Rakstā mēs apsvērsim nevienlīdzību risināšana. Mēs jums skaidri pateiksim par kā konstruēt nevienlīdzības risinājumu, ar skaidriem piemēriem!

Pirms aplūkojam nevienlīdzību risināšanu, izmantojot piemērus, sapratīsim pamatjēdzienus.

Vispārīga informācija par nevienlīdzību

Nevienlīdzība ir izteiksme, kurā funkcijas ir savienotas ar relāciju zīmēm >, . Nevienlīdzība var būt gan skaitliska, gan burtiska.
Nevienādības ar divām koeficienta zīmēm sauc par dubultām, ar trīs - trīskāršām utt. Piemēram:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Nevienādības, kas satur zīmi > vai vai - nav stingras.
Nevienlīdzības atrisināšana ir jebkura mainīgā vērtība, kurai šī nevienādība būs patiesa.
"Atrisiniet nevienlīdzību" nozīmē, ka mums ir jāatrod visu tā risinājumu kopa. Ir dažādi nevienādību risināšanas metodes. Priekš nevienlīdzības risinājumi Viņi izmanto skaitļu līniju, kas ir bezgalīga. Piemēram, nevienlīdzības risinājums x > 3 ir intervāls no 3 līdz +, un skaitlis 3 nav iekļauts šajā intervālā, tāpēc punkts uz līnijas tiek apzīmēts ar tukšu apli, jo nevienlīdzība ir stingra.
+
Atbilde būs: x (3; +).
Vērtība x=3 nav iekļauta risinājumu kopā, tāpēc iekavas ir apaļas. Bezgalības zīme vienmēr tiek izcelta ar iekavām. Zīme nozīmē "piederēt".
Apskatīsim, kā atrisināt nevienlīdzības, izmantojot citu piemēru ar zīmi:
x 2
-+
Vērtība x=2 ir iekļauta risinājumu kopā, tāpēc iekava ir kvadrātveida un punkts uz līnijas ir norādīts ar aizpildītu apli.
Atbilde būs: x. Nākamajā piemērā tiek izmantota šāda iekava.

Pierakstīsim atbildi: x ≥ -0,5 ar intervāliem:

x ∈ [-0,5; +∞)

Lasa: x pieder intervālam no mīnus 0,5, ieskaitot, līdz plus bezgalībai.

Bezgalību nekad nevar ieslēgt. Tas nav cipars, tas ir simbols. Tāpēc šādos apzīmējumos bezgalība vienmēr atrodas blakus iekavām.

Šis ierakstīšanas veids ir ērts sarežģītām atbildēm, kas sastāv no vairākām atstarpēm. Bet – tikai galīgām atbildēm. Starprezultātos, kur gaidāms tālāks risinājums, labāk izmantot parasto formu vienkāršas nevienādības veidā. Mēs to aplūkosim attiecīgajās tēmās.

Populāri uzdevumi ar nevienlīdzību.

Pašas lineārās nevienādības ir vienkāršas. Tāpēc uzdevumi bieži kļūst grūtāki. Tāpēc bija jādomā. Tas, ja neesat pieradis, nav īpaši patīkami.) Bet tas ir noderīgi. Es parādīšu šādu uzdevumu piemērus. Ne jau tev tās jāmācās, tas ir lieki. Un lai nebūtu jābaidās, satiekot šādus piemērus. Padomājiet mazliet - un tas ir vienkārši!)

1. Atrodiet jebkurus divus atrisinājumus nevienādībai 3x - 3< 0

Ja nav īsti skaidrs, ko darīt, atcerieties galveno matemātikas noteikumu:

Ja nezināt, kas jums nepieciešams, dariet to, ko varat!)

X < 1

Un kas? Nekas īpašs. Ko viņi mums jautā? Mums tiek lūgts atrast divus konkrētus skaitļus, kas ir nevienlīdzības risinājums. Tie. atbilstu atbildei. Divas jebkura cipariem. Patiesībā tas ir mulsinoši.) Ir piemēroti pāris 0 un 0,5. Pāris -3 un -8. Šo pāru ir bezgalīgi daudz! Kura atbilde ir pareizā?!

