Funkcijas mazāko un lielāko vērtību meklēšanas process segmentā atgādina aizraujošu lidojumu ap objektu (funkcijas grafiks) helikopterā, šaujot noteiktos punktos no liela attāluma lielgabala un izvēloties ļoti speciāli punkti no šiem punktiem kontrolmetieniem. Punkti tiek atlasīti noteiktā veidā un atbilstoši noteikti noteikumi. Pēc kādiem noteikumiem? Mēs par to runāsim tālāk.

Ja funkcija y = f(x) ir nepārtraukts intervālā [ a, b] , tad tas sasniedz šo segmentu vismazāk Un augstākās vērtības . Tas var notikt vai nu iekšā ekstremālie punkti, vai segmenta galos. Tāpēc, lai atrastu vismazāk Un funkcijas lielākās vērtības , nepārtraukts intervālā [ a, b], jums ir jāaprēķina tās vērtības kopumā kritiskie punkti un segmenta galos, un pēc tam izvēlieties mazāko un lielāko no tiem.

Ļaujiet, piemēram, jums noteikt augstākā vērtība funkcijas f(x) segmentā [ a, b] . Lai to izdarītu, jums tas viss ir jāatrod kritiskie punkti, guļ uz [ a, b] .

Kritiskais punkts sauc par punktu, kurā definēta funkcija, un viņa atvasinājums vai nu vienāds ar nulli, vai neeksistē. Tad jums vajadzētu aprēķināt funkcijas vērtības kritiskajos punktos. Visbeidzot, ir jāsalīdzina funkcijas vērtības kritiskajos punktos un segmenta galos ( f(a) Un f(b)). Lielākais no šiem skaitļiem būs segmenta funkcijas lielākā vērtība [a, b] .

Problēmas ar atrašanu mazākās funkciju vērtības .

Mēs kopā meklējam mazākās un lielākās funkcijas vērtības

Piemērs 1. Atrodiet funkcijas mazāko un lielāko vērtību segmentā [-1, 2] .

Risinājums. Atrodiet šīs funkcijas atvasinājumu. Pielīdzināsim atvasinājumu nullei () un iegūsim divus kritiskos punktus: un . Lai noteiktā segmentā atrastu funkcijas mazākās un lielākās vērtības, pietiek aprēķināt tās vērtības segmenta galos un punktā, jo punkts nepieder segmentam [-1, 2]. Šīs funkciju vērtības ir: , , . No tā izriet, ka mazākā vērtība funkcijas(tālāk redzamajā diagrammā norādīts sarkanā krāsā), kas vienāds ar -7, tiek sasniegts segmenta labajā galā - punktā , un lielākais(arī sarkans grafikā), ir vienāds ar 9, - kritiskajā punktā.

Ja funkcija ir nepārtraukta noteiktā intervālā un šis intervāls nav segments (bet ir, piemēram, intervāls; starpība starp intervālu un segmentu: intervāla robežpunkti netiek iekļauti intervālā, bet gan segmentā ir iekļauti segmenta robežpunkti), tad starp funkcijas vērtībām var nebūt mazākās un lielākās. Tā, piemēram, funkcija, kas parādīta attēlā zemāk, ir nepārtraukta ]-∞, +∞[, un tai nav vislielākās vērtības.

Tomēr jebkuram intervālam (slēgtam, atvērtam vai bezgalīgam) ir patiesa šāda nepārtraukto funkciju īpašība.

4. piemērs. Atrodiet funkcijas mazāko un lielāko vērtību segmentā [-1, 3] .

Risinājums. Šīs funkcijas atvasinājumu mēs atrodam kā koeficienta atvasinājumu:

.

Mēs pielīdzinām atvasinājumu nullei, kas dod mums vienu kritisko punktu: . Tas pieder segmentam [-1, 3] . Lai atrastu mazākās un lielākās funkcijas vērtības noteiktā segmentā, mēs atrodam tās vērtības segmenta galos un atrastajā kritiskajā punktā:

Salīdzināsim šīs vērtības. Secinājums: vienāds ar -5/13, punktā un augstākā vērtība vienāds ar 1 punktā .

