Презентация и урок на тема: "Рационални уравнения. Алгоритъм и примери за решаване на рационални уравнения"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени с антивирусна програма.

Учебни помагала и тренажори в онлайн магазина Интеграл за 8 клас
Ръководство към учебника на Макаричев Ю.Н. Ръководство към учебника на Мордкович А.Г.

Въведение в ирационалните уравнения

Момчета, научихме как да решаваме квадратни уравнения. Но математиката не се ограничава само до тях. Днес ще научим как да решаваме рационални уравнения. Концепцията за рационални уравнения е в много отношения подобна на концепцията рационални числа. Само че в допълнение към числата, сега сме въвели някаква променлива $x$. И така получаваме израз, в който присъстват операциите събиране, изваждане, умножение, деление и повдигане на цяла степен.

Нека $r(x)$ е рационално изразяване. Такъв израз може да бъде прост полином от променливата $x$ или съотношение на полиноми (въвежда се операция деление, както при рационалните числа).
Извиква се уравнението $r(x)=0$ рационално уравнение.
Всяко уравнение от формата $p(x)=q(x)$, където $p(x)$ и $q(x)$ са рационални изрази, също ще бъде рационално уравнение.

Нека да разгледаме примери за решаване на рационални уравнения.

Пример 1.
Решете уравнението: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Решение.
Нека преместим всички изрази в лява страна: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Ако лявата страна на уравнението беше представена с обикновени числа, тогава бихме намалили двете дроби до общ знаменател.
Нека направим това: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Получихме уравнението: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Една дроб е равна на нула тогава и само ако числителят на дробта е нула, а знаменателят е различен от нула. След това отделно приравняваме числителя на нула и намираме корените на числителя.
$3(x^2+2x-3)=0$ или $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Сега нека проверим знаменателя на дробта: $(x-3)*x≠0$.
Произведението на две числа е равно на нула, когато поне едно от тези числа е равно на нула. Тогава: $x≠0$ или $x-3≠0$.
$x≠0$ или $x≠3$.
Получените корени в числителя и знаменателя не съвпадат. Така че записваме двата корена на числителя в отговора.
Отговор: $x=1$ или $x=-3$.

Ако внезапно един от корените на числителя съвпадне с корена на знаменателя, тогава той трябва да бъде изключен. Такива корени се наричат ​​външни!

Алгоритъм за решаване на рационални уравнения:

1. Преместете всички изрази, съдържащи се в уравнението, от лявата страна на знака за равенство.
2. Преобразувайте тази част от уравнението в алгебрична дроб: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Приравнете получения числител на нула, тоест решете уравнението $p(x)=0$.
4. Приравнете знаменателя на нула и решете полученото уравнение. Ако корените на знаменателя съвпадат с корените на числителя, тогава те трябва да бъдат изключени от отговора.

Пример 2.
Решете уравнението: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Решение.
Нека решим според точките на алгоритъма.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Приравнете числителя към нула: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Приравнете знаменателя към нула:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ и $x=-1$.
Един от корените $x=1$ съвпада с корена на числителя, тогава не го записваме в отговора.
Отговор: $x=-1$.

Удобно е да се решават рационални уравнения, като се използва методът на промяната на променливите. Нека демонстрираме това.

Пример 3.
Решете уравнението: $x^4+12x^2-64=0$.

Решение.
Нека въведем замяната: $t=x^2$.
Тогава нашето уравнение ще приеме формата:
$t^2+12t-64=0$ - нормално квадратно уравнение.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
Нека въведем обратното заместване: $x^2=4$ или $x^2=-16$.
Корените на първото уравнение са двойка числа $x=±2$. Второто нещо е, че няма корени.
Отговор: $x=±2$.

Пример 4.
Решете уравнението: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Решение.
Нека въведем нова променлива: $t=x^2+x+1$.
Тогава уравнението ще приеме формата: $t=\frac(15)(t+2)$.
След това ще продължим според алгоритъма.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - корените не съвпадат.
Нека въведем обратно заместване.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Нека решим всяко уравнение поотделно:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - не корени
И второто уравнение: $x^2+x-2=0$.
Корените на това уравнение ще бъдат числата $x=-2$ и $x=1$.
Отговор: $x=-2$ и $x=1$.

