لكن العديد من الأعداد الطبيعية قابلة للقسمة أيضًا على أعداد طبيعية أخرى.

على سبيل المثال:

الرقم 12 قابل للقسمة على 1، على 2، على 3، على 4، على 6، على 12؛

الرقم 36 يقبل القسمة على 1، على 2، على 3، على 4، على 6، على 12، على 18، على 36.

يتم استدعاء الأرقام التي يكون الرقم قابلاً للقسمة على الكل (لـ 12 هذه هي 1 و 2 و 3 و 4 و 6 و 12) مقسومات الأرقام. مقسوم على عدد طبيعي أ- عدد طبيعي يقسم عددا معلوما أدون أن يترك أثرا. يسمى العدد الطبيعي الذي له أكثر من مقسومين مركب .

يرجى ملاحظة أن الرقمين 12 و36 لهما عوامل مشتركة. هذه الأرقام هي: 1، 2، 3، 4، 6، 12. القاسم الأكبر لهذه الأرقام هو 12. القاسم المشترك لهذين الرقمين أو ب- هذا هو الرقم الذي يتم قسمة كلا الرقمين بدون باقي أو ب.

مضاعفات مشتركةعدة أرقام هو رقم قابل للقسمة على كل من هذه الأرقام. على سبيل المثال، الأعداد 9 و 18 و 45 لها مضاعف مشترك هو 180. لكن 90 و 360 هي أيضًا مضاعفاتها المشتركة. من بين جميع المضاعفات المشتركة، يوجد دائمًا أصغر واحد، وهو في هذه الحالة هو 90. ويسمى هذا الرقم الأصغرالمضاعف المشترك (CMM).

يكون LCM دائمًا رقمًا طبيعيًا يجب أن يكون أكبر من أكبر الأرقام التي تم تعريفه لها.

المضاعف المشترك الأصغر (LCM). ملكيات.

التبادلية:

الترابط:

على وجه الخصوص، إذا كانت و أعدادًا أولية، فإن:

المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين مو نهو المقسوم على جميع المضاعفات المشتركة الأخرى مو ن. علاوة على ذلك، مجموعة المضاعفات المشتركة م، نيتزامن مع مجموعة مضاعفات LCM( م، ن).

يمكن التعبير عن الخطوط المقاربة من حيث بعض الوظائف النظرية للأعداد.

لذا، وظيفة تشيبيشيف. و:

يأتي هذا من تعريف وخصائص وظيفة لانداو ز (ن).

ما يترتب على قانون توزيع الأعداد الأولية.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM).

شهادة عدم الممانعة( أ، ب) يمكن حسابها بعدة طرق:

1. إذا كان القاسم المشترك الأكبر معروفًا، فيمكنك استخدام اتصاله مع LCM:

2. ليعرف التحلل القانوني لكلا العددين إلى عوامل أولية:

أين ص1 ،...،ص ك- الأعداد الأولية المختلفة، و د 1،...،د كو ه 1،...،ه ك- الأعداد الصحيحة غير السالبة (يمكن أن تكون أصفارًا إذا لم يكن العدد الأولي المقابل في التوسعة).

ثم شهادة عدم الممانعة ( أ,ب) يتم حسابه بواسطة الصيغة:

بمعنى آخر، يحتوي تحليل LCM على جميع العوامل الأولية المضمنة في تحليل واحد على الأقل من الأرقام أ، ب، ويتم أخذ أكبر الأسين لهذا المضاعف.

مثال:

يمكن اختزال حساب المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام إلى عدة حسابات متسلسلة للمضاعف المشترك الأصغر لعددين:

قاعدة.للعثور على LCM لسلسلة من الأرقام، تحتاج إلى:

- تحليل الأرقام إلى عوامل أولية؛

- تحويل التوسعة الأكبر (حاصل ضرب عوامل الناتج المرغوب) إلى عوامل الناتج المرغوب عدد كبيرمن تلك المعطاة)، ثم قم بإضافة عوامل من توسيع الأرقام الأخرى التي لا تظهر في الرقم الأول أو تظهر فيه مرات أقل؛

— المنتج الناتج للعوامل الأولية سيكون المضاعف المشترك الأصغر للأرقام المحددة.

أي اثنان أو أكثر الأعداد الطبيعيةلديهم شهادة عدم الممانعة الخاصة بهم. إذا كانت الأرقام ليست مضاعفات بعضها البعض أو ليس لها نفس العوامل في المفكوك، فإن المضاعف المشترك الأصغر الخاص بها يساوي حاصل ضرب هذه الأرقام.

