Maliit at maganda simpleng gawain mula sa kategorya ng mga nagsisilbing life preserver para sa isang lumulutang na estudyante. Ito ay nasa kalagitnaan ng Hulyo, kaya oras na upang manirahan kasama ang iyong laptop sa beach. Maaga sa umaga, nagsimulang tumugtog ang sinag ng araw ng teorya, upang sa lalong madaling panahon ay tumutok sa pagsasanay, na, sa kabila ng ipinahayag na kadalian, ay naglalaman ng mga shards ng salamin sa buhangin. Sa bagay na ito, inirerekumenda ko na maingat mong isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng pahinang ito. Upang malutas ang mga praktikal na problema kailangan mong kayanin maghanap ng mga derivatives at unawain ang materyal ng artikulo Mga monotonicity interval at extrema ng function.

Una, maikling tungkol sa pangunahing bagay. Sa aralin tungkol sa pagpapatuloy ng pag-andar Ibinigay ko ang kahulugan ng pagpapatuloy sa isang punto at pagpapatuloy sa isang pagitan. Ang huwarang pag-uugali ng isang function sa isang segment ay binuo sa katulad na paraan. Ang isang function ay tuloy-tuloy sa isang pagitan kung:

1) ito ay tuloy-tuloy sa pagitan;
2) tuloy-tuloy sa isang punto sa kanan at sa punto umalis.

Sa ikalawang talata napag-usapan natin ang tinatawag na isang panig na pagpapatuloy gumagana sa isang punto. Mayroong ilang mga diskarte sa pagtukoy nito, ngunit mananatili ako sa linyang sinimulan ko kanina:

Ang pag-andar ay tuloy-tuloy sa punto sa kanan, kung ito ay tinukoy sa isang partikular na punto at ang kanang-kamay na limitasyon ay tumutugma sa halaga ng function sa isang partikular na punto: . Ito ay tuloy-tuloy sa punto umalis, kung tinukoy sa isang partikular na punto at sa kaliwang bahagi nito na limitasyon katumbas ng halaga Simula ngayon:

Isipin na ang mga berdeng tuldok ay mga pako na may nakakabit na magic elastic band:

Sa isip, kunin ang pulang linya sa iyong mga kamay. Malinaw, gaano man kalayo natin iunat ang graph pataas at pababa (sa kahabaan ng axis), mananatili pa rin ang function limitado– isang bakod sa itaas, isang bakod sa ibaba, at ang aming produkto ay nanginginain sa paddock. kaya, ang isang function na tuloy-tuloy sa isang pagitan ay nakatali dito. Sa kurso ng pagsusuri sa matematika, ang tila simpleng katotohanang ito ay nakasaad at mahigpit na napatunayan. Ang unang teorama ni Weierstrass....Maraming tao ang naiinis na ang mga elementarya na pahayag ay nakakapagod na pinatunayan sa matematika, ngunit ito ay may mahalagang kahulugan. Ipagpalagay na ang isang tiyak na naninirahan sa terry Middle Ages ay humila ng isang graph sa kalangitan na lampas sa mga limitasyon ng visibility, ito ay ipinasok. Bago ang pag-imbento ng teleskopyo, ang limitadong pag-andar sa espasyo ay hindi halata! Talaga, paano mo malalaman kung ano ang naghihintay sa atin sa abot-tanaw? Pagkatapos ng lahat, ang Earth ay dating itinuturing na flat, kaya ngayon kahit na ang ordinaryong teleportation ay nangangailangan ng patunay =)

Ayon kay Ang pangalawang teorama ni Weierstrass, tuloy-tuloy sa isang segmentumabot ang function nito eksaktong upper bound at sa iyo eksaktong ilalim na gilid .

Tinatawag din ang numero ang maximum na halaga ng function sa segment at ay tinutukoy ng , at ang numero ay ang pinakamababang halaga ng function sa segment may markang .

Sa kaso natin:

Tandaan : sa teorya, ang mga pag-record ay karaniwan .

Sa madaling salita, pinakamataas na halaga ay matatagpuan kung saan ang pinaka mataas na punto graphics, at ang pinakamaliit ay kung nasaan ang pinakamababang punto.

Mahalaga! Gaya ng nabigyang-diin sa artikulo tungkol sa extrema ng function, pinakamalaking halaga ng pag-andar At pinakamaliit na halaga ng function – IBA, Ano maximum na function At pinakamababang function. Kaya, sa halimbawang isinasaalang-alang, ang numero ay ang minimum ng function, ngunit hindi ang pinakamababang halaga.

By the way, ano ang nangyayari sa labas ng segment? Oo, kahit isang baha, sa konteksto ng problemang isinasaalang-alang, hindi ito interesado sa amin. Ang gawain ay nagsasangkot lamang ng paghahanap ng dalawang numero at yun lang!

Bukod dito, ang solusyon ay purong analytical, samakatuwid hindi na kailangan gumawa ng drawing!

Ang algorithm ay nasa ibabaw at nagmumungkahi ng sarili mula sa figure sa itaas:

1) Hanapin ang mga halaga ng function sa kritikal na mga punto, na kabilang sa segment na ito.

Makakuha ng isa pang bonus: dito hindi na kailangang suriin ang sapat na kondisyon para sa isang extremum, dahil, tulad ng ipinakita lamang, ang pagkakaroon ng isang minimum o maximum hindi pa ginagarantiya, ano ang pinakamababa o pinakamataas na halaga. Ang demonstration function ay umabot sa maximum at, ayon sa kalooban ng kapalaran, ang parehong numero ay ang pinakamalaking halaga ng function sa segment. Ngunit, siyempre, ang gayong pagkakataon ay hindi palaging nangyayari.

Kaya, sa unang hakbang, mas mabilis at mas madaling kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar sa mga kritikal na punto na kabilang sa segment, nang hindi nag-abala kung mayroong extrema sa kanila o wala.

2) Kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment.

3) Kabilang sa mga value ng function na makikita sa 1st at 2nd paragraph, piliin ang pinakamaliit at pinakamaraming malaking numero, isulat ang sagot.