Mēs turpinām kopā meklēt mazākās un lielākās funkcijas vērtības

Ir skolotāji, kuri, runājot par funkcijas mazāko un lielāko vērtību atrašanu, nesniedz skolēniem risināmus piemērus, kas ir sarežģītāki par tikko apspriestajiem, tas ir, tos, kuros funkcija ir polinoms vai daļa, kuras skaitītājs un saucējs ir polinomi. Bet mēs neaprobežosimies ar šādiem piemēriem, jo ​​skolotāju vidū ir tādi, kuriem patīk piespiest skolēnus domāt pilnībā (atvasinājumu tabula). Tāpēc tiks izmantota logaritma un trigonometriskā funkcija.

6. piemērs. Atrodiet funkcijas mazāko un lielāko vērtību segmentā .

Risinājums. Mēs atrodam šīs funkcijas atvasinājumu kā produkta atvasinājums :

Atvasinājumu pielīdzinām nullei, kas dod vienu kritisko punktu: . Tas pieder segmentam. Lai atrastu mazākās un lielākās funkcijas vērtības noteiktā segmentā, mēs atrodam tās vērtības segmenta galos un atrastajā kritiskajā punktā:

Visu darbību rezultāts: funkcija sasniedz savu minimālo vērtību, vienāds ar 0, punktā un punktā un augstākā vērtība, vienāds e², punktā.

7. piemērs. Atrodiet funkcijas mazāko un lielāko vērtību segmentā .

Risinājums. Atrodiet šīs funkcijas atvasinājumu:

Mēs pielīdzinām atvasinājumu nullei:

Vienīgais kritiskais punkts pieder segmentam. Lai atrastu mazākās un lielākās funkcijas vērtības noteiktā segmentā, mēs atrodam tās vērtības segmenta galos un atrastajā kritiskajā punktā:

Secinājums: funkcija sasniedz savu minimālo vērtību, vienāds ar , punktā un augstākā vērtība, vienāds , punktā .

Lietojumprogrammu ekstrēmajās problēmās, lai atrastu funkcijas mazākās (maksimālās) vērtības, parasti tiek atrasts minimums (maksimums). Bet ne paši minimumi vai maksimumi rada lielāku praktisko interesi, bet gan argumenta vērtības, ar kurām tie tiek sasniegti. Risinot lietišķās problēmas, rodas papildu grūtības - sastādīt funkcijas, kas apraksta aplūkojamo parādību vai procesu.

8. piemērs. Tvertnei ar ietilpību 4, kam ir paralēlskaldņa forma ar kvadrātveida pamatni un augšpusē atvērta, jābūt alvotai. Kādam izmēram jābūt tvertnei, lai tās segšanai tiktu izmantots vismazākais materiāla daudzums?

Risinājums. Ļaujiet x- pamatnes puse, h- tvertnes augstums, S- tās virsmas laukums bez seguma, V- tā apjoms. Tvertnes virsmas laukumu izsaka ar formulu, t.i. ir divu mainīgo funkcija. Izteikt S kā viena mainīgā funkcija mēs izmantojam faktu, ka , no kurienes . Atrastās izteiksmes aizstāšana h formulā S:

Apskatīsim šo funkciju līdz galam. Tas ir definēts un diferencējams visur ]0, +∞[ un

.

Mēs pielīdzinām atvasinājumu nullei () un atrodam kritisko punktu. Turklāt, ja atvasinājums neeksistē, bet šī vērtība nav iekļauta definīcijas jomā un tāpēc nevar būt ekstrēma punkts. Tātad, tas ir vienīgais kritiskais punkts. Pārbaudīsim, vai tajā nav ekstrēma, izmantojot otro pietiekamo zīmi. Atradīsim otro atvasinājumu. Kad otrais atvasinājums ir lielāks par nulli (). Tas nozīmē, ka tad, kad funkcija sasniedz minimumu . Kopš šī minimums ir šīs funkcijas vienīgais galējības rādītājs, tā ir tās mazākā vērtība. Tātad tvertnes pamatnes malai jābūt 2 m, un tās augstumam jābūt .

