Podstatou tejto techniky je nájsť korene bez pomoci diskriminantu. Pre rovnicu tvaru x2 + bx + c = 0, kde existujú dva skutočné odlišné korene, platia dve tvrdenia.

Prvý výrok hovorí, že súčet koreňov tejto rovnice sa rovná hodnote koeficientu premennej x (v tomto prípade je to b), ale s opačným znamienkom. Vizuálne to vyzerá takto: x1 + x2 = −b.

Druhý výrok už nesúvisí so súčtom, ale so súčinom tých istých dvoch koreňov. Tento súčin sa rovná voľnému koeficientu, t.j. c. Alebo x1 * x2 = c. Oba tieto príklady sú riešené v systéme.

Vietov teorém značne zjednodušuje riešenie, má však jedno obmedzenie. Kvadratická rovnica, ktorej korene možno nájsť pomocou tejto techniky, sa musí zredukovať. Vo vyššie uvedenej rovnici pre koeficient a sa ten pred x2 rovná jednej. Akákoľvek rovnica môže byť redukovaná do podobného tvaru vydelením výrazu prvým koeficientom, ale táto operácia nie je vždy racionálna.

Dôkaz vety

Na začiatok by sme si mali pripomenúť, ako je podľa tradície zvykom hľadať korene kvadratickej rovnice. Nájdeme prvý a druhý koreň, a to: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Vo všeobecnosti deliteľné 2a, ale ako už bolo spomenuté, vetu možno použiť iba vtedy, keď a=1.

Z Vietovej vety je známe, že súčet koreňov sa rovná druhému koeficientu so znamienkom mínus. To znamená, že x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.

To isté platí pre súčin neznámych koreňov: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. Na druhej strane D = b2-4c (opäť s a=1). Ukazuje sa, že výsledok je: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

Z vyššie uvedeného jednoduchého dôkazu možno vyvodiť len jeden záver: Vietov teorém je úplne potvrdený.

Druhá formulácia a dôkaz

Vietov teorém má iný výklad. Presnejšie povedané, nejde o výklad, ale o formuláciu. Faktom je, že ak sú splnené rovnaké podmienky ako v prvom prípade: existujú dva rôzne skutočné korene, potom sa veta môže zapísať do iného vzorca.

Táto rovnosť vyzerá takto: x2 + bx + c = (x - x1) (x - x2). Ak sa funkcia P(x) pretína v dvoch bodoch x1 a x2, potom ju možno zapísať ako P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). V prípade, že P má druhý stupeň a presne takto vyzerá pôvodný výraz, potom R je prvočíslo, konkrétne 1. Toto tvrdenie je pravdivé z toho dôvodu, že inak nebude platiť rovnosť. Koeficient x2 pri otváraní zátvoriek by nemal byť väčší ako jedna a výraz by mal zostať štvorcový.

Prvá úroveň

Kvadratické rovnice. Komplexný sprievodca (2019)

V termíne "kvadratická rovnica" je kľúčové slovo "kvadratická". To znamená, že rovnica musí nevyhnutne obsahovať premennú (rovnaké X) v štvorci a zároveň by nemali byť X v treťom (alebo väčšom) stupni.

Riešenie mnohých rovníc sa redukuje na riešenie kvadratických rovníc.

Naučme sa určiť, že máme kvadratickú rovnicu a nie nejakú inú.

Príklad 1

Zbavte sa menovateľa a vynásobte každý člen rovnice

Presuňme všetko na ľavú stranu a usporiadajme členy v zostupnom poradí podľa mocniny x

Teraz môžeme s istotou povedať, že táto rovnica je kvadratická!

Príklad 2

Vynásobte ľavú a pravú stranu:

Táto rovnica, hoci v nej pôvodne bola, nie je štvorec!

Príklad 3

Všetko vynásobme:

desivé? Štvrtý a druhý stupeň ... Ak však urobíme náhradu, uvidíme, že máme jednoduchú kvadratickú rovnicu:

Príklad 4

Zdá sa, že áno, ale pozrime sa na to bližšie. Presuňme všetko na ľavú stranu:

Vidíte, zmenšil sa - a teraz je to jednoduchá lineárna rovnica!

Teraz skúste sami určiť, ktoré z nasledujúcich rovníc sú kvadratické a ktoré nie:

Príklady:

Odpovede:

1. námestie;
2. námestie;
3. nie štvorcový;
4. nie štvorcový;
5. nie štvorcový;
6. námestie;
7. nie štvorcový;
8. námestie.

Matematici podmienečne rozdeľujú všetky kvadratické rovnice do nasledujúcich typov:

• Kompletné kvadratické rovnice- rovnice, v ktorých koeficienty a aj voľný člen c sa nerovnajú nule (ako v príklade). Okrem toho medzi úplnými kvadratickými rovnicami sú daný sú rovnice, v ktorých koeficient (rovnica z príkladu 1 je nielen úplná, ale aj redukovaná!)

• Neúplné kvadratické rovnice- rovnice, v ktorých sa koeficient alebo voľný člen c rovnajú nule:

  Sú neúplné, pretože v nich chýba nejaký prvok. Ale rovnica musí vždy obsahovať x na druhú !!! Inak to už nebude kvadratická, ale nejaká iná rovnica.

Prečo prišli s takýmto rozdelením? Zdalo by sa, že existuje X na druhú a v poriadku. Takéto rozdelenie je spôsobené metódami riešenia. Zvážme každú z nich podrobnejšie.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc

Najprv sa zamerajme na riešenie neúplných kvadratických rovníc – sú oveľa jednoduchšie!

