maliit at maganda simpleng gawain mula sa kategorya ng mga nagsisilbing lifeline para sa isang lumulutang na estudyante. Sa kalikasan, ang inaantok na kaharian ng kalagitnaan ng Hulyo, kaya oras na upang manirahan sa isang laptop sa beach. Maaga sa umaga, isang sunbeam ng teorya ang naglaro upang tumutok sa pagsasanay, na, sa kabila ng idineklara nitong liwanag, ay naglalaman ng mga fragment ng salamin sa buhangin. Kaugnay nito, inirerekumenda kong maingat na isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng pahinang ito. Upang malutas ang mga praktikal na gawain, kailangan mong magawa maghanap ng mga derivatives at unawain ang materyal ng artikulo Mga agwat ng monotonicity at extrema ng isang function.

Una, maikling tungkol sa pangunahing bagay. Sa isang aralin tungkol sa pagpapatuloy ng function Ibinigay ko ang kahulugan ng continuity sa isang punto at continuity sa isang interval. Ang huwarang pag-uugali ng isang function sa isang segment ay binuo sa katulad na paraan. Ang isang function ay tuloy-tuloy sa isang segment kung:

1) ito ay tuloy-tuloy sa pagitan;
2) tuloy-tuloy sa isang punto sa kanan at sa punto umalis.

Ang ikalawang talata ay tumatalakay sa tinatawag na unilateral na pagpapatuloy gumagana sa isang punto. Mayroong ilang mga diskarte sa kahulugan nito, ngunit mananatili ako sa linya na nagsimula nang mas maaga:

Ang function ay tuloy-tuloy sa isang punto sa kanan, kung ito ay tinukoy sa isang partikular na punto at ang kanang-kamay na limitasyon ay tumutugma sa halaga ng function sa isang partikular na punto: . Ito ay tuloy-tuloy sa punto umalis, kung tinukoy sa isang partikular na punto at ang kaliwang limitasyon nito katumbas ng halaga Simula ngayon:

Isipin na ang mga berdeng tuldok ay ang mga kuko kung saan nakakabit ang magic rubber band:

Sa isip, kunin ang pulang linya sa iyong mga kamay. Malinaw, gaano man natin kahabaan ang graph pataas at pababa (sa kahabaan ng axis), mananatili pa rin ang function limitado- isang hedge sa itaas, isang hedge sa ibaba, at ang aming produkto ay nanginginain sa isang paddock. kaya, ang isang function na tuloy-tuloy sa isang segment ay nakatali dito. Sa kurso ng mathematical analysis, ang tila simpleng katotohanang ito ay nakasaad at mahigpit na pinatunayan Ang unang teorama ni Weierstrass.… Maraming tao ang naiinis na ang mga elementarya na pahayag ay nakakapagod na pinatunayan sa matematika, ngunit ito ay may mahalagang kahulugan. Ipagpalagay na ang isang tiyak na naninirahan sa terry Middle Ages ay hinila ang graph sa kalangitan na lampas sa mga limitasyon ng visibility, ito ay ipinasok. Bago ang pag-imbento ng teleskopyo, ang limitadong pag-andar sa espasyo ay hindi halata! Sa katunayan, paano mo malalaman kung ano ang naghihintay sa atin sa kabila ng abot-tanaw? Pagkatapos ng lahat, sa sandaling ang Earth ay itinuturing na patag, kaya ngayon kahit na ang ordinaryong teleportasyon ay nangangailangan ng patunay =)

Ayon kay pangalawang Weierstrass theorem, tuloy-tuloy sa segmentumabot ang function nito eksaktong tuktok na gilid at ang kanyang eksaktong ilalim na gilid .

Tinatawag din ang numero ang maximum na halaga ng function sa segment at tinutukoy ng , at ang bilang - ang pinakamababang halaga ng function sa segment may markang .

Sa kaso natin:

Tandaan : sa teorya, ang mga rekord ay karaniwan .

Sa madaling salita, pinakamataas na halaga ay matatagpuan kung saan ang mataas na punto graphics, at ang pinakamaliit - kung saan ang pinakamababang punto.

