Kako določiti intervale naraščajočih in padajočih funkcij. Naraščajoča in padajoča funkcija na intervalu, ekstremi

Naraščajoče in padajoče funkcije

funkcijo l = f(x) se imenuje naraščanje na intervalu [ a, b], če za katerikoli par točk X in X", a ≤ x neenakost velja f(x) ≤ f (x"), in strogo narašča - če je neenakost f (x) f(x"). Podobno so definirane padajoče in strogo padajoče funkcije. Na primer funkcija pri = X 2 (riž. , a) strogo narašča na segmentu , in

(riž. , b) na tem segmentu strogo pada. Določene so naraščajoče funkcije f (x), in se zmanjšuje f (x)↓. Za diferenciabilno funkcijo f (x) se je povečeval na segmentu [ A, b], je nujno in dovolj, da je njegova izpeljanka f"(x) je bil nenegativen dne [ A, b].

Poleg naraščanja in padanja funkcije na segmentu upoštevamo naraščanje in padanje funkcije v točki. funkcija pri = f (x) se imenuje naraščanje v točki x 0, če obstaja interval (α, β), ki vsebuje točko x 0, kar za katero koli točko X iz (α, β), x> x 0 , neenakost velja f (x 0) ≤ f (x), in za katero koli točko X iz (α, β), x 0 , neenakost velja f (x) ≤ f (x 0). Strogo naraščanje funkcije v točki je definirano podobno x 0 . če f"(x 0) > 0, nato funkcija f(x) striktno narašča v točki x 0 . če f (x) narašča na vsaki točki intervala ( a, b), potem se v tem intervalu poveča.

S. B. Stečkin.

Velika sovjetska enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. 1969-1978 .

Oglejte si, kaj so "naraščajoče in padajoče funkcije" v drugih slovarjih:

Koncepti matematične analize. Funkcija f(x) naj bi naraščala na segmentu STAROSTNA SESTAVA PREBIVALSTVA razmerje števila različnih starostne skupine prebivalstvo. Odvisno od rodnosti in umrljivosti, pričakovane življenjske dobe ljudi... Veliki enciklopedični slovar

Koncepti matematične analize. Za funkcijo f(x) pravimo, da narašča na odseku, če je za kateri koli par točk x1 in x2 a≤x1 ... enciklopedični slovar

Koncepti matematike. analizo. Pokličemo funkcijo f(x). narašča na segmentu [a, b], če za kateri koli par točk x1 in x2, in<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)Naravoslovje. enciklopedični slovar

Veja matematike, ki preučuje odvode in diferenciale funkcij ter njihove uporabe pri študiju funkcij. Oblikovanje D. in. v samostojno matematično disciplino je povezana z imeni I. Newtona in G. Leibniza (druga polovica 17 ... Velika sovjetska enciklopedija

Veja matematike, v kateri preučujejo koncepte odvoda in diferenciala ter kako se ju uporablja pri študiju funkcij. Razvoj D. in. tesno povezana z razvojem integralnega računa. Tudi njihova vsebina je neločljiva. Skupaj tvorita osnovo..... Matematična enciklopedija

Ta izraz ima druge pomene, glej funkcijo. Zahteva "Prikaži" je preusmerjena sem; glej tudi druge pomene... Wikipedia

Aristotel in peripatetiki- Aristotelovo vprašanje Življenje Aristotela Aristotel se je rodil leta 384/383. pr. n. št e. v Stagiri, na meji z Makedonijo. Njegov oče, po imenu Nikomah, je bil zdravnik v službi makedonskega kralja Aminte, očeta Filipa. Mladi Aristotel je skupaj s svojo družino ... ... Zahodna filozofija od njenih začetkov do danes

- (QCD), kvantna teorija polja močne interakcije kvarkov in gluonov, zgrajena po podobi kvanta. elektrodinamika (QED), ki temelji na "barvni" merilni simetriji. Za razliko od QED imajo fermioni v QCD komplementarne lastnosti. kvantna stopnja svobode številka,…… Fizična enciklopedija

