Kapag nag-graph kami ng isang function, mahalagang tukuyin ang mga pagitan ng convexity at mga inflection point. Kailangan namin ang mga ito, kasama ang mga pagitan ng pagbaba at pagtaas, upang malinaw na kumatawan sa function sa graphical na anyo.

Ang pag-unawa sa paksang ito ay nangangailangan ng kaalaman sa kung ano ang derivative ng isang function at kung paano suriin ito sa ilang pagkakasunud-sunod, pati na rin ang kakayahang malutas iba't ibang uri hindi pagkakapantay-pantay

Sa simula ng artikulo, tinukoy ang mga pangunahing konsepto. Pagkatapos ay ipapakita namin kung anong relasyon ang umiiral sa pagitan ng direksyon ng convexity at ang halaga ng pangalawang derivative sa isang tiyak na pagitan. Susunod, ipahiwatig namin ang mga kondisyon kung saan matutukoy ang mga inflection point ng graph. Ang lahat ng mga argumento ay ilalarawan kasama ng mga halimbawa ng mga solusyon sa problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Depinisyon 1

Sa pababang direksyon sa isang tiyak na pagitan sa kaso kapag ang graph nito ay matatagpuan hindi mas mababa kaysa sa padaplis dito sa anumang punto sa pagitan na ito.

Kahulugan 2

Ang function na iibahin ay convex pataas sa isang tiyak na agwat kung ang graph ng isang ibinigay na function ay matatagpuan nang hindi mas mataas kaysa sa tangent dito sa anumang punto sa pagitan na ito.

Ang pababang convex function ay maaari ding tawaging concave function. Ang parehong mga kahulugan ay malinaw na ipinapakita sa graph sa ibaba:

Kahulugan 3

Inflection point ng isang function– ito ay isang punto M (x 0 ; f (x 0)), kung saan mayroong isang tangent sa graph ng function, napapailalim sa pagkakaroon ng isang derivative sa paligid ng point x 0, kung saan mula sa kaliwa at kanang bahagi ang graph ng function ay tumatagal ng iba't ibang direksyon ng convexity.

Sa madaling salita, ang inflection point ay isang lugar sa isang graph kung saan mayroong tangent, at ang direksyon ng convexity ng graph kapag dumadaan sa lugar na ito ay magbabago sa direksyon ng convexity. Kung hindi mo matandaan sa ilalim ng anong mga kundisyon ang pagkakaroon ng patayo at di-patayong tangent ay posible, inirerekomenda naming ulitin ang seksyon sa tangent ng graph ng isang function sa isang punto.

Nasa ibaba ang isang graph ng isang function na may ilang mga inflection point, na naka-highlight sa pula. Linawin natin na ang pagkakaroon ng mga inflection point ay hindi sapilitan. Sa graph ng isang function ay maaaring mayroong isa, dalawa, marami, walang katapusan na marami o wala.

Sa seksyong ito, pag-uusapan natin ang tungkol sa isang theorem kung saan matutukoy mo ang mga pagitan ng convexity sa graph ng isang partikular na function.

Kahulugan 4

Ang graph ng isang function ay magiging convex pababa o pataas kung ang katumbas na function na y = f (x) ay may pangalawang finite derivative sa tinukoy na interval x, sa kondisyon na ang inequality f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f Magiging totoo ang "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X).

Gamit ang theorem na ito, mahahanap mo ang mga pagitan ng concavity at convexity sa anumang graph ng isang function. Upang gawin ito, kailangan mo lamang na lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay f "" (x) ≥ 0 at f "" (x) ≤ 0 sa domain ng kahulugan ng kaukulang function.

Linawin natin na ang mga puntong iyon kung saan wala ang pangalawang derivative, ngunit tinukoy ang function na y = f (x), ay isasama sa mga pagitan ng convexity at concavity.

Tingnan natin ang isang halimbawa ng isang partikular na problema upang makita kung paano ilapat nang tama ang teorama na ito.

Halimbawa 1

Kundisyon: ibinigay ang function na y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . Tukuyin kung anong pagitan ang graph nito ay magkakaroon ng convexity at concavity.

Solusyon

Ang domain ng kahulugan ng function na ito ay ang buong hanay ng mga tunay na numero. Magsimula tayo sa pagkalkula ng pangalawang derivative.

y " = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 " = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y " " = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

Nakikita natin na ang domain ng kahulugan ng pangalawang derivative ay tumutugma sa domain ng function mismo. Nangangahulugan ito na upang matukoy ang mga pagitan ng convexity, kailangan nating lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay f "" (x) ≥ 0 at f "" (x ) ≤ 0.

y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

Nakuha namin ang iskedyul na iyon ibinigay na function magkakaroon ng concavity sa segment [2; + ∞) at convexity sa segment (- ∞; 2 ] .

Para sa kalinawan, gumuhit tayo ng graph ng function at markahan ang convex na bahagi sa asul at ang malukong bahagi sa pula.

Sagot: ang graph ng ibinigay na function ay magkakaroon ng concavity sa segment [2; + ∞) at convexity sa segment (- ∞; 2 ] .

Ngunit ano ang gagawin kung ang domain ng kahulugan ng pangalawang derivative ay hindi nag-tutugma sa domain ng kahulugan ng function? Narito ang sinabi sa itaas ay magiging kapaki-pakinabang sa amin: isasama rin namin ang mga puntong iyon kung saan ang finite second derivative ay hindi umiiral sa concavity at convex na mga segment.