Mahalaga! Gaya ng itinuro na sa artikulo sa extrema ng function, ang pinakamalaking halaga ng function At pinakamaliit na halaga ng function – IBA, Ano maximum na function At minimum na function. Kaya, sa halimbawang ito, ang numero ay ang minimum ng function, ngunit hindi ang pinakamababang halaga.

By the way, ano ang nangyayari sa labas ng segment? Oo, kahit ang baha, sa konteksto ng problemang isinasaalang-alang, hindi ito interesado sa amin. Ang gawain ay nagsasangkot lamang ng paghahanap ng dalawang numero at yun lang!

Bukod dito, ang solusyon ay purong analytical, samakatuwid, hindi na kailangang gumuhit!

Ang algorithm ay nasa ibabaw at nagmumungkahi ng sarili mula sa figure sa itaas:

1) Hanapin ang mga halaga ng function sa kritikal na puntos, na kabilang sa segment na ito.

Makakuha ng isa pang goodie: hindi na kailangang suriin ang isang sapat na kondisyon para sa isang extremum, dahil, tulad ng ipinakita lamang, ang pagkakaroon ng isang minimum o maximum hindi pa garantisado ano ang pinakamababa o pinakamataas na halaga. Ang demonstration function ay umabot sa maximum nito at, ayon sa kalooban ng tadhana, ang parehong numero ay ang pinakamalaking halaga ng function sa pagitan . Ngunit, siyempre, ang gayong pagkakataon ay hindi palaging nagaganap.

Kaya, sa unang hakbang, mas mabilis at mas madaling kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga kritikal na punto na kabilang sa segment, nang hindi nag-abala kung mayroon silang extrema o wala.

2) Kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment.

3) Kabilang sa mga halaga ng function na matatagpuan sa ika-1 at ika-2 talata, pipiliin namin ang pinakamaliit at pinakamaraming malaking numero, isulat ang sagot.

Umupo kami sa dalampasigan asul na dagat at pindutin ang mga takong sa mababaw na tubig:

Halimbawa 1

Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga mga function sa segment

Solusyon:
1) Kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga kritikal na punto na kabilang sa segment na ito:

Kalkulahin natin ang halaga ng function sa pangalawang kritikal na punto:

2) Kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment:

3) Ang mga "Bold" na resulta ay nakuha gamit ang mga exponential at logarithms, na makabuluhang nagpapalubha sa kanilang paghahambing. Para sa kadahilanang ito, aayusin namin ang aming sarili ng isang calculator o Excel at kalkulahin ang tinatayang mga halaga, hindi nakakalimutan na:

Ngayon malinaw na ang lahat.

Sagot:

Fractional-rational na halimbawa para sa independiyenteng solusyon:

Halimbawa 6

Hanapin ang maximum at minimum na halaga ng isang function sa isang segment

Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function

Ang pinakamalaking halaga ng isang function ay tinatawag na pinakamalaking, ang pinakamaliit na halaga ay ang pinakamaliit sa lahat ng mga halaga nito.

Ang isang function ay maaaring magkaroon lamang ng isang pinakamalaki at isang pinakamaliit na halaga, o maaaring wala man lang. Paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga tuluy-tuloy na pag-andar ay batay sa mga sumusunod na katangian ng mga function na ito:

1) Kung sa ilang pagitan (finite o infinite) ang function na y=f(x) ay tuloy-tuloy at may isang extremum lang, at kung ito ang maximum (minimum), ito ang magiging pinakamalaking (pinakamaliit) na value ng function. sa pagitan na ito.

2) Kung ang function na f(x) ay tuloy-tuloy sa ilang segment , kung gayon ito ay kinakailangang may pinakamalaki at pinakamaliit na halaga sa segment na ito. Ang mga halagang ito ay naaabot alinman sa mga extremum point na nasa loob ng segment, o sa mga hangganan ng segment na ito.

Upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga sa segment, inirerekumenda na gamitin ang sumusunod na scheme:

1. Hanapin ang derivative.

2. Hanapin ang mga kritikal na punto ng function kung saan =0 o wala.

3. Hanapin ang mga halaga ng function sa mga kritikal na punto at sa mga dulo ng segment at piliin mula sa kanila ang pinakamalaking f max at ang pinakamaliit na f min.

