Funkcijas lielākā un mazākā vērtība

Funkcijas lielākā vērtība ir lielākā, mazākā vērtība ir mazākā no visām tās vērtībām.

Funkcijai var būt tikai viena lielākā un tikai viena mazākā vērtība, vai arī tai var nebūt nevienas. Nepārtraukto funkciju lielāko un mazāko vērtību atrašana balstās uz šādām šo funkciju īpašībām:

1) Ja noteiktā intervālā (galīgā vai bezgalīgā) funkcija y=f(x) ir nepārtraukta un tai ir tikai viens galējais un ja tas ir maksimums (minimums), tad tā būs lielākā (mazākā) funkcijas vērtība šajā intervālā.

2) Ja funkcija f(x) ir nepārtraukta kādā intervālā, tad tai noteikti ir lielākais un mazākā vērtība. Šīs vērtības tiek sasniegtas vai nu galējos punktos, kas atrodas segmenta iekšpusē, vai arī šī segmenta robežās.

Lai segmentā atrastu lielākās un mazākās vērtības, ieteicams izmantot šādu shēmu:

1. Atrodiet atvasinājumu.

2. Atrodiet funkcijas kritiskos punktus, kuros =0 vai neeksistē.

3. Atrodiet funkcijas vērtības kritiskajos punktos un segmenta galos un izvēlieties no tiem lielāko f max un mazāko f max.

Risinot lietišķās problēmas, jo īpaši optimizācijas, svarīgas ir funkcijas lielāko un mazāko vērtību (globālā maksimuma un globālā minimuma) atrašana intervālā X. Lai atrisinātu šādas problēmas, ir nepieciešams, pamatojoties uz nosacījumu. , atlasiet neatkarīgu mainīgo un izsakiet pētāmo vērtību, izmantojot šo mainīgo. Pēc tam atrodiet iegūtās funkcijas vēlamo lielāko vai mazāko vērtību. Šajā gadījumā no uzdevuma nosacījumiem nosaka arī neatkarīgā mainīgā izmaiņu intervālu, kas var būt gan galīgs, gan bezgalīgs.

Piemērs. Tvertnei, kurai ir atvērta augšdaļa taisnstūrveida paralēlskaldnis ar kvadrātveida dibenu, iekšpusē jābūt skārdam ar skārdu. Kādiem jābūt tvertnes izmēriem, ja tās tilpums ir 108 litri? ūdens, lai tā alvošanas izmaksas būtu minimālas?

Risinājums. Tvertnes pārklāšanas ar alvu izmaksas būs minimālas, ja noteiktai jaudai tās virsmas laukums ir minimāls. Ar a dm apzīmēsim pamatnes malu, ar b dm – tvertnes augstumu. Tad tā virsmas laukums S ir vienāds ar

UN

Rezultātā iegūtā attiecība nosaka attiecības starp rezervuāra S virsmas laukumu (funkcija) un pamatnes malu a (arguments). Apskatīsim funkciju S ekstrēmumam. Atradīsim pirmo atvasinājumu, pielīdzināsim to nullei un atrisināsim iegūto vienādojumu:

Tādējādi a = 6. (a) > 0, ja a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Piemērs. Atrodiet funkcijas lielāko un mazāko vērtību uz intervālu.

Risinājums: dotā funkcija ir nepārtraukta pa visu skaitļu līniju. Funkcijas atvasinājums

Atvasinājums priekš un priekš . Aprēķināsim funkciju vērtības šādos punktos:

.

Funkcijas vērtības dotā intervāla beigās ir vienādas. Tāpēc funkcijas lielākā vērtība ir vienāda ar at , mazākā funkcijas vērtība ir vienāda ar at .

Pašpārbaudes jautājumi

1. Formulējiet L'Hopital noteikumu formas nenoteiktību atklāšanai. Uzskaitiet dažāda veida nenoteiktības, kuru atrisināšanai var izmantot L'Hopital noteikumu.

2. Formulējiet funkciju palielināšanas un samazināšanās pazīmes.

3. Definējiet funkcijas maksimumu un minimumu.

4. Formulējiet nepieciešamo nosacījumu ekstrēma esamībai.

5. Kādas argumenta vērtības (kurus punktus) sauc par kritiskām? Kā atrast šos punktus?

6. Kādas ir pietiekamas funkcijas ekstrēma esamības pazīmes? Ieskicējiet shēmu funkcijas izpētei ekstrēmā, izmantojot pirmo atvasinājumu.

7. Ieskicējiet shēmu ekstrēmā esošās funkcijas izpētei, izmantojot otro atvasinājumu.

8. Definējiet līknes izliekumu un ieliekumu.

9. Ko sauc par funkcijas grafika lēciena punktu? Norādiet šo punktu atrašanas metodi.

10. Formulējiet vajadzīgās un pietiekamās līknes izliekuma un ieliekuma pazīmes noteiktā segmentā.

11. Definējiet līknes asimptotu. Kā atrast funkcijas grafika vertikālās, horizontālās un slīpās asimptotes?

12.Kontūra vispārējā shēma funkcijas izpēte un tās grafika konstruēšana.

13. Formulējiet noteikumu, kā noteikt funkcijas lielākās un mazākās vērtības noteiktā intervālā.

No praktiskā viedokļa vislielākā interese ir par atvasinājuma izmantošanu, lai atrastu funkcijas lielākās un mazākās vērtības. Ar ko tas ir saistīts? Peļņas maksimizēšana, izmaksu samazināšana, aprīkojuma optimālās slodzes noteikšana... Citiem vārdiem sakot, daudzās dzīves jomās mums ir jāatrisina dažu parametru optimizācijas problēmas. Un tie ir uzdevumi, kā atrast funkcijas lielākās un mazākās vērtības.

Jāatzīmē, ka lielākās un mazākās funkcijas vērtības parasti tiek meklētas noteiktā intervālā X, kas ir vai nu viss funkcijas domēns, vai definīcijas domēna daļa. Pats intervāls X var būt segments, atvērts intervāls , bezgalīgs intervāls.

Šajā rakstā mēs runāsim par lielāko un mazāko vērtību skaidru atrašanu dotā funkcija viens mainīgais y=f(x) .

Lapas navigācija.

Funkcijas lielākā un mazākā vērtība - definīcijas, ilustrācijas.

Īsi apskatīsim galvenās definīcijas.

Funkcijas lielākā vērtība ka jebkuram nevienlīdzība ir patiesa.

Funkcijas mazākā vērtība y=f(x) intervālā X sauc par šādu vērtību ka jebkuram nevienlīdzība ir patiesa.

Šīs definīcijas ir intuitīvas: lielākā (mazākā) funkcijas vērtība ir lielākā (mazākā) pieņemtā vērtība aplūkotajā intervālā pie abscisas.

Stacionāri punkti– šīs ir argumenta vērtības, pie kurām funkcijas atvasinājums kļūst par nulli.

Kāpēc mums ir nepieciešami stacionāri punkti, atrodot lielākās un mazākās vērtības? Atbildi uz šo jautājumu sniedz Fermā teorēma. No šīs teorēmas izriet, ka, ja diferencējamai funkcijai kādā brīdī ir ekstrēmums (lokālais minimums vai lokālais maksimums), tad šis punkts ir stacionārs. Tādējādi funkcija bieži vien iegūst lielāko (mazāko) vērtību intervālā X vienā no šī intervāla stacionārajiem punktiem.

Arī funkcija bieži var iegūt lielākās un mazākās vērtības punktos, kuros šīs funkcijas pirmais atvasinājums nepastāv, un pati funkcija ir definēta.

Uzreiz atbildēsim uz vienu no visbiežāk uzdotajiem jautājumiem par šo tēmu: “Vai vienmēr ir iespējams noteikt funkcijas lielāko (mazāko) vērtību”? Nē ne vienmēr. Dažreiz intervāla X robežas sakrīt ar funkcijas definīcijas apgabala robežām, vai arī intervāls X ir bezgalīgs. Un dažas funkcijas bezgalībā un definīcijas apgabala robežās var iegūt gan bezgalīgi lielas, gan bezgalīgi mazas vērtības. Šajos gadījumos neko nevar teikt par funkcijas lielāko un mazāko vērtību.

Skaidrības labad mēs sniegsim grafisku ilustrāciju. Paskaties bildes un daudz kas kļūs skaidrāks.

Uz segmentu

Pirmajā attēlā funkcija ņem lielākās (max y) un mazākās (min y) vērtības stacionārajos punktos, kas atrodas segmenta iekšpusē [-6;6].

Apsveriet gadījumu, kas parādīts otrajā attēlā. Mainīsim segmentu uz . Šajā piemērā mazākā funkcijas vērtība tiek sasniegta stacionārā punktā, bet lielākā – punktā ar abscisu, kas atbilst labā robeža intervāls.

3. attēlā segmenta [-3;2] robežpunkti ir to punktu abscises, kas atbilst funkcijas lielākajai un mazākajai vērtībai.

Atvērtā intervālā

Ceturtajā attēlā funkcija ņem lielākās (max y) un mazākās (min y) vērtības stacionārajos punktos, kas atrodas atvērtā intervāla iekšpusē (-6; 6).

Intervālā nevar izdarīt secinājumus par lielāko vērtību.

Bezgalībā

Septītajā attēlā parādītajā piemērā funkcija iegūst lielāko vērtību (max y) stacionārā punktā ar abscisu x=1, un mazākā vērtība (min y) tiek sasniegta intervāla labajā malā. Pie mīnus bezgalības funkcijas vērtības asimptotiski tuvojas y=3.

Intervālā funkcija nesasniedz ne mazāko, ne lielāko vērtību. Kad x=2 tuvojas no labās puses, funkciju vērtībām ir tendence mīnus bezgalība (taisne x=2 ir vertikālā asimptote), un, tā kā abscisai ir tendence palielināties ar bezgalību, funkcijas vērtības asimptotiski tuvojas y = 3. Šī piemēra grafisks attēls ir parādīts 8. attēlā.

Algoritms nepārtrauktas funkcijas lielāko un mazāko vērtību atrašanai segmentā.

Uzrakstīsim algoritmu, kas ļauj mums atrast segmenta funkcijas lielākās un mazākās vērtības.

1. Mēs atrodam funkcijas definīcijas domēnu un pārbaudām, vai tajā ir viss segments.
2. Mēs atrodam visus punktus, kuros pirmais atvasinājums neeksistē un kuri ir ietverti segmentā (parasti šādi punkti ir atrodami funkcijās ar argumentu zem moduļa zīmes un jaudas funkcijas ar daļskaitli-racionālo eksponentu). Ja šādu punktu nav, pārejiet pie nākamā punkta.
3. Mēs nosakām visus stacionāros punktus, kas ietilpst segmentā. Lai to izdarītu, mēs to pielīdzinām nullei, atrisinām iegūto vienādojumu un atlasām piemērotas saknes. Ja nav stacionāru punktu vai neviens no tiem neietilpst segmentā, pārejiet uz nākamo punktu.
4. Mēs aprēķinām funkcijas vērtības izvēlētajos stacionārajos punktos (ja tādi ir), punktos, kuros nav pirmā atvasinājuma (ja tāds ir), kā arī pie x=a un x=b.
5. No iegūtajām funkcijas vērtībām mēs izvēlamies lielāko un mazāko - tās būs attiecīgi nepieciešamās lielākās un mazākās funkcijas vērtības.

Analizēsim piemēra risināšanas algoritmu, lai segmentā atrastu lielākās un mazākās funkcijas vērtības.

Piemērs.

Atrodiet funkcijas lielāko un mazāko vērtību

• uz segmenta;
• uz segmenta [-4;-1] .

Risinājums.

Funkcijas definīcijas apgabals ir visa reālo skaitļu kopa, izņemot nulli, tas ir. Abi segmenti ietilpst definīcijas jomā.

Atrodiet funkcijas atvasinājumu attiecībā uz:

Acīmredzot funkcijas atvasinājums pastāv visos segmentu punktos un [-4;-1].

No vienādojuma nosakām stacionārus punktus. Vienīgā reālā sakne ir x=2. Šis stacionārais punkts ietilpst pirmajā segmentā.

Pirmajā gadījumā mēs aprēķinām funkcijas vērtības segmenta galos un stacionārajā punktā, tas ir, x=1, x=2 un x=4:

Tāpēc funkcijas lielākā vērtība tiek sasniegts pie x=1 un mazākās vērtības – pie x=2.

Otrajā gadījumā funkciju vērtības aprēķinām tikai segmenta [-4;-1] galos (jo tajā nav neviena stacionāra punkta):

Dažreiz uzdevumos B15 ir “sliktas” funkcijas, kurām ir grūti atrast atvasinājumu. Iepriekš tas notika tikai pārbaudes parauga laikā, bet tagad šie uzdevumi ir tik izplatīti, ka, gatavojoties īstajam vienotajam valsts eksāmenam, tos vairs nevar ignorēt.

Šajā gadījumā darbojas citi paņēmieni, no kuriem viens ir monotons.

Tiek uzskatīts, ka funkcija f (x) segmentā monotoni palielinās, ja jebkuram šī segmenta punktam x 1 un x 2 ir spēkā:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Tiek uzskatīts, ka funkcija f (x) segmentā monotoni samazinās, ja jebkuram šī segmenta punktam x 1 un x 2 ir spēkā:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

Citiem vārdiem sakot, pieaugošai funkcijai, jo lielāks x, jo lielāks f(x). Samazinošai funkcijai ir taisnība: jo lielāks x, jo lielāks mazāk f(x).

Piemēram, logaritms palielinās monotoni, ja bāze a > 1, un monotoni samazinās, ja 0< a < 1. Не забывайте про область pieņemamām vērtībām logaritms: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Aritmētiskā kvadrātsakne (un ne tikai kvadrātsakne) monotoni palielinās visā definīcijas jomā:

Eksponenciālā funkcija darbojas līdzīgi kā logaritms: tā palielinās, ja a > 1 un samazinās, ja 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, eksponenciālā funkcija definēts visiem skaitļiem, nevis tikai x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Visbeidzot, grādi ar negatīvu eksponentu. Jūs varat tos rakstīt kā daļu. Viņiem ir pārtraukuma punkts, kurā tiek pārtraukta monotonija.

Visas šīs funkcijas nekad nav atrodamas tīrā formā. Tie pievieno polinomus, daļdaļas un citas muļķības, kas apgrūtina atvasinājuma aprēķināšanu. Apskatīsim, kas notiek šajā gadījumā.

Parabolas virsotņu koordinātas

Visbiežāk funkcijas arguments tiek aizstāts ar kvadrātveida trinomāls y = ax 2 + bx + c. Tās grafiks ir standarta parabola, kas mūs interesē:

1. Parabolas zari var virzīties uz augšu (> 0) vai uz leju (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Parabolas virsotne ir kvadrātiskās funkcijas galējais punkts, kurā šī funkcija iegūst savu minimumu (ja > 0) vai maksimumu (a< 0) значение.

Vislielākā interese ir parabolas virsotne, kuras abscisu aprēķina pēc formulas:

Tātad, mēs esam atraduši kvadrātiskās funkcijas galējo punktu. Bet, ja sākotnējā funkcija ir monotona, tai punkts x 0 būs arī galējais punkts. Tātad, formulēsim galveno noteikumu:

Kvadrātiskā trinoma ekstremālie punkti un sarežģīta funkcija, kurā tas ir iekļauts, sakrīt. Tāpēc varat meklēt x 0 kvadrātveida trinomālam un aizmirst par funkciju.

No iepriekš minētā sprieduma paliek neskaidrs, kuru punktu mēs iegūstam: maksimālo vai minimālo. Tomēr uzdevumi ir īpaši izstrādāti, lai tam nebūtu nozīmes. Spriediet paši:

1. Problēmas paziņojumā nav segmenta. Tāpēc nav jāaprēķina f(a) un f(b). Atliek ņemt vērā tikai galējos punktus;
2. Bet tāds punkts ir tikai viens - tā ir parabolas x 0 virsotne, kuras koordinātas tiek aprēķinātas burtiski mutiski un bez atvasinājumiem.

Tādējādi problēmas risināšana ir ievērojami vienkāršota un sastāv tikai no diviem soļiem:

1. Uzrakstiet parabolas vienādojumu y = ax 2 + bx + c un atrodiet tā virsotni, izmantojot formulu: x 0 = −b /2a ;
2. Atrodiet sākotnējās funkcijas vērtību šajā punktā: f (x 0). Ja nav papildu nosacījumu, šī būs atbilde.

No pirmā acu uzmetiena šis algoritms un tā pamatojums var šķist sarežģīts. Es apzināti nepublicēju “pliku” risinājuma diagrammu, jo šādu noteikumu nepārdomāta piemērošana ir pilna ar kļūdām.

Apskatīsim reālās problēmas no izmēģinājuma vienotais valsts eksāmens matemātikā - šeit šī tehnika ir sastopama visbiežāk. Tajā pašā laikā mēs parūpēsimies, lai šādā veidā daudzas B15 problēmas kļūtu gandrīz mutiskas.

Zem saknes stāv kvadrātiskā funkcija y = x 2 + 6x + 13. Šīs funkcijas grafiks ir parabola ar zariem uz augšu, jo koeficients a = 1 > 0.

Parabolas virsotne:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Tā kā parabolas zari ir vērsti uz augšu, tad punktā x 0 = −3 funkcija y = x 2 + 6x + 13 iegūst minimālo vērtību.

Sakne palielinās monotoni, kas nozīmē, ka x 0 ir visas funkcijas minimālais punkts. Mums ir:

Uzdevums. Atrodiet funkcijas mazāko vērtību:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Zem logaritma atkal ir kvadrātfunkcija: y = x 2 + 2x + 9. Grafs ir parabola ar zariem uz augšu, jo a = 1 > 0.

Parabolas virsotne:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

Tātad punktā x 0 = −1 kvadrātiskā funkcija iegūst minimālo vērtību. Bet funkcija y = log 2 x ir monotona, tāpēc:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Eksponents satur kvadrātfunkciju y = 1 − 4x − x 2 . Pārrakstīsim to normālā formā: y = −x 2 − 4x + 1.

Acīmredzot šīs funkcijas grafiks ir parabola, kas sazarojas uz leju (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Sākotnējā funkcija ir eksponenciāla, tā ir monotona, tāpēc lielākā vērtība būs atrastajā punktā x 0 = −2:

Uzmanīgs lasītājs, iespējams, pamanīs, ka mēs neesam izrakstījuši saknes un logaritma pieļaujamo vērtību diapazonu. Bet tas nebija vajadzīgs: iekšpusē ir funkcijas, kuru vērtības vienmēr ir pozitīvas.

Secinājumi no funkcijas domēna

Dažreiz, lai atrisinātu uzdevumu B15, nepietiek tikai ar parabolas virsotnes atrašanu. Vērtība, ko meklējat, var būt meli segmenta beigās, un nepavisam ne galējā punktā. Ja problēma vispār nenorāda uz segmentu, skatiet pieļaujamo vērtību diapazons oriģinālā funkcija. Proti:

Lūdzu, ņemiet vērā vēlreiz: nulle var būt zem saknes, bet nekad nav logaritmā vai daļskaitļa saucējā. Apskatīsim, kā tas darbojas, izmantojot konkrētus piemērus:

Uzdevums. Atrodiet funkcijas lielāko vērtību:

Zem saknes atkal ir kvadrātfunkcija: y = 3 − 2x − x 2 . Tās grafiks ir parabola, bet sazarojas uz leju, jo a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Kvadrātsakne negatīvs skaitlis neeksistē.

Mēs izrakstām pieļaujamo vērtību diapazonu (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Tagad atradīsim parabolas virsotni:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Punkts x 0 = −1 pieder ODZ segmentam - un tas ir labi. Tagad mēs aprēķinām funkcijas vērtību punktā x 0, kā arī ODZ galos:

y(−3) = y(1) = 0

Tātad, mēs saņēmām skaitļus 2 un 0. Mums tiek lūgts atrast lielāko - tas ir skaitlis 2.

Uzdevums. Atrodiet funkcijas mazāko vērtību:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Logaritma iekšpusē ir kvadrātfunkcija y = 6x − x 2 − 5. Tā ir parabola ar zariem uz leju, bet logaritmā tā nevar būt negatīvi skaitļi, tāpēc mēs izrakstām ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Lūdzu, ņemiet vērā: nevienlīdzība ir stingra, tāpēc gali nepieder ODZ. Tas atšķir logaritmu no saknes, kur segmenta gali mums piestāv diezgan labi.

Mēs meklējam parabolas virsotni:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Parabolas virsotne atbilst ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Bet, tā kā segmenta gali mūs neinteresē, funkcijas vērtību aprēķinām tikai punktā x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 - 3 2 - 5) = log 0,5 (18 - 9 - 5) = log 0,5 4 = -2

Sīka un skaista vienkāršs uzdevums no to kategorijas, kas kalpo kā glābšanas līdzeklis peldošam studentam. Dabā ir jūlija vidus, tāpēc ir pienācis laiks iekārtoties ar klēpjdatoru pludmalē. Agri no rīta sāka spēlēt teorijas saules stars, lai drīz vien pievērstos praksei, kas, neskatoties uz deklarēto vieglumu, smiltīs satur stikla lauskas. Šajā sakarā iesaku apzinīgi apsvērt dažus šīs lapas piemērus. Lai atrisinātu praktiskas problēmas, jums ir jāspēj atrast atvasinājumus un saprast raksta materiālu Funkcijas monotonitātes intervāli un ekstrēmas.

Pirmkārt, īsi par galveno. Nodarbībā par funkciju nepārtrauktība Es sniedzu nepārtrauktības definīciju punktā un nepārtrauktību intervālā. Funkcijas parauga darbība segmentā ir formulēta līdzīgi. Funkcija ir nepārtraukta intervālā, ja:

1) tas ir nepārtraukts intervālā ;
2) nepārtraukts punktā pa labi un punktā pa kreisi.

Otrajā rindkopā mēs runājām par t.s vienpusēja nepārtrauktība funkcijas noteiktā punktā. Ir vairākas pieejas tā definēšanai, taču es pieturēšos pie līnijas, kuru sāku iepriekš:

Funkcija ir nepārtraukta punktā pa labi, ja tas ir definēts noteiktā punktā un tā labās puses robeža sakrīt ar funkcijas vērtību noteiktā punktā: . Tas ir nepārtraukts punktā pa kreisi, ja definēts noteiktā punktā un tā kreisās puses robeža vienāds ar vērtībušajā brīdī:

Iedomājieties, ka zaļie punktiņi ir nagi, kuriem piestiprināta maģiska elastīga josla:

Garīgi paņemiet sarkano līniju rokās. Acīmredzot, neatkarīgi no tā, cik tālu mēs stiepjam grafiku uz augšu un uz leju (pa asi), funkcija joprojām paliks ierobežots– augšā žogs, apakšā žogs, un mūsu prece ganās aplokā. Tādējādi uz to ir ierobežota funkcija, kas nepārtraukta intervālā. Matemātiskās analīzes gaitā šis šķietami vienkāršais fakts tiek noteikts un stingri pierādīts. Veierštrāsa pirmā teorēma....Daudzus kaitina, ka matemātikā nogurdinoši tiek pamatoti elementāri apgalvojumi, bet tam ir svarīga nozīme. Pieņemsim, ka kāds frotē viduslaiku iedzīvotājs aiz redzamības robežām debesīs izvilka grafiku, tas tika ievietots. Pirms teleskopa izgudrošanas ierobežotā funkcija kosmosā nemaz nebija acīmredzama! Tiešām, kā jūs zināt, kas mūs sagaida aiz apvāršņa? Galu galā Zeme kādreiz tika uzskatīta par plakanu, tāpēc šodien pat parastai teleportācijai ir nepieciešami pierādījumi =)

Saskaņā ar Veierštrāsa otrā teorēma, nepārtraukts segmentāfunkcija sasniedz savu precīza augšējā robeža un tavs precīza apakšējā mala .

Numuru arī sauc segmenta funkcijas maksimālā vērtība un ir apzīmēti ar , un skaitlis ir funkcijas minimālā vērtība segmentā atzīmēts .

Mūsu gadījumā:

Piezīme : teorētiski ieraksti ir izplatīti .

Aptuveni runājot, lielākā vērtība ir tur, kur visvairāk augstākais punkts grafika, un mazākais ir tur, kur atrodas zemākais punkts.

Svarīgs! Kā jau uzsvērts rakstā par funkcijas galējība, lielākā funkcijas vērtība Un mazākā funkcijas vērtība – NAV TAS PATS, Kas maksimālā funkcija Un minimālā funkcija. Tātad aplūkotajā piemērā skaitlis ir funkcijas minimums, bet ne minimālā vērtība.

Starp citu, kas notiek ārpus segmenta? Jā, pat plūdi aplūkojamās problēmas kontekstā mūs tas nemaz neinteresē. Uzdevums ietver tikai divu skaitļu atrašanu un tas arī viss!

Turklāt risinājums ir tīri analītisks nav nepieciešams taisīt zīmējumu!

Algoritms atrodas uz virsmas un liecina par sevi no iepriekš redzamā attēla:

1) Atrodiet funkcijas vērtības kritiskie punkti, kas pieder šim segmentam.

Saņemiet vēl vienu bonusu: šeit nav jāpārbauda pietiekams ekstremuma nosacījums, jo, kā tikko parādīts, minimālā vai maksimālā klātbūtne vēl negarantē, kāda ir minimālā vai maksimālā vērtība. Demonstrācijas funkcija sasniedz maksimumu, un pēc likteņa gribas tas pats skaitlis ir segmenta lielākā funkcijas vērtība. Bet, protams, šāda sakritība ne vienmēr notiek.

Tātad pirmajā solī ir ātrāk un vienkāršāk aprēķināt funkcijas vērtības segmentam piederošajos kritiskajos punktos, neuztraucoties par to, vai tajos ir ekstrēmas vai nav.

2) Mēs aprēķinām funkcijas vērtības segmenta galos.

3) No 1. un 2. rindkopā atrodamajām funkciju vērtībām atlasiet mazāko un lielāko liels skaitlis, pierakstiet atbildi.

Apsēžamies krastā zilā jūra un sitam ar papēžiem pret seklu ūdeni:

1. piemērs

Atrodiet segmenta funkcijas lielāko un mazāko vērtību

Risinājums:
1) Aprēķināsim funkcijas vērtības kritiskajos punktos, kas pieder šim segmentam:

Aprēķināsim funkcijas vērtību otrajā kritiskajā punktā:

2) Aprēķināsim funkcijas vērtības segmenta galos:

3) Ar eksponentiem un logaritmiem iegūti “Bold” rezultāti, kas būtiski apgrūtina to salīdzināšanu. Šī iemesla dēļ bruņosimies ar kalkulatoru vai Excel un aprēķināsim aptuvenās vērtības, neaizmirstot, ka:

Tagad viss ir skaidrs.

Atbilde:

Daļēji racionāls gadījums neatkarīgam risinājumam:

6. piemērs

Atrodiet segmenta funkcijas maksimālo un minimālo vērtību

Kas ir funkcijas ekstrēms un kāds ir ekstrēma nosacījums?

Funkcijas ekstrēmums ir funkcijas maksimums un minimums.

Priekšnoteikums Funkcijas maksimums un minimums (ekstrēmums) ir šādi: ja funkcijai f(x) ir ekstrēmums punktā x = a, tad šajā punktā atvasinājums ir vai nu nulle, vai bezgalīgs, vai arī neeksistē.

Šis nosacījums ir nepieciešams, bet nepietiekams. Atvasinājums punktā x = a var sasniegt nulli, bezgalību vai nepastāvēt, ja funkcijai šajā punktā nav ekstrēma.

Kāds ir pietiekams nosacījums funkcijas galējībai (maksimums vai minimums)?

Pirmais nosacījums:

Ja pietiekami tuvu punktam x = a atvasinājums f?(x) ir pozitīvs pa kreisi no a un negatīvs pa labi no a, tad punktā x = a funkcijai f(x) ir maksimums

Ja pietiekami tuvu punktam x = a atvasinājums f?(x) ir negatīvs pa kreisi no a un pozitīvs pa labi no a, tad punktā x = a funkcijai f(x) ir minimums ar nosacījumu, ka funkcija f(x) šeit ir nepārtraukta.

Tā vietā funkcijas galam varat izmantot otro pietiekamo nosacījumu:

Pieņemsim, ka punktā x = a pirmais atvasinājums f?(x) pazūd; ja otrais atvasinājums f??(a) ir negatīvs, tad funkcijai f(x) ir maksimums punktā x = a, ja tas ir pozitīvs, tad tai ir minimums.

Kāds ir funkcijas kritiskais punkts un kā to atrast?

Šī ir funkcijas argumenta vērtība, pie kuras funkcijai ir galējība (t.i., maksimums vai minimums). Lai to atrastu, jums ir nepieciešams atrast atvasinājumu funkcija f?(x) un, pielīdzinot to nullei, atrisināt vienādojumu f?(x) = 0. Šī vienādojuma saknes, kā arī tie punkti, kuros šīs funkcijas atvasinājums neeksistē, ir kritiskie punkti, t.i., argumenta vērtības, kurās var būt ekstrēmums. Tos var viegli atpazīt, skatoties atvasinātais grafiks: mūs interesē tās argumenta vērtības, kurās funkcijas grafiks krustojas ar abscisu asi (Ox ass), un tās, kurās grafikā ir pārtraukumi.

Piemēram, atradīsim parabolas ekstremitāte.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funkcijas atvasinājums: y?(x) = 6x + 2

Atrisiniet vienādojumu: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Šajā gadījumā kritiskais punkts ir x0=-1/3. Ar šo argumenta vērtību funkcijai ir ekstremitāte. Viņam atrast, aizstājiet funkcijas izteiksmē atrasto skaitli, nevis “x”:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kā noteikt funkcijas maksimumu un minimumu, t.i. tās lielākās un mazākās vērtības?

Ja atvasinājuma zīme, ejot cauri kritiskajam punktam x0, mainās no “plus” uz “mīnus”, tad x0 ir maksimālais punkts; ja atvasinājuma zīme mainās no mīnusa uz plusu, tad x0 ir minimālais punkts; ja zīme nemainās, tad punktā x0 nav ne maksimuma, ne minimuma.

Aplūkotajam piemēram:

Ņemiet patvaļīgu argumenta vērtību pa kreisi no kritiskais punkts: x = -1

Ja x = -1, atvasinājuma vērtība būs y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (t.i., zīme ir “mīnus”).

Tagad mēs ņemam patvaļīgu argumenta vērtību pa labi no kritiskā punkta: x = 1

Ja x = 1, atvasinājuma vērtība būs y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (t.i., zīme ir “plus”).

Kā redzat, atvasinājums mainīja zīmi no mīnusa uz plusu, ejot cauri kritiskajam punktam. Tas nozīmē, ka pie kritiskās vērtības x0 mums ir minimālais punkts.

Funkcijas lielākā un mazākā vērtība uz intervālu(segmentā) tiek atrasti, izmantojot to pašu procedūru, tikai ņemot vērā to, ka, iespējams, ne visi kritiskie punkti atradīsies norādītajā intervālā. Tie kritiskie punkti, kas atrodas ārpus intervāla, ir jāizslēdz no izskatīšanas. Ja intervālā ir tikai viens kritiskais punkts, tam būs vai nu maksimums, vai minimums. Šajā gadījumā, lai noteiktu funkcijas lielāko un mazāko vērtību, mēs ņemam vērā arī funkcijas vērtības intervāla beigās.

Piemēram, atradīsim funkcijas lielāko un mazāko vērtību

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

ar intervāliem:

Tātad funkcijas atvasinājums ir

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Mēs atrisinām vienādojumu 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Mēs atrodam kritiskos punktus intervālā [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nav iekļauts intervālā)

x = -arccos(0,16667) - 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nav iekļauts intervālā)

Mēs atrodam funkciju vērtības pie argumenta kritiskajām vērtībām:

y(-7,687) = 3cos (-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos (-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Redzams, ka uz intervāla [-9; 9] funkcijai ir vislielākā vērtība pie x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

un mazākais - pie x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Uz intervāla [-6; -3] mums ir tikai viens kritiskais punkts: x = -4,88. Funkcijas vērtība pie x = -4,88 ir vienāda ar y = 5,398.

Atrodiet funkcijas vērtību intervāla beigās:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Uz intervāla [-6; -3] mums ir lielākā funkcijas vērtība

y = 5,398 pie x = -4,88

mazākā vērtība -

y = 1,077 pie x = -3

Kā atrast funkcijas grafika lēciena punktus un noteikt izliektās un ieliektās malas?

Lai atrastu visus taisnes y = f(x) lēciena punktus, jāatrod otrais atvasinājums, jāpielīdzina nullei (atrisina vienādojumu) un jāpārbauda visas tās x vērtības, kurām otrais atvasinājums ir nulle, bezgalīgs vai neeksistē. Ja, ejot cauri kādai no šīm vērtībām, otrais atvasinājums maina zīmi, tad funkcijas grafikā šajā punktā ir locījums. Ja tas nemainās, tad nav nekāda līkuma.

Vienādojuma f saknes? (x) = 0, kā arī iespējamie funkcijas un otrā atvasinājuma pārtraukuma punkti sadala funkcijas definīcijas apgabalu vairākos intervālos. Katra to intervāla izliekumu nosaka otrā atvasinājuma zīme. Ja otrais atvasinājums pētāmā intervāla punktā ir pozitīvs, tad līnija y = f(x) ir ieliekta uz augšu un, ja negatīva, tad uz leju.

Kā atrast divu mainīgo funkcijas galējības?

Lai atrastu funkcijas f(x,y) ekstrēmu, kas ir diferencējama tās specifikācijas jomā, ir nepieciešams:

1) atrodiet kritiskos punktus un šim nolūkam - atrisiniet vienādojumu sistēmu

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) katram kritiskajam punktam P0(a;b) izpētīt, vai atšķirības zīme paliek nemainīga

visiem punktiem (x;y) pietiekami tuvu P0. Ja starpība paliek pozitīva, tad punktā P0 mums ir minimums, ja negatīvs, tad maksimums. Ja starpība nesaglabā savu zīmi, tad punktā P0 nav ekstrēma.

Funkcijas galējības tiek noteiktas līdzīgi vairāk argumenti.