Paglalahad at aralin sa paksang: "Rational equation. Algorithm at mga halimbawa ng paglutas ng rational equation"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, pagsusuri, kagustuhan! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang anti-virus program.

Mga tulong na pang-edukasyon at simulator sa Integral online na tindahan para sa grade 8
Isang manwal para sa aklat-aralin ni Makarychev Yu.N. Isang manwal para sa aklat-aralin ni Mordkovich A.G.

Panimula sa Irrational Equation

Guys, natutunan namin kung paano lutasin ang mga quadratic equation. Ngunit ang matematika ay hindi limitado sa kanila lamang. Ngayon ay matututunan natin kung paano lutasin ang mga rational equation. Ang konsepto ng rational equation sa maraming paraan ay katulad ng konsepto mga rational na numero. Bilang karagdagan lamang sa mga numero, ngayon ay ipinakilala namin ang ilang variable na $x$. At sa gayon ay nakakakuha tayo ng isang expression kung saan ang mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, paghahati at pagtaas sa isang integer na kapangyarihan ay naroroon.

Hayaan ang $r(x)$ makatwirang pagpapahayag. Ang ganitong expression ay maaaring isang simpleng polynomial sa variable na $x$ o isang ratio ng polynomials (isang division operation ang ipinakilala, tulad ng para sa mga rational na numero).
Ang equation na $r(x)=0$ ay tinatawag rational equation.
Anumang equation ng form na $p(x)=q(x)$, kung saan ang $p(x)$ at $q(x)$ ay mga rational expression, ay magiging rational equation.

Tingnan natin ang mga halimbawa ng paglutas ng mga rational equation.

Halimbawa 1.
Lutasin ang equation: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Solusyon.
Ilipat natin ang lahat ng expression sa kaliwang bahagi: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Kung ang kaliwang bahagi ng equation ay kinakatawan ng mga ordinaryong numero, babawasan natin ang dalawang fraction sa isang common denominator.
Gawin natin ito: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Nakuha namin ang equation: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Ang isang fraction ay katumbas ng zero kung at kung ang numerator ng fraction ay zero at ang denominator ay di-zero. Pagkatapos ay hiwalay nating itinutumbas ang numerator sa zero at hanapin ang mga ugat ng numerator.
$3(x^2+2x-3)=0$ o $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Ngayon suriin natin ang denominator ng fraction: $(x-3)*x≠0$.
Ang produkto ng dalawang numero ay katumbas ng zero kapag kahit isa sa mga numerong ito ay katumbas ng zero. Pagkatapos: $x≠0$ o $x-3≠0$.
$x≠0$ o $x≠3$.
Ang mga ugat na nakuha sa numerator at denominator ay hindi nagtutugma. Kaya isulat namin ang parehong mga ugat ng numerator sa sagot.
Sagot: $x=1$ o $x=-3$.

Kung biglang ang isa sa mga ugat ng numerator ay nag-tutugma sa ugat ng denominator, dapat itong hindi kasama. Ang ganitong mga ugat ay tinatawag na extraneous!

Algorithm para sa paglutas ng mga rational equation:

1. Ilipat ang lahat ng expression na nakapaloob sa equation sa kaliwang bahagi ng equal sign.
2. I-convert ang bahaging ito ng equation sa algebraic fraction: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. I-equate ang resultang numerator sa zero, ibig sabihin, lutasin ang equation na $p(x)=0$.
4. I-equate ang denominator sa zero at lutasin ang resultang equation. Kung ang mga ugat ng denominator ay nag-tutugma sa mga ugat ng numerator, dapat silang hindi kasama sa sagot.

Halimbawa 2.
Lutasin ang equation: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Solusyon.
Malutas natin ayon sa mga punto ng algorithm.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. I-equate ang numerator sa zero: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. I-equate ang denominator sa zero:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ at $x=-1$.
Ang isa sa mga ugat na $x=1$ ay tumutugma sa ugat ng numerator, pagkatapos ay hindi natin ito isusulat sa sagot.
Sagot: $x=-1$.