Kapag nilulutas ang mga inilapat na problema, sa partikular na mga problema sa pag-optimize, ang mga problema sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga (global maximum at global minimum) ng isang function sa interval X ay mahalaga. Upang malutas ang mga naturang problema, dapat, batay sa kondisyon , pumili ng independent variable at ipahayag ang value na pinag-aaralan sa pamamagitan ng variable na ito. Pagkatapos ay hanapin ang nais na maximum o minimum na halaga ng resultang function. Sa kasong ito, ang pagitan ng pagbabago ng independiyenteng variable, na maaaring may hangganan o walang hanggan, ay tinutukoy din mula sa kondisyon ng problema.

Halimbawa. Ang tangke, na may hugis ng isang parihabang parallelepiped na may isang parisukat na ibaba, bukas sa itaas, ay dapat na lata sa loob ng lata. Ano ang dapat na mga sukat ng tangke na may kapasidad na 108 litro. tubig upang ang halaga ng tinning nito ay ang pinakamaliit?

Solusyon. Ang halaga ng patong ng tangke ng lata ay magiging pinakamababa kung, para sa isang naibigay na kapasidad, ang ibabaw nito ay minimal. Tukuyin ng isang dm - ang gilid ng base, b dm - ang taas ng tangke. Pagkatapos ang lugar S ng ibabaw nito ay katumbas ng

AT

Ang resultang ugnayan ay nagtatatag ng ugnayan sa pagitan ng ibabaw na lugar ng tangke S (function) at sa gilid ng base a (argumento). Sinisiyasat namin ang function na S para sa isang extremum. Hanapin ang unang derivative, i-equate ito sa zero at lutasin ang resultang equation:

Kaya a = 6. (a) > 0 para sa isang > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Halimbawa. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa gitna.

Solusyon: Itakda ang function tuloy-tuloy sa buong linya ng numero. Derivative ng function

Hinango sa at sa . Kalkulahin natin ang mga halaga ng function sa mga puntong ito:

.

Ang mga halaga ng function sa mga dulo ng ibinigay na pagitan ay katumbas ng . Samakatuwid, ang pinakamalaking halaga ng function ay sa , ang pinakamaliit na halaga ng function ay sa .

Mga tanong para sa pagsusuri sa sarili

1. Bumuo ng panuntunan ng L'Hopital para sa pagsisiwalat ng mga kawalan ng katiyakan ng form . Ilista ang iba't ibang uri ng kawalan ng katiyakan kung saan maaaring gamitin ang panuntunan ng L'Hospital.

2. Bumuo ng mga palatandaan ng pagtaas at pagbaba ng function.

3. Tukuyin ang maximum at minimum ng isang function.

4. Bumalangkas kinakailangang kondisyon ang pagkakaroon ng isang extremum.

5. Anong mga halaga ng argumento (anong mga punto) ang tinatawag na kritikal? Paano mahahanap ang mga puntong ito?

6. Ano ang mga sapat na palatandaan ng pagkakaroon ng extremum ng isang function? Balangkas ang isang scheme para sa pag-aaral ng isang function para sa isang extremum gamit ang unang derivative.

7. Balangkasin ang scheme para sa pag-aaral ng function para sa isang extremum gamit ang pangalawang derivative.

8. Tukuyin ang convexity, concavity ng isang curve.

9. Ano ang inflection point ng isang function graph? Tukuyin kung paano hanapin ang mga puntong ito.

10. Bumuo ng kailangan at sapat na mga palatandaan ng convexity at concavity ng curve sa isang partikular na segment.

11. Tukuyin ang asymptote ng curve. Paano mahahanap ang patayo, pahalang at pahilig na mga asymptotes ng isang function graph?

12. Estado pangkalahatang pamamaraan pag-aaral ng function at pagbuo ng graph nito.

13. Bumuo ng isang panuntunan para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang partikular na segment.

Ang proseso ng paghahanap ng pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang segment ay nagpapaalala sa isang kamangha-manghang paglipad sa paligid ng isang bagay (isang graph ng isang function) sa isang helicopter na may pagpapaputok mula sa isang long-range na kanyon sa ilang mga punto at pagpili mula sa ang mga puntong ito ay napakaespesyal na mga punto para sa mga control shot. Ang mga puntos ay pinili sa isang tiyak na paraan at ayon sa ilang mga tuntunin. Sa pamamagitan ng anong mga tuntunin? Pag-uusapan pa natin ito.