Пример 5.
Решете уравнението: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Решение.
Нека въведем замяната: $t=x+\frac(1)(x)$.
Тогава:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ или $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Получихме уравнението: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Корените на това уравнение са двойката:
$t=-3$ и $t=2$.
Нека въведем обратното заместване:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Ще решим отделно.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Нека решим второто уравнение:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Коренът на това уравнение е числото $x=1$.
Отговор: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Проблеми за самостоятелно решаване

Решете уравнения:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

§ 1 Целочислени и дробни рационални уравнения

В този урок ще разгледаме понятия като рационално уравнение, рационален израз, цял израз, дробен израз. Нека разгледаме решаването на рационални уравнения.

Рационалното уравнение е уравнение, в което лявата и дясната страна са рационални изрази.

Рационалните изрази са:

Дробна.

Целочисленият израз е съставен от числа, променливи, цели степени, като се използват операциите събиране, изваждане, умножение и деление с число, различно от нула.

Например:

Дробните изрази включват деление с променлива или израз с променлива. Например:

Дробният израз няма смисъл за всички стойности на променливите, включени в него. Например изразът

при x = -9 няма смисъл, тъй като при x = -9 знаменателят отива на нула.

Това означава, че рационалното уравнение може да бъде цяло или дробно.

Цялото рационално уравнение е рационално уравнение, в което лявата и дясната страна са цели изрази.

Например:

Дробно рационално уравнение е рационално уравнение, в което лявата или дясната страна са дробни изрази.

Например:

§ 2 Решение на цяло рационално уравнение

Нека разгледаме решението на цяло рационално уравнение.

Например:

Нека умножим двете страни на уравнението по най-малкия общ знаменател на знаменателите на дробите, включени в него.

За това:

1. намерете общия знаменател за знаменатели 2, 3, 6. Той е равен на 6;

2. намерете допълнителен фактор за всяка дроб. За да направите това, разделете общия знаменател 6 на всеки знаменател

допълнителен фактор за дроб

допълнителен фактор за дроб

3. умножете числителите на дробите по съответните им допълнителни множители. Така получаваме уравнението

което е еквивалентно на даденото уравнение

Отляво ще отворим скобите, правилната странаНека го преместим наляво, като променим знака на члена, когато го преместим на противоположния.

Нека приведем подобни членове на полинома и получим

Виждаме, че уравнението е линейно.

След като го решим, намираме, че x = 0,5.

§ 3 Решение на дробно рационално уравнение

Нека разгледаме решаването на дробно рационално уравнение.

Например:

1. Умножете двете страни на уравнението по най-малкия общ знаменател на знаменателите на включените в него рационални дроби.

Нека намерим общия знаменател за знаменателите x + 7 и x - 1.

То е равно на техния продукт (x + 7)(x - 1).

2. Нека намерим допълнителен множител за всяка рационална дроб.

За да направите това, разделете общия знаменател (x + 7)(x - 1) на всеки знаменател. Допълнителен фактор за дроби

равно на x - 1,

допълнителен фактор за дроб

е равно на x+7.

3. Умножете числителите на дробите по съответните им допълнителни множители.

Получаваме уравнението (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), което е еквивалентно на това уравнение

4. Умножете бинома по бинома отляво и отдясно и получете следното уравнение

5. Преместваме дясната страна наляво, променяйки знака на всеки термин, когато прехвърляме към противоположния:

6. Нека представим подобни членове на полинома:

7. Двете страни могат да бъдат разделени на -1. Получаваме квадратно уравнение:

8. След като го решим, ще намерим корените

Тъй като в ур.

лявата и дясната страна са дробни изрази, а в дробните изрази за някои стойности на променливите знаменателят може да стане нула, тогава е необходимо да се провери дали общият знаменател не отива на нула, когато се намерят x1 и x2 .

При x = -27 общият знаменател (x + 7)(x - 1) не изчезва; при x = -1 общият знаменател също не е нула.

Следователно и двата корена -27 и -1 са корени на уравнението.

