Šis raksts ir detalizētas informācijas apkopojums, kas attiecas uz tēmu par sakņu īpašībām. Ņemot vērā tēmu, mēs sāksim ar īpašībām, izpētīsim visus formulējumus un sniegsim pierādījumus. Lai nostiprinātu tēmu, mēs apsvērsim n-tās pakāpes īpašības.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sakņu īpašības

Mēs runāsim par īpašumiem.

1. Īpašums reizināti skaitļi a Un b, kas tiek attēlots kā vienādība a · b = a · b. To var attēlot faktoru veidā, kas ir pozitīvi vai vienādi ar nulli a 1 , a 2 , … , a k kā a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
2. no koeficienta a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, to var uzrakstīt arī šādā formā a b = a b;
3. Īpašība no skaitļa spēka a ar pāra eksponentu a 2 m = a m jebkuram skaitlim a, piemēram, īpašība no skaitļa kvadrāta a 2 = a.

Jebkurā no uzrādītajiem vienādojumiem var apmainīt daļas pirms un pēc domuzīmes, piemēram, vienādība a · b = a · b tiek pārveidota kā a · b = a · b. Vienlīdzības īpašības bieži izmanto, lai vienkāršotu sarežģītus vienādojumus.

Pirmo īpašību pierādījums ir balstīts uz kvadrātsaknes definīciju un pakāpju īpašībām ar dabiskais rādītājs. Lai attaisnotu trešo īpašību, ir jāatsaucas uz skaitļa moduļa definīciju.

Vispirms jāpierāda kvadrātsaknes a · b = a · b īpašības. Saskaņā ar definīciju ir jāņem vērā, ka a b ir skaitlis, pozitīvs vai vienāds ar nulli, kas būs vienāds ar a b būvniecības laikā kvadrātā. Izteiksmes a · b vērtība ir pozitīva vai vienāda ar nulli kā nenegatīvu skaitļu reizinājums. Reizinātu skaitļu pakāpju īpašība ļauj attēlot vienādību formā (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Pēc kvadrātsaknes definīcijas a 2 = a un b 2 = b, tad a · b = a 2 · b 2 = a · b.

Līdzīgā veidā to var pierādīt no produkta k reizinātāji a 1 , a 2 , … , a k būs vienāds ar produktu kvadrātsaknes no šiem faktoriem. Patiešām, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

No šīs vienādības izriet, ka a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Apskatīsim dažus piemērus, lai pastiprinātu tēmu.

1. piemērs

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 un 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0, 2 (1) .

Jāpierāda koeficienta aritmētiskās kvadrātsaknes īpašība: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Īpašība ļauj uzrakstīt vienādību a: b 2 = a 2: b 2 un a 2: b 2 = a: b, savukārt a: b ir pozitīvs skaitlis vai vienāds ar nulli. Šis izteiciens kļūs par pierādījumu.

Piemēram, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 un 30,121 = 30,121.

Apskatīsim skaitļa kvadrāta kvadrātsaknes īpašību. To var uzrakstīt kā vienādību kā a 2 = a Lai pierādītu šo īpašību, ir nepieciešams detalizēti apsvērt vairākas vienādības a ≥ 0 un plkst a< 0 .

Acīmredzot, ja ≥ 0, vienādība a 2 = a ir patiesa. Plkst a< 0 vienādība a 2 = - a būs patiesa. Patiesībā šajā gadījumā − a > 0 un (− a) 2 = a 2 . Varam secināt, a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Apskatīsim dažus piemērus.

2. piemērs

5 2 = 5 = 5 un - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.

Pierādītā īpašība palīdzēs attaisnot 2 m = a m, kur a- īsts un m –dabiskais skaitlis. Patiešām, varas paaugstināšanas īpašība ļauj mums to aizstāt a 2 m izteiksme (a m) 2, tad a 2 m = (a m) 2 = a m.

3. piemērs

3 8 = 3 4 = 3 4 un (- 8 , 3) ​​14 = - 8, 3 7 = (8 , 3) ​​7 .

