تعريف

متعدد السطوحسنسميه سطحًا مغلقًا يتكون من مضلعات ويحد جزءًا معينًا من الفضاء.

تسمى الأجزاء التي تمثل جوانب هذه المضلعات ضلوعمتعدد السطوح، والمضلعات نفسها حواف. تسمى رؤوس المضلعات رؤوس متعددة السطوح.

سننظر فقط في متعددات الوجوه المحدبة (هذا متعدد الوجوه يقع على جانب واحد من كل مستوى يحتوي على وجهه).

المضلعات التي تشكل متعدد السطوح تشكل سطحه. يُطلق على الجزء من الفضاء الذي يحده متعدد السطوح اسم الجزء الداخلي منه.

التعريف: المنشور

خذ بعين الاعتبار مضلعين متساويين \(A_1A_2A_3...A_n\) و \(B_1B_2B_3...B_n\) يقعان في طائرات متوازيةبحيث شرائح \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\)موازي. متعدد الوجوه مكون من المضلعات \(A_1A_2A_3...A_n\) و \(B_1B_2B_3...B_n\) بالإضافة إلى متوازيات الأضلاع \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)، يسمى (\(n\)-gonal) نشور زجاجي.

المضلعات \(A_1A_2A_3...A_n\) و \(B_1B_2B_3...B_n\) تسمى قواعد المنشور، متوازيات الأضلاع \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)- الوجوه الجانبية والقطاعات \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- الأضلاع الجانبية.
وبذلك تكون الحواف الجانبية للمنشور متوازية ومتساوية مع بعضها البعض.

دعونا نلقي نظرة على مثال - المنشور \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\)، في قاعدتها يوجد خماسي محدب.

ارتفاعالمنشور هو سقوط عمودي من أي نقطة من قاعدة واحدة إلى مستوى قاعدة أخرى.

إذا لم تكن الحواف الجانبية متعامدة مع القاعدة، فسيتم استدعاء هذا المنشور يميل(الشكل 1)، وإلا – مستقيم. في المنشور المستقيم، الحواف الجانبية هي الارتفاعات، و وجوه جانبية- مستطيلات متساوية.

إذا كان المضلع المنتظم يقع عند قاعدة منشور مستقيم، يسمى المنشور صحيح.

التعريف: مفهوم الحجم

وحدة قياس الحجم هي مكعب وحدة (مكعب يقيس \(1\times1\times1\) وحدات\(^3\)، حيث الوحدة هي وحدة قياس معينة).

يمكننا القول إن حجم متعدد السطوح هو مقدار المساحة التي يحدها هذا متعدد السطوح. بخلاف ذلك: هذه كمية توضح قيمتها العددية عدد المرات التي يتناسب فيها مكعب الوحدة وأجزائه مع متعدد السطوح المحدد.

الحجم له نفس خصائص المساحة:

1. أحجام الأشكال المتساوية متساوية.

2. إذا كان متعدد الوجوه يتكون من عدة متعددات وجوه غير متقاطعة، فإن حجمه يساوي المبلغمجلدات من هذه متعددات الوجوه.

3. الحجم كمية غير سالبة.

4. يتم قياس الحجم بـ cm\(^3\) (سم مكعب)، m\(^3\) ( متر مكعب) إلخ.

نظرية

1. مساحة السطح الجانبي للمنشور تساوي ناتج محيط القاعدة وارتفاع المنشور.
مساحة السطح الجانبية هي مجموع مساحات الوجوه الجانبية للمنشور.

2. حجم المنشور يساوي حاصل ضرب مساحة القاعدة وارتفاع المنشور: \

التعريف: متوازي

متوازي الأضلاعهو منشور ذو متوازي أضلاع في قاعدته.

جميع وجوه متوازي الأضلاع (هناك \(6\) : \(4\) وجوه جانبية و\(2\) قواعد) هي متوازيات أضلاع، والأوجه المقابلة (موازية لبعضها البعض) هي متوازيات أضلاع متساوية (الشكل 2) .