Когато решавате дробно рационално уравнение, по-добре е веднага да посочите региона приемливи стойности. Елиминирайте тези стойности, при които общият знаменател отива до нула.

Нека разгледаме друг пример за решаване на дробно рационално уравнение.

Например, нека решим уравнението

Разлагаме знаменателя на дробта от дясната страна на уравнението

Получаваме уравнението

Нека намерим общия знаменател за знаменателите (x - 5), x, x(x - 5).

Това ще бъде изразът x(x - 5).

Сега нека намерим обхвата на приемливите стойности на уравнението

За да направим това, приравняваме общия знаменател на нула x(x - 5) = 0.

Получаваме уравнение, решавайки което откриваме, че при x = 0 или при x = 5 общият знаменател отива към нула.

Това означава, че x = 0 или x = 5 не могат да бъдат корените на нашето уравнение.

Вече могат да бъдат намерени допълнителни множители.

Допълнителен фактор за рационални дроби

допълнителен фактор за дробта

ще бъде (x - 5),

и допълнителния множител на дробта

Умножаваме числителите по съответните допълнителни множители.

Получаваме уравнението x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Нека отворим скобите отляво и отдясно, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Нека преместим термините отдясно наляво, променяйки знака на прехвърлените термини:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

И след като приведем подобни членове, получаваме квадратно уравнение x2 - 3x - 10 = 0. След като го решим, намираме корените x1 = -2; х2 = 5.

Но вече открихме, че при x = 5 общият знаменател x(x - 5) отива на нула. Следователно коренът на нашето уравнение

ще бъде x = -2.

§ 4 Кратко обобщение на урока

Важно е да запомните:

Когато решавате дробни рационални уравнения, продължете както следва:

1. Намерете общия знаменател на дробите, включени в уравнението. Освен това, ако знаменателите на дробите могат да бъдат разложени на множители, разложете ги на множители и след това намерете общия знаменател.

2. Умножете двете страни на уравнението по общ знаменател: намерете допълнителни множители, умножете числителите по допълнителни множители.

3. Решете полученото цяло уравнение.

4. Елиминирайте от корените си тези, които карат общия знаменател да изчезне.

Списък на използваната литература:

1. Макаричев Ю.Н., Н.Г. Миндюк, Нешков К.И., Суворова С.Б. / Под редакцията на Теляковски С.А. Алгебра: учебник. за 8 клас. общо образование институции. - М.: Образование, 2013.
2. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 клас: В две части. Част 1: Учебник. за общо образование институции. - М.: Мнемозина.
3. Рурукин А.Н. Разработки на уроци по алгебра: 8 клас.- М.: ВАКО, 2010.
4. Алгебра 8 клас: планове на уроци по учебника на Ю.Н. Макаричева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворова / Авт.-съст. Т.Л. Афанасиева, Л.А. Тапилина. -Волгоград: Учител, 2005.

Цели на урока:

Образователни:

• формиране на понятието дробни рационални уравнения;
• разглеждат различни начини за решаване на дробни рационални уравнения;
• разгледайте алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения, включително условието, че дробта е равна на нула;
• преподават решаване на дробни рационални уравнения с помощта на алгоритъм;
• проверка на нивото на усвояване на темата чрез провеждане на тест.

Развитие:

• развиване на способността за правилно опериране с придобитите знания и логическо мислене;
• развитие на интелектуални умения и мисловни операции - анализ, синтез, сравнение и обобщение;
• развитие на инициативност, способност за вземане на решения и не спиране дотук;
• развитие на критичното мислене;
• развитие на изследователски умения.

Образование:

• насърчаване на познавателния интерес към предмета;
• възпитаване на самостоятелност при решаване на образователни проблеми;
• възпитаване на воля и постоянство за постигане на крайни резултати.

Тип урок: урок - обяснение на нов материал.

По време на часовете

1. Организационен момент.

Здравейте момчета! На дъската има написани уравнения, разгледайте ги внимателно. Можете ли да решите всички тези уравнения? Кои не са и защо?

Уравнения, в които лявата и дясната страна са дробни рационални изрази, се наричат ​​дробни рационални уравнения. Какво мислите, че ще учим в клас днес? Формулирайте темата на урока. И така, отворете тетрадките си и запишете темата на урока „Решаване на дробни рационални уравнения“.