Es atbildu: viss! Jebkurš skaitļu pāris, no kuriem katrs ir mazāks par vienu, būs pareizā atbilde. Uzrakstiet, kuru vēlaties. Ejam tālāk.

2. Atrisiniet nevienlīdzību:

4x-3 ≠ 0

Uzdevumi šajā formā ir reti. Bet kā palīgnevienādības, piemēram, atrodot ODZ vai atrodot funkcijas definīcijas domēnu, tās rodas visu laiku. Šādu lineāro nevienādību var atrisināt kā parastu lineāru vienādojumu. Tikai visur, izņemot zīmi "=" ( vienāds) ielieciet zīmi " ≠ " (nav vienāds). Lūk, kā jūs pieeja atbildei ar nevienlīdzības zīmi:

X ≠ 0,75

Vairāk sarežģīti piemēri, labāk darīt lietas savādāk. Izveidojiet nevienlīdzību no vienlīdzības. Kā šis:

4x-3 = 0

Mierīgi atrisiniet to, kā mācīts, un saņemiet atbildi:

x = 0,75

Galvenais ir pašās beigās, pierakstot galīgo atbildi, neaizmirstiet, ka mēs atradām x, kas dod vienlīdzība. Un mums vajag - nevienlīdzība. Tāpēc mums šis X īsti nav vajadzīgs.) Un mums tas ir jāpieraksta ar pareizo simbolu:

X ≠ 0,75

Šī pieeja rada mazāk kļūdu. Tie, kas vienādojumus atrisina automātiski. Un tiem, kas neatrisina vienādojumus, nevienlīdzības patiesībā neder...) Vēl viens populāra uzdevuma piemērs:

3. Atrodiet nevienādības mazāko veselo skaitļu risinājumu:

3 (x - 1) < 5x + 9

Vispirms mēs vienkārši atrisinām nevienlīdzību. Atveram kronšteinus, pabīdām, atnesam līdzīgus... Iegūstam:

X > - 6

Vai tad tā neizdevās!? Vai sekoji zīmēm!? Un aiz biedru zīmēm, un aiz nevienlīdzības zīmes...

Padomāsim vēlreiz. Mums jāatrod konkrēts skaitlis, kas atbilst gan atbildei, gan nosacījumam "mazākais vesels skaitlis". Ja tas jums neparādās uzreiz, varat vienkārši paņemt jebkuru skaitli un izdomāt to. Divi virs mīnus seši? Noteikti! Vai ir piemērots mazāks numurs? Protams. Piemēram, nulle ir lielāka par -6. Un vēl mazāk? Mums vajag mazāko iespējamo! Mīnus trīs ir vairāk nekā mīnus seši! Jūs jau varat noķert modeli un beigt muļķīgi iet cauri skaitļiem, vai ne?)

Paņemsim skaitli, kas ir tuvāks -6. Piemēram, -5. Atbilde ir izpildīta, -5 > - 6. Vai ir iespējams atrast citu skaitli, kas ir mazāks par -5, bet lielāks par -6? Var, piemēram, -5,5... Stop! Mums stāsta vesels risinājums! Neripo -5,5! Kā ar mīnus seši? Uh-u! Nevienlīdzība ir stingra, mīnus 6 nekādā gadījumā nav mazāks par mīnus 6!

Tāpēc pareizā atbilde ir -5.

Cerams ar vērtību izlasi no vispārējs risinājums viss skaidrs. Vēl viens piemērs:

4. Atrisiniet nevienlīdzību:

7 < 3x+1 < 13

Oho! Šo izteiksmi sauc trīskāršā nevienlīdzība. Stingri sakot, šī ir nevienlīdzības sistēmas saīsināta forma. Bet tādas trīskāršās nevienādības dažos uzdevumos vēl ir jāatrisina... To var atrisināt bez jebkādām sistēmām. Saskaņā ar tiem pašiem identiskiem pārveidojumiem.