قطري متوازي السطوحهو القطعة التي تصل بين رأسين لمتوازي سطوح لا يقعان على وجه واحد (يوجد منها \(8\)): \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\)إلخ.).

مستطيلة متوازيةهو متوازي سطوح قائم وفي قاعدته مستطيل.
لأن وبما أن هذا متوازي سطوح قائم، فإن الأوجه الجانبية مستطيلة. وهذا يعني أن جميع وجوه متوازي السطوح المستطيل هي بشكل عام مستطيلات.

جميع أقطار متوازي السطوح المستطيل متساوية (وهذا يتبع من مساواة المثلثات \(\مثلث ACC_1=\مثلث AA_1C=\مثلث BDD_1=\مثلث BB_1D\)إلخ.).

تعليق

وبالتالي، فإن متوازي السطوح لديه كل خصائص المنشور.

نظرية

مساحة السطح الجانبية لمتوازي السطوح المستطيل هي \

المساحة الإجمالية لمتوازي السطوح المستطيل هي \

نظرية

حجم المكعب يساوي حاصل ضرب حوافه الثلاثة الخارجة من قمة واحدة (ثلاثة أبعاد للمكعب): \

دليل

لأن في متوازي السطوح المستطيل، تكون الحواف الجانبية متعامدة مع القاعدة، فهي أيضًا ارتفاعاتها، أي \(h=AA_1=c\) لأن القاعدة مستطيلة إذن \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). ومن هنا تأتي هذه الصيغة.

نظرية

تم إيجاد القطر \(d\) لمتوازي السطوح المستطيل باستخدام الصيغة (حيث \(a,b,c\) هي أبعاد متوازي السطوح) \

دليل

دعونا ننظر إلى الشكل. 3. لأن القاعدة مستطيلة، إذن \(\triangle ABD\) مستطيلة، وبالتالي، وفقًا لنظرية فيثاغورس \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

لأن جميع الحواف الجانبية متعامدة مع القواعد \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\)عمودي على أي خط مستقيم في هذا المستوى، أي. \(BB_1\perp BD\) . وهذا يعني أن \(\المثلث BB_1D\) مستطيل. ثم بنظرية فيثاغورس \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\)، ث.

التعريف: مكعب

مكعبهو مستطيل متوازي الأضلاع، جميع وجوهه مربعات متساوية.

وبالتالي فإن الأبعاد الثلاثة متساوية مع بعضها البعض: \(a=b=c\) . لذا فإن ما يلي صحيح

نظريات

1. حجم المكعب ذو الحافة \(a\) يساوي \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. تم العثور على قطري المكعب باستخدام الصيغة \(d=a\sqrt3\) .

3. إجمالي مساحة سطح المكعب \(S_(\text(مكعب كامل))=6a^2\).

ترجمت من اليونانية، متوازي الأضلاع يعني الطائرة. متوازي السطوح هو منشور به متوازي أضلاع في قاعدته. هناك خمسة أنواع من متوازي الأضلاع: المائل والمستقيم والمكعب. ينتمي المكعب والمسطح المعيني أيضًا إلى متوازي السطوح وهو من تنوعه.

قبل الانتقال إلى المفاهيم الأساسية، دعونا نعطي بعض التعريفات:

قطر متوازي السطوح هو الجزء الذي يوحد رؤوس متوازي السطوح المتقابلة مع بعضها البعض.
إذا كان هناك وجهان لهما حافة مشتركة، فيمكننا أن نطلق عليهما حواف متجاورة. إذا لم يكن هناك حافة مشتركة، فسيتم استدعاء الوجوه المعاكسة.
يسمى الرأسان اللذان لا يقعان على نفس الوجه بالعكس.

ما هي الخصائص التي يمتلكها متوازي السطوح؟

وجوه المتوازي الكذب على جوانب متقابلة متوازية مع بعضها البعض ومتساوية مع بعضها البعض.
إذا قمت برسم أقطار من قمة إلى أخرى، فإن نقطة تقاطع هذه الأقطار ستقسمها إلى نصفين.
ستكون جوانب المتوازي التي تقع في نفس الزاوية مع القاعدة متساوية. بمعنى آخر، زوايا الضلعين المتقابلين ستكون متساوية مع بعضها البعض.