9. piemērs. No punkta A atrodas uz dzelzceļa līnijas, līdz punktam AR, kas atrodas attālumā no tā l, krava jāpārvadā. Svara vienības transportēšanas izmaksas uz attāluma vienību pa dzelzceļu ir vienādas ar , un pa šoseju tās ir vienādas ar . Uz kādu brīdi M līnijas dzelzceļš jābūvē šoseja, no kuras pārvadāt kravas A V AR bija visekonomiskākā (sadaļa AB tiek pieņemts, ka dzelzceļš ir taisns)?

Bieži vien fizikā un matemātikā ir jāatrod funkcijas mazākā vērtība. Tagad mēs jums pateiksim, kā to izdarīt.

Kā atrast funkcijas mazāko vērtību: instrukcijas

1. Lai aprēķinātu mazāko vērtību nepārtraukta funkcija konkrētajā segmentā jums jāievēro šāds algoritms:
2. Atrodiet funkcijas atvasinājumu.
3. Atrodiet dotajā segmentā punktus, kuros atvasinājums ir vienāds ar nulli, kā arī visus kritiskos punktus. Pēc tam noskaidrojiet funkcijas vērtības šajos punktos, tas ir, atrisiniet vienādojumu, kur x ir vienāds ar nulli. Uzziniet, kura vērtība ir mazākā.
4. Nosakiet, kāda vērtība funkcijai ir galapunktos. Šajos punktos nosakiet funkcijas mazāko vērtību.
5. Salīdziniet iegūtos datus ar zemāko vērtību. Mazākais no iegūtajiem skaitļiem būs mazākā funkcijas vērtība.

Ņemiet vērā, ka, ja funkcijai segmentā nav mazākie punkti, tas nozīmē, ka noteiktā segmentā tas palielinās vai samazinās. Tāpēc funkcijas galīgajiem segmentiem jāaprēķina mazākā vērtība.

Visos citos gadījumos funkcijas vērtību aprēķina pēc dotā algoritma. Katrā algoritma punktā jums būs jāatrisina vienkāršs lineārais vienādojums ar vienu sakni. Lai izvairītos no kļūdām, atrisiniet vienādojumu, izmantojot attēlu.

Kā atrast funkcijas mazāko vērtību pusatvērtā segmentā? Funkcijas pusatvērtajā vai atvērtajā periodā mazākā vērtība jāatrod šādi. Funkcijas vērtības beigu punktos aprēķiniet funkcijas vienpusējo robežu. Citiem vārdiem sakot, atrisiniet vienādojumu, kurā tendences punktus nosaka ar vērtībām a+0 un b+0, kur a un b ir kritisko punktu nosaukumi.

Tagad jūs zināt, kā atrast funkcijas mazāko vērtību. Galvenais ir veikt visus aprēķinus pareizi, precīzi un bez kļūdām.

Šajā rakstā es runāšu par algoritms lielākās un mazākās vērtības atrašanai funkcijas, minimālie un maksimālie punkti.

No teorijas tas mums noteikti noderēs atvasinājumu tabula Un diferenciācijas noteikumi. Tas viss ir uz šīs plāksnes:

Algoritms lielāko un mazāko vērtību atrašanai.

Man ir ērtāk paskaidrot konkrēts piemērs. Apsveriet:

Piemērs: Atrodiet funkcijas y=x^5+20x^3–65x lielāko vērtību segmentā [–4;0].

1. darbība. Mēs ņemam atvasinājumu.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

2. darbība. Ekstrēmu punktu atrašana.

Ekstrēma punkts mēs saucam tos punktus, kuros funkcija sasniedz savu lielāko vai minimālo vērtību.

Lai atrastu galējos punktus, funkcijas atvasinājums ir jāpielīdzina nullei (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Tagad mēs atrisinām šo bikvadrātisko vienādojumu, un atrastās saknes ir mūsu galējie punkti.

Es atrisinu šādus vienādojumus, aizstājot t = x^2, tad 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Samazināsim vienādojumu par 5, iegūstam: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 — 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + kvadrāts (196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - kvadrāts (196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Mēs veicam apgrieztās izmaiņas x^2 = t:

X_(1 un 2) = ± kvadrāts (1) = ±1
x_(3 un 4) = ±sqrt(-13) (izslēdzam, nevar būt negatīvi skaitļi, ja vien mēs nerunājam par kompleksajiem skaitļiem)

Kopā: x_(1) = 1 un x_(2) = -1 - tie ir mūsu ekstrēma punkti.