Halimbawa 2

Kundisyon: ibinigay ang function na y = 8 x x - 1 . Tukuyin kung aling mga pagitan ang graph nito ay magiging malukong at kung saan ito magiging matambok.

Solusyon

Una, alamin natin ang domain ng kahulugan ng function.

x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)

Ngayon kinakalkula namin ang pangalawang derivative:

y " = 8 x x - 1 " = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 " = - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2" x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 · (x - 1) 3

Ang domain ng kahulugan ng pangalawang derivative ay ang set x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) . Nakikita namin na ang x na katumbas ng zero ay mapabilang sa domain ng orihinal na function, ngunit hindi sa domain ng pangalawang derivative. Ang puntong ito ay dapat na kasama sa concavity o convex segment.

Pagkatapos nito, kailangan nating lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay f "" (x) ≥ 0 at f "" (x) ≤ 0 sa domain ng kahulugan ng ibinigay na function. Ginagamit namin ang paraan ng pagitan para dito: na may x = - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 o x = - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 numerator 2 · (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 · x - 1 3 ay nagiging 0, at ang denominator ay 0 kapag ang x ay zero o isa.

I-plot natin ang mga resultang punto sa graph at tukuyin ang sign ng expression sa lahat ng mga pagitan na isasama sa domain ng kahulugan ng orihinal na function. Ang lugar na ito ay ipinahiwatig sa pamamagitan ng pagtatabing sa graph. Kung positibo ang halaga, minarkahan namin ang pagitan ng plus, kung negatibo, pagkatapos ay may minus.

Kaya naman,

f "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , at f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)

Isama namin ang dating minarkahang punto x = 0 at makuha ang nais na sagot. Ang graph ng orihinal na function ay magiging matambok pababa sa 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , at pataas – para sa x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Gumuhit tayo ng isang graph, na minarkahan ang matambok na bahagi sa asul at ang malukong bahagi sa pula. Ang patayong asymptote ay minarkahan ng isang itim na tuldok na linya.

Sagot: Ang graph ng orihinal na function ay magiging matambok pababa sa 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , at pataas – para sa x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Mga kundisyon para sa inflection ng isang function graph

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagbabalangkas ng kinakailangang kondisyon para sa inflection ng graph ng isang tiyak na function.

Kahulugan 5

Sabihin nating mayroon tayong function na y = f (x), na ang graph ay mayroong inflection point. Sa x = x 0 ito ay may tuloy-tuloy na pangalawang derivative, samakatuwid ang pagkakapantay-pantay f "" (x 0) = 0 ay mananatili.

Isinasaalang-alang kondisyong ito, dapat tayong maghanap ng mga inflection point sa mga kung saan ang pangalawang derivative ay magiging 0. Ang kundisyong ito ay hindi magiging sapat: hindi lahat ng mga puntong ito ay angkop para sa amin.

Tandaan din na, ayon sa pangkalahatang kahulugan, kakailanganin natin ng tangent na linya, patayo o hindi patayo. Sa pagsasagawa, nangangahulugan ito na upang makahanap ng mga inflection point, dapat mong kunin ang mga kung saan ang pangalawang derivative ng isang ibinigay na function ay nagiging 0. Samakatuwid, upang mahanap ang abscissa ng mga inflection point, kailangan nating kunin ang lahat ng x 0 mula sa domain ng kahulugan ng function, kung saan lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ at lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞. Kadalasan, ito ang mga punto kung saan ang denominator ng unang derivative ay nagiging 0.

Ang unang sapat na kundisyon para sa pagkakaroon ng inflection point sa graph ng isang function

Natagpuan namin ang lahat ng mga halaga ng x 0 na maaaring kunin bilang abscissas ng mga inflection point. Pagkatapos nito, kailangan nating ilapat ang unang sapat na kondisyon ng inflection.

Kahulugan 6

Sabihin nating mayroon tayong function na y = f (x) na tuloy-tuloy sa puntong M (x 0 ; f (x 0)). Bukod dito, mayroon itong tangent sa puntong ito, at ang function mismo ay may pangalawang derivative sa paligid ng puntong ito x 0. Sa kasong ito, kung sa kaliwa at kanang bahagi ang pangalawang derivative ay nakakakuha ng magkasalungat na mga palatandaan, kung gayon ang puntong ito ay maaaring ituring na isang inflection point.

Nakita namin na ang kundisyong ito ay hindi nangangailangan na ang pangalawang derivative ay kinakailangang umiral sa puntong ito; ang presensya nito sa paligid ng puntong x 0 ay sapat na.

Ito ay maginhawa upang ipakita ang lahat ng sinabi sa itaas sa anyo ng isang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon.

1. Una kailangan mong hanapin ang lahat ng abscissas x 0 ng mga posibleng inflection point, kung saan f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ .
2. Alamin natin kung anong mga punto ang derivative ay magbabago ng sign. Ang mga halagang ito ay ang abscissas ng mga inflection point, at ang mga puntos na M (x 0 ; f (x 0)) na naaayon sa kanila ay ang mga inflection point mismo.

Para sa kalinawan, susuriin namin ang dalawang problema.

Halimbawa 3

Kundisyon: ibinigay ang function na y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x. Tukuyin kung saan magkakaroon ng mga inflection point at convexity point ang graph ng function na ito.

Solusyon

Ang tinukoy na function ay tinukoy sa buong hanay ng mga tunay na numero. Kinakalkula namin ang unang derivative:

y" = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x " = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2

Ngayon, hanapin natin ang domain ng kahulugan ng unang derivative. Ito rin ang set ng lahat ng totoong numero. Nangangahulugan ito na ang mga pagkakapantay-pantay na lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ at lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ ay hindi maaaring masiyahan para sa anumang mga halaga ng x 0 .