Umupo kami sa dalampasigan asul na dagat at tumama sa mababaw na tubig gamit ang aming mga takong:

Halimbawa 1

Hanapin ang pinakadakila at pinakamaliit na halaga mga function sa isang pagitan

Solusyon:
1) Kalkulahin natin ang mga halaga ng function sa mga kritikal na punto na kabilang sa segment na ito:

Kalkulahin natin ang halaga ng function sa pangalawang kritikal na punto:

2) Kalkulahin natin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment:

3) Ang mga resultang "Bold" ay nakuha gamit ang mga exponents at logarithms, na makabuluhang nagpapakumplikado sa kanilang paghahambing. Para sa kadahilanang ito, hawakan natin ang ating sarili ng isang calculator o Excel at kalkulahin ang mga tinatayang halaga, na hindi nakakalimutan na:

Ngayon malinaw na ang lahat.

Sagot:

Fractional-rational na halimbawa para sa independiyenteng solusyon:

Halimbawa 6

Hanapin ang maximum at minimum na halaga ng isang function sa isang segment

Hayaang tukuyin at tuluy-tuloy ang function na $z=f(x,y)$ sa ilang bounded saradong lugar$D$. Hayaang ang ibinigay na function sa rehiyong ito ay may finite partial derivatives ng unang order (maliban, marahil, para sa isang may hangganang bilang ng mga puntos). Upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function ng dalawang variable sa isang ibinigay na saradong rehiyon, tatlong hakbang ng isang simpleng algorithm ang kinakailangan.

Algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na value ng function na $z=f(x,y)$ sa isang closed domain na $D$.

1. Hanapin ang mga kritikal na punto ng function na $z=f(x,y)$ na kabilang sa domain na $D$. Kalkulahin ang mga halaga ng pag-andar sa mga kritikal na punto.
2. Siyasatin ang pag-uugali ng function na $z=f(x,y)$ sa hangganan ng rehiyon na $D$, sa paghahanap ng mga punto ng posibleng maximum at minimum na halaga. Kalkulahin ang mga halaga ng function sa nakuha na mga punto.
3. Mula sa mga halaga ng function na nakuha sa nakaraang dalawang talata, piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit.

Ano ang mga kritikal na puntos? Ipakita itago

Sa ilalim kritikal na mga punto nagpapahiwatig ng mga punto kung saan ang parehong first-order na partial derivatives ay katumbas ng zero (ibig sabihin, $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ at $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) o hindi bababa sa isang bahagyang derivative ay hindi umiiral.

Kadalasan ang mga punto kung saan ang mga first-order na partial derivatives ay katumbas ng zero ay tinatawag nakatigil na mga punto. Kaya, ang mga nakatigil na puntos ay isang subset ng mga kritikal na punto.

Halimbawa Blg. 1

Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng function na $z=x^2+2xy-y^2-4x$ sa isang saradong rehiyon, limitado ng mga linya$x=3$, $y=0$ at $y=x+1$.

Susundin natin ang nasa itaas, ngunit haharapin muna natin ang pagguhit ng isang partikular na lugar, na tutukuyin natin ng titik $D$. Binibigyan tayo equation ng tatlo mga tuwid na linya na naglilimita sa lugar na ito. Ang tuwid na linyang $x=3$ ay dumadaan sa puntong $(3;0)$ na kahanay ng ordinate axis (Oy axis). Ang tuwid na linya $y=0$ ay ang equation ng abscissa axis (Ox axis). Buweno, upang mabuo ang linyang $y=x+1$, makakahanap tayo ng dalawang punto kung saan iguguhit natin ang linyang ito. Maaari mong, siyempre, palitan ang isang pares ng mga arbitrary na halaga sa halip na $x$. Halimbawa, ang pagpapalit ng $x=10$, makakakuha tayo ng: $y=x+1=10+1=11$. Natagpuan namin ang puntong $(10;11)$ na nakahiga sa linyang $y=x+1$. Gayunpaman, mas mainam na hanapin ang mga puntong iyon kung saan ang tuwid na linya na $y=x+1$ ay nag-intersect sa mga linyang $x=3$ at $y=0$. Bakit mas maganda ito? Dahil papatayin natin ang isang pares ng mga ibon gamit ang isang bato: makakakuha tayo ng dalawang puntos upang mabuo ang tuwid na linya $y=x+1$ at sa parehong oras ay alamin kung saang mga punto ang tuwid na linyang ito ay bumalandra sa ibang mga linya na naglilimita sa ibinigay na lugar. Ang linyang $y=x+1$ ay bumabagtas sa linyang $x=3$ sa puntong $(3;4)$, at ang linyang $y=0$ ay nagsa-intersect sa puntong $(-1;0)$. Upang hindi magulo ang pag-usad ng solusyon sa mga pantulong na paliwanag, ilalagay ko ang tanong sa pagkuha ng dalawang puntong ito sa isang tala.

Paano nakuha ang mga puntos na $(3;4)$ at $(-1;0)$? Ipakita itago

Magsimula tayo sa intersection point ng mga linyang $y=x+1$ at $x=3$. Ang mga coordinate ng nais na punto ay nabibilang sa una at pangalawang tuwid na linya, samakatuwid, upang mahanap ang hindi kilalang mga coordinate, kailangan mong lutasin ang sistema ng mga equation:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

Ang solusyon sa naturang sistema ay walang halaga: ang pagpapalit ng $x=3$ sa unang equation na magkakaroon tayo ng: $y=3+1=4$. Ang puntong $(3;4)$ ay ang gustong intersection point ng mga linyang $y=x+1$ at $x=3$.

Ngayon, hanapin natin ang intersection point ng mga linyang $y=x+1$ at $y=0$. Muli nating buuin at lutasin ang sistema ng mga equation:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Ang pagpapalit ng $y=0$ sa unang equation, makakakuha tayo ng: $0=x+1$, $x=-1$. Ang puntong $(-1;0)$ ay ang gustong intersection point ng mga linyang $y=x+1$ at $y=0$ (x-axis).

Ang lahat ay handa na upang bumuo ng isang pagguhit na magiging ganito:

Ang tanong ng tala ay tila halata, dahil ang lahat ay nakikita sa larawan. Gayunpaman, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na ang isang pagguhit ay hindi maaaring magsilbing ebidensya. Ang pagguhit ay para sa mga layuning panglarawan lamang.