العوامل الأولية للرقم 28 (2، 2، 7) مكملة بالعامل 3 (الرقم 21)، وسيكون الناتج (84) أصغر عددوهو يقبل القسمة على 21 و 28.

يتم استكمال العوامل الأولية لأكبر عدد 30 بالعامل 5 للرقم 25، ويكون الناتج الناتج 150 أكبر من أكبر عدد 30 ويقبل القسمة على جميع الأرقام المعطاة دون باقي. هذا المنتج الأقلمن الممكن (150، 250، 300...)، والتي تكون جميع الأرقام المعطاة لها مضاعفات.

الأعداد 2،3،11،37 هي أعداد أولية، لذا فإن المضاعف المشترك الأصغر لها يساوي حاصل ضرب الأعداد المعطاة.

قاعدة. لحساب المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأولية، عليك ضرب كل هذه الأرقام معًا.

خيار اخر:

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لعدة أرقام تحتاج إلى:

1) تمثيل كل عدد كحاصل ضرب عوامله الأولية، على سبيل المثال:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) اكتب قوى جميع العوامل الأولية:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) اكتب جميع المقسومات الأولية (المضاعفات) لكل من هذه الأرقام؛

4) اختر الدرجة الأكبر لكل منها الموجودة في جميع مفكوك هذه الأعداد؛

5) مضاعفة هذه القوى.

مثال. أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام: 168، 180، 3024.

حل. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

نكتب القوى العظمى لجميع المقسومات الأولية ونضربها:

عدم الممانعة = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

دعونا نفكر في حل المشكلة التالية. خطوة الصبي 75 سم وخطوة الفتاة 60 سم ومن الضروري إيجاد أصغر مسافة يقطع فيها كل منهما عددا صحيحا من الخطوات.

حل.يجب أن يكون المسار بأكمله الذي سيمر به الأطفال قابلاً للقسمة على 60 و70، حيث يجب على كل منهم أن يتخذ عددًا صحيحًا من الخطوات. بمعنى آخر، يجب أن تكون الإجابة من مضاعفات العددين 75 و60.

أولًا، سوف نكتب جميع مضاعفات العدد 75. فنحصل على:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

الآن دعونا نكتب الأعداد التي ستكون من مضاعفات العدد 60. ونحصل على:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

الآن نجد الأرقام الموجودة في كلا الصفين.

• المضاعفات الشائعة للأرقام ستكون 300، 600، إلخ.

أصغرها هو الرقم 300. وفي هذه الحالة، سيتم تسميتها بالمضاعف المشترك الأصغر للرقمين 75 و 60.

بالعودة إلى حالة المشكلة، فإن أصغر مسافة سيقطع فيها الرجال عددًا صحيحًا من الخطوات ستكون 300 سم، وسيقطع الصبي هذا المسار في 4 خطوات، وستحتاج الفتاة إلى اتخاذ 5 خطوات.

تحديد المضاعف المشترك الأصغر

• المضاعف المشترك الأصغر لعددين طبيعيين a وb هو أصغر عدد طبيعي يكون مضاعفًا لكل من a وb.

من أجل العثور على المضاعف المشترك الأصغر لعددين، ليس من الضروري كتابة جميع مضاعفات هذه الأرقام على التوالي.

يمكنك استخدام الطريقة التالية.

كيفية العثور على المضاعف المشترك الأصغر

تحتاج أولاً إلى تحليل هذه الأرقام إلى عوامل أولية.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

الآن دعونا نكتب جميع العوامل الموجودة في مفكوك الرقم الأول (2،2،3،5) ونضيف إليها جميع العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الثاني (5).

ونتيجة لذلك، نحصل على سلسلة من الأعداد الأولية: 2،2،3،5،5. سيكون منتج هذه الأرقام هو العامل المشترك الأصغر لهذه الأرقام. 2*2*3*5*5 = 300.

المخطط العام لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر

• 1. قسمة الأعداد إلى عوامل أولية.
• 2. اكتب العوامل الأولية التي تشكل جزءًا من أحدها.
• 3. أضف إلى هذه العوامل كل ما هو في توسعة العوامل الأخرى، ولكن ليس في العامل المحدد.
• 4. أوجد حاصل ضرب جميع العوامل المكتوبة.

هذه الطريقة عالمية. ويمكن استخدامه للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لأي عدد من الأعداد الطبيعية.

تعريف.يسمى أكبر عدد طبيعي يتم من خلاله قسمة العددين a وb بدون باقي القاسم المشترك الأكبر (GCD)هذه الارقام.

دعونا نجد الأكبر القاسم المشتركالأرقام 24 و 35.
قواسم العدد 24 هي الأرقام 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12، 24، وقاسمات 35 هي الأرقام 1، 5، 7، 35.
نرى أن الرقمين 24 و 35 لهما قاسم مشترك واحد فقط - الرقم 1. تسمى هذه الأرقام رئيسي متبادل.

تعريف.يتم استدعاء الأعداد الطبيعية رئيسي متبادلإذا كان القاسم المشترك الأكبر (GCD) هو 1.

القاسم المشترك الأكبر (GCD)يمكن إيجادها دون كتابة جميع قواسم الأعداد المعطاة.

بتحليل العددين 48 و 36 نحصل على:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
من العوامل المتضمنة في مفك الأول من هذه الأعداد، نقوم بشطب تلك التي لم تدخل في مفك الرقم الثاني (أي اثنين).
العوامل المتبقية هي 2 * 2 * 3. حاصل ضربهم يساوي 12. هذا الرقم هو القاسم المشترك الأكبر للرقمين 48 و 36. كما تم العثور على القاسم المشترك الأكبر لثلاثة أرقام أو أكثر.

لايجاد القاسم المشترك الأكبر

2) من العوامل المدرجة في توسيع أحد هذه الأرقام، شطب تلك التي لم يتم تضمينها في توسيع الأرقام الأخرى؛
3) أوجد حاصل ضرب العوامل المتبقية.

إذا كانت جميع الأعداد المعطاة قابلة للقسمة على واحد منها، فإن هذا الرقم يكون كذلك القاسم المشترك الأكبرأرقام معينة.
على سبيل المثال، القاسم المشترك الأكبر للأرقام 15 و45 و75 و180 هو الرقم 15، حيث أن جميع الأرقام الأخرى قابلة للقسمة عليه: 45 و75 و180.

المضاعف المشترك الأصغر (LCM)

تعريف. المضاعف المشترك الأصغر (LCM)الأعداد الطبيعية a وb هي أصغر عدد طبيعي يكون مضاعفًا لكل من a وb. يمكن العثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للرقمين 75 و60 دون كتابة مضاعفات هذه الأرقام على التوالي. للقيام بذلك، دعونا نحلل 75 و60 إلى عوامل أولية: 75 = 3 * 5 * 5، و60 = 2 * 2 * 3 * 5.
لنكتب العوامل المتضمنة في مفك الرقم الأول من هذه الأرقام، ونضيف إليها العوامل المفقودة 2 و2 من مفك الرقم الثاني (أي نجمع العاملين).
نحصل على خمسة عوامل 2 * 2 * 3 * 5 * 5، وحاصل ضربها هو 300. وهذا الرقم هو المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 75 و 60.

ويجدون أيضًا المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر.

ل العثور على المضاعف المشترك الأصغرعدة أعداد طبيعية، تحتاج إلى:
1) تحليلها إلى عوامل أولية؛
2) اكتب العوامل المتضمنة في توسيع أحد الأرقام؛
3) أضف إليها العوامل المفقودة من مفكوكات الأعداد المتبقية؛
4) أوجد حاصل ضرب العوامل الناتجة.

لاحظ أنه إذا كان أحد هذه الأرقام قابلاً للقسمة على جميع الأرقام الأخرى، فإن هذا الرقم هو المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام.
على سبيل المثال، المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 12 و15 و20 و60 هو 60 لأنه يقبل القسمة على كل هذه الأرقام.

درس فيثاغورس (القرن السادس قبل الميلاد) وطلابه مسألة قابلية قسمة الأعداد. رقم، يساوي المبلغلقد أطلقوا على جميع قواسمه (بدون الرقم نفسه) عددًا مثاليًا. على سبيل المثال، الأرقام 6 (6 = 1 + 2 + 3)، 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) مثالية. الأعداد المثالية التالية هي 496، 8128، 33550336. كان الفيثاغوريون يعرفون الأعداد الثلاثة الأولى فقط. الرابع - 8128 - أصبح معروفا في القرن الأول. ن. ه. الخامس - 33.550.336 - تم العثور عليه في القرن الخامس عشر. بحلول عام 1983، كان هناك 27 رقمًا مثاليًا معروفًا بالفعل. لكن العلماء ما زالوا لا يعرفون ما إذا كان هناك أرقام مثالية فردية أو ما إذا كان هناك عدد مثالي أكبر.
يعود اهتمام علماء الرياضيات القدماء بالأعداد الأولية إلى أن أي عدد إما أن يكون أوليا أو يمكن تمثيله كحاصل أعداد أولية، أي أن الأعداد الأولية تشبه الطوب الذي تبنى منه بقية الأعداد الطبيعية.
ربما لاحظت أن الأعداد الأولية في سلسلة الأعداد الطبيعية تحدث بشكل غير متساو - في بعض أجزاء السلسلة يوجد عدد أكبر منها، وفي أجزاء أخرى - أقل. لكن كلما تحركنا على طول سلسلة الأعداد، أصبحت الأعداد الأولية أقل شيوعًا. السؤال الذي يطرح نفسه: هل هناك عدد أولي أخير (أكبر)؟ أثبت عالم الرياضيات اليوناني القديم إقليدس (القرن الثالث قبل الميلاد) في كتابه "العناصر"، الذي كان الكتاب المدرسي الرئيسي للرياضيات لمدة ألفي عام، أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية، أي أن وراء كل عدد أولي يوجد عدد أولي أكبر رقم.
للعثور على الأعداد الأولية، توصل عالم رياضيات يوناني آخر في نفس الوقت، إراتوستينس، إلى هذه الطريقة. لقد كتب جميع الأرقام من 1 إلى رقم ما، ثم شطب واحدًا، وهو ليس أوليًا ولا عدد مركب، ثم يتم شطب جميع الأرقام التي تأتي بعد 2 (الأرقام من مضاعفات 2، أي 4، 6، 8، وما إلى ذلك) من خلال رقم واحد. أول رقم متبقي بعد 2 كان 3. ثم، بعد اثنين، تم شطب جميع الأرقام التي تأتي بعد 3 (الأرقام التي كانت من مضاعفات 3، أي 6، 9، 12، وما إلى ذلك). في النهاية بقيت الأعداد الأولية فقط غير متقاطعة.

مضاعفات مشتركة

ببساطة، أي عدد صحيح يقبل القسمة على كل رقم من الأرقام المعطاة هو المضاعف المشتركالأعداد الصحيحة المعطاة.

يمكنك العثور على المضاعف المشترك لعددين صحيحين أو أكثر.

مثال 1

احسب المضاعف المشترك لعددين: $2$ و$5$.

حل.

بحكم التعريف، فإن المضاعف المشترك لـ $2$ و$5$ هو 10$، لأن وهو مضاعف للرقم $2$ والرقم $5$:

المضاعفات المشتركة للأرقام $2$ و$5$ ستكون أيضًا الأرقام $-10، 20، -20، 30، -30$، وما إلى ذلك، لأن كلهم مقسمون إلى أرقام $2$ و $5$.

ملاحظة 1

الصفر هو مضاعف مشترك لأي عدد من الأعداد الصحيحة غير الصفرية.

وفقًا لخصائص قابلية القسمة، إذا كان رقم معين مضاعفًا مشتركًا لعدة أرقام، فإن الرقم المقابل في الإشارة سيكون أيضًا مضاعفًا مشتركًا للأرقام المحددة. ويمكن ملاحظة ذلك من المثال الذي تم النظر فيه.

بالنسبة للأعداد الصحيحة المعطاة، يمكنك دائمًا إيجاد مضاعفها المشترك.

مثال 2

احسب المضاعف المشترك لـ $111$ و$55$.

حل.

لنضرب الأرقام المعطاة: $111\div 55=6105$. من السهل التحقق من أن الرقم $6105$ قابل للقسمة على الرقم $111$ والرقم $55$:

6105 دولارًا أمريكيًا\div 111=55 دولارًا أمريكيًا؛

6105 دولارًا أمريكيًا \ القسم 55 = 111 دولارًا أمريكيًا.

وبالتالي، فإن 6105 دولارًا أمريكيًا هو مضاعف مشترك لـ 111 دولارًا أمريكيًا و55 دولارًا أمريكيًا.

إجابة: المضاعف المشترك لـ $111$ و $55$ هو $6105$.

ولكن، كما رأينا من المثال السابق، فإن هذا المضاعف المشترك ليس واحدًا. المضاعفات الشائعة الأخرى ستكون $-6105، 12210، -12210، 61050، -61050$، إلخ. وهكذا توصلنا إلى النتيجة التالية:

ملاحظة 2

أي مجموعة من الأعداد الصحيحة تحتوي على عدد لا نهائي من المضاعفات المشتركة.

من الناحية العملية، فهي تقتصر على إيجاد مضاعفات مشتركة للأعداد الصحيحة الموجبة (الطبيعية) فقط، لأن مجموعات مضاعفات عدد معين وعكسه تتطابق.

تحديد المضاعف المشترك الأصغر

من بين جميع مضاعفات الأرقام المعطاة، يتم استخدام المضاعف المشترك الأصغر (LCM) في أغلب الأحيان.

التعريف 2

المضاعف المشترك الأقل إيجابية للأعداد الصحيحة المعطاة هو أقل مضاعف مشتركهذه الارقام.

مثال 3

احسب LCM للأرقام $4$ و$7$.

حل.

لأن هذه الأرقام ليس لها قواسم مشتركة، إذن $LCM(4,7)=28$.

إجابة: $NOK (4,7)=28$.

العثور على NOC عبر GCD

لأن هناك اتصال بين LCM وGCD، مع مساعدته يمكنك حساب LCM لاثنين من الأعداد الصحيحة الموجبة:

ملاحظة 3

مثال 4

احسب LCM للأرقام $232$ و$84$.

حل.

دعنا نستخدم الصيغة للعثور على LCM من خلال GCD:

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(GCD (a,b))$

دعونا نجد GCD للأرقام $232$ و $84$ باستخدام الخوارزمية الإقليدية:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$،

$64=20\cdot 3+4$,

أولئك. $GCD(232, 84)=4$.

لنجد $LCC (232، 84)$:

$NOK (232.84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

إجابة: كرونة نرويجية دولار (232.84) = 4872 دولارًا أمريكيًا.

مثال 5

حساب $LCD(23, 46)$.

حل.

لأن $46$ قابل للقسمة على $23$، ثم $gcd (23, 46)=23$. دعونا نجد LOC:

$NOK (23.46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

إجابة: كرونة نرويجية دولار (23.46) = 46 دولارًا.

وهكذا يمكن صياغة قاعدة:

ملاحظة 4

يرتبط المضاعف المشترك الأصغر لعددين ارتباطًا مباشرًا بالمقسوم المشترك الأكبر لتلك الأرقام. هذا الاتصال بين GCD و NOCيتم تحديده من خلال النظرية التالية.

نظرية.

المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين موجبين a وb يساوي حاصل ضرب a وb مقسومًا على القاسم المشترك الأكبر لـ a وb، أي: LCM(أ، ب)=أ ب:GCD(أ، ب).

دليل.

يترك M هو أحد مضاعفات الأرقام a و b. أي أن M قابل للقسمة على a، ومن خلال تعريف قابلية القسمة، يوجد عدد صحيح k بحيث تكون المساواة M=a·k صحيحة. لكن M قابل للقسمة أيضًا على b، إذن a·k قابل للقسمة على b.

لنشير إلى gcd(a,b) بالرمز d. بعد ذلك يمكننا كتابة المعادلات a=a 1 ·d وb=b 1 ·d، وa 1 =a:d وb 1 =b:d ستكون أعدادًا أولية نسبيًا. وبالتالي، فإن الشرط الذي تم الحصول عليه في الفقرة السابقة وهو أن a · k قابل للقسمة على b يمكن إعادة صياغته على النحو التالي: a 1 · d · k مقسوم على b 1 · d ، وهذا، بسبب خصائص القسمة، يعادل الشرط أن a 1 · k يقبل القسمة على b 1 .

تحتاج أيضًا إلى كتابة نتيجتين طبيعيتين مهمتين من النظرية التي تم النظر فيها.

المضاعفات المشتركة لعددين هي نفس مضاعفات المضاعف المشترك الأصغر لهما.

هذا هو الحال بالفعل، نظرًا لأن أي مضاعف مشترك لـ M للأرقام a وb يتم تحديده من خلال المساواة M=LMK(a, b)·t لبعض القيمة الصحيحة t.

المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الموجبة المتبادلة a وb يساوي حاصل ضربهما.

الأساس المنطقي لهذه الحقيقة واضح تماما. بما أن a وb أوليان نسبيًا، فإن gcd(a, b)=1، وبالتالي، GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر

يمكن اختزال العثور على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعددين بشكل تسلسلي. تتم الإشارة إلى كيفية القيام بذلك في النظرية التالية: a 1 , a 2 , …, a k يتزامن مع المضاعفات المشتركة للأرقام m k-1 و a k ، وبالتالي يتزامن مع المضاعفات المشتركة للرقم m k . وبما أن أصغر مضاعف موجب للرقم m k هو الرقم m k نفسه، فإن أصغر مضاعف مشترك للأرقام a 1، a 2، ...، a k هو m k.

فهرس.

• فيلينكين ن.يا. وغيرها الرياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام.
• فينوغرادوف آي إم. أساسيات نظرية الأعداد.
• ميخيلوفيتش ش. نظرية الأعداد.
• كوليكوف إل. وغيرها مجموعة من المسائل في الجبر ونظرية الأعداد: درس تعليميلطلاب الفيزياء والرياضيات. تخصصات المعاهد التربوية.