Kinakalkula namin ang pangalawang derivative:

y " " = = 1 10 · x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 · 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 · x 2 - x - 6

y "" = 0 ⇔ 1 10 · (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 = - 2, x 2 = 1 + 25 2 = 3

Natagpuan namin ang abscissa ng dalawang posibleng inflection point - 2 at 3. Ang natitira na lang nating gawin ay suriin kung saang punto ang derivative ay nagbabago ng tanda nito. Gumuhit tayo ng isang linya ng numero at i-plot ang mga puntong ito dito, pagkatapos ay ilalagay natin ang mga palatandaan ng pangalawang derivative sa mga nagresultang agwat.

Ang mga arko ay nagpapakita ng direksyon ng convexity ng graph sa bawat pagitan.

Ang pangalawang derivative ay nagbabago ng sign sa kabaligtaran (mula sa plus hanggang minus) sa punto na may abscissa 3, na dumadaan dito mula kaliwa hanggang kanan, at ginagawa din ito (mula minus hanggang plus) sa punto na may abscissa 3. Nangangahulugan ito na maaari nating tapusin na ang x = - 2 at x = 3 ay ang abscissas ng mga inflection point ng function graph. Sila ay tumutugma sa mga graph point - 2; - 4 3 at 3; - 15 8 .

Tingnan natin muli ang imahe ng axis ng numero at ang mga nagresultang palatandaan sa mga pagitan upang makagawa ng mga konklusyon tungkol sa mga lugar ng concavity at convexity. Ito ay lumiliko na ang convexity ay matatagpuan sa segment - 2; 3, at ang concavity sa mga segment (- ∞; - 2 ] at [ 3; + ∞).

Ang solusyon sa problema ay malinaw na inilalarawan sa graph: Kulay asul– convexity, pula – concavity, black color ay nangangahulugan ng inflection point.

Sagot: ang convexity ay matatagpuan sa segment - 2; 3, at ang concavity sa mga segment (- ∞; - 2 ] at [ 3; + ∞).

Halimbawa 4

Kundisyon: kalkulahin ang abscissa ng lahat ng inflection point ng graph ng function na y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 .

Solusyon

Ang domain ng kahulugan ng isang ibinigay na function ay ang hanay ng lahat ng tunay na numero. Kinakalkula namin ang derivative:

y " = 1 8 · (x 2 + 3 x + 2) · x - 3 3 5 " = = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 " · (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 · (x - 3) 2 5

Hindi tulad ng isang function, ang unang derivative nito ay hindi tutukuyin sa halaga ng x na katumbas ng 3, ngunit:

lim x → 3 - 0 y " (x) = 13 · (3 - 0) 2 - 6 · (3 - 0) - 39 40 · 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y " (x) = 13 · (3 + 0) 2 - 6 · (3 + 0) - 39 40 · 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞

Nangangahulugan ito na ang isang patayong tangent sa graph ay dadaan sa puntong ito. Samakatuwid, ang 3 ay maaaring ang abscissa ng inflection point.

Kinakalkula namin ang pangalawang derivative. Nahanap din namin ang domain ng kahulugan nito at ang mga punto kung saan ito nagiging 0:

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 · x - 3 2 5 " (x - 3) 4 5 = = 1 25 · 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y " " (x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3, 4556, x 2 = 51 - 1509 . 0.4675

Mayroon na tayong dalawa pang posibleng inflection point. I-plot natin ang lahat sa linya ng numero at markahan ang mga nagresultang pagitan ng mga palatandaan:

Magbabago ang sign kapag dumadaan sa bawat ipinahiwatig na punto, na nangangahulugang lahat sila ay mga inflection point.

Sagot: Gumuhit tayo ng graph ng function, pagmamarka ng mga concavity sa pula, convexities sa asul, at inflection point sa itim:

Alam ang unang sapat na kondisyon para sa inflection, matutukoy natin ang mga kinakailangang punto kung saan hindi kinakailangan ang pagkakaroon ng pangalawang derivative. Batay dito, ang unang kondisyon ay maaaring ituring na pinaka-unibersal at angkop para sa paglutas iba't ibang uri mga gawain.

Tandaan na may dalawa pang kundisyon ng inflection, ngunit mailalapat lang ang mga ito kapag may finite derivative sa tinukoy na punto.

Kung mayroon tayong f "" (x 0) = 0 at f """ (x 0) ≠ 0, kung gayon ang x 0 ang magiging abscissa ng inflection point ng graph na y = f (x).

Halimbawa 5

Kundisyon: ang function na y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 ay ibinigay. Tukuyin kung ang graph ng function ay magkakaroon ng inflection point sa punto 3; 4 5 .

Solusyon

Ang unang bagay na dapat gawin ay siguraduhin na ang puntong ito ay karaniwang nabibilang sa graph ng function na ito.

y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

Ang ibinigay na function ay tinukoy para sa lahat ng mga argumento na tunay na mga numero. Kalkulahin natin ang una at pangalawang derivatives:

y" = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 " = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 " = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)

Nalaman namin na ang pangalawang derivative ay mapupunta sa 0 kung ang x ay katumbas ng 0. Nangangahulugan ito na ang kinakailangang kondisyon ng inflection para sa puntong ito ay masisiyahan. Ngayon ginagamit namin ang pangalawang kundisyon: hanapin ang pangatlong derivative at alamin kung ito ay magiging 0 sa 3:

y " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10

Ang ikatlong derivative ay hindi mawawala para sa anumang halaga ng x. Samakatuwid, maaari nating tapusin na ang puntong ito ang magiging inflection point ng function graph.

