A. Hayaang magbigay ng dalawang tuwid na linya. Ang mga tuwid na linyang ito, tulad ng ipinahiwatig sa Kabanata 1, ay bumubuo ng iba't ibang positibo at negatibong mga anggulo, na maaaring maging talamak o mahina. Ang pag-alam sa isa sa mga anggulong ito, madali nating mahahanap ang iba pa.

Sa pamamagitan ng paraan, para sa lahat ng mga anggulong ito ang numerical na halaga ng tangent ay pareho, ang pagkakaiba ay maaari lamang sa sign

Mga equation ng mga linya. Ang mga numero ay ang mga projection ng mga vector ng direksyon ng una at pangalawang tuwid na linya. Ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay katumbas ng isa sa mga anggulo na nabuo ng mga tuwid na linya. Samakatuwid, ang problema ay bumaba sa pagtukoy ng anggulo sa pagitan ng mga vector

Para sa pagiging simple, maaari tayong sumang-ayon na ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya ay isang matinding positibong anggulo (tulad ng, halimbawa, sa Fig. 53).

Pagkatapos ang tangent ng anggulong ito ay palaging magiging positibo. Kaya, kung mayroong minus sign sa kanang bahagi ng formula (1), dapat nating itapon ito, ibig sabihin, i-save lamang ang ganap na halaga.

Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya

Ayon sa formula (1) mayroon tayo

Sa. Kung ipinahiwatig kung alin sa mga gilid ng anggulo ang simula nito at kung alin ang dulo nito, kung gayon, palaging binibilang ang direksyon ng anggulo nang pakaliwa, maaari tayong kumuha ng higit pa mula sa formula (1). Tulad ng madaling makita mula sa Fig. 53, ang sign na nakuha sa kanang bahagi ng formula (1) ay magsasaad kung anong uri ng anggulo - acute o obtuse - ang pangalawang tuwid na linya ay nabuo kasama ng una.

(Sa katunayan, mula sa Fig. 53 makikita natin na ang anggulo sa pagitan ng una at pangalawang direksyon ng mga vector ay alinman sa katumbas ng nais na anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya, o naiiba mula dito sa pamamagitan ng ±180°.)

d. Kung ang mga linya ay parallel, kung gayon ang kanilang direksyon vectors ay parallel.Paglalapat ng kondisyon ng parallelism ng dalawang vectors, makuha namin!

Ito ay kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paralelismo ng dalawang linya.

Halimbawa. Direkta

ay parallel dahil

e. Kung ang mga linya ay patayo kung gayon ang kanilang mga vector ng direksyon ay patayo din. Ang paglalapat ng kondisyon ng perpendicularity ng dalawang vectors, nakuha namin ang kondisyon ng perpendicularity ng dalawang tuwid na linya, lalo

Halimbawa. Direkta

ay patayo dahil sa katotohanan na

Kaugnay ng mga kondisyon ng parallelism at perpendicularity, malulutas natin ang sumusunod na dalawang problema.

f. Gumuhit ng isang linya sa pamamagitan ng isang punto na kahanay sa ibinigay na linya

Ang solusyon ay isinasagawa tulad nito. Dahil ang nais na linya ay kahanay sa isang ito, kung gayon para sa vector ng direksyon nito ay maaari nating kunin ang kapareho ng sa ibinigay na linya, ibig sabihin, isang vector na may mga projection A at B. At pagkatapos ay ang equation ng nais na linya ay isusulat sa ang form (§ 1)

Halimbawa. Equation ng isang linya na dumadaan sa punto (1; 3) na kahanay ng linya

may susunod pa!

g. Gumuhit ng isang linya sa pamamagitan ng isang punto na patayo sa ibinigay na linya

Dito hindi na angkop na kunin ang vector na may mga projection A at bilang gabay na vector, ngunit kinakailangan na kunin ang vector na patayo dito. Ang mga projection ng vector na ito ay dapat na mapili ayon sa kondisyon ng perpendicularity ng parehong vectors, ibig sabihin, ayon sa kondisyon

Ang kundisyong ito ay maaaring matupad sa hindi mabilang na mga paraan, dahil narito ang isang equation na may dalawang hindi alam. Ngunit ang pinakamadaling paraan ay ang kumuha o Pagkatapos ang equation ng nais na linya ay isusulat sa form