N-tās saknes īpašības

Pirmkārt, mums jāapsver n-tās saknes pamatīpašības:

1. Īpašums no skaitļu reizinājuma a Un b, kas ir pozitīvi vai vienādi ar nulli, var tikt izteikti kā vienādība a · b n = a n · b n , šī īpašība ir derīga reizinājumam k cipariem a 1 , a 2 , … , a k kā a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
2. no daļskaitlis ir īpašība a b n = a n b n , kur a ir jebkurš reāls skaitlis, kas ir pozitīvs vai vienāds ar nulli, un b– pozitīvs reālais skaitlis;
3. Jebkuram a un pat rādītāji n = 2 m a 2 · m 2 · m = a ir patiesa, un nepāra n = 2 m - 1 spēkā ir vienādība a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
4. Ieguves no a m n = a n m īpašība, kur a– jebkurš skaitlis, pozitīvs vai vienāds ar nulli, n Un m ir naturāli skaitļi, šo īpašību var attēlot arī formā. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · n k ;
5. Jebkuram nenegatīvam a un patvaļīgam n Un m, kas ir naturāli, varam definēt arī taisnīgo vienādību a m n · m = a n ;
6. Grāda īpašība n no skaitļa spēka a, kas ir pozitīvs vai vienāds ar nulli, pret dabisko jaudu m, definēts ar vienādību a m n = a n m ;
7. Salīdzinājuma īpašība, kurai ir vienādi eksponenti: jebkuriem pozitīviem skaitļiem a Un b tāds, ka a< b , nevienlīdzība a n< b n ;
8. Salīdzinājuma rekvizīti, kuriem zem saknes ir vienādi skaitļi: ja m Un n – naturālie skaitļi, kas m > n, pēc tam plkst 0 < a < 1 nevienādība a m > a n ir patiesa, un kad a > 1 izpildīja m< a n .

Iepriekš dotās vienādības ir spēkā, ja tiek apmainītas daļas pirms un pēc vienādības zīmes. Tos var izmantot arī šajā formā. To bieži izmanto, vienkāršojot vai pārveidojot izteiksmes.

Iepriekš minēto saknes īpašību pierādījums ir balstīts uz definīciju, pakāpes īpašībām un skaitļa moduļa definīciju. Šīs īpašības ir jāpierāda. Bet viss ir kārtībā.

1. Vispirms pierādīsim reizinājuma a · b n = a n · b n n-tās saknes īpašības. Priekš a Un b , kas ir pozitīva vai vienāda ar nulli , arī vērtība a n · b n ir pozitīva vai vienāda ar nulli, jo tā ir nenegatīvu skaitļu reizināšanas rezultāts. Produkta īpašība dabiskajam pakāpēm ļauj uzrakstīt vienādību a n · b n n = a n n · b n n . Pēc saknes definīcijas n-th pakāpe a n n = a un b n n = b , tāpēc a n · b n n = a · b . Rezultātā iegūtā vienlīdzība ir tieši tā, kas bija jāpierāda.

Līdzīgi šo īpašību var pierādīt produktam k reizinātāji: nenegatīviem skaitļiem a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

Šeit ir saknes īpašuma izmantošanas piemēri n produkta jauda: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 un 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. Pierādīsim koeficienta a b n = a n b n saknes īpašību. Plkst a ≥ 0 Un b > 0 nosacījums a n b n ≥ 0 ir izpildīts, un a n b n n = a n n b n n = a b .

