والتي تقع في نفس المستوى وإما أن تتطابق أو لا تتقاطع. في بعض التعريفات المدرسية، لا تعتبر الخطوط المتطابقة متوازية، ولا يتم أخذ هذا التعريف هنا في الاعتبار.

ملكيات

1. التوازي هو علاقة تكافؤ ثنائية، وبالتالي فهو يقسم مجموعة الخطوط بأكملها إلى فئات من الخطوط المتوازية مع بعضها البعض.
2. من خلال أي نقطة يمكنك رسم خط مستقيم واحد بالضبط موازيًا للخط المحدد. هذه خاصية مميزة للهندسة الإقليدية؛ في الأشكال الهندسية الأخرى يتم استبدال الرقم 1 بآخرين (في هندسة لوباتشيفسكي يوجد على الأقل خطان من هذا القبيل)
3. خطان متوازيان في الفضاء يقعان في نفس المستوى.
4. عندما يتقاطع خطان متوازيان يسمى الخط الثالث قاطع:
   1. القاطع يتقاطع بالضرورة مع كلا الخطين.
   2. عند التقاطع تتشكل 8 زوايا، بعض الأزواج المميزة منها لها أسماء وخصائص خاصة:
      1. الكذب بالعرضالزوايا متساوية.
      2. مناسبالزوايا متساوية.
      3. من جانب واحدالزوايا تضيف ما يصل إلى 180 درجة.

في هندسة لوباتشيفسكي

في هندسة لوباتشيفسكي، يتم رسم المستوى من خلال نقطة ما غير قادر على تحليل التعبير (خطأ معجمي): Cخارج هذا الخط $أ.ب$

هناك عدد لا نهائي من الخطوط المستقيمة التي لا تتقاطع أب. من هذه، بالتوازي مع أبتم تسمية اثنين فقط.

مستقيم جهيسمى خط متساوي الأضلاع (موازي). أبفي الاتجاه من أل ب، لو:

1. نقاط بو هالاستلقاء على جانب واحد من خط مستقيم أج ;
2. مستقيم جهلا يتقاطع مع الخط أببل كل شعاع يمر داخل زاوية أجه، يعبر الشعاع أب .

يتم تعريف الخط المستقيم بالمثل أبفي الاتجاه من بل أ .

يتم استدعاء جميع الخطوط الأخرى التي لا تتقاطع مع هذا الخط فائقة التوازيأو متشعب.

أنظر أيضا

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

• خطوط العبور
• نيستريخين، يوري إفريموفيتش

تعرف على "الخطوط المتوازية" الموجودة في القواميس الأخرى:

موازية مباشرة- المستقيمات المتوازية، المستقيمات غير المتقاطعة التي تقع في نفس المستوى... الموسوعة الحديثة

موازية مباشرة القاموس الموسوعي الكبير

خطوط متوازية- الخطوط المتوازية، وهي خطوط غير متقاطعة تقع في نفس المستوى. ... القاموس الموسوعي المصور

خطوط متوازية- في الهندسة الإقليدية الخطوط المستقيمة التي تقع في نفس المستوى ولا تتقاطع. في الهندسة المطلقة (انظر الهندسة المطلقة)، من خلال نقطة لا تقع على خط معين، يمر خط مستقيم واحد على الأقل عبر نقطة لا تتقاطع مع النقطة المحددة. في… … الموسوعة السوفيتية الكبرى

خطوط متوازية- الخطوط غير المتقاطعة الواقعة في نفس المستوى. * * * الخطوط المتوازية الخطوط المتوازية، خطوط غير متقاطعة تقع في نفس المستوى... القاموس الموسوعي

موازية مباشرة- في الهندسة الإقليدية الخطوط المستقيمة تقع في نفس المستوى ولا تتقاطع. في الهندسة المطلقة، من خلال نقطة لا تقع على خط معين يمر خط واحد على الأقل لا يتقاطع مع الخط المعطى. في الهندسة الإقليدية هناك واحد فقط... ... الموسوعة الرياضية

موازية مباشرة- الخطوط غير المتقاطعة تقع في نفس المستوى ... علم الطبيعة. القاموس الموسوعي

