Sīka un skaista vienkāršs uzdevums no to kategorijas, kas kalpo kā glābšanas līdzeklis peldošam studentam. Dabā ir jūlija vidus, tāpēc ir pienācis laiks iekārtoties ar klēpjdatoru pludmalē. Agri no rīta sāka spēlēt teorijas saules stars, lai drīz vien pievērstos praksei, kas, neskatoties uz deklarēto vieglumu, smiltīs satur stikla lauskas. Šajā sakarā iesaku apzinīgi apsvērt dažus šīs lapas piemērus. Lai atrisinātu praktiskas problēmas, jums ir jāspēj atrast atvasinājumus un saprast raksta materiālu Funkcijas monotonitātes intervāli un ekstrēmas.

Pirmkārt, īsi par galveno. Nodarbībā par funkciju nepārtrauktība Es sniedzu nepārtrauktības definīciju punktā un nepārtrauktību intervālā. Funkcijas parauga darbība segmentā ir formulēta līdzīgi. Funkcija ir nepārtraukta intervālā, ja:

1) tas ir nepārtraukts intervālā ;
2) nepārtraukts punktā pa labi un punktā pa kreisi.

Otrajā rindkopā mēs runājām par t.s vienpusēja nepārtrauktība funkcijas noteiktā punktā. Ir vairākas pieejas tā definēšanai, taču es pieturēšos pie līnijas, kuru sāku iepriekš:

Funkcija ir nepārtraukta punktā pa labi, ja tas ir definēts noteiktā punktā un tā labās puses robeža sakrīt ar funkcijas vērtību noteiktā punktā: . Tas ir nepārtraukts punktā pa kreisi, ja definēts noteiktā punktā un tā kreisās puses robeža vienāds ar vērtībušajā brīdī:

Iedomājieties, ka zaļie punktiņi ir nagi, kuriem piestiprināta maģiska elastīga josla:

Garīgi paņemiet sarkano līniju rokās. Acīmredzot neatkarīgi no tā, cik tālu mēs stiepjam grafiku uz augšu un uz leju (pa asi), funkcija joprojām paliks ierobežots– augšā žogs, apakšā žogs, un mūsu prece ganās aplokā. Tādējādi uz to ir ierobežota funkcija, kas nepārtraukta intervālā. Matemātiskās analīzes gaitā šis šķietami vienkāršais fakts tiek noteikts un stingri pierādīts. Veierštrāsa pirmā teorēma....Daudzus kaitina, ka matemātikā nogurdinoši tiek pamatoti elementāri apgalvojumi, bet tam ir svarīga nozīme. Pieņemsim, ka kāds frotē viduslaiku iedzīvotājs aiz redzamības robežām debesīs izvilka grafiku, tas tika ievietots. Pirms teleskopa izgudrošanas ierobežotā funkcija kosmosā nemaz nebija acīmredzama! Tiešām, kā jūs zināt, kas mūs sagaida aiz apvāršņa? Galu galā Zeme kādreiz tika uzskatīta par plakanu, tāpēc šodien pat parastai teleportācijai ir nepieciešami pierādījumi =)

Saskaņā ar Veierštrāsa otrā teorēma, nepārtraukts segmentāfunkcija sasniedz savu precīza augšējā robeža un tavs precīza apakšējā mala .

Numuru arī sauc segmenta funkcijas maksimālā vērtība un ir apzīmēti ar , un skaitlis ir funkcijas minimālā vērtība segmentā atzīmēts .

Mūsu gadījumā:

Piezīme : teorētiski ieraksti ir izplatīti .

Rupji runajot, augstākā vērtība atrodas tur, kur visvairāk augstākais punkts grafika, un mazākais ir tur, kur atrodas zemākais punkts.

Svarīgs! Kā jau uzsvērts rakstā par funkcijas galējība, lielākā funkcijas vērtība Un mazākā funkcijas vērtība – NAV TAS PATS, Kas maksimālā funkcija Un minimālā funkcija. Tātad aplūkotajā piemērā skaitlis ir funkcijas minimums, bet ne minimālā vērtība.

Starp citu, kas notiek ārpus segmenta? Jā, pat plūdi aplūkojamās problēmas kontekstā mūs tas nemaz neinteresē. Uzdevums ietver tikai divu skaitļu atrašanu un tas arī viss!

Turklāt risinājums ir tīri analītisks nav nepieciešams taisīt zīmējumu!

Algoritms atrodas uz virsmas un liecina par sevi no iepriekš redzamā attēla:

1) Atrodiet funkcijas vērtības kritiskie punkti, kas pieder šim segmentam.

Saņemiet vēl vienu bonusu: šeit nav jāpārbauda pietiekams ekstremuma nosacījums, jo, kā tikko parādīts, minimālā vai maksimālā klātbūtne vēl negarantē, kāda ir minimālā vai maksimālā vērtība. Demonstrācijas funkcija sasniedz maksimumu, un pēc likteņa gribas tas pats skaitlis ir segmenta lielākā funkcijas vērtība. Bet, protams, šāda sakritība ne vienmēr notiek.

Tātad pirmajā solī ir ātrāk un vienkāršāk aprēķināt funkcijas vērtības segmentam piederošajos kritiskajos punktos, neuztraucoties par to, vai tajos ir ekstrēmas vai nav.

2) Mēs aprēķinām funkcijas vērtības segmenta galos.

3) No 1. un 2. rindkopā atrodamajām funkciju vērtībām atlasiet mazāko un lielāko liels skaitlis, pierakstiet atbildi.

Apsēžamies krastā zilā jūra un sitam ar papēžiem pret seklu ūdeni:

1. piemērs

Atrodi vislielāko un mazākā vērtība darbojas ar intervālu

Risinājums:
1) Aprēķināsim funkcijas vērtības kritiskajos punktos, kas pieder šim segmentam:

Aprēķināsim funkcijas vērtību otrajā kritiskajā punktā:

2) Aprēķināsim funkcijas vērtības segmenta galos:

3) Ar eksponentiem un logaritmiem iegūti “Bold” rezultāti, kas būtiski apgrūtina to salīdzināšanu. Šī iemesla dēļ bruņosimies ar kalkulatoru vai Excel un aprēķināsim aptuvenās vērtības, neaizmirstot, ka:

Tagad viss ir skaidrs.