Neúplné kvadratické rovnice sú typov:

1. , v tejto rovnici je koeficient rovný.
2. , v tejto rovnici sa voľný člen rovná.
3. , v tejto rovnici sa koeficient a voľný člen rovnajú.

1. i. Keďže vieme odmocninu, vyjadrime sa z tejto rovnice

Výraz môže byť negatívny alebo pozitívny. Druhé číslo nemôže byť záporné, pretože pri vynásobení dvoch záporných alebo dvoch kladných čísel bude výsledkom vždy kladné číslo, takže: ak, potom rovnica nemá riešenia.

A ak, potom dostaneme dva korene. Tieto vzorce sa netreba učiť naspamäť. Hlavná vec je, že by ste mali vždy vedieť a pamätať si, že to nemôže byť menej.

Skúsme vyriešiť niekoľko príkladov.

Príklad 5:

Vyriešte rovnicu

Teraz zostáva extrahovať koreň z ľavej a pravej časti. Koniec koncov, pamätáte si, ako extrahovať korene?

odpoveď:

Nikdy nezabudnite na korene so záporným znamienkom!!!

Príklad 6:

Vyriešte rovnicu

odpoveď:

Príklad 7:

Vyriešte rovnicu

Oh! Druhá mocnina čísla nemôže byť záporná, čo znamená, že rovnica

žiadne korene!

Pre takéto rovnice, v ktorých nie sú žiadne korene, matematici prišli so špeciálnou ikonou - (prázdna množina). A odpoveď môže byť napísaná takto:

odpoveď:

Táto kvadratická rovnica má teda dva korene. Neexistujú žiadne obmedzenia, pretože sme nevyťažili koreň.
Príklad 8:

Vyriešte rovnicu

Vyberme spoločný faktor zo zátvoriek:

teda

Táto rovnica má dva korene.

odpoveď:

Najjednoduchší typ neúplných kvadratických rovníc (hoci sú všetky jednoduché, však?). Je zrejmé, že táto rovnica má vždy iba jeden koreň:

Tu sa zaobídeme bez príkladov.

Riešenie úplných kvadratických rovníc

Pripomíname, že úplná kvadratická rovnica je rovnica tvaru rovnice kde

Riešenie úplných kvadratických rovníc je trochu zložitejšie (iba trochu) ako tie, ktoré sú uvedené.

zapamätaj si, pomocou diskriminantu je možné vyriešiť akúkoľvek kvadratickú rovnicu! Dokonca neúplné.

Ostatné metódy vám to pomôžu rýchlejšie, ale ak máte problémy s kvadratickými rovnicami, najprv si osvojte riešenie pomocou diskriminantu.

1. Riešenie kvadratických rovníc pomocou diskriminantu.

Riešenie kvadratických rovníc týmto spôsobom je veľmi jednoduché, hlavnou vecou je zapamätať si postupnosť akcií a niekoľko vzorcov.

Ak, potom má rovnica koreň. Osobitná pozornosť by sa mala venovať kroku. Diskriminant () nám udáva počet koreňov rovnice.

• Ak, potom sa vzorec v kroku zredukuje na. Rovnica teda bude mať iba koreň.
• Ak, potom nebudeme môcť extrahovať koreň diskriminantu v kroku. To znamená, že rovnica nemá korene.

Vráťme sa k našim rovniciam a pozrime sa na niekoľko príkladov.

Príklad 9:

Vyriešte rovnicu

Krok 1 preskočiť.

Krok 2

Nájdenie diskriminantu:

Takže rovnica má dva korene.

Krok 3

odpoveď:

Príklad 10:

Vyriešte rovnicu

Rovnica je v štandardnom tvare, takže Krok 1 preskočiť.

Krok 2

Nájdenie diskriminantu:

Takže rovnica má jeden koreň.

odpoveď:

Príklad 11:

Vyriešte rovnicu

Rovnica je v štandardnom tvare, takže Krok 1 preskočiť.

Krok 2

Nájdenie diskriminantu:

To znamená, že nebudeme môcť extrahovať koreň z diskriminantu. Neexistujú žiadne korene rovnice.

Teraz už vieme, ako si takéto odpovede správne zapísať.

odpoveď:žiadne korene

2. Riešenie kvadratických rovníc pomocou Vietovej vety.

Ak si pamätáte, potom existuje taký typ rovníc, ktoré sa nazývajú redukované (keď sa koeficient a rovná):

Takéto rovnice sa dajú veľmi ľahko vyriešiť pomocou Vietovej vety:

Súčet koreňov daný kvadratická rovnica sa rovná a súčin koreňov sa rovná.

Príklad 12:

Vyriešte rovnicu

Táto rovnica je vhodná na riešenie pomocou Vietovej vety, pretože .

Súčet koreňov rovnice je, t.j. dostaneme prvú rovnicu:

A produkt je:

Poďme vytvoriť a vyriešiť systém:

• A. Suma je;
• A. Suma je;
• A. Suma je rovnaká.

a sú riešením systému:

odpoveď: ; .

Príklad 13:

Vyriešte rovnicu

odpoveď:

Príklad 14:

Vyriešte rovnicu

Rovnica je redukovaná, čo znamená:

odpoveď:

KVADRATICKÉ ROVNICE. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

Čo je to kvadratická rovnica?

Inými slovami, kvadratická rovnica je rovnica tvaru, kde navyše - neznáme, - nejaké čísla.