ما هي أنواع متوازي السطوح الموجودة؟

الآن دعونا نتعرف على نوع متوازيات السطوح الموجودة. كما ذكر أعلاه، هناك عدة أنواع من هذا الشكل: مستقيم، مستطيل، متوازي مائل، بالإضافة إلى المكعب والمعين. كيف يختلفون عن بعضهم البعض؟ الأمر كله يتعلق بالطائرات التي تشكلها والزوايا التي تشكلها.

دعونا ننظر بمزيد من التفصيل في كل نوع من أنواع متوازي السطوح المدرجة.

كما هو واضح من الاسم، فإن متوازي السطوح المائل له وجوه مائلة، أي تلك الوجوه التي لا تكون بزاوية 90 درجة بالنسبة للقاعدة.
لكن بالنسبة لمتوازي السطوح الأيمن، فإن الزاوية بين القاعدة والحافة تساوي تسعين درجة تمامًا. ولهذا السبب فإن هذا النوع من متوازي السطوح يحمل مثل هذا الاسم.
إذا كانت جميع وجوه متوازي السطوح عبارة عن مربعات متطابقة، فيمكن اعتبار هذا الشكل مكعبًا.
حصل متوازي السطوح المستطيل على هذا الاسم بسبب المستويات التي تشكله. إذا كانت جميعها مستطيلات (بما في ذلك القاعدة)، فهي مكعبة. لا يتم العثور على هذا النوع من متوازي السطوح في كثير من الأحيان. ترجمت من اليونانية، rhombohedron تعني الوجه أو القاعدة. هذا هو الاسم الذي يطلق على الشكل الثلاثي الأبعاد الذي تكون وجوهه على شكل معين.

الصيغ الأساسية لمتوازي السطوح

حجم متوازي السطوح يساوي حاصل ضرب مساحة القاعدة وارتفاعه المتعامد مع القاعدة.

مساحة السطح الجانبي ستكون مساوية لمنتج محيط القاعدة والارتفاع.
من خلال معرفة التعريفات والصيغ الأساسية، يمكنك حساب مساحة القاعدة وحجمها. يمكن اختيار القاعدة حسب تقديرك. ومع ذلك، كقاعدة عامة، يتم استخدام المستطيل كقاعدة.

المنشور ومتوازي السطوح

خصائص متوازي السطوح

بالنسبة لمتوازي السطوح:

1) الوجوه المتقابلة متساوية ومتوازية؛

2) تتقاطع الأقطار الأربعة عند نقطة واحدة وتتنصف عندها.

دليل:

1) خذ بعين الاعتبار بعض الوجهين المتقابلين لمتوازي السطوح، على سبيل المثال، و (الشكل 5).

بما أن جميع أوجه متوازي السطوح هي متوازيات أضلاع، فإن الخط AD يوازي الخط BC، والخط يوازي الخط. ويترتب على ذلك أن مستويات الوجوه قيد النظر متوازية.

من حقيقة أن أوجه متوازي السطوح هي متوازيات أضلاع، يترتب على ذلك أن AB وCD كلاهما متوازيان ومتساويان. ومن هذا نستنتج أن الوجه مدمج بالانتقال الموازي على طول الحافة AB مع الوجه. وبالتالي فإن هذه الحواف متساوية.

2) لنأخذ قطرين من متوازي السطوح (الشكل 5)، على سبيل المثال، ونرسم خطوطًا مستقيمة إضافية و. AB و على التوالي متساويان ومتوازيان مع الحافة DC، وبالتالي فهما متساويان ومتوازيان مع بعضهما البعض؛ ونتيجة لذلك، فإن الشكل هو متوازي أضلاع تكون فيه الخطوط المستقيمة والأقطار، وفي متوازي الأضلاع تنقسم الأقطار إلى نصفين عند نقطة التقاطع. وبالمثل، يمكننا إثبات أن القطرين الآخرين يتقاطعان عند نقطة واحدة وينصفان عند تلك النقطة. تقع نقطة تقاطع كل زوج من الأقطار في منتصف القطر. وهكذا، فإن جميع الأقطار الأربعة لمتوازي السطوح تتقاطع عند نقطة واحدة O وتنقسم عند هذه النقطة. وبالتالي، فإن نقطة تقاطع قطري متوازي السطوح هي مركز تماثله.