Sagot: Ipakita natin ang solusyon sa ilustrasyon:

Ipagpalagay natin na f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0, ..., f (n) (x 0) = 0 at f (n + 1) (x 0) ≠ 0 Sa kasong ito, para sa kahit n, nakuha namin na ang x 0 ay ang abscissa ng inflection point ng graph na y = f (x).

Halimbawa 6

Kundisyon: ibinigay ang function na y = (x - 3) 5 + 1. Kalkulahin ang mga inflection point ng graph nito.

Solusyon

Ang function na ito ay tinukoy sa buong hanay ng mga tunay na numero. Kinakalkula namin ang derivative: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . Dahil tutukuyin din ito para sa lahat ng tunay na halaga ng argumento, magkakaroon ng non-vertical tangent sa anumang punto sa graph nito.

Ngayon kalkulahin natin kung anong mga halaga ang magiging 0 ang pangalawang derivative:

y "" = 5 · (x - 3) 4 " = 20 · x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

Nalaman namin na sa x = 3 ang graph ng function ay maaaring may inflection point. Gamitin natin ang pangatlong kundisyon para kumpirmahin ito:

y " " " = 20 · (x - 3) 3 " = 60 · x - 3 2 , y " " " (3) = 60 · 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 · (x - 3) 2 " = 120 · (x - 3) , y (4) (3) = 120 · (3 - 3) = 0 y (5) = 120 · (x - 3) " = 120 , y (5) (3 ) = 120 ≠ 0

Mayroon kaming n = 4 sa ikatlong sapat na kondisyon. Ito ay isang even na numero, na nangangahulugang x = 3 ang magiging abscissa ng inflection point at ang graph point ng function (3; 1) ay tumutugma dito.

Sagot: Narito ang isang graph ng function na ito na may markang convexities, concavities at inflection point:

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Mga tagubilin

Mga puntos inflection mga function ay dapat kabilang sa domain ng kahulugan nito, na dapat mahanap muna. Iskedyul mga function ay isang linya na maaaring tuloy-tuloy o may mga break, monotonically bumaba o tumaas, may minimum o maximum puntos(asymptotes), maging matambok o malukong. Biglang pagbabago ng dalawa pinakabagong mga estado at tinatawag na inflection.

Prerequisite pag-iral inflection mga function ay binubuo sa pagkakapantay-pantay ng pangalawa sa zero. Kaya, sa pamamagitan ng pagkakaiba-iba ng function ng dalawang beses at equating ang resultang expression sa zero, maaari naming mahanap ang abscissa ng mga posibleng puntos. inflection.

Ang kundisyong ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng mga katangian ng convexity at concavity ng graph mga function, ibig sabihin. negatibo at positibong halaga ng pangalawang derivative. Sa punto inflection ang isang matalim na pagbabago sa mga katangiang ito ay nangangahulugan na ang derivative ay pumasa sa zero mark. Gayunpaman, ang katumbas ng zero ay hindi pa sapat upang ipahiwatig ang isang inflection.

Mayroong dalawang sapat na kondisyon na ang abscissa na natagpuan sa nakaraang yugto ay nabibilang sa punto inflection:Sa pamamagitan ng puntong ito maaari kang gumuhit ng padaplis sa mga function. Ang pangalawang derivative ay may iba't ibang palatandaan sa kanan at kaliwa ng inaasahan puntos inflection. Kaya, ang pag-iral nito sa mismong punto ay hindi kinakailangan, sapat na upang matukoy na dito nagbabago ang tanda. mga function ay katumbas ng zero, at ang pangatlo ay hindi.

Solusyon: Hanapin . Sa kasong ito walang mga paghihigpit, samakatuwid, ito ay ang buong espasyo ng mga tunay na numero. Kalkulahin ang unang derivative: y’ = 3 ∛(x - 5) + (3 x + 3)/∛(x - 5)².

Bigyang-pansin ang . Ito ay sumusunod mula dito na ang domain ng kahulugan ng derivative ay limitado. Ang puntong x = 5 ay nabutas, na nangangahulugan na ang isang tangent ay maaaring dumaan dito, na bahagyang tumutugma sa unang tanda ng sapat. inflection.

Tukuyin ang resultang expression para sa x → 5 – 0 at x → 5 + 0. Sila ay katumbas ng -∞ at +∞. Napatunayan mo na ang isang patayong tangent ay dumadaan sa puntong x=5. Ang puntong ito ay maaaring maging isang punto inflection, ngunit kalkulahin muna ang pangalawang derivative: Y'' = 1/∛(x - 5)² + 3/∛(x - 5)² – 2/3 (3 x + 3)/∛(x - 5)^5 = (2 x – 22)/∛(x - 5)^5.

Alisin ang denominator dahil isinaalang-alang mo na ang puntong x = 5. Lutasin ang equation 2 x – 22 = 0. Ito ay may iisang ugat x = 11. Ang huling hakbang ay upang kumpirmahin na puntos Ang x=5 at x=11 ay mga puntos inflection. Suriin ang pag-uugali ng pangalawang derivative sa kanilang paligid. Malinaw, sa puntong x = 5 ito ay nagbabago ng sign mula sa "+" hanggang sa "-", at sa puntong x = 11 - vice versa. Konklusyon: pareho puntos ay mga puntos inflection. Ang unang sapat na kondisyon ay nasiyahan.