3. darbība. Nosakiet lielāko un mazāko vērtību.

Aizvietošanas metode.

Stāvoklī mums tika dots segments [b][–4;0]. Punkts x=1 nav iekļauts šajā segmentā. Tāpēc mēs to neapsveram. Bet papildus punktam x=-1 mums jāņem vērā arī kreisais un labā robeža no mūsu segmenta, tas ir, punkti -4 un 0. Lai to izdarītu, mēs visus šos trīs punktus aizstājam ar sākotnējo funkciju. Ņemiet vērā, ka sākotnējais ir tas, kas dots nosacījumā (y=x^5+20x^3–65x), daži cilvēki sāk to aizstāt ar atvasinājumu...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Tas nozīmē, ka funkcijas lielākā vērtība ir [b]44, un tā tiek sasniegta punktā [b]-1, ko sauc par funkcijas maksimālo punktu segmentā [-4; 0].

Nolēmām un saņēmām atbildi, esam lieliski, varat atpūsties. Bet stop! Vai jums nešķiet, ka aprēķināt y(-4) ir pārāk grūti? Ierobežota laika apstākļos labāk ir izmantot citu metodi, es to saucu šādi:

Caur zīmju noturības intervāliem.

Šie intervāli tiek atrasti funkcijas atvasinājumam, tas ir, mūsu bikvadrātiskajam vienādojumam.

Es to daru šādi. Es zīmēju virzītu segmentu. Es ievietoju punktus: -4, -1, 0, 1. Neskatoties uz to, ka 1 nav iekļauts dotajā segmentā, tas tomēr jāņem vērā, lai pareizi noteiktu zīmes noturības intervālus. Ņemsim kādu skaitli, kas daudzkārt lielāks par 1, piemēram, 100, un prātīgi aizstājam to mūsu bikvadrātiskajā vienādojumā 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Pat neskaitot neko, kļūst skaidrs, ka 100. punktā funkcijai ir pluszīme. Tas nozīmē, ka intervāliem no 1 līdz 100 tam ir plus zīme. Izejot cauri 1 (ejam no labās puses uz kreiso), funkcija mainīs zīmi uz mīnusu. Izejot caur punktu 0, funkcija saglabās savu zīmi, jo tā ir tikai segmenta robeža, nevis vienādojuma sakne. Pārejot cauri -1, funkcija atkal mainīs zīmi uz plusu.

No teorijas mēs zinām, kur atrodas funkcijas atvasinājums (un mēs to uzzīmējām tieši tai) maina zīmi no plusa uz mīnusu (mūsu gadījumā punkts -1) funkcija sasniedz tā vietējais maksimums (y(-1)=44, kā aprēķināts iepriekš)šajā segmentā (tas ir loģiski ļoti saprotami, funkcija pārstāja palielināties, jo sasniedza maksimumu un sāka samazināties).

Attiecīgi, ja funkcijas atvasinājums maina zīmi no mīnusa uz plusu, tiek sasniegts funkcijas lokālais minimums. Jā, jā, mēs arī atklājām, ka vietējais minimālais punkts ir 1, un y(1) ir segmenta funkcijas minimālā vērtība, piemēram, no -1 līdz +∞. Lūdzu, ņemiet vērā, ka tas ir tikai LOKĀLAIS MINIMUMS, tas ir, minimums noteiktā segmentā. Tā kā funkcijas reālais (globālais) minimums sasniegs kaut kur tur, pie -∞.

Manuprāt, pirmā metode ir teorētiski vienkāršāka, bet otrā ir vienkāršāka no aritmētisko darbību viedokļa, bet daudz sarežģītāka no teorijas viedokļa. Galu galā dažreiz ir gadījumi, kad funkcija nemaina zīmi, izejot cauri vienādojuma saknei, un kopumā jūs varat sajaukt ar šiem lokālajiem, globālajiem maksimumiem un minimumiem, lai gan jums tas tik un tā būs labi jāapgūst, ja plāno iestāties tehniskajā universitātē (un kāpēc gan vēl kārto profila vienoto valsts eksāmenu un risina šo uzdevumu). Bet prakse un tikai prakse iemācīs šādas problēmas atrisināt vienreiz un uz visiem laikiem. Un jūs varat trenēties mūsu vietnē. Šeit .