I Srce Srce (latinsko cor, grško cardia) je votel fibromuskularni organ, ki s funkcijo črpalke zagotavlja gibanje krvi v krvožilnem sistemu. Anatomija Srce se nahaja v sprednjem mediastinumu (Mediastinum) v osrčniku med... ... Medicinska enciklopedija

Življenje rastline, tako kot vsakega drugega živega organizma, je zapleten niz medsebojno povezanih procesov; Najpomembnejši med njimi je, kot je znano, izmenjava snovi z okoljem. Okolje je vir, iz katerega ... ... Biološka enciklopedija

Da bi razumeli to temo, razmislimo o funkciji, prikazani na grafu // Pokažimo, kako graf funkcije omogoča določanje njenih lastnosti.

Oglejmo si lastnosti funkcije na primeru

Domena definicije funkcije je razpon [ 3,5; 5.5].

Območje vrednosti funkcije je razpon [ 1; 3].

1. Pri x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5 je vrednost funkcije enaka nič.

Vrednost argumenta, pri kateri je vrednost funkcije nič, se imenuje funkcija nič.

// tiste. za to funkcijo so števila -3;-1;1,5; 4,5 so ničle.

2. V intervalih [ 4,5; 3) in (1; 1.5) ter (4.5; 5.5] se graf funkcije f nahaja nad abscisno osjo, v intervalih (-3; -1) in (1.5; 4.5) pod abscisno osjo pa ta pojasnjujemo takole: na intervalih [ 4.5; 3) in (1; 1.5) ter (4.5; 5.5] ima funkcija pozitivne vrednosti, na intervalih (-3; -1) in ( 1.5; 4.5) pa negativne.

Vsak od navedenih intervalov (kjer funkcija zavzema vrednosti istega predznaka) se imenuje interval konstantnega predznaka funkcije f.//tj. če na primer vzamemo interval (0; 3), potem to ni interval konstantnega predznaka te funkcije.

V matematiki je pri iskanju intervalov konstantnega predznaka funkcije običajno navesti intervale največje dolžine. //Tiste. interval (2; 3) je interval konstantnosti predznaka funkcija f, vendar mora odgovor vsebovati interval [ 4.5; 3), ki vsebuje interval (2; 3).

3. Če se premaknete vzdolž osi x od 4,5 do 2, boste opazili, da gre graf funkcije navzdol, to je, da se vrednosti funkcije zmanjšajo. //V matematiki je običajno reči, da na intervalu [ 4.5; 2] funkcija pada.

Ko x narašča od 2 do 0, gre graf funkcije navzgor, tj. vrednosti funkcije se povečajo. //V matematiki je običajno reči, da na intervalu [ 2; 0] funkcija narašča.

Funkcija f je poklicana, če za kateri koli dve vrednosti argumenta x1 in x2 iz tega intervala, tako da je x2 > x1, velja neenakost f (x2) > f (x1). // ali je funkcija poklicana narašča v določenem intervalu, če za katero koli vrednost argumenta iz tega intervala višja vrednost argument ustreza večji vrednosti funkcije.//tj. več kot je x, več je y.

Pokliče se funkcija f zmanjševanje v določenem intervalu, če je za katerikoli dve vrednosti argumenta x1 in x2 iz tega intervala, tako da je x2 > x1, neenakost f(x2) padajoča na nekem intervalu, če je za katero koli vrednost argumenta iz tega intervala večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije. // tiste. več kot je x, manj je y.

Če funkcija narašča po celotnem definiranem področju, se jo pokliče povečevanje.

Če funkcija pada v celotni definicijski domeni, jo pokličemo zmanjševanje.

Primer 1. graf naraščajočih oziroma padajočih funkcij.

Primer 2.

Opredelite pojav. Ali linearna funkcija f(x) = 3x + 5 narašča ali pada?