Číslo sa nazýva najvyššie resp prvý koeficient kvadratická rovnica, - druhý koeficient, A - voľný člen.

prečo? Pretože ak, rovnica sa okamžite stane lineárnou, pretože zmizne.

V tomto prípade a môže byť rovný nule. V tejto stolici sa rovnica nazýva neúplná. Ak sú všetky pojmy na mieste, to znamená, že rovnica je úplná.

Riešenie rôznych typov kvadratických rovníc

Metódy riešenia neúplných kvadratických rovníc:

Na začiatok si rozoberieme metódy riešenia neúplných kvadratických rovníc - sú jednoduchšie.

Je možné rozlíšiť nasledujúce typy rovníc:

I. , v tejto rovnici sa koeficient a voľný člen rovnajú.

II. , v tejto rovnici je koeficient rovný.

III. , v tejto rovnici sa voľný člen rovná.

Teraz zvážte riešenie každého z týchto podtypov.

Je zrejmé, že táto rovnica má vždy iba jeden koreň:

Druhá mocnina nemôže byť záporná, pretože pri vynásobení dvoch záporných alebo dvoch kladných čísel bude výsledkom vždy kladné číslo. Preto:

ak, potom rovnica nemá riešenia;

ak máme dva korene

Tieto vzorce sa netreba učiť naspamäť. Hlavná vec na zapamätanie je, že to nemôže byť menej.

Príklady:

Riešenia:

odpoveď:

Nikdy nezabudnite na korene so záporným znamienkom!

Druhá mocnina čísla nemôže byť záporná, čo znamená, že rovnica

žiadne korene.

Aby sme stručne napísali, že problém nemá riešenia, použijeme ikonu prázdnej sady.

odpoveď:

Takže táto rovnica má dva korene: a.

odpoveď:

Vyberme spoločný faktor zo zátvoriek:

Súčin sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. To znamená, že rovnica má riešenie, keď:

Takže táto kvadratická rovnica má dva korene: a.

Príklad:

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Rozdelíme ľavú stranu rovnice na faktor a nájdeme korene:

odpoveď:

Metódy riešenia úplných kvadratických rovníc:

1. Diskriminačný

Riešenie kvadratických rovníc týmto spôsobom je jednoduché, hlavnou vecou je zapamätať si postupnosť akcií a niekoľko vzorcov. Pamätajte, že každá kvadratická rovnica môže byť vyriešená pomocou diskriminantu! Dokonca neúplné.

Všimli ste si koreň diskriminantu v koreňovom vzorci? Ale diskriminant môže byť negatívny. Čo robiť? Osobitnú pozornosť musíme venovať kroku 2. Diskriminant nám hovorí počet koreňov rovnice.

• Ak, potom rovnica má koreň:
• Ak, potom má rovnica rovnaký koreň, ale v skutočnosti jeden koreň:

  Takéto korene sa nazývajú dvojité korene.

• Ak, potom koreň diskriminantu nie je extrahovaný. To znamená, že rovnica nemá korene.

Prečo existujú rôzne počty koreňov? Vráťme sa ku geometrickému významu kvadratickej rovnice. Grafom funkcie je parabola:

V konkrétnom prípade, ktorým je kvadratická rovnica, . A to znamená, že korene kvadratickej rovnice sú priesečníky s osou x (osou). Parabola nemusí vôbec pretínať os, alebo ju môže pretínať v jednom (keď vrchol paraboly leží na osi) alebo dvoch bodoch.

Okrem toho je koeficient zodpovedný za smer vetiev paraboly. Ak, potom vetvy paraboly smerujú nahor a ak - potom nadol.

Príklady:

Riešenia:

odpoveď:

Odpoveď: .

odpoveď:

To znamená, že neexistujú žiadne riešenia.

Odpoveď: .

2. Vietova veta

Použitie Vietovej vety je veľmi jednoduché: stačí si vybrať pár čísel, ktorých súčin sa rovná voľnému členu rovnice a súčet sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom.

Je dôležité si uvedomiť, že Vietovu vetu je možné aplikovať iba na ňu dané kvadratické rovnice ().

Pozrime sa na niekoľko príkladov:

Príklad č. 1:

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Táto rovnica je vhodná na riešenie pomocou Vietovej vety, pretože . Ostatné koeficienty: ; .

Súčet koreňov rovnice je:

A produkt je:

Vyberme také dvojice čísel, ktorých súčin sa rovná, a skontrolujeme, či sa ich súčet rovná:

• A. Suma je;
• A. Suma je;
• A. Suma je rovnaká.

a sú riešením systému:

Tak, a sú korene našej rovnice.

Odpoveď: ; .

Príklad č. 2:

Riešenie:

Vyberieme také dvojice čísel, ktoré sú v súčine, a potom skontrolujeme, či sa ich súčet rovná:

a: dať celkom.

a: dať celkom. Aby ste to získali, stačí zmeniť znaky údajných koreňov: a koniec koncov aj prácu.

odpoveď:

Príklad č. 3:

Riešenie:

Voľný člen rovnice je záporný, a preto je súčin koreňov záporné číslo. To je možné len vtedy, ak je jeden z koreňov negatívny a druhý pozitívny. Takže súčet koreňov je rozdiely ich modulov.