Kung ang function y = f(x) tuloy-tuloy sa segment [ a, b] , pagkatapos ay umabot ito sa segment na ito hindi bababa sa At pinakamataas na halaga . Maaaring mangyari ito sa matinding puntos o sa dulo ng segment. Samakatuwid, upang mahanap hindi bababa sa At ang pinakamalaking halaga ng function , tuloy-tuloy sa pagitan [ a, b] , kailangan mong kalkulahin ang mga halaga nito sa lahat kritikal na puntos at sa mga dulo ng segment, at pagkatapos ay piliin ang pinakamaliit at pinakamalaki sa kanila.

Hayaan, halimbawa, kinakailangan upang matukoy ang maximum na halaga ng function f(x) sa segment [ a, b] . Upang gawin ito, hanapin ang lahat ng mga kritikal na punto nito na nasa [ a, b] .

kritikal na punto ay tinatawag na punto kung saan tinukoy ang function, at siya derivative ay alinman sa zero o wala. Pagkatapos ay dapat mong kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar sa mga kritikal na punto. At, sa wakas, dapat ihambing ng isa ang mga halaga ng function sa mga kritikal na punto at sa mga dulo ng segment ( f(a) At f(b) ). Ang pinakamalaki sa mga bilang na ito ay magiging ang pinakamalaking halaga ng function sa segment [a, b] .

Ang problema sa paghahanap ang pinakamaliit na halaga ng function .

Hinahanap namin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng function nang magkasama

Halimbawa 1. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa segment [-1, 2] .

Solusyon. Nahanap namin ang derivative ng function na ito. I-equate ang derivative sa zero () at makakuha ng dalawang kritikal na puntos: at . Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, sapat na upang kalkulahin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa punto , dahil ang punto ay hindi kabilang sa segment [-1, 2] . Ang mga value ng function na ito ay ang mga sumusunod: , , . Sinusundan nito iyon pinakamaliit na halaga ng function(minarkahan ng pula sa graph sa ibaba), katumbas ng -7, ay naabot sa kanang dulo ng segment - sa punto , at pinakadakila(pula din sa graph), ay katumbas ng 9, - sa kritikal na punto .

Kung ang function ay tuluy-tuloy sa isang tiyak na agwat at ang agwat na ito ay hindi isang segment (ngunit, halimbawa, isang agwat; ang pagkakaiba sa pagitan ng isang agwat at isang segment: ang mga hangganan na punto ng agwat ay hindi kasama sa agwat, ngunit ang Ang mga hangganan ng mga punto ng segment ay kasama sa segment), pagkatapos ay kabilang sa mga halaga ng pag-andar ay maaaring walang pinakamaliit at pinakamalaki. Kaya, halimbawa, ang function na inilalarawan sa figure sa ibaba ay tuloy-tuloy sa ]-∞, +∞[ at walang pinakamalaking halaga.

Gayunpaman, para sa anumang agwat (sarado, bukas, o walang katapusan), ang sumusunod na katangian ng tuluy-tuloy na mga pag-andar ay hawak.

Halimbawa 4. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa segment [-1, 3] .

Solusyon. Nakita namin ang derivative ng function na ito bilang derivative ng quotient:

.

Tinutumbas namin ang derivative sa zero, na nagbibigay sa amin ng isa kritikal na punto: . Ito ay kabilang sa pagitan [-1, 3] . Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, makikita namin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa natagpuang kritikal na punto:

Ihambing natin ang mga halagang ito. Konklusyon: katumbas ng -5/13, sa punto at ang pinakamalaking halaga katumbas ng 1 sa punto .

Patuloy kaming naghahanap ng pinakamaliit at pinakamalaking value ng function nang magkasama

Mayroong mga guro na, sa paksa ng paghahanap ng pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function, ay hindi nagbibigay sa mga mag-aaral ng mga halimbawa na mas kumplikado kaysa sa mga isinasaalang-alang, iyon ay, ang mga kung saan ang function ay isang polynomial o isang fraction, ang numerator at denominator nito ay mga polynomial. Ngunit hindi namin lilimitahan ang ating sarili sa gayong mga halimbawa, dahil sa mga guro ay may mga mahilig sa pag-iisip ng mga mag-aaral nang buo (talahanayan ng mga derivatives). Samakatuwid, ang logarithm at ang trigonometric function ay gagamitin.