مربع قطر متوازي المستطيلات يساوي مجموع مربعات أبعاده الثلاثة.

دليل:

وهذا ينبثق من النظرية المكانية لفيثاغورس. إذا كان قطر متوازي مستطيلات، فهي إسقاطاته على ثلاثة خطوط متعامدة زوجية (الشكل 6). لذلك، .

ملحوظة: في متوازي السطوح المستطيل جميع الأقطار متساوية.

معاملات ذات الحدين

تحتوي أرقام Cnk على عدد من الخصائص الرائعة. تعبر هذه الخصائص في النهاية عن العلاقات المختلفة بين المجموعات الفرعية لمجموعة معينة X. ويمكن إثباتها مباشرة بناءً على الصيغة (1)...

معاملات ذات الحدين

1. مجموع معاملات التمدد (أ + ب)ن يساوي 2ن. لإثبات ذلك، يكفي أن نضع a = b = 1. ثم على الجانب الأيمن من التوسع ذي الحدين سيكون لدينا مجموع المعاملات ذات الحدين، وعلى اليسار: (1 + 1)n = 2n. 2.معاملات الأعضاء...

أنواع متعددات الوجوه

مساحة السطح الجانبية (أو ببساطة السطح الجانبي) للمنشور (متوازي الأضلاع) هو مجموع مساحات جميع وجوهه الجانبية...

تسلسلات فيبوناتشي متعددة الأبعاد

دعونا نبني تسلسلاً ونسميه تسلسل فيبوناتشي ثلاثي الأبعاد. سيتكون هذا التسلسل من المجموعات M1، M2، ... وهكذا. تتكون المجموعة M1 من ثلاثية مضافة واحدة فقط (2،1،1)...

مجموعات شبه مضاعفة من الأعداد الحقيقية غير السالبة

لتكن S عبارة عن مجموعة شبه تبادلية مضاعفة وغير قابلة للاختزال مع 1 ولا يوجد بها قواسم للوحدة. تسمى هذه المجموعات شبه المتكاملة أو المخروطية. يقال أن العناصر وS أولية نسبيًا إذا كان gcd(,)=1...

الهندسة غير الإقليدية

دعونا نفكر في بعض الخصائص والمفاهيم والحقائق التي تحملها هندسة لوباتشيفسكي. في هذه الحالة، نظرت في الخصائص بناءً على نموذج كلاين. سيتم تنفيذ معظمها على نماذج أخرى من الهندسة غير الإقليدية...

بعض المنحنيات الرائعة

يمر الوضع الطبيعي لقوقعة باسكال عند نقطتها M (الشكل 7) عبر النقطة N من الدائرة الرئيسية K، المقابلة تمامًا للنقطة P حيث يتقاطع OM مع الدائرة الرئيسية...

المحددات وتطبيقاتها في الجبر والهندسة

للمحدد عدد من الخصائص: 1) المحدد لا يتغير عند نقل المصفوفات (الصفوف والأعمدة). 2) إذا كان أحد الأعمدة (الصفوف) يتكون من أصفار فإن المحدد هو صفر...

التحولات التي تزيد من ترتيب المنحنيات الجبرية المستوية

دعونا نفكر أبسط طريقةتشكيل الكيسوي - منحنى اكتشفه القدماء بحثًا عن حل لمشكلة مضاعفة المكعب الشهيرة. لنأخذ دائرة (تسمى التوليد) بقطر ومماس لها...

المنشور ومتوازي السطوح

إذا كانت قاعدة المنشور متوازي الأضلاع، فإنه يسمى متوازي السطوح. جميع وجوه متوازي السطوح هي متوازيات أضلاع. ويبين الشكل 3 متوازي سطوح مائل، ويبين الشكل 4 متوازي سطوح مستقيم. وجوه متوازية..

تقسيم السلسلة الطبيعية

سنتحدث في هذا القسم عن المسائل المخصصة لتقسيم المتسلسلة الطبيعية إلى متتابعات والنظرية التي تثبتها...

مشكلة متطرفة في فهرسة الطبقات

سنحتاج إلى حقيقتين من . 1. لأي شخص هناك DF فريد من نوعه. 2. إذا، فإن المجموعة مكونة من عنصر واحد. إذا، فهناك عائلات متواصلة ذات معلمة واحدة (على سبيل المثال، لـ و (يشير الرمز إلى تقارب ضعيف)) وDFs مثل...

في هذا الدرس سيتمكن الجميع من دراسة موضوع "متوازي السطوح المستطيل". في بداية الدرس، سنكرر ما هي متوازيات السطوح التعسفية والمستقيمة، ونتذكر خصائص وجوهها المقابلة وأقطار متوازي السطوح. ثم سننظر إلى ماهية المكعب ونناقش خصائصه الأساسية.

الموضوع: عمودي الخطوط والمستويات

الدرس: مكعبة

يسمى السطح المكون من متوازيي أضلاع متساويين ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 وأربعة متوازيات أضلاع ABV 1 A 1، BCC 1 B 1، CDD 1 C 1، DAA 1 D 1 متوازي السطوح(رسم بياني 1).

أرز. 1 متوازي الأضلاع

أي: لدينا متوازيا أضلاع متساويان ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 (قواعد)، يقعان في مستويات متوازية بحيث تكون الحواف الجانبية AA 1، BB 1، DD 1، CC 1 متوازية. وهكذا يسمى السطح المكون من متوازيات الأضلاع متوازي السطوح.

وبالتالي، فإن سطح متوازي السطوح هو مجموع جميع متوازيات الأضلاع التي تشكل متوازي السطوح.

1. الأوجه المتقابلة لمتوازي السطوح متوازية ومتساوية.

(الأشكال متساوية، أي يمكن دمجها بالتداخل)

على سبيل المثال:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (متوازيات الأضلاع متساوية حسب التعريف)،

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (نظرًا لأن AA 1 B 1 B و DD 1 C 1 C وجهان متقابلان لمتوازي السطوح)،

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (نظرًا لأن AA 1 D 1 D و BB 1 C 1 C وجهان متقابلان لمتوازي السطوح).

2. تتقاطع أقطار متوازي السطوح عند نقطة واحدة وتنقسم عند هذه النقطة.

تتقاطع أقطار المتوازي AC 1، B 1 D، A 1 C، D 1 B عند نقطة واحدة O، ويتم تقسيم كل قطري إلى نصفين بهذه النقطة (الشكل 2).

أرز. 2- قطرا متوازي السطوح يتقاطعان وينقسمان إلى نصفين بنقطة التقاطع.

3. هناك ثلاثة رباعيات ذات حواف متساوية ومتوازية لمتوازي السطوح: 1 - AB، A 1 B 1، D 1 C 1، DC، 2 - AD، A 1 D 1، B 1 C 1، BC، 3 - AA 1، BB 1، СС 1، DD 1.

تعريف. يسمى متوازي السطوح مستقيماً إذا كانت حوافه الجانبية متعامدة مع القواعد.

دع الحافة الجانبية AA 1 تكون متعامدة مع القاعدة (الشكل 3). هذا يعني أن الخط المستقيم AA 1 متعامد مع الخطين المستقيمين AD وAB الواقعين في مستوى القاعدة. وهذا يعني أن الوجوه الجانبية تحتوي على مستطيلات. وتحتوي القواعد على متوازيات أضلاع عشوائية. دعونا نشير إلى ∠BAD = φ، الزاوية φ يمكن أن تكون أي شيء.

أرز. 3 متوازي السطوح الأيمن

إذن، متوازي السطوح الأيمن هو متوازي السطوح الذي تكون حوافه الجانبية متعامدة مع قاعدتي متوازي السطوح.

تعريف. المتوازي يسمى مستطيلإذا كانت حوافها الجانبية متعامدة مع القاعدة. القواعد مستطيلة.

يكون ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 متوازي السطوح مستطيلًا (الشكل 4)، إذا:

1. AA 1 ⊥ ABCD (الحافة الجانبية المتعامدة مع مستوى القاعدة، أي متوازي السطوح المستقيم).

2. ∠BAD = 90°، أي أن القاعدة مستطيلة.

أرز. 4 متوازي مستطيلات

يحتوي متوازي السطوح المستطيل على جميع خصائص متوازي السطوح التعسفي.ولكن هناك خصائص إضافية مشتقة من تعريف متوازي المستطيلات.

لذا، مكعباني شبيه بالمكعبهو متوازي السطوح تكون حوافه الجانبية متعامدة مع القاعدة. قاعدة المكعب مستطيلة.

1. في متوازي السطوح المستطيل، تكون جميع الوجوه الستة مستطيلة.

ABCD وA 1 B 1 C 1 D 1 مستطيلان حسب التعريف.

2. الأضلاع الجانبيةعمودي على القاعدة. وهذا يعني أن جميع الوجوه الجانبية لمتوازي السطوح المستطيل هي مستطيلات.

3. الجميع زوايا ثنائي السطوحخطوط مستقيمة متوازية مستطيلة.

دعونا نفكر، على سبيل المثال، في زاوية ثنائي السطوح لمتوازي سطوح مستطيل ذو حافة AB، أي زاوية ثنائي السطوح بين المستويين ABC 1 وABC.

AB هي حافة، والنقطة A 1 تقع في مستوى واحد - في المستوى ABB 1، والنقطة D في المستوى الآخر - في المستوى A 1 B 1 C 1 D 1. ثم يمكن أيضًا الإشارة إلى زاوية ثنائي السطوح قيد النظر على النحو التالي: ∠A 1 ABD.

لنأخذ النقطة A على الحافة AB. AA 1 متعامد مع الحافة AB في المستوى ABV-1، AD متعامد مع الحافة AB في المستوى ABC. هذا يعني أن ∠A 1 AD هي الزاوية الخطية لزاوية ثنائية السطوح معينة. ∠A 1 AD = 90°، مما يعني أن الزاوية ثنائية السطوح عند الحافة AB هي 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

وبالمثل، فقد ثبت أن أي زوايا ثنائية السطوح في متوازي السطوح المستطيل صحيحة.

مربع قطر متوازي المستطيلات يساوي مجموع مربعات أبعاده الثلاثة.

ملحوظة. أطوال الحواف الثلاثة المنبثقة من أحد رؤوس المكعب هي قياسات المكعب. يطلق عليهم أحيانًا الطول والعرض والارتفاع.

المعطى: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - متوازي مستطيلات (الشكل 5).

يثبت: .

أرز. 5 متوازي مستطيلات

دليل:

الخط المستقيم CC 1 عمودي على المستوى ABC، وبالتالي على الخط المستقيم AC. وهذا يعني أن المثلث CC 1 A قائم الزاوية. وفقا لنظرية فيثاغورس:

دعونا نفكر مثلث قائماي بي سي. وفقا لنظرية فيثاغورس:

لكن قبل الميلاد وميلادي - الأطراف المقابلةمستطيل. إذن قبل الميلاد = م. ثم:

لأن ، أ ، الذي - التي. وبما أن CC 1 = AA 1، فهذا هو ما يجب إثباته.

أقطار متوازي الأضلاع المستطيلة متساوية.

دعونا نشير إلى أبعاد ABC المتوازية كـ a، b، c (انظر الشكل 6)، ثم AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

الموضوع: عمودي الخطوط والمستويات

الدرس: مكعبة

أرز. 1 متوازي الأضلاع

وبالتالي، فإن سطح متوازي السطوح هو مجموع جميع متوازيات الأضلاع التي تشكل متوازي السطوح.

1. الأوجه المتقابلة لمتوازي السطوح متوازية ومتساوية.

(الأشكال متساوية، أي يمكن دمجها بالتداخل)

على سبيل المثال:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (متوازيات الأضلاع متساوية حسب التعريف)،

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (نظرًا لأن AA 1 B 1 B و DD 1 C 1 C وجهان متقابلان لمتوازي السطوح)،

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (نظرًا لأن AA 1 D 1 D و BB 1 C 1 C وجهان متقابلان لمتوازي السطوح).

2. تتقاطع أقطار متوازي السطوح عند نقطة واحدة وتنقسم عند هذه النقطة.

تتقاطع أقطار المتوازي AC 1، B 1 D، A 1 C، D 1 B عند نقطة واحدة O، ويتم تقسيم كل قطري إلى نصفين بهذه النقطة (الشكل 2).

أرز. 2- قطرا متوازي السطوح يتقاطعان وينقسمان إلى نصفين بنقطة التقاطع.

تعريف. يسمى متوازي السطوح مستقيماً إذا كانت حوافه الجانبية متعامدة مع القواعد.

أرز. 3 متوازي السطوح الأيمن

إذن، متوازي السطوح الأيمن هو متوازي السطوح الذي تكون حوافه الجانبية متعامدة مع قاعدتي متوازي السطوح.

تعريف. المتوازي يسمى مستطيلإذا كانت حوافها الجانبية متعامدة مع القاعدة. القواعد مستطيلة.

يكون ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 متوازي السطوح مستطيلًا (الشكل 4)، إذا:

1. AA 1 ⊥ ABCD (الحافة الجانبية المتعامدة مع مستوى القاعدة، أي متوازي السطوح المستقيم).

2. ∠BAD = 90°، أي أن القاعدة مستطيلة.

أرز. 4 متوازي مستطيلات

لذا، مكعباني شبيه بالمكعبهو متوازي السطوح تكون حوافه الجانبية متعامدة مع القاعدة. قاعدة المكعب مستطيلة.

1. في متوازي السطوح المستطيل، تكون جميع الوجوه الستة مستطيلة.

ABCD وA 1 B 1 C 1 D 1 مستطيلان حسب التعريف.

2. الأضلاع الجانبية متعامدة مع القاعدة. وهذا يعني أن جميع الوجوه الجانبية لمتوازي السطوح المستطيل هي مستطيلات.

3. جميع الزوايا ثنائية السطوح لمتوازي السطوح المستطيل صحيحة.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

وبالمثل، فقد ثبت أن أي زوايا ثنائية السطوح في متوازي السطوح المستطيل صحيحة.

مربع قطر متوازي المستطيلات يساوي مجموع مربعات أبعاده الثلاثة.

المعطى: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - متوازي مستطيلات (الشكل 5).

يثبت: .

أرز. 5 متوازي مستطيلات

دليل:

النظر في المثلث الأيمن ABC. وفقا لنظرية فيثاغورس:

لكن BC وAD وجهان متقابلان للمستطيل. إذن قبل الميلاد = م. ثم:

لأن ، أ ، الذي - التي. وبما أن CC 1 = AA 1، فهذا هو ما يجب إثباته.

أقطار متوازي الأضلاع المستطيلة متساوية.

دعونا نشير إلى أبعاد ABC المتوازية كـ a، b، c (انظر الشكل 6)، ثم AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

ماذا يعني متوازي السطوح المنتظم؟ تعريفات متوازي السطوح. الخصائص والصيغ الأساسية

ما هي الخصائص التي يمتلكها متوازي السطوح؟

ما هي أنواع متوازي السطوح الموجودة؟

الصيغ الأساسية لمتوازي السطوح

المنشور ومتوازي السطوح

خصائص متوازي السطوح

نشأة الكتابة وتطورها – ملخص

الملحن ريمون بولس: السيرة الذاتية والحياة الشخصية والإبداع ريمون بولس - السيرة الذاتية