العوالم الموازية في الخيال- قد تحتوي هذه المقالة البحوث الأصلية. أضف روابط إلى المصادر، وإلا فقد تكون جاهزة للحذف. مزيد من المعلومات قد تكون على صفحة الحديث. هذا... ويكيبيديا

عوالم موازية - عالم موازي(في الخيال) واقع موجود بطريقة ما في وقت واحد مع واقعنا، ولكن بشكل مستقل عنه. يمكن أن يكون لهذا الواقع المستقل أحجام مختلفة: من منطقة جغرافية صغيرة إلى الكون بأكمله. بالتوازي... ويكيبيديا

موازي- الخطوط تسمى الخطوط المستقيمة P. إذا لم تتقاطع هي أو امتداداتها مع بعضها البعض. والخبر من أحد هذين الخطين على نفس المسافة من الآخر. ومع ذلك، فمن المعتاد أن نقول: يتقاطع خطان مستقيمان من نوع P. عند اللانهاية. هذه… … موسوعة بروكهاوس وإيفرون

كتب

• مجموعة من الجداول. الرياضيات. الصف السادس. 12 جدول + المنهجية، . تتم طباعة الطاولات على ورق مقوى مطبوع سميك بقياس 680 × 980 ملم. تتضمن المجموعة كتيبًا به توصيات منهجيةللمعلم. ألبوم تعليمي مكون من 12 ورقة. قابلية التجزئة…

تعليمات

قبل البدء في الإثبات، تأكد من أن الخطوط تقع في نفس المستوى ويمكن رسمها عليها. معظم بطريقة بسيطةوالدليل هو طريقة قياس المسطرة. للقيام بذلك، استخدم المسطرة لقياس المسافة بين الخطوط المستقيمة في عدة أماكن متباعدة قدر الإمكان. إذا ظلت المسافة دون تغيير، فإن الخطوط المعطاة تكون متوازية. لكن هذه الطريقة ليست دقيقة بما فيه الكفاية، لذا من الأفضل استخدام طرق أخرى.

ارسم خطًا ثالثًا بحيث يتقاطع مع الخطين المتوازيين. ويشكل معهم أربع زوايا خارجية وأربعة داخلية. النظر في الزوايا الداخلية. تسمى تلك التي تقع عبر الخط القاطع بالكذب المتقاطع. تلك التي تقع على جانب واحد تسمى أحادية الجانب. باستخدام المنقلة، قم بقياس الزاويتين الداخليتين المتقاطعتين. إذا كانا متساويين، فإن الخطوط ستكون متوازية. إذا كنت في شك، قم بقياس الزوايا الداخلية أحادية الجانب وأضف القيم الناتجة. ستكون الخطوط متوازية إذا كان مجموع الزوايا الداخلية من جانب واحد يساوي 180 درجة.

إذا لم يكن لديك منقلة، فاستخدم مربعًا بزاوية 90 درجة. استخدمه لبناء عمودي على أحد الخطوط. بعد ذلك، استمر في هذا العمودي بحيث يتقاطع مع خط آخر. باستخدام نفس المربع، تحقق من الزاوية التي يتقاطع معها هذا العمود. إذا كانت هذه الزاوية أيضًا 90 درجة، فإن الخطوط متوازية مع بعضها البعض.

إذا كانت الخطوط معطاة بنظام الإحداثيات الديكارتية، فأوجد اتجاهها أو متجهاتها العادية. إذا كانت هذه المتجهات، على التوالي، على خط مستقيم مع بعضها البعض، فإن الخطوط تكون متوازية. اختصر معادلة الخطوط إلى الصورة العامة وأوجد إحداثيات المتجه العمودي لكل خط. إحداثياتها تساوي المعاملين A وB. إذا كانت نسبة الإحداثيات المقابلة للمتجهات العادية هي نفسها، فهي على خط مستقيم والخطوط متوازية.