Atbilde:

Daļēji racionāls gadījums neatkarīgam risinājumam:

6. piemērs

Atrodiet segmenta funkcijas maksimālo un minimālo vērtību

Lai funkcija $z=f(x,y)$ ir definēta un nepārtraukta kādā ierobežotā slēgta zona$D$. Dotajai funkcijai šajā reģionā ir noteikti pirmās kārtas daļējie atvasinājumi (izņemot, iespējams, ierobežotam punktu skaitam). Lai atrastu divu mainīgo funkcijas lielākās un mazākās vērtības noteiktā slēgtā reģionā, ir jāveic trīs vienkārša algoritma darbības.

Algoritms funkcijas $z=f(x,y)$ lielāko un mazāko vērtību atrašanai slēgtā domēnā $D$.

1. Atrodiet domēnam $D$ piederošās funkcijas $z=f(x,y)$ kritiskos punktus. Aprēķiniet funkciju vērtības kritiskajos punktos.
2. Izpētīt funkcijas $z=f(x,y)$ uzvedību uz apgabala $D$ robežas, atrodot iespējamo maksimālo un minimālo vērtību punktus. Aprēķiniet funkciju vērtības iegūtajos punktos.
3. No iepriekšējās divās rindkopās iegūtajām funkciju vērtībām atlasiet lielāko un mazāko.

Kas ir kritiskie punkti? parādīt\slēpt

Zem kritiskie punkti ietver punktus, kuros abi pirmās kārtas daļējie atvasinājumi ir vienādi ar nulli (t.i., $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ un $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) vai vismaz viens daļējs atvasinājums nepastāv.

Bieži tiek izsaukti punkti, kuros pirmās kārtas daļējie atvasinājumi ir vienādi ar nulli stacionāri punkti. Tādējādi stacionārie punkti ir kritisko punktu apakškopa.

Piemērs Nr.1

Atrodiet funkcijas $z=x^2+2xy-y^2-4x$ lielākās un mazākās vērtības slēgtā reģionā, ierobežots ar līnijām$x=3$, $y=0$ un $y=x+1$.

Mēs sekosim iepriekšminētajam, bet vispirms tiksim galā ar dotā laukuma zīmējumu, ko apzīmēsim ar burtu $D$. Mums ir dots vienādojumi trīs taisnas līnijas, kas ierobežo šo apgabalu. Taisne $x=3$ iet caur punktu $(3;0)$ paralēli ordinātu asij (Oy ass). Taisne $y=0$ ir abscisu ass (Ox ass) vienādojums. Nu, lai izveidotu līniju $y=x+1$, mēs atradīsim divus punktus, caur kuriem mēs novilksim šo līniju. Protams, $x$ vietā varat aizstāt pāris patvaļīgas vērtības. Piemēram, aizstājot $x=10$, mēs iegūstam: $y=x+1=10+1=11$. Mēs esam atraduši punktu $(10;11)$, kas atrodas uz līnijas $y=x+1$. Tomēr labāk ir atrast tos punktus, kuros taisne $y=x+1$ krustojas ar taisnēm $x=3$ un $y=0$. Kāpēc tas ir labāk? Jo mēs ar vienu akmeni nogalināsim pāris putnus: iegūsim divus punktus, lai uzbūvētu taisni $y=x+1$ un tajā pašā laikā noskaidrotu, kādos punktos šī taisne krusto citas doto laukumu ierobežojošas līnijas. Taisne $y=x+1$ krustojas ar taisni $x=3$ punktā $(3;4)$, bet taisne $y=0$ – punktā $(-1;0)$. Lai risinājuma gaitu nepārblīvētu ar palīgskaidrojumiem, jautājumu par šo divu punktu iegūšanu ielikšu piezīmē.

Kā iegūti punkti $(3;4)$ un $(-1;0)$? parādīt\slēpt

Sāksim no līniju $y=x+1$ un $x=3$ krustpunkta. Vēlamā punkta koordinātas pieder gan pirmajai, gan otrajai taisnei, tāpēc, lai atrastu nezināmās koordinātas, ir jāatrisina vienādojumu sistēma:

$$ \left \( \begin(līdzināts) & y=x+1;\\ & x=3. \end(līdzināts) \right. $$

Šādas sistēmas risinājums ir triviāls: aizstājot $x=3$ pirmajā vienādojumā, mēs iegūsim: $y=3+1=4$. Punkts $(3;4)$ ir vēlamais līniju $y=x+1$ un $x=3$ krustošanās punkts.

Tagad atradīsim līniju $y=x+1$ un $y=0$ krustošanās punktu. Vēlreiz sastādīsim un atrisināsim vienādojumu sistēmu:

$$ \left \( \begin(līdzināts) & y=x+1;\\ & y=0. \end(līdzināts) \right. $$

Pirmajā vienādojumā aizstājot $y=0$, iegūstam: $0=x+1$, $x=-1$. Punkts $(-1;0)$ ir vēlamais līniju $y=x+1$ un $y=0$ (x ass) krustošanās punkts.

Viss ir gatavs, lai izveidotu zīmējumu, kas izskatīsies šādi:

Jautājums par zīmīti šķiet pašsaprotams, jo bildē viss ir redzams. Tomēr ir vērts atcerēties, ka zīmējums nevar kalpot par pierādījumu. Zīmējums ir paredzēts tikai ilustratīviem nolūkiem.