Mums ir jāvienkāršo, šī nevienlīdzība jāsamazina līdz tīram X. Bet... Kas kur jāpārvieto?! Šeit ir pienācis laiks atcerēties, ka ir jāpārvietojas pa kreisi un pa labi īsā forma pirmā identitātes transformācija.

A pilna forma izklausās šādi: Jebkuru skaitli vai izteiksmi var pievienot/atņemt abām vienādojuma pusēm (nevienādība).

Šeit ir trīs daļas. Tātad visām trim daļām piemērosim identiskas pārvērtības!

Tātad, tiksim vaļā no nevienlīdzības vidusdaļā esošās. No visas vidusdaļas atņemsim vienu. Lai nevienlīdzība nemainītos, no atlikušajām divām daļām atņemam vienu. Kā šis:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Tas ir labāk, vai ne?) Atliek tikai sadalīt visas trīs daļas trīs:

2 < X < 4

Tas ir viss. Šī ir atbilde. X var būt jebkurš skaitlis no diviem (neieskaitot) līdz četriem (neieskaitot). Arī šī atbilde tiek rakstīta ar intervāliem; šādi ieraksti būs kvadrātvienādībās. Tur tie ir visizplatītākā lieta.

Nodarbības beigās atkārtošu pašu svarīgāko. Panākumi risināšanā lineārās nevienādības ir atkarīgs no spējas pārveidot un vienkāršot lineāros vienādojumus. Ja tajā pašā laikā skatīties uz nevienlīdzības zīmi, nekādu problēmu nebūs. To es tev novēlu. Nav problēmu.)

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)

Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Uzmanību!
Ir papildu
materiāli speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas ir ļoti "ne ļoti..."
Un tiem, kas “ļoti…”)

Kas notika "kvadrātiskā nevienlīdzība"? Nav jautājumu!) Ja ņemat jebkura kvadrātvienādojumu un nomainiet zīmi tajā "=" (vienāds) ar jebkuru nevienlīdzības zīmi ( > ≥ < ≤ ≠ ), iegūstam kvadrātisko nevienādību. Piemēram:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 + 3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Nu tu saproti...)

Ne velti es šeit saistīju vienādojumus un nevienlīdzības. Lieta ir tāda, ka pirmais solis risināšanā jebkura kvadrātiskā nevienlīdzība - Atrisiniet vienādojumu, no kura veidojas šī nevienādība.Šī iemesla dēļ - nespēja izlemt kvadrātvienādojumi automātiski noved pie pilnīgas nevienlīdzības neveiksmes. Vai mājiens ir skaidrs?) Ja kas, apskatiet, kā atrisināt kvadrātvienādojumus. Tur viss ir sīki aprakstīts. Un šajā nodarbībā mēs tiksim galā ar nevienlīdzību.

Risinājumam gatavai nevienlīdzībai ir šāda forma: kreisajā pusē ir kvadrātveida trinomāls cirvis 2 +bx+c, labajā pusē - nulle. Nevienlīdzības zīme var būt pilnīgi jebkas. Pirmie divi piemēri ir šeit jau ir gatavi pieņemt lēmumu. Vēl jāsagatavo trešais piemērs.

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)

Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Teorija:

Risinot nevienlīdzības, tiek izmantoti šādi noteikumi:

1. Jebkuru nevienādības terminu var pārnest no vienas daļas
nevienlīdzība citā ar pretēju zīmi, bet nevienlīdzības zīme nemainās.

2. Abas nevienādības puses var reizināt vai dalīt ar vienu
un tas pats pozitīvais skaitlis, nemainot nevienlīdzības zīmi.

3. Abas nevienādības puses var reizināt vai dalīt ar vienu
un arī negatīvs skaitlis, mainot nevienlīdzības zīmi uz
pretī.

Atrisiniet nevienlīdzību – 8 x + 11< − 3 x − 4
Risinājums.