Halimbawa. Equation ng isang linya na dumadaan sa punto (-7; 2) sa isang patayong linya

magkakaroon ng mga sumusunod (ayon sa pangalawang formula)!

h. Sa kaso kapag ang mga linya ay ibinigay ng mga equation ng form

Magiging kapaki-pakinabang para sa bawat mag-aaral na naghahanda para sa Unified State Exam sa matematika na ulitin ang paksang "Paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya." Gaya ng ipinapakita ng mga istatistika, kapag pumasa sa pagsusulit sa sertipikasyon, ang mga gawain sa seksyong ito ng stereometry ay nagdudulot ng mga kahirapan para sa malaking dami mga mag-aaral. Kasabay nito, ang mga gawain na nangangailangan ng paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ay matatagpuan sa Pinag-isang Pagsusulit ng Estado sa parehong basic at espesyal na antas. Nangangahulugan ito na ang lahat ay dapat na malutas ang mga ito.

Mga pangunahing sandali

Mayroong 4 na uri ng mga relatibong posisyon ng mga linya sa espasyo. Maaari silang magkasabay, mag-intersect, maging parallel o intersecting. Ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay maaaring maging talamak o tuwid.

Upang mahanap ang anggulo sa pagitan ng mga linya sa Unified State Exam o, halimbawa, sa paglutas, ang mga mag-aaral sa Moscow at iba pang mga lungsod ay maaaring gumamit ng ilang mga paraan upang malutas ang mga problema sa seksyong ito ng stereometry. Maaari mong kumpletuhin ang gawain gamit ang mga klasikal na konstruksyon. Upang gawin ito, ito ay nagkakahalaga ng pag-aaral ng mga pangunahing axiom at theorems ng stereometry. Ang mag-aaral ay kailangang makapag-isip nang lohikal at makalikha ng mga guhit upang maihatid ang gawain sa isang problemang planimetric.

Maaari mo ring gamitin ang paraan ng coordinate vector gamit ang mga simpleng formula, panuntunan at algorithm. Ang pangunahing bagay sa kasong ito ay upang maisagawa nang tama ang lahat ng mga kalkulasyon. Tutulungan ka ng proyektong pang-edukasyon ng Shkolkovo na mahasa ang iyong mga kasanayan sa paglutas ng problema sa stereometry at iba pang mga seksyon ng kurso sa paaralan.

Oh-oh-oh-oh-oh... well, it's tough, as if he was reading out a sentence to himself =) However, relaxation will help later, especially since today I bought the appropriate accessories. Samakatuwid, magpatuloy tayo sa unang seksyon, umaasa ako na sa pagtatapos ng artikulo ay mapanatili ko ang isang masayang kalooban.

Ang relatibong posisyon ng dalawang tuwid na linya

Ganito ang kaso kapag kumakanta ang mga manonood sa koro. Dalawang tuwid na linya ay maaari:

1) tugma;

2) maging parallel: ;

3) o bumalandra sa isang punto: .

Tulong para sa mga dummies : tandaan mo tanda ng matematika mga intersection, ito ay madalas mangyari. Ang notasyon ay nangangahulugan na ang linya ay bumalandra sa linya sa punto .

Paano matukoy ang kamag-anak na posisyon ng dalawang linya?

Magsimula tayo sa unang kaso:

Dalawang linya ang nagtutugma kung at lamang kung ang mga kaukulang coefficient nito ay proporsyonal, ibig sabihin, mayroong isang numerong "lambda" na ang mga pagkakapantay-pantay ay nasiyahan

Isaalang-alang natin ang mga tuwid na linya at lumikha ng tatlong equation mula sa kaukulang coefficient: . Mula sa bawat equation ay sumusunod na, samakatuwid, ang mga linyang ito ay nag-tutugma.

Sa katunayan, kung ang lahat ng mga coefficient ng equation i-multiply sa –1 (change signs), at lahat ng coefficients ng equation gupitin ng 2, makakakuha ka ng parehong equation: .

Ang pangalawang kaso, kapag ang mga linya ay parallel:

Dalawang linya ay magkatulad kung at kung ang kanilang mga coefficient ng mga variable ay proporsyonal: , Ngunit.