Mūsu apgabals tika definēts, izmantojot taisnās līnijas vienādojumus, kas to saistīja. Acīmredzot šīs līnijas nosaka trīsstūri, vai ne? Vai arī tas nav pilnīgi acīmredzams? Vai varbūt mums ir piešķirts cits apgabals, ko ierobežo tās pašas līnijas:

Protams, nosacījums saka, ka teritorija ir slēgta, tāpēc redzamā bilde ir nepareiza. Bet, lai izvairītos no šādām neskaidrībām, labāk ir definēt reģionus pēc nevienlīdzības. Vai mūs interesē plaknes daļa, kas atrodas zem taisnes $y=x+1$? Labi, tāpēc $y ≤ x+1$. Vai mūsu apgabalam jāatrodas virs līnijas $y=0$? Lieliski, tas nozīmē, ka $y ≥ 0 $. Starp citu, pēdējās divas nevienādības var viegli apvienot vienā: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(līdzināts) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(līdzināts) \right. $$

Šīs nevienlīdzības nosaka reģionu $D$, un tās definē to nepārprotami, nepieļaujot nekādas neskaidrības. Bet kā tas mums palīdz risināt piezīmes sākumā uzdoto jautājumu? Tas arī palīdzēs :) Jāpārbauda, ​​vai punkts $M_1(1;1)$ pieder apgabalam $D$. Aizstāsim $x=1$ un $y=1$ nevienādību sistēmā, kas nosaka šo reģionu. Ja abas nevienādības ir izpildītas, tad punkts atrodas reģiona iekšienē. Ja vismaz viena no nevienādībām nav izpildīta, tad punkts nepieder reģionam. Tātad:

$$ \left \( \begin (līdzināts) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(līdzināts) \right. \;\; \left \( \begin (līdzināts) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(līdzināts) \right.$$

Abas nevienlīdzības ir spēkā. Punkts $M_1(1;1)$ pieder apgabalam $D$.

Tagad ir pienācis laiks izpētīt funkcijas uzvedību pie reģiona robežas, t.i. ejam uz . Sāksim ar taisni $y=0$.

Taisne $y=0$ (abscisu ass) ierobežo reģionu $D$ ar nosacījumu $-1 ≤ x ≤ 3$. Aizstāsim $y=0$ dotajā funkcijā $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Viena mainīgā $x$ funkciju, kas iegūta aizvietošanas rezultātā, apzīmējam kā $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Tagad funkcijai $f_1(x)$ ir jāatrod lielākās un mazākās vērtības intervālā $-1 ≤ x ≤ 3$. Atradīsim šīs funkcijas atvasinājumu un pielīdzināsim to nullei:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Vērtība $x=2$ pieder segmentam $-1 ≤ x ≤ 3$, tāpēc punktu sarakstam pievienosim arī $M_2(2;0)$. Turklāt aprēķināsim funkcijas $z$ vērtības segmenta $-1 ≤ x ≤ 3$ galos, t.i. punktos $M_3(-1;0)$ un $M_4(3;0)$. Starp citu, ja punkts $M_2$ nepiederētu apskatāmajam segmentam, tad tajā, protams, nebūtu jāaprēķina funkcijas $z$ vērtība.

Tātad, aprēķināsim funkcijas $z$ vērtības punktos $M_2$, $M_3$, $M_4$. Jūs, protams, varat aizstāt šo punktu koordinātas ar sākotnējo izteiksmi $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Piemēram, punktam $M_2$ mēs iegūstam:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Tomēr aprēķinus var nedaudz vienkāršot. Lai to izdarītu, ir vērts atcerēties, ka segmentā $M_3M_4$ mums ir $z(x,y)=f_1(x)$. Es to uzrakstīšu sīkāk:

\begin(līdzināts) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cpunkts (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cpunkts 3=-3. \beigas (līdzināts)

Protams, parasti nav nepieciešami šādi detalizēti ieraksti, un turpmāk mēs īsi pierakstīsim visus aprēķinus:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cpunkts (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Tagad pagriezīsimies uz taisni $x=3$. Šī taisne ierobežo reģionu $D$ ar nosacījumu $0 ≤ y ≤ 4$. Aizstāsim $x=3$ dotajā funkcijā $z$. Šīs aizstāšanas rezultātā mēs iegūstam funkciju $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Funkcijai $f_2(y)$ mums jāatrod lielākās un mazākās vērtības intervālā $0 ≤ y ≤ 4$. Atradīsim šīs funkcijas atvasinājumu un pielīdzināsim to nullei:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Vērtība $y=3$ pieder segmentam $0 ≤ y ≤ 4$, tāpēc iepriekš atrastajiem punktiem pievienosim arī $M_5(3;3)$. Papildus nepieciešams aprēķināt funkcijas $z$ vērtību punktos nogriežņa $0 ≤ y ≤ 4$ galos, t.i. punktos $M_4(3;0)$ un $M_6(3;4)$. Punktā $M_4(3;0)$ mēs jau esam aprēķinājuši $z$ vērtību. Aprēķināsim funkcijas $z$ vērtību punktos $M_5$ un $M_6$. Atgādināšu, ka segmentā $M_4M_6$ mums ir $z(x,y)=f_2(y)$, tāpēc:

\begin(līdzināts) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \beigas (līdzināts)

Un visbeidzot, apsveriet reģiona $D$ pēdējo robežu, t.i. taisne $y=x+1$. Šī taisne ierobežo reģionu $D$ ar nosacījumu $-1 ≤ x ≤ 3$. Aizstājot $y=x+1$ funkcijā $z$, mēs iegūsim:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Atkal mums ir viena mainīgā $x$ funkcija. Un atkal mums jāatrod šīs funkcijas lielākās un mazākās vērtības intervālā $-1 ≤ x ≤ 3$. Atradīsim funkcijas $f_(3)(x)$ atvasinājumu un pielīdzināsim to nullei:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Vērtība $x=1$ pieder intervālam $-1 ≤ x ≤ 3$. Ja $x=1$, tad $y=x+1=2$. Punktu sarakstam pievienosim $M_7(1;2)$ un noskaidrosim, kāda ir funkcijas $z$ vērtība šajā punktā. Punkti segmenta galos $-1 ≤ x ≤ 3$, t.i. punkti $M_3(-1;0)$ un $M_6(3;4)$ tika apskatīti agrāk, tajos jau atradām funkcijas vērtību.

$$z_7=f_3(1)=2\cpunkts 1^2-4\cpunkts 1-1=-3.$$

Otrais risinājuma posms ir pabeigts. Mēs saņēmām septiņas vērtības:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Pievērsīsimies. Izvēloties lielākās un mazākās vērtības no trešajā daļā iegūtajiem skaitļiem, mums būs:

$$z_(min)=-4; \; z_(maks.)=6,$$

Problēma atrisināta, atliek tikai pierakstīt atbildi.

