Izsekot objekta attīstības dinamikai, tā elementu attiecību iekšējai būtībai un dažādiem stāvokļiem projektēšanas procesā iespējams tikai ar modeļu palīdzību, kas izmanto dinamiskās analoģijas principu, t.i., ar palīdzību. matemātiskie modeļi.

Matemātiskais modelis ir matemātisko attiecību sistēma, kas apraksta pētāmo procesu vai parādību. Matemātiskā modeļa sastādīšanai var izmantot jebkurus matemātiskos līdzekļus – kopu teoriju, matemātisko loģiku, diferenciālvienādojumu vai integrālvienādojumu valodu. Matemātiskā modeļa sastādīšanas process tiek saukts matemātiskā modelēšana. Tāpat kā cita veida modeļi, matemātiskais modelis attēlo problēmu vienkāršotā formā un apraksta tikai tās īpašības un modeļus, kas ir vissvarīgākie konkrētajam objektam vai procesam. Matemātiskais modelis ļauj veikt daudzpusēju kvantitatīvu analīzi. Mainot sākotnējos datus, kritērijus un ierobežojumus, katru reizi var iegūt optimālo risinājumu dotajiem apstākļiem un noteikt tālāko meklēšanas virzienu.

Matemātisko modeļu izveide no to izstrādātājiem papildus formālo loģisko metožu zināšanām prasa rūpīgu pētāmā objekta analīzi, lai precīzi formulētu galvenās idejas un noteikumus, kā arī noteiktu pietiekamu daudzumu ticamu faktu, statistikas un normatīvie dati.

Jāatzīmē, ka visi pašlaik izmantotie matemātiskie modeļi attiecas uz preskriptīvs. Preskriptīvo modeļu izstrādes mērķis ir norādīt risinājuma atrašanas virzienu, bet izstrādes mērķi aprakstot modeļi ir cilvēka reālo domāšanas procesu atspoguļojums.

Diezgan plaši izplatīts ir viedoklis, ka ar matemātikas palīdzību par pētāmo objektu vai procesu iespējams iegūt tikai dažus skaitliskus datus. “Protams, daudzas matemātikas disciplīnas ir vērstas uz gala skaitliskā rezultāta iegūšanu. Bet reducēt matemātiskās metodes tikai uz skaitļa iegūšanas problēmu nozīmē bezgalīgi noplicināt matemātiku, noplicināt tā spēcīgā ieroča iespējamību, kas šodien ir pētnieku rokās...

Matemātiskais modelis, kas uzrakstīts vienā vai citā privātajā valodā (piemēram, diferenciālvienādojumi), atspoguļo noteiktas reālu fizisko procesu īpašības. Matemātisko modeļu analīzes rezultātā mēs, pirmkārt, iegūstam kvalitatīvus priekšstatus par pētāmo procesu iezīmēm, izveidojam modeļus, kas nosaka secīgu stāvokļu dinamisko virkni, un iegūstam iespēju prognozēt procesa gaitu. un noteikt tā kvantitatīvās īpašības.

Matemātiskie modeļi tiek izmantoti daudzās labi zināmās modelēšanas metodēs. Starp tiem ir modeļu izstrāde, kas apraksta objekta statisko un dinamisko stāvokli, optimizācijas modeļi.

Matemātisko modeļu piemērs, kas apraksta objekta statisko un dinamisko stāvokli, var būt dažādas tradicionālās konstrukcijas aprēķinu metodes. Aprēķinu process, kas attēlots matemātisko darbību secības (algoritma) veidā, ļauj teikt, ka ir sastādīts matemātiskais modelis noteiktas struktūras aprēķināšanai.

IN optimizācija modeļi satur trīs elementus:

Objektīva funkcija, kas atspoguļo pieņemto kvalitātes kritēriju;

Regulējami parametri;

Uzlikti ierobežojumi.

Visi šie elementi ir jāapraksta matemātiski vienādojumu, loģisko nosacījumu utt. veidā. Optimizācijas problēmas risināšana ir mērķfunkcijas minimālās (maksimālās) vērtības atrašanas process, ievērojot noteiktos ierobežojumus. Risinājuma rezultāts tiek uzskatīts par optimālu, ja mērķa funkcija sasniedz savu galējo vērtību.

Optimizācijas modeļa piemērs ir “pieslēguma garuma” kritērija matemātisks apraksts rūpniecisko ēku alternatīvās projektēšanas metodē.

Mērķa funkcija atspoguļo visu funkcionālo savienojumu kopējo svērto garumu, kam jābūt minimālam:

kur ir svara vērtība elementa savienojumam ar ;

– savienojuma garums starp un elementiem;

– kopējais izvietoto elementu skaits.

Tā kā izvietoto telpu elementu platības visos dizaina risinājuma variantos ir vienādas, tad varianti viens no otra atšķiras tikai ar dažādajiem attālumiem starp elementiem un to izvietojumu vienam pret otru. Līdz ar to regulējamie parametri šajā gadījumā ir stāvu plānos izvietoto elementu koordinātas.

Uzlikti ierobežojumi elementu izvietojumam (iepriekš noteiktā vietā uz plāna, ārējā perimetrā, viens virs otra utt.) un savienojumu garumiem (savienojumu garumi starp elementiem ir stingri noteikti, minimālais vai ir norādītas vērtību maksimālās robežas, izmaiņu robežas ir noteiktas vērtības) ir rakstītas formāli.

Opciju uzskata par optimālu (saskaņā ar šo kritēriju), ja šai opcijai aprēķinātā mērķa funkcijas vērtība ir minimāla.

Dažādi matemātiskie modeļi - ekonomiski matemātiskais modelis– ir ekonomisko raksturlielumu un sistēmas parametru attiecības modelis.

Ekonomiski matemātisko modeļu piemērs ir izmaksu kritēriju matemātiskais apraksts augstāk minētajā rūpniecisko ēku alternatīvās projektēšanas metodē. Matemātiskie modeļi, kas iegūti, pamatojoties uz matemātiskās statistikas metožu izmantošanu, atspoguļo vienstāvu un daudzstāvu industriālo ēku karkasa, pamatu, zemes darbu un to augstuma, laiduma un nesošo konstrukciju slīpuma izmaksu atkarību.

Pamatojoties uz metodi, kurā tiek ņemta vērā nejaušo faktoru ietekme uz lēmumu pieņemšanu, matemātiskos modeļus iedala deterministiskajos un varbūtējos. Deterministisks modelis neņem vērā nejaušu faktoru ietekmi sistēmas darbības procesā un ir balstīts uz funkcionēšanas modeļu analītisku attēlojumu. Varbūtiskā (stohastiskā) modelis ņem vērā nejaušu faktoru ietekmi sistēmas darbības laikā un ir balstīts uz statistisko, t.i. masu parādību kvantitatīvs novērtējums, ļaujot ņemt vērā to nelinearitāti, dinamiku, nejaušus traucējumus, ko raksturo dažādi sadalījuma likumi.

Izmantojot iepriekš minētos piemērus, varam teikt, ka matemātiskais modelis, kas apraksta kritēriju “savienojumu garums”, attiecas uz deterministiskajiem modeļiem, bet matemātiskie modeļi, kas apraksta kritēriju grupu “izmaksas”, attiecas uz varbūtības modeļiem.

Lingvistiskie, semantiskie un informācijas modeļi

Matemātiskajiem modeļiem ir acīmredzamas priekšrocības, jo problēmas aspektu kvantitatīva noteikšana sniedz skaidru priekšstatu par mērķu prioritātēm. Būtiski, ka speciālists vienmēr var pamatot konkrēta lēmuma pieņemšanu, uzrādot attiecīgos skaitliskos datus. Taču pilnīgs projektēšanas darbības matemātisks apraksts nav iespējams, tāpēc lielākā daļa arhitektūras un būvprojektēšanas sākumposmā atrisināto problēmu ir saistītas ar slikti strukturēts.

Viena no daļēji strukturētu problēmu iezīmēm ir tajās izmantoto kritēriju verbāls apraksts. Dabiskā valodā aprakstītu kritēriju ieviešana (tādus kritērijus sauc lingvistiskais), ļauj izmantot mazāk sarežģītas metodes, lai atrastu optimālus dizaina risinājumus. Šādu kritēriju klātbūtnē dizainers pieņem lēmumu, pamatojoties uz ierasto, nevis apšaubāms mērķu izpausmes.

Visu problēmas aspektu jēgpilns apraksts ievieš sistematizāciju tās risināšanas procesā, no vienas puses, un, no otras puses, ievērojami atvieglo darbu speciālistiem, kuri, neapgūstot attiecīgās matemātikas nozares, var vairāk atrisināt savas profesionālās problēmas. racionāli. Attēlā 5.2 ir dots lingvistiskais modelis, aprakstot iespējas radīt apstākļus dabiskai ventilācijai dažādos maiznīcas izkārtojuma variantos.