Bilang halimbawa, isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya. Sinusuri namin ang proporsyonalidad ng kaukulang coefficient para sa mga variable:

Gayunpaman, medyo halata iyon.

At ang pangatlong kaso, kapag nagsalubong ang mga linya:

Dalawang linya ay nagsalubong kung at kung ang kanilang mga coefficient ng mga variable ay HINDI proporsyonal, ibig sabihin, WALANG ganoong halaga ng "lambda" na nasiyahan ang mga pagkakapantay-pantay

Kaya, para sa mga tuwid na linya gagawa kami ng isang sistema:

Mula sa unang equation ito ay sumusunod na , at mula sa pangalawang equation: , na nangangahulugang hindi pare-pareho ang sistema(walang solusyon). Kaya, ang mga coefficient ng mga variable ay hindi proporsyonal.

Konklusyon: nagsalubong ang mga linya

SA praktikal na mga problema maaari mong gamitin ang scheme ng solusyon na tinalakay lamang. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay lubos na nakapagpapaalaala sa algorithm para sa pagsuri ng mga vectors para sa collinearity, na tiningnan namin sa klase Ang konsepto ng linear (in)dependence ng mga vectors. Batayan ng mga vector. Ngunit mayroong isang mas sibilisadong packaging:

Halimbawa 1

Alamin ang relatibong posisyon ng mga linya:

Solusyon batay sa pag-aaral ng pagdidirekta ng mga vector ng mga tuwid na linya:

a) Mula sa mga equation nakita natin ang mga vector ng direksyon ng mga linya: .

, na nangangahulugan na ang mga vector ay hindi collinear at ang mga linya ay nagsalubong.

Kung sakali, maglalagay ako ng bato na may mga palatandaan sa sangang-daan:

Ang iba ay tumalon sa ibabaw ng bato at sumunod pa, diretso sa Kashchei the Immortal =)

b) Hanapin ang mga vector ng direksyon ng mga linya:

Ang mga linya ay may parehong direksyon ng vector, na nangangahulugang sila ay magkatulad o magkatulad. Hindi na kailangang bilangin ang determinant dito.

Ito ay malinaw na ang mga coefficient ng mga hindi alam ay proporsyonal, at .

Alamin natin kung totoo ang pagkakapantay-pantay:

kaya,

c) Hanapin ang mga vector ng direksyon ng mga linya:

Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito:
, samakatuwid, ang mga vector ng direksyon ay collinear. Ang mga linya ay magkatulad o magkatulad.

Ang koepisyent ng proporsyonalidad na "lambda" ay madaling makita nang direkta mula sa ratio ng mga vector ng direksyon ng collinear. Gayunpaman, maaari rin itong matagpuan sa pamamagitan ng mga coefficient ng mga equation mismo: .

Ngayon alamin natin kung totoo ang pagkakapantay-pantay. Ang parehong mga libreng termino ay zero, kaya:

Ang resultang halaga ay nakakatugon sa equation na ito (anumang numero sa pangkalahatan ay nakakatugon dito).

Kaya, ang mga linya ay nag-tutugma.

Sagot:

Sa lalong madaling panahon matututunan mo (o kahit na natutunan na) upang malutas ang problemang tinalakay nang literal sa loob ng ilang segundo. Sa bagay na ito, wala akong nakikitang punto sa pag-aalok ng anuman para sa isang independiyenteng solusyon; mas mahusay na maglagay ng isa pang mahalagang brick sa geometric na pundasyon:

Paano bumuo ng isang linya parallel sa isang ibinigay na isa?

Para sa kamangmangan sa pinakasimpleng gawaing ito, ang Nightingale the Robber ay mahigpit na nagpaparusa.

Halimbawa 2

Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Sumulat ng isang equation para sa isang parallel na linya na dumadaan sa punto.

Solusyon: Tukuyin natin ang hindi kilalang linya sa pamamagitan ng titik . Ano ang sinasabi ng kundisyon tungkol sa kanya? Ang tuwid na linya ay dumadaan sa punto. At kung ang mga linya ay magkatulad, kung gayon ay malinaw na ang direksyon ng vector ng tuwid na linya na "tse" ay angkop din para sa pagbuo ng tuwid na linya na "de".

