezbotvy

✪ Apgrieztā matrica (2 veidi, kā atrast)

✪ Apgrieztā matrica #1

✪ 2015-01-28. Apgrieztā 3x3 matrica

✪ 2015-01-27. Apgrieztā matrica 2x2

Subtitri

Apgrieztās matricas īpašības

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Kur det (\displaystyle \\det) apzīmē noteicēju.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) divām kvadrātveida invertējamām matricām A (\displaystyle A) Un B (\displeja stils B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Kur (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) apzīmē transponētu matricu.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) jebkuram koeficientam k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• Ja nepieciešams atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu, (b ir nulles vektors), kur x (\displaystyle x) ir vēlamais vektors, un ja A – 1 (\displaystyle A^(-1)) tad pastāv x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Pretējā gadījumā vai nu risinājuma telpas izmērs ir lielāks par nulli, vai arī risinājumu nav vispār.

Apgrieztās matricas atrašanas metodes

Ja matrica ir invertējama, tad, lai atrastu apgriezto matricu, varat izmantot vienu no šīm metodēm:

Precīzas (tiešās) metodes

Gausa-Jordānas metode

Ņemsim divas matricas: the A un vientuļš E. Iesniegsim matricu A identitātes matricai, izmantojot Gausa-Jordana metodi, pielietojot transformācijas pa rindām (pārveidojumus var pielietot arī pa kolonnām, bet ne jauktus). Pēc katras darbības piemērošanas pirmajai matricai piemērojiet to pašu darbību otrajai. Kad būs pabeigta pirmās matricas reducēšana uz vienības formu, otrā matrica būs vienāda ar A-1.

Izmantojot Gausa metodi, pirmā matrica kreisajā pusē tiks reizināta ar vienu no elementārajām matricām Λ i (\displaystyle\Lambda _(i))(transvekcijas vai diagonāles matrica ar mērvienībām galvenajā diagonālē, izņemot vienu pozīciju):

Otrā matrica pēc visu darbību piemērošanas būs vienāda ar Λ (\displaystyle\Lambda), tas ir, tas būs vēlamais. Algoritma sarežģītība - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Izmantojot algebrisko komplementa matricu

Matricas matricas inverss A (\displaystyle A), var attēlot formā

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Kur adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- adjoint matrica;

Algoritma sarežģītība ir atkarīga no determinanta O det aprēķināšanas algoritma sarežģītības un ir vienāda ar O(n²)·O det.

Izmantojot LU/LUP sadalīšanu

Matricas vienādojums A X = I n (\displaystyle AX=I_(n)) apgrieztajai matricai X (\displaystyle X) var uzskatīt par kolekciju n (\displaystyle n) formas sistēmas A x = b (\displaystyle Ax=b). Apzīmēsim i (\displaystyle i) matricas kolonnā X (\displaystyle X) cauri X i (\displaystyle X_(i)); Tad A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),tāpēc ka i (\displaystyle i) matricas kolonnā I n (\displaystyle I_(n)) ir vienības vektors e i (\displaystyle e_(i)). citiem vārdiem sakot, apgrieztās matricas atrašana nozīmē n vienādojumu atrisināšanu ar vienu un to pašu matricu un dažādām labajām pusēm. Pēc LUP sadalīšanas (O(n³) laiks) katra n vienādojuma atrisināšanai nepieciešams O(n²) laiks, tāpēc arī šai darba daļai nepieciešams O(n³) laiks.

Ja matrica A nav vienskaitlī, tad tai var aprēķināt LUP sadalīšanos P A = L U (\displaystyle PA=LU). Ļaujiet P A = B (\displaystyle PA=B), B–1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Tad no apgrieztās matricas īpašībām mēs varam rakstīt: D = U – 1 L–1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Reizinot šo vienādību ar U un L, jūs varat iegūt divas formas vienādības U D = L–1 (\displaystyle UD=L^(-1)) Un D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Pirmā no šīm vienādībām attēlo n² sistēmu lineārie vienādojumi Priekš n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) no kurām ir zināmas labās puses (no trīsstūrveida matricu īpašībām). Otrais arī attēlo n² lineāro vienādojumu sistēmu priekš n (n - 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) no kurām ir zināmas labās puses (arī no trīsstūrveida matricu īpašībām). Kopā tie pārstāv n² vienādību sistēmu. Izmantojot šīs vienādības, mēs varam rekursīvi noteikt visus n² matricas D elementus. Tad no vienādības (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. iegūstam vienādību A – 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

LU dekompozīcijas izmantošanas gadījumā nav nepieciešama matricas D kolonnu permutācija, taču risinājums var atšķirties pat tad, ja matrica A nav vienskaitlī.

Algoritma sarežģītība ir O(n³).

Iteratīvās metodes

Šulca metodes

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),),\\U_() k+1)=U_(k)\summa _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\beigas(gadījumi)))

Kļūdas aprēķins

Sākotnējās tuvināšanas izvēle

Sākotnējās aproksimācijas izvēles problēma šeit aplūkotajos iteratīvās matricas inversijas procesos neļauj tos traktēt kā neatkarīgas universālas metodes, kas konkurē ar tiešās inversijas metodēm, kuru pamatā ir, piemēram, uz matricu LU dekompozīcija. Ir daži ieteikumi izvēlei U 0 (\displaystyle U_(0)), nodrošinot nosacījuma izpildi ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (matricas spektrālais rādiuss ir mazāks par vienotību), kas ir nepieciešams un pietiekams procesa konverģencei. Tomēr šajā gadījumā, pirmkārt, no augšas ir jāzina aprēķins par invertējamās matricas A vai matricas spektru A A T (\displaystyle AA^(T))(proti, ja A ir simetriska pozitīva noteikta matrica un ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta), tad var ņemt U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Kur ; ja A ir patvaļīga nevienskaitļa matrica un ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), tad viņi tic U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), kur arī α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Jūs, protams, varat vienkāršot situāciju un izmantot to, ka ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), ielieciet U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Otrkārt, šādi norādot sākotnējo matricu, nav garantijas, ka ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) būs mazs (varbūt pat izrādīsies ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), un augsta konverģences līmeņa secība netiks atklāta nekavējoties.

Piemēri

Matrica 2x2

2x2 matricas inversija ir iespējama tikai ar nosacījumu, ka a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).