Graph ng isang function y=f(x) tinawag matambok sa pagitan (a; b), kung ito ay matatagpuan sa ibaba ng alinman sa mga tangent nito sa pagitan na ito.

Graph ng isang function y=f(x) tinawag malukong sa pagitan (a; b), kung ito ay matatagpuan sa itaas ng alinman sa mga tangent nito sa pagitan na ito.

Ang figure ay nagpapakita ng isang curve na convex sa (a; b) at malukong sa (b; c).

Mga halimbawa.

Isaalang-alang natin ang isang sapat na pamantayan na nagpapahintulot sa atin na matukoy kung ang graph ng isang function sa isang naibigay na pagitan ay magiging matambok o malukong.

Teorama. Hayaan y=f(x) naiba sa pamamagitan ng (a; b). Kung sa lahat ng punto ng pagitan (a; b) pangalawang derivative ng function y = f(x) negatibo, i.e. f ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 – malukong.

Patunay. Ipagpalagay natin para sa katiyakan na f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Kunin natin ang mga function sa graph y = f(x) di-makatwirang punto M0 may abscissa x 0 Î ( a; b) at gumuhit sa punto M0 padaplis. Ang kanyang equation. Dapat nating ipakita na ang graph ng function sa (a; b) namamalagi sa ibaba ng tangent na ito, i.e. sa parehong halaga x ordinate ng kurba y = f(x) ay magiging mas mababa sa ordinate ng padaplis.

Kaya, ang equation ng curve ay y = f(x). Tukuyin natin ang ordinate ng tangent na tumutugma sa abscissa x. Tapos . Dahil dito, ang pagkakaiba sa pagitan ng mga ordinate ng curve at ng tangent para sa parehong halaga x kalooban .

Pagkakaiba f(x) – f(x 0) transform ayon sa teorama ni Lagrange, kung saan c sa pagitan x At x 0.

kaya,

Muli naming inilapat ang theorem ni Lagrange sa expression sa mga square bracket: , kung saan c 1 sa pagitan c 0 At x 0. Ayon sa mga kondisyon ng teorama f ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Kaya, ang anumang punto sa curve ay nasa ibaba ng tangent hanggang sa curve para sa lahat ng mga halaga x At x 0 Î ( a; b), na nangangahulugan na ang kurba ay matambok. Ang ikalawang bahagi ng teorama ay napatunayan sa katulad na paraan.

Mga halimbawa.

Graph point tuluy-tuloy na pag-andar, na naghihiwalay sa matambok na bahagi nito mula sa malukong bahagi, ay tinatawag inflection point.

Malinaw, sa inflection point, ang padaplis, kung mayroon man, ay nag-intersect sa curve, dahil sa isang bahagi ng puntong ito ang kurba ay namamalagi sa ilalim ng padaplis, at sa kabilang panig - sa itaas nito.

Tukuyin natin ang sapat na mga kondisyon para sa katotohanan na ang isang naibigay na punto ng kurba ay isang inflection point.

Teorama. Hayaang tukuyin ang curve sa pamamagitan ng equation y = f(x). Kung f ""(x 0) = 0 o f ""(x 0) ay hindi umiiral kahit na dumaan sa halaga x = x 0 derivative f ""(x) nagbabago ng sign, pagkatapos ay ang punto sa graph ng function na may abscissa x = x 0 may inflection point.

Patunay. Hayaan f ""(x) < 0 при x < x 0 At f ""(x) > 0 sa x > x 0. Pagkatapos sa x < x 0 ang kurba ay matambok, at kailan x > x 0– malukong. Samakatuwid, ang punto A, nakahiga sa kurba, na may abscissa x 0 may inflection point. Ang pangalawang kaso ay maaaring isaalang-alang nang katulad, kung kailan f ""(x) > 0 sa x < x 0 At f ""(x) < 0 при x > x 0.

Kaya, ang mga inflection point ay dapat hanapin lamang sa mga puntong iyon kung saan nawawala o wala ang pangalawang derivative.

Mga halimbawa. Maghanap ng mga inflection point at tukuyin ang mga pagitan ng convexity at concavity ng curves.

ASYMPTOTES NG GRAPH NG FUNCTION

Kapag nag-aaral ng isang function, mahalagang itatag ang hugis ng graph nito sa isang walang limitasyong distansya ng graph point mula sa pinanggalingan.

Ang partikular na interes ay ang kaso kapag ang graph ng isang function, kapag ang variable na punto nito ay inalis sa infinity, ay lumalapit nang walang katiyakan sa isang tiyak na tuwid na linya.

Ang tuwid na linya ay tinatawag asymptote function na graphics y = f(x), kung ang distansya mula sa variable na punto M graphics sa linyang ito kapag nag-aalis ng isang punto M sa infinity ay may posibilidad na zero, i.e. ang isang punto sa graph ng isang function, dahil ito ay may posibilidad na infinity, ay dapat na walang katiyakan na lumapit sa asymptote.

Ang isang kurba ay maaaring lumapit sa asymptote nito, nananatili sa isang gilid nito o sa iba't ibang panig, tumatawid sa asymptote ng walang katapusang bilang ng beses at lumilipat mula sa isang gilid patungo sa isa pa.

Kung ipahiwatig natin sa pamamagitan ng d ang distansya mula sa punto M curve sa asymptote, pagkatapos ay malinaw na ang d ay may posibilidad na zero habang lumalayo ang punto M sa kawalang-hanggan.

Makikilala pa natin ang pagitan ng vertical at oblique asymptotes.

VERTICAL ASYMPTOTES

Hayaan sa x→ x 0 mula sa anumang side function y = f(x) tumataas nang walang limitasyon sa ganap na halaga, i.e. o o . Pagkatapos mula sa kahulugan ng isang asymptote ito ay sumusunod na ang tuwid na linya x = x 0 ay isang asymptote. Ang kabaligtaran ay halata din, kung ang linya x = x 0 ay isang asymptote, i.e. .

Kaya, ang patayong asymptote ng graph ng function y = f(x) ay tinatawag na tuwid na linya kung f(x)→ ∞ sa ilalim ng hindi bababa sa isa sa mga kundisyon x→ x 0– 0 o x → x 0 + 0, x = x 0

Samakatuwid, upang mahanap ang mga patayong asymptotes ng graph ng function y = f(x) kailangang hanapin ang mga halagang iyon x = x 0, kung saan ang function ay napupunta sa infinity (nagdurusa ng walang katapusan na discontinuity). Pagkatapos patayong asymptote may equation x = x 0.

Mga halimbawa.

SLANT ASYMPTOTES

Dahil ang asymptote ay isang tuwid na linya, kung gayon kung ang curve y = f(x) ay may pahilig na asymptote, kung gayon ang equation nito ay magiging y = kx + b. Ang aming gawain ay upang mahanap ang mga coefficient k At b.

Teorama. Diretso y = kx + b nagsisilbing pahilig na asymptote sa x→ +∞ para sa graph ng function y = f(x) noon at kailan lang . Ang isang katulad na pahayag ay totoo para sa x → –∞.

Patunay. Hayaan MP– haba ng isang segment na katumbas ng distansya mula sa punto M sa asymptote. Sa pamamagitan ng kondisyon. Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng φ ang anggulo ng pagkahilig ng asymptote sa axis baka. Pagkatapos mula sa ΔMNP sinusundan iyon. Dahil ang φ ay isang pare-parehong anggulo (φ ≠ π/2), kung gayon , ngunit

Ito ay nananatiling isaalang-alang convexity, concavity at kinks ng graph. Magsimula tayo sa mga site na gustong-gusto ng mga bisita pisikal na ehersisyo. Mangyaring tumayo at sumandal pasulong o paatras. Ito ay isang umbok. Ngayon iunat ang iyong mga braso sa harap mo, itaas ang palad, at isipin na may hawak kang malaking troso sa iyong dibdib... ...well, kung hindi mo gusto ang log, hayaan ang isang bagay/ibang tao na gawin ito = ) Ito ay concavity. Ang isang bilang ng mga mapagkukunan ay naglalaman ng magkasingkahulugan na mga termino umbok At umbok pababa, ngunit ako ay isang tagahanga ng mga maikling pamagat.

! Pansin : ilang may-akda matukoy ang convexity at concavity nang eksakto sa kabaligtaran. Tama rin ito sa matematika at lohikal, ngunit kadalasan ay ganap na mali mula sa isang mahalagang punto ng view, kabilang ang antas ng pang-unawa ng ating karaniwang tao sa mga termino. Kaya, halimbawa, ang isang lens na may tubercles ay tinatawag na isang biconvex lens, ngunit hindi may mga depressions (biconcave).
At, sabihin nating, isang "malukong" na kama - malinaw pa rin itong hindi "dumikit" =) (gayunpaman, kung umakyat ka sa ilalim nito, pag-uusapan na natin ang tungkol sa convexity; =)) Sumusunod ako sa isang diskarte na tumutugma sa natural samahan ng tao.

Ang pormal na kahulugan ng convexity at concavity ng isang graph ay medyo mahirap para sa isang teapot, kaya limitahan natin ang ating sarili sa isang geometric na interpretasyon ng konsepto sa tiyak na mga halimbawa. Isaalang-alang ang graph ng isang function na tuloy-tuloy sa buong linya ng numero:

Madali itong itayo mga pagbabagong geometriko, at, malamang, maraming mambabasa ang nakakaalam kung paano ito nakukuha mula sa isang cubic parabola.

Tawagin natin chord pagkonekta ng linya dalawang magkaibang punto sining ng grapiko.

Ang graph ng isang function ay matambok sa ilang pagitan, kung ito ay matatagpuan hindi mas mababa anumang chord ng isang ibinigay na pagitan. Ang pang-eksperimentong linya ay matambok sa , at, malinaw naman, dito matatagpuan ang anumang bahagi ng graph sa ITAAS nito chord. Upang ilarawan ang kahulugan, gumuhit ako ng tatlong itim na linya.

Ang mga function ng graph ay malukong sa pagitan, kung ito ay matatagpuan hindi mas mataas anumang chord ng interval na ito. Sa halimbawang isinasaalang-alang, ang pasyente ay malukong sa pagitan. Ang isang pares ng brown na mga segment ay nakakumbinsi na nagpapakita na dito matatagpuan ang anumang piraso ng graph sa ILALIM nito chord.

Ang punto sa graph kung saan ito nagbabago mula sa matambok patungo sa malukong o concavity to convexity ang tawag inflection point. Mayroon kaming ito sa isang solong kopya (ang unang kaso), at, sa pagsasagawa, sa pamamagitan ng inflection point maaari naming sabihin ang parehong berdeng punto na kabilang sa linya mismo at ang halaga ng "X".

MAHALAGA! Ang mga kinks ng graph ay dapat na maingat na iguhit at napakakinis. Ang lahat ng uri ng "mga iregularidad" at "kagaspangan" ay hindi katanggap-tanggap. Kailangan lang ng kaunting pagsasanay.

Ang pangalawang diskarte sa pagtukoy ng convexity/concavity sa teorya ay ibinibigay sa pamamagitan ng tangents:

Matambok sa pagitan matatagpuan ang graph hindi mas mataas padaplis na iginuhit dito sa isang arbitrary na punto ng isang ibinigay na pagitan. Malukong sa interval graph - hindi mas mababa anumang padaplis sa pagitan na ito.

Ang hyperbola ay malukong sa pagitan at matambok sa:

Kapag dumadaan sa pinagmulan ng mga coordinate, ang concavity ay nagbabago sa convexity, ngunit ang punto HUWAG MAGBILANG inflection point, dahil ang function hindi determinado sa loob.

Ang mas mahigpit na mga pahayag at teorema sa paksa ay matatagpuan sa aklat-aralin, at nagpapatuloy tayo sa matinding praktikal na bahagi:

Paano makahanap ng mga pagitan ng convexity, mga pagitan ng concavity
at mga inflection point ng graph?

Ang materyal ay simple, stencilled at structurally umuulit pag-aaral ng isang function para sa isang extremum.

Nailalarawan ang convexity/concavity ng graph pangalawang derivative mga function.

Hayaan ang function na dalawang beses differentiable sa ilang pagitan. Pagkatapos:

– kung ang pangalawang derivative ay nasa pagitan, kung gayon ang graph ng function ay matambok sa pagitan na ito;

– kung ang pangalawang derivative ay nasa pagitan, kung gayon ang graph ng function ay malukong sa pagitan na ito.

Tungkol sa mga palatandaan ng pangalawang derivative, ang isang sinaunang asosasyon ay naglalakad sa paligid ng mga institusyong pang-edukasyon: "–" ay nagpapakita na "hindi ka maaaring magbuhos ng tubig sa graph ng isang function" (convexity),
at “+” – “nagbibigay ng ganitong pagkakataon” (concavity).

Kinakailangang kondisyon ng inflection

Kung sa isang punto ay mayroong inflection point sa graph ng function, Iyon:
o ang halaga ay wala(Ayusin natin ito, basahin!).

Ang pariralang ito ay nagpapahiwatig na ang function tuloy-tuloy sa isang punto at sa kaso - ay dalawang beses na naiba sa ilang kapitbahayan nito.

Ang pangangailangan ng kondisyon ay nagpapahiwatig na ang kabaligtaran ay hindi palaging totoo. Iyon ay, mula sa pagkakapantay-pantay (o hindi pagkakaroon ng halaga) hindi pa dapat ang pagkakaroon ng inflection sa graph ng isang function sa punto . Ngunit sa parehong sitwasyon sila ay tumatawag kritikal na punto ng pangalawang derivative.

Sapat na kondisyon para sa inflection

Kung ang pangalawang derivative ay nagbabago ng sign kapag dumadaan sa isang punto, pagkatapos ay sa puntong ito mayroong isang inflection sa graph ng function.

Maaaring walang mga inflection point (isang halimbawa ay natugunan na) sa lahat, at sa ganitong kahulugan ang ilang mga elementarya na halimbawa ay nagpapahiwatig. Suriin natin ang pangalawang derivative ng function:

Ang isang positibong pare-pareho ang pag-andar ay nakuha, iyon ay para sa anumang halaga ng "x". Mga katotohanang nakahiga sa ibabaw: ang parabola ay malukong sa kabuuan domain ng kahulugan, walang mga inflection point. Madaling mapansin na ang negatibong koepisyent sa "binabaligtad" ang parabola at ginagawa itong matambok (tulad ng sasabihin sa atin ng pangalawang derivative, isang negatibong pare-parehong pag-andar).

Exponential function malukong din sa:

para sa anumang halaga ng "x".

Siyempre, ang graph ay walang mga inflection point.

Sinusuri namin ang graph ng logarithmic function para sa convexity/concavity:

Kaya, ang sangay ng logarithm ay matambok sa pagitan. Ang pangalawang derivative ay tinukoy din sa pagitan, ngunit isaalang-alang ito BAWAL ITO, dahil hindi kasama ang agwat na ito sa domain mga function Ang kinakailangan ay halata - dahil walang logarithm graph doon, kung gayon, natural, walang pag-uusap tungkol sa anumang convexity/concavity/inflections.

As you can see, everything is really very reminiscent of the story with pagtaas, pagbaba at labis na paggana. Katulad ng sarili ko algorithm para sa pag-aaral ng graph ng isang functionpara sa convexity, concavity at pagkakaroon ng kinks:

2) Naghahanap kami ng mga kritikal na halaga. Upang gawin ito, kunin ang pangalawang derivative at lutasin ang equation. Ang mga punto kung saan walang 2nd derivative, ngunit kasama sa domain ng kahulugan ng mismong function, ay itinuturing ding kritikal!

3) Markahan sa number line ang lahat ng nakitang discontinuity points at kritikal na mga punto (maaaring wala ang isa o ang isa pa - kung gayon hindi na kailangang gumuhit ng anuman (tulad ng sa napakasimpleng kaso), sapat na upang ikulong ang sarili sa isang nakasulat na komento). Paraan ng pagitan tukuyin ang mga palatandaan sa mga nagresultang agwat. Tulad ng ipinaliwanag lamang, dapat isaalang-alang ng isa lamang ang mga mga pagitan na kasama sa domain ng kahulugan ng function. Gumagawa kami ng mga konklusyon tungkol sa convexity/concavity at inflection point ng function graph. Ibigay namin ang sagot.