Vyberáme také dvojice čísel, ktoré dávajú súčin, a ktorých rozdiel sa rovná:

a: ich rozdiel je - nevhodný;

a: - nevhodné;

a: - nevhodné;

a: - vhodné. Zostáva len pamätať na to, že jeden z koreňov je negatívny. Keďže ich súčet sa musí rovnať, potom koreň, ktorý je v absolútnej hodnote menší, musí byť záporný: . Kontrolujeme:

odpoveď:

Príklad č. 4:

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Rovnica je redukovaná, čo znamená:

Voľný termín je záporný, a teda súčin koreňov je záporný. A to je možné len vtedy, keď je jeden koreň rovnice záporný a druhý kladný.

Vyberieme také dvojice čísel, ktorých súčin je rovnaký, a potom určíme, ktoré korene by mali mať záporné znamienko:

Je zrejmé, že iba korene a sú vhodné pre prvý stav:

odpoveď:

Príklad č. 5:

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Rovnica je redukovaná, čo znamená:

Súčet koreňov je záporný, čo znamená, že aspoň jeden z koreňov je záporný. Ale keďže ich produkt je pozitívny, znamená to, že oba korene sú mínusové.

Vyberáme také dvojice čísel, ktorých súčin sa rovná:

Je zrejmé, že korene sú čísla a.

odpoveď:

Súhlasíte, je to veľmi výhodné - vymýšľať korene ústne, namiesto počítania tohto škaredého diskriminátora. Snažte sa používať Vietovu vetu čo najčastejšie.

Ale veta Vieta je potrebná, aby sa uľahčilo a urýchlilo hľadanie koreňov. Aby bolo pre vás jeho používanie rentabilné, musíte akcie automatizovať. A preto vyriešte ďalších päť príkladov. Ale nepodvádzajte: nemôžete použiť diskriminant! Iba Vietov teorém:

Riešenia úloh pre samostatnú prácu:

Úloha 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Podľa Vietovej vety:

Ako obvykle začíname výber produktom:

Nevhodné, pretože množstvo;

: množstvo je to, čo potrebujete.

Odpoveď: ; .

Úloha 2.

A opäť naša obľúbená Vieta veta: súčet by mal vyjsť, ale súčin sa rovná.

Ale keďže by to nemalo byť, ale, meníme znamienka koreňov: a (celkovo).

Odpoveď: ; .

Úloha 3.

Hmm... Kde to je?

Je potrebné preniesť všetky pojmy do jednej časti:

Súčet koreňov sa rovná súčinu.

Áno, prestaň! Rovnica nie je daná. Vietova veta je však použiteľná len v daných rovniciach. Takže najprv musíte priniesť rovnicu. Ak si to neviete predstaviť, zahoďte túto myšlienku a vyriešte ju iným spôsobom (napríklad cez diskriminant). Dovoľte mi pripomenúť, že uviesť kvadratickú rovnicu znamená, že vedúci koeficient bude rovný:

Skvelé. Potom sa súčet koreňov rovná a súčin.

Tu je ľahšie vyzdvihnúť: predsa - prvočíslo (prepáčte za tautológiu).

Odpoveď: ; .

Úloha 4.

Voľný termín je záporný. Čo je na ňom také zvláštne? A skutočnosť, že korene budú rôznych znamení. A teraz, počas výberu, nekontrolujeme súčet koreňov, ale rozdiel medzi ich modulmi: tento rozdiel je rovnaký, ale súčin.

Korene sú teda rovnaké a, ale jeden z nich je s mínusom. Vietova veta nám hovorí, že súčet koreňov sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom, tzn. To znamená, že menší koreň bude mať mínus: a od.

Odpoveď: ; .

Úloha 5.

Čo je potrebné urobiť ako prvé? Správne, uveďte rovnicu:

Opäť: vyberieme faktory čísla a ich rozdiel by sa mal rovnať:

Korene sú rovnaké a, ale jeden z nich je mínus. Ktoré? Ich súčet sa musí rovnať, čo znamená, že s mínusom bude väčší koreň.

Odpoveď: ; .

Zhrniem:

1. Vietova veta je použitá len v daných kvadratických rovniciach.
2. Pomocou Vietovej vety môžete nájsť korene výberom, ústne.
3. Ak rovnica nie je daná alebo sa nenašla vhodná dvojica faktorov voľného člena, potom neexistujú celé korene a musíte to vyriešiť iným spôsobom (napríklad cez diskriminant).

3. Metóda výberu plného štvorca

Ak sú všetky členy obsahujúce neznámu reprezentované ako členy zo vzorcov skráteného násobenia - druhá mocnina súčtu alebo rozdielu - potom po zmene premenných môže byť rovnica reprezentovaná ako neúplná kvadratická rovnica typu.

Napríklad:

Príklad 1:

Vyriešte rovnicu: .

Riešenie:

odpoveď:

Príklad 2:

Vyriešte rovnicu: .

Riešenie:

odpoveď:

Vo všeobecnosti bude transformácia vyzerať takto:

To znamená: .

Nič vám to nepripomína? To je diskriminant! Presne tak bol získaný diskriminačný vzorec.

KVADRATICKÉ ROVNICE. STRUČNE O HLAVNOM

Kvadratická rovnica je rovnica tvaru, kde je neznáma, sú koeficienty kvadratickej rovnice, je voľný člen.

Kompletná kvadratická rovnica- rovnica, v ktorej sa koeficienty nerovnajú nule.

Redukovaná kvadratická rovnica- rovnica, v ktorej je koeficient, teda: .

Neúplná kvadratická rovnica- rovnica, v ktorej sa koeficient alebo voľný člen c rovnajú nule:

• ak koeficient, rovnica má tvar: ,
• ak je voľný člen, rovnica má tvar: ,
• ak a, rovnica má tvar: .