Ito ay maginhawa upang malutas ang mga rational equation gamit ang paraan ng pagbabago ng mga variable. Ipakita natin ito.

Halimbawa 3.
Lutasin ang equation: $x^4+12x^2-64=0$.

Solusyon.
Ipakilala natin ang kapalit: $t=x^2$.
Pagkatapos ang aming equation ay kukuha ng form:
$t^2+12t-64=0$ - normal quadratic equation.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
Ipakilala natin ang reverse substitution: $x^2=4$ o $x^2=-16$.
Ang mga ugat ng unang equation ay isang pares ng mga numero $x=±2$. Ang pangalawang bagay ay wala itong mga ugat.
Sagot: $x=±2$.

Halimbawa 4.
Lutasin ang equation: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Solusyon.
Magpakilala tayo ng bagong variable: $t=x^2+x+1$.
Pagkatapos ang equation ay kukuha ng anyo: $t=\frac(15)(t+2)$.
Susunod, magpapatuloy kami ayon sa algorithm.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - hindi nagtutugma ang mga ugat.
Magpakilala tayo ng reverse substitution.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Lutasin natin ang bawat equation nang hiwalay:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - hindi mga ugat.
At ang pangalawang equation: $x^2+x-2=0$.
Ang mga ugat ng equation na ito ay ang mga numerong $x=-2$ at $x=1$.
Sagot: $x=-2$ at $x=1$.

Halimbawa 5.
Lutasin ang equation: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Solusyon.
Ipakilala natin ang kapalit: $t=x+\frac(1)(x)$.
Pagkatapos:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ o $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Nakuha namin ang equation: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Ang mga ugat ng equation na ito ay ang pares:
$t=-3$ at $t=2$.
Ipakilala natin ang reverse substitution:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Magkahiwalay tayong magdedesisyon.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Lutasin natin ang pangalawang equation:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Ang ugat ng equation na ito ay ang bilang na $x=1$.
Sagot: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Mga problema upang malutas nang nakapag-iisa

Lutasin ang mga equation:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

§ 1 Integer at fractional rational equation

Sa araling ito ay titingnan natin ang mga konsepto tulad ng rational equation, rational expression, whole expression, fractional expression. Isaalang-alang natin ang paglutas ng mga rational equation.

Ang rational equation ay isang equation kung saan ang kaliwa at kanang gilid ay mga rational expression.

Ang mga makatwirang ekspresyon ay:

Fractional.

Ang isang integer na expression ay binubuo ng mga numero, variable, integer na kapangyarihan gamit ang mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas, multiplikasyon, at paghahati sa isang numero maliban sa zero.

Halimbawa:

Ang mga fractional na expression ay kinabibilangan ng paghahati sa isang variable o isang expression na may isang variable. Halimbawa:

Ang isang fractional expression ay hindi makatwiran para sa lahat ng mga halaga ng mga variable na kasama dito. Halimbawa, ang expression

sa x = -9 hindi ito makatuwiran, dahil sa x = -9 ang denominator ay napupunta sa zero.

Nangangahulugan ito na ang isang rational equation ay maaaring integer o fractional.

Ang isang buong rational equation ay isang rational equation kung saan ang kaliwa at kanang gilid ay buong expression.

Halimbawa:

Ang fractional rational equation ay isang rational equation kung saan ang kaliwa o kanang bahagi ay fractional expression.

Halimbawa:

§ 2 Solusyon ng isang buong rational equation

Isaalang-alang natin ang solusyon ng isang buong rational equation.

Halimbawa:

I-multiply natin ang magkabilang panig ng equation sa pinakamaliit na common denominator ng mga denominator ng mga fraction na kasama dito.

Para dito:

1. hanapin ang karaniwang denominador para sa mga denominador 2, 3, 6. Ito ay katumbas ng 6;

2. humanap ng karagdagang salik para sa bawat fraction. Upang gawin ito, hatiin ang karaniwang denominador 6 sa bawat denominador

karagdagang salik para sa fraction

karagdagang salik para sa fraction

3. i-multiply ang mga numerator ng mga fraction sa kanilang katumbas na karagdagang mga salik. Kaya, nakukuha namin ang equation

na katumbas ng ibinigay na equation

Sa kaliwa bubuksan namin ang mga bracket, kanang bahagi Ilipat natin ito sa kaliwa, binabago ang tanda ng termino kapag inilipat ito sa kabaligtaran.

Dalhin natin ang mga katulad na termino ng polynomial at makuha

Nakikita natin na ang equation ay linear.

Nang malutas ito, nakita namin na x = 0.5.

§ 3 Solusyon ng isang fractional rational equation

Isaalang-alang natin ang paglutas ng isang fractional rational equation.

Halimbawa:

1. I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa pinakamaliit na common denominator ng mga denominator ng mga rational fraction na kasama dito.

Hanapin natin ang common denominator para sa mga denominator na x + 7 at x - 1.

Ito ay katumbas ng kanilang produkto (x + 7)(x - 1).

2. Maghanap tayo ng karagdagang salik para sa bawat rational fraction.

Upang gawin ito, hatiin ang karaniwang denominador (x + 7)(x - 1) sa bawat denominador. Karagdagang salik para sa mga fraction

katumbas ng x - 1,

karagdagang salik para sa fraction

katumbas ng x+7.

3. I-multiply ang mga numerator ng mga fraction sa kanilang katumbas na karagdagang mga salik.

Nakukuha namin ang equation (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), na katumbas ng equation na ito

4. I-multiply ang binomial ng binomial sa kaliwa at kanan at kunin ang sumusunod na equation

5. Inilipat namin ang kanang bahagi sa kaliwa, binabago ang tanda ng bawat termino kapag naglilipat sa kabaligtaran:

6. Ipakita natin ang mga katulad na termino ng polynomial:

7. Ang magkabilang panig ay maaaring hatiin ng -1. Kumuha kami ng isang quadratic equation:

8. Nang malutas ito, mahahanap natin ang mga ugat

Dahil sa Eq.

ang kaliwa at kanang bahagi ay fractional expression, at sa fractional expression, para sa ilang mga halaga ng mga variable, ang denominator ay maaaring maging zero, pagkatapos ay kinakailangan upang suriin kung ang karaniwang denominator ay hindi napupunta sa zero kapag natagpuan ang x1 at x2 .

Sa x = -27, ang common denominator (x + 7)(x - 1) ay hindi nawawala; sa x = -1, ang common denominator ay hindi rin zero.

Samakatuwid, ang parehong mga ugat -27 at -1 ay mga ugat ng equation.

Kapag nilulutas ang isang fractional rational equation, mas mahusay na agad na ipahiwatig ang rehiyon mga katanggap-tanggap na halaga. Tanggalin ang mga halaga kung saan ang karaniwang denominator ay napupunta sa zero.

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa ng paglutas ng isang fractional rational equation.

Halimbawa, lutasin natin ang equation

Isinasaalang-alang namin ang denominator ng fraction sa kanang bahagi ng equation

Nakukuha namin ang equation

Hanapin natin ang common denominator para sa mga denominator (x - 5), x, x(x - 5).

Ito ang magiging expression na x(x - 5).

Ngayon hanapin natin ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng equation

Upang gawin ito, itinutumbas natin ang karaniwang denominador sa zero x(x - 5) = 0.

Nakukuha namin ang isang equation, paglutas na nakita namin na sa x = 0 o sa x = 5 ang common denominator ay napupunta sa zero.

Nangangahulugan ito na ang x = 0 o x = 5 ay hindi maaaring maging mga ugat ng ating equation.

Makakahanap na ng mga karagdagang multiplier.

Karagdagang salik para sa mga rational fraction

karagdagang salik para sa fraction

ay magiging (x - 5),

at ang karagdagang salik ng fraction

Pinaparami namin ang mga numerator sa kaukulang karagdagang mga kadahilanan.

Nakukuha natin ang equation na x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Buksan natin ang mga bracket sa kaliwa at kanan, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Ilipat natin ang mga termino mula kanan pakaliwa, binabago ang tanda ng mga inilipat na termino:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

At pagkatapos magdala ng mga katulad na termino, nakakakuha tayo ng quadratic equation x2 - 3x - 10 = 0. Nang malutas ito, nakita natin ang mga ugat x1 = -2; x2 = 5.