2. Актуализиране на знанията. Фронтално проучване, устна работа с класа.

И сега ще повторим основния теоретичен материал, който трябва да изучим нова тема. Моля, отговорете на следните въпроси:

1. Какво е уравнение? ( Равенство с променлива или променливи.)
2. Какво е името на уравнение номер 1? ( Линеен.) Решение линейни уравнения. (Преместете всичко с неизвестното в лявата страна на уравнението, всички числа вдясно. Дайте подобни условия. Намерете неизвестен фактор).
3. Какво е името на уравнение номер 3? ( Квадрат.) Методи за решаване на квадратни уравнения. ( Изолиране на пълен квадрат с помощта на формули, използващи теоремата на Vieta и нейните следствия.)
4. Какво е пропорция? ( Равенство на две съотношения.) Основното свойство на пропорцията. ( Ако пропорцията е правилна, тогава произведението на нейните крайни членове е равно на произведението на средните членове.)
5. Какви свойства се използват при решаване на уравнения? ( 1. Ако преместите член в уравнение от една част в друга, като промените знака му, ще получите уравнение, еквивалентно на даденото. 2. Ако двете страни на уравнението се умножат или разделят на едно и също ненулево число, получавате уравнение, еквивалентно на даденото.)
6. Кога една дроб е равна на нула? ( Една дроб е равна на нула, когато числителят е нула, а знаменателят не е нула..)

3. Обяснение на нов материал.

Решете уравнение No2 в тетрадките и на дъската.

Отговор: 10.

Който дробно рационално уравнениеМожете ли да опитате да решите, като използвате основното свойство на пропорцията? (№ 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Решете уравнение No4 в тетрадките и на дъската.

Отговор: 1,5.

Кое дробно рационално уравнение можете да опитате да решите, като умножите двете страни на уравнението по знаменателя? (№ 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Отговор: 3;4.

Сега опитайте да решите уравнение номер 7, като използвате един от следните методи.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
Отговор: 0;5;-2.			Отговор: 5;-2.

Обяснете защо това се случи? Защо в единия случай има три корена, а в другия два? Кои числа са корените на това дробно рационално уравнение?

Досега учениците не са се сблъсквали с концепцията за външен корен; наистина е много трудно за тях да разберат защо това се е случило. Ако никой в ​​класа не може да даде ясно обяснение на тази ситуация, тогава учителят задава насочващи въпроси.

• Как уравнения № 2 и 4 се различават от уравнения № 5,6,7? ( В уравнения № 2 и 4 има числа в знаменателя, № 5-7 са изрази с променлива.)
• Какъв е коренът на едно уравнение? ( Стойността на променливата, при която уравнението става вярно.)
• Как да разберете дали дадено число е корен на уравнение? ( Направете проверка.)

При тестване някои ученици забелязват, че трябва да делят на нула. Те заключават, че числата 0 и 5 не са корените на това уравнение. Възниква въпросът: има ли начин за решаване на дробни рационални уравнения, който ни позволява да елиминираме тази грешка? Да, този метод се основава на условието дробта да е равна на нула.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Ако x=5, тогава x(x-5)=0, което означава, че 5 е външен корен.

Ако x=-2, тогава x(x-5)≠0.

Отговор: -2.

Нека се опитаме да формулираме алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения по този начин. Децата сами формулират алгоритъма.

Алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения:

1. Преместете всичко от лявата страна.
2. Намалете дробите до общ знаменател.
3. Създайте система: една дроб е равна на нула, когато числителят е равен на нула, а знаменателят не е равен на нула.
4. Решете уравнението.
5. Проверете неравенството, за да изключите външни корени.
6. Запишете отговора.

Дискусия: как да формализираме решението, ако използваме основното свойство на пропорцията и умножаваме двете страни на уравнението по общ знаменател. (Добавете към решението: изключете от неговите корени онези, които правят общия знаменател изчезващ).

4. Първоначално разбиране на нов материал.

