mājas

Pitagora teorēmas pierādīšanas metodes.

G. Glāzers,
Maskavas Krievijas Izglītības akadēmijas akadēmiķis

Par Pitagora teorēmu un tās pierādīšanas metodēm

Kvadrāta laukums, kas uzbūvēts uz taisnleņķa trijstūra hipotenūzas, ir vienāds ar kvadrātu laukumu summu, kas uzcelta uz tā kājām...

Šī ir viena no slavenākajām senatnes ģeometriskajām teorēmām, ko sauc par Pitagora teorēmu. Gandrīz visi, kas kādreiz ir studējuši planimetriju, to zina arī tagad. Man šķiet, ka, ja mēs vēlamies jums paziņot ārpuszemes civilizācijas par saprātīgas dzīvības esamību uz Zemes, tad Pitagora figūras attēlu vajadzētu nosūtīt kosmosā. Domāju, ja domājošas būtnes spēj pieņemt šo informāciju, tad bez sarežģītas signālu dekodēšanas sapratīs, ka uz Zemes ir diezgan attīstīta civilizācija.

Slavenais grieķu filozofs un matemātiķis Pitagors no Samos, kura vārdā ir nosaukta teorēma, dzīvoja apmēram pirms 2,5 tūkstošiem gadu. Biogrāfiskā informācija, kas mūs sasniegusi par Pitagoru, ir fragmentāra un ne tuvu nav ticama. Ar viņa vārdu ir saistītas daudzas leģendas. Ir ticami zināms, ka Pitagors daudz ceļoja pa Austrumu valstīm, apmeklējot Ēģipti un Babilonu. Vienā no Grieķijas kolonijām Dienviditālija viņš nodibināja slaveno “Pitagora skolu”, kurai bija nozīmīga loma zinātniskajā un politiskā dzīve senā Grieķija. Tas ir Pitagors, kuram piedēvē slavenās ģeometriskās teorēmas pierādīšanu. Pamatojoties uz leģendām, ko izplatījuši slaveni matemātiķi (Prokls, Plutarhs utt.), ilgu laiku Tika uzskatīts, ka šī teorēma nebija zināma pirms Pitagora, tāpēc arī nosaukums - Pitagora teorēma.

Tomēr nav šaubu, ka šī teorēma bija zināma daudzus gadus pirms Pitagora. Tādējādi 1500 gadus pirms Pitagora senie ēģiptieši zināja, ka trijstūris ar malām 3, 4 un 5 ir taisnleņķis, un izmantoja šo īpašību (t.i., teorēmu). teorēmas apvērsums Pitagors) taisnu leņķu veidošanai plānošanas laikā zemes gabali un būvkonstrukcijas. Arī mūsdienās lauku celtnieki un galdnieki, liekot būdiņas pamatus un izgatavojot tās daļas, zīmē šo trīsstūri, lai iegūtu taisnu leņķi. Tas pats tika darīts pirms tūkstošiem gadu, veidojot lieliskus tempļus Ēģiptē, Babilonā, Ķīnā un, iespējams, arī Meksikā. Vecākais ķīniešu matemātiskais un astronomiskais darbs, kas līdz mums ir nonācis Džou Bi, rakstīts apmēram 600 gadus pirms Pitagora, cita starpā satur arī Pitagora teorēmu, kas saistīti ar taisnleņķa trīsstūri. Vēl agrāk šī teorēma bija zināma hinduistiem. Tādējādi Pitagors neatklāja šo taisnleņķa trijstūra īpašību, viņš, iespējams, bija pirmais, kas to vispārināja un pierādīja, tādējādi pārnesot to no prakses jomas uz zinātnes jomu. Mēs nezinām, kā viņš to izdarīja. Daži matemātikas vēsturnieki pieņem, ka Pitagora pierādījums nebija fundamentāls, bet gan tikai apstiprinājums, šīs īpašības pārbaude vairāku veidu trijstūriem, sākot ar vienādsānu taisnstūra trīsstūri, par ko tas acīmredzami izriet no att. 1.

AR Kopš seniem laikiem matemātiķi ir atraduši arvien jaunus Pitagora teorēmas pierādījumus, arvien jaunas idejas tās pierādīšanai. Ir zināmi vairāk nekā simt piecdesmit šādi pierādījumi - vairāk vai mazāk stingri, vairāk vai mazāk vizuāli, taču vēlme to skaitu palielināt ir saglabājusies. Domāju, ka mūsdienu skolēniem noderēs neatkarīga Pitagora teorēmas pierādījumu “atklāšana”.

Apskatīsim dažus pierādījumu piemērus, kas var ieteikt šādu meklējumu virzienu.

Pitagora pierādījums

"Kvadrāts, kas uzcelts uz taisnleņķa trīsstūra hipotenūzas, ir vienāds ar kvadrātu summu, kas uzcelta uz tā kājām." Vienkāršākais teorēmas pierādījums tiek iegūts vienkāršākajā vienādsānu taisnstūra trijstūra gadījumā. Šeit, iespējams, sākās teorēma. Patiesībā pietiek tikai paskatīties uz vienādsānu taisnstūra trīsstūru mozaīku, lai pārliecinātos par teorēmas pamatotību. Piemēram, DABC: kvadrāts, kas uzbūvēts uz hipotenūzas AC, satur 4 oriģinālos trīsstūrus un kvadrātus, kas veidoti uz divu kājiņu. Teorēma ir pierādīta.

Pierādījumi, kas balstīti uz vienāda lieluma figūru jēdziena lietojumu.

Šajā gadījumā mēs varam apsvērt pierādījumus, kuros kvadrāts, kas uzbūvēts uz dotā taisnleņķa trijstūra hipotenūzas, ir “salikts” no tādām pašām figūrām kā kvadrāti, kas uzbūvēti uz sāniem. Varam apsvērt arī pierādījumus, kas izmanto skaitļu summēšanas pārkārtojumus un ņem vērā vairākas jaunas idejas.

Attēlā 2 parāda divus vienādus kvadrātus. Katra kvadrāta malu garums ir a + b. Katrs no kvadrātiem ir sadalīts daļās, kas sastāv no kvadrātiem un taisnleņķa trijstūriem. Ir skaidrs, ka, ja no kvadrāta laukuma četrkāršosim taisnleņķa trijstūra laukumu ar kājiņām a, b, tad mums paliks vienādas platības, t.i., c 2 = a 2 + b 2 . Taču senie hinduisti, kuriem šis prātojums pieder, parasti to nepierakstīja, bet zīmējumu papildināja tikai ar vienu vārdu: “skaties!” Pilnīgi iespējams, ka Pitagors piedāvāja tādu pašu pierādījumu.