1. Algoritmus riešenia neúplných kvadratických rovníc

1.1. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

1) Vyjadrite neznáme: ,

2) Skontrolujte znamienko výrazu:

• ak, potom rovnica nemá riešenia,
• ak, tak rovnica má dva korene.

1.2. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

1) Vyberme spoločný faktor zo zátvoriek: ,

2) Súčin sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Preto má rovnica dva korene:

1.3. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

Táto rovnica má vždy len jeden koreň: .

2. Algoritmus na riešenie úplných kvadratických rovníc v tvare kde

2.1. Riešenie pomocou diskriminantu

1) Uveďme rovnicu do štandardného tvaru: ,

2) Vypočítajte diskriminant pomocou vzorca: , ktorý udáva počet koreňov rovnice:

3) Nájdite korene rovnice:

• ak, potom rovnica má koreň, ktorý sa nachádza podľa vzorca:
• ak, potom rovnica má koreň, ktorý sa nachádza podľa vzorca:
• ak, potom rovnica nemá korene.

2.2. Riešenie pomocou Vietovej vety

Súčet koreňov redukovanej kvadratickej rovnice (rovnice tvaru kde) sa rovná a súčin koreňov sa rovná, t.j. , A.

2.3. Úplné štvorcové riešenie

Najprv sformulujme samotnú vetu: Povedzme, že máme redukovanú kvadratickú rovnicu v tvare x^2+b*x + c = 0. Povedzme, že táto rovnica obsahuje korene x1 a x2. Potom sú podľa vety prípustné nasledujúce tvrdenia:

1) Súčet koreňov x1 a x2 sa bude rovnať zápornej hodnote koeficientu b.

2) Súčin práve týchto koreňov nám dá koeficient c.

Ale čo je vyššie uvedená rovnica?

Redukovaná kvadratická rovnica je kvadratická rovnica, koeficient najvyššieho stupňa, ktorý sa rovná jednej, t.j. toto je rovnica v tvare x^2 + b*x + c = 0. (a rovnica a*x^2 + b*x + c = 0 nie je redukovaná). Inými slovami, aby sme rovnicu zredukovali na redukovaný tvar, musíme túto rovnicu vydeliť koeficientom na najvyššom stupni (a). Úlohou je uviesť túto rovnicu do redukovaného tvaru:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

Každú rovnicu vydelíme koeficientom najvyššieho stupňa, dostaneme:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3,5*x - 5,5 = 0.

Ako je zrejmé z príkladov, aj rovnice obsahujúce zlomky sa dajú zredukovať do redukovaného tvaru.

Použitie Vietovej vety

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

dostaneme korene: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = -6; x1*x2 = 8;

v dôsledku toho dostaneme korene: x1 = -2; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = -5; x1*x2 = 4;

dostaneme korene: x1 = −1; x2 = -4.

Význam Vietovej vety

Vietov teorém nám umožňuje vyriešiť akúkoľvek danú kvadratickú rovnicu takmer za pár sekúnd. Na prvý pohľad to vyzerá ako dosť náročná úloha, ale po 5 10 rovniciach sa môžete naučiť vidieť korene hneď.

Z vyššie uvedených príkladov a pomocou vety môžete vidieť, ako môžete výrazne zjednodušiť riešenie kvadratických rovníc, pretože pomocou tejto vety môžete vyriešiť kvadratickú rovnicu s malými alebo žiadnymi zložitými výpočtami a výpočtom diskriminantu, a ako viete , čím menej výpočtov, tým ťažšie je urobiť chybu, čo je dôležité.

Vo všetkých príkladoch sme toto pravidlo použili na základe dvoch dôležitých predpokladov:

Vyššie uvedená rovnica, t.j. koeficient na najvyššom stupni sa rovná jednej (tejto podmienke sa dá ľahko vyhnúť. Môžete použiť neredukovaný tvar rovnice, potom nasledujúce tvrdenia x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a budú platné, ale väčšinou sa to ťažšie rieši :))

Keď rovnica bude mať dva rôzne korene. Predpokladáme, že nerovnosť je pravdivá a diskriminant je striktne väčší ako nula.

Preto môžeme zostaviť všeobecný algoritmus riešenia pomocou Vietovej vety.

Algoritmus všeobecného riešenia podľa Vietovej vety

Kvadratickú rovnicu privedieme do redukovaného tvaru, ak nám je rovnica daná v neredukovanom tvare. Keď sa koeficienty v kvadratickej rovnici, ktoré sme predtým prezentovali ako redukované, ukázali ako zlomkové (nie desiatkové), potom by sa v tomto prípade naša rovnica mala riešiť cez diskriminant.

Existujú aj prípady, kedy nám návrat k pôvodnej rovnici umožňuje pracovať s „pohodlnými“ číslami.

Medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice sú okrem koreňových vzorcov aj ďalšie užitočné vzťahy, ktoré sú dané napr. Vietov teorém. V tomto článku uvedieme formuláciu a dôkaz Vietovej vety pre kvadratickú rovnicu. Ďalej uvažujeme vetu opačnú k Vietovej vete. Potom budeme analyzovať riešenia najcharakteristickejších príkladov. Nakoniec si zapíšeme vzorce Vieta, ktoré definujú vzťah medzi skutočnými koreňmi algebraická rovnica stupeň n a jeho koeficienty.

Navigácia na stránke.