Ang aming lugar ay tinukoy gamit ang mga equation ng tuwid na linya na nagtali dito. Malinaw, ang mga linyang ito ay tumutukoy sa isang tatsulok, tama ba? O hindi ba ito lubos na halata? O marahil ay binibigyan tayo ng ibang lugar, na may hangganan ng parehong mga linya:

Siyempre, ang kondisyon ay nagsasabi na ang lugar ay sarado, kaya ang larawan na ipinakita ay mali. Ngunit upang maiwasan ang gayong mga kalabuan, mas mahusay na tukuyin ang mga rehiyon sa pamamagitan ng hindi pagkakapantay-pantay. Interesado ba tayo sa bahagi ng eroplano na matatagpuan sa ilalim ng tuwid na linya $y=x+1$? Ok, kaya $y ≤ x+1$. Dapat bang matatagpuan ang aming lugar sa itaas ng linyang $y=0$? Mahusay, ibig sabihin ay $y ≥ 0$. Sa pamamagitan ng paraan, ang huling dalawang hindi pagkakapantay-pantay ay madaling pagsamahin sa isa: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Tinutukoy ng mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ang rehiyong $D$, at tinukoy nila ito nang hindi malabo, nang hindi pinapayagan ang anumang kalabuan. Ngunit paano ito nakakatulong sa atin sa tanong na nakasaad sa simula ng tala? Makakatulong din ito :) Kailangan nating suriin kung ang puntong $M_1(1;1)$ ay kabilang sa lugar na $D$. Palitan natin ang $x=1$ at $y=1$ sa sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay na tumutukoy sa rehiyong ito. Kung ang parehong hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan, kung gayon ang punto ay nasa loob ng rehiyon. Kung hindi bababa sa isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nasiyahan, kung gayon ang punto ay hindi kabilang sa rehiyon. Kaya:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$

Ang parehong hindi pagkakapantay-pantay ay may bisa. Ang puntong $M_1(1;1)$ ay kabilang sa rehiyong $D$.

Ngayon ay oras na upang pag-aralan ang pag-uugali ng function sa hangganan ng rehiyon, i.e. pumunta tayo sa . Magsimula tayo sa tuwid na linya $y=0$.

Nililimitahan ng tuwid na linya na $y=0$ (abscissa axis) ang rehiyong $D$ sa ilalim ng kundisyong $-1 ≤ x ≤ 3$. Palitan natin ang $y=0$ sa ibinigay na function na $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Tinutukoy namin ang function ng isang variable na $x$ na nakuha bilang resulta ng pagpapalit bilang $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Ngayon para sa function na $f_1(x)$ kailangan nating hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga sa pagitan na $-1 ≤ x ≤ 3$. Hanapin natin ang derivative ng function na ito at i-equate ito sa zero:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Ang value na $x=2$ ay kabilang sa segment na $-1 ≤ x ≤ 3$, kaya magdaragdag din kami ng $M_2(2;0)$ sa listahan ng mga puntos. Bilang karagdagan, kalkulahin natin ang mga halaga ng function na $z$ sa mga dulo ng segment na $-1 ≤ x ≤ 3$, i.e. sa mga puntos na $M_3(-1;0)$ at $M_4(3;0)$. Sa pamamagitan ng paraan, kung ang puntong $M_2$ ay hindi kabilang sa segment na isinasaalang-alang, kung gayon, siyempre, hindi na kailangang kalkulahin ang halaga ng function na $z$ sa loob nito.

Kaya, kalkulahin natin ang mga halaga ng function na $z$ sa mga puntos na $M_2$, $M_3$, $M_4$. Siyempre, maaari mong palitan ang mga coordinate ng mga puntong ito sa orihinal na expression na $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Halimbawa, para sa puntong $M_2$ nakukuha namin ang:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Gayunpaman, ang mga kalkulasyon ay maaaring gawing simple nang kaunti. Upang gawin ito, nararapat na tandaan na sa segment na $M_3M_4$ mayroon tayong $z(x,y)=f_1(x)$. Isusulat ko ito nang detalyado:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(aligned)

Siyempre, kadalasan ay hindi na kailangan para sa mga detalyadong talaan, at sa hinaharap ay isusulat namin nang maikli ang lahat ng mga kalkulasyon:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Ngayon lumiko tayo sa tuwid na linya $x=3$. Nililimitahan ng tuwid na linyang ito ang rehiyong $D$ sa ilalim ng kondisyong $0 ≤ y ≤ 4$. Palitan natin ang $x=3$ sa ibinigay na function na $z$. Bilang resulta ng pagpapalit na ito nakukuha namin ang function na $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Para sa function na $f_2(y)$ kailangan nating hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga sa pagitan na $0 ≤ y ≤ 4$. Hanapin natin ang derivative ng function na ito at i-equate ito sa zero:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Ang value na $y=3$ ay kabilang sa segment na $0 ≤ y ≤ 4$, kaya magdaragdag din kami ng $M_5(3;3)$ sa mga naunang nahanap na puntos. Bilang karagdagan, kinakailangang kalkulahin ang halaga ng function na $z$ sa mga punto sa dulo ng segment na $0 ≤ y ≤ 4$, i.e. sa mga puntos na $M_4(3;0)$ at $M_6(3;4)$. Sa puntong $M_4(3;0)$ nakalkula na namin ang halaga ng $z$. Kalkulahin natin ang halaga ng function na $z$ sa mga puntos na $M_5$ at $M_6$. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na sa segment na $M_4M_6$ mayroon tayong $z(x,y)=f_2(y)$, samakatuwid:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(aligned)

At sa wakas, isaalang-alang ang huling hangganan ng rehiyon $D$, ibig sabihin. tuwid na linya $y=x+1$. Nililimitahan ng tuwid na linyang ito ang rehiyong $D$ sa ilalim ng kondisyong $-1 ≤ x ≤ 3$. Ang pagpapalit ng $y=x+1$ sa function na $z$, magkakaroon tayo ng:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Muli ay mayroon tayong function ng isang variable na $x$. At muli kailangan nating hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function na ito sa pagitan na $-1 ≤ x ≤ 3$. Hanapin natin ang derivative ng function na $f_(3)(x)$ at i-equate ito sa zero:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Ang halagang $x=1$ ay kabilang sa pagitan na $-1 ≤ x ≤ 3$. Kung $x=1$, pagkatapos ay $y=x+1=2$. Idagdag natin ang $M_7(1;2)$ sa listahan ng mga puntos at alamin kung ano ang halaga ng function na $z$ sa puntong ito. Mga puntos sa dulo ng segment na $-1 ≤ x ≤ 3$, i.e. ang mga puntos na $M_3(-1;0)$ at $M_6(3;4)$ ay isinaalang-alang nang mas maaga, nakita na namin ang halaga ng function sa kanila.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Ang ikalawang hakbang ng solusyon ay nakumpleto. Nakatanggap kami ng pitong halaga:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Bumaling tayo sa. Ang pagpili ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga mula sa mga numerong nakuha sa ikatlong talata, magkakaroon tayo ng:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$

Ang problema ay nalutas, ang natitira ay isulat ang sagot.