Работете по двойки. Учениците сами избират как да решат уравнението в зависимост от вида на уравнението. Задачи от учебника “Алгебра 8”, Ю.Н. Макаричев, 2007: No 600(b,c,i); № 601(a,e,g). Учителят следи изпълнението на задачата, отговаря на всички възникнали въпроси и оказва помощ на учениците с по-ниски резултати. Самопроверка: отговорите се записват на дъската.

б) 2 – чужд корен. Отговор: 3.

в) 2 – чужд корен. Отговор: 1.5.

а) Отговор: -12,5.

ж) Отговор: 1;1,5.

5. Поставяне на домашна работа.

1. Прочетете параграф 25 от учебника, анализирайте примери 1-3.
2. Научете алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения.
3. Решете в тетрадки No 600 (а, г, д); No. 601(g,h).
4. Опитайте се да решите № 696(a) (по избор).

6. Изпълнение на контролна задача по изучаваната тема.

Работата се извършва върху листове хартия.

Примерна задача:

А) Кои от уравненията са дробно рационални?

Б) Дробта е равна на нула, когато числителят е ______________________, а знаменателят е _______________________.

В) Числото -3 корен ли е на уравнение номер 6?

Г) Решете уравнение №7.

Критерии за оценка на заданието:

• „5“ се дава, ако ученикът е изпълнил повече от 90% от задачата правилно.
• "4" - 75%-89%
• "3" - 50%-74%
• „2“ се дава на ученик, който е изпълнил по-малко от 50% от задачата.
• Оценка 2 не се дава в дневника, 3 не е задължителна.

7. Рефлексия.

На листовете за самостоятелна работа напишете:

• 1 – ако урокът ви е бил интересен и разбираем;
• 2 – интересно, но неясно;
• 3 – неинтересно, но разбираемо;
• 4 – неинтересно, неясно.

8. Обобщаване на урока.

И така, днес в урока се запознахме с дробни рационални уравнения, научихме как да решаваме тези уравнения различни начини, провериха знанията си с помощта на тренинг самостоятелна работа. Резултатите от самостоятелната си работа ще научите в следващия урок, а у дома ще имате възможност да затвърдите знанията си.

Кой метод за решаване на дробни рационални уравнения според вас е по-лесен, по-достъпен и по-рационален? Независимо от метода за решаване на дробни рационални уравнения, какво трябва да запомните? Каква е „хитростта“ на дробните рационални уравнения?

Благодаря на всички, урокът приключи.

Вече научихме как да решаваме квадратни уравнения. Сега нека разширим изучаваните методи към рационални уравнения.

Какво е рационален израз? Вече сме се сблъсквали с тази концепция. Рационални изразиса изрази, съставени от числа, променливи, техните степени и символи на математически операции.

Съответно рационалните уравнения са уравнения от вида: , където - рационални изрази.

Преди това разглеждахме само онези рационални уравнения, които могат да бъдат сведени до линейни. Сега нека разгледаме тези рационални уравнения, които могат да бъдат сведени до квадратни уравнения.

Пример 1

Решете уравнението: .

Решение:

Една дроб е равна на 0 тогава и само ако нейният числител е равен на 0 и знаменателят й не е равен на 0.

Получаваме следната система:

Първото уравнение на системата е квадратно уравнение. Преди да го решим, нека разделим всичките му коефициенти на 3. Получаваме:

Получаваме два корена: ; .

Тъй като 2 никога не е равно на 0, трябва да бъдат изпълнени две условия: . Тъй като нито един от корените на полученото по-горе уравнение не съвпада с невалидните стойности на променливата, получени при решаването на второто неравенство, и двете са решения на това уравнение.

Отговор:.

И така, нека формулираме алгоритъм за решаване на рационални уравнения:

1. Преместете всички членове вляво, така че дясната страна да завършва с 0.

2. Трансформирайте и опростете лявата страна, приведете всички дроби към общ знаменател.

3. Приравнете получената дроб на 0, като използвате следния алгоритъм: .

4. Запишете онези корени, които са получени в първото уравнение и отговарят на второто неравенство в отговора.

Нека да разгледаме друг пример.

Пример 2

Решете уравнението: .