Vietova veta, formulácia, dôkaz

Zo vzorcov koreňov kvadratickej rovnice a x 2 +b x+c=0 tvaru , kde D=b 2 −4 a c , vyplývajú vzťahy x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Tieto výsledky sú potvrdené Vietov teorém:

Veta.

Ak x 1 a x 2 sú korene kvadratickej rovnice a x 2 +b x+c=0, potom sa súčet koreňov rovná pomeru koeficientov b a a, braných s opačným znamienkom, a súčinu korene sa rovnajú pomeru koeficientov c a a, teda .

Dôkaz.

Vietovu vetu dokážeme podľa nasledujúcej schémy: pomocou známych koreňových vzorcov zostavíme súčet a súčin koreňov kvadratickej rovnice, výsledné výrazy potom transformujeme a uistíme sa, že sú rovné −b /a a c/a.

Začnime súčtom koreňov, poskladajte to. Teraz privedieme zlomky k spoločnému menovateľovi, máme. V čitateli výsledného zlomku, po ktorom:. Nakoniec po 2 dostaneme . To dokazuje prvý vzťah Vietovej vety pre súčet koreňov kvadratickej rovnice. Prejdime k druhému.

Poskladáme súčin koreňov kvadratickej rovnice:. Podľa pravidla násobenia zlomkov možno posledný súčin zapísať ako. Teraz vynásobíme zátvorku zátvorkou v čitateli, ale rýchlejšie je tento produkt zbaliť rozdiel štvorcov vzorca, Takže . Potom, pamätajúc, vykonáme ďalší prechod. A keďže vzorec D=b 2 −4 a·c zodpovedá diskriminantu kvadratickej rovnice, potom b 2 −4·a·c môžeme dosadiť do posledného zlomku namiesto D, dostaneme . Po otvorení zátvoriek a zmenšení podobných členov sa dostaneme k zlomku a jeho zmenšenie o 4·a dáva . To dokazuje druhý vzťah Vietovej vety pre súčin koreňov.

Ak vynecháme vysvetlenia, dôkaz Vietovej vety bude mať stručnú formu:
,
.

Zostáva len poznamenať, že keď je diskriminant rovný nule, kvadratická rovnica má jeden koreň. Ak však predpokladáme, že rovnica má v tomto prípade dva rovnaké korene, potom platia aj rovnosti z Vietovej vety. V skutočnosti pre D=0 je koreň kvadratickej rovnice , potom a , a keďže D=0 , to znamená b 2 −4·a·c=0 , odkiaľ b 2 =4·a·c , potom .

V praxi sa Vietova veta najčastejšie používa vo vzťahu k redukovanej kvadratickej rovnici (s najvyšším koeficientom a rovným 1 ) tvaru x 2 +p·x+q=0 . Niekedy sa formuluje pre kvadratické rovnice práve tohto typu, čo však neobmedzuje všeobecnosť, pretože akúkoľvek kvadratickú rovnicu možno nahradiť ekvivalentnou rovnicou vydelením oboch jej častí nenulovým číslom a. Tu je zodpovedajúca formulácia Vietovej vety:

Veta.

Súčet koreňov redukovanej kvadratickej rovnice x 2 + p x + q \u003d 0 sa rovná koeficientu x, branému s opačným znamienkom, a súčin koreňov je voľný člen, tj x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Veta inverzná k Vietovej vete

Druhá formulácia Vietovej vety uvedená v predchádzajúcom odseku naznačuje, že ak x 1 a x 2 sú koreňmi redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +p x+q=0, potom vzťahy x 1 +x 2 = − p, x 1 x 2 = q. Na druhej strane zo zapísaných vzťahov x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q vyplýva, že x 1 a x 2 sú korene kvadratickej rovnice x 2 +p x+q=0. Inými slovami, tvrdenie, ktoré sa obracia k Vietovej vete, je pravdivé. Sformulujeme to vo forme vety a dokážeme to.

Veta.

Ak sú čísla x 1 a x 2 také, že x 1 +x 2 =−p a x 1 x 2 =q, potom x 1 a x 2 sú korene redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +p x+q=0 .

Dôkaz.

Po nahradení koeficientov p a q v rovnici x 2 +p x+q=0 ich vyjadrenia cez x 1 a x 2 sa prevedie na ekvivalentnú rovnicu.

Do výslednej rovnice dosadíme namiesto x číslo x 1, máme rovnosť x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, čo je pre ľubovoľné x 1 a x 2 správna číselná rovnosť 0=0, keďže x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Preto je x 1 koreňom rovnice x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, čo znamená, že x 1 je koreň ekvivalentnej rovnice x 2 +p x+q=0 .

Ak v rovnici x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 dosaďte číslo x 2 namiesto x, potom dostaneme rovnosť x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Toto je správna rovnica, pretože x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Preto je x 2 tiež koreňom rovnice x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 a teda rovnice x2+px+q=0.

Tým je dôkaz teorému konverzný k Vietovmu teorému.

Príklady použitia Vietovej vety

Je čas porozprávať sa o praktickej aplikácii Vietovej vety a jej inverznej vety. V tejto podkapitole rozoberieme riešenia niekoľkých najtypickejších príkladov.

Začneme aplikáciou vety konverzovať na Vietovu vetu. Je vhodné ho použiť na kontrolu, či dané dve čísla sú koreňmi danej kvadratickej rovnice. V tomto prípade sa vypočíta ich súčet a rozdiel, potom sa skontroluje platnosť vzťahov. Ak sú oba tieto vzťahy splnené, potom na základe vety, ktorá sa obracia na Vietovu vetu, sa usúdi, že tieto čísla sú koreňmi rovnice. Ak aspoň jeden zo vzťahov nie je splnený, potom tieto čísla nie sú koreňmi kvadratickej rovnice. Tento prístup možno použiť pri riešení kvadratických rovníc na kontrolu nájdených koreňov.

Príklad.

Ktorý z párov čísel 1) x 1 =−5, x 2 =3 alebo 2) alebo 3) je párom koreňov kvadratickej rovnice 4 x 2 −16 x+9=0?

Riešenie.

Koeficienty danej kvadratickej rovnice 4 x 2 −16 x+9=0 sú a=4, b=−16, c=9. Podľa Vietovej vety sa súčet koreňov kvadratickej rovnice musí rovnať −b/a, teda 16/4=4, a súčin koreňov sa musí rovnať c/a, teda 9. /4.

Teraz vypočítajme súčet a súčin čísel v každom z troch daných párov a porovnajme ich s práve získanými hodnotami.

V prvom prípade máme x 1 + x 2 =−5+3=−2 . Výsledná hodnota je iná ako 4, preto nie je možné vykonať ďalšie overenie, ale podľa vety, inverznej k Vietovej vete, môžeme okamžite usúdiť, že prvá dvojica čísel nie je dvojicou koreňov danej kvadratiky. rovnica.

Prejdime k druhému prípadu. Tu je prvá podmienka splnená. Skontrolujeme druhú podmienku: , výsledná hodnota je iná ako 9/4 . Preto druhý pár čísel nie je párom koreňov kvadratickej rovnice.

Zostáva posledný prípad. Tu a . Obe podmienky sú splnené, preto tieto čísla x 1 a x 2 sú koreňmi danej kvadratickej rovnice.

odpoveď:

Veta, opak Vietovej vety, sa dá v praxi použiť na výber koreňov kvadratickej rovnice. Zvyčajne sa vyberajú celočíselné korene daných kvadratických rovníc s celočíselnými koeficientmi, pretože v iných prípadoch je to dosť ťažké. Zároveň využívajú skutočnosť, že ak sa súčet dvoch čísel rovná druhému koeficientu kvadratickej rovnice so znamienkom mínus a súčin týchto čísel sa rovná voľnému členu, potom sú tieto čísla korene tejto kvadratickej rovnice. Vyrovnajme sa s tým na príklade.

Zoberme si kvadratickú rovnicu x 2 −5 x+6=0 . Aby čísla x 1 a x 2 boli koreňmi tejto rovnice, musia byť splnené dve rovnosti x 1 + x 2 \u003d 5 a x 1 x 2 \u003d 6. Zostáva vybrať také čísla. V tomto prípade je to celkom jednoduché: také čísla sú 2 a 3, pretože 2+3=5 a 2 3=6 . 2 a 3 sú teda koreňmi tejto kvadratickej rovnice.

Veta, opak Vietovej vety, je obzvlášť vhodná na použitie pri hľadaní druhého koreňa redukovanej kvadratickej rovnice, keď je jeden z koreňov už známy alebo zrejmý. V tomto prípade sa druhý koreň nájde z ktoréhokoľvek zo vzťahov.

Vezmime si napríklad kvadratickú rovnicu 512 x 2 −509 x−3=0 . Tu je ľahké vidieť, že jednotka je koreňom rovnice, pretože súčet koeficientov tejto kvadratickej rovnice je nula. Takže x 1 = 1. Druhý koreň x 2 nájdeme napríklad zo vzťahu x 1 x 2 =c/a. Máme 1 x 2 =−3/512, odkiaľ x 2 =−3/512. Takže sme definovali oba korene kvadratickej rovnice: 1 a −3/512.

Je zrejmé, že výber koreňov je účelný len v najjednoduchších prípadoch. V iných prípadoch, ak chcete nájsť korene, môžete použiť vzorce koreňov kvadratickej rovnice cez diskriminant.

Ďalšou praktickou aplikáciou vety, inverznou k Vietovej vete, je zostavenie kvadratických rovníc pre dané korene x 1 a x 2. Na to stačí vypočítať súčet koreňov, ktorý dáva koeficient x s opačným znamienkom danej kvadratickej rovnice, a súčin koreňov, ktorý dáva voľný člen.

Príklad.

Napíšte kvadratickú rovnicu, ktorej korene sú čísla −11 a 23.

Riešenie.

Označme x 1 = -11 a x 2 = 23 . Vypočítame súčet a súčin týchto čísel: x 1 + x 2 \u003d 12 a x 1 x 2 \u003d −253. Preto sú tieto čísla koreňmi danej kvadratickej rovnice s druhým koeficientom -12 a voľným členom -253. To znamená, že x 2 −12·x−253=0 je požadovaná rovnica.

odpoveď:

x 2 −12 x−253=0 .

Vietova veta sa veľmi často používa pri riešení úloh súvisiacich so znamienkami koreňov kvadratických rovníc. Ako súvisí Vietova veta so znamienkami koreňov redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +p x+q=0 ? Tu sú dve relevantné vyhlásenia:

• Ak je priesečník q kladné číslo a ak má kvadratická rovnica reálne korene, potom sú obe kladné alebo záporné.
• Ak je voľný člen q záporné číslo a ak má kvadratická rovnica reálne korene, ich znamienka sú rôzne, inými slovami, jeden koreň je kladný a druhý záporný.

