Ngunit maraming natural na numero ang nahahati din ng iba pang natural na numero.

Halimbawa:

Ang bilang na 12 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12;

Ang bilang na 36 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12, ng 18, ng 36.

Ang mga numero kung saan ang bilang ay nahahati sa kabuuan (para sa 12 ito ay 1, 2, 3, 4, 6 at 12) ay tinatawag divisors ng mga numero. Divisor ng isang natural na numero a- ay isang natural na numero na naghahati sa isang ibinigay na numero a walang bakas. Ang isang natural na numero na may higit sa dalawang divisors ay tinatawag pinagsama-sama .

Pakitandaan na ang mga numero 12 at 36 ay may mga karaniwang salik. Ang mga numerong ito ay: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ang pinakamalaking divisor ng mga numerong ito ay 12. Ang karaniwang divisor ng dalawang numerong ito a At b- ito ang numero kung saan hinahati ang parehong ibinigay na mga numero nang walang natitira a At b.

Common multiples ilang mga numero ay isang numero na nahahati sa bawat isa sa mga numerong ito. Halimbawa, ang mga numerong 9, 18 at 45 ay may common multiple na 180. Ngunit 90 at 360 din ang kanilang common multiple. Sa lahat ng karaniwang multiple ay palaging may pinakamaliit, sa kasong ito ay 90. Ang numerong ito ay tinatawag ang pinakamaliitcommon multiple (CMM).

Ang LCM ay palaging isang natural na numero na dapat na mas malaki kaysa sa pinakamalaki sa mga numero kung saan ito tinukoy.

Least common multiple (LCM). Ari-arian.

Commutativity:

Pagkakaisa:

Sa partikular, kung at mga coprime na numero, kung gayon:

Hindi bababa sa karaniwang maramihang ng dalawang integer m At n ay isang divisor ng lahat ng iba pang common multiples m At n. Bukod dito, ang hanay ng mga karaniwang multiple m, n tumutugma sa hanay ng mga multiple ng LCM( m, n).

Ang mga asymptotics para sa ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng ilang mga function ng number-theoretic.

Kaya, Pag-andar ng Chebyshev. At:

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan at mga katangian ng Landau function g(n).

Ano ang sumusunod mula sa batas ng pamamahagi ng mga prime number.

Paghahanap ng least common multiple (LCM).

NOC( a, b) ay maaaring kalkulahin sa maraming paraan:

1. Kung kilala ang pinakamalaking karaniwang divisor, maaari mong gamitin ang koneksyon nito sa LCM:

2. Hayaang malaman ang canonical decomposition ng parehong mga numero sa prime factor:

saan p 1 ,...,p k- iba't ibang mga pangunahing numero, at d 1 ,...,d k At e 1 ,...,e k— non-negative integers (maaari silang maging mga zero kung ang kaukulang prime ay wala sa expansion).

Pagkatapos NOC ( a,b) ay kinakalkula ng formula:

Sa madaling salita, ang LCM decomposition ay naglalaman ng lahat ng prime factor na kasama sa kahit isa sa mga decomposition ng mga numero. a, b, at ang pinakamalaki sa dalawang exponent ng multiplier na ito ay kinuha.

Halimbawa:

Ang pagkalkula ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang mga numero ay maaaring bawasan sa ilang magkakasunod na kalkulasyon ng LCM ng dalawang numero:

Panuntunan. Upang mahanap ang LCM ng isang serye ng mga numero, kailangan mo:

- mabulok ang mga numero sa pangunahing mga kadahilanan;

- ilipat ang pinakamalaking pagpapalawak (ang produkto ng mga kadahilanan ng nais na produkto) sa mga kadahilanan ng nais na produkto Malaking numero mula sa mga ibinigay), at pagkatapos ay magdagdag ng mga salik mula sa pagpapalawak ng iba pang mga numero na hindi lumilitaw sa unang numero o lumilitaw dito nang mas kaunting beses;

— ang magreresultang produkto ng prime factor ay ang LCM ng mga ibinigay na numero.

Anumang dalawa o higit pa natural na mga numero may sariling NOC. Kung ang mga numero ay hindi multiple ng bawat isa o walang parehong mga salik sa pagpapalawak, ang kanilang LCM ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito.

Ang pangunahing mga kadahilanan ng numero 28 (2, 2, 7) ay pupunan ng kadahilanan 3 (ang numero 21), ang resultang produkto (84) ay ang pinakamaliit na bilang, na nahahati sa 21 at 28.

Ang mga pangunahing kadahilanan ng pinakamalaking bilang 30 ay pupunan ng kadahilanan 5 ng bilang 25, ang nagresultang produkto 150 ay mas malaki kaysa sa pinakamalaking bilang 30 at nahahati sa lahat ng ibinigay na mga numero nang walang natitira. Ito hindi bababa sa produkto ng posibleng (150, 250, 300...), kung saan ang lahat ng ibinigay na numero ay multiple.

Ang mga numerong 2,3,11,37 ay mga pangunahing numero, kaya ang kanilang LCM ay katumbas ng produkto ng mga ibinigay na numero.

Panuntunan. Upang kalkulahin ang LCM ng mga prime number, kailangan mong i-multiply ang lahat ng mga numerong ito nang sama-sama.

Iba pang Pagpipilian:

Upang mahanap ang least common multiple (LCM) ng ilang numero kailangan mo:

1) kinakatawan ang bawat numero bilang produkto ng mga pangunahing salik nito, halimbawa:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) isulat ang mga kapangyarihan ng lahat ng pangunahing mga kadahilanan:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) isulat ang lahat ng prime divisors (multipliers) ng bawat isa sa mga numerong ito;

4) piliin ang pinakamalaking antas ng bawat isa sa kanila, na makikita sa lahat ng pagpapalawak ng mga numerong ito;

5) paramihin ang mga kapangyarihang ito.

Halimbawa. Hanapin ang LCM ng mga numero: 168, 180 at 3024.

Solusyon. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Isinulat namin ang pinakadakilang kapangyarihan ng lahat ng mga pangunahing divisors at i-multiply ang mga ito:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Isaalang-alang natin ang paglutas ng sumusunod na problema. Ang hakbang ng lalaki ay 75 cm, at ang hakbang ng babae ay 60 cm. Kinakailangang hanapin ang pinakamaliit na distansya kung saan pareho silang kumuha ng integer na bilang ng mga hakbang.

Solusyon. Ang buong landas na dadaanan ng mga bata ay dapat na mahahati sa 60 at 70, dahil dapat silang gumawa ng integer na bilang ng mga hakbang. Sa madaling salita, ang sagot ay dapat na isang multiple ng parehong 75 at 60.

Una, isusulat namin ang lahat ng multiple ng numero 75. Nakukuha namin ang:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Ngayon ay isulat natin ang mga numero na magiging multiple ng 60. Nakukuha natin ang:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Ngayon nakita namin ang mga numero na nasa magkabilang row.

• Ang mga karaniwang multiple ng mga numero ay magiging 300, 600, atbp.

Ang pinakamaliit sa mga ito ay ang bilang na 300. Sa kasong ito, tatawagin itong hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong 75 at 60.

Pagbabalik sa kalagayan ng problema, ang pinakamaliit na distansya kung saan kukuha ang mga lalaki ng isang integer na bilang ng mga hakbang ay magiging 300 cm. Sasaklawin ng batang lalaki ang landas na ito sa 4 na hakbang, at ang babae ay kailangang gumawa ng 5 hakbang.

Pagtukoy sa Least Common Multiple

• Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang natural na numero a at b ay ang pinakamaliit na natural na numero na isang multiple ng parehong a at b.

Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang numero, hindi kinakailangang isulat ang lahat ng multiple ng mga numerong ito sa isang hilera.

Maaari mong gamitin ang sumusunod na paraan.

Paano mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang

Una kailangan mong i-factor ang mga numerong ito sa mga pangunahing kadahilanan.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Ngayon isulat natin ang lahat ng mga kadahilanan na nasa pagpapalawak ng unang numero (2,2,3,5) at idagdag dito ang lahat ng nawawalang mga kadahilanan mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero (5).

Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang serye ng mga pangunahing numero: 2,2,3,5,5. Ang produkto ng mga numerong ito ang magiging hindi gaanong karaniwang kadahilanan para sa mga numerong ito. 2*2*3*5*5 = 300.

Pangkalahatang pamamaraan para sa paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang

• 1. Hatiin ang mga numero sa prime factor.
• 2. Isulat ang mga pangunahing salik na bahagi ng isa sa mga ito.
• 3. Idagdag sa mga salik na ito ang lahat ng nasa pagpapalawak ng iba, ngunit hindi sa napili.
• 4. Hanapin ang produkto ng lahat ng nakasulat na salik.

Ang pamamaraang ito ay pangkalahatan. Maaari itong magamit upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng anumang bilang ng mga natural na numero.

Kahulugan. Ang pinakamalaking natural na bilang kung saan ang mga numerong a at b ay nahahati nang walang natitira ay tinatawag pinakamalaking karaniwang divisor (GCD) ang mga numerong ito.

Hanapin natin ang pinakamalaki karaniwang divisor mga numero 24 at 35.
Ang mga divisors ng 24 ay ang mga numero 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, at ang mga divisors ng 35 ay ang mga numero 1, 5, 7, 35.
Nakikita natin na ang mga numero 24 at 35 ay mayroon lamang isang karaniwang divisor - ang numero 1. Ang mga naturang numero ay tinatawag kapwa prime.

Kahulugan. Ang mga natural na numero ay tinatawag kapwa prime, kung ang kanilang greatest common divisor (GCD) ay 1.

Greatest Common Divisor (GCD) ay matatagpuan nang hindi isinusulat ang lahat ng mga divisors ng mga ibinigay na numero.

Ang pag-factor ng mga numero 48 at 36, nakukuha natin:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Mula sa mga salik na kasama sa pagpapalawak ng una sa mga numerong ito, tinatanggal namin ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng pangalawang numero (ibig sabihin, dalawang dalawa).
Ang mga salik na natitira ay 2 * 2 * 3. Ang kanilang produkto ay katumbas ng 12. Ang numerong ito ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 48 at 36. Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng tatlo o higit pang mga numero ay matatagpuan din.

Hanapin pinakamalaking karaniwang divisor

2) mula sa mga kadahilanan na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga numerong ito, i-cross out ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng iba pang mga numero;
3) hanapin ang produkto ng natitirang mga kadahilanan.

Kung ang lahat ng ibinigay na numero ay nahahati sa isa sa kanila, ang numerong ito ay pinakamalaking karaniwang divisor binigay na mga numero.
Halimbawa, ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 15, 45, 75 at 180 ay ang numero 15, dahil ang lahat ng iba pang mga numero ay nahahati nito: 45, 75 at 180.

Least common multiple (LCM)

Kahulugan. Least common multiple (LCM) Ang mga natural na numero a at b ay ang pinakamaliit na natural na numero na isang multiple ng parehong a at b. Ang least common multiple (LCM) ng mga numerong 75 at 60 ay makikita nang hindi isinusulat ang mga multiple ng mga numerong ito sa isang hilera. Upang gawin ito, i-factor natin ang 75 at 60 sa prime factor: 75 = 3 * 5 * 5, at 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Isulat natin ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng una sa mga numerong ito, at idagdag sa kanila ang nawawalang mga salik 2 at 2 mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero (i.e., pinagsama natin ang mga salik).
Nakukuha namin ang limang salik 2 * 2 * 3 * 5 * 5, ang produkto nito ay 300. Ang numerong ito ay ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong 75 at 60.

Nahanap din nila ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero.

Upang maghanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ilang natural na numero, kailangan mo:
1) isama ang mga ito sa pangunahing mga kadahilanan;
2) isulat ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga numero;
3) idagdag sa kanila ang mga nawawalang salik mula sa pagpapalawak ng natitirang mga numero;
4) hanapin ang produkto ng mga nagresultang salik.

Tandaan na kung ang isa sa mga numerong ito ay nahahati sa lahat ng iba pang mga numero, ang numerong ito ay ang pinakamaliit na karaniwang multiple ng mga numerong ito.
Halimbawa, ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong 12, 15, 20, at 60 ay 60 dahil nahahati ito sa lahat ng numerong iyon.

Pinag-aralan ni Pythagoras (VI siglo BC) at ng kanyang mga estudyante ang tanong ng divisibility ng mga numero. numero, katumbas ng kabuuan Tinawag nilang perpektong numero ang lahat ng divisors nito (nang walang numero mismo). Halimbawa, ang mga numero 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) ay perpekto. Ang susunod na perpektong numero ay 496, 8128, 33,550,336. Alam lamang ng mga Pythagorean ang unang tatlong perpektong numero. Ang ikaapat - 8128 - ay nakilala noong ika-1 siglo. n. e. Ang ikalima - 33,550,336 - ay natagpuan noong ika-15 siglo. Sa pamamagitan ng 1983, 27 perpektong numero ay kilala na. Ngunit hindi pa rin alam ng mga siyentipiko kung may mga kakaibang perpektong numero o kung mayroong pinakamalaking perpektong numero.
Ang interes ng mga sinaunang mathematician sa prime number ay dahil sa ang katunayan na ang anumang numero ay prime o maaaring kinakatawan bilang isang produkto ng mga prime number, ibig sabihin, ang mga prime number ay parang mga brick kung saan ang natitirang natural na mga numero ay binuo.
Marahil ay napansin mo na ang mga pangunahing numero sa serye ng mga natural na numero ay nangyayari nang hindi pantay - sa ilang bahagi ng serye ay mas marami sa kanila, sa iba - mas kaunti. Ngunit habang patuloy tayong gumagalaw sa serye ng numero, hindi gaanong karaniwan ang mga prime number. Ang tanong ay lumitaw: mayroon bang huling (pinakamalaking) prime number? Ang sinaunang Griyegong matematiko na si Euclid (ika-3 siglo BC), sa kanyang aklat na "Mga Elemento," na siyang pangunahing aklat-aralin ng matematika sa loob ng dalawang libong taon, ay nagpatunay na mayroong walang katapusan na maraming prime number, ibig sabihin, sa likod ng bawat prime number ay mayroong mas malaking prime. numero.
Upang makahanap ng mga prime number, isa pang Greek mathematician ng parehong panahon, si Eratosthenes, ang gumawa ng pamamaraang ito. Isinulat niya ang lahat ng mga numero mula 1 hanggang sa ilang numero, at pagkatapos ay i-cross out ang isa, na hindi prime o hindi rin. pinagsama-samang numero, pagkatapos ay i-cross out sa isa ang lahat ng mga numero na darating pagkatapos ng 2 (mga numero na multiple ng 2, ibig sabihin, 4, 6, 8, atbp.). Ang unang natitirang numero pagkatapos ng 2 ay 3. Pagkatapos, pagkatapos ng dalawa, ang lahat ng mga numerong darating pagkatapos ng 3 (mga numero na multiple ng 3, ibig sabihin, 6, 9, 12, atbp.) ay na-cross out. sa huli tanging ang mga prime number lang ang nanatiling hindi natawid.

Common multiples

Sa madaling salita, ang anumang integer na nahahati sa bawat isa sa mga ibinigay na numero ay karaniwang maramihan ibinigay na mga integer.

Mahahanap mo ang karaniwang multiple ng dalawa o higit pang integer.

Halimbawa 1

Kalkulahin ang karaniwang multiple ng dalawang numero: $2$ at $5$.

Solusyon.

Sa pamamagitan ng kahulugan, ang karaniwang multiple ng $2$ at $5$ ay $10$, dahil ito ay isang multiple ng numerong $2$ at ang numerong $5$:

Ang mga karaniwang multiple ng mga numerong $2$ at $5$ ay magiging mga numerong $–10, 20, –20, 30, –30$, atbp., dahil lahat ng mga ito ay nahahati sa mga numerong $2$ at $5$.

Tandaan 1

Ang zero ay isang karaniwang multiple ng anumang bilang ng mga non-zero integer.

Ayon sa mga katangian ng divisibility, kung ang isang tiyak na numero ay isang karaniwang multiple ng ilang mga numero, kung gayon ang bilang na nasa tapat ng sign ay magiging isang karaniwang multiple ng mga ibinigay na numero. Ito ay makikita mula sa halimbawang isinasaalang-alang.

Para sa mga ibinigay na integer, palagi mong mahahanap ang kanilang karaniwang maramihang.

Halimbawa 2

Kalkulahin ang karaniwang multiple ng $111$ at $55$.

Solusyon.

I-multiply natin ang mga ibinigay na numero: $111\div 55=6105$. Madaling i-verify na ang numerong $6105$ ay nahahati sa numerong $111$ at ang numerong $55$:

$6105\div 111=$55;

$6105\div 55=$111.

Kaya, ang $6105$ ay isang karaniwang multiple ng $111$ at $55$.

Sagot: Ang karaniwang multiple ng $111$ at $55$ ay $6105$.

Ngunit, tulad ng nakita na natin mula sa nakaraang halimbawa, ang karaniwang maramihang ito ay hindi isa. Ang iba pang karaniwang multiple ay magiging $–6105, 12210, –12210, 61050, –61050$, atbp. Kaya, dumating kami sa sumusunod na konklusyon:

Tandaan 2

Ang anumang hanay ng mga integer ay may walang katapusang bilang ng mga karaniwang multiple.

Sa pagsasagawa, limitado ang mga ito sa paghahanap ng mga karaniwang multiple ng mga positive integer (natural) na numero lamang, dahil ang mga set ng multiple ng isang naibigay na numero at ang kabaligtaran nito ay nag-tutugma.

Pagtukoy sa Least Common Multiple

Sa lahat ng multiple ng mga ibinigay na numero, ang least common multiple (LCM) ang pinakamadalas na ginagamit.

Kahulugan 2

Ang hindi bababa sa positibong common multiple ng mga ibinigay na integer ay hindi bababa sa karaniwang maramihang ang mga numerong ito.

Halimbawa 3

Kalkulahin ang LCM ng mga numerong $4$ at $7$.

Solusyon.

kasi ang mga numerong ito ay walang karaniwang divisors, pagkatapos ay $LCM(4,7)=28$.

Sagot: $NOK (4,7)=28$.

Paghahanap ng NOC sa pamamagitan ng GCD

kasi may koneksyon sa pagitan ng LCM at GCD, sa tulong nito maaari mong kalkulahin LCM ng dalawang positive integer:

Tandaan 3

Halimbawa 4

Kalkulahin ang LCM ng mga numerong $232$ at $84$.

Solusyon.

Gamitin natin ang formula upang mahanap ang LCM sa pamamagitan ng GCD:

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(GCD (a,b))$

Hanapin natin ang GCD ng mga numerong $232$ at $84$ gamit ang Euclidean algorithm:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$,

$64=20\cdot 3+4$,

Yung. $GCD(232, 84)=4$.

Hanapin natin ang $LCC (232, 84)$:

$NOK (232.84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

Sagot: $NOK (232.84)=$4872.

Halimbawa 5

Compute $LCD(23, 46)$.

Solusyon.

kasi Ang $46$ ay nahahati sa $23$, pagkatapos ay $gcd (23, 46)=23$. Hanapin natin ang LOC:

$NOK (23.46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

Sagot: $NOK (23.46)=$46.

Kaya, ang isa ay maaaring bumalangkas tuntunin:

Tandaan 4

Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang numero ay direktang nauugnay sa pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong iyon. Ito koneksyon sa pagitan ng GCD at NOC ay tinutukoy ng sumusunod na teorama.

Teorama.

Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang positibong integer na a at b ay katumbas ng produkto ng a at b na hinati ng pinakamalaking karaniwang divisor ng a at b, iyon ay, LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Patunay.

Hayaan Ang M ay ilang multiple ng mga numerong a at b. Iyon ay, ang M ay nahahati ng a, at sa pamamagitan ng kahulugan ng divisibility, mayroong ilang integer k na ang pagkakapantay-pantay na M=a·k ay totoo. Ngunit ang M ay nahahati din ng b, pagkatapos ang a·k ay nahahati ng b.

Tukuyin natin ang gcd(a, b) bilang d. Pagkatapos ay maaari nating isulat ang mga pagkakapantay-pantay na a=a 1 ·d at b=b 1 ·d, at ang a 1 =a:d at b 1 =b:d ay magiging relatibong prime number. Dahil dito, ang kundisyong nakuha sa nakaraang talata na ang a · k ay nahahati sa b ay maaaring reformulated tulad ng sumusunod: a 1 · d · k ay nahahati sa b 1 · d , at ito, dahil sa divisibility properties, ay katumbas ng kondisyon na ang a 1 · k ay nahahati sa b 1 .

Kailangan mo ring isulat ang dalawang mahalagang corollaries mula sa teorem na isinasaalang-alang.

Ang mga karaniwang multiple ng dalawang numero ay kapareho ng mga multiple ng kanilang hindi bababa sa karaniwang maramihang.

Ganito nga ang kaso, dahil ang anumang karaniwang multiple ng M ng mga numerong a at b ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay na M=LMK(a, b)·t para sa ilang integer value na t.

Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mutually prime positive na mga numerong a at b ay katumbas ng kanilang produkto.

Ang katwiran para sa katotohanang ito ay medyo halata. Dahil ang a at b ay relatibong prime, kung gayon ang gcd(a, b)=1, samakatuwid, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero

Ang paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero ay maaaring bawasan sa sunud-sunod na paghahanap ng LCM ng dalawang numero. Kung paano ito ginagawa ay ipinahiwatig sa sumusunod na teorama: a 1 , a 2 , …, a k ay nag-tutugma sa common multiples ng mga numero m k-1 at a k , samakatuwid, ay nag-tutugma sa common multiples ng number m k . At dahil ang pinakamaliit na positive multiple ng number m k ay ang number m k mismo, kung gayon ang pinakamaliit na common multiple ng mga numerong a 1, a 2, ..., a k ay m k.

Bibliograpiya.

• Vilenkin N.Ya. at iba pa.Mathematics. Ika-6 na baitang: aklat-aralin para sa mga institusyong pangkalahatang edukasyon.
• Vinogradov I.M. Mga Batayan ng teorya ng numero.
• Mikhelovich Sh.H. Teorya ng numero.
• Kulikov L.Ya. at iba pa. Koleksyon ng mga problema sa algebra at teorya ng numero: Pagtuturo para sa mga mag-aaral ng pisika at matematika. mga espesyalidad ng mga institusyong pedagogical.