Papildu pierādījumi.

Šo pierādījumu pamatā ir uz kājām uzbūvētu kvadrātu sadalīšana figūrās, no kurām var pievienot kvadrātu, kas uzbūvēts uz hipotenūzas.

Šeit: ABC ir taisnleņķa trīsstūris ar taisnu leņķi C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Patstāvīgi pierādiet pāru vienādību trijstūriem, kas iegūti, sadalot kvadrātus, kas uzbūvēti uz kājām un hipotenūzu.

Pierādiet teorēmu, izmantojot šo nodalījumu.

 Pamatojoties uz al-Nayriziyah pierādījumu, tika veikta vēl viena kvadrātu sadalīšana pa pāriem vienādās figūrās (5. att., šeit ABC ir taisnleņķa trīsstūris ar taisnleņķi C).

 Cits pierādījums, izmantojot kvadrātu sadalīšanas vienādās daļās metodi, ko sauc par “riteni ar asmeņiem”, ir parādīts attēlā. 6. Šeit: ABC ir taisnleņķa trīsstūris ar taisnu leņķi C; O ir kvadrāta centrs, kas uzbūvēts uz lielas malas; punktētas līnijas, kas iet caur punktu O, ir perpendikulāras vai paralēlas hipotenūzai.

 Šis kvadrātu sadalījums ir interesants, jo tā pāros vienādos četrstūrus var attēlot vienu ar otru, veicot paralēlo translāciju. Daudzus citus Pitagora teorēmas pierādījumus var piedāvāt, izmantojot kvadrātu sadalīšanu skaitļos.

Pierādījumi pēc aizpildīšanas metodes.

Šīs metodes būtība ir tāda, ka kvadrātiem, kas uzbūvēti uz kājām, un kvadrātam, kas uzbūvēts uz hipotenūzas, tiek pievienotas vienādas figūras tā, lai iegūtu vienādas figūras.

Pitagora teorēmas derīgums izriet no sešstūru AEDFPB un ACBNMQ vienāda izmēra. Šeit CEP, taisne EP sadala sešstūri AEDFPB divos vienādos četrstūros, taisne CM sadala sešstūri ACBNMQ divos vienādos četrstūros; Pagriežot plakni par 90° ap centru A, četrstūris AEPB tiek kartēts uz četrstūri ACMQ.

Attēlā 8 Pitagora figūra ir pabeigta līdz taisnstūrim, kura malas ir paralēlas sānos izbūvēto kvadrātu attiecīgajām malām. Sadalīsim šo taisnstūri trīsstūros un taisnstūros. No iegūtā taisnstūra vispirms atņemam visus daudzstūrus 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, atstājot uz hipotenūzas uzceltu kvadrātu. Tad no tā paša taisnstūra atņemam taisnstūrus 5, 6, 7 un ēnotos taisnstūrus, iegūstam kvadrātus, kas uzbūvēti uz kājām.

Tagad pierādīsim, ka pirmajā gadījumā atņemtie skaitļi pēc lieluma ir vienādi ar otrajā gadījumā atņemtajiem skaitļiem.

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2 ;

tātad c 2 = a 2 + b 2 .

OCLP = ACLF = ACED = b 2 ;

CBML = CBNQ = a 2 ;

OBMP = ABMF = c 2;

OBMP = OCLP + CBML;

c 2 = a 2 + b 2 .

Algebriskā pierādīšanas metode.

	Rīsi. 12 ilustrē izcilā Indijas matemātiķa Bhaskari (slavenais autors Lilavati, X. II gadsimts). Zīmējumu pavadīja tikai viens vārds: SKATIES! Starp Pitagora teorēmas pierādījumiem algebriskā metode Pirmo vietu (varbūt vecāko) ieņem pierādījums, izmantojot līdzību.
	Prezentēsim mūsdienīgā prezentācijā vienu no šiem pierādījumiem, pateicoties Pitagoram.

N un att. 13 ABC – taisnstūrveida, C – taisnleņķis, CMAB, b 1 – kājas b projekcija uz hipotenūzu, a 1 – kājas a projekcija uz hipotenūzu, h – uz hipotenūzu novilktā trijstūra augstums.

No tā, ka ABC ir līdzīgs ACM, tas izriet

b2 = cb1; (1)

no tā, ka ABC ir līdzīgs BCM, izriet

a 2 = aptuveni 1. (2)

Saskaitot vienādības (1) un (2) pa vārdam, iegūstam a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Ja Pitagors piedāvāja šādu pierādījumu, tad viņš bija pazīstams arī ar vairākām svarīgām ģeometriskām teorēmām, kuras mūsdienu matemātikas vēsturnieki parasti piedēvē Eiklidam.

Moehlmann pierādījums (14. att.). Dotā taisnleņķa trīsstūra laukums, no vienas puses, ir vienāds ar otru, kur p ir trijstūra pusperimetrs, r ir tajā ierakstītā apļa rādiuss Mums ir:

no kā izriet, ka c 2 =a 2 + b 2.

otrajā

Pielīdzinot šīs izteiksmes, mēs iegūstam Pitagora teorēmu.

Kombinētā metode

Trijstūru vienādība

c 2 = a 2 + b 2 . (3)

Salīdzinot attiecības (3) un (4), mēs iegūstam to

c 1 2 = c 2 vai c 1 = c.

Tādējādi trīsstūri - dotie un izveidotie - ir vienādi, jo tiem ir attiecīgi trīs vienādas puses. Leņķis C 1 ir taisns, tātad arī šī trijstūra leņķis C ir taisns.

Senās Indijas liecības.

Senās Indijas matemātiķi pamanīja, ka, lai pierādītu Pitagora teorēmu, pietiek izmantot iekšējā daļa seno ķīniešu zīmējums. Traktātā “Siddhanta Shiromani” (“Zināšanu kronis”), ko uz palmu lapām uzrakstījis 19. gadsimta izcilākais Indijas matemātiķis. Bha-skaras ir ievietotas zīmējumā (4. att.)

Indijas liecībām raksturīgs vārds "skaties!" Kā redzat, šeit ir izvietoti taisnleņķa trīsstūri ar hipotenūzu uz āru un kvadrātu Ar 2 pārcelts uz "līgavas krēslu" Ar 2 -b 2 . Ņemiet vērā, ka Pitagora teorēmas īpašie gadījumi (piemēram, kvadrāta konstruēšana, kura laukums ir divreiz lielāks 4. att dotā kvadrāta laukums) ir atrodami senindiešu traktātā "Sulva"

Mēs atrisinājām taisnleņķa trīsstūri un kvadrātus, kas uzbūvēti uz tā kājām, jeb, citiem vārdiem sakot, figūras, kas sastāv no 16 vienādiem vienādsānu taisnstūriem un tādējādi iekļaujas kvadrātā. Tāda ir lilija. neliela daļa no bagātības, kas apslēpta senās matemātikas pērlē - Pitagora teorēmā.

Senās Ķīnas liecības.

Matemātiskie traktāti Senā Ķīna nāca pie mums izdevumā P.V. BC. Lieta tāda, ka 213.g.pmē. Ķīnas imperators Ši Huang Di, cenšoties likvidēt iepriekšējās tradīcijas, lika visas senās grāmatas sadedzināt. P gadsimtā BC. Ķīnā tika izgudrots papīrs un tajā pašā laikā sākās seno grāmatu rekonstrukcija.Svarīgākais no saglabājušajiem astronomiskajiem darbiem ir grāmata “Matemātika”, kurā ir Pitagora teorēmu apliecinošs zīmējums (2. att., a). Šī pierādījuma atslēgu nav grūti atrast. Faktiski senajā ķīniešu zīmējumā ir četri vienādi taisnleņķa trīsstūri ar malām a, b un hipotenūzu Ar sakrauti G) lai to ārējā kontūra veidotu 2. att. kvadrātu ar malu a+b, un iekšējais ir kvadrāts ar malu c, kas uzbūvēts uz hipotenūzas (2. att., b). Ja izgriež kvadrātu ar malu c un atlikušos 4 iekrāsotos trīsstūrus ievieto divos taisnstūros (2. att., V), tad ir skaidrs, ka iegūtais tukšums, no vienas puses, ir vienāds ar AR 2 , un no otras - Ar 2 +b 2 , tie. c 2=  2 +b 2 . Teorēma ir pierādīta. Ņemiet vērā, ka ar šo pierādījumu netiek izmantotas konstrukcijas kvadrāta iekšpusē uz hipotenūzas, ko mēs redzam seno ķīniešu zīmējumā (2. att., a). Acīmredzot senajiem ķīniešu matemātiķiem bija cits pierādījums. Tieši tad, ja kvadrātā ar malu Ar divi iekrāsoti trīsstūri (2. att., b) nogrieziet un pievienojiet hipotenūzas pārējām divām hipotenūzām (2. att., G), tad to ir viegli atklāt

Iegūtā figūra, ko dažreiz sauc par "līgavas krēslu", sastāv no diviem kvadrātiem ar malām A Un b, tie. c 2 == a 2 +b 2 .

N un 3. attēlā ir attēlots zīmējums no traktāta “Džou-bi...”. Šeit tiek ņemta vērā Pitagora teorēma Ēģiptes trīsstūrim ar kājiņām 3, 4 un 5 mērvienību hipotenūzu. Kvadrātiņā uz hipotenūzas ir 25 šūnas, un kvadrātā, kas tajā ierakstīts uz lielākās kājas, ir 16. Ir skaidrs, ka atlikušajā daļā ir 9 šūnas. Tas būs kvadrāts mazākajā pusē.

Radošuma potenciālu parasti piedēvē humanitārās zinātnes, dabiski zinātnisks, atstājot analīzi, praktisku pieeju un sausu formulu un skaitļu valodu. Matemātika uz humanitārie priekšmeti Jūs nevarat ar to saistīties nekādā veidā. Bet bez radošuma "visu zinātņu karalienē" tālu netiksit - cilvēki to zina jau ilgu laiku. Kopš Pitagora laikiem, piemēram.

Skolas mācību grāmatās, diemžēl, parasti nav paskaidrots, ka matemātikā ir svarīgi ne tikai piebāzt teorēmas, aksiomas un formulas. Ir svarīgi saprast un sajust tās pamatprincipus. Un tajā pašā laikā mēģiniet atbrīvot savu prātu no klišejām un elementārām patiesībām - tikai tādos apstākļos dzimst visi lielie atklājumi.

Šādi atklājumi ietver to, ko mēs šodien pazīstam kā Pitagora teorēmu. Ar tās palīdzību mēs centīsimies parādīt, ka matemātika ne tikai var, bet arī tai jābūt aizraujošai. Un, ka šis piedzīvojums ir piemērots ne tikai neliešiem ar biezām brillēm, bet visiem, kas ir prāta stiprs un garā stiprs.

No jautājuma vēstures

Stingri sakot, lai gan teorēmu sauc par “Pitagora teorēmu”, pats Pitagors to neatklāja. Taisnstūris un tā īpašās īpašības tika pētītas ilgi pirms tā. Šajā jautājumā ir divi polāri viedokļi. Saskaņā ar vienu versiju Pitagors bija pirmais, kurš atrada pilnīgu teorēmas pierādījumu. Saskaņā ar citu, pierādījums nepieder Pitagora autorībai.

Šodien vairs nevar pārbaudīt, kuram taisnība un kuram nav. Ir zināms, ka Pitagora pierādījums, ja tāds kādreiz pastāvējis, nav saglabājies. Tomēr ir pieņēmumi, ka slavenais pierādījums no Eiklida elementiem varētu piederēt Pitagoram, un Eiklīds to tikai ierakstīja.

Mūsdienās arī zināms, ka problēmas par taisnleņķa trīsstūri ir atrodamas Ēģiptes avotos no faraona Amenemhata I laikiem, uz Babilonijas māla plāksnēm no karaļa Hamurabi valdīšanas, senindiešu traktātā “Sulva Sutra” un seno ķīniešu darbā “ Džou-bi suan jin”.

Kā redzat, Pitagora teorēma ir nodarbinājusi matemātiķu prātus kopš seniem laikiem. To apstiprina aptuveni 367 dažādi pierādījumi, kas pastāv mūsdienās. Šajā gadījumā neviena cita teorēma nevar konkurēt ar to. No slavenajiem pierādījumu autoriem var atsaukt atmiņā Leonardo da Vinči un divdesmito ASV prezidentu Džeimsu Gārfīldu. Tas viss liecina par šīs teorēmas ārkārtējo nozīmi matemātikā: lielākā daļa ģeometrijas teorēmu ir atvasinātas no tās vai ir kaut kā ar to saistītas.

Pitagora teorēmas pierādījumi

Skolas mācību grāmatas pārsvarā sniedz algebriskus pierādījumus. Bet teorēmas būtība ir ģeometrijā, tāpēc vispirms apskatīsim tos slavenās teorēmas pierādījumus, kas ir balstīti uz šo zinātni.