Tieto tvrdenia vyplývajú zo vzorca x 1 x 2 =q, ako aj z pravidiel násobenia kladných, záporných čísel a čísel s rôznymi znamienkami. Zvážte príklady ich aplikácie.

Príklad.

R je kladné. Podľa diskriminačného vzorca zistíme D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, hodnotu výrazu r 2 +8 je kladné pre akékoľvek reálne r , teda D>0 pre akékoľvek reálne r . Preto má pôvodná kvadratická rovnica dva korene pre akékoľvek reálne hodnoty parametra r.

Teraz poďme zistiť, kedy majú korene rôzne znaky. Ak sú znamienka koreňov rozdielne, ich súčin je záporný a podľa Vietovej vety súčin koreňov danej kvadratickej rovnice rovný voľnému členu. Preto nás zaujímajú tie hodnoty r, pre ktoré je voľný člen r−1 záporný. Aby sme teda našli hodnoty r, ktoré nás zaujímajú, musíme vyriešiť lineárnu nerovnosť r-1<0 , откуда находим r<1 .

odpoveď:

na r<1 .

Vieta vzorce

Vyššie sme hovorili o Vietovej vete pre kvadratickú rovnicu a analyzovali sme vzťahy, ktoré presadzuje. Existujú však vzorce, ktoré spájajú skutočné korene a koeficienty nielen kvadratických rovníc, ale aj kubických rovníc, štvornásobných rovníc a všeobecne, algebraické rovnice stupeň n. Nazývajú sa Vieta vzorce.

Napíšeme Vietove vzorce pre algebraickú rovnicu stupňa n tvaru, pričom predpokladáme, že má n reálnych koreňov x 1, x 2, ..., x n (medzi nimi môžu byť rovnaké):

Získať vzorce Vieta umožňuje polynomiálna faktorizačná veta, ako aj definíciu rovnakých polynómov prostredníctvom rovnosti všetkých im zodpovedajúcich koeficientov. Takže polynóm a jeho expanzia na lineárne faktory tvaru sú rovnaké. Otvorením zátvoriek v poslednom súčine a porovnaním zodpovedajúcich koeficientov získame vzorce Vieta.

Najmä pre n=2 už známe Vietove vzorce pre kvadratickú rovnicu .

Pre kubickú rovnicu majú vzorce Vieta tvar

Zostáva len poznamenať, že na ľavej strane vzorcov Vieta sú elementárne tzv symetrické polynómy.

Bibliografia.

• Algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. O 14:00 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra a začiatok matematickej analýzy. 10. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie: základné a profilové. úrovne / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; vyd. A. B. Žižčenko. - 3. vyd. - M.: Osveta, 2010.- 368 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-022771-1.

I. Vietova veta pre redukovanú kvadratickú rovnicu.

Súčet koreňov redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +px+q=0 sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu:

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

Nájdite korene danej kvadratickej rovnice pomocou Vietovej vety.

Príklad 1) x2-x-30=0. Toto je redukovaná kvadratická rovnica ( x 2 +px+q=0), druhý koeficient p = -1 a voľný termín q = -30. Najprv sa uistite, že daná rovnica má korene a že korene (ak nejaké existujú) budú vyjadrené ako celé čísla. Na to stačí, aby bol diskriminant celou druhou mocninou celého čísla.

Hľadanie diskriminujúceho D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Teraz sa podľa Vietovej vety súčet koreňov musí rovnať druhému koeficientu, branému s opačným znamienkom, t.j. ( -p), a produkt sa rovná voľnému termínu, t.j. ( q). potom:

xi + x2 = 1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30. Musíme vybrať také dve čísla, aby sa ich súčin rovnal -30 , a suma je jednotka. Toto sú čísla -5 A 6 . Odpoveď: -5; 6.

Príklad 2) x 2 +6x+8=0. Máme redukovanú kvadratickú rovnicu s druhým koeficientom p=6 a voľný člen q = 8. Uistime sa, že existujú celé čísla. Nájdime diskriminantov D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Diskriminant D 1 je dokonalá druhá mocnina čísla 1 , takže korene tejto rovnice sú celé čísla. Korene volíme podľa Vietovej vety: súčet koreňov sa rovná –p=-6, a produktom koreňov je q = 8. Toto sú čísla -4 A -2 .

V skutočnosti: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Odpoveď: -4; -2.

Príklad 3) x 2 +2x-4=0. V tejto redukovanej kvadratickej rovnici druhý koeficient p=2 a voľný termín q = -4. Nájdime diskriminantov D1, keďže druhý koeficient je párne číslo. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminant nie je dokonalá druhá mocnina čísla, tak to robíme my záver: korene tejto rovnice nie sú celé čísla a nemožno ich nájsť pomocou Vietovej vety. Túto rovnicu teda riešime ako obvykle podľa vzorcov (v tomto prípade podľa vzorcov). Dostaneme:

Príklad 4). Napíšte kvadratickú rovnicu pomocou jej koreňov ak x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.

Riešenie. Požadovaná rovnica bude napísaná v tvare: x 2 +px+q=0, navyše na základe Vietovej vety –p=x1 +x2=-7+4=-3 ->p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Potom bude mať rovnica tvar: x2 +3x-28=0.

Príklad 5). Napíšte kvadratickú rovnicu pomocou jej koreňov, ak:

II. Vietov teorém pre úplnú kvadratickú rovnicu ax2+bx+c=0.

Súčet koreňov je mínus b deleno A, produktom koreňov je s deleno A:

x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.