Atbilde: $z_(min)=-4; \; z_(maks.)=6$.

Piemērs Nr.2

Atrodiet funkcijas $z=x^2+y^2-12x+16y$ lielāko un mazāko vērtību reģionā $x^2+y^2 ≤ 25$.

Pirmkārt, izveidosim zīmējumu. Vienādojums $x^2+y^2=25$ (šī ir dotā apgabala robežlīnija) definē apli, kura centrs atrodas sākuma punktā (t.i., punktā $(0;0)$) un rādiuss ir 5. Nevienādība $x^2 +y^2 ≤ $25 apmierina visus punktus minētā apļa iekšpusē un uz tā.

Mēs rīkosimies saskaņā ar. Atradīsim daļējos atvasinājumus un noskaidrosim kritiskos punktus.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Nav punktu, kuros atrastie daļējie atvasinājumi nepastāv. Noskaidrosim, kādos punktos abi parciālie atvasinājumi vienlaikus ir vienādi ar nulli, t.i. meklēsim stacionārus punktus.

$$ \left \( \begin(līdzināts) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(līdzināts) \right. \;\; \left \( \begin(līdzināts) & x =6;\\ & y=-8.\end(līdzināts)\right.$$

Esam ieguvuši stacionāru punktu $(6;-8)$. Taču atrastais punkts nepieder pie reģiona $D$. To ir viegli parādīt, pat neizmantojot zīmēšanu. Pārbaudīsim, vai pastāv nevienādība $x^2+y^2 ≤ 25$, kas nosaka mūsu reģionu $D$. Ja $x=6$, $y=-8$, tad $x^2+y^2=36+64=100$, t.i. nevienādība $x^2+y^2 ≤ 25$ nepastāv. Secinājums: punkts $(6;-8)$ neietilpst apgabalā $D$.

Tātad reģionā $D$ nav kritisku punktu. Pārejam pie... Mums ir jāizpēta funkcijas uzvedība uz dotā reģiona robežas, t.i. uz apļa $x^2+y^2=25$. Mēs, protams, varam izteikt $y$ kā $x$ un pēc tam iegūto izteiksmi aizstāt ar mūsu funkciju $z$. No apļa vienādojuma iegūstam: $y=\sqrt(25-x^2)$ vai $y=-\sqrt(25-x^2)$. Dotajā funkcijā aizstājot, piemēram, $y=\sqrt(25-x^2)$, mēs iegūsim:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Tālākais risinājums būs pilnīgi identisks funkcijas uzvedības izpētei uz reģiona robežas iepriekšējā piemērā Nr.1. Tomēr man šķiet saprātīgāk šajā situācijā piemērot Lagranža metodi. Mūs interesēs tikai šīs metodes pirmā daļa. Pēc Lagranža metodes pirmās daļas pielietošanas iegūsim punktus, kuros pārbaudīsim funkciju $z$ minimālajām un maksimālajām vērtībām.

Mēs veidojam Lagranža funkciju:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Mēs atrodam Lagranža funkcijas daļējos atvasinājumus un veidojam atbilstošo vienādojumu sistēmu:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (līdzināts) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \end(līdzināts) \ pa labi. \;\; \left \( \begin(līdzināts) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( līdzināts)\pa labi.$$

Lai atrisinātu šo sistēmu, uzreiz norādīsim, ka $\lambda\neq -1$. Kāpēc $\lambda\neq -1$? Mēģināsim aizstāt $\lambda=-1$ pirmajā vienādojumā:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Iegūtā pretruna $0=6$ norāda, ka vērtība $\lambda=-1$ ir nepieņemama. Izvade: $\lambda\neq -1$. Izteiksim $x$ un $y$ kā $\lambda$:

\begin(līdzināts) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \beigas (līdzināts)

Es uzskatu, ka šeit kļūst skaidrs, kāpēc mēs īpaši izvirzījām nosacījumu $\lambda\neq -1$. Tas tika darīts, lai bez traucējumiem iekļautu izteiksmi $1+\lambda$ saucējos. Tas ir, lai pārliecinātos, ka saucējs $1+\lambda\neq 0$.

Aizstāsim iegūtās izteiksmes $x$ un $y$ ar trešo sistēmas vienādojumu, t.i. $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

No iegūtās vienādības izriet, ka $1+\lambda=2$ vai $1+\lambda=-2$. Tādējādi mums ir divas parametra $\lambda$ vērtības, proti: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Attiecīgi mēs iegūstam divus vērtību pārus $x$ un $y$:

\begin(līdzināts) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \beigas (līdzināts)

Tātad esam ieguvuši divus iespējamā nosacītā ekstrēma punktus, t.i. $M_1(3;-4)$ un $M_2(-3;4)$. Atradīsim funkcijas $z$ vērtības punktos $M_1$ un $M_2$:

\begin(līdzināts) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cpunkts 3+16\cpunkts (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \beigas (līdzināts)

Mums vajadzētu izvēlēties lielākās un mazākās vērtības no tām, kuras ieguvām pirmajā un otrajā solī. Bet šajā gadījumā izvēle ir maza :) Mums ir:

$$ z_(min)=-75; \; z_(maks.)=125. $$

Atbilde: $z_(min)=-75; \; z_(maks.) = 125 ASV dolāri.

No praktiskā viedokļa vislielākā interese ir par atvasinājuma izmantošanu, lai atrastu funkcijas lielākās un mazākās vērtības. Ar ko tas ir saistīts? Peļņas maksimizēšana, izmaksu samazināšana, aprīkojuma optimālās slodzes noteikšana... Citiem vārdiem sakot, daudzās dzīves jomās mums ir jāatrisina dažu parametru optimizācijas problēmas. Un tie ir uzdevumi, kā atrast funkcijas lielākās un mazākās vērtības.

Jāatzīmē, ka lielākās un mazākās funkcijas vērtības parasti tiek meklētas noteiktā intervālā X, kas ir vai nu viss funkcijas domēns, vai definīcijas domēna daļa. Pats intervāls X var būt segments, atvērts intervāls , bezgalīgs intervāls.

Šajā rakstā mēs runāsim par lielāko un mazāko vērtību skaidru atrašanu dotā funkcija viens mainīgais y=f(x) .

Lapas navigācija.

Funkcijas lielākā un mazākā vērtība - definīcijas, ilustrācijas.

Īsi apskatīsim galvenās definīcijas.

Funkcijas lielākā vērtība ka jebkuram nevienlīdzība ir patiesa.

Funkcijas mazākā vērtība y=f(x) intervālā X sauc par šādu vērtību ka jebkuram nevienlīdzība ir patiesa.

Šīs definīcijas ir intuitīvas: lielākā (mazākā) funkcijas vērtība ir lielākā (mazākā) pieņemtā vērtība aplūkotajā intervālā pie abscisas.

Stacionāri punkti– šīs ir argumenta vērtības, pie kurām funkcijas atvasinājums kļūst par nulli.

Kāpēc mums ir nepieciešami stacionāri punkti, atrodot lielākās un mazākās vērtības? Atbildi uz šo jautājumu sniedz Fermā teorēma. No šīs teorēmas izriet, ka, ja diferencējamai funkcijai kādā brīdī ir ekstrēmums (lokālais minimums vai lokālais maksimums), tad šis punkts ir stacionārs. Tādējādi funkcija bieži vien iegūst lielāko (mazāko) vērtību intervālā X vienā no šī intervāla stacionārajiem punktiem.

Arī funkcija bieži var iegūt lielākās un mazākās vērtības punktos, kuros šīs funkcijas pirmais atvasinājums nepastāv, un pati funkcija ir definēta.

Uzreiz atbildēsim uz vienu no visbiežāk uzdotajiem jautājumiem par šo tēmu: “Vai vienmēr ir iespējams noteikt funkcijas lielāko (mazāko) vērtību”? Nē ne vienmēr. Dažreiz intervāla X robežas sakrīt ar funkcijas definīcijas apgabala robežām, vai arī intervāls X ir bezgalīgs. Un dažas funkcijas bezgalībā un definīcijas apgabala robežās var iegūt gan bezgalīgi lielas, gan bezgalīgi mazas vērtības. Šajos gadījumos neko nevar teikt par funkcijas lielāko un mazāko vērtību.

Skaidrības labad mēs sniegsim grafisku ilustrāciju. Paskaties bildes un daudz kas kļūs skaidrāks.

Uz segmentu

Pirmajā attēlā funkcija ņem lielākās (max y) un mazākās (min y) vērtības stacionārajos punktos, kas atrodas segmenta iekšpusē [-6;6].

Apsveriet gadījumu, kas parādīts otrajā attēlā. Mainīsim segmentu uz . Šajā piemērā mazākā funkcijas vērtība tiek sasniegta stacionārā punktā, bet lielākā – punktā ar abscisu, kas atbilst labā robeža intervāls.

3. attēlā segmenta [-3;2] robežpunkti ir to punktu abscises, kas atbilst funkcijas lielākajai un mazākajai vērtībai.

Atvērtā intervālā

Ceturtajā attēlā funkcija ņem lielākās (max y) un mazākās (min y) vērtības stacionārajos punktos, kas atrodas atvērtā intervāla iekšpusē (-6; 6).

Intervālā nevar izdarīt secinājumus par lielāko vērtību.

Bezgalībā

Septītajā attēlā parādītajā piemērā funkcija iegūst lielāko vērtību (max y) stacionārā punktā ar abscisu x=1, un mazākā vērtība (min y) tiek sasniegta intervāla labajā malā. Pie mīnus bezgalības funkcijas vērtības asimptotiski tuvojas y=3.

Intervālā funkcija nesasniedz ne mazāko, ne lielāko vērtību. Kad x=2 tuvojas no labās puses, funkciju vērtībām ir tendence mīnus bezgalība (taisne x=2 ir vertikālā asimptote), un, tā kā abscisai ir tendence palielināties ar bezgalību, funkcijas vērtības asimptotiski tuvojas y = 3. Šī piemēra grafisks attēls ir parādīts 8. attēlā.

Algoritms nepārtrauktas funkcijas lielāko un mazāko vērtību atrašanai segmentā.

Uzrakstīsim algoritmu, kas ļauj mums atrast segmenta funkcijas lielākās un mazākās vērtības.

1. Mēs atrodam funkcijas definīcijas domēnu un pārbaudām, vai tajā ir viss segments.
2. Mēs atrodam visus punktus, kuros pirmais atvasinājums neeksistē un kuri ir ietverti segmentā (parasti šādi punkti ir atrodami funkcijās ar argumentu zem moduļa zīmes un jaudas funkcijas ar daļskaitli-racionālo eksponentu). Ja šādu punktu nav, pārejiet pie nākamā punkta.
3. Mēs nosakām visus stacionāros punktus, kas ietilpst segmentā. Lai to izdarītu, mēs to pielīdzinām nullei, atrisinām iegūto vienādojumu un atlasām piemērotas saknes. Ja nav stacionāru punktu vai neviens no tiem neietilpst segmentā, pārejiet uz nākamo punktu.
4. Mēs aprēķinām funkcijas vērtības izvēlētajos stacionārajos punktos (ja tādi ir), punktos, kuros nav pirmā atvasinājuma (ja tāds ir), kā arī pie x=a un x=b.
5. No iegūtajām funkcijas vērtībām mēs izvēlamies lielāko un mazāko - tās būs attiecīgi nepieciešamās lielākās un mazākās funkcijas vērtības.

Analizēsim piemēra risināšanas algoritmu, lai segmentā atrastu lielākās un mazākās funkcijas vērtības.

Piemērs.

Atrodiet funkcijas lielāko un mazāko vērtību

• uz segmenta;
• uz segmenta [-4;-1] .

Risinājums.

Funkcijas definīcijas apgabals ir visa reālo skaitļu kopa, izņemot nulli, tas ir. Abi segmenti ietilpst definīcijas jomā.

Atrodiet funkcijas atvasinājumu attiecībā uz:

Acīmredzot funkcijas atvasinājums pastāv visos segmentu punktos un [-4;-1].

No vienādojuma nosakām stacionārus punktus. Vienīgā reālā sakne ir x=2. Šis stacionārais punkts ietilpst pirmajā segmentā.

Pirmajā gadījumā mēs aprēķinām funkcijas vērtības segmenta galos un stacionārajā punktā, tas ir, x=1, x=2 un x=4:

Tāpēc funkcijas lielākā vērtība tiek sasniegts pie x=1 un mazākās vērtības – pie x=2.

Otrajā gadījumā funkciju vērtības aprēķinām tikai segmenta [-4;-1] galos (jo tajā nav neviena stacionāra punkta):

Apskatīsim, kā pārbaudīt funkciju, izmantojot grafiku. Izrādās, ka, aplūkojot grafiku, mēs varam uzzināt visu, kas mūs interesē, proti:

• funkcijas domēns
• funkciju diapazons
• funkciju nulles
• pieauguma un samazināšanās intervāli
• maksimālie un minimālie punkti
• segmenta funkcijas lielākā un mazākā vērtība.

Precizēsim terminoloģiju:

Abscisa ir punkta horizontālā koordināta.
Ordināta- vertikālā koordināte.
Abscisu ass- horizontālā ass, ko visbiežāk sauc par asi.
Y ass- vertikālā ass vai ass.

Arguments- neatkarīgs mainīgais, no kura ir atkarīgas funkciju vērtības. Visbiežāk norādīts.
Citiem vārdiem sakot, mēs izvēlamies , aizstājam funkcijas formulā un iegūstam .

Domēns funkcijas - to (un tikai to) argumentu vērtību kopa, kurām funkcija pastāv.
Apzīmēts ar: vai .

Mūsu attēlā funkcijas definīcijas domēns ir segments. Tieši šajā segmentā tiek uzzīmēts funkcijas grafiks. Šī ir vienīgā vieta, kur šī funkcija pastāv.

Funkciju diapazons ir vērtību kopa, ko iegūst mainīgais. Mūsu attēlā tas ir segments - no zemākās līdz augstākajai vērtībai.

Funkcijas nulles- punkti, kur funkcijas vērtība ir nulle, tas ir. Mūsu attēlā tie ir punkti un .

Funkcijas vērtības ir pozitīvas kur . Mūsu attēlā tie ir intervāli un .
Funkciju vērtības ir negatīvas kur . Mums tas ir intervāls (vai intervāls) no līdz .

Vissvarīgākie jēdzieni - palielinot un samazinot funkciju kādā komplektā. Kā kopu varat ņemt segmentu, intervālu, intervālu savienību vai visu skaitļu līniju.

Funkcija palielinās

Citiem vārdiem sakot, jo vairāk , jo vairāk, tas ir, grafiks iet pa labi un uz augšu.

Funkcija samazinās uz kopas, ja kādam un kas pieder pie kopas, nevienlīdzība nozīmē nevienlīdzību .

Samazinošai funkcijai augstāka vērtība atbilst mazākajai vērtībai. Diagramma iet pa labi un uz leju.

Mūsu attēlā funkcija palielinās uz intervālu un samazinās uz intervāliem un .

Definēsim, kas tas ir funkcijas maksimālie un minimālie punkti.

Maksimālais punkts- šis ir definīcijas apgabala iekšējais punkts, kurā funkcijas vērtība ir lielāka nekā visos punktos, kas tam ir pietiekami tuvu.
Citiem vārdiem sakot, maksimālais punkts ir punkts, kurā funkcijas vērtība vairāk nekā kaimiņos. Šis diagrammā ir vietējais "kalns".

Mūsu attēlā ir maksimālais punkts.

Minimālais punkts- definīcijas apgabala iekšējais punkts, kurā funkcijas vērtība ir mazāka nekā visos punktos, kas tam ir pietiekami tuvu.
Tas ir, minimālais punkts ir tāds, ka funkcijas vērtība tajā ir mazāka nekā tās kaimiņos. Šis ir lokāls "caurums" diagrammā.

Mūsu attēlā ir minimālais punkts.

Punkts ir robeža. Tas nav definīcijas jomas iekšējais punkts un tāpēc neatbilst maksimālā punkta definīcijai. Galu galā viņai nav kaimiņu kreisajā pusē. Tādā pašā veidā mūsu diagrammā nevar būt minimālais punkts.

Maksimālo un minimālo punktu kopā sauc funkcijas galējie punkti. Mūsu gadījumā tas ir un .

Ko darīt, ja jāatrod, piemēram, minimālā funkcija segmentā? Šajā gadījumā atbilde ir:. Jo minimālā funkcija ir tā vērtība minimālajā punktā.

Tāpat mūsu funkcijas maksimums ir . Tas tiek sasniegts punktā.

Var teikt, ka funkcijas galējības ir vienādas ar un .

Dažreiz problēmas ir jāatrod funkcijas lielākās un mazākās vērtības noteiktā segmentā. Tie ne vienmēr sakrīt ar galējībām.

Mūsu gadījumā mazākā funkcijas vērtība segmentā ir vienāds ar funkcijas minimumu un sakrīt ar to. Bet tā lielākā vērtība šajā segmentā ir vienāda ar . Tas tiek sasniegts segmenta kreisajā galā.

Jebkurā gadījumā lielākās un mazākās vērtības nepārtraukta funkcija segmentā tiek sasniegti vai nu ekstremālos punktos, vai segmenta galos.

Kas ir funkcijas ekstrēms un kāds ir ekstrēma nosacījums?

Funkcijas ekstrēmums ir funkcijas maksimums un minimums.

Priekšnoteikums Funkcijas maksimums un minimums (ekstrēmums) ir šādi: ja funkcijai f(x) ir ekstrēmums punktā x = a, tad šajā punktā atvasinājums ir vai nu nulle, vai bezgalīgs, vai arī neeksistē.

Šis nosacījums ir nepieciešams, bet nepietiekams. Atvasinājums punktā x = a var sasniegt nulli, bezgalību vai nepastāvēt, ja funkcijai šajā punktā nav ekstrēma.

Kāds ir pietiekams nosacījums funkcijas galējībai (maksimums vai minimums)?

Pirmais nosacījums:

Ja pietiekami tuvu punktam x = a atvasinājums f?(x) ir pozitīvs pa kreisi no a un negatīvs pa labi no a, tad punktā x = a funkcijai f(x) ir maksimums

Ja pietiekami tuvu punktam x = a atvasinājums f?(x) ir negatīvs pa kreisi no a un pozitīvs pa labi no a, tad punktā x = a funkcijai f(x) ir minimums ar nosacījumu, ka funkcija f(x) šeit ir nepārtraukta.

Tā vietā funkcijas galam varat izmantot otro pietiekamo nosacījumu:

Pieņemsim, ka punktā x = a pirmais atvasinājums f?(x) pazūd; ja otrais atvasinājums f??(a) ir negatīvs, tad funkcijai f(x) ir maksimums punktā x = a, ja tas ir pozitīvs, tad tai ir minimums.

Kāds ir funkcijas kritiskais punkts un kā to atrast?

Šī ir funkcijas argumenta vērtība, pie kuras funkcijai ir galējība (t.i., maksimums vai minimums). Lai to atrastu, jums ir nepieciešams atrast atvasinājumu funkcija f?(x) un, pielīdzinot to nullei, atrisināt vienādojumu f?(x) = 0. Šī vienādojuma saknes, kā arī tie punkti, kuros šīs funkcijas atvasinājums neeksistē, ir kritiskie punkti, t.i., argumenta vērtības, kurās var būt ekstrēmums. Tos var viegli atpazīt, skatoties atvasinātais grafiks: mūs interesē tās argumenta vērtības, kurās funkcijas grafiks krustojas ar abscisu asi (Ox ass), un tās, kurās grafikā ir pārtraukumi.

Piemēram, atradīsim parabolas ekstremitāte.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funkcijas atvasinājums: y?(x) = 6x + 2

Atrisiniet vienādojumu: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Šajā gadījumā kritiskais punkts ir x0=-1/3. Ar šo argumenta vērtību funkcijai ir ekstremitāte. Viņam atrast, aizstājiet funkcijas izteiksmē atrasto skaitli, nevis “x”:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kā noteikt funkcijas maksimumu un minimumu, t.i. tās lielākās un mazākās vērtības?

Ja atvasinājuma zīme, ejot cauri kritiskajam punktam x0, mainās no “plus” uz “mīnus”, tad x0 ir maksimālais punkts; ja atvasinājuma zīme mainās no mīnusa uz plusu, tad x0 ir minimālais punkts; ja zīme nemainās, tad punktā x0 nav ne maksimuma, ne minimuma.

Aplūkotajam piemēram:

Ņemiet patvaļīgu argumenta vērtību pa kreisi no kritiskais punkts: x = -1

Ja x = -1, atvasinājuma vērtība būs y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (t.i., zīme ir “mīnus”).

Tagad mēs ņemam patvaļīgu argumenta vērtību pa labi no kritiskā punkta: x = 1

Ja x = 1, atvasinājuma vērtība būs y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (t.i., zīme ir “plus”).

Kā redzat, atvasinājums mainīja zīmi no mīnusa uz plusu, ejot cauri kritiskajam punktam. Tas nozīmē, ka pie kritiskās vērtības x0 mums ir minimālais punkts.

Funkcijas lielākā un mazākā vērtība uz intervālu(segmentā) tiek atrasti, izmantojot to pašu procedūru, tikai ņemot vērā to, ka, iespējams, ne visi kritiskie punkti atradīsies norādītajā intervālā. Tie kritiskie punkti, kas atrodas ārpus intervāla, ir jāizslēdz no izskatīšanas. Ja intervālā ir tikai viens kritiskais punkts, tam būs vai nu maksimums, vai minimums. Šajā gadījumā, lai noteiktu funkcijas lielāko un mazāko vērtību, mēs ņemam vērā arī funkcijas vērtības intervāla beigās.

Piemēram, atradīsim funkcijas lielāko un mazāko vērtību

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

ar intervāliem:

Tātad funkcijas atvasinājums ir

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Mēs atrisinām vienādojumu 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Mēs atrodam kritiskos punktus intervālā [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nav iekļauts intervālā)

x = -arccos(0,16667) - 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nav iekļauts intervālā)

Mēs atrodam funkciju vērtības pie argumenta kritiskajām vērtībām:

y(-7,687) = 3cos (-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos (-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Redzams, ka uz intervāla [-9; 9] funkcijai ir vislielākā vērtība pie x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

un mazākais - pie x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Uz intervāla [-6; -3] mums ir tikai viens kritiskais punkts: x = -4,88. Funkcijas vērtība pie x = -4,88 ir vienāda ar y = 5,398.

Atrodiet funkcijas vērtību intervāla beigās:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Uz intervāla [-6; -3] mums ir lielākā funkcijas vērtība

y = 5,398 pie x = -4,88

mazākā vērtība -

y = 1,077 pie x = -3

Kā atrast funkcijas grafika lēciena punktus un noteikt izliektās un ieliektās malas?

Lai atrastu visus taisnes y = f(x) lēciena punktus, jāatrod otrais atvasinājums, jāpielīdzina nullei (atrisina vienādojumu) un jāpārbauda visas tās x vērtības, kurām otrais atvasinājums ir nulle, bezgalīgs vai neeksistē. Ja, ejot cauri kādai no šīm vērtībām, otrais atvasinājums maina zīmi, tad funkcijas grafikā šajā punktā ir locījums. Ja tas nemainās, tad nav nekāda līkuma.

Vienādojuma f saknes? (x) = 0, kā arī iespējamie funkcijas un otrā atvasinājuma pārtraukuma punkti sadala funkcijas definīcijas apgabalu vairākos intervālos. Katra to intervāla izliekumu nosaka otrā atvasinājuma zīme. Ja otrais atvasinājums pētāmā intervāla punktā ir pozitīvs, tad līnija y = f(x) ir ieliekta uz augšu un, ja negatīva, tad uz leju.

Kā atrast divu mainīgo funkcijas galējības?

Lai atrastu funkcijas f(x,y) ekstrēmu, kas ir diferencējama tās specifikācijas jomā, ir nepieciešams:

1) atrodiet kritiskos punktus un šim nolūkam - atrisiniet vienādojumu sistēmu

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) katram kritiskajam punktam P0(a;b) izpētīt, vai atšķirības zīme paliek nemainīga

visiem punktiem (x;y) pietiekami tuvu P0. Ja starpība paliek pozitīva, tad punktā P0 mums ir minimums, ja negatīvs, tad maksimums. Ja starpība nesaglabā savu zīmi, tad punktā P0 nav ekstrēma.

Funkcijas galējības tiek noteiktas līdzīgi vairāk argumenti.

Par ko ir multfilma "Šreks uz visiem laikiem pēc"?
Multfilma: “Shrek Forever After” Izlaiduma gads: 2010 Pirmizrāde (Krievijas Federācija): 2010. gada 20. maijs Valsts: ASV Režisors: Michael Pitchel Scenārijs: Josh Klausner, Darren Lemke Žanrs: ģimenes komēdija, fantāzija, piedzīvojums Oficiālā vietne: www.shrekforeverafter .com Mūļu sižets

Vai ir iespējams ziedot asinis menstruāciju laikā?
Mediķi neiesaka ziedot asinis menstruāciju laikā, jo... asins zudums, kaut arī ne ievērojamā daudzumā, ir pilns ar hemoglobīna līmeņa pazemināšanos un sievietes labklājības pasliktināšanos. Asins nodošanas procedūras laikā situācija ar Jūsu veselību var pasliktināties līdz asiņošanai. Tāpēc sievietēm menstruāciju laikā jāatturas no asins ziedošanas. Un jau 5. dienā pēc to pabeigšanas

Cik kcal stundā patērē, mazgājot grīdas?
Veidi fiziskā aktivitāte Enerģijas patēriņš, kcal/stundā Ēdienu gatavošana 80 ģērbšanās 30 braukšana 50 putekļu tīrīšana 80 ēšana 30 dārzkopība 135 gludināšana 45 gultas klāšana 130 iepirkšanās 80 sēdošs darbs 75 malkas skaldīšana 300 grīdu mazgāšana 130 sekss 100-150 zema intensitāte.

Ko nozīmē vārds "klēpis"?
Krāpnieks ir zaglis, kas nodarbojas ar sīkām zādzībām, vai viltīgs cilvēks, kuram ir tendence uz krāpnieciskiem trikiem. Apstiprinājums šai definīcijai ir ietverts Krilova etimoloģiskajā vārdnīcā, saskaņā ar kuru vārds "krāpnieks" ir veidots no vārda "zhal" (zaglis, krāpnieks), kas saistīts ar darbības vārdu &la.

Kā sauc pēdējo publicēto brāļu Strugatsku stāstu?
Arkādija un Borisa Strugatsku īss stāsts “Par ciklotācijas jautājumu” pirmo reizi tika publicēts 2008. gada aprīlī daiļliteratūras antoloģijā “Puslaiks. XXI gadsimts” (žurnāla “Apkārt pasaulei”, kas izdots Borisa redakcijā) Strugatskis). Publikācija tika ieplānota tā, lai tas sakristu ar Borisa Strugatska 75. gadadienu.

Kur var lasīt Work And Travel USA programmas dalībnieku stāstus?
Work and Travel USA (work and travel in USA) ir populāra studentu apmaiņas programma, kuras ietvaros var pavadīt vasaru Amerikā, legāli strādājot apkalpojošā sfērā un ceļojot. Programmas Work & Travel vēsture ir iekļauta starpvaldību apmaiņas programmā Cultural Exchange Pro

Auss. Kulinārais un vēsturiskais fons Jau vairāk nekā divarpus gadsimtus ar vārdu “ukha” apzīmē zupas vai svaigu zivju novārījumu. Bet bija laiks, kad šis vārds tika interpretēts plašāk. Tas nozīmēja zupu – ne tikai zivis, bet arī gaļu, zirņus un pat saldu. Tātad vēsturiskajā dokumentā - "

Informācijas un personāla atlases portāli Superjob.ru - personāla atlases portāls Superjob.ru darbojas Krievijas tiešsaistes personāla atlases tirgū kopš 2000. gada un ir līderis starp resursiem, kas piedāvā darba un personāla meklēšanu. Katru dienu vietnes datubāzei tiek pievienoti vairāk nekā 80 000 speciālistu CV un vairāk nekā 10 000 vakanču.

Kas ir motivācija
Motivācijas definīcija Motivācija (no latīņu moveo - es kustos) - stimuls darbībai; dinamisks fizioloģisks un psiholoģisks process, kas kontrolē cilvēka uzvedību, nosakot tās virzienu, organizāciju, darbību un stabilitāti; cilvēka spēja ar darbu apmierināt savas vajadzības. Motivac

Kas ir Bobs Dilans
Bobs Dilans (angliski Bobs Dilans, īstajā vārdā — Roberts Allens Cimmermans angļu val. Roberts Alens Cimmermans; dzimis 1941. gada 24. maijā) ir amerikāņu dziesmu autors, kurš saskaņā ar žurnāla Rolling Stone aptauju ir otrais (

Kā transportēt istabas augus
Pēc telpaugu iegādes dārznieka priekšā ir uzdevums, kā neskartus nogādāt iegādātos eksotiskos ziedus. Zināšanas par istabas augu iepakošanas un transportēšanas pamatnoteikumiem palīdzēs atrisināt šo problēmu. Lai tos varētu pārnēsāt vai transportēt, augi ir jāiepako. Neatkarīgi no tā, cik mazā attālumā augi tiek transportēti, tie var tikt bojāti, izžūt, un ziemā &m