Halimbawa 6. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa segment .

Solusyon. Nakikita namin ang derivative ng function na ito bilang derivative ng produkto :

Tinutumbas namin ang derivative sa zero, na nagbibigay ng isang kritikal na punto: . Ito ay kabilang sa segment. Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, makikita namin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa natagpuang kritikal na punto:

Ang resulta ng lahat ng mga aksyon: ang function ay umabot sa pinakamababang halaga nito, katumbas ng 0, sa isang punto at sa isang punto at ang pinakamalaking halaga katumbas ng e² , sa punto .

Halimbawa 7. Hanapin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa segment .

Solusyon. Nahanap namin ang derivative ng function na ito:

I-equate ang derivative sa zero:

Ang tanging kritikal na punto ay kabilang sa segment . Upang mahanap ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng isang function sa isang partikular na segment, makikita namin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa natagpuang kritikal na punto:

Konklusyon: ang function ay umabot sa pinakamababang halaga nito, katumbas ng , sa punto at ang pinakamalaking halaga, katumbas ng , sa punto .

Sa mga inilapat na matinding problema, ang paghahanap ng pinakamaliit (pinakamalaking) mga halaga ng function, bilang panuntunan, ay binabawasan sa paghahanap ng pinakamababa (maximum). Ngunit hindi ang minima o maxima mismo ang mas praktikal na interes, ngunit ang mga halaga ng argumento kung saan nakamit ang mga ito. Kapag nilulutas ang mga inilapat na problema, lumitaw ang isang karagdagang kahirapan - ang pagsasama-sama ng mga pag-andar na naglalarawan sa kababalaghan o proseso na isinasaalang-alang.

Halimbawa 8 Ang isang tangke na may kapasidad na 4, na may hugis ng parallelepiped na may parisukat na base at bukas sa itaas, ay dapat na tinned. Ano ang dapat na mga sukat ng tangke upang masakop ito ng hindi bababa sa dami ng materyal?

Solusyon. Hayaan x- gilid ng base h- taas ng tangke, S- ang ibabaw nito na walang takip, V- ang dami nito. Ang ibabaw na lugar ng tangke ay ipinahayag ng formula, i.e. ay isang function ng dalawang variable. Upang ipahayag S bilang isang function ng isang variable, ginagamit namin ang katotohanan na , kung saan . Pagpapalit sa nahanap na expression h sa pormula para sa S:

Suriin natin ang function na ito para sa isang extremum. Ito ay tinukoy at naiba-iba sa lahat ng dako sa ]0, +∞[ , at

.

Tinutumbas namin ang derivative sa zero () at hanapin ang kritikal na punto. Bilang karagdagan, sa , ang derivative ay hindi umiiral, ngunit ang halagang ito ay hindi kasama sa domain ng kahulugan at samakatuwid ay hindi maaaring maging isang extremum point. Kaya, - ang tanging kritikal na punto. Suriin natin ito para sa pagkakaroon ng extremum gamit ang pangalawang sapat na pamantayan. Hanapin natin ang pangalawang derivative. Kapag ang pangalawang derivative ay mas malaki sa zero (). Nangangahulugan ito na kapag ang function ay umabot sa isang minimum . Dahil ito minimum - ang tanging extremum ng function na ito, ito ang pinakamaliit na halaga nito. Kaya, ang gilid ng base ng tangke ay dapat na katumbas ng 2 m, at ang taas nito.

Halimbawa 9 Mula sa talata A, na matatagpuan sa linya ng tren, hanggang sa punto SA, sa malayo mula dito l, kailangang dalhin ang mga kalakal. Ang halaga ng pagdadala ng isang yunit ng timbang sa bawat yunit ng distansya sa pamamagitan ng tren ay katumbas ng , at sa pamamagitan ng highway ito ay katumbas ng . Hanggang saang punto M mga linya riles isang highway ay dapat na itayo upang ang transportasyon ng mga kalakal mula sa A V SA ay ang pinaka-ekonomiko AB ang riles ay ipinapalagay na tuwid)?

Paano mahahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment?

Para dito sinusunod namin ang kilalang algorithm:

1 . Nakikita namin ang mga function ng ODZ.