Citas jēgpilnu problēmu aprakstu priekšrocības ir:

Spēja aprakstīt visus kritērijus, kas nosaka dizaina risinājuma efektivitāti. Vienlaikus ir svarīgi, lai aprakstā varētu tikt ieviesti sarežģīti jēdzieni un speciālista redzeslokā līdzās kvantitatīviem, izmērāmiem faktoriem būs arī kvalitatīvie, neizmērāmie. Tādējādi lēmuma pieņemšanas brīdī tiks izmantota visa subjektīvā un objektīvā informācija;

Rīsi. 5.2. “Ventilācijas” kritērija satura apraksts lingvistiskā modeļa veidā

Spēja viennozīmīgi novērtēt mērķa sasniegšanas pakāpi šī kritērija variantos, pamatojoties uz speciālistu akceptētajiem formulējumiem, kas nodrošina saņemtās informācijas ticamību;

Spēja ņemt vērā nenoteiktību, kas saistīta ar nepilnīgām zināšanām par visām pieņemto lēmumu sekām, kā arī paredzamo informāciju.

Modeļi, kas izmanto dabisko valodu, lai aprakstītu pētījuma objektu, ietver arī semantiskos modeļus.

Semantiskais modelis- ir tāds objekta attēlojums, kas atspoguļo savstarpējās saiknes (tuvuma) pakāpi starp dažādām objekta sastāvdaļām, aspektiem, īpašībām. Savstarpējā saistība nenozīmē relatīvu telpisku izkārtojumu, bet gan saistību pēc nozīmes.

Tādējādi semantiskā nozīmē attiecības starp dabiskā apgaismojuma koeficientu un caurspīdīgo žogu gaismas laukumu tiks parādītas kā ciešākas nekā attiecības starp logu atvērumiem un blakus esošajām aklajām sienas daļām.

Savienojamības attiecību kopa parāda, ko attēlo katrs objektā atlasītais elements un objekts kopumā. Tajā pašā laikā semantiskais modelis papildus dažādu objekta aspektu savienojuma pakāpei atspoguļo arī jēdzienu saturu. Elementārie modeļi ir jēdzieni, kas izteikti dabiskā valodā.

Semantisko modeļu konstruēšana balstās uz principiem, saskaņā ar kuriem jēdzieni un savienojumi nemainās visā modeļa lietošanas laikā; viena jēdziena saturs nepāriet uz citu; savienojumiem starp diviem jēdzieniem ir vienāda un neorientēta mijiedarbība attiecībā uz tiem.

Katras modeļa analīzes mērķis ir atlasīt modeļa elementus, kuriem ir noteikta kopīga kvalitāte. Tas dod pamatu izveidot algoritmu, kas ņem vērā tikai tiešos savienojumus. Pārvēršot modeli par nevirzītu grafiku, tiek atrasts ceļš starp diviem elementiem, kas izseko kustību no viena elementa uz otru, katru elementu izmantojot tikai vienu reizi. Secību, kādā elementi parādās, sauc par abu elementu secību. Secībām var būt dažāds garums. Īsākās no tām sauc par elementu attiecībām. Divu elementu secība pastāv pat tad, ja starp tiem ir tieša saikne, taču šajā gadījumā attiecības nav.

Kā semantiskā modeļa piemēru sniedzam dzīvokļa plānojuma aprakstu kopā ar komunikāciju pieslēgumiem. Koncepcija ir dzīvokļa telpas. Tiešais savienojums nozīmē divu telpu funkcionālu savienošanu, piemēram, ar durvīm (sk. 5.1. tabulu).

Modeļa pārveidošana nevirzīta grafa formā ļauj iegūt elementu secību (5.3. att.).

Piemēri secībai, kas izveidota starp elementu 2 (vannas istaba) un elementu 6 (pieliekamais), ir doti tabulā. 5.2. Kā redzams tabulā, 3. secība atspoguļo šo divu elementu attiecības.

5.1. tabula

Dzīvokļa plānojuma apraksts

Rīsi. 5.3. Plānojuma risinājuma apraksts nevirzīta grafika veidā

Matemātiskie modeļi

Matemātiskais modelis - aptuvens opimodelēšanas objekta nozīme, izteikta izmantojotmatemātiskā simbolika.

Matemātiskie modeļi parādījās kopā ar matemātiku pirms daudziem gadsimtiem. Datoru parādīšanās deva milzīgu impulsu matemātiskās modelēšanas attīstībai. Datoru izmantošana ir ļāvusi analizēt un praksē pielietot daudzus matemātiskos modeļus, kas iepriekš nebija piemēroti analītiskai izpētei. Matemātiski realizēts datorādebesu modelis sauca datora matemātiskais modelis, A mērķtiecīgu aprēķinu veikšana, izmantojot datormodeli sauca skaitļošanas eksperiments.

Datormatemātikas zinātnes posminodaļa ir parādīti attēlā. Pirmkārtposms - modelēšanas mērķu noteikšana.Šie mērķi var būt dažādi:

1. modelis ir nepieciešams, lai saprastu, kā konkrēts objekts darbojas, kāda ir tā uzbūve, pamatīpašības, attīstības un mijiedarbības likumi
   ar ārpasauli (sapratne);
2. modelis ir nepieciešams, lai iemācītos pārvaldīt objektu (vai procesu) un noteikt vislabākās vadības metodes dotajiem mērķiem un kritērijiem (vadība);
3. modelis ir nepieciešams, lai prognozētu ieviešanas tiešās un netiešās sekas dotās metodes un ietekmes formas uz objektu (prognozēšana).

Paskaidrosim ar piemēriem. Lai pētījuma objekts būtu šķidruma vai gāzes plūsmas mijiedarbība ar ķermeni, kas ir šķērslis šai plūsmai. Pieredze rāda, ka, palielinoties plūsmas ātrumam, ķermeņa daļas plūsmas pretestības spēks palielinās, bet pie kāda pietiekami liela ātruma šis spēks strauji samazinās, lai, palielinoties ātrumam, atkal palielinātos. Kas izraisīja pretestības spēka samazināšanos? Matemātiskā modelēšana ļauj iegūt skaidru atbildi: pēkšņas pretestības samazināšanās brīdī virpuļi, kas veidojas šķidruma vai gāzes plūsmā aiz plūstošā ķermeņa, sāk atrauties no tā un tiek aiznesti ar plūsmu.

Piemērs no pavisam cita apgabala: divu sugu īpatņu populācijas, kas mierīgi līdzās pastāvēja ar stabilu skaitu un kurām bija kopīgas barības rezerves, “pēkšņi” sāk krasi mainīt savu skaitu. Un šeit matemātiskā modelēšana ļauj (ar zināmu ticamības pakāpi) noteikt cēloni (vai vismaz atspēkot noteiktu hipotēzi).

Objekta pārvaldības koncepcijas izstrāde ir vēl viens iespējamais modelēšanas mērķis. Kuru lidmašīnas lidojuma režīmu izvēlēties, lai lidojums būtu drošs un ekonomiski izdevīgāks? Kā plānot simtiem darbu veidu liela objekta celtniecībā, lai tā tiktu pabeigta pēc iespējas ātrāk īstermiņa? Daudzas šādas problēmas sistemātiski rodas ekonomistiem, dizaineriem un zinātniekiem.

Visbeidzot, noteiktas ietekmes uz objektu seku prognozēšana var būt gan salīdzinoši vienkārša vienkāršās fiziskās sistēmās, gan ārkārtīgi sarežģīta - uz iespējamības robežas - bioloģiskajās, ekonomiskajās un sociālajās sistēmās. Ja uz jautājumu par siltuma sadales režīma izmaiņām tievā stieņā ir samērā viegli atbildēt, mainoties tā sastāvā esošajam sakausējumam, tad ir salīdzinoši viegli izsekot (paredzēt) lielas stieņa konstrukcijas sekas uz vidi un klimatu. hidroelektrostaciju vai sociālās sekas izmaiņas nodokļu likumdošanā ir nesalīdzināmi grūtākas. Iespējams, arī šeit turpmāk būtiskāku palīdzību sniegs matemātiskās modelēšanas metodes.

Otrais posms: modeļa ieejas un izejas parametru noteikšana; ievades parametru iedalījums pēc to izmaiņu ietekmes uz produkciju svarīguma pakāpes. Šo procesu sauc par ranžēšanu vai atdalīšanu pēc ranga (sk. "Formalizācijamodelis un modelēšana").

Trešais posms: matemātiskā modeļa konstruēšana. Šajā posmā notiek pāreja no abstrakta modeļa formulējuma uz formulējumu, kam ir īpašs matemātisks attēlojums. Matemātiskais modelis ir vienādojumi, vienādojumu sistēmas, nevienādību sistēmas, diferenciālvienādojumi vai šādu vienādojumu sistēmas utt.

Ceturtais posms: matemātiskā modeļa izpētes metodes izvēle. Visbiežāk šeit tiek izmantotas skaitliskās metodes, kas labi noder programmēšanai. Parasti vienas un tās pašas problēmas risināšanai ir piemērotas vairākas metodes, kas atšķiras pēc precizitātes, stabilitātes utt. Visa modelēšanas procesa panākumi bieži vien ir atkarīgi no pareizas metodes izvēles.