Ngunit nalaman na natin na sa x = 5 ang common denominator x(x - 5) ay napupunta sa zero. Samakatuwid, ang ugat ng aming equation

magiging x = -2.

§ 4 Maikling buod ng aralin

Mahalagang tandaan:

Kapag nilulutas ang mga fractional rational equation, magpatuloy bilang mga sumusunod:

1. Hanapin ang common denominator ng mga fraction na kasama sa equation. Bukod dito, kung ang mga denominator ng mga fraction ay maaaring i-factor, pagkatapos ay i-factor ang mga ito at pagkatapos ay hanapin ang karaniwang denominator.

2. I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng isang common denominator: maghanap ng mga karagdagang salik, i-multiply ang mga numerator sa mga karagdagang salik.

3. Lutasin ang resultang buong equation.

4. Tanggalin sa mga ugat nito ang mga nagpapawala ng karaniwang denominador.

Listahan ng ginamit na panitikan:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Na-edit ni Teleyakovsky S.A. Algebra: aklat-aralin. para sa ika-8 baitang. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon. - M.: Edukasyon, 2013.
2. Mordkovich A.G. Algebra. Ika-8 baitang: Sa dalawang bahagi. Bahagi 1: Teksbuk. para sa pangkalahatang edukasyon mga institusyon. - M.: Mnemosyne.
3. Rurukin A.N. Mga pag-unlad ng aralin sa algebra: ika-8 baitang. - M.: VAKO, 2010.
4. Algebra 8th grade: lesson plans base sa textbook ni Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasyeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: Guro, 2005.

Mga layunin ng aralin:

Pang-edukasyon:

• pagbuo ng konsepto ng fractional rational equation;
• isaalang-alang ang iba't ibang paraan upang malutas ang mga fractional rational equation;
• isaalang-alang ang isang algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation, kabilang ang kundisyon na ang fraction ay katumbas ng zero;
• turuan ang paglutas ng mga fractional rational equation gamit ang isang algorithm;
• pagsuri sa antas ng karunungan sa paksa sa pamamagitan ng pagsasagawa ng pagsusulit.

Pag-unlad:

• pagbuo ng kakayahang wastong gumana nang may nakuhang kaalaman at mag-isip nang lohikal;
• pag-unlad ng mga kasanayan sa intelektwal at pagpapatakbo ng isip - pagsusuri, synthesis, paghahambing at paglalahat;
• pagbuo ng inisyatiba, ang kakayahang gumawa ng mga desisyon, at hindi titigil doon;
• pag-unlad ng kritikal na pag-iisip;
• pag-unlad ng mga kasanayan sa pananaliksik.

Edukasyon:

• pagpapaunlad ng nagbibigay-malay na interes sa paksa;
• pagpapaunlad ng kalayaan sa paglutas ng mga problema sa edukasyon;
• pag-aalaga ng kalooban at tiyaga upang makamit ang mga huling resulta.

Uri ng aralin: aralin - pagpapaliwanag ng bagong materyal.

Sa panahon ng mga klase

1. Pansamahang sandali.

Hello guys! May mga equation na nakasulat sa pisara, tingnan mong mabuti. Kaya mo bang lutasin ang lahat ng mga equation na ito? Alin ang hindi at bakit?

Ang mga equation kung saan ang kaliwa at kanang gilid ay fractional rational expression ay tinatawag na fractional rational equation. Ano sa palagay mo ang pag-aaralan natin sa klase ngayon? Bumuo ng paksa ng aralin. Kaya, buksan ang iyong mga notebook at isulat ang paksa ng aralin na "Paglutas ng mga fractional rational equation."

2. Pag-update ng kaalaman. Frontal survey, oral work kasama ang klase.

At ngayon ay uulitin natin ang pangunahing teoretikal na materyal na kailangan nating pag-aralan bagong paksa. Pakisagot ang mga sumusunod na tanong:

1. Ano ang isang equation? ( Pagkakapantay-pantay sa isang variable o variable.)
2. Ano ang pangalan ng equation number 1? ( Linear.) Solusyon linear na equation. (Ilipat ang lahat ng bagay na may hindi alam sa kaliwang bahagi ng equation, lahat ng numero sa kanan. Magbigay ng mga katulad na termino. Maghanap ng hindi kilalang kadahilanan).
3. Ano ang pangalan ng equation number 3? ( Square.) Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation. ( Pagbukod ng kumpletong parisukat gamit ang mga formula gamit ang theorem ng Vieta at ang mga corollaries nito.)
4. Ano ang proporsyon? ( Pagkakapantay-pantay ng dalawang ratios.) Ang pangunahing pag-aari ng proporsyon. ( Kung tama ang proporsyon, kung gayon ang produkto ng mga matinding termino nito ay katumbas ng produkto ng mga gitnang termino.)
5. Anong mga katangian ang ginagamit sa paglutas ng mga equation? ( 1. Kung ililipat mo ang isang term sa isang equation mula sa isang bahagi patungo sa isa pa, binabago ang sign nito, makakakuha ka ng katumbas na equation sa ibinigay na isa. 2. Kung ang magkabilang panig ng equation ay pinarami o hinati sa parehong di-zero na numero, makakakuha ka ng equation na katumbas ng ibinigay na isa.)
6. Kailan katumbas ng zero ang isang fraction? ( Ang isang fraction ay katumbas ng zero kapag ang numerator ay zero at ang denominator ay hindi zero..)

3. Pagpapaliwanag ng bagong materyal.

Lutasin ang equation No. 2 sa iyong mga notebook at sa pisara.

Sagot: 10.

Alin fractional rational equation Maaari mo bang subukang lutasin gamit ang pangunahing katangian ng proporsyon? (No. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Lutasin ang equation No. 4 sa iyong mga notebook at sa pisara.

Sagot: 1,5.

Anong fractional rational equation ang maaari mong subukang lutasin sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa denominator? (No. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Sagot: 3;4.

Ngayon subukang lutasin ang equation number 7 gamit ang isa sa mga sumusunod na pamamaraan.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
Sagot: 0;5;-2.			Sagot: 5;-2.

Ipaliwanag kung bakit nangyari ito? Bakit may tatlong ugat sa isang kaso at dalawa sa isa pa? Anong mga numero ang mga ugat ng fractional rational equation na ito?

Hanggang ngayon, ang mga mag-aaral ay hindi nakatagpo ng konsepto ng isang extraneous root, ito ay talagang napakahirap para sa kanila na maunawaan kung bakit ito nangyari. Kung walang sinuman sa klase ang makapagbibigay ng malinaw na paliwanag sa sitwasyong ito, magtatanong ang guro ng mga nangungunang tanong.

• Paano naiiba ang mga equation No. 2 at 4 sa mga equation No. 5,6,7? ( Sa mga equation No. 2 at 4 may mga numero sa denominator, No. 5-7 ay mga expression na may variable.)
• Ano ang ugat ng isang equation? ( Ang halaga ng variable kung saan nagiging totoo ang equation.)
• Paano malalaman kung ang isang numero ay ang ugat ng isang equation? ( Gumawa ng tseke.)

Kapag sumusubok, napansin ng ilang estudyante na kailangan nilang hatiin sa zero. Napagpasyahan nila na ang mga numero 0 at 5 ay hindi ang mga ugat ng equation na ito. Ang tanong ay lumitaw: mayroon bang paraan upang malutas ang mga fractional rational equation na nagpapahintulot sa amin na alisin ang error na ito? Oo, ang pamamaraang ito ay batay sa kondisyon na ang fraction ay katumbas ng zero.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Kung x=5, kung gayon ang x(x-5)=0, na nangangahulugang 5 ay isang extraneous na ugat.

Kung x=-2, kung gayon ang x(x-5)≠0.

Sagot: -2.

Subukan nating bumalangkas ng isang algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation sa ganitong paraan. Binubalangkas ng mga bata ang algorithm mismo.

Algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation:

1. Ilipat ang lahat sa kaliwang bahagi.
2. Bawasan ang mga fraction sa isang karaniwang denominator.
3. Lumikha ng isang sistema: ang isang fraction ay katumbas ng zero kapag ang numerator ay katumbas ng zero at ang denominator ay hindi katumbas ng zero.
4. Lutasin ang equation.
5. Suriin ang hindi pagkakapantay-pantay upang ibukod ang mga extraneous na ugat.
6. Isulat ang sagot.

Pagtalakay: kung paano gawing pormal ang solusyon kung gagamitin mo ang pangunahing katangian ng proporsyon at pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa isang karaniwang denominador. (Idagdag sa solusyon: ibukod mula sa mga ugat nito ang mga nagpapawala ng karaniwang denominator).

4. Paunang pag-unawa sa bagong materyal.

Magtrabaho nang magkapares. Pinipili ng mga mag-aaral kung paano lutasin ang equation sa kanilang sarili depende sa uri ng equation. Mga takdang-aralin mula sa aklat-aralin na "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600(b,c,i); No. 601(a,e,g). Sinusubaybayan ng guro ang pagkumpleto ng gawain, sinasagot ang anumang mga tanong na lumabas, at nagbibigay ng tulong sa mga mag-aaral na mababa ang pagganap. Self-test: ang mga sagot ay nakasulat sa pisara.

b) 2 – extraneous na ugat. Sagot: 3.

c) 2 – extraneous na ugat. Sagot: 1.5.

a) Sagot: -12.5.

g) Sagot: 1;1.5.

5. Pagtatakda ng takdang-aralin.

1. Basahin ang talata 25 mula sa aklat-aralin, suriin ang mga halimbawa 1-3.
2. Matuto ng algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation.
3. Lutasin sa mga notebook Blg. 600 (a, d, e); No. 601(g,h).
4. Subukang lutasin ang No. 696(a) (opsyonal).

6. Pagkumpleto ng control task sa paksang pinag-aralan.

Ang gawain ay ginagawa sa mga piraso ng papel.

Halimbawang gawain:

A) Alin sa mga equation ang fractional rational?

B) Ang isang fraction ay katumbas ng zero kapag ang numerator ay ____________________ at ang denominator ay _______________________.

Q) Ang numero ba ay -3 ang ugat ng equation number 6?

D) Lutasin ang equation No. 7.

Pamantayan sa pagtatasa para sa takdang-aralin:

• Ang "5" ay ibinibigay kung natapos ng mag-aaral ang higit sa 90% ng gawain nang tama.
• "4" - 75%-89%
• "3" - 50%-74%
• Ang “2” ay ibinibigay sa isang mag-aaral na nakatapos ng mas mababa sa 50% ng gawain.
• Ang rating na 2 ay hindi ibinigay sa journal, 3 ay opsyonal.

7. Pagninilay.

Sa mga independent work sheet, isulat ang:

• 1 - kung ang aralin ay kawili-wili at naiintindihan mo;
• 2 - kawili-wili, ngunit hindi malinaw;
• 3 - hindi kawili-wili, ngunit naiintindihan;
• 4 - hindi kawili-wili, hindi malinaw.

8. Pagbubuod ng aralin.

Kaya, ngayon sa aralin nakilala namin ang mga fractional rational equation, natutunan kung paano lutasin ang mga equation na ito iba't ibang paraan, sinubukan ang kanilang kaalaman sa tulong ng isang pagsasanay pansariling gawain. Malalaman mo ang mga resulta ng iyong malayang gawain sa susunod na aralin, at sa bahay ay magkakaroon ka ng pagkakataong pagsamahin ang iyong kaalaman.

Aling paraan ng paglutas ng mga fractional rational equation, sa iyong opinyon, ang mas madali, mas madaling makuha, at mas makatuwiran? Anuman ang paraan para sa paglutas ng mga fractional rational equation, ano ang dapat mong tandaan? Ano ang "tuso" ng fractional rational equation?

Salamat sa lahat, tapos na ang lesson.

Natutunan na natin kung paano lutasin ang mga quadratic equation. Ngayon palawakin natin ang mga pinag-aralan na pamamaraan sa mga rational equation.