Kinukuha namin ang vector ng direksyon mula sa equation:

Sagot:

Ang halimbawang geometry ay mukhang simple:

Ang analytical testing ay binubuo ng mga sumusunod na hakbang:

1) Sinusuri namin na ang mga linya ay may parehong direksyon ng vector (kung ang equation ng linya ay hindi pinasimple nang maayos, kung gayon ang mga vector ay magiging collinear).

2) Suriin kung ang punto ay nakakatugon sa resultang equation.

Sa karamihan ng mga kaso, madaling maisagawa ang analytical testing nang pasalita. Tingnan ang dalawang equation, at marami sa inyo ang mabilis na matutukoy ang parallelism ng mga linya nang walang anumang pagguhit.

Ang mga halimbawa para sa mga independiyenteng solusyon ngayon ay magiging malikhain. Dahil kailangan mo pa ring makipagkumpitensya sa Baba Yaga, at siya, alam mo, ay isang mahilig sa lahat ng uri ng mga bugtong.

Halimbawa 3

Sumulat ng isang equation para sa isang linya na dumadaan sa isang punto na kahanay ng linya kung

Mayroong isang makatwiran at hindi makatuwirang paraan upang malutas ito. Karamihan shortcut- sa pagtatapos ng aralin.

Nagtrabaho kami ng kaunti sa mga parallel na linya at babalik sa kanila mamaya. Ang kaso ng magkatulad na mga linya ay hindi gaanong interesado, kaya isaalang-alang natin ang isang problema na pamilyar sa iyo mula sa kurikulum ng paaralan:

Paano mahahanap ang punto ng intersection ng dalawang linya?

Kung diretso bumalandra sa punto , pagkatapos ang mga coordinate nito ay ang solusyon sistema ng mga linear na equation

Paano mahahanap ang punto ng intersection ng mga linya? Lutasin ang sistema.

Eto na geometriko na kahulugan sistema ng dalawa linear na equation na may dalawang hindi alam- ito ay dalawang intersecting (madalas) na linya sa isang eroplano.

Halimbawa 4

Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya

Solusyon: Mayroong dalawang paraan upang malutas - graphical at analytical.

Ang graphical na paraan ay ang simpleng pagguhit ng mga ibinigay na linya at alamin ang intersection point nang direkta mula sa pagguhit:

Narito ang aming punto: . Upang suriin, dapat mong palitan ang mga coordinate nito sa bawat equation ng linya, dapat silang magkasya doon at doon. Sa madaling salita, ang mga coordinate ng isang punto ay isang solusyon sa system. Mahalaga, tumingin kami sa isang graphical na solusyon sistema ng mga linear na equation na may dalawang equation, dalawang hindi alam.

Ang graphical na paraan ay, siyempre, hindi masama, ngunit may mga kapansin-pansing disadvantages. Hindi, ang punto ay hindi ang mga ikapitong baitang ang magpapasya sa ganitong paraan, ang punto ay magtatagal ng panahon upang makagawa ng tama at TUMPAK na pagguhit. Bilang karagdagan, ang ilang mga tuwid na linya ay hindi gaanong madaling gawin, at ang punto ng intersection mismo ay maaaring matatagpuan sa isang lugar sa ikatatlumpung kaharian sa labas ng notebook sheet.

Samakatuwid, mas kapaki-pakinabang na hanapin ang intersection point pamamaraang analitikal. Lutasin natin ang sistema:

Upang malutas ang sistema, ginamit ang paraan ng termino-by-term na pagdaragdag ng mga equation. Upang bumuo ng mga kaugnay na kasanayan, kumuha ng aralin Paano malutas ang isang sistema ng mga equation?

Sagot:

Ang tseke ay walang kuwenta - ang mga coordinate ng intersection point ay dapat masiyahan sa bawat equation ng system.

Halimbawa 5

Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya kung sila ay magsalubong.

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Maginhawang hatiin ang gawain sa maraming yugto. Ang pagsusuri sa kondisyon ay nagpapahiwatig na ito ay kinakailangan:
1) Isulat ang equation ng tuwid na linya.
2) Isulat ang equation ng tuwid na linya.
3) Alamin ang relatibong posisyon ng mga linya.
4) Kung magsalubong ang mga linya, hanapin ang punto ng intersection.

Ang pagbuo ng isang algorithm ng pagkilos ay tipikal para sa maraming mga geometric na problema, at paulit-ulit kong tututuon ito.

Kumpletong solusyon at ang sagot sa katapusan ng aralin:

Kahit isang pares ng sapatos ay hindi nasira bago kami nakarating sa ikalawang bahagi ng aralin:

Mga linyang patayo. Distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya.
Anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya

Magsimula tayo sa isang tipikal at napakahalagang gawain. Sa unang bahagi, natutunan namin kung paano bumuo ng isang tuwid na linya na kahanay sa isang ito, at ngayon ang kubo sa mga binti ng manok ay magiging 90 degrees:

Paano bumuo ng isang linya na patayo sa isang ibinigay?

Halimbawa 6

Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Sumulat ng isang equation na patayo sa linyang dumadaan sa punto.

Solusyon: Sa kondisyon ay alam na . Ito ay magiging maganda upang mahanap ang nagdidirekta vector ng linya. Dahil ang mga linya ay patayo, ang lansihin ay simple:

Mula sa equation ay "tinatanggal" namin ang normal na vector: , na siyang magiging direksyon ng vector ng tuwid na linya.

Buuin natin ang equation ng isang tuwid na linya gamit ang isang punto at isang vector ng direksyon:

Sagot:

Palawakin natin ang geometric sketch:

Hmmm... Orange na langit, orange na dagat, orange na kamelyo.

Analytical na pag-verify ng solusyon:

1) Kinukuha namin ang mga vector ng direksyon mula sa mga equation at sa tulong scalar na produkto ng mga vector dumating kami sa konklusyon na ang mga linya ay talagang patayo: .

Sa pamamagitan ng paraan, maaari kang gumamit ng mga normal na vector, mas madali ito.

2) Suriin kung ang punto ay nakakatugon sa resultang equation .

Ang pagsusulit, muli, ay madaling gawin nang pasalita.

Halimbawa 7

Hanapin ang punto ng intersection ng mga patayong linya kung ang equation ay kilala at panahon.

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Mayroong ilang mga aksyon sa problema, kaya maginhawang bumalangkas ng solusyon sa bawat punto.

Ang aming kapana-panabik na paglalakbay ay nagpapatuloy:

Distansya mula sa punto hanggang linya

Sa harap namin ay isang tuwid na guhit ng ilog at ang aming gawain ay makarating dito sa pinakamaikling ruta. Walang mga hadlang, at ang pinakamainam na ruta ay ang paglipat sa kahabaan ng patayo. Iyon ay, ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay ang haba ng perpendicular segment.

Ang distansya sa geometry ay tradisyonal na tinutukoy ng letrang Griyego na "rho", halimbawa: - ang distansya mula sa puntong "em" hanggang sa tuwid na linya na "de".

Distansya mula sa punto hanggang linya ipinahayag ng pormula

Halimbawa 8

Hanapin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya

Solusyon: ang kailangan mo lang gawin ay maingat na palitan ang mga numero sa formula at isagawa ang mga kalkulasyon:

Sagot:

Gawin natin ang pagguhit:

Ang nahanap na distansya mula sa punto hanggang sa linya ay eksaktong haba ng pulang segment. Kung gumuhit ka ng guhit sa checkered na papel sa sukat na 1 yunit. = 1 cm (2 cell), pagkatapos ay masusukat ang distansya gamit ang isang ordinaryong ruler.

Isaalang-alang natin ang isa pang gawain batay sa parehong pagguhit:

Ang gawain ay upang mahanap ang mga coordinate ng isang punto na simetriko sa punto na may kaugnayan sa tuwid na linya . Iminumungkahi kong gawin ang mga hakbang sa iyong sarili, ngunit ibabalangkas ko ang algorithm ng solusyon na may mga intermediate na resulta:

1) Maghanap ng isang linya na patayo sa linya.

2) Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya: .

Ang parehong mga aksyon ay tinalakay nang detalyado sa araling ito.

3) Ang punto ay ang midpoint ng segment. Alam namin ang mga coordinate ng gitna at isa sa mga dulo. Sa pamamagitan ng mga formula para sa mga coordinate ng midpoint ng isang segment nahanap namin.