Sagot: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Halimbawa Blg. 2

Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng function na $z=x^2+y^2-12x+16y$ sa rehiyon na $x^2+y^2 ≤ 25$.

Una, bumuo tayo ng isang guhit. Ang equation na $x^2+y^2=25$ (ito ang boundary line ng isang partikular na lugar) ay tumutukoy sa isang bilog na may sentro sa pinanggalingan (i.e. sa puntong $(0;0)$) at isang radius ng 5. Ang hindi pagkakapantay-pantay na $x^2 +y^2 ≤ $25 ay nakakatugon sa lahat ng puntos sa loob at sa nabanggit na bilog.

Kikilos tayo ayon sa. Maghanap tayo ng mga partial derivatives at alamin ang mga kritikal na punto.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Walang mga punto kung saan hindi umiiral ang mga nahanap na partial derivatives. Alamin natin kung anong mga punto ang parehong partial derivatives ay sabay-sabay na katumbas ng zero, i.e. hanapin natin ang mga nakatigil na puntos.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(aligned)\right.$$

Nakakuha kami ng nakatigil na punto $(6;-8)$. Gayunpaman, ang nahanap na punto ay hindi kabilang sa rehiyong $D$. Madali itong ipakita nang hindi man lang gumagamit ng pagguhit. Suriin natin kung ang hindi pagkakapantay-pantay na $x^2+y^2 ≤ 25$ ay nananatili, na tumutukoy sa ating rehiyon na $D$. Kung $x=6$, $y=-8$, pagkatapos ay $x^2+y^2=36+64=100$, ibig sabihin. ang hindi pagkakapantay-pantay na $x^2+y^2 ≤ 25$ ay hindi humahawak. Konklusyon: ang puntong $(6;-8)$ ay hindi kabilang sa lugar na $D$.

Kaya, walang mga kritikal na punto sa loob ng rehiyon $D$. Lumipat tayo sa... Kailangan nating pag-aralan ang pag-uugali ng isang function sa hangganan ng isang partikular na rehiyon, i.e. sa bilog na $x^2+y^2=25$. Maaari naming, siyempre, ipahayag ang $y$ sa mga tuntunin ng $x$, at pagkatapos ay palitan ang resultang expression sa aming function na $z$. Mula sa equation ng isang bilog ay nakukuha natin ang: $y=\sqrt(25-x^2)$ o $y=-\sqrt(25-x^2)$. Ang pagpapalit, halimbawa, $y=\sqrt(25-x^2)$ sa ibinigay na function, magkakaroon tayo ng:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Ang karagdagang solusyon ay magiging ganap na magkapareho sa pag-aaral ng pag-uugali ng function sa hangganan ng rehiyon sa nakaraang halimbawa No. 1. Gayunpaman, tila mas makatwiran sa akin na ilapat ang pamamaraang Lagrange sa sitwasyong ito. Magiging interesado lamang kami sa unang bahagi ng pamamaraang ito. Pagkatapos ilapat ang unang bahagi ng pamamaraang Lagrange, makakakuha tayo ng mga punto kung saan susuriin natin ang function na $z$ para sa pinakamababa at pinakamataas na halaga.

Binubuo namin ang Lagrange function:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Nahanap namin ang mga partial derivatives ng Lagrange function at binubuo ang kaukulang sistema ng mga equation:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (nakahanay) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \end(aligned) \ kanan. \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( nakahanay)\kanan.$$

Upang malutas ang sistemang ito, agad nating ituro na ang $\lambda\neq -1$. Bakit $\lambda\neq -1$? Subukan nating palitan ang $\lambda=-1$ sa unang equation:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Ang nagresultang kontradiksyon na $0=6$ ay nagpapahiwatig na ang halagang $\lambda=-1$ ay hindi katanggap-tanggap. Output: $\lambda\neq -1$. Ipahayag natin ang $x$ at $y$ sa mga tuntunin ng $\lambda$:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(aligned)

Naniniwala ako na nagiging malinaw dito kung bakit partikular naming itinakda ang kundisyon $\lambda\neq -1$. Ginawa ito upang magkasya ang expression na $1+\lambda$ sa mga denominator nang walang panghihimasok. Iyon ay, upang matiyak na ang denominator ay $1+\lambda\neq 0$.

Ipalit natin ang mga resultang expression para sa $x$ at $y$ sa ikatlong equation ng system, i.e. sa $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Mula sa nagresultang pagkakapantay-pantay ay sumusunod na $1+\lambda=2$ o $1+\lambda=-2$. Kaya't mayroon kaming dalawang value ng parameter na $\lambda$, ibig sabihin: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Alinsunod dito, nakakakuha kami ng dalawang pares ng mga halaga $x$ at $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(aligned)

Kaya, nakakuha kami ng dalawang puntos ng isang posibleng conditional extremum, i.e. $M_1(3;-4)$ at $M_2(-3;4)$. Hanapin natin ang mga halaga ng function na $z$ sa mga puntos na $M_1$ at $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(aligned)

Dapat nating piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga mula sa mga nakuha natin sa una at pangalawang hakbang. Ngunit sa kasong ito ang pagpipilian ay maliit :) Mayroon kaming:

$$ z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Sagot: $z_(min)=-75; \; z_(max)=$125.

Mula sa praktikal na pananaw, ang pinakamalaking interes ay ang paggamit ng derivative upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function. Ano ang konektado dito? Pag-maximize ng kita, pagliit ng mga gastos, pagtukoy ng pinakamainam na pagkarga ng kagamitan... Sa madaling salita, sa maraming lugar ng buhay kailangan nating lutasin ang mga problema sa pag-optimize ng ilang mga parameter. At ito ang mga gawain ng paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function.

Dapat tandaan na ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function ay karaniwang hinahanap sa isang tiyak na pagitan X, na alinman sa buong domain ng function o bahagi ng domain ng kahulugan. Ang interval X mismo ay maaaring isang segment, isang bukas na agwat , isang walang katapusang pagitan.

Sa artikulong ito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga nang tahasan ibinigay na function isang variable y=f(x) .

Pag-navigate sa pahina.

Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function - mga kahulugan, mga guhit.

Tingnan natin sa madaling sabi ang mga pangunahing kahulugan.

