1. أصغر عددرباعي الاسطح له 6 حواف.
2. المنشور له عدد n من الوجوه. ما المضلع الذي يقع في قاعدته؟
(ن - 2) - مربع.
3. هل المنشور مستقيم إذا كان وجهاه المتجاوران متعامدين على مستوى القاعدة؟
نعم إنه كذلك.
4. في أي منشور تكون الحواف الجانبية موازية لارتفاعه؟
في المنشور المستقيم.
5. هل المنشور منتظم إذا كانت جميع أضلاعه متساوية مع بعضها البعض؟
لا، قد لا يكون مباشرا.
6. هل يمكن أن يكون ارتفاع أحد الجوانب الجانبية للمنشور المائل هو ارتفاع المنشور أيضًا؟
نعم، إذا كان هذا الوجه متعامدا مع القاعدة.
7. هل يوجد منشور يكون فيه: أ) الحافة الجانبية متعامدة مع حافة واحدة فقط من القاعدة؛ ب) وجه جانبي واحد فقط متعامد مع القاعدة؟
أ) نعم. ب) لا.
8. ينقسم المنشور الثلاثي المنتظم إلى منشورين بواسطة مستوى يمر عبر الخطوط الوسطى للقواعد. ما نسبة مساحات الأسطح الجانبية لهذه المنشورات؟
من خلال النظرية 27 نجد أن الأسطح الجانبية تكون بنسبة 5: 3
9. هل يكون الهرم منتظما إذا كانت جوانبه مثلثات منتظمة؟
10. كم عدد الوجوه المتعامدة مع مستوى القاعدة التي يمكن أن يحتوي عليها الهرم؟
11. هل يوجد هرم رباعي الزوايا تكون أوجهه المقابلة متعامدة مع القاعدة؟
لا، وإلا لكان هناك على الأقل خطان مستقيمان يمران بأعلى الهرم، متعامدين مع قاعدتيه.
12. هل يمكن أن تكون جميع وجوه الهرم الثلاثي مثلثات قائمة؟
نعم (الشكل 183).
تتضمن دورة الفيديو "Get a A" جميع المواضيع التي تحتاج إليها اكتمال موفقامتحان الدولة الموحد في الرياضيات من 60 إلى 65 نقطة. أكمل جميع المهام من 1 إلى 13 من امتحان الدولة الموحدة للملف التعريفي في الرياضيات. مناسب أيضًا لاجتياز امتحان الدولة الموحدة الأساسي في الرياضيات. إذا كنت ترغب في اجتياز امتحان الدولة الموحدة برصيد 90-100 نقطة، فأنت بحاجة إلى حل الجزء الأول في 30 دقيقة وبدون أخطاء!
دورة تحضيرية لامتحان الدولة الموحدة للصفوف 10-11 وكذلك للمعلمين. كل ما تحتاجه لحل الجزء الأول من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات (أول 12 مسألة) والمسألة 13 (علم المثلثات). وهذا أكثر من 70 نقطة في امتحان الدولة الموحدة، ولا يستطيع طالب 100 نقطة ولا طالب العلوم الإنسانية الاستغناء عنها.
كل النظرية اللازمة. طرق سريعةحلول ومزالق وأسرار امتحان الدولة الموحدة. تم تحليل جميع المهام الحالية للجزء الأول من بنك مهام FIPI. تتوافق الدورة تمامًا مع متطلبات امتحان الدولة الموحدة 2018.
تحتوي الدورة على 5 مواضيع كبيرة، مدة كل منها 2.5 ساعة. يتم تقديم كل موضوع من الصفر، ببساطة ووضوح.
المئات من مهام امتحان الدولة الموحدة. المسائل اللفظية ونظرية الاحتمالات. خوارزميات بسيطة وسهلة التذكر لحل المشكلات. الهندسة. النظرية والمواد المرجعية وتحليل جميع أنواع مهام امتحان الدولة الموحدة. القياس المجسم. حلول صعبة، أوراق غش مفيدة، تطوير الخيال المكاني. علم المثلثات من الصفر إلى المشكلة 13. الفهم بدلا من الحشر. شرح مرئي مفاهيم معقدة. الجبر. الجذور والقوى واللوغاريتمات والدالة والمشتقات. أساس لحل المشكلات المعقدة للجزء الثاني من امتحان الدولة الموحدة.
معلومات عامة عن المنشور المستقيم
يُطلق على السطح الجانبي للمنشور (أو بالأحرى مساحة السطح الجانبية). مجموعمناطق الوجوه الجانبية. إجمالي سطح المنشور يساوي مجموع الأسطح الجانبية ومساحات القواعد.
نظرية 19.1. السطح الجانبي للمنشور المستقيم يساوي حاصل ضرب محيط القاعدة وارتفاع المنشور، أي طول الحافة الجانبية.
دليل. الوجوه الجانبية للمنشور المستقيم هي مستطيلات. قواعد هذه المستطيلات هي أضلاع المضلع الواقع عند قاعدة المنشور، وارتفاعاتها تساوي طول أحرفها الجانبية. ويترتب على ذلك أن السطح الجانبي للمنشور يساوي
S = أ 1 ل + أ 2 ل + ... + أ ن ل = رر،
حيث a 1 و n هما طولا حواف القاعدة، وp هو محيط قاعدة المنشور، وI هو طول الحواف الجانبية. لقد تم إثبات النظرية.
مهمة عملية
مشكلة (22) . في المنشور المائل يتم تنفيذه قسم، عمودي على الأضلاع الجانبية ويتقاطع مع جميع الأضلاع الجانبية. أوجد السطح الجانبي للمنشور إذا كان محيط المقطع العرضي يساوي p والحواف الجانبية تساوي l.
حل. يقسم مستوى القسم المرسوم المنشور إلى قسمين (الشكل 411). دعونا نخضع إحداها للترجمة المتوازية، من خلال الجمع بين قواعد المنشور. في هذه الحالة نحصل على منشور مستقيم، قاعدته هي المقطع العرضي للمنشور الأصلي، وحوافه الجانبية تساوي l. هذا المنشور له نفس السطح الجانبي للمنشور الأصلي. وبالتالي، فإن السطح الجانبي للمنشور الأصلي يساوي رر.
ملخص الموضوع المطروح
والآن دعونا نحاول تلخيص الموضوع الذي تناولناه حول المنشور ونتذكر خصائص المنشور.
خصائص المنشور
أولًا، المنشور له جميع قواعده على شكل مضلعات متساوية؛
ثانيا، المنشور لديه كل ما في وسعه وجوه جانبيةهي متوازيات الأضلاع.
ثالثا، في مثل هذا الشكل متعدد الأوجه، مثل المنشور، تكون جميع الحواف الجانبية متساوية؛
ويجب أن نتذكر أيضًا أن متعددات الوجوه مثل المنشور يمكن أن تكون مستقيمة أو مائلة.
ما المنشور الذي يسمى المنشور المستقيم؟
إذا كانت الحافة الجانبية للمنشور متعامدة مع مستوى قاعدته، فإن هذا المنشور يسمى مستقيمًا.
لن يكون من غير الضروري أن نتذكر أن الوجوه الجانبية للمنشور المستقيم هي مستطيلات.
ما هو نوع المنشور الذي يسمى المائل؟
لكن إذا لم تكن الحافة الجانبية للمنشور متعامدة مع مستوى قاعدته، فيمكننا أن نقول بأمان أنه منشور مائل.
أي منشور يسمى صحيح؟
إذا كان المضلع المنتظم يقع عند قاعدة منشور مستقيم، فإن هذا المنشور يكون منتظمًا.
الآن دعونا نتذكر الخصائص التي يتمتع بها المنشور العادي.
خصائص المنشور العادي
أولاً، تعمل المضلعات المنتظمة دائمًا بمثابة قواعد لمنشور منتظم؛
ثانيًا، إذا نظرنا إلى الوجوه الجانبية لمنشور منتظم، فسنجدها دائمًا كذلك مستطيلات متساوية;
ثالثا، إذا قارنت أحجام الأضلاع الجانبية، فهي دائما متساوية في المنشور العادي.
رابعا، المنشور الصحيح يكون دائما مستقيما؛
خامسا، إذا كانت الوجوه الجانبية في المنشور العادي لها شكل مربعات، فإن هذا الشكل يسمى عادة مضلع شبه منتظم.
المقطع العرضي المنشور
الآن دعونا نلقي نظرة على المقطع العرضي للمنشور:
العمل في المنزل
الآن دعونا نحاول دمج الموضوع الذي تعلمناه من خلال حل المشكلات.
لنرسم منشورا مثلثيا مائلا، المسافة بين حوافه تساوي: 3 سم، 4 سم، 5 سم، والسطح الجانبي لهذا المنشور يساوي 60 سم2. بوجود هذه المعلمات، ابحث عن الحافة الجانبية لهذا المنشور.
هل تعلم أن الأشكال الهندسية تحيط بنا باستمرار ليس فقط في دروس الهندسة، ولكن أيضًا في الحياة اليوميةهناك كائنات تشبه شكلًا هندسيًا أو آخر.
يوجد في كل منزل أو مدرسة أو عمل جهاز كمبيوتر تكون وحدة نظامه على شكل منشور مستقيم.
إذا التقطت قلم رصاص بسيط، سترى أن الجزء الرئيسي من قلم الرصاص هو المنشور.
أثناء السير على طول الشارع المركزي للمدينة، نرى أنه يوجد تحت أقدامنا بلاطة على شكل منشور سداسي.
A. V. Pogorelov، الهندسة للصفوف 7-11، كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية
متعددات الوجوه
الهدف الرئيسي لدراسة القياس المجسم هو الأجسام المكانية. جسميمثل جزءًا من الفضاء محدودًا بسطح معين.
متعدد السطوحهو الجسم الذي يتكون سطحه من عدد محدود من المضلعات المسطحة. يسمى متعدد السطوح محدبًا إذا كان موجودًا على جانب واحد من مستوى كل مضلع مستوي على سطحه. يسمى الجزء المشترك من هذا المستوى وسطح متعدد السطوح حافة. وجوه متعدد السطوح المحدب هي مضلعات محدبة مسطحة. وتسمى جوانب الوجوه حواف متعدد السطوح، والقمم هي رؤوس متعدد السطوح.
على سبيل المثال، يتكون المكعب من ستة مربعات، وهي وجوهه. ويحتوي على 12 حرفًا (جوانب المربعات) و8 رؤوس (قمم المربعات).
أبسط متعددات الوجوه هي المنشورات والأهرامات، والتي سندرسها أكثر.
نشور زجاجي
تعريف وخصائص المنشور
نشور زجاجيهو متعدد السطوح يتكون من مضلعين مسطحين يقعان بداخلهما طائرات متوازيةيتم دمجها عن طريق الترجمة المتوازية، وجميع الأجزاء التي تربط النقاط المقابلة لهذه المضلعات. يتم استدعاء المضلعات قواعد المنشور، والأجزاء التي تربط القمم المقابلة للمضلعات هي الحواف الجانبية للمنشور.
ارتفاع المنشوروتسمى المسافة بين مستويات قواعدها (). يسمى الجزء الذي يربط بين رأسين منشور لا ينتميان إلى نفس الوجه قطري المنشور(). يسمى المنشور ن الكربون، إذا كانت قاعدته تحتوي على n-gon.
يتمتع أي منشور بالخصائص التالية، الناتجة عن حقيقة أن قواعد المنشور يتم دمجها عن طريق الترجمة المتوازية:
1. قاعدتا المنشور متساويتان.
2. الحواف الجانبية للمنشور متوازية ومتساوية.
يتكون سطح المنشور من قواعد و السطح الجانبي. يتكون السطح الجانبي للمنشور من متوازيات الأضلاع (وهذا يتبع من خصائص المنشور). مساحة السطح الجانبي للمنشور هي مجموع مساحات الوجوه الجانبية.
المنشور المستقيم
يسمى المنشور مستقيمإذا كانت حوافها الجانبية متعامدة مع القواعد. وإلا يسمى المنشور يميل.
وجوه المنشور الأيمن مستطيلة. ارتفاع المنشور المستقيم يساوي أوجهه الجانبية.
سطح المنشور الكاملويسمى مجموع مساحة السطح الجانبية ومساحات القواعد.
مع المنشور الصحيحيسمى المنشور القائم الذي يوجد في قاعدته مضلع منتظم.
نظرية 13.1. مساحة السطح الجانبي للمنشور المستقيم تساوي ناتج المحيط وارتفاع المنشور (أو، وهو نفس الشيء، بالحافة الجانبية).
دليل. الوجوه الجانبية للمنشور القائم هي مستطيلات، قواعدها هي جوانب المضلعات عند قواعد المنشور، وارتفاعاتها هي الحواف الجانبية للمنشور. ومن ثم، بحكم التعريف، مساحة السطح الجانبية هي:
,
أين محيط قاعدة المنشور المستقيم؟
متوازي الأضلاع
إذا كانت متوازيات الأضلاع تقع على قاعدة منشور، فإنها تسمى متوازي السطوح. جميع وجوه متوازي السطوح هي متوازيات أضلاع. في هذه الحالة، تكون الأوجه المتقابلة لمتوازي السطوح متوازية ومتساوية.
نظرية 13.2. تتقاطع أقطار متوازي السطوح عند نقطة واحدة وتنقسم إلى نصفين عند نقطة التقاطع.
دليل. النظر في اثنين من الأقطار التعسفية، على سبيل المثال، و. لأن أوجه متوازي السطوح هي متوازيات أضلاع، ثم و، مما يعني أنه يوجد خطان مستقيمان موازيان للثالث. بالإضافة إلى ذلك، هذا يعني أن الخطوط المستقيمة تقع في نفس المستوى (الطائرة). يتقاطع هذا المستوى مع مستويات متوازية وعلى طول خطوط متوازية و . وهكذا فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع، ومن خاصية متوازي الأضلاع أن أقطاره تتقاطع وتنقسم إلى نصفين بنقطة التقاطع، وهذا هو ما يحتاج إلى إثبات.
يسمى متوازي السطوح الأيمن الذي قاعدته مستطيلة متوازي مستطيل. جميع وجوه متوازي السطوح المستطيل هي مستطيلات. تسمى أطوال الحواف غير المتوازية لمتوازي السطوح المستطيل بأبعاده الخطية (الأبعاد). هناك ثلاثة أحجام من هذا القبيل (العرض والارتفاع والطول).
نظرية 13.3. في متوازي المستطيلات، مربع أي قطري يساوي المبلغمربعات بأبعادها الثلاثة 
(تم إثباته بتطبيق فيثاغورس تي مرتين).
يُسمى متوازي السطوح المستطيل الذي تكون جميع أضلاعه متساوية مكعب.
مهام
13.1 كم عدد الأقطار؟ ن-منشور الكربون
13.2 في المنشور الثلاثي المائل، تكون المسافات بين الحواف الجانبية 37، 13، 40. أوجد المسافة بين الحافة الجانبية الأكبر والحافة الجانبية المقابلة.
13.3 من خلال جانب القاعدة السفلية لليمين منشور ثلاثييتم رسم مستوى يتقاطع مع الجوانب الجانبية على طول المقاطع، وتكون الزاوية بينهما . أوجد زاوية ميل هذا المستوى إلى قاعدة المنشور.
تعريف. نشور زجاجيهو متعدد السطوح، تقع جميع رؤوسه في مستويين متوازيين، وفي نفس المستويين يوجد وجهان للمنشور، وهما مضلعان متساويان مع جوانب متوازية مقابلة، وجميع الحواف التي لا تقع في هذه المستويات متوازية.
يتم استدعاء وجهين متساويين قواعد المنشور(ABCDE، أ 1 ب 1 ج 1 د 1 ه 1).
يتم استدعاء جميع الوجوه الأخرى للمنشور وجوه جانبية(AA 1 B 1 B، BB 1 C 1 C، CC 1 D 1 D، DD 1 E 1 E، EE 1 A 1 A).
تتشكل جميع الوجوه الجانبية السطح الجانبي للمنشور .
جميع الوجوه الجانبية للمنشور متوازية الأضلاع .
تسمى الحواف التي لا تقع عند القواعد بالحواف الجانبية للمنشور ( أأ 1, ب 1, سي سي 1, دي دي 1, إي 1).
المنشور قطري هو قطعة طرفاها رأسان لمنشور لا يقعان على وجه واحد (م 1).
يسمى طول القطعة التي تصل بين قاعدتي المنشور والمتعامدة مع القاعدتين في نفس الوقت ارتفاع المنشور .
تعيين:ABCDE أ 1 ب 1 ج 1 د 1 ه 1. (أولاً، في ترتيب الاجتياز، تتم الإشارة إلى رؤوس قاعدة واحدة، وبعد ذلك، بنفس الترتيب، يتم تحديد رؤوس قاعدة أخرى؛ ويتم تحديد نهايات كل حافة جانبية بنفس الحروف، ويتم تحديد القمم الموجودة في قاعدة واحدة فقط بالحروف بدون فهرس وفي الآخر - بفهرس)
يرتبط اسم المنشور بعدد زوايا الشكل الواقع عند قاعدته، على سبيل المثال، في الشكل 1 يوجد خماسي عند القاعدة، لذلك يسمى المنشور المنشور الخماسي. ولكن مثل هذا المنشور له 7 وجوه، ثم سباعي السطوح(2 وجهين - قواعد المنشور، 5 أوجه - متوازيات الأضلاع، - وجوهه الجانبية)
من بين المنشورات المستقيمة، يبرز نوع معين: المنشورات العادية.
يسمى المنشور المستقيم صحيح،إذا كانت قواعدها مضلعات منتظمة.
متوازي الأضلاع
متوازي الأضلاعهو منشور رباعي الزوايا، يوجد في قاعدته متوازي أضلاع (متوازي سطوح مائل). متوازي السطوح الصحيح- متوازي السطوح تكون حوافه الجانبية متعامدة مع مستويات القاعدة.مستطيلة متوازية- متوازي سطوح قائم قاعدته مستطيلة.
الخصائص والنظريات:
بعض خصائص متوازي السطوح تشبه الخصائص المعروفة لمتوازي الأضلاع، ومتوازي السطوح المستطيل ذو الأبعاد المتساوية يسمى مكعب
.جميع وجوه المكعب عبارة عن مربعات متساوية، ومربع القطر يساوي مجموع مربعات أبعاده الثلاثة 
,
حيث d هو قطري المربع؛
أ هو جانب المربع.
يتم إعطاء فكرة المنشور بواسطة:
- متنوع الهياكل المعمارية;
- ألعاب أطفال؛
- صناديق التعبئة والتغليف؛
- عناصر المصمم، الخ.
مساحة السطح الكلي والجانبي للمنشور
إجمالي مساحة سطح المنشورهو مجموع مساحات جميع وجوهه مساحة السطح الجانبيةويسمى مجموع مساحات وجوهه الجانبية. قاعدتا المنشور مضلعتان متساويتان، ثم تكون مساحاتهما متساوية. لهذاS كامل = جانب S + 2S رئيسي,
أين س كامل- المساحة الإجمالية، الجانب S-مساحة السطح الجانبية، قاعدة S- منطقة قاعدة
مساحة السطح الجانبية للمنشور المستقيم تساوي حاصل ضرب محيط القاعدة وارتفاع المنشور.
الجانب S= ف الأساسية * ح،
أين الجانب S-مساحة السطح الجانبي للمنشور المستقيم،
P الرئيسية - محيط قاعدة المنشور المستقيم،
h هو ارتفاع المنشور المستقيم، ويساوي الحافة الجانبية.
حجم المنشور
حجم المنشور يساوي منتج مساحة القاعدة والارتفاع.