Piektais posms: algoritma izstrāde, datorprogrammas kompilēšana un atkļūdošana ir grūti formalizējams process. Starp programmēšanas valodām daudzi profesionāļi dod priekšroku FORTRAN matemātiskajai modelēšanai: gan tradīciju dēļ, gan kompilatoru nepārspējamās efektivitātes (aprēķinu darbam), kā arī milzīgu, rūpīgi atkļūdotu un optimizētu standarta programmu bibliotēku pieejamības dēļ tajā ierakstītajām matemātiskajām metodēm. . Tiek izmantotas arī tādas valodas kā PASCAL, BASIC, C atkarībā no uzdevuma rakstura un programmētāja tieksmēm.

Sestais posms: programmas testēšana. Programmas darbība tiek pārbaudīta uz testa uzdevuma ar iepriekš zināmu atbildi. Tas ir tikai sākums testēšanas procedūrai, kuru ir grūti aprakstīt formāli visaptverošā veidā. Testēšana parasti beidzas, kad lietotājs savā veidā profesionālās īpašības atrod programmu pareizu.

Septītais posms: faktiskais skaitļošanas eksperiments, kura laikā tiek noteikts, vai modelis atbilst reālam objektam (procesam). Modelis ir pietiekami adekvāts reālajam procesam, ja daži datorā iegūtie procesa raksturlielumi ar noteiktu precizitātes pakāpi sakrīt ar eksperimentāli iegūtajiem raksturlielumiem. Ja modelis neatbilst reālajam procesam, mēs atgriežamies pie kāda no iepriekšējiem posmiem.

Matemātisko modeļu klasifikācija

Matemātisko modeļu klasifikācija var būt balstīta uz dažādiem principiem. Jūs varat klasificēt modeļus pēc zinātnes nozarēm (matemātiskie modeļi fizikā, bioloģijā, socioloģijā utt.). Var klasificēt pēc izmantotā matemātiskā aparāta (modeļi, kuru pamatā ir parasto diferenciālvienādojumu izmantošana, daļējie diferenciālvienādojumi, stohastiskās metodes, diskrētās algebriskās transformācijas utt.). Visbeidzot, pamatojoties uz kopīgi uzdevumi modelēšana dažādās zinātnēs, neatkarīgi no matemātiskā aparāta, dabiskākā klasifikācija ir:

• aprakstošie (aprakstošie) modeļi;
• optimizācijas modeļi;
• daudzkritēriju modeļi;
• spēļu modeļi.

Paskaidrosim to ar piemēriem.

Aprakstošie (aprakstošie) modeļi. Piemēram, modelējot iebrūkošas komētas kustību Saules sistēma, ir izgatavots, lai prognozētu tā lidojuma trajektoriju, attālumu, kādā tas nokļūs no Zemes utt. Šajā gadījumā modelēšanas mērķiem ir aprakstošs raksturs, jo nav iespējams ietekmēt komētas kustību vai tajā kaut ko mainīt.

Optimizācijas modeļi tiek izmantoti, lai aprakstītu procesus, kurus var ietekmēt, mēģinot sasniegt noteiktu mērķi. Šajā gadījumā modelī ir iekļauts viens vai vairāki parametri, kurus var ietekmēt. Piemēram, mainot termisko režīmu klētī, var izvirzīt mērķi izvēlēties režīmu, kas sasniegs maksimālu graudu drošību, t.i. optimizēt uzglabāšanas procesu.

Daudzkritēriju modeļi. Bieži vien ir nepieciešams optimizēt procesu pēc vairākiem parametriem vienlaikus, un mērķi var būt diezgan pretrunīgi. Piemēram, zinot pārtikas cenas un cilvēka vajadzību pēc pārtikas, ir jāorganizē ēdienreizes lielas grupas cilvēki (armijā, bērnu vasaras nometnē utt.) ir fizioloģiski pareizi un tajā pašā laikā pēc iespējas lētāki. Skaidrs, ka šie mērķi nemaz nesakrīt, t.i. Modelējot tiks izmantoti vairāki kritēriji, starp kuriem jāmeklē līdzsvars.

Spēļu modeļi var attiekties ne tikai uz datorspēlēm, bet arī uz ļoti nopietnām lietām. Piemēram, pirms kaujas komandierim, ja ir nepilnīga informācija par pretinieku armiju, ir jāizstrādā plāns: kādā secībā ievest kaujā noteiktas vienības utt., ņemot vērā iespējamo ienaidnieka reakciju. Ir īpaša mūsdienu matemātikas nozare - spēļu teorija -, kas pēta lēmumu pieņemšanas metodes nepilnīgas informācijas apstākļos.

Skolas informātikas kursā skolēni pamatkursa ietvaros iegūst sākotnējo izpratni par datormatemātisko modelēšanu. Vidusskolā matemātisko modelēšanu padziļināti var apgūt vispārizglītojošā kursā fizikas un matemātikas klasēm, kā arī specializētā izvēles kursa ietvaros.

Galvenās datormatemātiskās modelēšanas mācīšanas formas vidusskolā ir lekcijas, laboratorijas un pārbaudes nodarbības. Parasti katra jauna modeļa izveides un sagatavošanas darbs aizņem 3-4 nodarbības. Materiāla prezentācijas laikā tiek izvirzīti uzdevumi, kas turpmāk studentiem jārisina patstāvīgi. vispārīgs izklāsts ir aprakstīti veidi, kā tos atrisināt. Tiek formulēti jautājumi, uz kuriem atbildes jāiegūst, pildot uzdevumus. Norādīts papildu literatūra, kas ļauj iegūt palīginformāciju veiksmīgākai uzdevumu izpildei.

Nodarbību organizēšanas forma, apgūstot jaunu materiālu, parasti ir lekcija. Pēc nākamā modeļa apspriešanas pabeigšanas studenti viņu rīcībā ir nepieciešamā teorētiskā informācija un uzdevumu kopums turpmākajam darbam. Gatavojoties uzdevuma veikšanai, skolēni izvēlas piemērotu risinājuma metodi un testē izstrādāto programmu, izmantojot kādu labi zināmu privāto risinājumu. Pilnīgu grūtību gadījumā, pildot uzdevumus, tiek sniegta konsultācija un tiek piedāvāts šīs sadaļas sīkāk izpētīt literārajos avotos.

Datormodelēšanas mācīšanas praktiskajai daļai piemērotākā ir projektu metode. Uzdevums tiek formulēts skolēnam izglītojoša projekta veidā un tiek veikts vairāku stundu garumā, un galvenā organizatoriskā forma ir dators laboratorijas darbi. Mācību modelēšana, izmantojot izglītības projektu metodi, var tikt īstenota dažādos līmeņos. Pirmā ir problemātiska projekta pabeigšanas procesa prezentācija, ko vada skolotājs. Otrais ir projekta īstenošana, ko veic skolēni skolotāja vadībā. Trešais ir paredzēts studentiem patstāvīgi pabeigt izglītības pētniecības projektu.

Darba rezultāti jāatspoguļo skaitliskā veidā, grafiku un diagrammu veidā. Ja iespējams, process tiek parādīts datora ekrānā dinamikā. Pēc aprēķinu pabeigšanas un rezultātu saņemšanas tie tiek analizēti, salīdzināti ar teorijā zināmajiem faktiem, tiek apstiprināta ticamība un veikta jēgpilna interpretācija, kas pēc tam tiek atspoguļota rakstiskā ziņojumā.

Ja rezultāti apmierina skolēnu un skolotāju, tad darbs skaitās pabeigts, un tā pēdējais posms ir ziņojuma sagatavošana. Referātā iekļauta īsa teorētiskā informācija par pētāmo tēmu, problēmas matemātiskais formulējums, risinājuma algoritms un tā pamatojums, datorprogramma, programmas rezultāti, rezultātu analīze un secinājumi, literatūras saraksts.

Kad visi ziņojumi ir sastādīti, skolēni prezentē savus īsziņas par paveikto, aizstāvēt savu projektu. Šī ir efektīva grupas, kas veic projektu, ziņojuma forma klasei, kas ietver problēmas uzstādīšanu, formāla modeļa izveidi, metožu izvēli darbam ar modeli, modeļa ieviešanu datorā, darbu ar gatavo modeli, interpretāciju. rezultātus un prognozēšanu. Rezultātā skolēni var saņemt divas atzīmes: pirmo - par projekta izstrādi un tā aizstāvēšanas panākumiem, otro - par programmu, tās algoritma, interfeisa optimiskumu utt. Atzīmes skolēni saņem arī teorijas viktorīnās.

Būtisks jautājums- kādi rīki jāizmanto skolas informātikas kursā matemātiskajai modelēšanai? Modeļu datorizētu ieviešanu var veikt:

• izmantojot izklājlapu procesoru (parasti MS Excel);
• veidojot programmas tradicionālajās programmēšanas valodās (Pascal, BASIC u.c.), kā arī to modernajās versijās (Delphi, Visual
  Basic for Application utt.);
• izmantojot speciālas aplikāciju pakotnes matemātisko uzdevumu risināšanai (MathCAD u.c.).

Pamatskolas līmenī pirmā metode šķiet labāka. Taču vidusskolā, kad programmēšana līdztekus modelēšanai ir galvenā datorzinātņu tēma, to vēlams izmantot kā modelēšanas rīku. Programmēšanas procesa laikā studentiem kļūst pieejamas matemātiskās procedūras detaļas; Turklāt viņi vienkārši ir spiesti tos apgūt, un tas arī veicina matemātisko izglītību. Kas attiecas uz īpašu programmatūras pakotņu izmantošanu, tas ir piemērots specializētā datorzinātņu kursā kā papildinājums citiem rīkiem.

Vingrinājums :

• Izveidojiet galveno jēdzienu diagrammu.

Lai izveidotu matemātisko modeli, jums ir nepieciešams:

1. rūpīgi analizēt reālu objektu vai procesu;
2. izcelt tās nozīmīgākās iezīmes un īpašības;
3. definēt mainīgos, t.i. parametri, kuru vērtības ietekmē objekta galvenās iezīmes un īpašības;
4. aprakstiet objekta, procesa vai sistēmas pamatīpašību atkarību no mainīgo vērtībām, izmantojot loģiski matemātiskas attiecības (vienādojumus, vienādības, nevienādības, loģiski matemātiskas konstrukcijas);
5. izcelt objekta, procesa vai sistēmas iekšējās sakarības, izmantojot ierobežojumus, vienādojumus, vienādības, nevienādības, loģiskās un matemātiskās konstrukcijas;
6. definēt ārējās attiecības un aprakstīt tos, izmantojot ierobežojumus, vienādojumus, vienādības, nevienādības, loģiskās un matemātiskās konstrukcijas.

Matemātiskā modelēšana papildus objekta, procesa vai sistēmas izpētei un matemātiskā apraksta sastādīšanai ietver arī:

1. algoritma izveide, kas modelē objekta, procesa vai sistēmas uzvedību;
2. modeļa un objekta, procesa vai sistēmas atbilstības pārbaude, pamatojoties uz skaitļošanas un pilna mēroga eksperimentiem;
3. modeļa pielāgošana;
4. izmantojot modeli.

Pētāmo procesu un sistēmu matemātiskais apraksts ir atkarīgs no:

1. reāla procesa vai sistēmas būtība un ir sastādīta, pamatojoties uz fizikas, ķīmijas, mehānikas, termodinamikas, hidrodinamikas, elektrotehnikas, plastiskuma teorijas, elastības teorijas u.c.
2. reālo procesu un sistēmu izpētes un izpētes nepieciešamo uzticamību un precizitāti.

Matemātiskā modeļa konstruēšana parasti sākas ar aplūkojamā objekta, procesa vai sistēmas vienkāršākā, visrupjākā matemātiskā modeļa konstruēšanu un analīzi. Nākotnē, ja nepieciešams, modelis tiek pilnveidots un tā atbilstība objektam tiek padarīta pilnīgāka.

Ņemsim vienkāršu piemēru. Ir nepieciešams noteikt rakstāmgalda virsmas laukumu. Parasti to dara, izmērot tā garumu un platumu un pēc tam reizinot iegūtos skaitļus. Šī elementārā procedūra faktiski nozīmē sekojošo: reālu objektu (galda virsmu) aizstāj ar abstraktu matemātisko modeli – taisnstūri. Izmēri, kas iegūti, izmērot galda virsmas garumu un platumu, tiek piešķirti taisnstūrim, un šāda taisnstūra laukums tiek aptuveni ņemts par nepieciešamo galda laukumu. Tomēr rakstāmgalda taisnstūra modelis ir vienkāršākais un neapstrādātākais modelis. Ja izmantojat nopietnāku pieeju problēmai, pirms izmantojat taisnstūra modeli, lai noteiktu tabulas laukumu, šis modelis ir jāpārbauda. Pārbaudes var veikt šādi: izmēra tabulas pretējo malu garumus, kā arī tās diagonāļu garumus un salīdziniet tos savā starpā. Ja ar nepieciešamo precizitātes pakāpi pretējo malu garumi un diagonāļu garumi ir vienādi pa pāriem, tad galda virsmu tiešām var uzskatīt par taisnstūri. Pretējā gadījumā taisnstūra modelis būs jānoraida un jāaizstāj ar četrstūra modeli vispārējs skats. Pie augstākas precizitātes prasības var būt nepieciešams vēl vairāk pilnveidot modeli, piemēram, lai ņemtu vērā galda stūru noapaļošanu.

Ar šī palīdzību vienkāršs piemērs tika parādīts, ka matemātisko modeli nenosaka unikāli objekts, process vai sistēma.

VAI (tiks precizēts rīt)

Matemātikas risināšanas veidi. Modeļi:

1, uz dabas likumiem balstīta modeļa uzbūve (analītiskā metode)

2. Formālais veids, izmantojot statistikas metodes. Apstrādes un mērījumu rezultāti (statistiskā pieeja)

3. Modeļa konstruēšana, pamatojoties uz elementu modeli (sarežģītas sistēmas)

1, Analītisks – lietojiet ar pietiekamu izpēti. Vispārējais modelis ir zināms. Modeļi.

2. eksperiments. Informācijas trūkuma gadījumā.

3. Imitācija m.- pēta objekta īpašības. Vispārīgi.

Matemātiskā modeļa konstruēšanas piemērs.

Matemātiskais modelis ir realitātes matemātisks attēlojums.

Matemātiskā modelēšana ir matemātisko modeļu konstruēšanas un izpētes process.

Visas dabas un sociālās zinātnes, kas izmanto matemātiku, būtībā nodarbojas ar matemātisko modelēšanu: tās aizstāj objektu ar tā matemātisko modeli un pēc tam pēta pēdējo. Saikne starp matemātisko modeli un realitāti tiek veikta, izmantojot hipotēžu, idealizāciju un vienkāršojumu ķēdi. Izmantojot matemātiskās metodes, parasti tiek aprakstīts ideāls objekts, kas konstruēts jēgpilnas modelēšanas stadijā.

Kāpēc ir vajadzīgi modeļi?

Ļoti bieži, pētot jebkuru objektu, rodas grūtības. Pats oriģināls dažkārt nav pieejams, tā lietošana nav ieteicama, vai oriģināla piesaiste ir dārga. Visas šīs problēmas var atrisināt, izmantojot simulāciju. Zināmā nozīmē modelis var aizstāt pētāmo objektu.

Vienkāršākie modeļu piemēri

§ Fotogrāfiju var saukt par cilvēka modeli. Lai atpazītu cilvēku, pietiek redzēt viņa fotogrāfiju.

§ Arhitekts izveidoja jaunas dzīvojamās zonas maketu. Viņš var pārvietot augstceltni no vienas daļas uz otru ar rokas kustību. Patiesībā tas nebūtu iespējams.

Modeļu veidi

Modeļus var iedalīt materiāls" Un ideāls. iepriekš minētie piemēri ir materiālu modeļi. Ideāliem modeļiem bieži ir ikoniskas formas. Reālus jēdzienus aizstāj ar dažām zīmēm, kuras var viegli ierakstīt uz papīra, datora atmiņā utt.

Matemātiskā modelēšana

Matemātiskā modelēšana pieder pie simboliskās modelēšanas klases. Turklāt modeļus var izveidot no jebkuriem matemātiskiem objektiem: skaitļiem, funkcijām, vienādojumiem utt.

Matemātiskā modeļa veidošana

§ Var atzīmēt vairākus matemātiskā modeļa konstruēšanas posmus:

1. Problēmas izpratne, mums svarīgāko īpašību, īpašību, daudzumu un parametru noteikšana.

2. Apzīmējuma ieviešana.

3. Ierobežojumu sistēmas sastādīšana, kam jāatbilst ievadītajām vērtībām.

4. Nosacījumu formulēšana un reģistrēšana, kas jāizpilda vēlamajam optimālajam risinājumam.

Modelēšanas process nebeidzas ar modeļa izveidi, bet tikai sākas ar to. Sastādot modeli, viņi izvēlas metodi atbildes atrašanai un problēmas risināšanai. pēc atbildes atrašanas tā tiek salīdzināta ar realitāti. Un iespējams, ka atbilde nav apmierinoša, tādā gadījumā modelis tiek modificēts vai pat izvēlēts pavisam cits modelis.

Matemātiskā modeļa piemērs

Uzdevums

Ražošanas apvienībai, kurā ietilpst divas mēbeļu rūpnīcas, nepieciešams atjaunināt savu mašīnu parku. Turklāt pirmajā mēbeļu rūpnīcā ir jānomaina trīs mašīnas, bet otrajā - septiņas. Pasūtījumus var veikt divās darbgaldu rūpnīcās. Pirmajā rūpnīcā var ražot ne vairāk kā 6 mašīnas, un otrā rūpnīca pieņems pasūtījumu, ja no tām būs vismaz trīs. Jums ir jānosaka, kā veikt pasūtījumus.

Saskaņā ar Sovetova un Jakovļeva mācību grāmatu: "modelis (lat. modulis - mērs) ir oriģinālā objekta aizstājējs, kas nodrošina dažu oriģināla īpašību izpēti." (6. lpp.) "Viena objekta aizstāšanu ar citu, lai iegūtu informāciju par sākotnējā objekta svarīgākajām īpašībām, izmantojot modeļa objektu, sauc par modelēšanu." (6. lpp.) “Ar matemātisko modelēšanu mēs saprotam procesu, kurā tiek noteikta atbilstība noteiktam reālam objektam ar noteiktu matemātisko objektu, ko sauc par matemātisko modeli, un šī modeļa izpēti, kas ļauj iegūt reālā objekta īpašības. apskatāmais objekts. Matemātiskā modeļa veids ir atkarīgs gan no reālā objekta rakstura, gan objekta izpētes uzdevumiem un šīs problēmas risināšanas nepieciešamās uzticamības un precizitātes.

Visbeidzot, visprecīzākā matemātiskā modeļa definīcija: "Vienādojums, kas izsaka ideju».

Modeļu klasifikācija

Modeļu formālā klasifikācija

Modeļu formālās klasifikācijas pamatā ir izmantoto matemātisko rīku klasifikācija. Bieži vien konstruēts divkāršu veidā. Piemēram, viens no populārākajiem dihotomiju komplektiem:

un tā tālāk. Katrs konstruētais modelis ir lineārs vai nelineārs, deterministisks vai stohastisks,... Protams, jaukti veidi: vienā ziņā koncentrēti (parametru ziņā), citā - sadalīti modeļi utt.

Klasifikācija pēc objekta attēlojuma veida

Līdzās formālai klasifikācijai modeļi atšķiras ar to, kā tie attēlo objektu:

• Strukturālie vai funkcionālie modeļi

Strukturālie modeļi attēlo objektu kā sistēmu ar savu struktūru un darbības mehānismu. Funkcionālie modeļi neizmanto šādus priekšstatus un atspoguļo tikai ārēji uztveramo objekta uzvedību (funkciju). Savā galējā izteiksmē tos sauc arī par “melnās kastes” modeļiem. Ir iespējami arī kombinēti modeļu veidi, kurus dažreiz sauc par “ pelēka kaste».

Satura un formālie modeļi

Gandrīz visi autori, kas apraksta matemātiskās modelēšanas procesu, norāda, ka vispirms tiek uzbūvēta īpaša ideāla struktūra, satura modelis. Šeit nav izveidotas terminoloģijas, un citi autori šo ideālo objektu sauc konceptuālais modelis , spekulatīvs modelis vai priekšmodelis. Šajā gadījumā tiek izsaukta galīgā matemātiskā konstrukcija formālais modelis vai vienkārši matemātiskais modelis, kas iegūts dotā jēgpilnā modeļa formalizācijas rezultātā (pirmsmodelis). Nozīmīga modeļa uzbūvi var veikt, izmantojot gatavu idealizāciju kopumu, kā mehānikā, kur ideālas atsperes cietvielas, ideālie svārsti, elastīgie materiāli utt. nodrošina gatavus konstrukcijas elementus jēgpilnai modelēšanai. Tomēr zināšanu jomās, kurās nav pilnībā pabeigtu formalizētu teoriju (fizikas, bioloģijas, ekonomikas, socioloģijas, psiholoģijas un vairumā citu jomu līderi), jēgpilnu modeļu izveide kļūst ievērojami grūtāka.

Modeļu satura klasifikācija

Nevienu zinātnes hipotēzi nevar pierādīt vienreiz un uz visiem laikiem. Ričards Feinmens to ļoti skaidri formulēja:

“Mums vienmēr ir iespēja atspēkot teoriju, taču ņemiet vērā, ka mēs nekad nevaram pierādīt, ka tā ir pareiza. Pieņemsim, ka esat izvirzījis veiksmīgu hipotēzi, aprēķinājis, kurp tā ved, un konstatējis, ka visas tās sekas ir apstiprinātas eksperimentāli. Vai tas nozīmē, ka jūsu teorija ir pareiza? Nē, tas vienkārši nozīmē, ka jums neizdevās to atspēkot.

Ja tiek uzbūvēts pirmā tipa modelis, tas nozīmē, ka tas uz laiku tiek pieņemts kā patiesība un var koncentrēties uz citām problēmām. Tomēr tas nevar būt pētījuma punkts, bet tikai īslaicīga pauze: pirmā tipa modeļa statuss var būt tikai īslaicīgs.

2. veids: Fenomenoloģiskais modelis (mēs uzvedamies it kā…)

Fenomenoloģiskais modelis satur fenomena aprakstīšanas mehānismu. Tomēr šis mehānisms nav pietiekami pārliecinošs, to nevar pietiekami apstiprināt ar pieejamajiem datiem vai arī neatbilst esošajām teorijām un uzkrātajām zināšanām par objektu. Tāpēc fenomenoloģiskiem modeļiem ir pagaidu risinājumu statuss. Domājams, ka atbilde joprojām nav zināma un jāturpina meklēt “patiesos mehānismus”. Peierls ietver, piemēram, kaloriju modeli un elementārdaļiņu kvarku modeli kā otro veidu.

Modeļa loma pētījumos laika gaitā var mainīties, un var gadīties, ka jauni dati un teorijas apstiprina fenomenoloģiskos modeļus un tie tiek izvirzīti hipotēzes statusā. Tāpat jaunas zināšanas pakāpeniski var nonākt pretrunā ar pirmā tipa modeļiem-hipotēzēm, un tās var pārtulkot otrajā. Tādējādi kvarku modelis pamazām pāriet hipotēžu kategorijā; atomisms fizikā radās kā pagaidu risinājums, bet līdz ar vēstures gaitu kļuva par pirmo veidu. Taču ētera modeļi ir nonākuši no 1. tipa uz 2. tipu, un tagad tie ir ārpus zinātnes.

Veidojot modeļus, vienkāršošanas ideja ir ļoti populāra. Taču vienkāršošana izpaužas dažādos veidos. Peierls identificē trīs veidu modelēšanas vienkāršojumus.

3. veids: Tuvināšana (mēs uzskatām kaut ko ļoti lielu vai ļoti mazu)

Ja ir iespējams izveidot vienādojumus, kas apraksta pētāmo sistēmu, tas nenozīmē, ka tos var atrisināt pat ar datora palīdzību. Izplatīts paņēmiens šajā gadījumā ir tuvinājumu izmantošana (3. tipa modeļi). Starp viņiem lineārās atbildes modeļi. Vienādojumi tiek aizstāti ar lineāriem. Standarta piemērs ir Oma likums.

Šeit nāk 8. tips, kas ir plaši izplatīts bioloģisko sistēmu matemātiskajos modeļos.

8. veids: Funkciju demonstrācija (galvenais ir parādīt iespēju iekšējo konsekvenci)

Tie arī ir domu eksperimenti ar iedomātām entītijām, kas to pierāda domājama parādība saskaņā ar pamatprincipiem un iekšēji konsekventi. Šī ir galvenā atšķirība no 7. tipa modeļiem, kas atklāj slēptās pretrunas.

Viens no slavenākajiem no šiem eksperimentiem ir Lobačevska ģeometrija (Lobačevskis to sauca par "iedomātu ģeometriju"). Vēl viens piemērs ir formāli kinētisko ķīmisko un bioloģisko vibrāciju, autoviļņu uc modeļu masveida ražošana. Einšteina-Podoļska-Rozena paradokss tika iecerēts kā 7. tipa modelis, lai demonstrētu kvantu mehānikas nekonsekvenci. Pilnīgi neplānotā veidā tas galu galā pārtapa 8. tipa modelī – informācijas kvantu teleportācijas iespējas demonstrācijā.

Piemērs

Apsveriet mehānisku sistēmu, kas sastāv no atsperes, kas fiksēta vienā galā, un masas , kas pievienota atsperes brīvajam galam. Mēs pieņemsim, ka slodze var pārvietoties tikai atsperes ass virzienā (piemēram, kustība notiek gar stieni). Izveidosim šīs sistēmas matemātisko modeli. Sistēmas stāvokli aprakstīsim pēc attāluma no slodzes centra līdz tās līdzsvara stāvoklim. Aprakstīsim atsperes un slodzes mijiedarbību Huka likums() un pēc tam izmantojiet Ņūtona otro likumu, lai izteiktu to diferenciālvienādojuma veidā:

kur nozīmē otro atvasinājumu no laika ziņā: .

Iegūtais vienādojums apraksta aplūkotās fiziskās sistēmas matemātisko modeli. Šo modeli sauc par "harmonisko oscilatoru".

Pēc formālās klasifikācijas šis modelis ir lineārs, deterministisks, dinamisks, koncentrēts, nepārtraukts. Tās konstruēšanas procesā mēs izdarījām daudzus pieņēmumus (par ārējo spēku neesamību, berzes neesamību, noviržu mazumu utt.), kas patiesībā var arī neatbilst.

Attiecībā uz realitāti tas visbiežāk ir 4. tipa modelis vienkāršošana(“skaidrības labad mēs izlaidīsim dažas detaļas”), jo dažas būtiskas universālas pazīmes (piemēram, izkliedēšana) ir izlaistas. Aptuveni (teiksim, kamēr slodzes novirze no līdzsvara ir maza, ar zemu berzi, ne pārāk ilgu laiku un saskaņā ar noteiktiem citiem nosacījumiem), šāds modelis diezgan labi raksturo reālu mehānisko sistēmu, jo izmestie faktori ir nenozīmīga ietekme uz tās uzvedību. Tomēr modeli var uzlabot, ņemot vērā dažus no šiem faktoriem. Tādējādi tiks izveidots jauns modelis ar plašāku (lai gan atkal ierobežotu) piemērojamības jomu.

Tomēr, pilnveidojot modeli, tā matemātiskās izpētes sarežģītība var ievērojami palielināties un padarīt modeli praktiski nederīgu. Bieži vien vienkāršāks modelis ļauj labāk un dziļāk izpētīt reālo sistēmu nekā sarežģītāks (un formāli "pareizāks").

Ja mēs izmantojam harmonisko oscilatoru modeli objektiem, kas ir tālu no fizikas, tā saturs var atšķirties. Piemēram, piemērojot šo modeli bioloģiskajām populācijām, tas, visticamāk, būtu jāklasificē kā 6. tips līdzība(“ņemsim vērā tikai dažas funkcijas”).

Cietie un mīkstie modeļi

Harmoniskais oscilators ir tā sauktā “cietā” modeļa piemērs. To iegūst reālas fiziskās sistēmas spēcīgas idealizācijas rezultātā. Lai atrisinātu jautājumu par tā piemērojamību, ir jāsaprot, cik nozīmīgi ir faktori, kurus esam atstājuši novārtā. Citiem vārdiem sakot, ir jāizpēta “mīkstais” modelis, kas iegūts ar nelielu “cietā” perturbāciju. To var dot, piemēram, ar šādu vienādojumu:

Šeit ir kāda funkcija, kas var ņemt vērā berzes spēku vai atsperes stinguma koeficienta atkarību no tā stiepšanās pakāpes - kāds mazs parametrs. Pašlaik mūs neinteresē precīza funkcijas forma. Ja mēs pierādīsim, ka mīkstā modeļa uzvedība būtiski neatšķiras no cietā modeļa uzvedības (neatkarīgi no izteiktā traucējošo faktoru veida, ja tie ir pietiekami mazi), problēma tiks reducēta uz cietā modeļa izpēti. Pretējā gadījumā stingrā modeļa pētījumos iegūto rezultātu pielietošanai būs nepieciešami papildu pētījumi. Piemēram, harmoniskā oscilatora vienādojuma risinājums ir formas funkcijas, tas ir, svārstības ar nemainīgu amplitūdu. Vai no tā izriet, ka īsts oscilators svārstīsies bezgalīgi ar nemainīgu amplitūdu? Nē, jo, ņemot vērā sistēmu ar patvaļīgi mazu berzi (vienmēr pastāv reālā sistēmā), mēs iegūstam slāpētas svārstības. Sistēmas uzvedība ir kvalitatīvi mainījusies.

Ja sistēma saglabā savu kvalitatīvo uzvedību nelielu traucējumu gadījumā, tā tiek uzskatīta par strukturāli stabilu. Harmoniskais oscilators ir strukturāli nestabilas (neapstrādātas) sistēmas piemērs. Tomēr šo modeli var izmantot, lai pētītu procesus ierobežotā laika periodā.

Modeļu daudzpusība

Svarīgākajiem matemātiskajiem modeļiem parasti ir svarīgs īpašums daudzpusība: Principiāli atšķirīgas reālas parādības var aprakstīt ar vienu un to pašu matemātisko modeli. Piemēram, harmoniskais oscilators apraksta ne tikai slodzes uzvedību uz atsperes, bet arī citus svārstību procesus, kas bieži vien ir pavisam cita rakstura: nelielas svārsta svārstības, šķidruma līmeņa svārstības A formas traukā. , vai strāvas stipruma izmaiņas svārstību ķēdē. Tādējādi, pētot vienu matemātisko modeli, mēs uzreiz pētām veselu ar to aprakstīto parādību klasi. Tas ir šis likumu izomorfisms, kas izteikts ar matemātiskajiem modeļiem dažādos segmentos zinātniskās zināšanas, Ludviga fon Bertalanfija iedvesma, lai radītu “Vispārīgo sistēmu teoriju”.

Matemātiskās modelēšanas tiešās un apgrieztās problēmas

Ar matemātisko modelēšanu ir saistītas daudzas problēmas. Pirmkārt, jums ir jāizdomā modelētā objekta pamata diagramma, jāatveido tā šīs zinātnes idealizāciju ietvaros. Tādējādi vilciena vagons pārvēršas par plākšņu un sarežģītāku virsbūvju sistēmu no dažādiem materiāliem, katrs materiāls tiek norādīts kā tā standarta mehāniskā idealizācija (blīvums, elastības moduļi, standarta stiprības raksturlielumi), pēc tam tiek sastādīti vienādojumi un pa ceļam. dažas detaļas tiek izmestas kā nesvarīgas, tiek veikti aprēķini, salīdzināti ar mērījumiem, tiek precizēts modelis utt. Tomēr, lai izstrādātu matemātiskās modelēšanas tehnoloģijas, ir lietderīgi izjaukt šo procesu tā galvenajos komponentos.

Tradicionāli ir divas galvenās problēmu klases, kas saistītas ar matemātiskajiem modeļiem: tiešās un apgrieztās.

Tiešais uzdevums: modeļa struktūra un visi tā parametri tiek uzskatīti par zināmiem, galvenais uzdevums ir veikt modeļa izpēti, lai iegūtu noderīgas zināšanas par objektu. Kādu statisko slodzi tilts izturēs? Kā tā reaģēs uz dinamisku slodzi (piemēram, uz karavīru rotas gājienu, vai uz vilciena pāreju dažādos ātrumos), kā lidmašīna pārvarēs skaņas barjeru, vai tā izjuks no plandīšanās - tie ir tipiski tiešas problēmas piemēri. Pareizas tiešās problēmas noteikšana (pareizā jautājuma uzdošana) prasa īpašas prasmes. Ja netiek uzdoti pareizie jautājumi, tilts var sabrukt, pat ja ir uzbūvēts labs tā uzvedības modelis. Tā 1879. gadā Lielbritānijā sabruka metāla tilts pāri Tejas upei, kura projektētāji uzbūvēja tilta maketu, aprēķināja, ka tam ir 20-kārtīgs lietderīgās kravas darbības drošības koeficients, bet aizmirsa par vējiem. pastāvīgi pūš tajās vietās. Un pēc pusotra gada tas sabruka.

Vienkāršākajā gadījumā (piemēram, viens oscilatora vienādojums) tiešā problēma ir ļoti vienkārša un reducējas līdz šī vienādojuma skaidram risinājumam.

Apgrieztā problēma: ir zināmi daudzi iespējamie modeļi, ir jāizvēlas konkrēts modelis, pamatojoties uz papildu datiem par objektu. Visbiežāk ir zināma modeļa struktūra, un ir jānosaka daži nezināmi parametri. Papildu informācija var sastāvēt no papildu empīriskiem datiem vai prasībām objektam ( dizaina problēma). Papildu dati var saņemt neatkarīgi no apgrieztās problēmas risināšanas procesa ( pasīva novērošana) vai būt risinājuma laikā īpaši plānota eksperimenta rezultāts ( aktīva uzraudzība).

Viens no pirmajiem piemēriem apgrieztas problēmas meistarīgam risinājumam, maksimāli izmantojot pieejamos datus, bija I. Ņūtona konstruētā metode berzes spēku rekonstrukcijai no novērotajām slāpētām svārstībām.

Vēl viens piemērs ir matemātiskā statistika. Šīs zinātnes uzdevums ir izstrādāt metodes novērojumu un eksperimentālo datu reģistrēšanai, aprakstīšanai un analīzei, lai izveidotu nejaušu masu parādību varbūtības modeļus. Tie. iespējamo modeļu kopa ir ierobežota ar varbūtības modeļiem. Konkrētos uzdevumos modeļu kopums ir ierobežotāks.

Datoru simulācijas sistēmas

Matemātiskās modelēšanas atbalstam ir izstrādātas datormatemātikas sistēmas, piemēram, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim u.c. Tās ļauj izveidot formālus un bloku modeļus gan vienkāršiem, gan sarežģītiem procesiem un ierīcēm un viegli mainīt modeļa parametrus darbības laikā. modelēšana. Bloku modeļi tiek attēloti ar blokiem (visbiežāk grafiskiem), kuru komplektu un savienojumu nosaka modeļa diagramma.

Papildu piemēri

Maltusa modelis

Pieauguma temps ir proporcionāls pašreizējam iedzīvotāju skaitam. To apraksta ar diferenciālvienādojumu

kur ir noteikts parametrs, ko nosaka starpība starp dzimstību un mirstības līmeni. Šī vienādojuma risinājums ir eksponenciāla funkcija. Ja dzimstība pārsniedz mirstības līmeni (), iedzīvotāju skaits palielinās bezgalīgi un ļoti ātri. Skaidrs, ka reāli tas nevar notikt ierobežoto resursu dēļ. Kad tiek sasniegts noteikts kritiskais populācijas lielums, modelis pārstāj būt adekvāts, jo neņem vērā ierobežotos resursus. Maltusa modeļa pilnveidojums var būt loģistikas modelis, ko apraksta Verhulsta diferenciālvienādojums

kur ir “līdzsvara” populācijas lielums, pie kura dzimstību precīzi kompensē mirstības līmenis. Populācijas lielumam šādā modelī ir tendence uz līdzsvara vērtību , un šī uzvedība ir strukturāli stabila.

Plēsoņu-laupījumu sistēma

Pieņemsim, ka noteiktā teritorijā dzīvo divu veidu dzīvnieki: truši (ēd augus) un lapsas (ēd trušus). Lai trušu skaits, lapsu skaits. Izmantojot Malthus modeli ar nepieciešamajiem grozījumiem, lai ņemtu vērā trušu ēšanu no lapsām, mēs nonākam pie šādas sistēmas ar nosaukumu modeļi Paplātes - Volterra:

Šai sistēmai ir līdzsvara stāvoklis, kad trušu un lapsu skaits ir nemainīgs. Novirze no šī stāvokļa rada trušu un lapsu skaita svārstības, kas ir līdzīgas harmoniskā oscilatora svārstībām. Tāpat kā ar harmonisko oscilatoru, šī uzvedība nav strukturāli stabila: neliela modeļa maiņa (piemēram, ņemot vērā ierobežotos resursus, kas nepieciešami trušiem) var izraisīt kvalitatīvas izmaiņas uzvedībā. Piemēram, līdzsvara stāvoklis var kļūt stabils, un skaitļu svārstības izzudīs. Iespējama arī pretēja situācija, kad jebkura neliela novirze no līdzsvara stāvokļa novedīs pie katastrofālām sekām, līdz pat vienas sugas pilnīgai izzušanai. Volterras-Lotkas modelis neatbild uz jautājumu, kurš no šiem scenārijiem tiek realizēts: šeit ir nepieciešama papildu izpēte.

Piezīmes

1. “Realitātes matemātisks attēlojums” (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., Par kibernētiskās modelēšanas filozofiskiem jautājumiem. M., Zināšanas, 1964. gads.
3. Sovetovs B. Ja., Jakovļevs S. A., Sistēmu modelēšana: Proc. augstskolām - 3. izd., pārstrādāts. un papildu - M.: Augstāk. skola, 2001. - 343 lpp. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarskis A. A., Mihailovs A. P. Matemātiskā modelēšana. Idejas. Metodes. Piemēri. - 2. izdevums, red. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Miškis A.D., Matemātisko modeļu teorijas elementi. - 3. izdevums, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 ar ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostjanovs, A.G. Tehnoloģisko procesu modelēšana: mācību grāmata / A.G. Sevostjanovs, P.A. Sevostjanovs. – M.: Vieglā un pārtikas rūpniecība, 1984. - 344 lpp.
7. Vikivārdnīca: matemātiskais modelis
8. CliffsNotes.com. Zemes zinātnes glosārijs. 2010. gada 20. septembris
9. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlīne-Heidelberga-Ņujorka, 2006. XII+562 lpp. ISBN 3-540-35885-4
10. "Teorija tiek uzskatīta par lineāru vai nelineāru atkarībā no tā, kāda veida matemātiskais aparāts - lineārs vai nelineārs - un kādus lineāros vai nelineāros matemātiskos modeļus tā izmanto. ...nenoliedzot pēdējo. Mūsdienu fiziķis, ja viņam no jauna būtu jārada definīcija tādai svarīgai vienībai kā nelinearitāte, visticamāk, rīkotos citādi un, dodot priekšroku nelinearitātei kā svarīgākajam un izplatītākajam no diviem pretstatiem, linearitāti definētu kā “nav. nelinearitāte." Daņilovs Ju.A., Lekcijas par nelineāro dinamiku. Elementārs ievads. Sērija “Sinerģētika: no pagātnes uz nākotni”. 2. izdevums. - M.: URSS, 2006. - 208 lpp. ISBN 5-484-00183-8
11. « Dinamiskās sistēmas, ko modelē ar ierobežotu skaitu parastu diferenciālvienādojumu, sauc par koncentrētām vai punktu sistēmām. Tie ir aprakstīti, izmantojot ierobežotu dimensiju fāzes telpu, un tos raksturo ierobežots brīvības pakāpju skaits. To pašu sistēmu dažādos apstākļos var uzskatīt par koncentrētu vai sadalītu. Sadalīto sistēmu matemātiskie modeļi ir daļēji diferenciālvienādojumi, integrālvienādojumi vai parastie aiztures vienādojumi. Sadalītas sistēmas brīvības pakāpju skaits ir bezgalīgs, un, lai noteiktu tās stāvokli, ir nepieciešams bezgalīgs datu skaits. Aniščenko V. S., Dinamiskās sistēmas, Sorosa izglītības žurnāls, 1997, Nr. 11, lpp. 77-84.
12. “Atkarībā no sistēmā S pētāmo procesu rakstura visus modelēšanas veidus var iedalīt deterministiskajā un stohastiskajā, statiskajā un dinamiskajā, diskrētajā, nepārtrauktajā un diskrētajā-nepārtrauktajā. Deterministiskā modelēšana atspoguļo deterministiskos procesus, tas ir, procesus, kuros tiek pieņemts, ka nav nejaušas ietekmes; stohastiskā modelēšana attēlo varbūtības procesus un notikumus. ... Statiskā modelēšana kalpo, lai aprakstītu objekta uzvedību jebkurā brīdī, un dinamiskā modelēšana atspoguļo objekta uzvedību laika gaitā. Diskrētā modelēšana tiek izmantota, lai aprakstītu procesus, kurus pieņem par diskrētiem, respektīvi, nepārtrauktā modelēšana ļauj atspoguļot nepārtrauktus procesus sistēmās, un diskrēta-nepārtraukta modelēšana tiek izmantota gadījumiem, kad vēlas izcelt gan diskrētu, gan nepārtrauktu procesu klātbūtni. ” Sovetovs B. Ja., Jakovļevs S. A. ISBN 5-06-003860-2
13. Parasti matemātiskais modelis atspoguļo modelētā objekta struktūru (ierīci), šī objekta komponentu īpašības un attiecības, kas ir būtiskas izpētes mērķiem; šādu modeli sauc par strukturālu. Ja modelis atspoguļo tikai to, kā objekts funkcionē - piemēram, kā tas reaģē uz ārējām ietekmēm -, tad to sauc par funkcionālu jeb pārnestā nozīmē par melno kasti. Ir iespējami arī kombinēti modeļi. Miškis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
14. “Acīmredzamais, bet vissvarīgākais matemātiskā modeļa konstruēšanas vai izvēles sākuma posms ir pēc iespējas skaidrāka priekšstata iegūšana par modelējamo objektu un jēgpilna modeļa pilnveidošana, balstoties uz neformālām diskusijām. Šajā posmā nevajadzētu tērēt laiku un pūles, no tā lielā mērā ir atkarīgi visa pētījuma panākumi. Ne reizi vien ir gadījies, ka nozīmīgs darbs, kas veltīts matemātiskas problēmas risināšanai, izrādījies neefektīvs vai pat izniekots, jo šai lietas pusei netika pievērsta pietiekama uzmanība. Miškis A.D., Matemātisko modeļu teorijas elementi. - 3. izdevums, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 ar ISBN 978-5-484-00953-4, lpp. 35.
15. « Sistēmas konceptuālā modeļa apraksts.Šajā sistēmas modeļa izveides apakšposmā: a) konceptuālais modelis M ir aprakstīts abstraktos terminos un jēdzienos; b) modeļa apraksts sniegts, izmantojot standarta matemātiskās shēmas; c) beidzot tiek pieņemtas hipotēzes un pieņēmumi; d) ir pamatota reālo procesu tuvināšanas procedūras izvēle, veidojot modeli. Sovetovs B. Ja., Jakovļevs S. A., Sistēmu modelēšana: Proc. augstskolām - 3. izd., pārstrādāts. un papildu - M.: Augstāk. skola, 2001. - 343 lpp. ISBN 5-06-003860-2, lpp. 93.
16. Blehmans I. I., Miškis A. D., Panovko N. G., Lietišķā matemātika: Priekšmets, loģika, pieeju iezīmes. Ar piemēriem no mehānikas: Apmācība. - 3. izdevums, rev. un papildu - M.: URSS, 2006. - 376 lpp. ISBN 5-484-00163-3, 2. nodaļa.

Matemātisko modeļu veidi

Atkarībā no tā, kādiem līdzekļiem, kādos apstākļos un saistībā ar kādiem izziņas objektiem tiek realizēta modeļu spēja atspoguļot realitāti, rodas to lielā daudzveidība un līdz ar to klasifikācijas. Vispārinot esošās klasifikācijas, pēc izmantotā matemātiskā aparāta noteiksim pamatmodeļus, uz kuru pamata tiek izstrādāti speciālie modeļi (8.1. attēls).

8.1. attēls - Modeļu formālā klasifikācija

Matemātiskie modeļi attēlo pētāmos objektus (procesus, sistēmas) izteiktu funkcionālu attiecību veidā: algebriskās vienādības un nevienādības, integrālis un diferenciālis, galīgās starpības un citi. matemātiskās izteiksmes(gadījuma lieluma sadalījuma likums, regresijas modeļi u.c.), kā arī matemātiskās loģikas sakarības.

Atkarībā no diviem pamatiezīmes konstruējot matemātisko modeli - cēloņu un seku attiecību un to izmaiņu apraksta veidu laika gaitā - izšķir deterministisko un stohastisko, statisko un dinamisko modeļus (8.2. attēls).

Attēlā parādītās diagrammas mērķis ir parādīt šādas funkcijas:

1) matemātiskie modeļi var būt gan deterministiski, gan stohastiski;

2) deterministiskie un stohastiskie modeļi var būt gan statiski, gan dinamiski.

Matemātisko modeli sauc deterministisks (deterministisks), ja visi tā parametri un mainīgie ir unikāli noteikti lielumi un ir izpildīts arī informācijas pilnīgas noteiktības nosacījums. Pretējā gadījumā informācijas nenoteiktības apstākļos, kad modeļa parametri un mainīgie ir gadījuma lielumi, modelis tiek saukts stohastisks (iespējams).

8.2. attēls – Matemātisko modeļu klases

Modeli sauc dinamisks, ja laika periodos mainās vismaz viens mainīgais, un statisks, ja tiek pieņemta hipotēze, ka mainīgie lielumi laika periodos nemainās.

Vienkāršākajā gadījumā līdzsvara modeļi akts ​​bilances vienādojuma veidā, kur kreisajā pusē ir jebkuru ieņēmumu summa, bet labajā pusē ir izdevumu daļa, arī summas veidā. Piemēram, šādi tiek pasniegts organizācijas gada budžets.

Balstoties uz statistikas datiem, var izveidot ne tikai bilances modeļus, bet arī korelācijas un regresijas modeļus.

Ja funkcija Y ir atkarīga ne tikai no mainīgajiem x 1, x 2, ... x n, bet arī no citiem faktoriem, saikne starp Y un x 1, x 2, ... x n ir neprecīza vai korelatīva, atšķirībā no precīzs vai funkcionāls savienojums. Korelācija, piemēram, vairumā gadījumu ir novērotās sakarības starp OPS izejas parametriem un tās iekšējās un ārējā vide(skat. 5. tēmu).

Korelācijas-regresijas modeļi tiek iegūti, pētot visa faktoru kompleksa ietekmi uz noteikta raksturlieluma vērtību, izmantojot statistikas aparātu. Šajā gadījumā uzdevums ir ne tikai noteikt korelācijas sakarību, bet arī analītiski izteikt šīs attiecības, tas ir, izvēlēties vienādojumus, kas apraksta šo korelācijas atkarību (regresijas vienādojums).

Atrast skaitliskā vērtība Regresijas vienādojuma parametriem tiek izmantota mazāko kvadrātu metode. Šīs metodes būtība ir izvēlēties tādu taisni, lai atsevišķu punktu Y ordinātu noviržu kvadrātā summa no tās būtu vismazākā.

Korelācijas-regresijas modeļus bieži izmanto parādību izpētē, ja ir nepieciešams noteikt attiecības starp būtiskiem raksturlielumiem divās vai vairākās sērijās. Šajā gadījumā galvenokārt tiek izmantota formas pāra un daudzkārtēja lineārā regresija

y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b.

Pielietojot mazāko kvadrātu metodi, tiek noteiktas parametru a vai a 1, a 2, ..., a n un b vērtības un pēc tam iegūtā regresijas vienādojuma aproksimācijas precizitāte un nozīme. tiek novērtēti.

Tiek iedalīta īpaša grupa grafiski analītiskie modeļi . Viņi izmanto dažādus grafiskie attēli un tāpēc tiem ir laba redzamība.

Grafu teorija ir viena no diskrētās matemātikas teorijām, kas pēta grafikus, kas tiek saprasti kā punktu un līniju kopums, kas tos savieno. Grafs ir neatkarīgs matemātisks objekts (pirmo reizi ieviesa D. Koenigs). Koku un tīklu modeļi visbiežāk tiek veidoti, pamatojoties uz grafu teoriju.

Koka modelis (koks) ir nevirzīts savienots grafs, kas nesatur cilpas vai ciklus. Šāda modeļa piemērs ir mērķu koks.

Tīkla modeļi ir atraduši plašu pielietojumu darba vadībā. Tīkla modeļi (grafiki) atspoguļo darbu secību un katra darba ilgumu (8.3. attēls).

Attēls 8.3 - Darba ražošanas tīkla modelis

Katra tīkla diagrammas rinda ir darbs. Blakus esošais cipars norāda tā izpildes ilgumu.

Tīkla modeļi ļauj atrast tā saukto kritisko ceļu un laika gaitā optimizēt darba grafiku, ierobežojot citus resursus.

Tīkla modeļi var būt deterministiski vai stohastiski. Pēdējā gadījumā darba ilgumu nosaka nejaušo lielumu sadalījuma likumi.

Optimizācijas modeļi kalpo, lai noteiktu optimālo trajektoriju, lai sistēma sasniegtu savu mērķi, vienlaikus uzliekot noteiktus ierobežojumus tās uzvedības un kustības kontrolei. Šajā gadījumā optimizācijas modeļi apraksta dažāda veida kādas mērķfunkcijas ekstrēma atrašanas problēma (optimizācijas kritērijs).

Identificēt labākais veids Pārvaldības mērķu sasniegšanai ierobežotu resursu - tehnisko, materiālo, darba un finansiālo - operāciju izpētes metodes tiek izmantotas. Tajos ietilpst matemātiskās programmēšanas metodes (lineārā un nelineārā, veselo skaitļu, dinamiskā un stohastiskā programmēšana), analītiskās un varbūtības-statistiskās metodes, tīkla metodes, rindas teorijas metodes, spēļu teorija (konfliktsituāciju teorija) utt.

Optimizācijas modeļus izmanto apjoma un grafiku plānošanai, krājumu vadībai, resursu un darbu sadalei, iekārtu nomaiņai, parametrizēšanai un standartizēšanai, preču piegāžu plūsmu sadalei transporta tīklā un citiem vadības uzdevumiem.

Viens no galvenajiem operāciju pētniecības teorijas sasniegumiem ir vadības modeļu un problēmu risināšanas metožu tipizēšana. Piemēram, transporta problēmas risināšanai atkarībā no tās dimensijas ir izstrādātas standarta metodes - Vogela metode, potenciālā metode, simpleksa metode. Tāpat, risinot krājumu pārvaldības problēmu, atkarībā no tā formulējuma var izmantot analītiskās un varbūtības statistiskās metodes, dinamiskās un stohastiskās programmēšanas metodes.

Pārvaldībā īpaša nozīme tiek piešķirta tīkla plānošanas metodēm. Šīs metodes ļāva atrast jaunu un ļoti ērta valoda sarežģītu daudzpakāpju darbu un projektu aprakstīšanai, modelēšanai un analīzei. Operāciju pētījumos nozīmīga vieta atvēlēta sarežģītu sistēmu vadības pilnveidošanai, izmantojot rindu teorijas metodes (sk. 8.3. nodaļu) un Markova procesu aparātu.

Markova izlases procesu modeļi- diferenciālvienādojumu sistēma, kas apraksta sistēmas darbību vai tās procesus sakārtotu stāvokļu kopas veidā pa noteiktu sistēmas uzvedības trajektoriju. Šī modeļu klase tiek plaši izmantota sarežģītu sistēmu funkcionēšanas matemātiskajā modelēšanā.

Spēļu teorijas modeļi kalpo, lai izvēlētos optimālo stratēģiju ierobežotas nejaušas informācijas vai pilnīgas nenoteiktības apstākļos.

Spēle ir reālas konfliktsituācijas matemātisks modelis, kura atrisināšana tiek veikta saskaņā ar noteiktiem noteikumiem un algoritmiem, kas apraksta noteiktu lēmumu pieņēmēja uzvedības stratēģiju nenoteiktības apstākļos.

Ir “spēles ar dabu” un “spēles ar ienaidnieku”. Balstoties uz situāciju, tiek noteiktas metodes un kritēriji lēmumu pieņemšanas novērtēšanai. Tādējādi, “spēlējoties ar dabu”, tiek izmantoti šādi kritēriji: Laplass, maksimins (Valda kritērijs) un minimakss, Hurvics un Savage, kā arī virkne citu algoritmisko noteikumu. “Spēlēs ar pretinieku” lēmumu pieņemšanai tiek izmantotas maksājumu matricas, maximin un minimax kritēriji, kā arī īpašas matemātiskas transformācijas, jo lēmumu pieņēmējs saskaras ar nedraudzīgu pretinieku.

Aplūkotie matemātisko modeļu veidi neaptver visu iespējamo dažādību, bet tikai raksturo atsevišķus tipus atkarībā no pieņemtā klasifikācijas aspekta. V.A.Kardash mēģināja izveidot sistēmu modeļu klasificēšanai pēc četriem detalizācijas aspektiem (8.4. attēls).

A - modeļi bez parametru telpiskās diferenciācijas;

B - modeļi ar parametru telpisko diferenciāciju

8.4. attēls. Modeļu klasifikācija pēc četriem detalizācijas aspektiem

Attīstoties skaitļošanas rīkiem, viena no izplatītākajām lēmumu pieņemšanas metodēm ir biznesa spēle, kas ir skaitlisks eksperiments ar cilvēka aktīvu līdzdalību. Ir simtiem biznesa spēļu. Tos izmanto, lai pētītu virkni problēmu vadībā, ekonomikā, organizācijas teorijā, psiholoģijā, finansēs un tirdzniecībā.