Ano ang isang makatwirang pagpapahayag? Na-encounter na natin ang konseptong ito. Mga makatwirang ekspresyon ay mga expression na binubuo ng mga numero, mga variable, ang kanilang mga kapangyarihan at mga simbolo ng mathematical operations.

Alinsunod dito, ang mga rational equation ay mga equation ng anyong: , kung saan - mga makatwirang ekspresyon.

Noong nakaraan, isinasaalang-alang lamang namin ang mga makatwirang equation na maaaring bawasan sa mga linear. Ngayon tingnan natin ang mga rational equation na maaaring bawasan sa quadratic equation.

Halimbawa 1

Lutasin ang equation: .

Solusyon:

Ang isang fraction ay katumbas ng 0 kung at kung ang numerator nito ay katumbas ng 0 at ang denominator nito ay hindi katumbas ng 0.

Nakukuha namin ang sumusunod na sistema:

Ang unang equation ng system ay isang quadratic equation. Bago ito lutasin, hatiin natin ang lahat ng mga coefficient nito sa 3. Nakukuha natin ang:

Kumuha kami ng dalawang ugat: ; .

Dahil ang 2 ay hindi kailanman katumbas ng 0, dalawang kundisyon ang dapat matugunan: . Dahil wala sa mga ugat ng equation na nakuha sa itaas ang tumutugma sa mga di-wastong halaga ng variable na nakuha kapag nilulutas ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, pareho silang mga solusyon sa equation na ito.

Sagot:.

Kaya, bumalangkas tayo ng isang algorithm para sa paglutas ng mga rational equation:

1. Ilipat ang lahat ng termino sa kaliwang bahagi upang ang kanang bahagi ay mauwi sa 0.

2. Ibahin ang anyo at pasimplehin ang kaliwang bahagi, dalhin ang lahat ng mga fraction sa isang karaniwang denominator.

3. I-equate ang resultang fraction sa 0 gamit ang sumusunod na algorithm: .

4. Isulat ang mga ugat na nakuha sa unang equation at bigyang-kasiyahan ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay sa sagot.

Tingnan natin ang isa pang halimbawa.

Halimbawa 2

Lutasin ang equation: .

Solusyon

Sa pinakadulo simula, inililipat namin ang lahat ng mga termino sa kaliwa upang manatili ang 0 sa kanan. Nakukuha namin ang:

Ngayon, dalhin natin ang kaliwang bahagi ng equation sa isang common denominator:

Ang equation na ito ay katumbas ng system:

Ang unang equation ng system ay isang quadratic equation.

Coefficients ng equation na ito: . Kinakalkula namin ang discriminant:

Kumuha kami ng dalawang ugat: ; .

Ngayon, lutasin natin ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay: ang produkto ng mga salik ay hindi katumbas ng 0 kung at kung wala sa mga salik ang katumbas ng 0.

Dalawang kundisyon ang dapat matugunan: . Nalaman namin na sa dalawang ugat ng unang equation, isa lamang ang angkop - 3.

Sagot:.

Sa araling ito, naalala natin kung ano ang rational expression, at natutunan din kung paano lutasin ang mga rational equation, na bumababa sa quadratic equation.

Sa susunod na aralin, titingnan natin ang mga rational equation bilang mga modelo ng totoong sitwasyon, at titingnan din ang mga problema sa paggalaw.

Bibliograpiya

1. Bashmakov M.I. Algebra, ika-8 baitang. - M.: Edukasyon, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. at iba pa. Algebra, 8. 5th ed. - M.: Edukasyon, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, ika-8 baitang. Teksbuk para sa pangkalahatang mga institusyong pang-edukasyon. - M.: Edukasyon, 2006.

1. Festival pedagogical na ideya "Pampublikong aralin" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Takdang aralin

Ang mga equation na may mga fraction mismo ay hindi mahirap at napaka-interesante. Isaalang-alang natin ang mga uri mga fractional equation at mga paraan upang malutas ang mga ito.

Paano lutasin ang mga equation na may mga fraction - x sa numerator

Kung ang isang fractional equation ay ibinigay, kung saan ang hindi alam ay nasa numerator, ang solusyon ay hindi nangangailangan ng karagdagang mga kondisyon at nalutas nang walang hindi kinakailangang abala. Pangkalahatang anyo ang naturang equation ay x/a + b = c, kung saan ang x ay ang hindi alam, a, b at c ay mga ordinaryong numero.

Hanapin ang x: x/5 + 10 = 70.

Upang malutas ang equation, kailangan mong alisin ang mga fraction. I-multiply ang bawat term sa equation sa pamamagitan ng 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. Ang 5x at 5 ay kinansela, ang 10 at 70 ay i-multiply sa 5 at makuha natin ang: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

Hanapin ang x: x/5 + x/10 = 90.

Ang halimbawang ito ay medyo mas kumplikadong bersyon ng una. Mayroong dalawang posibleng solusyon dito.

• Pagpipilian 1: Inaalis namin ang mga fraction sa pamamagitan ng pagpaparami ng lahat ng termino ng equation sa isang mas malaking denominator, iyon ay, sa pamamagitan ng 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x=300.
• Opsyon 2: Idagdag ang kaliwang bahagi ng equation. x/5 + x/10 = 90. Ang common denominator ay 10. Divide 10 by 5, multiply by x, we get 2x. Hatiin ang 10 sa 10, i-multiply sa x, makukuha natin ang x: 2x+x/10 = 90. Kaya 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Madalas tayong makatagpo ng mga fractional equation kung saan ang mga x ay nasa magkabilang panig ng equal sign. Sa ganitong mga sitwasyon, kinakailangang ilipat ang lahat ng mga fraction na may X sa isang gilid, at ang mga numero sa isa.

• Hanapin ang x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
• Ilipat ang 2x/5 sa kanan na may kabaligtaran na palatandaan: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Binabawasan namin ang 5x/5 at makuha ang: x = 130.

Paano lutasin ang isang equation na may mga fraction - x sa denominator

Ang ganitong uri ng fractional equation ay nangangailangan ng pagsulat ng mga karagdagang kundisyon. Ang pagtukoy sa mga kundisyong ito ay isang sapilitan at mahalagang bahagi ng isang tamang desisyon. Sa pamamagitan ng hindi pagdaragdag sa kanila, nasa panganib ka, dahil ang sagot (kahit na ito ay tama) ay maaaring hindi mabibilang.

Ang pangkalahatang anyo ng mga fractional equation, kung saan ang x ay nasa denominator, ay: a/x + b = c, kung saan ang x ay ang hindi alam, a, b, c ay mga ordinaryong numero. Pakitandaan na ang x ay maaaring hindi anumang numero. Halimbawa, ang x ay hindi maaaring katumbas ng zero, dahil hindi ito maaaring hatiin ng 0. Ito mismo ang karagdagang kundisyon na dapat nating tukuyin. Ito ay tinatawag na hanay ng mga pinahihintulutang halaga, na dinaglat bilang VA.

Hanapin ang x: 15/x + 18 = 21.

Kaagad naming isinulat ang ODZ para sa x: x ≠ 0. Ngayon na ang ODZ ay ipinahiwatig, lutasin namin ang equation ayon sa karaniwang pamamaraan, inaalis ang mga praksyon. I-multiply ang lahat ng termino ng equation sa x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Kadalasan mayroong mga equation kung saan ang denominator ay naglalaman ng hindi lamang x, kundi pati na rin ang ilang iba pang operasyon kasama nito, halimbawa, pagdaragdag o pagbabawas.

Hanapin ang x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Alam na natin na ang denominator ay hindi maaaring katumbas ng zero, na nangangahulugang x-3 ≠ 0. Ililipat natin ang -3 sa kanang bahagi, binabago ang “-” sign sa “+” at nakuha natin na x ≠ 3. Ang ODZ ay ipinahiwatig.

Nalulutas namin ang equation, i-multiply ang lahat sa x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.

Ilipat ang mga X sa kanan, mga numero sa kaliwa: 24 = 3x => x = 8.