Parādīsim piemērus:

4. piemērs

8 27 3 = 8 3 27 3 un 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. Nākamajam solim ir jāpierāda n-tās pakāpes īpašības no skaitļa līdz pakāpei n. Iedomāsimies to kā vienādību a 2 m 2 m = a un a 2 m - 1 2 m - 1 = a jebkuram reālam a un dabiski m. Plkst a ≥ 0 iegūstam a = a un a 2 m = a 2 m, kas pierāda vienādību a 2 m 2 m = a, un vienādība a 2 m - 1 2 m - 1 = a ir acīmredzama. Plkst a< 0 iegūstam attiecīgi a = - a un a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Pēdējā skaitļa transformācija ir derīga atbilstoši jaudas īpašībai. Tas ir tieši tas, kas pierāda, ka vienādība a 2 m 2 m = a un 2 m - 1 2 m - 1 = a būs patiesa, jo tiek uzskatīta nepāra pakāpe - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 jebkuram numuram c , pozitīva vai vienāda ar nulli.

Lai apkopotu saņemto informāciju, apskatīsim vairākus rekvizīta izmantošanas piemērus:

5. piemērs

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 un (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Pierādīsim šādu vienādību a m n = a n m . Lai to izdarītu, ir jāapmaina skaitļi pirms un pēc vienādības zīmes a n · m = a m n . Tas nozīmēs, ka ieraksts ir pareizs. Priekš a, kas ir pozitīvs vai vienāds ar nulli , formas a m n ir skaitlis, kas ir pozitīvs vai vienāds ar nulli. Pievērsīsimies īpašībai paaugstināt spēku par varu un tās definīciju. Ar to palīdzību jūs varat pārveidot vienādības formā a m n n · m = a m n n m = a m m = a. Tas pierāda aplūkojamās saknes saknes īpašību.

Citas īpašības tiek pierādītas līdzīgi. Tiešām, . . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .

Piemēram, 7 3 5 = 7 5 3 un 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.

1. Pierādīsim šādu īpašību a m n · m = a n . Lai to izdarītu, ir jāparāda, ka n ir skaitlis, pozitīvs vai vienāds ar nulli. Paaugstinot līdz jaudai n m ir vienāds ar a m. Ja numurs a ir pozitīvs vai vienāds ar nulli, tad n-th pakāpe no vidus a ir pozitīvs skaitlis vai vienāds ar nulli. Šajā gadījumā a n · m n = a n n m, kas ir jāpierāda.

Lai nostiprinātu iegūtās zināšanas, aplūkosim dažus piemērus.

1. Pierādīsim šādu īpašību – formas a m n = a n m pakāpes saknes īpašību. Ir skaidrs, kad a ≥ 0 pakāpe a n m ir nenegatīvs skaitlis. Turklāt viņa n th jauda ir vienāda ar a m, patiešām, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Tas pierāda aplūkojamā grāda īpašību.

Piemēram, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. Tas ir jāpierāda jebkuriem pozitīviem skaitļiem a un b nosacījums ir izpildīts a< b . Apsveriet nevienlīdzību a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Tāpēc n< b n при a< b .

Piemēram, dosim 12 4< 15 2 3 4 .

1. Apsveriet saknes īpašību n-th grāds. Vispirms ir jāapsver pirmā nevienlīdzības daļa. Plkst m > n Un 0 < a < 1 taisnība a m > a n . Pieņemsim, ka a m ≤ a n. Īpašības ļaus jums vienkāršot izteiksmi līdz a n m · n ≤ a m m · n . Tad, atbilstoši pakāpes īpašībām ar naturālo eksponentu, pastāv nevienādība a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n, tas ir, a n ≤ a m. Iegūtā vērtība plkst m > n Un 0 < a < 1 neatbilst iepriekš norādītajām īpašībām.

Tādā pašā veidā var pierādīt, ka kad m > n Un a > 1 nosacījums a m ir patiess< a n .

Lai nostiprinātu iepriekš minētās īpašības, apsveriet vairākus konkrētus piemērus. Apskatīsim nevienlīdzības, izmantojot konkrētus skaitļus.