على سبيل المثال، يتم إعطاء الخطوط المستقيمة من خلال المعادلتين 4x-2y+1=0 وx/1=(y-4)/2. المعادلة الأولى هي منظر عاموالثاني – الكنسي. أحضر المعادلة الثانية إلى صورتها العامة. استخدم قاعدة التحويل التناسبي لذلك، وستكون النتيجة 2x=y-4. بعد الاختزال إلى الصيغة العامة، تحصل على 2x-y+4=0. وبما أن المعادلة العامة لأي خط تكون مكتوبة Ax+By+C=0، ففي السطر الأول: A=4، B=2، وفي السطر الثاني A=2، B=1. للإحداثيات المباشرة الأولى للمتجه العادي (4;2)، وللثانية – (2;1). أوجد نسبة الإحداثيات المقابلة للمتجهين العاديين 4/2=2 و2/1=2. هذه الأعداد متساوية، مما يعني أن المتجهات متداخلة على خط واحد. وبما أن المتجهات متوازية، فإن الخطوط متوازية.

الفصل الثالث.
موازية مباشرة

§ 35. علامات الخطين المتوازيين.

النظرية القائلة بأن خطين متعامدين على خط واحد متوازيان (§ 33) تعطي إشارة إلى أن الخطين متوازيان. يمكنك سحب المزيد علامات عامةالتوازي من خطين.

1. أول علامة على التوازي.

إذا كان خطان مستقيمان يتقاطعان مع خط ثالث، وكانت الزوايا الداخلية المتقاطعة متساوية، فإن هذين المستقيمين متوازيان.

دع الخطوط المستقيمة AB و CD تتقاطع مع الخط المستقيم EF و / 1 = / 2. خذ النقطة O - منتصف المقطع KL للقاطع EF (الشكل 189).

دعونا نخفض العمود OM من النقطة O على الخط المستقيم AB ونواصل ذلك حتى يتقاطع مع الخط المستقيم CD، AB_|_MN. دعونا نثبت أن CD_|_MN.
للقيام بذلك، فكر في مثلثين: MOE وNOK. هذه المثلثات متساوية مع بعضها البعض. بالفعل: / 1 = / 2 حسب شروط النظرية؛ ОK = ОL - عن طريق البناء؛
/ مول = / حسنا، مثل الزوايا العمودي. وبالتالي، فإن الضلع والزاويتين المتجاورتين في مثلث واحد متساويان على التوالي مع الضلع والزاويتين المتجاورتين لمثلث آخر؛ لذلك، /\ مول = /\ NOK، وبالتالي
/ الكائنات الحية المحورة = / كنو، ولكن / LMO مباشر، وهو ما يعني / KNO مستقيم أيضًا. وبالتالي فإن الخطين AB و CD متعامدان على نفس الخط MN، وبالتالي فإنهما متوازيان (§ 33)، وهو ما يحتاج إلى إثبات.

ملحوظة. يمكن إنشاء تقاطع الخطوط المستقيمة MO و CD عن طريق تدوير المثلث MOL حول النقطة O بمقدار 180 درجة.

2. العلامة الثانية للتوازي.

دعونا نرى ما إذا كان الخطان المستقيمان AB وCD متوازيين إذا كانت الزوايا المتناظرة متساوية عند تقاطعهما مع الخط المستقيم الثالث EF.

لنفترض أن بعض الزوايا المتناظرة تكون متساوية، على سبيل المثال / 3 = / 2 (رسم 190)؛
/ 3 = / 1، حيث أن الزوايا رأسية؛ وسائل، / 2 سوف تكون متساوية / 1. لكن الزاويتين 2 و 1 هما زاويتان داخليتان متقاطعتان، ونحن نعلم بالفعل أنه إذا تقاطع خطان مستقيمان مع الثالث، كانت الزوايا الداخلية المتقاطعة متساوية، فإن هذين المستقيمين متوازيان. لذلك أ ب || قرص مضغوط.

إذا كان خطان يتقاطعان مع خط ثالث، وكانت الزوايا المتناظرة متساوية، فإن هذين الخطين متوازيان.

بناء الخطوط المتوازية باستخدام المسطرة ومثلث الرسم يعتمد على هذه الخاصية. هذا يفعل كما يلي.