Dokaz. Uporabimo definicije. Naj sta x1 in x2 poljubni vrednosti argumenta in x1< x2., например х1=1, х2=7

Ekstremi funkcije

Definicija 2

Točka $x_0$ se imenuje največja točka funkcije $f(x)$, če obstaja soseska te točke, tako da za vse $x$ v tej soseščini velja neenakost $f(x)\le f(x_0) $ drži.

Definicija 3

Točka $x_0$ se imenuje največja točka funkcije $f(x)$, če obstaja soseska te točke, tako da za vse $x$ v tej soseščini velja neenakost $f(x)\ge f(x_0) $ drži.

Koncept ekstrema funkcije je tesno povezan s konceptom kritične točke funkcije. Naj predstavimo njegovo definicijo.

Definicija 4

$x_0$ se imenuje kritična točka funkcije $f(x)$, če:

1) $x_0$ - notranja točka domene definicije;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ ali ne obstaja.

Za koncept ekstrema lahko oblikujemo izreke o zadostnih in nujnih pogojih za njegov obstoj.

2. izrek

Zadosten pogoj za ekstrem

Naj bo točka $x_0$ kritična za funkcijo $y=f(x)$ in leži v intervalu $(a,b)$. Naj na vsakem intervalu $\left(a,x_0\right)\ in\ (x_0,b)$ obstaja odvod $f"(x)$ in ohranja konstanten predznak. Potem:

1) Če je na intervalu $(a,x_0)$ odvod $f"\left(x\right)>0$, na intervalu $(x_0,b)$ pa je odvod $f"\left( x\desno)

2) Če je na intervalu $(a,x_0)$ odvod $f"\left(x\right)0$, potem je točka $x_0$ točka minimuma za to funkcijo.

3) Če je oba na intervalu $(a,x_0)$ in na intervalu $(x_0,b)$ odvod $f"\left(x\right) >0$ ali odvod $f"\left(x \prav)

Ta izrek je prikazan na sliki 1.

Slika 1. Zadosten pogoj za obstoj ekstremov

Primeri ekstremov (slika 2).

Slika 2. Primeri ekstremnih točk

Pravilo za preučevanje funkcije za ekstrem

2) Poiščite odvod $f"(x)$;

7) Sklepajte o prisotnosti maksimumov in minimumov na vsakem intervalu z uporabo izreka 2.

Naraščajoča in padajoča funkcija

Najprej predstavimo definiciji naraščajoče in padajoče funkcije.

Definicija 5

Za funkcijo $y=f(x)$, definirano na intervalu $X$, pravimo, da narašča, če je za katero koli točko $x_1,x_2\in X$ pri $x_1

Opredelitev 6

Za funkcijo $y=f(x)$, definirano na intervalu $X$, pravimo, da pada, če je za katero koli točko $x_1,x_2\in X$ za $x_1f(x_2)$.

Preučevanje funkcije za naraščanje in padanje

Naraščajoče in padajoče funkcije lahko preučujete z uporabo odvoda.

Če želite preučiti funkcijo za intervale naraščanja in padanja, morate narediti naslednje:

1) Poišči domeno definicije funkcije $f(x)$;

2) Poiščite odvod $f"(x)$;

3) Poiščite točke, v katerih velja enakost $f"\left(x\right)=0$;

4) Poiščite točke, v katerih $f"(x)$ ne obstaja;

5) Označite na koordinatni premici vse najdene točke in domeno definicije te funkcije;

6) Določite predznak odvoda $f"(x)$ na vsakem nastalem intervalu;

7) Potegnite sklep: na intervalih, kjer je $f"\left(x\right)0$, funkcija narašča.

Primeri problemov za študij funkcij za naraščanje, padanje in prisotnost ekstremnih točk

Primer 1

Preglejte funkcijo za naraščanje in padanje ter prisotnost največjih in najmanjših točk: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Ker je prvih 6 točk enakih, jih najprej izvedimo.