Ja jums ir kādi jautājumi vai kaut kas nav skaidrs, noteikti jautājiet. Ar prieku jums atbildēšu un veiksim izmaiņas un papildinājumus rakstā. Atcerieties, ka mēs veidojam šo vietni kopā!

Apskatīsim, kā pārbaudīt funkciju, izmantojot grafiku. Izrādās, ka, aplūkojot grafiku, mēs varam uzzināt visu, kas mūs interesē, proti:

• funkcijas domēns
• funkciju diapazons
• funkcijas nulles
• pieauguma un samazināšanās intervāli
• maksimālie un minimālie punkti
• segmenta funkcijas lielākā un mazākā vērtība.

Precizēsim terminoloģiju:

Abscisa ir punkta horizontālā koordināte.
Ordināta- vertikālā koordināte.
Abscisu ass- horizontālā ass, ko visbiežāk sauc par asi.
Y ass- vertikālā ass vai ass.

Arguments- neatkarīgs mainīgais, no kura ir atkarīgas funkciju vērtības. Visbiežāk norādīts.
Citiem vārdiem sakot, mēs izvēlamies , aizstājam funkcijas formulā un iegūstam .

Domēns funkcijas - to (un tikai to) argumentu vērtību kopa, kurām funkcija pastāv.
Apzīmēts ar: vai .

Mūsu attēlā funkcijas definīcijas domēns ir segments. Tieši šajā segmentā tiek uzzīmēts funkcijas grafiks. Šī ir vienīgā vieta, kur šī funkcija pastāv.

Funkciju diapazons ir vērtību kopa, ko iegūst mainīgais. Mūsu attēlā tas ir segments - no zemākās līdz augstākajai vērtībai.

Funkcijas nulles- punkti, kur funkcijas vērtība ir nulle, tas ir. Mūsu attēlā tie ir punkti un .

Funkcijas vērtības ir pozitīvas kur . Mūsu attēlā tie ir intervāli un .
Funkciju vērtības ir negatīvas kur . Mums tas ir intervāls (vai intervāls) no līdz .

Vissvarīgākie jēdzieni - palielinot un samazinot funkciju kādā komplektā. Kā kopu varat ņemt segmentu, intervālu, intervālu savienību vai visu skaitļu līniju.

Funkcija palielinās

Citiem vārdiem sakot, jo vairāk , jo vairāk, tas ir, grafiks iet pa labi un uz augšu.

Funkcija samazinās uz kopas, ja kādam un kas pieder pie kopas, nevienlīdzība nozīmē nevienlīdzību .

Samazinošai funkcijai augstāka vērtība atbilst mazākajai vērtībai. Diagramma iet pa labi un uz leju.

Mūsu attēlā funkcija palielinās uz intervālu un samazinās uz intervāliem un .

Definēsim, kas tas ir funkcijas maksimālie un minimālie punkti.

Maksimālais punkts- šis ir definīcijas apgabala iekšējais punkts, kurā funkcijas vērtība ir lielāka nekā visos punktos, kas tam ir pietiekami tuvu.
Citiem vārdiem sakot, maksimālais punkts ir punkts, kurā funkcijas vērtība vairāk nekā kaimiņos. Šis diagrammā ir vietējais "kalns".

Mūsu attēlā ir maksimālais punkts.

Minimālais punkts- definīcijas apgabala iekšējais punkts, kurā funkcijas vērtība ir mazāka nekā visos punktos, kas tam ir pietiekami tuvu.
Tas ir, minimālais punkts ir tāds, ka funkcijas vērtība tajā ir mazāka nekā tās kaimiņos. Šis ir lokāls "caurums" diagrammā.

Mūsu attēlā ir minimālais punkts.

Punkts ir robeža. Tas nav definīcijas jomas iekšējais punkts un tāpēc neatbilst maksimālā punkta definīcijai. Galu galā viņai nav kaimiņu kreisajā pusē. Tādā pašā veidā mūsu diagrammā nevar būt minimālais punkts.

Maksimālo un minimālo punktu kopā sauc funkcijas galējie punkti. Mūsu gadījumā tas ir un .

Ko darīt, ja jāatrod, piemēram, minimālā funkcija segmentā? Šajā gadījumā atbilde ir:. Jo minimālā funkcija ir tā vērtība minimālajā punktā.

Tāpat mūsu funkcijas maksimums ir . Tas tiek sasniegts punktā.

Var teikt, ka funkcijas galējības ir vienādas ar un .

Dažreiz problēmas ir jāatrod funkcijas lielākās un mazākās vērtības noteiktā segmentā. Tie ne vienmēr sakrīt ar galējībām.

Mūsu gadījumā mazākā funkcijas vērtība segmentā ir vienāds ar funkcijas minimumu un sakrīt ar to. Bet tā lielākā vērtība šajā segmentā ir vienāda ar . Tas tiek sasniegts segmenta kreisajā galā.

Jebkurā gadījumā lielākās un mazākās nepārtrauktās funkcijas vērtības segmentā tiek sasniegtas vai nu galējos punktos, vai segmenta galos.

Izmantojot šo pakalpojumu, jūs varat atrast funkcijas lielāko un mazāko vērtību viens mainīgais f(x) ar Word formatētu risinājumu. Ja ir dota funkcija f(x,y), tad jāatrod divu mainīgo funkcijas ekstrēmi. Varat arī atrast funkciju palielināšanas un samazināšanas intervālus.

Atrodiet funkcijas lielāko un mazāko vērtību

y =

segmentā [ ;]

Iekļaut teoriju

Noteikumi funkciju ievadīšanai:

Nepieciešamais nosacījums viena mainīgā funkcijas ekstrēmam

Vienādojums f" 0 (x *) = 0 ir nepieciešamais nosacījums viena mainīgā funkcijas ekstrēmums, t.i. punktā x * ir jāpazūd funkcijas pirmajam atvasinājumam. Tas identificē stacionārus punktus x c, kuros funkcija nepalielinās vai nesamazinās.

Pietiekams nosacījums viena mainīgā funkcijas ekstrēmumam

Pieņemsim, ka f 0 (x) ir divreiz diferencējams attiecībā pret x, kas pieder kopai D. Ja punktā x * nosacījums ir izpildīts:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Tad punkts x * ir funkcijas lokālais (globālais) minimums.

Ja punktā x * nosacījums ir izpildīts:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Tad punkts x * ir lokālais (globālais) maksimums.

Piemērs Nr.1. Atrodiet funkcijas lielāko un mazāko vērtību: segmentā.
Risinājums.

Kritiskais punkts ir viens x 1 = 2 (f’(x)=0). Šis punkts pieder segmentam. (Punkts x=0 nav kritisks, jo 0∉).
Mēs aprēķinām funkcijas vērtības segmenta galos un kritiskajā punktā.
f(1)=9, f(2)=5/2, f(3)=38/81
Atbilde: f min = 5/2 pie x=2; f max = 9 pie x = 1

Piemērs Nr.2. Izmantojot augstākas kārtas atvasinājumus, atrodiet funkcijas y=x-2sin(x) ekstrēmu.
Risinājums.
Atrodiet funkcijas atvasinājumu: y’=1-2cos(x) . Atradīsim kritiskos punktus: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Mēs atrodam y’’=2sin(x), aprēķiniet , kas nozīmē, ka x= π / 3 +2πk, k∈Z ir funkcijas minimālie punkti; , kas nozīmē x=- π / 3 +2πk, k∈Z ir funkcijas maksimālie punkti.

Piemērs Nr.3. Izpētīt ekstrēmuma funkciju punkta x=0 tuvumā.
Risinājums. Šeit ir jāatrod funkcijas galējība. Ja ekstremitāte x=0, tad noskaidro tā veidu (minimums vai maksimums). Ja starp atrastajiem punktiem nav x = 0, tad aprēķiniet funkcijas f(x=0) vērtību.
Jāņem vērā, ka tad, kad atvasinājums katrā dotā punkta pusē nemaina savu zīmi, iespējamās situācijas nav izsmeltas pat diferencējamām funkcijām: var gadīties, ka patvaļīgi mazai apkaimei vienā punkta pusē x 0 vai abās pusēs atvasinājuma izmaiņu zīme. Šajos punktos ir nepieciešams izmantot citas metodes, lai pētītu funkcijas ekstremitātē.