دعونا نربط المثلث بالمسطرة كما هو موضح في الرسم 191. سنقوم بتحريك المثلث بحيث ينزلق أحد أضلاعه على طول المسطرة، ونرسم عدة خطوط مستقيمة على طول جانب آخر من المثلث. هذه الخطوط ستكون متوازية.

3. العلامة الثالثة للتوازي.

لنعلم أنه عندما يتقاطع خطان مستقيمان AB وCD مع خط مستقيم ثالث، فإن مجموع أي زوايا داخلية أحادية الجانب يساوي 2 د(أو 180 درجة). هل سيكون الخطان المستقيمان AB و CD متوازيين في هذه الحالة (الشكل 192).

يترك / 1 و / 2 هما زاويتان داخليتان من جانب واحد ويضاف إليهما ما يصل إلى 2 د.
لكن / 3 + / 2 = 2دكزوايا متجاورة. لذلك، / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

من هنا / 1 = / 3، وهذه الزوايا الداخلية تقع بالعرض. لذلك أ ب || قرص مضغوط.

إذا كان خطان مستقيمان يتقاطعان مع ثلث فإن مجموع الزوايا الداخلية من جانب واحد يساوي 2 د، فهذان الخطان متوازيان.

يمارس.

أثبت أن المستقيمين متوازيان:
أ) إذا كانت الزوايا المتقاطعة الخارجية متساوية (الشكل 193)؛
ب) إذا كان مجموع الزوايا الخارجية أحادية الجانب يساوي 2 د(رسم 194).

يمكن إثبات توازي خطين بناءً على النظرية التي بموجبها يكون العمودان المرسومان بالنسبة لخط واحد متوازيين. هناك علامات معينة على توازي الخطوط - هناك ثلاثة منها، وسننظر فيها جميعًا بشكل أكثر تحديدًا.

أول علامة على التوازي

يكون المستقيمان متوازيين إذا تقاطعا مع خط ثالث كانت الزوايا الداخلية المتكونة بالعرض متساوية.

لنفترض أنه عندما يتقاطع الخطان المستقيمان AB وCD مع الخط المستقيم EF، تتشكل الزاويتان /1 و/2. إنهما متساويان، حيث أن الخط المستقيم EF يمتد عند ميل واحد بالنسبة إلى الخطين المستقيمين الآخرين. حيث تتقاطع الخطوط، نضع النقاط Ki L - لدينا القطعة القاطعة EF. نجد وسطها ونضع النقطة O (الشكل 189).

نسقط عموديًا من النقطة O على الخط AB، لنسميه OM. نواصل الخط المتعامد حتى يتقاطع مع الخط CD. ونتيجة لذلك، فإن الخط المستقيم الأصلي AB متعامد تمامًا مع MN، مما يعني أن CD_|_MN متعامد أيضًا، ولكن هذه العبارة تتطلب إثباتًا. نتيجة لرسم خط متعامد وخط تقاطع، قمنا بتشكيل مثلثين. واحد منهم هو الألغام، والثاني هو NOK. دعونا ننظر إليهم بمزيد من التفصيل. علامات الخطوط المتوازية الصف 7

هذه المثلثات متساوية، لأنه وفقًا لشروط النظرية، /1 =/2، ووفقًا لبناء المثلثات، الضلع OK = الضلع OL. الزاوية MOL =/NOK، لأنها زوايا رأسية. ويترتب على ذلك أن ضلع أحد المثلثين والزاويتين المجاورتين له متساويان على التوالي مع ضلع المثلث الآخر والزاويتين المجاورتين له. وبالتالي فإن المثلث MOL = المثلث NOK، وبالتالي الزاوية LMO = الزاوية KNO، لكننا نعلم أن /LMO مستقيمة، مما يعني أن الزاوية المقابلة KNO صحيحة أيضًا. أي أننا تمكنا من إثبات أنه بالنسبة للخط المستقيم MN، فإن كلا من الخط المستقيم AB والخط المستقيم CD متعامدان. أي أن AB وCD متوازيان مع بعضهما البعض. وهذا ما كنا بحاجة لإثباته. ولنتأمل بقية علامات توازي الخطوط (الصف السابع) والتي تختلف عن العلامة الأولى في طريقة الإثبات.