Ang pinakamalaking halaga ng function na para sa sinuman totoo ang hindi pagkakapantay-pantay.

Ang pinakamaliit na halaga ng function y=f(x) sa pagitan ng X ay tinatawag na ganoong halaga na para sa sinuman totoo ang hindi pagkakapantay-pantay.

Ang mga kahulugang ito ay madaling maunawaan: ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng isang function ay ang pinakamalaking (pinakamaliit) na tinatanggap na halaga sa pagitan na isinasaalang-alang sa abscissa.

Mga nakatigil na puntos– ito ang mga halaga ng argumento kung saan ang derivative ng function ay nagiging zero.

Bakit kailangan natin ng mga nakatigil na puntos kapag hinahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga? Ang sagot sa tanong na ito ay ibinigay ng Fermat's theorem. Mula sa theorem na ito ay sumusunod na kung ang isang differentiable function ay may extremum (lokal na minimum o lokal na maximum) sa isang punto, kung gayon ang puntong ito ay nakatigil. Kaya, madalas na kinukuha ng function ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga nito sa pagitan ng X sa isa sa mga nakatigil na punto mula sa agwat na ito.

Gayundin, ang isang function ay kadalasang maaaring tumagal sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga nito sa mga punto kung saan ang unang derivative ng function na ito ay hindi umiiral, at ang function mismo ay tinukoy.

Agad nating sagutin ang isa sa mga pinakakaraniwang tanong sa paksang ito: "Palaging posible bang matukoy ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga ng isang function"? Hindi hindi palagi. Minsan ang mga hangganan ng interval X ay nag-tutugma sa mga hangganan ng domain ng kahulugan ng function, o ang interval X ay walang katapusan. At ang ilang mga pag-andar sa infinity at sa mga hangganan ng domain ng kahulugan ay maaaring tumagal sa parehong walang katapusan na malaki at walang katapusang maliit na halaga. Sa mga kasong ito, walang masasabi tungkol sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function.

Para sa kalinawan, magbibigay kami ng isang graphic na paglalarawan. Tingnan ang mga larawan at marami ang magiging mas malinaw.

Sa segment

Sa unang figure, ang function ay tumatagal ng pinakamalaking (max y) at pinakamaliit (min y) na mga halaga sa mga nakatigil na punto na matatagpuan sa loob ng segment [-6;6].

Isaalang-alang ang kaso na inilalarawan sa pangalawang figure. Baguhin natin ang segment sa . Sa halimbawang ito, ang pinakamaliit na halaga ng function ay nakakamit sa isang nakatigil na punto, at ang pinakamalaking sa punto na may abscissa na tumutugma sa kanang hangganan pagitan.

Sa Figure 3, ang mga boundary point ng segment [-3;2] ay ang abscissas ng mga puntos na tumutugma sa pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function.

Sa isang bukas na pagitan

Sa ika-apat na figure, ang function ay tumatagal ng pinakamalaking (max y) at pinakamaliit (min y) na mga halaga sa mga nakatigil na punto na matatagpuan sa loob ng bukas na pagitan (-6;6).

Sa agwat , walang mga konklusyon ang maaaring makuha tungkol sa pinakamalaking halaga.

Sa infinity

Sa halimbawang ipinakita sa ikapitong figure, ang function ay tumatagal ng pinakamalaking halaga (max y) sa isang nakatigil na punto na may abscissa x=1, at ang pinakamaliit na halaga (min y) ay nakakamit sa kanang hangganan ng pagitan. Sa minus infinity, ang mga halaga ng function ay asymptotically lumalapit sa y=3.

Sa paglipas ng pagitan, ang function ay hindi umabot sa pinakamaliit o pinakamalaking halaga. Habang lumalapit ang x=2 mula sa kanan, ang mga halaga ng function ay may posibilidad na mabawasan ang infinity (ang tuwid na linya x=2 ay patayong asymptote), at dahil ang abscissa ay may posibilidad na plus infinity, ang mga value ng function ay asymptotically lumalapit sa y=3. Ang isang graphic na paglalarawan ng halimbawang ito ay ipinapakita sa Figure 8.

Algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na function sa isang segment.

Sumulat tayo ng isang algorithm na nagbibigay-daan sa amin upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment.

1. Hinahanap namin ang domain ng kahulugan ng function at suriin kung naglalaman ito ng buong segment.
2. Nahanap namin ang lahat ng mga punto kung saan ang unang derivative ay hindi umiiral at kung saan ay nakapaloob sa segment (kadalasan ang mga naturang punto ay matatagpuan sa mga function na may argumento sa ilalim ng modulus sign at sa mga function ng kapangyarihan na may fractional-rational exponent). Kung walang ganoong mga punto, pagkatapos ay magpatuloy sa susunod na punto.
3. Tinutukoy namin ang lahat ng mga nakatigil na punto na nasa loob ng segment. Upang gawin ito, itinutumbas namin ito sa zero, lutasin ang nagresultang equation at pumili ng angkop na mga ugat. Kung walang mga nakatigil na punto o wala sa mga ito ang nahuhulog sa segment, pagkatapos ay magpatuloy sa susunod na punto.
4. Kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga napiling nakatigil na mga punto (kung mayroon man), sa mga punto kung saan ang unang derivative ay hindi umiiral (kung mayroon man), pati na rin sa x=a at x=b.
5. Mula sa nakuha na mga halaga ng pag-andar, pipiliin namin ang pinakamalaki at pinakamaliit - sila ang kinakailangang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng pag-andar, ayon sa pagkakabanggit.

Suriin natin ang algorithm para sa paglutas ng isang halimbawa upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment.

Halimbawa.

Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function

• sa segment;
• sa segment [-4;-1] .

Solusyon.

Ang domain ng kahulugan ng isang function ay ang buong hanay ng mga tunay na numero, maliban sa zero, iyon ay. Ang parehong mga segment ay nasa loob ng domain ng kahulugan.

Hanapin ang derivative ng function na may kinalaman sa:

Malinaw, ang derivative ng function ay umiiral sa lahat ng mga punto ng mga segment at [-4;-1].

Tinutukoy namin ang mga nakatigil na puntos mula sa equation. Ang tanging tunay na ugat ay x=2. Ang nakatigil na puntong ito ay nahuhulog sa unang bahagi.

Para sa unang kaso, kinakalkula namin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa nakatigil na punto, iyon ay, para sa x=1, x=2 at x=4:

Samakatuwid, ang pinakamalaking halaga ng function ay nakamit sa x=1, at ang pinakamaliit na halaga – sa x=2.

Para sa pangalawang kaso, kinakalkula namin ang mga halaga ng function lamang sa mga dulo ng segment [-4;-1] (dahil hindi ito naglalaman ng isang nakatigil na punto):

Tingnan natin kung paano suriin ang isang function gamit ang isang graph. Lumalabas na sa pamamagitan ng pagtingin sa graph, malalaman natin ang lahat ng bagay na interesado sa atin, lalo na:

• domain ng isang function
• saklaw ng pag-andar
• function na mga zero
• mga pagitan ng pagtaas at pagbaba
• maximum at minimum na puntos
• ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment.

Linawin natin ang terminolohiya:

Abscissa ay ang pahalang na coordinate ng punto.
Mag-orden- patayong coordinate.
Abscissa axis- ang pahalang na axis, kadalasang tinatawag na axis.
Y axis- vertical axis, o axis.

Pangangatwiran- isang malayang variable kung saan nakasalalay ang mga halaga ng function. Kadalasang ipinahiwatig.
Sa madaling salita, pipiliin namin ang , palitan ang mga function sa formula at makuha ang .

Domain functions - ang hanay ng mga (at ang mga lamang) na halaga ng argumento kung saan umiiral ang function.
Ipinapahiwatig ng: o .

Sa aming figure, ang domain ng kahulugan ng function ay ang segment. Sa segment na ito iginuhit ang graph ng function. Ito ang tanging lugar kung saan umiiral ang function na ito.

Saklaw ng Pag-andar ay ang hanay ng mga halaga na kinukuha ng isang variable. Sa aming figure, ito ay isang segment - mula sa pinakamababa hanggang sa pinakamataas na halaga.

Mga function na zero- mga punto kung saan ang halaga ng function ay zero, iyon ay. Sa aming figure ito ay mga puntos at .

Ang mga halaga ng pag-andar ay positibo saan . Sa aming figure ito ang mga pagitan at .
Ang mga halaga ng pag-andar ay negatibo saan . Para sa amin, ito ang interval (o interval) mula hanggang .

Ang pinakamahalagang konsepto - pagtaas at pagbaba ng function sa ilang set. Bilang isang set, maaari kang kumuha ng segment, interval, unyon ng interval, o buong number line.

Function nadadagdagan

Sa madaling salita, mas marami , mas marami, ibig sabihin, ang graph ay papunta sa kanan at pataas.

Function bumababa sa isang set kung para sa alinman at kabilang sa set, ang hindi pagkakapantay-pantay ay nagpapahiwatig ng hindi pagkakapantay-pantay .

Para sa isang nagpapababang function mas mataas na halaga tumutugma sa mas maliit na halaga. Ang graph ay papunta sa kanan at pababa.

Sa aming figure, ang function ay tumataas sa pagitan at bumababa sa pagitan at .

Tukuyin natin kung ano ito maximum at minimum na puntos ng function.

Pinakamataas na punto- ito ay isang panloob na punto ng domain ng kahulugan, na ang halaga ng function sa loob nito ay mas malaki kaysa sa lahat ng mga puntong sapat na malapit dito.
Sa madaling salita, ang pinakamataas na punto ay isang punto kung saan ang halaga ng function higit pa kaysa sa mga kapitbahay. Ito ay isang lokal na "burol" sa tsart.

Sa aming figure mayroong isang maximum na punto.

Pinakamababang punto- isang panloob na punto ng domain ng kahulugan, na ang halaga ng function sa loob nito ay mas mababa kaysa sa lahat ng mga punto na sapat na malapit dito.
Iyon ay, ang pinakamababang punto ay tulad na ang halaga ng function sa loob nito ay mas mababa kaysa sa mga kapitbahay nito. Ito ay isang lokal na "butas" sa graph.

Sa aming figure mayroong isang minimum na punto.

Ang punto ay ang hangganan. Ito ay hindi isang panloob na punto ng domain ng kahulugan at samakatuwid ay hindi akma sa kahulugan ng isang pinakamataas na punto. Kung tutuusin, wala siyang kapitbahay sa kaliwa. Sa parehong paraan, sa aming tsart ay hindi maaaring magkaroon ng isang minimum na punto.

Tinatawag ang maximum at minimum na mga puntos na magkasama matinding mga punto ng pag-andar. Sa aming kaso ito ay at .

Ano ang gagawin kung kailangan mong hanapin, halimbawa, pinakamababang function sa segment? Sa kasong ito ang sagot ay: . kasi pinakamababang function ay ang halaga nito sa pinakamababang punto.

Katulad nito, ang maximum ng aming function ay . Ito ay naabot sa punto.

Masasabi nating ang extrema ng function ay katumbas ng at .

Minsan ang mga problema ay nangangailangan ng paghahanap pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang partikular na segment. Ang mga ito ay hindi kinakailangang nag-tutugma sa mga sukdulan.

Sa kaso natin pinakamaliit na halaga ng function sa segment ay katumbas at tumutugma sa minimum ng function. Ngunit ang pinakamalaking halaga nito sa segment na ito ay katumbas ng . Naabot ito sa kaliwang dulo ng segment.

Sa anumang kaso, ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga tuluy-tuloy na pag-andar sa isang segment ay nakakamit alinman sa extremum point o sa dulo ng segment.

Ano ang extremum ng isang function at ano ang kinakailangang kondisyon para sa isang extremum?

Ang extremum ng isang function ay ang maximum at minimum ng function.

Prerequisite Ang maximum at minimum (extremum) ng isang function ay ang mga sumusunod: kung ang function f(x) ay may extremum sa puntong x = a, sa puntong ito ang derivative ay alinman sa zero, o infinite, o wala.

Ang kundisyong ito ay kinakailangan, ngunit hindi sapat. Ang derivative sa puntong x = a ay maaaring pumunta sa zero, infinity, o wala nang walang function na mayroong extremum sa puntong ito.

Ano ang sapat na kondisyon para sa extremum ng isang function (maximum o minimum)?

Unang kondisyon:

Kung, sa sapat na kalapitan sa puntong x = a, ang derivative f?(x) ay positibo sa kaliwa ng a at negatibo sa kanan ng a, sa puntong x = a ang function na f(x) ay may maximum

Kung, sa sapat na kalapitan sa puntong x = a, ang derivative f?(x) ay negatibo sa kaliwa ng a at positibo sa kanan ng a, sa puntong x = a ang function na f(x) ay may pinakamababa sa kondisyon na ang function na f(x) dito ay tuluy-tuloy.

Sa halip, maaari mong gamitin ang pangalawang sapat na kundisyon para sa extremum ng isang function:

Hayaang mawala sa puntong x = a ang unang derivative f?(x); kung ang pangalawang derivative f??(a) ay negatibo, kung gayon ang function na f(x) ay may pinakamataas sa puntong x = a, kung ito ay positibo, kung gayon ito ay may pinakamababa.

Ano ang kritikal na punto ng isang function at paano ito mahahanap?

Ito ang halaga ng argumento ng function kung saan may extremum ang function (i.e. maximum o minimum). Upang mahanap ito kailangan mo hanapin ang derivative function f?(x) at, equating ito sa zero, lutasin ang equation f?(x) = 0. Ang mga ugat ng equation na ito, pati na rin ang mga punto kung saan ang derivative ng function na ito ay hindi umiiral, ay mga kritikal na punto, ibig sabihin, mga halaga ng argumento kung saan maaaring magkaroon ng extremum. Madali silang makilala sa pamamagitan ng pagtingin derivative graph: interesado kami sa mga halagang iyon ng argumento kung saan ang graph ng function ay nag-intersect sa abscissa axis (Ox axis) at ang mga kung saan ang graph ay nagdurusa ng mga discontinuities.

Halimbawa, hanapin natin extremum ng isang parabola.

Function y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivative ng function: y?(x) = 6x + 2

Lutasin ang equation: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Sa kasong ito, ang kritikal na punto ay x0=-1/3. Ito ay may ganitong halaga ng argumento na mayroon ang function sukdulan. Sa kanya hanapin, palitan ang nahanap na numero sa expression para sa function sa halip na "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Paano matukoy ang maximum at minimum ng isang function, i.e. ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga nito?

Kung ang tanda ng derivative kapag dumadaan sa kritikal na puntong x0 ay nagbabago mula sa "plus" hanggang sa "minus", kung gayon ang x0 ay pinakamataas na punto; kung ang tanda ng derivative ay nagbabago mula sa minus hanggang plus, kung gayon ang x0 ay pinakamababang punto; kung ang tanda ay hindi nagbabago, pagkatapos ay sa puntong x0 ay walang maximum o minimum.

Para sa halimbawang isinasaalang-alang:

Kumuha ng arbitrary na halaga ng argumento sa kaliwa ng kritikal na punto: x = -1

Sa x = -1, ang halaga ng derivative ay magiging y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (i.e. ang sign ay "minus").

Ngayon ay kumuha kami ng arbitrary na halaga ng argumento sa kanan ng kritikal na punto: x = 1

Sa x = 1, ang halaga ng derivative ay magiging y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (i.e. ang sign ay “plus”).

Gaya ng nakikita mo, binago ng derivative ang sign mula minus hanggang plus kapag dumadaan sa kritikal na punto. Nangangahulugan ito na sa kritikal na halaga x0 mayroon tayong pinakamababang punto.

Pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa pagitan(sa isang segment) ay matatagpuan gamit ang parehong pamamaraan, isinasaalang-alang lamang ang katotohanan na, marahil, hindi lahat ng mga kritikal na punto ay nasa loob ng tinukoy na agwat. Ang mga kritikal na punto na nasa labas ng agwat ay dapat na hindi kasama sa pagsasaalang-alang. Kung mayroon lamang isang kritikal na punto sa loob ng pagitan, magkakaroon ito ng maximum o minimum. Sa kasong ito, upang matukoy ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function, isinasaalang-alang din namin ang mga halaga ng function sa mga dulo ng agwat.

Halimbawa, hanapin natin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function

y(x) = 3sin(x) - 0.5x

sa mga pagitan:

Kaya, ang derivative ng function ay

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

Lutasin namin ang equation na 3cos(x) - 0.5 = 0

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x = ±arccos(0.16667) + 2πk.

Nakahanap kami ng mga kritikal na punto sa pagitan [-9; 9]:

x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (hindi kasama sa pagitan)

x = -arccos(0.16667) – 2π*1 = -7.687

x = arccos(0.16667) - 2π*1 = -4.88

x = -arccos(0.16667) + 2π*0 = -1.403

x = arccos(0.16667) + 2π*0 = 1.403

x = -arccos(0.16667) + 2π*1 = 4.88

x = arccos(0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (hindi kasama sa pagitan)

Nahanap namin ang mga halaga ng pag-andar sa mga kritikal na halaga ng argumento:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

Makikita na sa pagitan [-9; 9] ang function ay may pinakamalaking halaga sa x = -4.88:

x = -4.88, y = 5.398,

at ang pinakamaliit - sa x = 4.88:

x = 4.88, y = -5.398.

Sa pagitan [-6; -3] mayroon lamang tayong isang kritikal na punto: x = -4.88. Ang halaga ng function sa x = -4.88 ay katumbas ng y = 5.398.

Hanapin ang halaga ng function sa mga dulo ng pagitan:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

Sa pagitan [-6; -3] mayroon kaming pinakamalaking halaga ng function

y = 5.398 sa x = -4.88

pinakamaliit na halaga -

y = 1.077 sa x = -3

Paano mahahanap ang mga inflection point ng isang function graph at matukoy ang convex at concave na panig?

Upang mahanap ang lahat ng mga inflection point ng linya y = f(x), kailangan mong hanapin ang pangalawang derivative, equate ito sa zero (solve ang equation) at subukan ang lahat ng mga value ng x kung saan ang pangalawang derivative ay zero, walang hanggan o wala. Kung, kapag dumadaan sa isa sa mga value na ito, ang pangalawang derivative ay nagbabago ng sign, ang graph ng function ay may inflection sa puntong ito. Kung hindi ito nagbabago, pagkatapos ay walang liko.

Ang mga ugat ng equation f? (x) = 0, pati na rin ang posibleng mga punto ng discontinuity ng function at ang pangalawang derivative, hatiin ang domain ng kahulugan ng function sa isang bilang ng mga pagitan. Ang convexity sa bawat isa sa kanilang mga agwat ay natutukoy sa pamamagitan ng pag-sign ng pangalawang derivative. Kung ang pangalawang derivative sa isang punto sa pagitan na pinag-aaralan ay positibo, ang linyang y = f(x) ay malukong paitaas, at kung negatibo, pagkatapos ay pababa.

Paano mahanap ang extrema ng isang function ng dalawang variable?

Upang mahanap ang extrema ng function na f(x,y), naiba-iba sa domain ng detalye nito, kailangan mo:

1) hanapin ang mga kritikal na puntos, at para dito - lutasin ang sistema ng mga equation

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) para sa bawat kritikal na punto P0(a;b) siyasatin kung ang tanda ng pagkakaiba ay nananatiling hindi nagbabago

para sa lahat ng puntos (x;y) na sapat na malapit sa P0. Kung ang pagkakaiba ay nananatiling positibo, pagkatapos ay sa puntong P0 mayroon tayong minimum, kung negatibo, mayroon tayong maximum. Kung ang pagkakaiba ay hindi nagpapanatili ng tanda nito, kung gayon walang extremum sa puntong P0.

Ang extrema ng function ay tinutukoy nang katulad para sa higit pa mga argumento.

Tungkol saan ang cartoon na "Shrek Forever After"?
Cartoon: “Shrek Forever After” Taon ng pagpapalabas: 2010 Premiere (Russian Federation): Mayo 20, 2010 Bansa: USA Direktor: Michael Pitchel Script: Josh Klausner, Darren Lemke Genre: family comedy, fantasy, adventure Opisyal na website: www.shrekforeverafter .com Mule plot

Posible bang mag-donate ng dugo sa panahon ng regla?
Hindi inirerekomenda ng mga doktor ang pagbibigay ng dugo sa panahon ng regla, dahil... ang pagkawala ng dugo, bagaman hindi sa makabuluhang dami, ay puno ng pagbaba sa mga antas ng hemoglobin at pagkasira sa kagalingan ng babae. Sa panahon ng pamamaraan ng donasyon ng dugo, ang sitwasyon sa iyong kalusugan ay maaaring lumala hanggang sa mangyari ang pagdurugo. Samakatuwid, ang mga kababaihan ay dapat na umiwas sa pagbibigay ng dugo sa panahon ng regla. At nasa ika-5 araw na pagkatapos ng kanilang pagkumpleto

Ilang kcal/oras ang natutunaw kapag naghuhugas ng sahig?
Mga uri pisikal na Aktibidad Pagkonsumo ng enerhiya, kcal/oras Pagluluto 80 Pagbibihis 30 Pagmamaneho 50 Pag-aalis ng alikabok 80 Pagkain 30 Paghahalaman 135 Pagpaplantsa 45 Pag-aayos ng kama 130 Pamimili 80 Sedentary na trabaho 75 Pagputol ng kahoy 300 Paglalaba ng sahig 130 Sex 100-150 Low-intensity aerobic dancing

Ano ang ibig sabihin ng salitang "crook"?
Ang manloloko ay isang magnanakaw na nakikibahagi sa maliit na pagnanakaw, o isang tusong tao na madaling kapitan ng mga mapanlinlang na panlilinlang. Ang kumpirmasyon ng kahulugang ito ay nakapaloob sa etymological dictionary ni Krylov, ayon sa kung saan ang salitang "swindler" ay nabuo mula sa salitang "zhal" (thief, swindler), na nauugnay sa verb &la

Ano ang pangalan ng huling nai-publish na kuwento ng magkapatid na Strugatsky?
Ang isang maikling kuwento nina Arkady at Boris Strugatsky "Sa Tanong ng Cyclotation" ay unang nai-publish noong Abril 2008 sa antolohiya ng fiction na "Noon. XXI Century" (isang suplemento sa magazine na "Around the World", na inilathala sa ilalim ng editorship ni Boris Strugatsky). Ang publikasyon ay nag-time na nag-tutugma sa ika-75 anibersaryo ni Boris Strugatsky.

Saan ka makakabasa ng mga kwento mula sa mga kalahok sa programang Work And Travel USA?
Ang Work and Travel USA (trabaho at paglalakbay sa USA) ay isang sikat na student exchange program kung saan maaari kang magpalipas ng tag-araw sa America, legal na nagtatrabaho sa sektor ng serbisyo at paglalakbay. Ang kasaysayan ng programang Work & Travel ay kasama sa intergovernmental exchange program na Cultural Exchange Pro

tainga. Culinary at historical background Para sa higit sa dalawa at kalahating siglo, ang salitang "ukha" ay ginamit upang italaga ang mga sopas o isang decoction ng sariwang isda. Ngunit may panahon na ang salitang ito ay binibigyang kahulugan nang mas malawak. Nangangahulugan ito ng sopas - hindi lamang isda, kundi pati na rin karne, gisantes at kahit matamis. Kaya sa makasaysayang dokumento - "

Impormasyon at recruiting portal Superjob.ru - ang recruiting portal Superjob.ru ay tumatakbo sa Russian online na recruitment market mula noong 2000 at ito ay isang pinuno sa mga mapagkukunan na nag-aalok ng trabaho at paghahanap ng mga tauhan. Araw-araw, higit sa 80,000 resume ng mga espesyalista at higit sa 10,000 bakante ang idinaragdag sa database ng site.

Ano ang motibasyon
Kahulugan ng motibasyon Motivation (mula sa Latin moveo - I move) - isang insentibo sa pagkilos; isang dinamikong prosesong pisyolohikal at sikolohikal na kumokontrol sa pag-uugali ng tao, tinutukoy ang direksyon, organisasyon, aktibidad at katatagan nito; ang kakayahan ng isang tao na matugunan ang kanyang mga pangangailangan sa pamamagitan ng trabaho. Motivac

Sino si Bob Dylan
Si Bob Dylan (Ingles na Bob Dylan, totoong pangalan - Robert Allen Zimmerman Ingles. Robert Allen Zimmerman; ipinanganak noong Mayo 24, 1941) ay isang Amerikanong manunulat ng kanta na, ayon sa isang poll ng magasin ng Rolling Stone, ay ang pangalawa (

Paano mag-transport ng mga panloob na halaman
Pagkatapos bumili ng mga panloob na halaman, ang hardinero ay nahaharap sa gawain kung paano ihatid ang binili na mga kakaibang bulaklak nang hindi nasaktan. Ang kaalaman sa mga pangunahing tuntunin para sa pag-iimpake at pagdadala ng mga panloob na halaman ay makakatulong sa paglutas ng problemang ito. Ang mga halaman ay dapat na nakabalot upang madala o madala. Gaano man kaikli ang distansya ng mga halaman ay dinadala, maaari silang masira, matuyo, at sa taglamig &m