1. Pārvietosim dzimumlocekli - 3 x V kreisā puse nevienlīdzības un termins 11 - V labā puse nevienādības, tajā pašā laikā mēs mainām zīmes uz pretējām - 3 x un plkst 11 .
Tad mēs saņemam

− 8 x + 3 x< − 4 − 11

– 5x< − 15

2. Sadalīsim abas nevienādības puses – 5x< − 15 uz negatīvu skaitli − 5 , un nevienlīdzības zīme < , mainīsies uz > , t.i. mēs pārejam uz pretējas nozīmes nevienlīdzību.
Mēs iegūstam:

– 5x< − 15 | : (− 5 )

x > – 15 : (– 5 )

x > 3

x > 3— dotās nevienādības risinājums.

Pievērs uzmanību!

Ir divas risinājuma rakstīšanas iespējas: x > 3 vai kā skaitļu intervāls.

Atzīmēsim uz skaitļu līnijas nevienādības atrisinājumu kopu un uzrakstīsim atbildi skaitliskā intervāla formā.

x ∈ (3 ; + ∞ )

Atbilde: x > 3 vai x ∈ (3 ; + ∞ )

Algebriskās nevienādības.

Kvadrātiskās nevienādības. Augstāku pakāpju racionālās nevienlīdzības.

Nevienādību risināšanas metodes galvenokārt ir atkarīgas no tā, kurai klasei pieder funkcijas, kas veido nevienlīdzību.

1. es. Kvadrātiskās nevienādības, tas ir, formas nevienādības

ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Lai atrisinātu nevienlīdzību, varat:

1. Kvadrātveida trīsnoma koeficients, tas ir, ierakstiet nevienādību formā

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

1. Uzzīmējiet polinoma saknes uz skaitļu taisnes. Saknes sadala reālo skaitļu kopu intervālos, no kuriem katrā ir atbilstošs kvadrātiskā funkcija būs pastāvīgas zīmes.
2. Nosakiet a (x - x 1) (x - x 2) zīmi katrā intervālā un pierakstiet atbildi.

Ja kvadrātveida trinomim nav sakņu, tad D<0 и a>0 kvadrātveida trinomāls ir pozitīvs jebkuram x.

• Atrisiniet nevienlīdzību. x 2 + x - 6 > 0.

Kvadrātiskā trīsnoma koeficients (x + 3) (x - 2) > 0

Atbilde: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x - 6) 2 > 0

Šī nevienlīdzība attiecas uz jebkuru x, izņemot x = 6.

Atbilde: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15< 0.

Šeit D< 0, a = 1 >0. Kvadrātveida trinomāls ir pozitīvs visiem x.

Atbilde: x Î Ø.

Atrisiniet nevienādības:

1. 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
2. 3x² - 12x + 12 ≤ 0. Atbilde:
3. 3x² - 7x + 5 ≤ 0. Atbilde:
4. 2x² - 12x + 18 > 0. Atbilde:
5. Par kādām a vērtībām rodas nevienlīdzība

x² — cirvis > atbilst jebkuram x? Atbilde:

1. II. Augstāku pakāpju racionālas nevienlīdzības, tas ir, formas nevienādības

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

Polinoms augstākā pakāpe jāfaktorizē, tas ir, nevienādība jāraksta formā

a n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).

Atzīmējiet punktus uz skaitļu līnijas, kur polinoms pazūd.

Nosakiet polinoma zīmes katrā intervālā.

1) Atrisiniet nevienādību x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x + 6x - 6) =x (x - 1) (x 2 -5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Tātad x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Atbilde: (0; 1) (2; 3).

2) Atrisiniet nevienādību (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.

Atzīmēsim skaitļu ass punktus, kuros polinoms pazūd. Tie ir x = 1, x = -2, x = ½, x = - ½.

Punktā x = - ½ zīme nemainās, jo binomiāls (2x + 1) tiek paaugstināts līdz pat pakāpei, tas ir, izteiksme (2x + 1) 4 nemaina zīmi, ejot caur punktu x = - ½.

Atbilde: (-∞; -2) (½; 1).

3) Atrisiniet nevienādību: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.

Šī nevienlīdzība ir līdzvērtīga šādai kopai

(1) risinājums ir x (-∞; -2) (3; +∞). (2) atrisinājums ir x = 0, x = -2, x = 3. Apvienojot iegūtos risinājumus, iegūstam x О (-∞; -2] (0) (0) )