6. piemērs

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

2. video apmācība: Sakņu īpašības pakāpei n > 1

Lekcija: Pakāpes n > 1 sakne un tās īpašības

Sakne

Pieņemsim, ka jums ir formas vienādojums:

Šī vienādojuma risinājums ir x 1 = 2 un x 2 = (-2). Abi risinājumi ir piemēroti kā atbilde, jo skaitļi ar vienādiem moduļiem, ja tie tiek palielināti līdz pat pakāpei, dod tādu pašu rezultātu.

Šis bija vienkāršs piemērs, taču ko mēs varam darīt, ja, piemēram,

Mēģināsim attēlot funkcijas grafiku y=x 2 . Tās grafiks ir parabola:

Grafikā jāatrod punkti, kas atbilst vērtībai y = 3. Šie punkti ir:

Tas nozīmē, ka šo vērtību nevar saukt par veselu skaitli, bet to var attēlot kā kvadrātsakni.

Jebkura sakne ir neracionāls skaitlis. Iracionālie skaitļi ietver saknes un neperiodiskas bezgalīgas daļas.

Kvadrātsakne- tas ir nenegatīvs skaitlis “a”, kura radikālā izteiksme ir vienāda ar doto skaitli “a” kvadrātā.

Piemēram,

Tas ir, rezultātā mēs iegūsim tikai pozitīvu vērtību. Tomēr kā risinājums kvadrātvienādojums laipns

Risinājums ir x 1 = 4, x 2 = (-4).

Kvadrātsaknes īpašības

1. Neatkarīgi no x vērtības šī izteiksme ir patiesa jebkurā gadījumā:

2. Skaitļu, kas satur kvadrātsaknes, salīdzināšana. Lai salīdzinātu šos skaitļus, zem saknes zīmes jāievada gan viens, gan otrais cipars. Skaitlis būs lielāks, kura radikālā izteiksme ir lielāka.

Ievadiet skaitli 2 zem saknes zīmes

Tagad liksim skaitli 4 zem saknes zīmes. Tā rezultātā mēs iegūstam

Un tikai tagad var salīdzināt divas iegūtās izteiksmes:

3. Reizinātāja noņemšana zem saknes.

Ja radikālo izteiksmi var sadalīt divos faktoros, no kuriem vienu var izņemt no saknes zīmes, tad ir jāizmanto šis noteikums.

4. Ir īpašība, kas ir pretēja tam - reizinātāja ieviešana zem saknes. Mēs acīmredzot izmantojām šo īpašumu otrajā īpašumā.

Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu noteikta persona vai saikne ar viņu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
• Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Ja nepieciešams - likumā noteiktajā kārtībā, tiesvedībā, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai lūgumiem no plkst. valdības aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.

Ir dotas jaudas funkcijas pamatīpašības, ieskaitot formulas un sakņu īpašības. Tiek parādīts jaudas funkcijas atvasinājums, integrālis, pakāpju rindas paplašinājums un komplekso skaitļu attēlojums.

Definīcija

Definīcija
Jaudas funkcija ar eksponentu lpp ir funkcija f (x) = xp, kuras vērtība punktā x ir vienāda ar eksponenciālās funkcijas vērtību ar bāzi x punktā p.
Turklāt f (0) = 0 p = 0 par p > 0 .

Eksponenta dabiskajām vērtībām jaudas funkcija ir n skaitļu reizinājums, kas vienāds ar x:
.
Tas ir definēts visiem derīgajiem .

Eksponenta pozitīvām racionālām vērtībām jaudas funkcija ir skaitļa x m pakāpes n sakņu reizinājums:
.
Nepāra m gadījumā tas ir definēts visiem reālajiem x. Pat m jaudas funkcija ir definēta nenegatīvām.

Negatīvām jaudas funkciju nosaka pēc formulas:
.
Tāpēc tas nav definēts punktā.

Eksponenta p neracionālām vērtībām jaudas funkciju nosaka pēc formulas:
,
kur a ir patvaļīgs pozitīvs skaitlis, kas nav vienāds ar vienu: .
Kad , tas ir definēts priekš .
Kad , jaudas funkcija ir definēta .