2 . Paghahanap ng derivative ng isang function

3 . I-equate ang derivative sa zero

4 . Nahanap namin ang mga agwat kung saan pinapanatili ng derivative ang tanda nito, at mula sa kanila ay tinutukoy namin ang mga agwat ng pagtaas at pagbaba ng function:

Kung sa pagitan ko ang derivative ng function na 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} tumataas sa pagitan na ito.

Kung sa pagitan ko ang derivative ng function , pagkatapos ay ang function bumababa sa pagitan na ito.

5 . Nahanap namin maximum at minimum na puntos ng function.

SA ang function na maximum point, ang derivative ay nagbabago ng sign mula "+" hanggang "-".

SA pinakamababang punto ng functionderivative na pagbabago sign mula "-" hanggang "+".

6 . Nahanap namin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment,

• pagkatapos ay inihambing namin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa pinakamataas na puntos, at piliin ang pinakamalaki sa kanila kung kailangan mong hanapin ang pinakamalaking halaga ng function
• o inihahambing namin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa pinakamababang puntos, at piliin ang pinakamaliit sa kanila kung kailangan mong hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function

Gayunpaman, depende sa kung paano kumikilos ang function sa pagitan, ang algorithm na ito ay maaaring makabuluhang bawasan.

Isaalang-alang ang function . Ang graph ng function na ito ay ganito ang hitsura:

Isaalang-alang natin ang ilang halimbawa ng paglutas ng mga problema mula sa Open Task Bank para sa

1 . Gawain B15 (#26695)

Sa hiwa.

1. Ang function ay tinukoy para sa lahat ng tunay na halaga ng x

Malinaw, ang equation na ito ay walang mga solusyon, at ang derivative ay positibo para sa lahat ng mga halaga ng x. Samakatuwid, ang function ay tumataas at tumatagal sa pinakamalaking halaga sa kanang dulo ng pagitan, iyon ay, sa x=0.

Sagot: 5.

2 . Gawain B15 (No. 26702)

Hanapin ang pinakamalaking halaga ng isang function sa segment.

1.ODZ function title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Ang derivative ay zero sa , gayunpaman, sa mga puntong ito ay hindi ito nagbabago ng sign:

Samakatuwid, title="3/(cos^2(x)))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} tumataas at kumukuha ng pinakamalaking halaga sa kanang dulo ng pagitan, sa .

Upang gawing malinaw kung bakit ang derivative ay hindi nagbabago ng sign, binabago namin ang expression para sa derivative bilang mga sumusunod:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Sagot: 5.

3 . Gawain B15 (#26708)

Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function sa pagitan.

1. ODZ functions: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Ilagay natin ang mga ugat ng equation na ito sa isang trigonometriko na bilog.

Ang pagitan ay naglalaman ng dalawang numero: at

Ilagay natin ang mga karatula. Upang gawin ito, tinutukoy namin ang tanda ng derivative sa puntong x=0: . Kapag dumadaan sa mga punto at ang derivative na pagbabago sign.

Ilarawan natin ang pagbabago ng mga palatandaan ng derivative ng function sa linya ng coordinate:

Malinaw, ang punto ay isang minimum na punto (kung saan ang derivative ay nagbabago ng sign mula sa "-" hanggang "+"), at upang mahanap ang pinakamaliit na halaga ng function sa pagitan, kailangan mong ihambing ang mga halaga ng function. sa pinakamababang punto at sa kaliwang dulo ng segment, .

Ang karaniwang algorithm para sa paglutas ng mga naturang gawain ay nagsasangkot, pagkatapos mahanap ang mga zero ng function, ang pagpapasiya ng mga palatandaan ng derivative sa mga pagitan. Pagkatapos ay ang pagkalkula ng mga halaga sa mga nahanap na punto ng maximum (o minimum) at sa hangganan ng agwat, depende sa kung anong tanong ang nasa kondisyon.

Ipinapayo ko sa iyo na gawin ang mga bagay na medyo naiiba. Bakit? Sumulat tungkol dito.