1) Domena definicije - vsa realna števila;

2) $f"\levo(x\desno)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\levo(x\desno)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ obstaja na vseh točkah domene definicije;

5) Koordinatna črta:

Slika 3.

6) Določite predznak odvoda $f"(x)$ na vsakem intervalu:

\ \ .

Zadostni pogoji za ekstrem funkcije.

Za iskanje maksimuma in minimuma funkcije lahko uporabite katerega koli od treh znakov ekstremuma, seveda če funkcija izpolnjuje njihove pogoje. Najbolj pogost in priročen je prvi od njih.

Prvi zadostni pogoj za ekstrem.

Naj bo funkcija y=f(x) diferenciabilna v -okolici točke in zvezna v sami točki.

Z drugimi besedami:

Algoritem za iskanje ekstremnih točk na podlagi prvega znaka ekstrema funkcije.

Poiščemo domeno definicije funkcije.
Odvod funkcije najdemo na definicijskem področju.
Določimo ničle števca, ničle imenovalca odvoda in točke definicijskega področja, v katerem odvod ne obstaja (vse naštete točke imenujemo točke možnega ekstrema, ki gre skozi te točke, lahko odvod samo spremeni svoj predznak).
Te točke razdelijo področje definicije funkcije na intervale, v katerih odvod ohrani svoj predznak. Na vsakem od intervalov določimo predznake odvoda (npr. tako, da izračunamo vrednost odvoda funkcije na poljubni točki v določenem intervalu).
Izberemo točke, v katerih je funkcija zvezna in skozi katere odvod spremeni predznak - to so točke ekstrema.

Besed je preveč, raje si poglejmo nekaj primerov iskanja ekstremnih točk in ekstremov funkcije z uporabo prvega zadostnega pogoja za ekstrem funkcije.

Primer.

Poiščite ekstreme funkcije.

rešitev.

Domena funkcije je celoten niz realnih števil, razen x=2.

Iskanje izpeljanke:

Ničle števca sta točki x=-1 in x=5, imenovalec gre na nič pri x=2. Označite te točke na številski osi

Na vsakem intervalu določimo predznake odvoda; za to izračunamo vrednost odvoda v kateri koli točki vsakega intervala, na primer v točkah x=-2, x=0, x=3 in x=6.

Zato je na intervalu odvod pozitiven (na sliki smo temu intervalu postavili znak plus). Prav tako

Zato damo nad drugi interval minus, nad tretji minus in nad četrti plus.

Ostaja še izbrati točke, v katerih je funkcija zvezna in njen odvod spremeni predznak. To so ekstremne točke.

Na točki x=-1 funkcija je zvezna in odvod spremeni predznak iz plusa v minus, zato je glede na prvi predznak ekstrema x=-1 točka maksimuma, temu ustreza maksimum funkcije .

Na točki x=5 funkcija je zvezna in odvod spremeni predznak iz minusa v plus, zato je x=-1 točka minimuma, temu ustreza minimum funkcije .

Grafična ilustracija.

odgovor:

OPOMBA: prvi zadostni kriterij za ekstrem ne zahteva diferenciabilnosti funkcije v sami točki.

Primer.

Poiščite ekstremne točke in ekstreme funkcije .

rešitev.

Domena funkcije je celotna množica realnih števil. Samo funkcijo lahko zapišemo kot:

Poiščimo odvod funkcije:

Na točki x=0 izpeljanka ne obstaja, saj vrednosti enostranskih mej ne sovpadajo, ko se argument nagiba k ničli:

Hkrati je prvotna funkcija zvezna v točki x=0 (glejte poglavje o preučevanju funkcije za kontinuiteto):

Poiščimo vrednost argumenta, pri kateri gre odvod na nič:

Vse dobljene točke označimo na številski premici in na vsakem izmed intervalov določimo predznak odvoda. Da bi to naredili, izračunamo vrednosti derivata na poljubnih točkah vsakega intervala, na primer pri x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.