Subukang ilapat sa salita ang algorithm sa mga function . Sa pangalawang kaso, sa pamamagitan ng paraan, mayroong isang halimbawa kapag walang inflection point sa graph sa kritikal na punto. Gayunpaman, magsimula tayo sa bahagyang mas mahirap na mga gawain:

Halimbawa 1

Solusyon:
1) Ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa buong linya ng numero. Napakahusay.

2) Hanapin natin ang pangalawang derivative. Maaari mo munang isagawa ang konstruksyon ng kubo, ngunit ito ay mas kumikitang gamitin panuntunan para sa pagkita ng kaibahan ng mga kumplikadong function:

Mangyaring tandaan na , na nangangahulugang ang function ay hindi bumababa. Bagaman hindi ito nauugnay sa gawain, palaging ipinapayong bigyang-pansin ang mga naturang katotohanan.

Hanapin natin ang mga kritikal na punto ng pangalawang derivative:

- kritikal na punto

3) Suriin natin kung nasiyahan ang sapat na kundisyon ng inflection. Tukuyin natin ang mga palatandaan ng pangalawang derivative sa mga nagresultang agwat.

Pansin! Ngayon ay nagtatrabaho kami sa pangalawang derivative (at hindi sa isang function!)

Bilang resulta, isang kritikal na punto ang nakuha: .

3) Markahan ang dalawang discontinuity point sa number line, isang kritikal na punto, at tukuyin ang mga palatandaan ng pangalawang derivative sa mga resultang agwat:

Ipinaaalala ko sa iyo ang isang mahalagang pamamaraan paraan ng pagitan, na nagbibigay-daan sa iyo na makabuluhang mapabilis ang solusyon. Pangalawang derivative naging napakahirap, kaya hindi kinakailangan na kalkulahin ang mga halaga nito, sapat na upang gumawa ng "tantiya" sa bawat pagitan. Pumili tayo, halimbawa, ng isang punto na kabilang sa kaliwang pagitan,
at gawin ang pagpapalit:

Ngayon suriin natin ang mga multiplier:

Dalawang "minus" at "plus" ang nagbibigay ng "plus", samakatuwid, na nangangahulugan na ang pangalawang derivative ay positibo sa buong pagitan.

Ang mga nagkomento na aksyon ay madaling gawin sa salita. Bilang karagdagan, ito ay kapaki-pakinabang na huwag pansinin ang kadahilanan sa kabuuan - ito ay positibo para sa anumang "x" at hindi nakakaapekto sa mga palatandaan ng aming pangalawang derivative.

Kaya, anong impormasyon ang ibinigay mo sa amin?

Sagot: Ang graph ng function ay malukong sa at matambok sa . Sa pinanggalingan (maliwanag na) may inflection point sa graph.

Kapag dumadaan sa mga punto, ang pangalawang derivative ay nagbabago din ng sign, ngunit hindi sila itinuturing na mga inflection point, dahil ang function ay naghihirap sa kanila walang katapusang break.

Sa nasuri na halimbawa, ang unang derivative nagpapaalam sa amin tungkol sa paglago ng function sa kabuuan domain ng kahulugan. There would always be such a freebie =) At saka, obvious naman na tatlo asymptote. Maraming data ang nakuha, na nagpapahintulot mataas na antas kasalukuyang pagiging maaasahan hitsura sining ng grapiko. Sa heap, kakaiba din ang function. Batay sa itinatag na mga katotohanan, subukang gumawa ng isang magaspang na sketch. Larawan sa katapusan ng aralin.

Gawain para sa independiyenteng solusyon:

Halimbawa 6

Suriin ang graph ng isang function para sa convexity, concavity at hanapin ang mga inflection point ng graph, kung mayroon sila.

Walang drawing sa sample, ngunit hindi ipinagbabawal na maglagay ng hypothesis;)

Giling namin ang materyal nang hindi binibilang ang mga punto ng algorithm:

Halimbawa 7

Suriin ang graph ng isang function para sa convexity, concavity at hanapin ang mga inflection point, kung mayroon sila.

Solusyon: pinapahintulutan ang pag-andar walang katapusang agwat sa puntong .

Gaya ng dati, maayos ang lahat sa amin:

Ang mga derivatives ay hindi ang pinakamahirap, ang pangunahing bagay ay ang maging maingat sa kanilang "hairstyle".
Sa induced marathon, dalawang kritikal na punto ng pangalawang derivative ang ipinahayag:

Alamin natin ang mga palatandaan sa mga nagresultang agwat:

Mayroong inflection point sa graph sa isang punto; hanapin natin ang ordinate ng punto:

Kapag dumadaan sa isang punto, ang pangalawang derivative ay hindi nagbabago ng sign, samakatuwid, WALANG inflection sa graph.

Sagot: mga pagitan ng convexity: ; agwat ng kalungkutan: ; inflection point: .

Isaalang-alang natin huling mga halimbawa na may karagdagang mga kampana at sipol:

Halimbawa 8

Hanapin ang mga pagitan ng convexity, concavity at inflection point ng graph

Solusyon: sa paghahanap domain ng kahulugan Walang mga espesyal na problema:
, habang ang function ay naghihirap sa mga discontinuities sa mga punto.

Tayo'y dumaan sa landas:

- kritikal na punto.

Tukuyin natin ang mga palatandaan at isaalang-alang ang mga pagitan mula lamang sa domain ng pag-andar:

Mayroong inflection point sa graph sa isang punto; kalkulahin natin ang ordinate: