1. problēma(par platības aprēķināšanu izliekta trapece).

Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmā xOy ir dots skaitlis (skat. attēlu), ko ierobežo x asi, taisnas līnijas x = a, x = b (a ar līknes trapecveida formu. Nepieciešams aprēķināt līknes laukumu trapecveida.
Risinājums.Ģeometrija sniedz mums receptes daudzstūru laukumu un dažu apļa daļu (sektora, segmenta) aprēķināšanai. Izmantojot ģeometriskus apsvērumus, mēs varam atrast tikai aptuvenu vajadzīgā laukuma vērtību, argumentējot šādi.

Sadalīsim segmentu [a; b] (liektas trapeces pamats) n vienādās daļās; šo sadalīšanu veic, izmantojot punktus x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Novelsim taisnas līnijas caur šiem punktiem paralēli y asij. Tad dotā līknes trapece tiks sadalīta n daļās, n šaurās kolonnās. Visas trapeces laukums ir vienāds ar kolonnu laukumu summu.

Apskatīsim k-to kolonnu atsevišķi, t.i. izliekta trapece, kuras pamatne ir segments. Aizstāsim to ar taisnstūri ar tādu pašu pamatni un augstumu, kas vienāds ar f(x k) (sk. attēlu). Taisnstūra laukums ir vienāds ar \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), kur \(\Delta x_k \) ir segmenta garums; Ir dabiski uzskatīt iegūto produktu par aptuvenu k-tās kolonnas laukuma vērtību.

Ja mēs tagad darām to pašu ar visām pārējām kolonnām, mēs nonāksim pie šāda rezultāta: dotās līknes trapeces laukums S ir aptuveni vienāds ar n taisnstūriem veidotas pakāpeniskas figūras laukumu S n (skat. attēlu):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \punkti + f(x_k)\Delta x_k + \punkti + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Šeit apzīmējuma vienveidības labad pieņemam, ka a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - segmenta garums, \(\Delta x_1 \) - segmenta garums utt.; šajā gadījumā, kā mēs vienojāmies iepriekš, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Tātad, \(S \approx S_n \), un šī aptuvenā vienādība ir precīzāka, jo lielāks n.
Pēc definīcijas tiek uzskatīts, ka nepieciešamais līknes trapeces laukums ir vienāds ar secības robežu (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

2. problēma(par punkta pārvietošanu)
Pārvietojas taisnā līnijā materiālais punkts. Ātruma atkarību no laika izsaka ar formulu v = v(t). Atrast punkta kustību noteiktā laika periodā [a; b].
Risinājums. Ja kustība būtu viendabīga, tad problēma tiktu atrisināta ļoti vienkārši: s = vt, t.i. s = v(b-a). Nevienmērīgai kustībai ir jāizmanto tās pašas idejas, uz kurām balstījās iepriekšējās problēmas risinājums.
1) Sadaliet laika intervālu [a; b] n vienādās daļās.
2) Aplūkosim laika periodu un pieņemsim, ka šajā laika periodā ātrums bija nemainīgs, tāds pats kā laikā t k. Tātad mēs pieņemam, ka v = v(t k).
3) Atradīsim aptuveno punkta kustības vērtību noteiktā laika periodā; šo aptuveno vērtību apzīmēsim kā s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Atrodiet aptuveno pārvietojuma s vērtību:
\(s \apmēram S_n \) kur
\(S_n = s_0 + \punkti + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \punkti + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Nepieciešamais pārvietojums ir vienāds ar secības robežu (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Apkoposim. Dažādu problēmu risinājumi tika reducēti uz vienu un to pašu matemātisko modeli. Daudzas problēmas no dažādām zinātnes un tehnoloģiju jomām noved pie viena un tā paša modeļa risināšanas procesā. Tātad šis matemātiskais modelis ir īpaši jāizpēta.

Noteikta integrāļa jēdziens

Sniegsim matemātisko aprakstu modelim, kas tika uzbūvēts trīs aplūkotajās problēmas funkcijai y = f(x), nepārtrauktai (bet ne obligāti nenegatīvai, kā tika pieņemts aplūkotajās problēmās) intervālā [a; b]:
1) sadalīt segmentu [a; b] n vienādās daļās;
2) sastāda summu $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) aprēķiniet $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Matemātiskās analīzes gaitā tika pierādīts, ka šī robeža pastāv nepārtrauktas (vai pa daļām nepārtrauktas) funkcijas gadījumā. Viņu sauc noteikts funkcijas y = f(x) integrālis virs segmenta [a; b] un apzīmē šādi:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Skaitļus a un b sauc par integrācijas robežām (attiecīgi apakšējo un augšējo).

Atgriezīsimies pie iepriekš apspriestajiem uzdevumiem. 1. uzdevumā doto apgabala definīciju tagad var pārrakstīt šādi:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
šeit S ir līknes trapeces laukums, kas parādīts attēlā iepriekš. Tas ir noteikta integrāļa ģeometriskā nozīme.

2. uzdevumā doto punkta pārvietojuma s definīciju, kas kustas taisnā līnijā ar ātrumu v = v(t) laika periodā no t = a līdz t = b, var pārrakstīt šādi:

Ņūtona-Leibnica formula

Vispirms atbildēsim uz jautājumu: kāda ir saistība starp noteikto integrāli un antiatvasinājumu?

Atbilde ir atrodama 2. uzdevumā. No vienas puses, pārvietojumu s punktam, kas kustas taisnā līnijā ar ātrumu v = v(t) laika periodā no t = a līdz t = b aprēķina formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Savukārt kustīga punkta koordināte ir ātruma antiatvasinājums - apzīmēsim to ar s(t); tas nozīmē, ka pārvietojumu s izsaka ar formulu s = s(b) - s(a). Rezultātā mēs iegūstam:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
kur s(t) ir v(t) antiatvasinājums.

Matemātiskās analīzes gaitā tika pierādīta šāda teorēma.
Teorēma. Ja funkcija y = f(x) ir nepārtraukta intervālā [a; b], tad formula ir derīga
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
kur F(x) ir f(x) antiatvasinājums.

Doto formulu parasti sauc Ņūtona-Leibnica formula par godu angļu fiziķim Īzakam Ņūtonam (1643-1727) un Vācu filozofs Gotfrīds Leibnics (1646-1716), kurš to saņēma neatkarīgi viens no otra un gandrīz vienlaikus.

Praksē tā vietā, lai rakstītu F(b) - F(a), viņi izmanto apzīmējumu \(\left. F(x)\right|_a^b \) (to dažreiz sauc dubultā aizstāšana) un attiecīgi pārrakstiet Ņūtona-Leibnica formulu šādā formā:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Aprēķinot noteiktu integrāli, vispirms atrodiet antiatvasinājumu un pēc tam veiciet dubulto aizstāšanu.

Pamatojoties uz Ņūtona-Leibnica formulu, mēs varam iegūt divas noteiktā integrāļa īpašības.

1. īpašums. Funkciju summas integrālis vienāds ar summu integrāļi:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

2. īpašums. Pastāvīgo koeficientu var izņemt no integrālzīmes:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Plaknes figūru laukumu aprēķināšana, izmantojot noteiktu integrāli

Izmantojot integrāli, jūs varat aprēķināt ne tikai līknes trapeces, bet arī plakano figūru laukumus. sarežģīts tips, piemēram, tas, kas parādīts attēlā. Skaitlis P ir ierobežots ar taisnēm x = a, x = b un nepārtrauktu funkciju grafikiem y = f(x), y = g(x), un uz nogriežņa [a; b] pastāv nevienādība \(g(x) \leq f(x) \). Lai aprēķinātu šāda skaitļa laukumu S, mēs rīkojamies šādi:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tātad figūras laukums S, ko ierobežo taisnas līnijas x = a, x = b un funkciju y = f(x), y = g(x) grafiki, nepārtraukti uz segmenta un tādi, ka jebkuram x no segmenta [a; b] ir izpildīta nevienādība \(g(x) \leq f(x) \), kas aprēķināta pēc formulas
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Dažu funkciju nenoteikto integrāļu (antiatvasinājumu) tabula

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$

Mēs sākam apsvērt faktisko dubultā integrāļa aprēķināšanas procesu un iepazīstamies ar tā ģeometrisko nozīmi.

Dubultais integrālis skaitliski vienāds ar laukumu plakana figūra (integrācijas reģions). Šī ir vienkāršākā dubultā integrāļa forma, kad divu mainīgo funkcija ir vienāda ar vienu: .

Pirmkārt, aplūkosim problēmu vispārīgā veidā. Tagad jūs būsiet diezgan pārsteigts, cik patiesībā viss ir vienkārši! Aprēķināsim plakanas figūras laukumu, ko ierobežo līnijas. Noteiktības labad mēs pieņemam, ka segmentā . Šī skaitļa laukums ir skaitliski vienāds ar:

Attēlosim apgabalu zīmējumā:

Izvēlēsimies pirmo veidu, kā šķērsot apgabalu:

Tādējādi:

Un uzreiz svarīga tehniskā tehnika: iterētos integrāļus var aprēķināt atsevišķi. Vispirms iekšējais integrālis, tad ārējais integrālis. Šī metode Es ļoti iesaku to iesācējiem šajā priekšmetā.

1) Aprēķināsim iekšējo integrāli, un integrācija tiek veikta virs mainīgā “y”:

Nenoteiktais integrālis šeit ir visvienkāršākais, un tad tiek izmantota banālā Ņūtona-Leibnica formula ar vienīgo atšķirību, ka integrācijas robežas nav skaitļi, bet funkcijas. Vispirms viņi to ievietoja ar "Y" ( antiderivatīvā funkcija) augšējā robeža, pēc tam apakšējā robeža

2) Pirmajā daļā iegūtais rezultāts jāievieto ārējā integrālī:

Kompaktāks visa risinājuma attēlojums izskatās šādi:

Iegūtā formula - tieši tā darba formula lai aprēķinātu plaknes figūras laukumu, izmantojot “parasto” noteikto integrāli! Noskaties nodarbību Laukuma aprēķināšana, izmantojot noteiktu integrāli, tur viņa ir uz katra soļa!

Tas ir, platības aprēķināšanas problēma, izmantojot dubulto integrāli daudz neatšķiras no problēmas atrast apgabalu, izmantojot noteiktu integrāli! Patiesībā tas ir viens un tas pats!

Attiecīgi nekādām grūtībām nevajadzētu rasties! Es neapskatīšu ļoti daudzus piemērus, jo jūs faktiski esat atkārtoti saskāries ar šo uzdevumu.

9. piemērs

Risinājums: Attēlosim apgabalu zīmējumā:

Izvēlēsimies šādu apgabala šķērsošanas secību:

Šeit un tālāk es nekavējos pie tā, kā šķērsot apgabalu, jo ļoti detalizēti paskaidrojumi tika sniegti pirmajā rindkopā.

Tādējādi:

Kā jau atzīmēju, iesācējiem iterētos integrāļus labāk aprēķināt atsevišķi, un es pieturēšos pie tās pašas metodes:

1) Pirmkārt, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu, mēs aplūkojam iekšējo integrāli:

2) Pirmajā posmā iegūtais rezultāts tiek aizstāts ar ārējo integrāli:

2. punkts faktiski ir plaknes figūras laukuma atrašana, izmantojot noteiktu integrāli.

Atbilde:

Tas ir tik stulbs un naivs uzdevums.

Interesants piemērs neatkarīgam risinājumam:

10. piemērs

Izmantojot dubulto integrāli, aprēķiniet plaknes figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , ,

Aptuvenais paraugs risinājuma pabeigšana nodarbības beigās.

Piemēros 9-10 ir daudz izdevīgāk izmantot pirmo apgabala šķērsošanas metodi, ziņkārīgie lasītāji, starp citu, var mainīt apbraukšanas secību un aprēķināt laukumus, izmantojot otro metodi. Ja jūs nekļūdāties, tad, protams, jūs iegūsit tādas pašas platības vērtības.

Bet dažos gadījumos efektīvāka ir otrā apgabala šķērsošanas metode, un jaunā nerda kursa beigās apskatīsim vēl dažus piemērus par šo tēmu:

11. piemērs

Izmantojot dubulto integrāli, aprēķiniet plaknes figūras laukumu, ko ierobežo līnijas,

Risinājums: Mēs gaidām divas parabolas ar dīvainību, kas atrodas uz sāniem. Nav nepieciešams smaidīt, līdzīgas lietas diezgan bieži notiek vairākos integrāļos.

Kāds ir vienkāršākais veids, kā izveidot zīmējumu?

Iedomāsimies parabolu divu funkciju veidā:
– augšējais zars un – apakšējais zars.

Līdzīgi iedomājieties parabolu augšējā un apakšējā formā filiāles.

Tālāk, diagrammu noteikumu punktveida uzzīmēšana, kā rezultātā tiek iegūts tik dīvains skaitlis:

Mēs aprēķinām figūras laukumu, izmantojot dubulto integrāli pēc formulas:

Kas notiks, ja izvēlēsimies pirmo apgabala šķērsošanas metodi? Pirmkārt, šī zona būs jāsadala divās daļās. Un, otrkārt, mēs vērosim šo bēdīgo ainu: . Integrāļi, protams, nav supersarežģīta līmeņa, bet... ir vecs matemātisks teiciens: kam tuvu saknēm, testu nevajag.

Tāpēc no nosacījuma pārpratuma mēs izsakām apgrieztās funkcijas:

Apgrieztās funkcijasšajā piemērā tiem ir priekšrocība, ka tie norāda visu parabolu uzreiz bez lapām, zīlēm, zariem un saknēm.

Saskaņā ar otro metodi apgabala šķērsošana būs šāda:

Tādējādi:

Kā saka, jūti atšķirību.

1) Mēs strādājam ar iekšējo integrāli:

Mēs aizstājam rezultātu ar ārējo integrāli:

Integrācija virs mainīgā “y” nedrīkst būt mulsinoša; ja būtu burts “zy”, būtu lieliski integrēt pār to. Lai gan kurš lasīja stundas otro rindkopu Kā aprēķināt rotācijas ķermeņa tilpumu, viņš vairs nepiedzīvo ne mazāko neveiklību ar integrāciju pēc “Y” metodes.

Pievērsiet uzmanību arī pirmajam solim: integrands ir vienmērīgs, un integrācijas intervāls ir simetrisks ap nulli. Tāpēc segmentu var samazināt uz pusi, un rezultātu var dubultot. Šis paņēmiens ir detalizēti komentēts nodarbībā. Efektīvas metodes noteikta integrāļa aprēķins.

Ko piebilst…. Visi!

Atbilde:

Lai pārbaudītu integrācijas tehniku, varat mēģināt aprēķināt . Atbildei jābūt tieši tādai pašai.

12. piemērs

Izmantojot dubulto integrāli, aprēķiniet plaknes figūras laukumu, ko ierobežo līnijas

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Interesanti ir tas, ka, mēģinot izmantot pirmo apgabala šķērsošanas metodi, figūra vairs nebūs jāsadala divās, bet gan trīs daļās! Un attiecīgi mēs iegūstam trīs atkārtotu integrāļu pārus. Dažreiz tas notiek.

Meistarklase ir beigusies, un ir pienācis laiks pāriet uz lielmeistara līmeni - Kā aprēķināt dubulto integrāli? Risinājumu piemēri. Otrajā rakstā centīšos nebūt tik maniakāls =)

Es novēlu jums panākumus!

Risinājumi un atbildes:

2. piemērs:Risinājums: Attēlosim apgabalu uz zīmējuma:

Izvēlēsimies šādu apgabala šķērsošanas secību:

Tādējādi:
Pāriesim pie apgrieztām funkcijām:


Tādējādi:
Atbilde:

4. piemērs:Risinājums: Pāriesim pie tiešajām funkcijām:


Izveidosim zīmējumu:

Mainīsim apgabala šķērsošanas secību:

Atbilde:

Apskatīsim integrālrēķina lietojumus. Šajā nodarbībā mēs analizēsim tipisko un visizplatītāko uzdevumu plaknes figūras laukuma aprēķināšana, izmantojot noteiktu integrāli. Visbeidzot, visi meklē jēgu augstākā matemātika- lai viņi viņu atrod. Tu nekad nezini. Reālajā dzīvē jums būs jātuvina vasarnīcas gabals, izmantojot elementāras funkcijas, un jāatrod tā platība, izmantojot noteiktu integrāli.

Lai veiksmīgi apgūtu materiālu, jums ir:

1) Saprast nenoteikts integrālis vismaz vidējā līmenī. Tādējādi manekeniem vispirms jāizlasa nodarbība Nav.

2) Prast pielietot Ņūtona-Leibnica formulu un aprēķināt noteikto integrāli. Jūs varat izveidot siltas draudzīgas attiecības ar noteiktiem integrāļiem lapā Noteikts integrālis. Risinājumu piemēri. Uzdevums “aprēķināt laukumu, izmantojot noteiktu integrāli” vienmēr ietver zīmējuma konstruēšanu, tāpēc arī tavas zināšanas un zīmēšanas prasmes būs aktuāls jautājums. Jums ir jāspēj izveidot vismaz taisni, parabolu un hiperbolu.

Sāksim ar izliektu trapecveida formu. Izliekta trapecveida forma ir plakana figūra, ko ierobežo kādas funkcijas grafiks y = f(x), ass VĒRSIS un līnijas x = a; x = b.

Līklīnijas trapeces laukums ir skaitliski vienāds ar noteiktu integrāli

Jebkuram noteiktam integrālim (kas pastāv) ir ļoti laba ģeometriskā nozīme. Nodarbībā Noteikts integrālis. Risinājumu piemēri mēs teicām, ka noteikts integrālis ir skaitlis. Un tagad ir pienācis laiks pateikt vēl vienu noderīgs fakts. No ģeometrijas viedokļa noteiktais integrālis ir AREA. Tas ir, noteiktais integrālis (ja tāds pastāv) ģeometriski atbilst noteiktas figūras laukumam. Apsveriet noteikto integrāli

Integrand

definē līkni uz plaknes (ja vēlas, to var uzzīmēt), un pats noteiktais integrālis ir skaitliski vienāds ar atbilstošās līknes trapeces laukumu.

1. piemērs

, , , .

Šis ir tipisks uzdevuma paziņojums. Vissvarīgākais lēmuma punkts ir zīmējuma uzbūve. Turklāt zīmējums ir jākonstruē PA LABI.

Veidojot zīmējumu, iesaku šādu secību: vispirms labāk ir konstruēt visas taisnes (ja tādas ir) un tikai Tad– parabolas, hiperbolas, citu funkciju grafiki. Punktu pēc punkta būvniecības tehnika ir atrodama atsauces materiālā Grafiki un īpašības elementāras funkcijas . Tur arī var atrast ļoti noderīgu materiālu mūsu nodarbībai – kā ātri uzbūvēt parabolu.

Šīs problēmas risinājums varētu izskatīties šādi.

Zīmēsim (ņemiet vērā, ka vienādojums y= 0 norāda asi VĒRSIS):

Mēs neēnosim izliektu trapecveida formu, šeit ir skaidrs, kurā zonā mēs runājam par. Risinājums turpinās šādi:

Uz segmenta [-2; 1] funkciju grafiks y = x 2 + 2 atrodas virs assVĒRSIS, Tāpēc:

Atbilde: .

Kam ir grūtības ar noteiktā integrāļa aprēķināšanu un Ņūtona-Leibnica formulas piemērošanu

,

atsaukties uz lekciju Noteikts integrālis. Risinājumu piemēri. Pēc uzdevuma izpildes vienmēr ir lietderīgi aplūkot zīmējumu un noskaidrot, vai atbilde ir patiesa. Šajā gadījumā mēs saskaitām šūnu skaitu zīmējumā “ar aci” - labi, būs apmēram 9, šķiet, ka tā ir taisnība. Ir pilnīgi skaidrs, ka, ja mēs saņēmām, teiksim, atbildi: 20 kvadrātvienības, tad ir acīmredzams, ka kaut kur ir pieļauta kļūda - 20 šūnas acīmredzami neietilpst attiecīgajā attēlā, augstākais ducis. Ja atbilde ir noraidoša, tad arī uzdevums tika atrisināts nepareizi.

2. piemērs

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas xy = 4, x = 2, x= 4 un ass VĒRSIS.

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Pilnīgs risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Ko darīt, ja atrodas izliektā trapece zem assVĒRSIS?

3. piemērs

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas y = e-x, x= 1 un koordinātu asis.

Risinājums: izveidosim zīmējumu:

Ja izliekta trapece pilnībā atrodas zem ass VĒRSIS , tad tā laukumu var atrast, izmantojot formulu:

Šajā gadījumā:

.

Uzmanību! Nedrīkst jaukt divu veidu uzdevumus:

1) Ja jums tiek lūgts atrisināt vienkārši noteiktu integrāli bez neviena ģeometriskā nozīme, tad tas var būt negatīvs.

2) Ja jums tiek lūgts atrast figūras laukumu, izmantojot noteiktu integrāli, tad laukums vienmēr ir pozitīvs! Tāpēc tikko apspriestajā formulā parādās mīnuss.

Praksē visbiežāk figūra atrodas gan augšējā, gan apakšējā pusplaknē, un tāpēc no vienkāršākajām skolas problēmām mēs pārejam pie jēgpilnākiem piemēriem.

4. piemērs

Atrodiet plaknes figūras laukumu, ko ierobežo līnijas y = 2x – x 2 , y = -x.

Risinājums: Vispirms jums ir jāizveido zīmējums. Konstruējot zīmējumu apgabala uzdevumos, mūs visvairāk interesē līniju krustošanās punkti. Atradīsim parabolas krustošanās punktus y = 2x – x 2 un taisni y = -x. To var izdarīt divos veidos. Pirmā metode ir analītiska. Mēs atrisinām vienādojumu:

Tas nozīmē, ka integrācijas apakšējā robeža a= 0, integrācijas augšējā robeža b= 3. Bieži vien ir izdevīgāk un ātrāk konstruēt līnijas pa punktam, un integrācijas robežas kļūst skaidras “pašas no sevis”. Tomēr analītiskā robežu noteikšanas metode dažkārt joprojām ir jāizmanto, ja, piemēram, grafiks ir pietiekami liels vai detalizētā konstrukcija neatklāja integrācijas robežas (tās var būt daļēja vai neracionāla). Atgriezīsimies pie uzdevuma: racionālāk ir vispirms izveidot taisni un tikai pēc tam parabolu. Izveidosim zīmējumu:

Atkārtosim, ka, konstruējot punktveida, integrācijas robežas visbiežāk tiek noteiktas “automātiski”.

Un tagad darba formula:

Ja segmentā [ a; b] kāda nepārtraukta funkcija f(x) lielāks par vai vienāds ar daži nepārtraukta funkcija g(x), tad atbilstošās figūras laukumu var atrast, izmantojot formulu:

Šeit vairs nav jādomā par to, kur atrodas figūra - virs ass vai zem ass, bet gan ir svarīgi, kurš grafiks ir AUGSTĀKS(attiecībā pret citu grafiku), un kurš no tiem ir Apakšā.

Apskatāmajā piemērā ir acīmredzams, ka segmentā parabola atrodas virs taisnes, un tāpēc no 2 x – x 2 jāatņem - x.

Pabeigtais risinājums varētu izskatīties šādi:

Vēlamo figūru ierobežo parabola y = 2x – x 2 uz augšu un taisni y = -x zemāk.

2. segmentā x – x 2 ≥ -x. Saskaņā ar atbilstošo formulu:

Atbilde: .

Patiesībā, skolas formula izliektas trapeces laukumam apakšējā pusplaknē (skat. piemēru Nr. 3) – īpašs gadījums formulas

.

Jo ass VĒRSIS ko dod vienādojums y= 0, un funkcijas grafiks g(x), kas atrodas zem ass VĒRSIS, Tas

.

Un tagad pāris piemēri savam risinājumam

5. piemērs

6. piemērs

Atrodiet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas

Risinot problēmas, kas saistītas ar laukuma aprēķināšanu, izmantojot noteiktu integrāli, dažreiz notiek smieklīgi atgadījumi. Zīmējums izdarīts pareizi, aprēķini pareizi, bet neuzmanības dēļ... Tika atrasts nepareizās figūras laukums.

7. piemērs

Vispirms izveidosim zīmējumu:

Figūra, kuras apgabals mums jāatrod, ir iekrāsots zilā krāsā(uzmanīgi apskatiet nosacījumu - kā figūra ir ierobežota!). Bet praksē neuzmanības dēļ viņi bieži nolemj, ka viņiem jāatrod ēnotais figūras laukums zaļš!

Šis piemērs ir noderīgs arī tāpēc, ka tas aprēķina figūras laukumu, izmantojot divus noteiktus integrāļus. Tiešām:

1) Uz segmenta [-1; 1] virs ass VĒRSIS grafiks atrodas taisni y = x+1;

2) segmentā virs ass VĒRSIS atrodas hiperbolas grafiks y = (2/x).

Ir pilnīgi skaidrs, ka apgabalus var (un vajadzētu) pievienot, tāpēc:

Atbilde:

8. piemērs

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas

Iesniegsim vienādojumus “skolas” formā

un izveidojiet punktu pa punktam zīmējumu:

No zīmējuma ir skaidrs, ka mūsu augšējā robeža ir “laba”: b = 1.

Bet kāda ir zemākā robeža?! Ir skaidrs, ka tas nav vesels skaitlis, bet kas tas ir?

Var būt, a=(-1/3)? Bet kur ir garantija, ka zīmējums ir izveidots ar nevainojamu precizitāti, tā var izrādīties a=(-1/4). Ko darīt, ja mēs izveidojam grafiku nepareizi?

Šādos gadījumos jums ir jāpavada papildu laiks un analītiski jānoskaidro integrācijas robežas.

Atradīsim grafiku krustošanās punktus

Lai to izdarītu, mēs atrisinām vienādojumu:

.

Tāpēc a=(-1/3).

Tālākais risinājums ir triviāls. Galvenais neapjukt maiņās un zīmēs. Šeit veiktie aprēķini nav no vienkāršākajiem. Uz segmentu

, ,

pēc atbilstošās formulas:

Atbilde:

Nodarbības noslēgumā apskatīsim divus grūtākus uzdevumus.

9. piemērs

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas

Risinājums: attēlosim šo figūru zīmējumā.

Lai zīmētu punktu pa punktam, jums jāzina izskats sinusoīdi. Kopumā ir lietderīgi zināt visu elementāro funkciju grafikus, kā arī dažas sinusa vērtības. Tos var atrast vērtību tabulā trigonometriskās funkcijas . Dažos gadījumos (piemēram, šajā gadījumā) ir iespējams izveidot shematisku zīmējumu, uz kura principiāli pareizi jāattēlo integrācijas grafiki un robežas.

Šeit nav problēmu ar integrācijas ierobežojumiem, tie izriet tieši no nosacījuma:

– “x” mainās no nulles uz “pi”. Pieņemsim tālāku lēmumu:

Segmentā funkcijas grafiks y= grēks 3 x atrodas virs ass VĒRSIS, Tāpēc:

(1) Nodarbībā var redzēt, kā sinusus un kosinusus ir integrēti nepāra pakāpēs Trigonometrisko funkciju integrāļi. Mēs nospiežam vienu sinusu.

(2) Mēs izmantojam galveno trigonometrisko identitāti formā

(3) Mainīsim mainīgo t= cos x, tad: atrodas virs ass, tāpēc:

.

.

Piezīme: ievērojiet, kā tiek ņemts pieskares integrālis kubā; šeit tiek izmantots galvenās sekas trigonometriskā identitāte

.

A)

Risinājums.

Pirmkārt un vissvarīgākais brīdis risinājumi - zīmēšanas zīmējums.

Izveidosim zīmējumu:

Vienādojums y=0 iestata “x” asi;

- x=-2 Un x=1 - taisni, paralēli asij OU;

- y=x 2 +2 - parabola, kuras zari vērsti uz augšu, ar virsotni punktā (0;2).

komentēt. Lai konstruētu parabolu, pietiek atrast tās krustošanās punktus ar koordinātu asīm, t.i. liekot x=0 atrodiet krustojumu ar asi OU un attiecīgi izlemjot kvadrātvienādojums, atrodiet krustojumu ar asi Ak .

Parabolas virsotni var atrast, izmantojot formulas:

Varat arī veidot līnijas pa punktam.

Uz intervāla [-2;1] funkcijas grafiks y=x 2 +2 atrodas virs ass Vērsis , Tāpēc:

Atbilde: S =9 kv.m

Pēc uzdevuma izpildes vienmēr ir lietderīgi aplūkot zīmējumu un noskaidrot, vai atbilde ir patiesa. Šajā gadījumā “ar aci” mēs saskaitām šūnu skaitu zīmējumā - labi, būs apmēram 9, šķiet, ka tā ir taisnība. Ir pilnīgi skaidrs, ka, ja mēs saņēmām, teiksim, atbildi: 20 kvadrātvienības, tad ir acīmredzams, ka kaut kur ir pieļauta kļūda - 20 šūnas acīmredzami neietilpst attiecīgajā attēlā, augstākais ducis. Ja atbilde ir noraidoša, tad arī uzdevums tika atrisināts nepareizi.

Ko darīt, ja atrodas izliektā trapece zem ass Ak?

b) Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas y=-e x , x=1 un koordinātu asis.

Risinājums.

Uztaisīsim zīmējumu.

Ja izliekta trapece pilnībā atrodas zem ass Ak , tad tā laukumu var atrast, izmantojot formulu:

Atbilde: S=(e-1) kv. vienības" 1,72 kv

Uzmanību! Nevajadzētu jaukt abus uzdevumu veidus:

1) Ja jums tiek lūgts atrisināt vienkārši noteiktu integrāli bez ģeometriskas nozīmes, tas var būt negatīvs.

2) Ja jums tiek lūgts atrast figūras laukumu, izmantojot noteiktu integrāli, tad laukums vienmēr ir pozitīvs! Tāpēc tikko apspriestajā formulā parādās mīnuss.

Praksē visbiežāk figūra atrodas gan augšējā, gan apakšējā pusplaknē.

ar) Atrodiet plaknes figūras laukumu, ko ierobežo līnijas y=2x-x 2, y=-x.

Risinājums.

Vispirms jums jāpabeidz zīmējums. Vispārīgi runājot, konstruējot zīmējumu laukuma problēmās, mūs visvairāk interesē līniju krustošanās punkti. Atradīsim parabolas krustošanās punktus un taisni To var izdarīt divos veidos. Pirmā metode ir analītiska.

Mēs atrisinām vienādojumu:

Tas nozīmē, ka integrācijas apakšējā robeža a=0 , integrācijas augšējā robeža b=3 .

Uzbūvējam dotās taisnes: 1. Parabola - virsotne punktā (1;1); asu krustpunkts Ak - punktu (0;0) un (0;2). 2. Taisne - 2. un 4. koordinātu leņķa bisektrise. Un tagad Uzmanību! Ja segmentā [ a;b] kāda nepārtraukta funkcija f(x) lielāka vai vienāda ar kādu nepārtrauktu funkciju g(x), tad atbilstošās figūras laukumu var atrast, izmantojot formulu: . Un nav nozīmes tam, kur figūra atrodas - virs ass vai zem ass, bet svarīgi ir tas, kurš grafiks ir AUGSTĀKS (attiecībā pret citu grafiku) un kurš ir ZEMĀK. Apskatāmajā piemērā ir acīmredzams, ka segmentā parabola atrodas virs taisnes, un tāpēc ir jāatņem no

Jūs varat konstruēt līnijas punktu pa punktam, un integrācijas robežas kļūst skaidras “pašas no sevis”. Tomēr analītiskā robežu noteikšanas metode dažkārt joprojām ir jāizmanto, ja, piemēram, grafiks ir pietiekami liels vai detalizētā konstrukcija neatklāja integrācijas robežas (tās var būt daļēja vai neracionāla).

Vēlamo figūru ierobežo parabola augšpusē un taisna līnija zemāk.