Pierādījumi 1

Lai iegūtu vienkāršāko Pitagora teorēmas pierādījumu taisnleņķa trijstūrim, jums jāiestata ideāli apstākļi: lai trīsstūris būtu ne tikai taisnstūrveida, bet arī vienādsānu. Ir pamats uzskatīt, ka senie matemātiķi sākotnēji apsvēra tieši šādu trīsstūri.

Paziņojums, apgalvojums "Kvadrāts, kas uzcelts uz taisnleņķa trijstūra hipotenūzas, ir vienāds ar kvadrātu summu, kas uzcelta uz tā kājām" var ilustrēt ar šādu zīmējumu:

Paskatieties uz vienādsānu taisnstūrveida formu trīsstūris ABC: uz hipotenūzas AC varat izveidot kvadrātu, kas sastāv no četriem trīsstūriem, kas vienādi ar sākotnējo ABC. Un malās AB un BC ir izveidots kvadrāts, no kuriem katrs satur divus līdzīgus trīsstūrus.

Starp citu, šis zīmējums veidoja pamatu daudziem jokiem un karikatūrām, kas veltītas Pitagora teorēmai. Visslavenākais, iespējams, ir "Pitagora bikses ir vienādas visos virzienos":

Pierādījumi 2

Šī metode apvieno algebru un ģeometriju, un to var uzskatīt par senās Indijas matemātiķa Bhaskari pierādījuma variantu.

Izveidojiet taisnleņķa trīsstūri ar malām a, b un c(1. att.). Pēc tam izveidojiet divus kvadrātus, kuru malas ir vienādas ar abu kāju garumu summu - (a+b). Katrā no kvadrātiem izveidojiet konstrukcijas, kā parādīts 2. un 3. attēlā.

Pirmajā kvadrātā izveidojiet četrus trīsstūrus, kas līdzīgi tiem, kas parādīti 1. attēlā. Rezultāts ir divi kvadrāti: viens ar malu a, otrs ar malu. b.

Otrajā kvadrātā četri līdzīgi trīsstūri veido kvadrātu ar malu vienāds ar hipotenūzu c.

Konstruēto kvadrātu laukumu summa 2. attēlā ir vienāda ar kvadrāta laukumu, kuru mēs izveidojām ar malu c 3. attēlā. To var viegli pārbaudīt, aprēķinot kvadrātu laukumu attēlā. 2 pēc formulas. Un ierakstītā kvadrāta laukums 3. attēlā, no liela kvadrāta laukuma ar malu atņemot laukumus četriem vienādiem taisnleņķa trijstūriem, kas ierakstīti kvadrātā (a+b).

Pierakstot to visu, mums ir: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Atveriet iekavas, veiciet visus nepieciešamos algebriskos aprēķinus un iegūstiet to a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Šajā gadījumā laukums, kas ierakstīts 3. att. kvadrātu var arī aprēķināt, izmantojot tradicionālo formulu S=c 2. Tie. a 2 + b 2 = c 2– tu esi pierādījis Pitagora teorēmu.

Pierādījumi 3

Pats senindiešu pierādījums tika aprakstīts 12. gadsimtā traktātā “Zināšanu kronis” (“Siddhanta Shiromani”) un kā galveno argumentu autore izmanto studentu un sekotāju matemātiskajām dotībām un novērošanas prasmēm adresētu aicinājumu: “ Skaties!"

Bet mēs analizēsim šo pierādījumu sīkāk:

Kvadrāta iekšpusē izveidojiet četrus taisnleņķa trīsstūrus, kā norādīts zīmējumā. Apzīmēsim lielā kvadrāta malu, ko sauc arī par hipotenūzu, Ar. Sauksim trīsstūra kājas A Un b. Saskaņā ar zīmējumu iekšējā kvadrāta puse ir (a-b).

Izmantojiet kvadrāta laukuma formulu S=c 2 lai aprēķinātu ārējā kvadrāta laukumu. Un tajā pašā laikā aprēķiniet to pašu vērtību, saskaitot iekšējā kvadrāta laukumu un visu četru taisnleņķa trīsstūru laukumus: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Kvadrāta laukuma aprēķināšanai varat izmantot abas opcijas, lai pārliecinātos, ka tās dod vienādu rezultātu. Un tas dod jums tiesības to pierakstīt c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Risinājuma rezultātā jūs saņemsiet Pitagora teorēmas formulu c 2 = a 2 + b 2. Teorēma ir pierādīta.

4. pierādījums

Šo ziņkārīgo seno ķīniešu pierādījumu sauca par “līgavas krēslu” krēslam līdzīgās figūras dēļ, kas izriet no visām konstrukcijām:

Tas izmanto zīmējumu, ko mēs jau redzējām 3. attēlā otrajā pierādījumā. Un iekšējais kvadrāts ar malu c ir konstruēts tāpat kā senindiešu pierādījumā, kas sniegts iepriekš.

Ja jūs prātā nogriezāt divus zaļus taisnleņķa trīsstūrus no zīmējuma 1. attēlā, pārvietojiet tos uz pretējās puses pievienojiet kvadrātu ar malu c un hipotenūzām ceriņu trijstūra hipotenūzām, jūs iegūsit figūru ar nosaukumu "līgavas krēsls" (2. att.). Skaidrības labad to pašu var izdarīt ar papīra kvadrātiem un trīsstūriem. Pārliecināsieties, ka “līgavas krēslu” veido divi kvadrāti: mazi ar sāniem b un liels ar sānu a.

Šīs konstrukcijas ļāva senajiem ķīniešu matemātiķiem un mums, tām sekojot, nonākt pie secinājuma, ka c 2 = a 2 + b 2.

Pierādījumi 5

Tas ir vēl viens veids, kā, izmantojot ģeometriju, var atrast risinājumu Pitagora teorēmai. To sauc par Garfīlda metodi.

Izveidojiet taisnleņķa trīsstūri ABC. Mums tas ir jāpierāda BC 2 = AC 2 + AB 2.

Lai to izdarītu, turpiniet kāju AC un izveidot segmentu CD, kas ir vienāda ar kāju AB. Nolaidiet perpendikulu AD līnijas segments ED. Segmenti ED Un AC ir vienādi. Savienojiet punktus E Un IN, un E Un AR un iegūstiet zīmējumu, piemēram, attēlā zemāk:

Lai pierādītu torni, mēs atkal ķeramies pie jau izmēģinātās metodes: mēs atrodam iegūtās figūras laukumu divos veidos un pielīdzinām izteiksmes viens otram.

Atrodiet daudzstūra laukumu GULTA var izdarīt, saskaitot to trīs trīsstūru laukumus, kas to veido. Un viens no viņiem, ERU, ir ne tikai taisnstūrveida, bet arī vienādsānu. Neaizmirsīsim arī to AB = CD, AC=ED Un BC=SE– tas ļaus mums vienkāršot ierakstīšanu un nepārslogot to. Tātad, SABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

Tajā pašā laikā ir skaidrs, ka GULTA- Šī ir trapece. Tāpēc mēs aprēķinām tā laukumu, izmantojot formulu: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Mūsu aprēķiniem ērtāk un skaidrāk ir attēlot segmentu AD kā segmentu summa AC Un CD.

Pierakstīsim abus figūras laukuma aprēķināšanas veidus, starp tiem liekot vienādības zīmi: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Mēs izmantojam mums jau zināmo un iepriekš aprakstīto segmentu vienādību, lai vienkāršotu labā puse ieraksti: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Tagad atvērsim iekavas un pārveidosim vienlīdzību: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Pabeidzot visas pārvērtības, mēs iegūstam tieši to, kas mums nepieciešams: BC 2 = AC 2 + AB 2. Mēs esam pierādījuši teorēmu.

Protams, šis pierādījumu saraksts nebūt nav pilnīgs. Pitagora teorēmu var pierādīt arī izmantojot vektorus, kompleksos skaitļus, diferenciālvienādojumus, stereometriju utt. Un pat fiziķi: ja, piemēram, šķidrumu ielej kvadrātveida un trīsstūrveida tilpumos, kas ir līdzīgi tiem, kas parādīti zīmējumos. Lejot šķidrumu, jūs varat pierādīt laukumu vienādību un rezultātā pašu teorēmu.

Daži vārdi par Pitagora trīnīšiem

Skolas mācību programmā šis jautājums ir maz pētīts vai netiek pētīts vispār. Tikmēr viņš ir ļoti interesants un ir liela nozīmeģeometrijā. Pitagora trīskārši tiek izmantoti daudzu matemātisko problēmu risināšanai. To izpratne var būt noderīga tālākizglītībā.

Tātad, kas ir Pitagora trīnīši? Tā viņi to sauc veseli skaitļi, savākti pa trīs, no kuriem divu kvadrātu summa ir vienāda ar trešo skaitli kvadrātā.

Pitagora trīskārši var būt:

• primitīvs (visi trīs skaitļi ir relatīvi pirmskaitļi);
• nav primitīvs (ja katru trīskārša skaitli reizina ar to pašu skaitli, iegūst jaunu trīskāršu, kas nav primitīvs).

Jau pirms mūsu ēras senie ēģiptieši bija aizrāvušies ar Pitagora trīnīšu skaita mānija: uzdevumos viņi uzskatīja taisnleņķa trīsstūri ar 3, 4 un 5 vienībām. Starp citu, jebkurš trīsstūris, kura malas ir vienādas ar Pitagora trīskārša skaitļiem, pēc noklusējuma ir taisnstūrveida.

Pitagora trīskāršu piemēri: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50) utt.

Teorēmas praktiskais pielietojums

Pitagora teorēma tiek izmantota ne tikai matemātikā, bet arī arhitektūrā un celtniecībā, astronomijā un pat literatūrā.

Pirmkārt, par būvniecību: Pitagora teorēma tiek plaši izmantota dažādu sarežģītības līmeņu problēmās. Piemēram, aplūkojiet romānikas logu:

Apzīmēsim loga platumu kā b, tad lielākā pusloka rādiusu var apzīmēt kā R un izteikt cauri b: R=b/2. Mazāku pusloku rādiusu var izteikt arī cauri b: r=b/4. Šajā uzdevumā mūs interesē loga iekšējā apļa rādiuss (sauksim to lpp).

Pitagora teorēma ir vienkārši noderīga, lai aprēķinātu R. Lai to izdarītu, mēs izmantojam taisnleņķa trīsstūri, kas attēlā ir norādīts ar punktētu līniju. Trijstūra hipotenūza sastāv no diviem rādiusiem: b/4+p. Viena kāja apzīmē rādiusu b/4, cits b/2-p. Izmantojot Pitagora teorēmu, mēs rakstām: (b/4+p) 2 = (b/4) 2 + (b/2-p) 2. Tālāk mēs atveram iekavas un iegūstam b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Pārveidosim šo izteiksmi par bp/2=b 2 /4-bp. Un tad mēs sadalām visus terminus ar b, mēs piedāvājam līdzīgus, lai iegūtu 3/2*p=b/4. Un galu galā mēs to atrodam p=b/6- kas mums bija vajadzīgs.

Izmantojot teorēmu, jūs varat aprēķināt spāru garumu divslīpju jumtam. Nosakiet, cik augsts ir tornis mobilie sakari signālam jāsasniedz noteikts norēķinu. Un pat instalējiet vienmērīgi Ziemassvētku eglīte pilsētas laukumā. Kā redzat, šī teorēma dzīvo ne tikai mācību grāmatu lapās, bet bieži vien noder arī reālajā dzīvē.

Literatūrā Pitagora teorēma ir iedvesmojusi rakstniekus kopš senatnes un turpina to darīt arī mūsdienās. Piemēram, deviņpadsmitā gadsimta vācu rakstnieks Adelberts fon Šamisso bija iedvesmots uzrakstīt sonetu:

Patiesības gaisma drīz neizklīdīs,
Bet, spīdot, tas diez vai izklīdīs
Un, tāpat kā pirms tūkstošiem gadu,
Tas neradīs šaubas vai strīdus.

Gudrākais, kad tas skar tavu skatienu
Patiesības gaisma, paldies dieviem;
Un simts buļļu, nokauti, melo -
Atgriešanās dāvana no laimīgā Pitagora.

Kopš tā laika buļļi izmisīgi rūk:
Uz visiem laikiem satrauca buļļu cilti
Šeit minēts notikums.

Viņiem šķiet, ka pienāks laiks,
Un viņi atkal tiks upurēti
Kāda lieliska teorēma.

(Viktora Toporova tulkojums)

Un divdesmitajā gadsimtā padomju rakstnieks Jevgeņijs Veltistovs savā grāmatā “Elektronikas piedzīvojumi” veltīja veselu nodaļu Pitagora teorēmas pierādījumiem. Un vēl puse nodaļas stāstam par divdimensiju pasauli, kas varētu pastāvēt, ja Pitagora teorēma kļūtu par vienas pasaules pamatlikumu un pat reliģiju. Dzīvot tur būtu daudz vieglāk, bet arī daudz garlaicīgāk: piemēram, neviens tur nesaprot vārdu “apaļš” un “pūkains” nozīmi.

Un grāmatā “Elektronikas piedzīvojumi” autore ar matemātikas skolotāja Taratara muti saka: “Matemātikā galvenais ir domu kustība, jaunas idejas.” Tieši šis radošais domu lidojums rada Pitagora teorēmu – ne velti tai ir tik daudz dažādu pierādījumu. Tas palīdz jums iziet ārpus pazīstamā robežām un paskatīties uz pazīstamām lietām jaunā veidā.

Secinājums

Šis raksts ir izstrādāts, lai palīdzētu jums skatīties tālāk skolas mācību programma matemātikā un apgūt ne tikai tos Pitagora teorēmas pierādījumus, kas doti mācību grāmatās “Ģeometrija 7-9” (L.S. Atanasjans, V.N. Rudenko) un “Ģeometrija 7-11” (A.V. Pogorelovs), bet un citus interesantus pierādīšanas veidus. slavenā teorēma. Un arī skatiet piemērus, kā Pitagora teorēmu var pielietot ikdienas dzīvē.

Pirmkārt, šī informācija ļaus jums pretendēt uz augstāku punktu skaitu matemātikas stundās - informācija par tēmu no papildu avotiem vienmēr tiek augstu novērtēta.

Otrkārt, mēs vēlējāmies jums palīdzēt izprast matemātiku interesanta zinātne. Pārliecinies konkrētus piemērus ka tajā vienmēr ir vieta radošumam. Mēs ceram, ka Pitagora teorēma un šis raksts iedvesmos jūs patstāvīgi izpētīt un veikt aizraujošus atklājumus matemātikā un citās zinātnēs.

Pastāstiet mums komentāros, ja rakstā sniegtie pierādījumi jums šķita interesanti. Vai šī informācija jums bija noderīga jūsu studijās? Uzrakstiet mums, ko jūs domājat par Pitagora teorēmu un šo rakstu - mēs ar prieku pārrunāsim to visu ar jums.

blog.site, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz oriģinālo avotu.

Pitagora teorēma ir vissvarīgākais ģeometrijas apgalvojums. Teorēma ir formulēta šādi: kvadrāta laukums, kas uzbūvēts uz taisnleņķa trijstūra hipotenūzas, ir vienāds ar kvadrātu laukumu summu, kas uzcelta uz tā kājām.

Šī apgalvojuma atklāšanu parasti piedēvē sengrieķu filozofs un matemātiķis Pitagors (VI gadsimts pirms mūsu ēras). Taču Babilonijas ķīļrakstu plākšņu un seno ķīniešu manuskriptu (vēl senāku manuskriptu kopijas) izpēte parādīja, ka šis apgalvojums bija zināms ilgi pirms Pitagora, iespējams, tūkstošgadi pirms viņa. Pitagora nopelns bija tas, ka viņš atklāja šīs teorēmas pierādījumu.

Visticamāk, ka Pitagora teorēmā norādītais fakts vispirms tika noteikts vienādsānu taisnstūriem. Paskatieties uz melno un gaišo trīsstūru mozaīku, kas parādīta attēlā. 1, lai pārbaudītu trijstūra teorēmas derīgumu: uz hipotenūzas veidots kvadrāts satur 4 trijstūrus, un kvadrāts, kurā ir 2 trijstūri, ir izveidots katrā pusē. Lai pierādītu vispārīgo gadījumu Senajā Indijā, viņi izmantoja divas metodes: kvadrātā ar malu viņi attēloja četrus taisnleņķa trīsstūrus ar kājiņām ar garumu un (2. att., a un 2, b), pēc tam viņi uzrakstīja vienu vārdu “ Skaties!" Un patiešām, aplūkojot šos zīmējumus, mēs redzam, ka kreisajā pusē ir figūra bez trijstūriem, kas sastāv no diviem kvadrātiem ar malām un attiecīgi tās laukums ir vienāds ar , un labajā pusē ir kvadrāts ar malu - tā laukums ir vienāds ar . Tas nozīmē, ka tas ir Pitagora teorēmas apgalvojums.

Tomēr divus tūkstošus gadu tika izmantots nevis šis vizuālais pierādījums, bet gan sarežģītāks Eiklida izgudrotais pierādījums, kas atrodas viņa slavenajā grāmatā “Elementi” (skat. Eiklīds un viņa “Elementi”), Eiklīds pazemināja augstumu. no augšas pareizā leņķī uz hipotenūzas un pierādīja, ka tās turpinājums sadala uz hipotenūzas uzcelto kvadrātu divos taisnstūros, kuru laukumi ir vienādi ar atbilstošo uz kājām uzbūvēto kvadrātu laukumiem (3. att.). Šīs teorēmas pierādīšanai izmantoto zīmējumu jokojot sauc par “Pitagora biksēm”. Ilgu laiku tas tika uzskatīts par vienu no matemātikas zinātnes simboliem.

Mūsdienās ir zināmi vairāki desmiti dažādu Pitagora teorēmas pierādījumu. Dažas no tām ir balstītas uz kvadrātu starpsienu, kurā uz hipotenūzas veidots kvadrāts sastāv no daļām, kas iekļautas kāju kvadrātu starpsienās; citi - par papildinājumu vienādiem skaitļiem; trešais - par to, ka augstums, kas nolaists no taisnleņķa virsotnes līdz hipotenūzai, sadala taisnleņķa trijstūri divos tam līdzīgos trīsstūros.

Pitagora teorēma ir pamatā lielākajai daļai ģeometrisko aprēķinu. Pat Senajā Babilonijā to izmantoja, lai aprēķinātu vienādsānu trijstūra augstuma garumu no pamatnes un malas garumiem, segmenta bultiņu no apļa diametra un hordas garuma, un izveidoja attiecības. starp dažu regulāru daudzstūru elementiem. Izmantojot Pitagora teorēmu, mēs pierādām tās vispārinājumu, kas ļauj aprēķināt tās malas garumu, kas atrodas pretī akūtam vai strupam leņķim:

No šī vispārinājuma izriet, ka taisnā leņķa klātbūtne ir ne tikai pietiekama, bet arī nepieciešams nosacījums, lai vienādība tiktu izpildīta. No formulas (1) izriet attiecība starp paralelograma diagonāļu un malu garumiem, ar kura palīdzību no tā malu garumiem viegli atrast trijstūra mediānas garumu.

Pamatojoties uz Pitagora teorēmu, tiek iegūta formula, kas izsaka jebkura trīsstūra laukumu caur tā malu garumiem (skat. Herona formulu). Protams, Pitagora teorēma tika izmantota arī dažādu praktisku uzdevumu risināšanai.

Kvadrātu vietā taisnleņķa trijstūra malās var uzbūvēt jebkuras līdzīgas figūras (vienādmalu trīsstūrus, puslokus utt.). Šajā gadījumā uz hipotenūzas uzbūvētās figūras laukums ir vienāds ar uz kājām uzbūvēto figūru laukumu summu. Vēl viens vispārinājums ir saistīts ar pāreju no plaknes uz telpu. Tas ir formulēts šādi: taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles garuma kvadrāts vienāds ar summu tā izmēru kvadrāti (garums, platums un augstums). Līdzīga teorēma ir patiesa daudzdimensionālos un pat bezgalīgajos gadījumos.

Pitagora teorēma pastāv tikai Eiklīda ģeometrijā. Tas nenotiek ne Lobačevska ģeometrijā, ne citās ne-eiklīda ģeometrijās. Sfērā nav Pitagora teorēmas analoga. Divi meridiāni, kas veido 90° leņķi, un ekvators savieno uz sfēras vienādmalu sfērisku trīsstūri, kura visi trīs leņķi ir taisnleņķi. Viņam nevis kā lidmašīnā.

Izmantojot Pitagora teorēmu, aprēķiniet attālumu starp punktiem un koordinātu plakni, izmantojot formulu

.

Pēc Pitagora teorēmas atklāšanas radās jautājums, kā atrast visus naturālo skaitļu trīskāršus, kas var būt taisnleņķa trīsstūru malas (skat. Fermā pēdējo teorēmu). Tos atklāja pitagorieši, taču dažas vispārīgas metodes šādu skaitļu trīskāršu atrašanai jau bija zināmas babiloniešiem. Viena no ķīļraksta tabletēm satur 15 tripletus. Starp tiem ir trīnīši, kas sastāv no tik daudziem lieli skaitļi, ka nevar būt ne runas par to atrašanu atlases ceļā.

Hipokrāta bedre

Hipokrāta lunas ir figūras, ko ierobežo divu apļu loki un turklāt tādas, ka, izmantojot šo apļu kopīgās hordas rādiusus un garumu, izmantojot kompasu un lineālu, var izveidot tām vienāda izmēra kvadrātus.

No Pitagora teorēmas vispārināšanas uz puslokiem izriet, ka attēlā pa kreisi parādīto rozā gabaliņu laukumu summa ir vienāda ar zilā trīsstūra laukumu. Tāpēc, ja ņemat vienādsānu taisnstūra trīsstūri, jūs iegūsit divus caurumus, no kuriem katra laukums būs vienāds ar pusi no trīsstūra laukuma. Mēģinot atrisināt apļa kvadrātošanas problēmu (sk. Senatnes klasiskās problēmas), sengrieķu matemātiķis Hipokrāts (5. gs. p.m.ē.) atrada vēl vairākas bedrītes, kuru laukumi izteikti taisnvirziena figūru laukumos.

Pilns hipomarginālo lunulu saraksts tika iegūts tikai 19.-20.gs. pateicoties Galois teorijas metožu izmantošanai.

Pārliecinieties, vai norādītais trīsstūris ir taisnleņķa trijstūris, jo Pitagora teorēma attiecas tikai uz taisnleņķa trijstūriem. Taisnleņķa trīsstūros viens no trim leņķiem vienmēr ir 90 grādi.

• Taisns leņķis taisnleņķī ir apzīmēts ar kvadrātveida ikonu, nevis ar līkni, kas attēlo slīpus leņķus.

Apzīmējiet trīsstūra malas. Apzīmējiet kājas ar "a" un "b" (kājas ir malas, kas krustojas taisnā leņķī), un hipotenūza ar "c" (hipotenūza ir taisnleņķa trijstūra lielākā mala, kas atrodas pretī taisnajam leņķim).

Nosakiet, kuru trīsstūra malu vēlaties atrast. Pitagora teorēma ļauj atrast jebkuru taisnleņķa trijstūra malu (ja ir zināmas pārējās divas malas). Nosakiet, kura puse (a, b, c) jums jāatrod.

• Piemēram, ja hipotenūza ir vienāda ar 5, un kāja ir vienāda ar 3. Šajā gadījumā ir jāatrod otrā kāja. Mēs atgriezīsimies pie šī piemēra vēlāk.
• Ja pārējās divas malas nav zināmas, jums ir jāatrod vienas no nezināmajām malām garums, lai varētu piemērot Pitagora teorēmu. Lai to izdarītu, izmantojiet pamata trigonometriskās funkcijas(ja jums ir dota viena no slīpā leņķa vērtība).

Aizstājiet jums dotās vērtības (vai jūsu atrastās vērtības) formulā a 2 + b 2 = c 2. Atcerieties, ka a un b ir kājas, un c ir hipotenūza.

• Mūsu piemērā ierakstiet: 3² + b² = 5².

Katras zināmās puses kvadrātā. Vai arī atstājiet pilnvaras — skaitļus varat kvadrātā vēlāk.

• Mūsu piemērā ierakstiet: 9 + b² = 25.

Izolējiet nezināmo pusi vienādojuma vienā pusē. Lai to izdarītu, pārvietojiet zināmās vērtības uz vienādojuma otru pusi. Ja atrodat hipotenūzu, tad Pitagora teorēmā tā jau ir izolēta vienā vienādojuma pusē (tāpēc jums nekas nav jādara).

• Mūsu piemērā pārvietojiet 9 uz labā puse vienādojumi nezināmā b² izolēšanai. Jūs iegūsit b² = 16.

Noņemt Kvadrātsakne no abām vienādojuma pusēm pēc tam, kad vienādojuma pusē atrodas nezināmais (kvadrātveida), bet otrā pusē ir brīvais termins (skaitlis).

• Mūsu piemērā b² = 16. Paņemiet kvadrātsakni no abām vienādojuma pusēm un iegūstiet b = 4. Tādējādi otrais posms ir 4.

Izmantojiet Pitagora teorēmu Ikdiena, jo to var izmantot liels skaits praktiskās situācijas. Lai to izdarītu, iemācieties atpazīt taisnleņķa trīsstūrus ikdienas dzīvē - jebkurā situācijā, kad divi objekti (vai līnijas) krustojas taisnā leņķī, bet trešais objekts (vai līnija) savieno (pa diagonāli) pirmo divu objektu virsotnes (vai līnijas), varat izmantot Pitagora teorēmu, lai atrastu nezināmo pusi (ja ir zināmas pārējās divas puses).

• Piemērs: dota kāpņu telpa, kas atspiedusies pret ēku. Kāpņu apakšdaļa atrodas 5 metrus no sienas pamatnes. Augšējā daļa Kāpnes atrodas 20 metrus no zemes (augšup pa sienu). Kāds ir kāpņu garums?
  • “5 metri no sienas pamatnes” nozīmē, ka a = 5; “atrodas 20 metrus no zemes” nozīmē, ka b = 20 (tas ir, jums ir dotas divas taisnleņķa trīsstūra kājas, jo ēkas siena un Zemes virsma krustojas taisnā leņķī). Kāpņu garums ir hipotenūzas garums, kas nav zināms.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20,6. Tādējādi aptuvenais kāpņu garums ir 20,6 metri.

ĢEOMETRISKĀS FIGŪRAS PLATĪBAS MĒRĪŠANA.

§ 58. PITAGORA TEORĒMA 1.

__________
1 Pitagors ir grieķu zinātnieks, kurš dzīvoja apmēram pirms 2500 gadiem (564-473 BC).
_________

Dosim mums taisnleņķa trīsstūri, kura malas A, b Un Ar(267. zīmējums).

Taisīsim tās malās kvadrātus. Šo kvadrātu laukumi ir attiecīgi vienādi A 2 , b 2 un Ar 2. Pierādīsim to Ar 2 = a 2 + b 2 .

Konstruēsim divus kvadrātus MKOR un M"K"O"R" (268., 269. zīmējumi), par katra no tiem malu ņemot nogriezni, kas vienāda ar taisnleņķa trijstūra ABC kāju summu.

Pabeidzot 268. un 269. zīmējumā redzamās konstrukcijas šajos kvadrātos, redzēsim, ka MCOR laukums ir sadalīts divos kvadrātos ar laukumiem A 2 un b 2 un četri vienādi taisnleņķa trijstūri, no kuriem katrs ir vienāds ar taisnleņķa trijstūri ABC. Kvadrāts M"K"O"R tika sadalīts četrstūrī (tas ir iekrāsots 269. zīmējumā) un četros taisnleņķa trīsstūros, no kuriem katrs ir arī vienāds ar trīsstūri ABC. Iekrāsots četrstūris ir kvadrāts, jo tā malas ir vienādas (katra ir vienāda ar trijstūra ABC hipotenūzu, t.i. Ar), un leņķi ir pareizi / 1 + / 2 = 90°, no kurienes / 3 = 90°).

Tādējādi uz kājām uzbūvēto kvadrātu laukumu summa (268. zīmējumā šie kvadrāti ir iekrāsoti) ir vienāda ar kvadrāta laukumu MCOR bez četru vienādu trīsstūru laukumu summas un laukumu uz hipotenūzas uzceltais kvadrāts (269. zīmējumā arī šis kvadrāts ir iekrāsots) ir vienāds ar kvadrāta M"K"O"R laukumu, kas vienāds ar MCOR kvadrātu, bez laukumu summas četri līdzīgi trīsstūri. Tāpēc kvadrāta laukums, kas uzcelts uz taisnleņķa trijstūra hipotenūzas, ir vienāds ar uz kājām uzcelto kvadrātu laukumu summu.

Mēs iegūstam formulu Ar 2 = a 2 + b 2 kur Ar- hipotenūza, A Un b- taisnleņķa trīsstūra kājas.

Pitagora teorēmu parasti īsi formulē šādi:

Taisnstūra trīsstūra hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu.

No formulas Ar 2 = a 2 + b 2 varat iegūt šādas formulas:

A 2 = Ar 2 - b 2 ;
b 2 = Ar 2 - A 2 .

Šīs formulas var izmantot, lai atrastu taisnleņķa trīsstūra nezināmo malu no tā divām dotajām malām.
Piemēram:

a) ja kājas ir dotas A= 4 cm, b=3 cm, tad jūs varat atrast hipotenūzu ( Ar):
Ar 2 = a 2 + b 2, t.i. Ar 2 = 4 2 + 3 2; ar 2 = 25, no kurienes Ar= √25 =5 (cm);

b) ja tiek dota hipotenūza Ar= 17 cm un kāja A= 8 cm, tad jūs varat atrast citu kāju ( b):

b 2 = Ar 2 - A 2, t.i. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, no kurienes b= √225 = 15 (cm).

Sekas: Ja diviem taisnleņķa trijstūriem ABC un A ir 1 B 1 C 1 hipotenūza Ar Un Ar 1 ir vienādi, un kāju b trijstūris ABC ir garāks par kāju b 1 trīsstūris A 1 B 1 C 1,
tad kāju A trijstūris ABC ir mazāks par kāju A 1 trīsstūris A 1 B 1 C 1. (Izveidojiet zīmējumu, kas ilustrē šīs sekas.)

Faktiski, pamatojoties uz Pitagora teorēmu, mēs iegūstam:

A 2 = Ar 2 - b 2 ,
A 1 2 = Ar 1 2 - b 1 2

Rakstītajās formulās minuends ir vienāds, un apakšdaļa pirmajā formulā ir lielāka nekā otrās formulas apakšdaļa, tāpēc pirmā atšķirība ir mazāka par otro,
t.i. A 2 < A 12 . Kur A< A 1 .

Vingrinājumi.

1. Izmantojot 270. zīmējumu, pierādi Pitagora teorēmu vienādsānu taisnstūrim.

2. Taisnleņķa trijstūra viena kāja ir 12 cm, otra ir 5 cm Aprēķiniet šī trijstūra hipotenūzas garumu.

3. Taisnleņķa trijstūra hipotenūza ir 10 cm, viena no kājiņām ir 8 cm Aprēķiniet šī trijstūra otras kājas garumu.

4. Taisnleņķa trijstūra hipotenūza ir 37 cm, viena tā kāja ir 35 cm Aprēķiniet šī trijstūra otras kājas garumu.

5. Izveidojiet kvadrātu, kura laukums ir divreiz lielāks par doto laukumu.

6. Konstruējiet kvadrātu, kura laukums ir uz pusi mazāks par doto laukumu. Piezīme.Šajā kvadrātā uzzīmējiet diagonāles. Laukumi, kas uzbūvēti uz šo diagonāļu pusēm, būs tie, kurus mēs meklējam.

7. Taisnstūra trīsstūra kājas ir attiecīgi 12 cm un 15 cm Aprēķiniet šī trijstūra hipotenūzas garumu ar precizitāti 0,1 cm.

8. Taisnleņķa trijstūra hipotenūza ir 20 cm, viena tā kāja ir 15 cm Aprēķiniet otras kājas garumu ar precizitāti līdz 0,1 cm.

9. Cik garām jābūt kāpnēm, lai tās varētu piestiprināt pie loga, kas atrodas 6 m augstumā, ja kāpņu apakšējam galam jābūt 2,5 m attālumā no ēkas? (271. diagramma.)