Nepārtrauktība. Jaudas funkcija ir nepārtraukta savā definīcijas jomā.

Pakāpju funkciju īpašības un formulas, ja x ≥ 0

Šeit mēs apsvērsim jaudas funkcijas īpašības argumenta x nenegatīvajām vērtībām. Kā minēts iepriekš, noteiktām eksponenta p vērtībām jaudas funkcija ir definēta arī x negatīvajām vērtībām. Šajā gadījumā tā īpašības var iegūt no īpašībām , izmantojot pāra vai nepāra. Šie gadījumi ir apspriesti un detalizēti ilustrēti lapā "".

Jaudas funkcijai y = x p ar eksponentu p ir šādas īpašības:
(1.1) noteikti un nepārtraukti filmēšanas laukumā
plkst ,
pie ;
(1.2) ir daudz nozīmju
plkst ,
pie ;
(1.3) stingri palielinās ar ,
stingri samazinās kā ;
(1.4) pie ;
pie ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Rekvizītu apliecinājums ir sniegts lapā “Jaudas funkcija (nepārtrauktības un īpašību pierādījums)”

Saknes - definīcija, formulas, īpašības

Definīcija
Skaitļa x sakne ar pakāpi n ir skaitlis, kuru, palielinot līdz pakāpei n, iegūst x:
.
Šeit n = 2, 3, 4, ... - naturāls skaitlis, kas lielāks par vienu.

Varat arī teikt, ka skaitļa x sakne ar pakāpi n ir vienādojuma sakne (t.i., atrisinājums).
.
Ņemiet vērā, ka funkcija ir apgriezta funkcijai.

Kvadrātsakne no x ir 2. pakāpes sakne: .

Kuba sakne no x ir 3. pakāpes sakne: .

Vienmērīgs grāds

Pāra pakāpēm n = 2 m, sakne ir definēta x ≥ 0 . Bieži lietotā formula ir derīga gan pozitīvam, gan negatīvam x:
.
Kvadrātsaknei:
.

Šeit svarīga ir operāciju veikšanas secība - tas ir, vispirms tiek izpildīts kvadrāts, kā rezultātā tiek iegūts nenegatīvs skaitlis, un tad no tā tiek ņemta sakne (kvadrātsakni var ņemt no nenegatīva skaitļa ). Ja mēs mainītu secību: , tad negatīvam x sakne būtu nedefinēta, un līdz ar to visa izteiksme būtu nedefinēta.

Nepāra pakāpe

Nepāra pakāpēm sakne ir definēta visiem x:
;
.

Sakņu īpašības un formulas

X sakne ir jaudas funkcija:
.
Kad x ≥ 0 tiek piemērotas šādas formulas:
;
;
, ;
.

Šīs formulas var izmantot arī mainīgo lielumu negatīvajām vērtībām. Jums tikai jāpārliecinās, ka vienmērīgu spēku radikālā izpausme nav negatīva.

Privātās vērtības

0 sakne ir 0: .
1. sakne ir vienāda ar 1: .
Kvadrātsakne no 0 ir 0: .
Kvadrātsakne no 1 ir 1: .

Piemērs. Sakņu sakne

Apskatīsim sakņu kvadrātsaknes piemēru:
.
Pārveidosim iekšējo kvadrātsakni, izmantojot iepriekš minētās formulas:
.
Tagad pārveidosim sākotnējo sakni:
.
Tātad,
.

y = x p dažādām eksponenta p vērtībām.

Šeit ir funkcijas grafiki argumenta x nenegatīvajām vērtībām. Jaudas funkcijas grafiki, kas definēti x negatīvajām vērtībām, ir sniegti lapā "Jaudas funkcija, tās īpašības un grafiki"

Apgrieztā funkcija

Jaudas funkcijas apgrieztā vērtība ar eksponentu p ir pakāpes funkcija ar eksponentu 1/p.

Ja tad.

Jaudas funkcijas atvasinājums

N-tās kārtas atvasinājums:
;

Formulu atvasināšana >>>

Jaudas funkcijas integrāls

P ≠ - 1 ;
.

Jaudas sērijas paplašināšana

plkst - 1 < x < 1 notiek šāda sadalīšanās:

Izteiksmes, izmantojot kompleksos skaitļus

Apsveriet kompleksā mainīgā z funkciju:
f (z) = z t.
Izteiksim komplekso mainīgo z ar moduli r un argumentu φ (r = |z|):
z = r e i φ .
Mēs attēlojam komplekso skaitli t reālu un iedomātu daļu veidā:
t = p + i q .
Mums ir:

Tālāk mēs ņemam vērā, ka arguments φ nav unikāli definēts:
,

Apskatīsim gadījumu, kad q = 0 , tas ir, eksponents ir reāls skaitlis, t = p. Tad
.

Ja p ir vesels skaitlis, tad kp ir vesels skaitlis. Pēc tam trigonometrisko funkciju periodiskuma dēļ:
.
Tas ir eksponenciālā funkcija veselam eksponentam dotajam z ir tikai viena vērtība, un tāpēc tas ir nepārprotams.

Ja p ir iracionāls, tad reizinājumi kp jebkuram k nerada veselu skaitli. Tā kā k iet cauri bezgalīgai vērtību sērijai k = 0, 1, 2, 3, ..., tad funkcijai z p ir bezgalīgi daudz vērtību. Ikreiz, kad arguments z tiek palielināts 2π(viens pagrieziens), mēs pārejam uz jaunu funkcijas atzaru.

Ja p ir racionāls, tad to var attēlot šādi:
, Kur m, n- veseli, nesaturoši kopīgie dalītāji. Tad
.
Pirmās n vērtības, kur k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, dod n dažādas nozīmes kp:
.
Tomēr nākamās vērtības dod vērtības, kas atšķiras no iepriekšējām par veselu skaitli. Piemēram, kad k = k 0+n mums ir:
.
Trigonometriskās funkcijas, kuru argumenti atšķiras ar vērtībām, kas ir daudzkārtējas 2π, ir vienādām vērtībām. Tāpēc, vēl vairāk palielinot k, mēs iegūstam tādas pašas z p vērtības kā k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Tādējādi eksponenciāla funkcija ar racionālu eksponentu ir daudzvērtīga, un tai ir n vērtības (zari). Ikreiz, kad arguments z tiek palielināts 2π(viens pagrieziens), mēs pārejam uz jaunu funkcijas atzaru. Pēc n šādiem apgriezieniem mēs atgriežamies pie pirmā atzara, no kuras sākās atpakaļskaitīšana.

Jo īpaši n pakāpes saknei ir n vērtības. Kā piemēru ņemiet vērā reāla pozitīva skaitļa n-to sakni z = x. Šajā gadījumā φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
Tātad kvadrātsaknei n = 2 ,
.
Pat k, (- 1 ) k = 1. nepāra k, (- 1 ) k = - 1.
Tas ir, kvadrātsaknei ir divas nozīmes: + un -.

Atsauces:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un koledžas studentiem, “Lan”, 2009.

Nodarbība un prezentācija par tēmu: "N-tās saknes īpašības. Teorēmas"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, vēlmes! Visi materiāli ir pārbaudīti ar pretvīrusu programmu.

Mācību līdzekļi un simulatori Interneta veikalā Integral 11. klasei
Interaktīva rokasgrāmata 9.–11. klasei "Trigonometrija"
Interaktīva rokasgrāmata 10.–11. klasei "Logaritmi"

N-tās saknes īpašības. Teorēmas

Puiši, mēs turpinām pētīt reāla skaitļa n-tās saknes. Tāpat kā gandrīz visiem matemātiskajiem objektiem, n-tās pakāpes saknēm ir noteiktas īpašības, šodien mēs tās pētīsim.
Visas īpašības, kuras mēs apsvērsim, ir formulētas un pārbaudītas tikai to mainīgo lielumu nenegatīvām vērtībām, kas atrodas zem saknes zīmes.
Nepāra saknes eksponenta gadījumā tos veic arī negatīviem mainīgajiem.

Teorēma 1. Divu nenegatīvu skaitļu reizinājuma n-tā sakne ir vienāda ar šo skaitļu n-tās saknes reizinājumu: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n](b)$ .

Pierādīsim teorēmu.
Pierādījums. Puiši, lai pierādītu teorēmu, ieviesīsim jaunus mainīgos, apzīmēsim tos:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Mums jāpierāda, ka $x=y*z$.
Ņemiet vērā, ka ir spēkā arī šādas identitātes:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Tad spēkā ir šāda identitāte: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Divu nenegatīvu skaitļu un to eksponentu pakāpes ir vienādas, tad pašu pakāpju bāzes ir vienādas. Tas nozīmē $x=y*z$, kas bija jāpierāda.

2. teorēma. Ja $a≥0$, $b>0$ un n ir naturāls skaitlis, kas lielāks par 1, tad spēkā ir šāda vienādība: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.

Tas ir, koeficienta n-tā sakne ir vienāda ar n-tās saknes koeficientu.

Pierādījums.
Lai to pierādītu, mēs izmantosim vienkāršotu diagrammu tabulas veidā:

N-tās saknes aprēķināšanas piemēri

Piemērs.
Aprēķināt: $\sqrt(16*81*256)$.
Risinājums. Izmantosim 1. teorēmu: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.

Piemērs.
Aprēķināt: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Risinājums. Iedomāsimies radikālo izteiksmi kā nepareizu daļskaitli: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Izmantosim 2. teorēmu: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.

Piemērs.
Aprēķināt:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Risinājums:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

3. teorēma. Ja $a≥0$, k un n ir naturāli skaitļi, kas lielāki par 1, tad spēkā ir vienādība: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

Lai paceltu sakni līdz dabiskajam spēkam, pietiek ar radikālo izpausmi pacelt līdz šim spēkam.

Pierādījums.
apsvērsim īpašs gadījums par $k=3$. Izmantosim 1. teorēmu.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
To pašu var pierādīt jebkurā citā gadījumā. Puiši, pierādiet paši gadījumam, kad $k=4$ un $k=6$.

4. teorēma. Ja $a≥0$ b n,k ir naturāli skaitļi, kas lielāki par 1, tad spēkā ir vienādība: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

Lai iegūtu sakni no saknes, pietiek ar sakņu rādītāju reizināšanu.

Pierādījums.
Pierādīsim to vēlreiz īsi, izmantojot tabulu. Lai to pierādītu, mēs izmantosim vienkāršotu diagrammu tabulas veidā:

Piemērs.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

5. teorēma. Ja saknes un radikālas izteiksmes eksponentus reizina ar vienu un to pašu naturālo skaitli, tad saknes vērtība nemainīsies: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a)$ .

Pierādījums.
Mūsu teorēmas pierādīšanas princips ir tāds pats kā citos piemēros. Ieviesīsim jaunus mainīgos:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (pēc definīcijas).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (pēc definīcijas).
Pacelsim pēdējo vienādību līdz jaudai p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Ieguva:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Tas ir, $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, kas bija jāpierāda.

Piemēri:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (dalot rādītājus ar 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (rādītājus dalīts ar 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (rādītāji reizināti ar 3).

Piemērs.
Veiciet darbības: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Risinājums.
Sakņu rādītāji ir dažādi skaitļi, tāpēc nevaram izmantot 1. teorēmu, bet, pielietojot 5. teorēmu, varam iegūt vienādus rādītājus.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (rādītāji reizināti ar 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (rādītāji reizināti ar 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

Problēmas, kas jārisina patstāvīgi

1. Aprēķiniet: $\sqrt(32*243*1024)$.
2. Aprēķināt: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Aprēķiniet:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Vienkāršojiet:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Veiciet darbības: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.