Решение

В самото начало преместваме всички членове наляво, така че отдясно да остане 0. Получаваме:

Сега нека приведем лявата страна на уравнението към общ знаменател:

Това уравнение е еквивалентно на системата:

Първото уравнение на системата е квадратно уравнение.

Коефициенти на това уравнение: . Изчисляваме дискриминанта:

Получаваме два корена: ; .

Сега нека решим второто неравенство: произведението на факторите не е равно на 0 тогава и само ако никой от факторите не е равен на 0.

Трябва да бъдат изпълнени две условия: . Откриваме, че от двата корена на първото уравнение само един е подходящ - 3.

Отговор:.

В този урок си спомнихме какво е рационален израз и също научихме как да решаваме рационални уравнения, които се свеждат до квадратни уравнения.

В следващия урок ще разгледаме рационалните уравнения като модели на реални ситуации, а също така ще разгледаме проблемите с движението.

Библиография

1. Башмаков M.I. Алгебра 8 клас. - М.: Образование, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.. Алгебра, 8. 5-то изд. - М.: Образование, 2010.
3. Николски С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 клас. Учебник за общообразователните институции. - М.: Образование, 2006.

1. Фестивал педагогически идеи "Публичен урок" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Домашна работа

Самите уравнения с дроби не са трудни и са много интересни. Нека разгледаме видовете дробни уравненияи начини за разрешаването им.

Как се решават уравнения с дроби - х в числителя

Ако е дадено дробно уравнение, където неизвестното е в числителя, решението не изисква допълнителни условия и се решава без излишни проблеми. Обща форматакова уравнение е x/a + b = c, където x е неизвестното, a, b и c са обикновени числа.

Намерете x: x/5 + 10 = 70.

За да решите уравнението, трябва да се отървете от дробите. Умножете всеки член в уравнението по 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x и 5 се анулират, 10 и 70 се умножават по 5 и получаваме: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

Намерете x: x/5 + x/10 = 90.

Този пример е малко по-сложна версия на първия. Тук има две възможни решения.

• Вариант 1: Отърваваме се от дробите, като умножим всички членове на уравнението с по-голям знаменател, тоест с 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > х=300.
• Вариант 2: Добавете лявата страна на уравнението. x/5 + x/10 = 90. Общият знаменател е 10. Разделяме 10 на 5, умножаваме по x, получаваме 2x. Разделяме 10 на 10, умножаваме по x, получаваме x: 2x+x/10 = 90. Следователно 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Често се сблъскваме с дробни уравнения, в които х-овете са от противоположните страни на знака за равенство. В такива ситуации е необходимо всички дроби с X да се преместят от едната страна, а числата от другата.

• Намерете x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
• Преместете 2x/5 надясно с противоположния знак: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Намаляваме 5x/5 и получаваме: x = 130.

Как се решава уравнение с дроби - х в знаменателя

Този тип дробни уравнения изисква писане на допълнителни условия. Посочването на тези условия е задължителна и неразделна част от правилното решение. Като не ги добавите, вие рискувате, тъй като отговорът (дори и да е правилен) може просто да не бъде зачетен.

Общата форма на дробните уравнения, където x е в знаменателя, е: a/x + b = c, където x е неизвестното, a, b, c са обикновени числа. Моля, обърнете внимание, че x може да не е произволно число. Например x не може да бъде равно на нула, тъй като не може да бъде разделено на 0. Именно това е допълнителното условие, което трябва да уточним. Това се нарича диапазон от допустими стойности, съкратено VA.

Намерете x: 15/x + 18 = 21.

Веднага записваме ODZ за x: x ≠ 0. Сега, когато ODZ е посочен, решаваме уравнението според стандартната схема, като се отърваваме от дроби. Умножете всички членове на уравнението по x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Често има уравнения, в които знаменателят съдържа не само x, но и някаква друга операция с него, например събиране или изваждане.

Намерете x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Вече знаем, че знаменателят не може да бъде равен на нула, което означава x-3 ≠ 0. Преместваме -3 надясно, променяйки знака „-“ на „+“ и получаваме, че x ≠ 3. ODZ е посочено.

Решаваме уравнението, умножаваме всичко по x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.

Преместете X надясно, числата наляво: 24 = 3x => x = 8.