العلامة الثانية للتوازي

وفقا للمعيار الثاني لتوازي الخطوط، نحتاج إلى إثبات أن الزوايا التي تم الحصول عليها في عملية تقاطع الخطين المتوازيين AB و CD للخط EF ستكون متساوية. وهكذا فإن علامات توازي الخطين الأول والثاني تعتمد على تساوي الزوايا الحاصلة عند تقاطع الخط الثالث بينهما. لنفترض أن /3 = /2 والزاوية 1 = /3 لأنها عمودية عليها. وبالتالي، و/2 سيكون مساويًا للزاوية 1، ومع ذلك، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن كلا من الزاوية 1 والزاوية 2 هما زاويتان داخليتان متقاطعتان. وبالتالي، كل ما علينا فعله هو تطبيق ما نعرفه، وهو أن القطعتين ستكونان متوازيتين إذا كانت الزوايا العرضية المتكونة متساوية عند تقاطعهما مع الخط المستقيم الثالث. وبذلك اكتشفنا أن AB || قرص مضغوط.

تمكنا من إثبات أنه، بشرط أن يكون عموديان على خط واحد متوازيين، وفقا للنظرية المقابلة، تكون إشارة المستقيمين المتوازيين واضحة.

العلامة الثالثة للتوازي

هناك أيضًا علامة ثالثة للتوازي، والتي يتم إثباتها من خلال مجموع الزوايا الداخلية أحادية الجانب. يتيح لنا هذا الدليل على علامة توازي الخطوط أن نستنتج أن الخطين سيكونان متوازيين إذا كان مجموع الزوايا الداخلية الناتجة من جانب واحد يساوي 2d عندما يتقاطعان مع الخط الثالث. انظر الشكل 192.

سنتحدث في هذا المقال عن الخطوط المتوازية ونقدم تعريفاتها ونحدد علامات وشروط التوازي. ولجعل المادة النظرية أكثر وضوحًا، سنستخدم الرسوم التوضيحية والحلول للأمثلة النموذجية.

تعريف Yandex.RTB RA-A-339285-1 1

خطوط متوازية على متن الطائرة– خطان مستقيمان في المستوى ليس لهما النقاط المشتركة.

التعريف 2

الخطوط المتوازية في الفضاء ثلاثي الأبعاد- خطان مستقيمان في فضاء ثلاثي الأبعاد يقعان في نفس المستوى ولا توجد نقاط مشتركة بينهما.

من الضروري ملاحظة أنه لتحديد الخطوط المتوازية في الفضاء، فإن توضيح "الكذب في نفس المستوى" مهم للغاية: الخطان في الفضاء ثلاثي الأبعاد ليس لهما نقاط مشتركة ولا يقعان في نفس المستوى ليسا متوازيين ، ولكن متقاطعة.

للإشارة إلى الخطوط المتوازية، من الشائع استخدام الرمز ∥. أي أنه إذا كان الخطان a وb متوازيين، فيجب كتابة هذا الشرط بإيجاز على النحو التالي: أ ‖ ب. لفظيًا، يُشار إلى توازي الخطوط على النحو التالي: الخطان a وb متوازيان، أو الخط a موازي للخط b، أو الخط b موازي للخط a.

دعونا نصيغ بيانًا يلعب دورًا مهمًا في الموضوع قيد الدراسة.

اكسيوم

من نقطة لا تنتمي إلى خط معين يمر الخط المستقيم الوحيد الموازي للخط المعطى. لا يمكن إثبات هذا البيان على أساس البديهيات المعروفة لقياس التخطيط.

في حال نحن نتحدث عنوفيما يتعلق بالفضاء، فإن النظرية صحيحة:

النظرية 1

من خلال أي نقطة في الفضاء لا تنتمي إلى خط معين، سيكون هناك خط مستقيم واحد موازي للخط المعطى.

من السهل إثبات هذه النظرية على أساس البديهية المذكورة أعلاه (برنامج الهندسة للصفوف 10 - 11).

يعتبر معيار التوازي شرطًا كافيًا يضمن تحقيقه توازي الخطوط. وبعبارة أخرى فإن تحقيق هذا الشرط كافٍ لتأكيد حقيقة التوازي.