Magandang ideya na tingnan kung ang distansya ay 2.2 units din.

Ang mga paghihirap ay maaaring lumitaw sa mga kalkulasyon dito, ngunit ang isang microcalculator ay isang malaking tulong sa tore, na nagpapahintulot sa iyo na magbilang mga karaniwang fraction. Maraming beses na kitang pinayuhan at irerekomendang muli.

Paano mahahanap ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya?

Halimbawa 9

Hanapin ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya

Ito ay isa pang halimbawa para sa iyo na magpasya sa iyong sarili. Bibigyan kita ng kaunting pahiwatig: mayroong walang katapusang maraming paraan upang malutas ito. Debriefing sa pagtatapos ng aralin, ngunit mas mahusay na subukang hulaan para sa iyong sarili, sa tingin ko ang iyong katalinuhan ay mahusay na binuo.

Anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya

Bawat sulok ay isang hamba:


Sa geometry, ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya ay itinuturing na MAS MALIIT na anggulo, kung saan awtomatiko itong sumusunod na hindi ito maaaring maging mahina. Sa figure, ang anggulo na ipinahiwatig ng pulang arko ay hindi itinuturing na anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya. At ang kanyang "berde" na kapitbahay o kabaligtaran ang oriented"raspberry" na sulok.

Kung ang mga linya ay patayo, kung gayon ang alinman sa 4 na anggulo ay maaaring kunin bilang anggulo sa pagitan ng mga ito.

Paano naiiba ang mga anggulo? Oryentasyon. Una, ang direksyon kung saan ang anggulo ay "naka-scroll" ay pangunahing mahalaga. Pangalawa, ang isang negatibong anggulo ay nakasulat na may minus sign, halimbawa kung .

Bakit ko sinabi sayo ito? Tila kaya natin ang karaniwang konsepto ng isang anggulo. Ang katotohanan ay ang mga pormula kung saan mahahanap namin ang mga anggulo ay madaling magresulta sa isang negatibong resulta, at hindi ka dapat magtaka. Ang isang anggulo na may minus sign ay hindi mas masahol pa, at may napaka tiyak na geometric na kahulugan. Sa pagguhit, para sa isang negatibong anggulo, siguraduhing ipahiwatig ang oryentasyon nito gamit ang isang arrow (clockwise).

Paano mahahanap ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya? Mayroong dalawang gumaganang formula:

Halimbawa 10

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya

Solusyon At Pamamaraan isa

Isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya na ibinigay ng mga equation sa pangkalahatang pananaw:

Kung diretso hindi patayo, Iyon nakatuon Ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:

Bigyang-pansin natin ang denominator - ito ay eksakto produktong scalar nagdidirekta ng mga vector ng mga tuwid na linya:

Kung , kung gayon ang denominator ng formula ay magiging zero, at ang mga vector ay magiging orthogonal at ang mga linya ay magiging patayo. Iyon ang dahilan kung bakit ginawa ang isang reserbasyon tungkol sa hindi perpendikularidad ng mga tuwid na linya sa pagbabalangkas.

Batay sa itaas, ito ay maginhawa upang gawing pormal ang solusyon sa dalawang hakbang:

1) Kalkulahin natin ang scalar product ng mga vector ng direksyon ng mga linya:
, na nangangahulugang ang mga linya ay hindi patayo.

2) Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya gamit ang formula:

Sa pamamagitan ng paggamit baligtad na pag-andar Madaling hanapin ang sulok mismo. Sa kasong ito, ginagamit namin ang kakaiba ng arctangent (tingnan. Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar):

Sagot:

Sa sagot ay ipinapahiwatig namin eksaktong halaga, pati na rin ang isang tinatayang halaga (mas mabuti sa parehong mga degree at radian), na kinakalkula gamit ang isang calculator.

Well, minus, minus, walang malaking bagay. Narito ang isang geometric na paglalarawan:

Hindi nakakagulat na ang anggulo ay naging negatibong oryentasyon, dahil sa pahayag ng problema ang unang numero ay isang tuwid na linya at ang "pag-unscrew" ng anggulo ay nagsimula nang tumpak dito.

Kung talagang gusto mong makakuha ng positibong anggulo, kailangan mong palitan ang mga linya, iyon ay, kunin ang mga coefficient mula sa pangalawang equation , at kunin ang mga coefficient mula sa unang equation. Sa madaling salita, kailangan mong magsimula sa isang direktang .

Kahulugan. Kung binibigyan ng dalawang linya ang y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, kung gayon matalim na sulok sa pagitan ng mga tuwid na linyang ito ay tutukuyin bilang

Dalawang linya ay magkatulad kung k 1 = k 2. Dalawang linya ay patayo kung k 1 = -1/ k 2.

Teorama. Ang mga linyang Ax + Bу + C = 0 at A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ay parallel kapag ang mga coefficient A 1 = λA, B 1 = λB ay proporsyonal. Kung din C 1 = λC, kung gayon ang mga linya ay nag-tutugma. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga linyang ito.

Equation ng isang linyang dumadaan puntong ito

Perpendicular sa isang ibinigay na linya

Kahulugan. Ang isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong M 1 (x 1, y 1) at patayo sa tuwid na linya y = kx + b ay kinakatawan ng equation:

Distansya mula sa punto hanggang linya

Teorama. Kung ang isang puntong M(x 0, y 0) ay ibinigay, ang distansya sa linyang Ax + Bу + C = 0 ay tinutukoy bilang

.

Patunay. Hayaang ang point M 1 (x 1, y 1) ang base ng perpendikular na bumaba mula sa point M hanggang sa isang tuwid na linya. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga punto M at M 1:

(1)

Ang mga coordinate x 1 at y 1 ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation:

Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng linyang dumadaan ibinigay na punto Ang M 0 ay patayo sa isang tuwid na linya. Kung babaguhin natin ang unang equation ng system sa anyo:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pagkatapos, paglutas, nakukuha natin:

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (1), makikita natin:

Ang teorama ay napatunayan.

Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga linya: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Halimbawa. Ipakita na ang mga linyang 3x – 5y + 7 = 0 at 10x + 6y – 3 = 0 ay patayo.

Solusyon. Nakikita natin ang: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, samakatuwid, ang mga linya ay patayo.

Halimbawa. Ibinigay ang mga vertices ng tatsulok na A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Hanapin ang equation ng taas na nakuha mula sa vertex C.

Solusyon. Nahanap namin ang equation ng side AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Ang kinakailangang equation ng taas ay may anyo: Ax + By + C = 0 o y = kx + b. k = . Pagkatapos y = . kasi ang taas ay dumadaan sa punto C, pagkatapos ang mga coordinate nito ay natutugunan ang equation na ito: mula sa kung saan b = 17. Kabuuan: .

Sagot: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Ang equation ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto sa isang ibinigay na direksyon. Equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos. Ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya. Ang kondisyon ng parallelism at perpendicularity ng dalawang tuwid na linya. Pagtukoy sa punto ng intersection ng dalawang linya

1. Equation ng isang linya na dumadaan sa isang naibigay na punto A(x 1 , y 1) sa isang ibinigay na direksyon, na tinutukoy ng slope k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ang equation na ito ay tumutukoy sa isang lapis ng mga linyang dumadaan sa isang punto A(x 1 , y 1), na tinatawag na beam center.

2. Equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang puntos: A(x 1 , y 1) at B(x 2 , y 2), nakasulat tulad nito:

Ang angular coefficient ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto ay tinutukoy ng formula

3. Anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya A At B ay ang anggulo kung saan dapat paikutin ang unang tuwid na linya A sa paligid ng punto ng intersection ng mga linyang ito pakaliwa hanggang sa ito ay tumutugma sa pangalawang linya B. Kung ang dalawang tuwid na linya ay ibinigay ng mga equation na may slope

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

pagkatapos ay ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay tinutukoy ng formula

Dapat pansinin na sa numerator ng fraction, ang slope ng unang linya ay ibabawas mula sa slope ng pangalawang linya.

Kung ang mga equation ng isang linya ay ibinigay sa pangkalahatang anyo

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay tinutukoy ng formula

4. Mga kondisyon para sa parallelism ng dalawang linya:

a) Kung ang mga linya ay ibinigay ng mga equation (4) na may isang angular coefficient, kung gayon ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang parallelism ay ang pagkakapantay-pantay ng kanilang mga angular coefficient:

k 1 = k 2 . (8)

b) Para sa kaso kapag ang mga linya ay ibinigay ng mga equation sa pangkalahatang anyo (6), isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang parallelism ay ang mga coefficient para sa kaukulang kasalukuyang mga coordinate sa kanilang mga equation ay proporsyonal, i.e.

5. Mga kondisyon para sa perpendicularity ng dalawang tuwid na linya:

a) Sa kaso kapag ang mga tuwid na linya ay ibinigay ng mga equation (4) na may isang angular coefficient, isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang perpendicularity ay ang mga ito. mga dalisdis ay inverse sa magnitude at kabaligtaran sa sign, i.e.

Ang kundisyong ito ay maaari ding isulat sa anyo

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Kung ang mga equation ng mga linya ay ibinigay sa pangkalahatang anyo (6), kung gayon ang kondisyon para sa kanilang perpendicularity (kinakailangan at sapat) ay upang matugunan ang pagkakapantay-pantay.

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation (6). Ang mga linya (6) ay nagsalubong kung at kung lamang

1. Isulat ang mga equation ng mga linyang dumadaan sa puntong M, ang isa ay parallel at ang isa ay patayo sa ibinigay na linya l.

Mga tagubilin

tala

Panahon trigonometriko function Ang tangent ay katumbas ng 180 degrees, na nangangahulugan na ang mga anggulo ng slope ng mga tuwid na linya ay hindi maaaring, sa ganap na halaga, lumampas sa halagang ito.

Nakatutulong na payo

Kung ang mga angular coefficient ay pantay sa isa't isa, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga linyang ito ay 0, dahil ang mga linyang ito ay nag-tutugma o kahanay.

Upang matukoy ang halaga ng anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya, kinakailangan na ilipat ang parehong mga linya (o isa sa mga ito) sa isang bagong posisyon gamit ang parallel na paraan ng pagsasalin hanggang sa mag-intersect ang mga ito. Pagkatapos nito, dapat mong mahanap ang anggulo sa pagitan ng mga nagresultang intersecting na linya.

Kakailanganin mong

• namumuno, kanang tatsulok, lapis, protraktor.

Mga tagubilin

Kaya, hayaan ang vector V = (a, b, c) at ang eroplanong A x + B y + C z = 0, kung saan ang A, B at C ay ang mga coordinate ng normal na N. Pagkatapos ay ang cosine ng anggulo Ang α sa pagitan ng mga vectors na V at N ay katumbas ng: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Upang kalkulahin ang anggulo sa mga degree o radian, kailangan mong kalkulahin ang inverse sa cosine function mula sa resultang expression, i.e. arccosine:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Halimbawa: hanapin sulok sa pagitan vector(5, -3, 8) at eroplano, binigay pangkalahatang equation 2 x – 5 y + 3 z = 0. Solusyon: isulat ang mga coordinate ng normal na vector ng eroplano N = (2, -5, 3). Palitan ang lahat kilalang halaga sa ibinigay na formula: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°.

Video sa paksa

Isang tuwid na linya na may parehong circumference bilang pangkaraniwang punto, ay padaplis sa bilog. Ang isa pang tampok ng tangent ay palaging patayo sa radius na iginuhit sa punto ng contact, iyon ay, ang tangent at radius ay bumubuo ng isang tuwid na linya sulok. Kung ang dalawang tangent sa isang bilog na AB at AC ay iginuhit mula sa isang punto A, kung gayon sila ay palaging pantay sa bawat isa. Pagtukoy sa anggulo sa pagitan ng mga tangent ( sulok ABC) ay ginawa gamit ang Pythagorean theorem.

Mga tagubilin

Upang matukoy ang anggulo, kailangan mong malaman ang radius ng bilog na OB at OS at ang distansya ng panimulang punto ng tangent mula sa gitna ng bilog - O. Kaya, ang mga anggulo ng ABO at ACO ay pantay, ang radius OB ay, halimbawa, 10 cm, at ang distansya sa gitna ng bilog na AO ay 15 cm. Tukuyin ang haba ng tangent gamit ang formula alinsunod sa Pythagorean theorem: AB = Kuwadrado na ugat mula sa AO2 – OB2 o 152 - 102 = 225 – 100 = 125;