Sīka un skaista vienkāršs uzdevums no to kategorijas, kas kalpo kā glābšanas līdzeklis peldošam studentam. Dabā ir jūlija vidus, tāpēc ir pienācis laiks iekārtoties ar klēpjdatoru pludmalē. Agri no rīta sāka spēlēt teorijas saules stars, lai drīz vien pievērstos praksei, kas, neskatoties uz deklarēto vieglumu, smiltīs satur stikla lauskas. Šajā sakarā iesaku apzinīgi apsvērt dažus šīs lapas piemērus. Lai atrisinātu praktiskas problēmas, jums ir jāspēj atrast atvasinājumus un saprast raksta materiālu Funkcijas monotonitātes intervāli un ekstrēmas.

Pirmkārt, īsumā par galveno. Nodarbībā par funkciju nepārtrauktība Es sniedzu nepārtrauktības definīciju punktā un nepārtrauktību intervālā. Funkcijas parauga darbība segmentā ir formulēta līdzīgi. Funkcija ir nepārtraukta intervālā, ja:

1) tas ir nepārtraukts intervālā ;
2) nepārtraukts punktā labajā pusē un punktā pa kreisi.

Otrajā rindkopā mēs runājām par t.s vienpusēja nepārtrauktība funkcijas noteiktā punktā. Ir vairākas pieejas tā definēšanai, taču es pieturēšos pie līnijas, kuru sāku iepriekš:

Funkcija ir nepārtraukta punktā labajā pusē, ja tas ir definēts noteiktā punktā un tā labās puses robeža sakrīt ar funkcijas vērtību noteiktā punktā: . Tas ir nepārtraukts punktā pa kreisi, ja definēts noteiktā punktā un tā kreisās puses robeža vienāds ar vērtībušajā brīdī:

Iedomājieties, ka zaļie punktiņi ir nagi, kuriem piestiprināta maģiska elastīga josla:

Garīgi paņemiet sarkano līniju rokās. Acīmredzot neatkarīgi no tā, cik tālu mēs stiepjam grafiku uz augšu un uz leju (pa asi), funkcija joprojām paliks ierobežots– augšā žogs, apakšā žogs, un mūsu prece ganās aplokā. Tādējādi uz to ir ierobežota funkcija, kas nepārtraukta intervālā. Matemātiskās analīzes gaitā šis šķietami vienkāršais fakts tiek noteikts un stingri pierādīts. Veierštrāsa pirmā teorēma....Daudzus kaitina, ka matemātikā nogurdinoši tiek pamatoti elementāri apgalvojumi, bet tam ir svarīga nozīme. Pieņemsim, ka kāds frotē viduslaiku iedzīvotājs aiz redzamības robežām debesīs izvilka grafiku, tas tika ievietots. Pirms teleskopa izgudrošanas ierobežotā funkcija kosmosā nemaz nebija acīmredzama! Tiešām, kā jūs zināt, kas mūs sagaida aiz apvāršņa? Galu galā Zeme kādreiz tika uzskatīta par plakanu, tāpēc šodien pat parastai teleportācijai ir nepieciešami pierādījumi =)

Saskaņā ar Veierštrāsa otrā teorēma, nepārtraukts segmentāfunkcija sasniedz savu precīza augšējā robeža un tavs precīza apakšējā mala .

Numuru arī sauc segmenta funkcijas maksimālā vērtība un ir apzīmēti ar , un skaitlis ir funkcijas minimālā vērtība segmentā atzīmēts .

Mūsu gadījumā:

Piezīme : teorētiski ieraksti ir izplatīti .

Rupji runajot, augstākā vērtība atrodas tur, kur visvairāk augstākais punkts grafika, un mazākais ir tur, kur atrodas zemākais punkts.

Svarīgs! Kā jau uzsvērts rakstā par funkcijas galējība, lielākā funkcijas vērtība Un mazākā funkcijas vērtība – NAV TAS PATS, Kas maksimālā funkcija Un minimālā funkcija. Tātad aplūkotajā piemērā skaitlis ir funkcijas minimums, bet ne minimālā vērtība.

Starp citu, kas notiek ārpus segmenta? Jā, pat plūdi aplūkojamās problēmas kontekstā mūs tas nemaz neinteresē. Uzdevums ietver tikai divu skaitļu atrašanu un tas arī viss!

Turklāt risinājums ir tīri analītisks nav nepieciešams taisīt zīmējumu!

Algoritms atrodas uz virsmas un liecina par sevi no iepriekš redzamā attēla:

1) Atrodiet funkcijas vērtības kritiskie punkti, kas pieder šim segmentam.

Saņemiet vēl vienu bonusu: šeit nav jāpārbauda pietiekams ekstremuma nosacījums, jo, kā tikko parādīts, minimālā vai maksimālā klātbūtne vēl negarantē, kāda ir minimālā vai maksimālā vērtība. Demonstrācijas funkcija sasniedz maksimumu, un pēc likteņa gribas tas pats skaitlis ir segmenta lielākā funkcijas vērtība. Bet, protams, šāda sakritība ne vienmēr notiek.

Tātad pirmajā solī ir ātrāk un vienkāršāk aprēķināt funkcijas vērtības segmentam piederošajos kritiskajos punktos, neuztraucoties par to, vai tajos ir ekstrēmas vai nav.

2) Mēs aprēķinām funkcijas vērtības segmenta galos.

3) No 1. un 2. rindkopā atrodamajām funkciju vērtībām atlasiet mazāko un lielāko liels skaitlis, pierakstiet atbildi.

Apsēžamies krastā zilā jūra un sitam ar papēžiem pret seklu ūdeni:

1. piemērs

Atrodi vislielāko un mazākā vērtība darbojas ar intervālu

Risinājums:
1) Aprēķināsim funkcijas vērtības kritiskajos punktos, kas pieder šim segmentam:

Aprēķināsim funkcijas vērtību otrajā kritiskajā punktā:

2) Aprēķināsim funkcijas vērtības segmenta galos:

3) Ar eksponentiem un logaritmiem iegūti “Bold” rezultāti, kas būtiski apgrūtina to salīdzināšanu. Šī iemesla dēļ bruņosimies ar kalkulatoru vai Excel un aprēķināsim aptuvenās vērtības, neaizmirstot, ka:

Tagad viss ir skaidrs.

Atbilde:

Daļēji racionāls gadījums neatkarīgam risinājumam:

6. piemērs

Atrodiet segmenta funkcijas maksimālo un minimālo vērtību

Funkcijas lielākā un mazākā vērtība

Funkcijas lielākā vērtība ir lielākā, mazākā vērtība ir mazākā no visām tās vērtībām.

Funkcijai var būt tikai viena lielākā un tikai viena mazākā vērtība, vai arī tai var nebūt nevienas. Lielāko un mazāko vērtību atrašana nepārtrauktas funkcijas pamatā ir šādas šo funkciju īpašības:

1) Ja noteiktā intervālā (galīgā vai bezgalīgā) funkcija y=f(x) ir nepārtraukta un tai ir tikai viens galējais un ja tas ir maksimums (minimums), tad tā būs lielākā (mazākā) funkcijas vērtība šajā intervālā.

2) Ja funkcija f(x) ir nepārtraukta noteiktā segmentā, tad tai noteikti ir lielākā un mazākā vērtība šajā segmentā. Šīs vērtības tiek sasniegtas vai nu galējos punktos, kas atrodas segmenta iekšpusē, vai arī šī segmenta robežās.

Lai segmentā atrastu lielākās un mazākās vērtības, ieteicams izmantot šādu shēmu:

1. Atrodiet atvasinājumu.

2. Atrodiet funkcijas kritiskos punktus, kuros =0 vai neeksistē.

3. Atrodiet funkcijas vērtības kritiskajos punktos un segmenta galos un izvēlieties no tiem lielāko f max un mazāko f max.

Risinot lietišķās problēmas, jo īpaši optimizācijas, svarīgas ir funkcijas lielāko un mazāko vērtību (globālā maksimuma un globālā minimuma) atrašana intervālā X. Lai atrisinātu šādas problēmas, ir nepieciešams, pamatojoties uz nosacījumu. , atlasiet neatkarīgu mainīgo un izsakiet pētāmo vērtību, izmantojot šo mainīgo. Pēc tam atrodiet iegūtās funkcijas vēlamo lielāko vai mazāko vērtību. Šajā gadījumā no uzdevuma nosacījumiem nosaka arī neatkarīgā mainīgā izmaiņu intervālu, kas var būt gan galīgs, gan bezgalīgs.

Piemērs. Tvertnei, kurai ir atvērta augšdaļa taisnstūrveida paralēlskaldnis ar kvadrātveida dibenu, iekšpusē jābūt skārdam ar skārdu. Kādiem jābūt tvertnes izmēriem, ja tās tilpums ir 108 litri? ūdens, lai tā alvošanas izmaksas būtu minimālas?

Risinājums. Tvertnes pārklāšanas ar alvu izmaksas būs minimālas, ja noteiktai jaudai tās virsmas laukums ir minimāls. Ar a dm apzīmēsim pamatnes malu, ar b dm – tvertnes augstumu. Tad tā virsmas laukums S ir vienāds ar

UN

Rezultātā iegūtā attiecība nosaka attiecības starp rezervuāra S virsmas laukumu (funkcija) un pamatnes malu a (arguments). Apskatīsim funkciju S ekstrēmumam. Atradīsim pirmo atvasinājumu, pielīdzināsim to nullei un atrisināsim iegūto vienādojumu:

Tādējādi a = 6. (a) > 0, ja a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Piemērs. Atrodiet funkcijas lielāko un mazāko vērtību uz intervālu.

Risinājums: Norādītā funkcija nepārtraukts visā skaitļu rindā. Funkcijas atvasinājums

Atvasinājums priekš un priekš . Aprēķināsim funkciju vērtības šādos punktos:

.

Funkcijas vērtības dotā intervāla beigās ir vienādas. Tāpēc funkcijas lielākā vērtība ir vienāda ar at , mazākā funkcijas vērtība ir vienāda ar at .

Pašpārbaudes jautājumi

1. Formulējiet L'Hopital noteikumu formas nenoteiktību atklāšanai. Uzskaitiet dažāda veida nenoteiktības, kuru atrisināšanai var izmantot L'Hopital noteikumu.

2. Formulējiet funkciju palielināšanas un samazināšanās pazīmes.

3. Definējiet funkcijas maksimumu un minimumu.

4. Formulējiet nepieciešamais nosacījums ekstrēma esamība.

5. Kādas argumenta vērtības (kurus punktus) sauc par kritiskām? Kā atrast šos punktus?

6. Kādas ir pietiekamas funkcijas ekstrēma esamības pazīmes? Ieskicējiet shēmu funkcijas izpētei ekstrēmā, izmantojot pirmo atvasinājumu.

7. Ieskicējiet shēmu ekstrēmā esošās funkcijas izpētei, izmantojot otro atvasinājumu.

8. Definējiet līknes izliekumu un ieliekumu.

9. Ko sauc par funkcijas grafika lēciena punktu? Norādiet šo punktu atrašanas metodi.

10. Formulējiet vajadzīgās un pietiekamās līknes izliekuma un ieliekuma pazīmes noteiktā segmentā.

11. Definējiet līknes asimptotu. Kā atrast funkcijas grafika vertikālās, horizontālās un slīpās asimptotes?

12.Kontūra vispārējā shēma funkcijas izpēte un tās grafika konstruēšana.

13. Formulējiet noteikumu, kā noteikt funkcijas lielākās un mazākās vērtības noteiktā intervālā.

Funkcijas mazāko un lielāko vērtību meklēšanas process segmentā atgādina aizraujošu lidojumu ap objektu (funkcijas grafiks) helikopterā, šaujot noteiktos punktos no liela attāluma lielgabala un izvēloties ļoti speciāli punkti no šiem punktiem kontrolmetieniem. Punkti tiek atlasīti noteiktā veidā un atbilstoši noteikti noteikumi. Pēc kādiem noteikumiem? Mēs par to runāsim tālāk.

Ja funkcija y = f(x) ir nepārtraukts intervālā [ a, b] , tad tas sasniedz šo segmentu vismazāk Un augstākās vērtības . Tas var notikt vai nu iekšā ekstremālie punkti, vai segmenta galos. Tāpēc, lai atrastu vismazāk Un funkcijas lielākās vērtības , nepārtraukts intervālā [ a, b], jums ir jāaprēķina tās vērtības kopumā kritiskie punkti un segmenta galos, un pēc tam izvēlieties mazāko un lielāko no tiem.

Ļaujiet, piemēram, noteikt funkcijas lielāko vērtību f(x) segmentā [ a, b] . Lai to izdarītu, jums jāatrod visi tā kritiskie punkti, kas atrodas [ a, b] .

Kritiskais punkts sauc par punktu, kurā definēta funkcija, un viņa atvasinājums vai nu vienāds ar nulli, vai neeksistē. Tad jums vajadzētu aprēķināt funkcijas vērtības kritiskajos punktos. Visbeidzot, ir jāsalīdzina funkcijas vērtības kritiskajos punktos un segmenta galos ( f(a) Un f(b)). Lielākais no šiem skaitļiem būs segmenta funkcijas lielākā vērtība [a, b] .

Problēmas ar atrašanu mazākās funkciju vērtības .

Mēs kopā meklējam mazākās un lielākās funkcijas vērtības

Piemērs 1. Atrodiet funkcijas mazāko un lielāko vērtību segmentā [-1, 2] .

Risinājums. Atrodiet šīs funkcijas atvasinājumu. Pielīdzināsim atvasinājumu nullei () un iegūsim divus kritiskos punktus: un . Lai noteiktā segmentā atrastu funkcijas mazākās un lielākās vērtības, pietiek aprēķināt tās vērtības segmenta galos un punktā, jo punkts nepieder segmentam [-1, 2]. Šīs funkciju vērtības ir: , , . No tā izriet, ka mazākā funkcijas vērtība(tālāk redzamajā diagrammā norādīts sarkanā krāsā), kas vienāds ar -7, tiek sasniegts segmenta labajā galā - punktā , un lielākais(arī sarkans grafikā), ir vienāds ar 9, - kritiskajā punktā.

Ja funkcija ir nepārtraukta noteiktā intervālā un šis intervāls nav segments (bet ir, piemēram, intervāls; starpība starp intervālu un segmentu: intervāla robežpunkti netiek iekļauti intervālā, bet gan segmentā ir iekļauti segmenta robežpunkti), tad starp funkcijas vērtībām var nebūt mazākās un lielākās. Tā, piemēram, funkcija, kas parādīta attēlā zemāk, ir nepārtraukta ]-∞, +∞[, un tai nav vislielākās vērtības.

Tomēr jebkuram intervālam (slēgtam, atvērtam vai bezgalīgam) ir patiesa šāda nepārtraukto funkciju īpašība.

4. piemērs. Atrodiet funkcijas mazāko un lielāko vērtību segmentā [-1, 3] .

Risinājums. Šīs funkcijas atvasinājumu mēs atrodam kā koeficienta atvasinājumu:

.

Mēs pielīdzinām atvasinājumu nullei, kas mums dod vienu kritiskais punkts: . Tas pieder segmentam [-1, 3] . Lai atrastu mazākās un lielākās funkcijas vērtības noteiktā segmentā, mēs atrodam tās vērtības segmenta galos un atrastajā kritiskajā punktā:

Salīdzināsim šīs vērtības. Secinājums: vienāds ar -5/13, punktā un augstākā vērtība vienāds ar 1 punktā .

Mēs turpinām kopā meklēt mazākās un lielākās funkcijas vērtības

Ir skolotāji, kuri, runājot par funkcijas mazāko un lielāko vērtību atrašanu, nesniedz skolēniem risināmus piemērus, kas ir sarežģītāki par tikko apspriestajiem, tas ir, tos, kuros funkcija ir polinoms vai daļa, kuras skaitītājs un saucējs ir polinomi. Bet mēs neaprobežosimies ar šādiem piemēriem, jo ​​skolotāju vidū ir tādi, kuriem patīk piespiest skolēnus domāt pilnībā (atvasinājumu tabula). Tāpēc tiks izmantota logaritma un trigonometriskā funkcija.

6. piemērs. Atrodiet funkcijas mazāko un lielāko vērtību segmentā .

Risinājums. Mēs atrodam šīs funkcijas atvasinājumu kā produkta atvasinājums :

Atvasinājumu pielīdzinām nullei, kas dod vienu kritisko punktu: . Tas pieder segmentam. Lai atrastu mazākās un lielākās funkcijas vērtības noteiktā segmentā, mēs atrodam tās vērtības segmenta galos un atrastajā kritiskajā punktā:

Visu darbību rezultāts: funkcija sasniedz savu minimālo vērtību, vienāds ar 0, punktā un punktā un augstākā vērtība, vienāds e², punktā.

7. piemērs. Atrodiet funkcijas mazāko un lielāko vērtību segmentā .

Risinājums. Atrodiet šīs funkcijas atvasinājumu:

Mēs pielīdzinām atvasinājumu nullei:

Vienīgais kritiskais punkts pieder segmentam. Lai atrastu mazākās un lielākās funkcijas vērtības noteiktā segmentā, mēs atrodam tās vērtības segmenta galos un atrastajā kritiskajā punktā:

Secinājums: funkcija sasniedz savu minimālo vērtību, vienāds ar , punktā un augstākā vērtība, vienāds , punktā .

Lietojumprogrammu ekstrēmajās problēmās, lai atrastu funkcijas mazākās (maksimālās) vērtības, parasti tiek atrasts minimums (maksimums). Bet ne paši minimumi vai maksimumi rada lielāku praktisko interesi, bet gan argumenta vērtības, ar kurām tie tiek sasniegti. Risinot lietišķās problēmas, rodas papildu grūtības - sastādīt funkcijas, kas apraksta aplūkojamo parādību vai procesu.

8. piemērs. Tvertnei ar ietilpību 4, kam ir paralēlskaldņa forma ar kvadrātveida pamatni un augšpusē atvērta, jābūt alvotai. Kādam izmēram jābūt tvertnei, lai tās segšanai tiktu izmantots vismazākais materiāla daudzums?

Risinājums. Ļaujiet x- pamatnes puse, h- tvertnes augstums, S- tās virsmas laukums bez seguma, V- tā apjoms. Tvertnes virsmas laukumu izsaka ar formulu, t.i. ir divu mainīgo funkcija. Izteikt S kā viena mainīgā funkcija mēs izmantojam faktu, ka , no kurienes . Atrastās izteiksmes aizstāšana h formulā S:

Apskatīsim šo funkciju līdz galam. Tas ir definēts un diferencējams visur ]0, +∞[ un

.

Mēs pielīdzinām atvasinājumu nullei () un atrodam kritisko punktu. Turklāt, ja atvasinājums neeksistē, bet šī vērtība nav iekļauta definīcijas jomā un tāpēc nevar būt ekstrēma punkts. Tātad, tas ir vienīgais kritiskais punkts. Pārbaudīsim, vai tajā nav ekstrēma, izmantojot otro pietiekamo zīmi. Atradīsim otro atvasinājumu. Kad otrais atvasinājums ir lielāks par nulli (). Tas nozīmē, ka tad, kad funkcija sasniedz minimumu . Kopš šī minimums ir šīs funkcijas vienīgais galējības rādītājs, tā ir tās mazākā vērtība. Tātad tvertnes pamatnes malai jābūt 2 m, un tās augstumam jābūt .

9. piemērs. No punkta A atrodas uz dzelzceļa līnijas, līdz punktam AR, kas atrodas attālumā no tā l, krava jāpārvadā. Svara vienības transportēšanas izmaksas uz attāluma vienību pa dzelzceļu ir vienādas ar , un pa šoseju tās ir vienādas ar . Uz kādu brīdi M līnijas dzelzceļš jābūvē šoseja, no kuras pārvadāt kravas A V AR bija visekonomiskākā (sadaļa AB tiek pieņemts, ka dzelzceļš ir taisns)?

Kā segmentā atrast funkcijas lielākās un mazākās vērtības?

Priekš šī mēs sekojam labi zināmam algoritmam:

1 . ODZ funkciju atrašana.

2 . Funkcijas atvasinājuma atrašana

3 . Atvasinājuma pielīdzināšana nullei

4 . Mēs atrodam intervālus, kuros atvasinājums saglabā savu zīmi, un no tiem nosaka funkcijas pieauguma un samazināšanās intervālus:

Ja intervālā I funkcijas atvasinājums ir 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} palielinās šajā intervālā.

Ja intervālā I ir funkcijas atvasinājums, tad funkcija šajā intervālā samazinās.

5 . Mēs atradām funkcijas maksimālie un minimālie punkti.

IN funkcijas maksimālajā punktā atvasinājums maina zīmi no “+” uz “-”.

IN funkcijas minimālais punktsatvasinājums maina zīmi no "-" uz "+".

6 . Mēs atrodam funkcijas vērtību segmenta galos,

• tad salīdzinām funkcijas vērtību segmenta galos un maksimālajos punktos, un izvēlieties lielāko no tiem, ja jums jāatrod lielākā funkcijas vērtība
• vai salīdziniet funkcijas vērtību segmenta galos un minimālajos punktos, un izvēlieties mazāko no tiem, ja nepieciešams atrast funkcijas mazāko vērtību

Tomēr atkarībā no tā, kā funkcija darbojas segmentā, šo algoritmu var ievērojami samazināt.

Apsveriet funkciju . Šīs funkcijas grafiks izskatās šādi:

Apskatīsim vairākus problēmu risināšanas piemērus no Open Task Bank for

1 . Uzdevums B15 (Nr. 26695)

Uz segmentu.

1. Funkcija ir definēta visām x reālajām vērtībām

Acīmredzot šim vienādojumam nav atrisinājumu, un atvasinājums ir pozitīvs visām x vērtībām. Līdz ar to funkcija palielinās un iegūst lielāko vērtību intervāla labajā galā, tas ir, pie x=0.

Atbilde: 5.

2 . Uzdevums B15 (Nr. 26702)

Atrodiet funkcijas lielāko vērtību segmentā.

1. ODZ funkcijas title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Atvasinājums ir vienāds ar nulli vietā , tomēr šajos punktos tas nemaina zīmi:

Tāpēc title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} palielinās un iegūst lielāko vērtību intervāla labajā galā, pie .

Lai būtu skaidrs, kāpēc atvasinājums nemaina zīmi, mēs pārveidojam atvasinājuma izteiksmi šādi:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Atbilde: 5.

3. Uzdevums B15 (Nr. 26708)

Atrodiet mazāko funkcijas vērtību segmentā.

1. ODZ funkcijas: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Novietosim šī vienādojuma saknes uz trigonometriskā apļa.

Intervāls satur divus skaitļus: un

Uzliksim zīmes. Lai to izdarītu, mēs nosakām atvasinājuma zīmi punktā x=0: . Braucot caur punktiem un, atvasinājums maina zīmi.

Attēlosim funkcijas atvasinājuma zīmju maiņu uz koordinātu līnijas:

Acīmredzot punkts ir minimālais punkts (kurā atvasinājums maina zīmi no “-” uz “+”), un, lai segmentā atrastu mazāko funkcijas vērtību, ir jāsalīdzina funkcijas vērtības minimālais punkts un segmenta kreisajā galā, .

Standarta algoritms šādu problēmu risināšanai paredz, ka pēc funkcijas nulles atrašanas intervālos tiek noteiktas atvasinājuma zīmes. Pēc tam vērtību aprēķins atrastajos maksimālajos (vai minimālajos) punktos un intervāla robežās atkarībā no tā, kāds jautājums ir stāvoklī.

Iesaku darīt lietas nedaudz savādāk. Kāpēc? Es rakstīju par šo.

Es ierosinu šādas problēmas atrisināt šādi:

1. Atrodiet atvasinājumu.
2. Atrodiet atvasinājuma nulles.
3. Nosakiet, kuri no tiem pieder šim intervālam.
4. Mēs aprēķinām funkcijas vērtības pie 3. darbības intervāla un punktu robežām.
5. Izdarām secinājumu (atbildam uz uzdoto jautājumu).

Risinot sniegtos piemērus, risinājums netika detalizēti izskatīts kvadrātvienādojumi, jums tas ir jāspēj. Viņiem arī vajadzētu zināt.

Apskatīsim piemērus:

77422. Atrast funkcijas y=x lielāko vērtību 3 –3x+4 segmentā [–2;0].

Atradīsim atvasinājuma nulles:

Punkts x = –1 pieder nosacījumā norādītajam intervālam.

Mēs aprēķinām funkcijas vērtības punktos –2, –1 un 0:

Funkcijas lielākā vērtība ir 6.

Atbilde: 6

77425. Atrodiet nogrieznī funkcijas y = x 3 – 3x 2 + 2 mazāko vērtību.

Atradīsim dotās funkcijas atvasinājumu:

Atradīsim atvasinājuma nulles:

Punkts x = 2 pieder nosacījumā norādītajam intervālam.

Mēs aprēķinām funkcijas vērtības 1., 2. un 4. punktos:

Funkcijas mazākā vērtība ir –2.

Atbilde: -2

77426. Nogriežam [–3;3] atrodiet funkcijas y = x 3 – 6x 2 lielāko vērtību.

Atradīsim dotās funkcijas atvasinājumu:

Atradīsim atvasinājuma nulles:

Nosacījumā norādītais intervāls satur punktu x = 0.

Mēs aprēķinām funkcijas vērtības punktos –3, 0 un 3:

Funkcijas mazākā vērtība ir 0.

Atbilde: 0

77429. Atrodiet nogrieznī funkcijas y = x 3 – 2x 2 + x +3 mazāko vērtību.

Atradīsim dotās funkcijas atvasinājumu:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Mēs iegūstam saknes: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Nosacījumā norādītais intervāls satur tikai x = 1.

Atradīsim funkcijas vērtības 1. un 4. punktos:

Mēs noskaidrojām, ka funkcijas mazākā vērtība ir 3.

Atbilde: 3

77430. Atrast funkcijas y = x 3 + 2x 2 + x + 3 lielāko vērtību segmentā [– 4; -1].

Atradīsim dotās funkcijas atvasinājumu:

Atradīsim atvasinājuma nulles un atrisināsim kvadrātvienādojumu:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Iegūsim saknes:

Nosacījumā norādītais intervāls satur sakni x = –1.

Funkcijas vērtības atrodam punktos –4, –1, –1/3 un 1:

Mēs noskaidrojām, ka funkcijas lielākā vērtība ir 3.

Atbilde: 3

77433. Atrodiet segmentā funkcijas y = x 3 – x 2 – 40x +3 mazāko vērtību.

Atradīsim dotās funkcijas atvasinājumu:

Atradīsim atvasinājuma nulles un atrisināsim kvadrātvienādojumu:

3x 2 - 2x - 40 = 0

Iegūsim saknes:

Nosacījumā norādītais intervāls satur sakni x = 4.

Atrodiet funkciju vērtības 0 un 4 punktos:

Mēs atklājām, ka funkcijas mazākā vērtība ir –109.

Atbilde: -109

Apskatīsim veidu, kā noteikt lielāko un mazāko funkciju vērtību bez atvasinājuma. Šo pieeju var izmantot, ja jums ir lielas problēmas. Princips ir vienkāršs - visas veselo skaitļu vērtības no intervāla aizstājam funkcijā (fakts ir tāds, ka visos šādos prototipos atbilde ir vesels skaitlis).

77437. Nogriežam [–2;2] atrodiet funkcijas y=7+12x–x 3 mazāko vērtību.

Aizstāšanas punkti no –2 līdz 2: Skatīt risinājumu

77434. Atrast funkcijas y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 lielāko vērtību segmentā [–2;0].

Tas ir viss. Veiksmi tev!

Ar cieņu Aleksandrs Krutickhs.

P.S. Būšu pateicīgs, ja pastāstīsiet par vietni sociālajos tīklos.