Iminumungkahi kong lutasin ang mga gawain tulad ng sumusunod:

1. Hanapin ang derivative.
2. Hanapin ang mga zero ng derivative.
3. Tukuyin kung alin sa mga ito ang nabibilang sa ibinigay na pagitan.
4. Kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga hangganan ng pagitan at mga punto ng item 3.
5. Gumagawa kami ng konklusyon (sinasagot namin ang tanong na ibinibigay).

Sa kurso ng paglutas ng ipinakita na mga halimbawa, ang solusyon ay hindi isinasaalang-alang nang detalyado. quadratic equation, dapat kaya mo itong gawin. Dapat alam din nila.

Isaalang-alang ang mga halimbawa:

77422. Hanapin ang pinakamalaking halaga ng function na y=x 3 –3x+4 sa segment [–2;0].

Hanapin natin ang mga zero ng derivative:

Ang puntong x = –1 ay kabilang sa pagitan na tinukoy sa kundisyon.

Kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga punto -2, -1 at 0:

Ang pinakamalaking halaga ng function ay 6.

Sagot: 6

77425. Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function na y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 sa segment.

Hanapin ang derivative ng ibinigay na function:

Hanapin natin ang mga zero ng derivative:

Ang puntong x = 2 ay kabilang sa pagitan na tinukoy sa kundisyon.

Kinakalkula namin ang mga halaga ng pag-andar sa mga punto 1, 2 at 4:

Ang pinakamaliit na halaga ng function ay -2.

Sagot: -2

77426. Hanapin ang pinakamalaking halaga ng function na y \u003d x 3 - 6x 2 sa segment [-3; 3].

Hanapin ang derivative ng ibinigay na function:

Hanapin natin ang mga zero ng derivative:

Ang puntong x = 0 ay kabilang sa pagitan na tinukoy sa kundisyon.

Kinakalkula namin ang mga halaga ng pag-andar sa mga punto -3, 0 at 3:

Ang pinakamaliit na halaga ng function ay 0.

Sagot: 0

77429. Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function na y \u003d x 3 - 2x 2 + x + 3 sa segment.

Hanapin ang derivative ng ibinigay na function:

3x 2 - 4x + 1 = 0

Nakukuha namin ang mga ugat: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.

Ang x = 1 lamang ang nabibilang sa pagitan na tinukoy sa kundisyon.

Hanapin ang mga halaga ng function sa mga punto 1 at 4:

Nalaman namin na ang pinakamaliit na halaga ng function ay 3.

Sagot: 3

77430. Hanapin ang pinakamalaking halaga ng function na y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3 sa segment [- 4; -1].

Hanapin ang derivative ng ibinigay na function:

Hanapin ang mga zero ng derivative, lutasin ang quadratic equation:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Kunin natin ang mga ugat:

Ang ugat х = –1 ay kabilang sa pagitan na tinukoy sa kundisyon.

Hanapin ang mga halaga ng function sa mga punto -4, -1, -1/3 at 1:

Nalaman namin na ang pinakamalaking halaga ng function ay 3.

Sagot: 3

77433. Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function na y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 sa segment.

Hanapin ang derivative ng ibinigay na function:

Hanapin ang mga zero ng derivative, lutasin ang quadratic equation:

3x 2 - 2x - 40 = 0

Kunin natin ang mga ugat:

Ang ugat na x = 4 ay kabilang sa pagitan na tinukoy sa kundisyon.

Nahanap namin ang mga halaga ng function sa mga punto 0 at 4:

Nalaman namin na ang pinakamaliit na halaga ng function ay -109.

Sagot: -109

Isaalang-alang ang isang paraan para sa pagtukoy ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng mga pag-andar na walang hinalaw. Maaaring gamitin ang diskarteng ito kung sa kahulugan ng derivative na mayroon ka malalaking problema. Ang prinsipyo ay simple - pinapalitan namin ang lahat ng mga halaga ng integer mula sa agwat sa function (ang katotohanan ay sa lahat ng mga naturang prototype ang sagot ay isang integer).

77437. Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng function y \u003d 7 + 12x - x 3 sa segment [-2; 2].

Pinapalitan namin ang mga puntos mula -2 hanggang 2: Tingnan ang Solusyon

77434. Hanapin ang pinakamalaking halaga ng function na y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 sa segment [-2; 0].

Iyon lang. Good luck sa iyo!

Taos-puso, Alexander Krutitskikh.

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo ang tungkol sa site sa mga social network.