Uz segmentu , saskaņā ar atbilstošo formulu:

Atbilde: S =4,5 kv.m

Attēlu, ko ierobežo nepārtrauktas nenegatīvas funkcijas $f(x)$ grafiks segmentā $$ un taisnēm $y=0, \ x=a$ un $x=b$, sauc par līknes trapeci.

Atbilstošās līknes trapeces laukumu aprēķina pēc formulas:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Mēs nosacīti sadalīsim problēmas, lai atrastu līknes trapeces laukumu $4$ veidos. Apskatīsim katru veidu sīkāk.

I tips: izliekta trapecveida forma ir skaidri norādīta. Pēc tam nekavējoties pielietojiet formulu (*).

Piemēram, atrodiet līknes trapeces laukumu, ko ierobežo funkcijas $y=4-(x-2)^(2)$ grafiks un līnijas $y=0, \ x=1$ un $x. = 3 USD.

Uzzīmēsim šo izliekto trapeci.

Izmantojot formulu (*), mēs atrodam šīs līknes trapeces laukumu.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\kreisais((1)^(3)-(-1)^(3)\labais) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (vienības$^(2)$).

II tips: izliektā trapecveida forma ir norādīta netieši.Šajā gadījumā taisnes $x=a, \ x=b$ parasti nav norādītas vai norādītas daļēji. Šajā gadījumā jāatrod funkciju $y=f(x)$ un $y=0$ krustošanās punkti. Šie punkti būs punkti $a$ un $b$.

Piemēram, atrodiet figūras laukumu, ko ierobežo funkciju $y=1-x^(2)$ un $y=0$ grafiki.

Atradīsim krustošanās punktus. Lai to izdarītu, mēs pielīdzinām funkciju labās puses.

Tādējādi $a=-1$ un $b=1$. Uzzīmēsim šo izliekto trapeci.

Atradīsim šīs izliektās trapeces laukumu.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (vienības $^(2)$).

III tips: figūras laukums, ko ierobežo divu nepārtrauktu nenegatīvu funkciju krustpunkts.Šis skaitlis nebūs izliekta trapece, kas nozīmē, ka jūs nevarat aprēķināt tā laukumu, izmantojot formulu (*). Kā būt? Izrādās, ka šī attēla laukumu var atrast kā starpību starp līknes trapeces laukumiem, ko ierobežo augšējā funkcija un $y=0$ ($S_(uf)$), un zemāka funkcija un $y=0$ ($S_(lf)$), kur $x=a, \ x=b$ lomu spēlē šo funkciju krustošanās punktu $x$ koordinātes, t.i.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Aprēķinot šādas platības, vissvarīgākais ir “nepalaist garām” ar augšējo un apakšējo funkciju izvēli.

Piemēram, atrodiet figūras laukumu, ko ierobežo funkcijas $y=x^(2)$ un $y=x+6$.

Atradīsim šo grafiku krustošanās punktus:

Saskaņā ar Vietas teorēmu,

$x_(1)=-2,\ x_(2)=3.$

Tas ir, $a=-2,\b=3$. Uzzīmēsim figūru:

Tādējādi augšējā funkcija ir $y=x+6$, bet apakšējā funkcija ir $y=x^(2)$. Tālāk mēs atrodam $S_(uf)$ un $S_(lf)$, izmantojot formulu (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (vienības$^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (vienības$^(2)$).

Aizstāsim atrasto ar (**) un iegūsim:

$S=32.5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (vienības$^(2)$).

IV tips: figūras laukums, ierobežota funkcija s) kas neatbilst nenegatīvisma nosacījumam. Lai atrastu šādas figūras laukumu, jums jābūt simetriskam pret $Ox$ asi ( citiem vārdiem sakot, ievietojiet “mīnusus” funkciju priekšā) parāda laukumu un, izmantojot I – III tipos aprakstītās metodes, atrodiet parādītā apgabala laukumu. Šī zona būs vajadzīgā zona. Pirmkārt, iespējams, būs jāatrod funkciju grafiku krustošanās punkti.

Piemēram, atrodiet figūras laukumu, ko ierobežo funkciju $y=x^(2)-1$ un $y=0$ grafiki.

Atradīsim funkciju grafiku krustošanās punktus:

tie. $a=-1$ un $b=1$. Uzzīmēsim laukumu.

Parādīsim apgabalu simetriski:

$y=0 \ \Rightrow \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Rezultāts ir līknes trapecveida forma, ko ierobežo funkcijas $y=1-x^(2)$ un $y=0$ grafiks. Šī ir problēma, lai atrastu izliektu otrā veida trapecveida formu. Mēs to jau esam atrisinājuši. Atbilde bija: $S= 1\frac(1)(3)$ (vienības $^(2)$). Tas nozīmē, ka nepieciešamās līknes trapeces laukums ir vienāds ar:

$S=1\frac(1)(3)$ (vienības$^(2)$).