وعلى وجه الخصوص، هناك شروط ضرورية وكافية لتوازي الخطوط على المستوى وفي الفضاء. دعونا نوضح: الضرورة تعني الشرط الذي يكون تحقيقه ضروريًا للخطوط المتوازية؛ وإذا لم يتحقق، فإن الخطوط ليست متوازية.

وخلاصة القول إن الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطوط هو الشرط الذي تكون مراعاته ضرورية وكافيّة لكي تكون الخطوط متوازية مع بعضها البعض. من ناحية، هذه علامة على التوازي، من ناحية أخرى، إنها خاصية متأصلة في الخطوط المتوازية.

قبل إعطاء الصيغة الدقيقة للشرط الضروري والكافي، دعونا نتذكر بعض المفاهيم الإضافية.

التعريف 3

خط قاطع- خط مستقيم يتقاطع كل من خطين مستقيمين غير متطابقين.

عند تقاطع خطين مستقيمين، يشكل القاطع ثماني زوايا غير متطورة. لصياغة شرط ضروري وكاف، سنستخدم أنواعًا من الزوايا مثل المتقاطعة والمتناظرة وأحادية الجانب. دعونا نوضح لهم في الرسم التوضيحي:

النظرية 2

إذا تقاطع مستقيمان في المستوى بمستعرض، فإنه لكي تكون الخطوط المعطاة متوازية، من الضروري ويكفي أن تكون الزوايا المتقاطعة متساوية، أو الزوايا المتناظرة متساوية، أو مجموع الزوايا أحادية الجانب يساوي 180 درجة.

دعونا نوضح بيانياً الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطوط على المستوى:

والدليل على هذه الشروط موجود في برنامج الهندسة للصفوف 7 - 9.

وبشكل عام، تنطبق هذه الشروط أيضًا على الفضاء ثلاثي الأبعاد، بشرط أن ينتمي خطان وقاطع إلى نفس المستوى.

دعونا نشير إلى بعض النظريات الأخرى التي تُستخدم غالبًا لإثبات حقيقة أن الخطوط متوازية.

النظرية 3

على المستوى، خطان متوازيان لخط ثالث متوازيان مع بعضهما البعض. تم إثبات هذه الميزة على أساس بديهية التوازي المذكورة أعلاه.

النظرية 4

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، خطان متوازيان لخط ثالث متوازيان مع بعضهما البعض.

يتم دراسة إثبات الإشارة في منهج الهندسة للصف العاشر.

دعونا نعطي توضيحا لهذه النظريات:

دعونا نشير إلى زوج آخر من النظريات التي تثبت توازي الخطوط.

النظرية 5

على المستوى، خطان متعامدان مع خط ثالث متوازيان مع بعضهما البعض.

دعونا نصوغ شيئًا مشابهًا للفضاء ثلاثي الأبعاد.

النظرية 6

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يكون الخطان المتعامدان مع الثلث متوازيين مع بعضهما البعض.

دعونا نوضح:

جميع النظريات والعلامات والشروط المذكورة أعلاه تجعل من الممكن إثبات توازي الخطوط بسهولة باستخدام طرق الهندسة. أي أنه لإثبات توازي الخطوط، يمكن إثبات أن الزوايا المتناظرة متساوية، أو إثبات حقيقة أن خطين معلومين متعامدين مع الخط الثالث، وما إلى ذلك. لكن لاحظ أنه غالبًا ما يكون من الملائم أكثر استخدام طريقة الإحداثيات لإثبات توازي الخطوط على المستوى أو في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

توازي الخطوط في نظام الإحداثيات المستطيل

في نظام إحداثي مستطيل معين، يتم تحديد الخط المستقيم من خلال معادلة خط مستقيم على مستوى أحدهما الأنواع الممكنة. وبالمثل، فإن الخط المستقيم المحدد في نظام إحداثيات مستطيل في الفضاء ثلاثي الأبعاد يتوافق مع بعض المعادلات الخاصة بالخط المستقيم في الفضاء.

دعونا نكتب الشروط الضرورية والكافية لتوازي الخطوط في نظام الإحداثيات المستطيل اعتمادًا على نوع المعادلة التي تصف الخطوط المحددة.

لنبدأ بحالة توازي الخطوط على المستوى. يعتمد على تعريفات متجه الاتجاه للخط والمتجه الطبيعي للخط على المستوى.

النظرية 7

لكي يكون خطان غير متطابقين متوازيين على مستوى، من الضروري والكافي أن تكون متجهات الاتجاه للخطوط المعطاة على خط واحد، أو أن تكون المتجهات العادية للخطوط المعطاة على خط واحد، أو أن يكون متجه الاتجاه لخط واحد متعامدًا على المتجه الطبيعي للخط الآخر.

يصبح من الواضح أن شرط توازي الخطوط على المستوى يعتمد على شرط العلاقة الخطية المتداخلة بين المتجهات أو شرط التعامد بين متجهين. أي أنه إذا كانت a → = (a x , a y) و b → = (b x , b y) متجهات اتجاه للخطين a و b ;

و n b → = (n b x , n b y) هي متجهات عادية للخطين a و b، ثم نكتب الشرط الضروري والكافي أعلاه كما يلي: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y أو n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y أو a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 ، حيث t هو عدد حقيقي. يتم تحديد إحداثيات الأدلة أو المتجهات المستقيمة بواسطة المعادلات المعطاة للخطوط المستقيمة. دعونا نلقي نظرة على الأمثلة الرئيسية.

1. يتم تعريف مستقيم في نظام الإحداثيات مستطيلة المعادلة العامةالخط المستقيم: أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 = 0؛ الخط المستقيم ب - أ 2 س + ب 2 ص + ج 2 = 0. ثم سيكون للمتجهات العادية للخطوط المعطاة إحداثيات (A 1، B 1) و (A 2، B 2)، على التوالي. نكتب شرط التوازي كما يلي:

أ 1 = ر أ 2 ب 1 = ر ب 2

1. يوصف الخط a بمعادلة الخط ذو الميل بالصيغة y = k 1 x + b 1 . الخط المستقيم ب - ص = ك 2 س + ب 2. عندها سيكون للمتجهات العادية للخطوط المعطاة إحداثيات (k 1, - 1) و (k 2, - 1) على التوالي، وسنكتب شرط التوازي كما يلي:

ك 1 = ر ك 2 - 1 = ر (- 1) ⇔ ك 1 = ر ك 2 ر = 1 ⇔ ك 1 = ك 2

وبالتالي، إذا تم إعطاء الخطوط المتوازية على المستوى في نظام إحداثيات مستطيل بواسطة معادلات ذات معاملات زاوية، إذن المنحدراتالخطوط المعطاة ستكون متساوية. والبيان المعاكس صحيح: إذا تم تحديد الخطوط غير المتطابقة على المستوى في نظام إحداثيات مستطيل بمعادلات خط له معاملات زاوية متطابقة، فإن هذه الخطوط المعطاة متوازية.

1. يتم تحديد الخطوط a و b في نظام الإحداثيات المستطيل بواسطة المعادلات الأساسية لخط على المستوى: x - x 1 a x = y - y 1 a y و x - x 2 b x = y - y 2 b y أو بواسطة المعادلات البارامترية لـ خط على المستوى: x = x 1 + lect · a x y = y 1 + lect · a y و x = x 2 + lect · b x y = y 2 + lect · b y .

إذن فإن متجهات الاتجاه للخطوط المعطاة ستكون: a x، a y و b x، b y، على التوالي، وسنكتب شرط التوازي كما يلي:

أ س = ر ب س أ ص = ر ب ص

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.

مثال 1

تم إعطاء سطرين: 2 x - 3 y + 1 = 0 و x 1 2 + y 5 = 1. من الضروري تحديد ما إذا كانت متوازية.

حل

دعونا نكتب معادلة الخط المستقيم المقطع على شكل معادلة عامة:

س 1 2 + ص 5 = 1 ⇔ 2 س + 1 5 ص - 1 = 0

نرى أن n a → = (2, - 3) هو المتجه الطبيعي للخط 2 x - 3 y + 1 = 0، و n b → = 2, 1 5 هو المتجه العادي للخط x 1 2 + y 5 = 1.

المتجهات الناتجة ليست على خط واحد، لأن لا توجد قيمة للتبادل تكون فيها المساواة صحيحة:

2 = ر 2 - 3 = ر 1 5 ⇔ ر = 1 - 3 = ر 1 5 ⇔ ر = 1 - 3 = 1 5

وبالتالي، فإن الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطوط على المستوى غير محقق، مما يعني أن الخطوط المعطاة ليست متوازية.

إجابة:الخطوط المعطاة ليست متوازية.

مثال 2

الخطوط y = 2 x + 1 و x 1 = y - 4 2 مذكورة. هل هما متوازيان؟

حل

لنحول المعادلة الأساسية للخط المستقيم x 1 = y - 4 2 إلى معادلة الخط المستقيم مع الميل:

س 1 = ص - 4 2 ⇔ 1 · (ص - 4) = 2 س ⇔ ص = 2 س + 4

نرى أن معادلات الخطين y = 2 x + 1 و y = 2 x + 4 ليستا متماثلتين (لو كان الأمر خلاف ذلك لكان المستقيمان متطابقين) وأن المعاملات الزاوية للخطين متساوية، مما يعني الخطوط المعطاة متوازية.

دعونا نحاول حل المشكلة بشكل مختلف. أولاً، دعونا نتحقق مما إذا كانت الخطوط المحددة متطابقة. نستخدم أي نقطة على الخط y = 2 x + 1 مثلاً (0, 1)، إحداثيات هذه النقطة لا تتوافق مع معادلة الخط x 1 = y - 4 2، مما يعني أن الخطوط تفعل لا تتزامن.

والخطوة التالية هي تحديد ما إذا كان شرط التوازي للخطوط المحددة قد تم استيفاءه.

المتجه العادي للخط y = 2 x + 1 هو المتجه n a → = (2 , - 1) ، ومتجه الاتجاه للخط الثاني المحدد هو b → = (1 , 2) . المنتج العددي لهذه المتجهات يساوي الصفر:

ن أ → , ب → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

وبالتالي فإن المتجهات متعامدة: وهذا يوضح لنا توفر الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطوط الأصلية. أولئك. الخطوط المعطاة متوازية.

إجابة:هذه الخطوط متوازية.

لإثبات توازي الخطوط في نظام إحداثيات مستطيل لمساحة ثلاثية الأبعاد، يتم استخدام الشرط الضروري والكافي التالي.

النظرية 8

لكي يكون خطان غير متطابقين في فضاء ثلاثي الأبعاد متوازيين، من الضروري والكافي أن تكون متجهات الاتجاه لهذه الخطوط على خط واحد.

أولئك. بالنظر إلى معادلات الخطوط في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يمكن العثور على إجابة السؤال: هل هي متوازية أم لا، من خلال تحديد إحداثيات متجهات الاتجاه للخطوط المعطاة، وكذلك التحقق من حالة خطيتها الخطية المتداخلة. بمعنى آخر، إذا كانت a → = (a x, a y, a z) و b → = (b x, b y, b z) هي متجهات الاتجاه للخطين a و b، على التوالي، لكي يكونا متوازيين، يجب أن يكون الوجود من هذا العدد الحقيقي t ضروري، بحيث تكون المساواة:

أ → = ر ب → ⇔ أ س = ر ب × أ ص = ر ب ي أ ض = ر ب ض

مثال 3

الخطوط x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 و x = 2 + 2 lect y = 1 z = - 3 - 6 lect مذكورة. من الضروري إثبات التوازي بين هذه الخطوط.

حل

يتم إعطاء شروط المشكلة من خلال المعادلات القانونية لخط واحد في الفضاء والمعادلات البارامترية لخط آخر في الفضاء. توجيه المتجهات أ → و ب → للخطوط المعطاة إحداثيات: (1، 0، - 3) و (2، 0، - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , ثم a → = 1 2 · b → .

وبالتالي، يتم استيفاء الشرط الضروري والكافي لتوازي الخطوط في الفضاء.

إجابة:تم إثبات التوازي بين الخطوط المعطاة.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter