Toimintotutkimus.

1) D(y) - Määritelmäalue: kaikkien näiden muuttujan x arvojen joukko. jossa algebralliset lausekkeet f(x) ja g(x) ovat järkeviä.

Jos funktio annetaan kaavalla, niin määritelmäalue koostuu kaikista riippumattoman muuttujan arvoista, joille kaava on järkevä.

2) Funktioominaisuudet: parillinen/pariton, jaksollisuus:

outo Ja jopa kutsutaan funktioiksi, joiden kuvaajat ovat symmetrisiä argumentin etumerkin muutoksen suhteen.

outo toiminto- funktio, joka muuttaa arvon päinvastaiseksi, kun riippumattoman muuttujan etumerkki muuttuu (symmetrinen koordinaattien keskipisteen suhteen).

Tasainen toiminta- funktio, joka ei muuta arvoaan riippumattoman muuttujan etumerkin muuttuessa (symmetrinen y-akselin suhteen).

Ei parillinen eikä pariton funktio (toiminto yleisnäkymä) on funktio, jolla ei ole symmetriaa. Tämä luokka sisältää toimintoja, jotka eivät kuulu kahteen edelliseen luokkaan.

Kutsutaan funktioita, jotka eivät kuulu mihinkään yllä oleviin luokkiin ei parillinen eikä pariton(tai yleisiä toimintoja).

Parittomat toiminnot

Pariton potenssi missä on mielivaltainen kokonaisluku.

Tasaisia ​​toimintoja

Parillinen potenssi missä on mielivaltainen kokonaisluku.

Jaksottainen toiminto on funktio, joka toistaa arvonsa jollain argumentin säännöllisellä aikavälillä, eli ei muuta arvoaan, kun argumenttiin lisätään jokin kiinteä nollasta poikkeava luku ( ajanjaksoa funktiot) koko määritelmän alueella.

3) Funktion nollat ​​(juuret) ovat pisteitä, joissa se katoaa.

Kuvaajan ja akselin leikkauspisteen löytäminen Oy. Tätä varten sinun on laskettava arvo f(0). Etsi myös kuvaajan ja akselin leikkauspisteet Härkä, miksi löytää yhtälön juuret f(x) = 0 (tai varmista, ettei juuria ole).

Pisteitä, joissa kuvaaja leikkaa akselin, kutsutaan funktion nollia. Funktion nollien löytämiseksi sinun on ratkaistava yhtälö, eli etsittävä ne x-arvot, jolle toiminto katoaa.

4) Merkkien pysyvyysvälit, merkit niissä.

Intervallit, joissa funktio f(x) säilyttää etumerkin.

Vakioväli on väli jokaisessa kohdassa, jossa funktio on positiivinen tai negatiivinen.

x-akselin yläpuolella.

akselin ALALLA.

5) Jatkuvuus (epäjatkuvuuden kohdat, epäjatkuvuuden luonne, asymptootit).

jatkuva toiminto- funktio ilman "hyppyjä", eli funktio, jossa pienet muutokset argumentissa johtavat pieniin muutoksiin funktion arvossa.

Irrotettavat keskeytyskohdat

Jos toiminnon raja olemassa, mutta funktiota ei ole määritetty tässä vaiheessa tai raja ei vastaa funktion arvoa tässä vaiheessa:

,

sitten piste kutsutaan taukopiste funktiot (monimutkaisessa analyysissä irrotettava yksittäinen piste).

Jos "korjaamme" funktion irrotettavan epäjatkuvuuden kohdalla ja laitamme , niin saadaan funktio, joka on jatkuva tässä pisteessä. Tällaista funktion operaatiota kutsutaan laajentamalla toimintoa jatkuvaksi tai toiminnon laajentaminen jatkuvuudella, joka oikeuttaa pisteen nimen pisteinä kertakäyttöinen aukko.

Ensimmäisen ja toisen tyyppiset epäjatkuvuuskohdat

Jos funktiolla on epäjatkuvuus tietyssä pisteessä (eli funktion raja tietyssä pisteessä on poissa tai se ei ole sama kuin funktion arvo tietyssä pisteessä), niin numeerisille funktioille on kaksi mahdollista vaihtoehtoa, jotka liittyvät numeeristen funktioiden olemassaoloon. yksipuolisia rajoja:

jos molemmat yksipuoliset rajat ovat olemassa ja ovat äärellisiä, niin tällaista pistettä kutsutaan ensimmäisen luokan murtumiskohta. Irrotettavat epäjatkuvuuspisteet ovat ensimmäisen tyyppisiä epäjatkuvuuspisteitä;

jos ainakin yksi yksipuolisista rajoista ei ole olemassa tai se ei ole äärellinen arvo, niin tällainen piste on ns. toisen lajin murtumiskohta.

Asymptootti - suoraan, jolla on ominaisuus, että etäisyys käyrän pisteestä tähän suoraan pyrkii nollaan pisteen liikkuessa haaraa pitkin äärettömään.

pystysuora

Pysty asymptootti - rajaviiva .

Pääsääntöisesti pystysuoraa asymptoottia määritettäessä he eivät etsi yhtä rajaa, vaan kahta yksipuolista (vasen ja oikea). Tämä tehdään sen määrittämiseksi, kuinka funktio käyttäytyy lähestyessään pystysuoraa asymptoottia eri suunnista. Esimerkiksi:

Vaakasuora

Horisontaalinen asymptootti - suoraan lajin olemassaolosta riippuen raja

.

vino

Vino asymptootti - suoraan lajin olemassaolosta riippuen rajoja

Huomautus: Funktiolla voi olla enintään kaksi vinoa (vaakasuuntaista) asymptoottia.

Huomautus: jos vähintään toista edellä mainituista kahdesta rajasta ei ole olemassa (tai on yhtä suuri kuin ), vino-asymptoottia kohdassa (tai ) ei ole olemassa.

jos kohdassa 2.), niin , ja raja löytyy kaavasta horisontaalinen asymptootti, .

6) Monotonisuuden intervallien löytäminen. Etsi funktion monotonisuusvälit f(x) (eli nousu- ja laskuvälit). Tämä tehdään tutkimalla derivaatan etumerkkiä f(x). Tee tämä etsimällä johdannainen f(x) ja ratkaise epätasa-arvo f(x)0. Niillä aikaväleillä, joilla tämä epäyhtälö toteutuu, funktio f(x) kasvaa. Missä päinvastainen epätasa-arvo pätee f(x)0, funktio f(x) vähenee.

Paikallisen ääripään löytäminen. Kun monotonisuusvälit on löydetty, voimme heti määrittää paikallisen ääripään pisteet, joissa kasvu korvataan laskulla, on paikallisia maksimiarvoja ja missä lasku korvataan nousulla, paikalliset minimit. Laske funktion arvo näissä pisteissä. Jos toiminnolla on kriittiset kohdat, jotka eivät ole paikallisia ääripisteitä, silloin on hyödyllistä laskea funktion arvo myös näissä pisteissä.

Funktion y = f(x) suurimman ja pienimmän arvon löytäminen segmentiltä(jatkoa)

1. Etsi funktion derivaatta: f(x). 2. Etsi pisteet, joissa derivaatta on nolla: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Määritä pisteiden omistajuus X 1 ,X 2 , … segmentti [ a; b]: antaa x 1a;b, A x 2a;b .

Käytä tätä varten graafista paperia tai graafista laskinta. Valitse riippumattomalle muuttujalle mikä tahansa määrä numeerisia arvoja x (\displaystyle x) ja liitä ne funktioon laskeaksesi riippuvan muuttujan arvot y (\displaystyle y). Aseta löydetyt pisteiden koordinaatit koordinaattitasolle ja yhdistä sitten nämä pisteet funktion kuvaajaksi.

• Korvaa funktioon positiiviset numeeriset arvot x (\displaystyle x) ja vastaavat negatiiviset numeeriset arvot. Esimerkiksi annettuna funktion. Korvaa seuraavat arvot siihen x (\displaystyle x):
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\näyttötyyli f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1, 3) (\näyttötyyli (1,3)).
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\näyttötyyli f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1=8+1=9). Sain pisteen koordinaatteineen (2, 9) (\displaystyle (2,9)).
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\näyttötyyli f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3). Sain pisteen koordinaatteineen (− 1, 3) (\displaystyle (-1,3)).
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\näyttötyyli f(-2)=2(-2)^(2)+1=2(4)+1=8+1=9). Sain pisteen koordinaatteineen (− 2 , 9) (\displaystyle (-2,9)).

Tarkista, onko funktion kuvaaja symmetrinen y-akselin suhteen. Symmetrialla tarkoitetaan y-akselin ympärillä olevan kaavion peilikuvaa. Jos kaavion y-akselin oikealla puolella oleva osa (riippumattoman muuttujan positiiviset arvot) vastaa y-akselin vasemmalla puolella olevaa kaavion osaa (riippumattoman muuttujan negatiiviset arvot), kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen. Jos funktio on symmetrinen y-akselin suhteen, funktio on parillinen.

• Voit tarkistaa kaavion symmetrian yksittäisten pisteiden mukaan. Jos arvo y (\displaystyle y) x (\displaystyle x), vastaa arvoa y (\displaystyle y), joka vastaa arvoa − x (\displaystyle -x), toiminto on tasainen. Esimerkissämme funktiolla f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) saimme seuraavat pisteiden koordinaatit:
  • (1.3) ja (-1.3)
  • (2.9) ja (-2.9)
• Huomaa, että x=1 ja x=-1 riippuva muuttuja on y=3 ja x=2 ja x=-2 riippuva muuttuja on y=9. Toiminto on siis tasainen. Itse asiassa funktion muodon määrittämiseksi on otettava huomioon enemmän kuin kaksi pistettä, mutta kuvattu menetelmä on hyvä approksimaatio.

Tarkista, onko funktion kuvaaja symmetrinen origon suhteen. Origo on piste, jonka koordinaatit (0,0). Symmetria alkuperästä tarkoittaa positiivista arvoa y (\displaystyle y)(positiivisella arvolla x (\displaystyle x)) vastaa negatiivista arvoa y (\displaystyle y)(negatiivinen arvo x (\displaystyle x)), ja päinvastoin. Parittomilla funktioilla on symmetriaa origon suhteen.

• Jos korvaamme funktioon useita positiivisia ja vastaavia negatiivisia arvoja x (\displaystyle x), arvot y (\displaystyle y) eroavat merkiltä. Esimerkiksi annettuna funktion f (x) = x 3 + x (\näyttötyyli f(x)=x^(3)+x). Korvaa siihen useita arvoja x (\displaystyle x):
  • f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\näyttötyyli f(1)=1^(3)+1=1+1=2). Sain pisteen koordinaatteilla (1,2).
  • f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\näyttötyyli f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1-1=-2)
  • f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
  • f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\näyttötyyli f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8-2=-10). Sain pisteen koordinaatteilla (-2,-10).
• Siten f(x) = -f(-x), eli funktio on pariton.

Tarkista, onko funktion kuvaajalla symmetriaa. Viimeinen funktiotyyppi on funktio, jonka kuvaajalla ei ole symmetriaa, eli peilikuvaa ei ole sekä suhteessa y-akseliin että suhteessa origoon. Esimerkiksi annettuna funktion.

• Korvaa funktioon useita positiivisia ja vastaavia negatiivisia arvoja x (\displaystyle x):
  • f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\näyttötyyli f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4). Sain pisteen koordinaatteilla (1,4).
  • f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\näyttötyyli f(-1)=(-1)^(2)+2(-1)+(-1)=1-2-1=-2). Sain pisteen koordinaatteilla (-1,-2).
  • f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\näyttötyyli f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10). Saimme pisteen koordinaattein (2,10).
  • f (− 2) = (− 2) 2 + 2 (− 2) + (− 2) = 4 − 4 − 2 = − 2 (\näyttötyyli f(-2)=(-2)^(2)+2(-2)+(-2)=4-4-2=-2). Sain pisteen koordinaatteilla (2,-2).
• Saatujen tulosten mukaan symmetriaa ei ole. Arvot y (\displaystyle y) vastakkaisille arvoille x (\displaystyle x) eivät täsmää eivätkä ole vastakkaisia. Siten funktio ei ole parillinen eikä pariton.
• Huomaa, että toiminto f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) voidaan kirjoittaa näin: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Tässä muodossa kirjoitettuna funktio näyttää parilliselta, koska siinä on parillinen eksponentti. Mutta tämä esimerkki osoittaa, että funktion muotoa ei voida määrittää nopeasti, jos riippumaton muuttuja on suluissa. Tässä tapauksessa sinun on avattava sulut ja analysoitava tuloksena saadut eksponentit.

Toiminto on yksi tärkeimmistä matemaattisista käsitteistä. Toiminto - muuttuva riippuvuus klo muuttujasta x, jos jokainen arvo X vastaa yhtä arvoa klo. muuttuja X jota kutsutaan itsenäiseksi muuttujaksi tai argumentiksi. muuttuja klo kutsutaan riippuvaiseksi muuttujaksi. Kaikki riippumattoman muuttujan arvot (muuttuja x) muodostavat funktion toimialueen. Kaikki arvot, jotka riippuva muuttuja ottaa (muuttuja y), muodostavat funktion alueen.

Funktiokaavio he kutsuvat koordinaattitason kaikkien pisteiden joukkoa, joiden abskissat ovat yhtä suuret kuin argumentin arvot ja ordinaatit ovat yhtä suuria kuin funktion vastaavat arvot, eli muuttujan arvot piirretään abskissa-akselia pitkin x, ja muuttujan arvot piirretään y-akselia pitkin y. Jotta voit piirtää funktion, sinun on tiedettävä funktion ominaisuudet. Toiminnon pääominaisuuksia käsitellään alla!

Funktiokaavion piirtämiseen suosittelemme käyttämään ohjelmaamme - Graphing Functions Online. Jos sinulla on kysyttävää tämän sivun materiaalia tutkiessasi, voit aina kysyä niitä foorumillamme. Myös foorumilla sinua autetaan ratkaisemaan matematiikan, kemian, geometrian, todennäköisyysteorian ja monien muiden aineiden ongelmia!

Funktioiden perusominaisuudet.

1) Toiminnan laajuus ja toimintoalue.

Funktion laajuus on argumentin kaikkien kelvollisten arvojen joukko x(muuttuja x), jolle toiminto y = f(x) määritelty.
Funktioalue on kaikkien reaaliarvojen joukko y jonka funktio hyväksyy.

Alkeismatematiikassa funktioita tutkitaan vain reaalilukujoukolla.

2) Funktion nollat.

Arvot X, jossa y = 0, kutsutaan funktion nollia. Nämä ovat funktion kuvaajan ja x-akselin leikkauspisteiden abskissoja.

3) Funktion etumerkkivakauden intervallit.

Funktion etumerkkivakiovälit ovat sellaisia ​​arvovälejä x, jossa funktion arvot y kutsutaan joko vain positiivisia tai vain negatiivisia funktion etumerkkivakauden aikavälit.

4) Toiminnon monotonisuus.

Kasvava toiminto (jossain välissä) - toiminto, jolle suurempi arvo tämän välin argumentti vastaa funktion suurempaa arvoa.

Pienevä funktio (jossain välissä) - funktio, jossa suurempi argumentin arvo tästä intervallista vastaa funktion pienempää arvoa.

5) Parilliset (parittomat) funktiot.

Parillinen funktio on funktio, jonka määritelmäalue on symmetrinen origon suhteen ja minkä tahansa X f(-x) = f(x). Parillisen funktion kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen.

Ei tasainen toiminto- funktio, jonka määritelmäalue on symmetrinen origon suhteen ja minkä tahansa X määritelmän alueelta tasa-arvo f(-x) = - f(x). Parittoman funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.

Tasainen toiminta
1) Määritelmäalue on symmetrinen pisteen (0; 0) suhteen, eli jos piste a kuuluu määritelmäalueeseen, sitten pisteeseen -a kuuluu myös määritelmäalueeseen.
2) millä tahansa arvolla x f(-x)=f(x)
3) Parillisen funktion kuvaaja on symmetrinen Oy-akselin suhteen.

outo toiminto sillä on seuraavat ominaisuudet:
1) Määritelmäalue on symmetrinen pisteen (0; 0) suhteen.
2) mille tahansa arvolle x, joka kuuluu määrittelyalueeseen, tasa-arvoon f(-x)=-f(x)
3) Parittoman funktion kuvaaja on symmetrinen origon (0; 0) suhteen.

Kaikki funktiot eivät ole parillisia tai parittomia. Toiminnot yleisnäkymä eivät ole parillisia eivätkä parittomia.

6) Rajoitetut ja rajoittamattomat toiminnot.

Funktiota kutsutaan rajatuksi, jos on olemassa positiivinen luku M siten, että |f(x)| ≤ M kaikille x:n arvoille. Jos tällaista numeroa ei ole, funktio on rajoittamaton.

7) Toiminnon jaksollisuus.

Funktio f(x) on jaksollinen, jos on olemassa nollasta poikkeava luku T siten, että mille tahansa x:lle funktion alueelta f(x+T) = f(x). Sellainen pienin numero kutsutaan funktion jaksoksi. Kaikki trigonometriset funktiot ovat jaksollisia. (Trigonometriset kaavat).

Toiminto f kutsutaan jaksolliseksi, jos on olemassa sellainen luku, että millä tahansa x määritelmän alueelta tasa-arvo f(x)=f(x-T)=f(x+T). T on toiminnon jakso.

Jokaisella jaksollisella funktiolla on ääretön määrä jaksoja. Käytännössä otetaan yleensä huomioon pienin positiivinen jakso.

Jaksofunktion arvot toistetaan jaksoa vastaavan aikavälin jälkeen. Tätä käytetään kaavioiden piirtämisessä.

Parillisten ja parittomien funktioiden kaavioissa on seuraavat ominaisuudet:

Jos funktio on parillinen, sen kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen. Jos funktio on pariton, niin sen kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.

Esimerkki. Piirrä funktio \(y=\left|x \right|\).

Ratkaisu. Tarkastellaan funktiota: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) ja korvaa \(x \) vastakkainen \(-x \). Yksinkertaisten muunnosten tuloksena saadaan: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ Toisin sanoen, jos argumentti korvataan vastakkaisella merkillä, funktio ei muutu.

Tämä tarkoittaa, että tämä funktio on parillinen ja sen kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen (pystyakseli). Tämän funktion kaavio näkyy vasemmalla olevassa kuvassa. Tämä tarkoittaa, että kuvaajaa piirtäessäsi voit rakentaa vain puolet ja toisen osan (pystyakselin vasemmalle puolelle, piirrä jo symmetrisesti oikealle puolelle). Kun määrität funktion symmetrian ennen sen kaavion piirtämisen aloittamista, voit yksinkertaistaa huomattavasti funktion konstruointia tai tutkimista. Jos tarkistuksen suorittaminen yleisessä muodossa on vaikeaa, voit tehdä sen helpommin: korvaa yhtälöön samat eri etumerkkien arvot. Esimerkiksi -5 ja 5. Jos funktion arvot ovat samat, voimme toivoa, että funktio on parillinen. Matemaattisesta näkökulmasta tämä lähestymistapa ei ole täysin oikea, mutta käytännön kannalta se on kätevä. Voit lisätä tuloksen luotettavuutta korvaamalla useita tällaisia ​​vastakkaisia ​​arvoja.

Esimerkki. Piirrä funktio \(y=x\left|x \right|\).

Ratkaisu. Tarkistetaan sama kuin edellisessä esimerkissä: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right)$$ Tämä tarkoittaa, että alkuperäinen funktio on pariton (funktion etumerkki on muuttunut päinvastaiseksi).

Johtopäätös: funktio on symmetrinen origon suhteen. Voit rakentaa vain toisen puolen ja piirtää toisen puolikkaan symmetrisesti. Tätä symmetriaa on vaikeampi piirtää. Tämä tarkoittaa, että katsot kaaviota arkin toiselta puolelta ja jopa käännettynä ylösalaisin. Ja voit myös tehdä tämän: ota piirretty osa ja käännä sitä origon ympäri 180 astetta vastapäivään.

Esimerkki. Piirrä funktio \(y=x^3+x^2\).

Ratkaisu. Suoritetaan sama merkkimuutostarkistus kuin kahdessa edellisessä esimerkissä. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ Tuloksena saamme, että $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-$x \fright) ft ei edes tarkoita tätä funktiota \fright) eikä outoa.

Johtopäätös: funktio ei ole symmetrinen koordinaattijärjestelmän origon tai keskipisteen suhteen. Tämä tapahtui, koska se on kahden funktion summa: parillinen ja pariton. Sama tilanne on, jos vähennät kaksi eri funktiota. Mutta kertominen tai jako johtaa erilaiseen tulokseen. Esimerkiksi parillisen ja parittoman funktion tulo antaa parittoman. Tai kahden parittoman osamäärä johtaa parilliseen funktioon.

jopa, jos kaikille \(x\) sen toimialueelta on tosi: \(f(-x)=f(x)\) .

Parillisen funktion kuvaaja on symmetrinen \(y\)-akselin suhteen:

Esimerkki: funktio \(f(x)=x^2+\cos x\) on parillinen, koska \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Kutsutaan funktio \(f(x)\). outo, jos kaikille \(x\) sen toimialueelta on tosi: \(f(-x)=-f(x)\) .

Parittoman funktion kaavio on symmetrinen origon suhteen:

Esimerkki: funktio \(f(x)=x^3+x\) on outo, koska \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Funktioita, jotka eivät ole parillisia eivätkä parittomia, kutsutaan yleisfunktioiksi. Tällainen funktio voidaan aina esittää yksiselitteisesti parillisen ja parittoman funktion summana.

Esimerkiksi funktio \(f(x)=x^2-x\) on parillisen funktion \(f_1=x^2\) ja parittoman funktion \(f_2=-x\) summa.

\(\musta kolmiooikea\) Jotkut ominaisuudet:

1) Kahden saman pariteetin funktion tulo ja osamäärä on parillinen funktio.

2) Kahden eri pariteetin funktion tulo ja osamäärä - outo toiminto.

3) Parillisten funktioiden summa ja erotus on parillinen funktio.

4) Parittomien funktioiden summa ja erotus on pariton funktio.

5) Jos \(f(x)\) on parillinen funktio, yhtälöllä \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) on yksi juuri silloin ja vain jos, kun \(x=0\) .

6) Jos \(f(x)\) on parillinen tai pariton funktio ja yhtälöllä \(f(x)=0\) on juuri \(x=b\) , niin tällä yhtälöllä on välttämättä toinen juuri \(x=-b\) .

\(\blacktriangleright\) Funktiota \(f(x)\) kutsutaan jaksolliseksi kohdassa \(X\), jos jollekin luvulle \(T\ne 0\) on \(f(x)=f(x+T)\) , missä \(x, x+T\in X\) . Pienintä \(T\) , jolle tämä yhtälö pätee, kutsutaan funktion pää- (perus)jaksoksi.

Jaksottaisella funktiolla on mikä tahansa numero muodossa \(nT\) , jossa \(n\in \mathbb(Z)\) on myös piste.

Esimerkki: mikä tahansa trigonometrinen funktio on jaksollinen;
funktioille \(f(x)=\sin x\) ja \(f(x)=\cos x\) pääjakso on \(2\pi\) , funktioille \(f(x)=\mathrm(tg)\,x\) ja \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) \pi on \.

Jos haluat piirtää jaksollisen funktion, voit piirtää sen kaavion mille tahansa pituudelle \(T\) (pääjakso); sitten koko funktion kuvaaja täydennetään siirtämällä konstruoitua osaa kokonaislukumäärällä jaksoja oikealle ja vasemmalle:

\(\blacktriangleright\) Toimialue \(D(f)\) funktiolle \(f(x)\) on joukko, joka koostuu kaikista argumentin \(x\) arvoista, joille funktiolla on järkeä (on määritelty).

Esimerkki: funktiolla \(f(x)=\sqrt x+1\) on määritelmäalue: \(x\in

Tehtävä 1 #6364

Tehtävätaso: Vastaa yhtenäistä valtiontutkintoa

Mille parametrin \(a\) arvoille yhtälö

onko ainutlaatuinen ratkaisu?

Huomaa, että koska \(x^2\) ja \(\cos x\) ovat parillisia funktioita, jos yhtälön juuri on \(x_0\) , sillä on myös juuri \(-x_0\) .
Todellakin, olkoon \(x_0\) juuri, eli yhtäläisyys \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) oikein. Korvaa \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\).

Jos siis \(x_0\ne 0\) , yhtälöllä on jo ainakin kaksi juuria. Siksi \(x_0=0\) . Sitten:

Saimme kaksi parametriarvoa \(a\) . Huomaa, että olemme käyttäneet sitä tosiasiaa, että \(x=0\) on täsmälleen alkuperäisen yhtälön juuri. Mutta emme koskaan käyttäneet sitä tosiasiaa, että hän on ainoa. Siksi on välttämätöntä korvata parametrin \(a\) saadut arvot alkuperäiseen yhtälöön ja tarkistaa, minkä \(a\) juuri \(x=0\) todellakin on ainutlaatuinen.

1) Jos \(a=0\) , yhtälö on muodossa \(2x^2=0\) . Ilmeisesti tällä yhtälöllä on vain yksi juuri \(x=0\) . Siksi arvo \(a=0\) sopii meille.

2) Jos \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , yhtälö saa muodon \ Kirjoitamme yhtälön uudelleen muotoon \ Koska \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), Tuo \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Siksi yhtälön oikean puolen arvot (*) kuuluvat segmenttiin \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Koska \(x^2\geqslant 0\) , niin vasen puoli yhtälö (*) on suurempi tai yhtä suuri kuin \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Näin ollen yhtäläisyys (*) voi olla voimassa vain, kun yhtälön molemmat puolet ovat yhtä suuria kuin \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Ja tämä tarkoittaa sitä \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Siksi arvo \(a=-\mathrm(tg)\,1\) sopii meille.

Vastaus:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Tehtävä 2 #3923

Tehtävätaso: Vastaa yhtenäistä valtiontutkintoa

Etsi kaikki parametrin \(a\) arvot, joista jokaiselle funktion kaavio \

symmetrinen alkuperän suhteen.

Jos funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen, niin tällainen funktio on pariton, eli \(f(-x)=-f(x)\) täyttyy mille tahansa \(x\) funktion verkkotunnus. Siten on löydettävä ne parametriarvot, joille \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(tasattu) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(tasattu)\]

Viimeisen yhtälön on pädettävä kaikille \(x\) verkkotunnuksesta \(f(x)\) , joten \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Vastaus:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Tehtävä 3 #3069

Tehtävätaso: Vastaa yhtenäistä valtiontutkintoa

Etsi kaikki parametrin \(a\) arvot, joista jokaiselle yhtälöllä \ on 4 ratkaisua, missä \(f\) on parillinen jaksollinen funktio jaksolla \(T=\dfrac(16)3\) määritelty koko todelliselle riville , ja \(f(x)=ax^2\) for \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Tehtävä tilaajilta)

Koska \(f(x)\) on parillinen funktio, sen kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen, joten kun \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Siten klo \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), ja tämä on segmentti, jonka pituus on \(\dfrac(16)3\) , funktio \(f(x)=ax^2\) .

1) Olkoon \(a>0\) . Sitten funktion \(f(x)\) kaavio näyttää tältä:


Sitten, jotta yhtälöllä olisi 4 ratkaisua, on välttämätöntä, että graafi \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) kulkee pisteen \(A\) läpi:


Siten, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(koottu)\begin(tasattu) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a \end(tasattu) \end(koottu)\oikea. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(koottu)\begin(tasattu) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(tasattu) \end( kerätty)\oikea.\] Koska \(a>0\) , niin \(a=\dfrac(18)(23)\) on hyvä.

2) Olkoon \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Tarvitsemme kaavion \(g(x)\) kulkemaan pisteen \(B\) läpi: \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(koottu)\begin(tasattu) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(tasattu) \end(koottu)\oikea.\] Alkaen \(a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Tapaus, jossa \(a=0\) ei sovi, koska silloin \(f(x)=0\) kaikille \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) ja yhtälöllä on vain 1 juuri.

Vastaus:

\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

Tehtävä 4 #3072

Tehtävätaso: Vastaa yhtenäistä valtiontutkintoa

Etsi kaikki arvot \(a\) , joista jokaiselle yhtälö \

on vähintään yksi juuri.

(Tehtävä tilaajilta)

Kirjoitamme yhtälön uudelleen muotoon \ ja harkitse kahta funktiota: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) ja \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Funktio \(g(x)\) on parillinen, sen minimipiste on \(x=0\) (ja \(g(0)=49\) ).
Funktio \(f(x)\) funktiolle \(x>0\) pienenee ja funktiolle \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Itse asiassa \(x>0\) toinen moduuli laajenee positiivisesti (\(|x|=x\) ), joten riippumatta siitä, kuinka ensimmäinen moduuli laajenee, \(f(x)\) on yhtä suuri kuin \ ( kx+A\) , jossa \(A\) on lauseke kohdasta \(a\) ja \(k\) on joko \(-9\) tai \(-3\) . Kohdalle \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Etsi arvo \(f\) maksimipisteestä: \

Jotta yhtälöllä olisi ainakin yksi ratkaisu, on välttämätöntä, että funktioiden \(f\) ja \(g\) kaavioilla on vähintään yksi leikkauspiste. Siksi tarvitset: \ \\]

Vastaus:

\(a\in \(-7\)\kuppi\)

Tehtävä 5 #3912

Tehtävätaso: Vastaa yhtenäistä valtiontutkintoa

Etsi kaikki parametrin \(a\) arvot, joista jokaiselle yhtälö \

on kuusi erilaista ratkaisua.

Tehdään korvaus \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Sitten yhtälö saa muodon \ Kirjoitamme vähitellen ehdot, joilla alkuperäisellä yhtälöllä on kuusi ratkaisua.
Huomaa, että toisen asteen yhtälöllä \((*)\) voi olla enintään kaksi ratkaisua. Millä tahansa kuutioyhtälöllä \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) voi olla enintään kolme ratkaisua. Siksi, jos yhtälöllä \((*)\) on kaksi eri ratkaisua (positiivinen!, koska \(t\) on oltava suurempi kuin nolla) \(t_1\) ja \(t_2\) , silloin kun on tehty päinvastoin korvaaminen, saamme: \[\left[\begin(koottu)\begin(tasattu) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(tasattu)\loppu(koottu)\oikea.\] Koska mikä tahansa positiivinen luku voidaan esittää jossain määrin muodossa \(\sqrt2\), esimerkiksi \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), silloin joukon ensimmäinen yhtälö kirjoitetaan uudelleen muotoon \ Kuten olemme jo sanoneet, millä tahansa kuutioyhtälöllä on enintään kolme ratkaisua, joten jokaisella joukon yhtälöllä on enintään kolme ratkaisua. Tämä tarkoittaa, että koko sarjassa on enintään kuusi ratkaisua.
Tämä tarkoittaa, että jotta alkuperäisellä yhtälöllä olisi kuusi ratkaisua, toisen asteen yhtälöllä \((*)\) on oltava kaksi eri ratkaisua, ja jokaisella tuloksena olevalla kuutioyhtälöllä (joukosta) on oltava kolme eri ratkaisua (eikä yhtä yhden yhtälön ratkaisun tulee yhtyä sen kanssa - tai toisen päätöksellä!)
On selvää, että jos toisen asteen yhtälöllä \((*)\) on yksi ratkaisu, emme saa kuutta ratkaisua alkuperäiselle yhtälölle.

Näin ratkaisusuunnitelma tulee selväksi. Kirjoitetaan kohta kohdalta ehdot, jotka on täytettävä.

1) Jotta yhtälöllä \((*)\) olisi kaksi eri ratkaisua, sen erottimen on oltava positiivinen: \

2) Tarvitsemme myös molempien juurten olevan positiivisia (koska \(t>0\) ). Jos kahden juuren tulo on positiivinen ja niiden summa on positiivinen, juuret itse ovat positiivisia. Siksi tarvitset: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Näin ollen olemme jo hankkineet itsellemme kaksi erillistä positiivista juurta \(t_1\) ja \(t_2\) .

3) Katsotaanpa tätä yhtälöä \ Mihin \(t\) sillä on kolme erilaista ratkaisua?
Tarkastellaan funktiota \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Voidaan kertoa: \ Siksi sen nollat ​​ovat: \(x=-1;2\) .
Jos löydämme derivaatan \(f"(x)=3x^2-6x\) , saadaan kaksi ääripistettä \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Siksi kaavio näyttää tältä:


Näemme, että mikä tahansa vaakaviiva \(y=k\) , jossa \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) on kolme erilaista ratkaisua, on välttämätöntä, että \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Tarvitset siis: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Huomaa myös heti, että jos luvut \(t_1\) ja \(t_2\) ovat erilaisia, numerot \(\log_(\sqrt2)t_1\) ja \(\log_(\sqrt2)t_2\) olla erilaisia, joten yhtälöt \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) Ja \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) tulee olemaan erilaiset juuret.
\((**)\)-järjestelmä voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: \[\begin(cases) 1

Näin ollen olemme määrittäneet, että yhtälön \((*)\) molempien juurien on oltava välissä \((1;4)\) . Kuinka kirjoittaa tämä ehto?
Emme kirjoita nimenomaisesti juuria.
Tarkastellaan funktiota \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Sen kuvaaja on ylöspäin haaroittuva paraabeli, jolla on kaksi leikkauspistettä abskissa-akselin kanssa (kirjoitimme tämän ehdon kappaleessa 1)). Miltä sen kaavion pitäisi näyttää niin, että leikkauspisteet abskissa-akselin kanssa ovat välillä \((1;4)\) ? Niin:


Ensinnäkin funktion arvojen \(g(1)\) ja \(g(4)\) pisteissä \(1\) ja \(4\) on oltava positiivisia, ja toiseksi funktion kärkipisteen paraabelin \(t_0\ ) on myös oltava välissä \((1;4)\) . Siksi järjestelmä voidaan kirjoittaa: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) sisältää aina vähintään yhden juuren \(x=0\) . Joten ongelman ehdon täyttämiseksi on välttämätöntä, että yhtälö \

oli neljä erillistä nollasta poikkeavaa juuria, jotka edustavat yhdessä \(x=0\) kanssa aritmeettista progressiota.

Huomaa, että funktio \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) on parillinen, joten jos \(x_0\) on yhtälön \((*) juuri )\ ) , silloin \(-x_0\) on myös sen juuri. Sitten on välttämätöntä, että tämän yhtälön juuret ovat nousevassa järjestyksessä olevia numeroita: \(-2d, -d, d, 2d\) (sitten \(d>0\) ). Silloin nämä viisi numeroa muodostavat aritmeettisen progression (erolla \(d\) ).

Jotta nämä juuret olisivat lukuja \(-2d, -d, d, 2d\) , on välttämätöntä, että luvut \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) ovat yhtälö \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Sitten Vietan lauseella:

Kirjoitamme yhtälön uudelleen muotoon \ ja harkitse kahta funktiota: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) ja \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Funktiolla \(g(x)\) on maksimipiste \(x=0\) (ja \(g_(\teksti(ylä))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Nolladerivaata: \(x=0\) . Kohdalle \(x<0\) имеем: \(g">0\) , \(x>0\) : \(g"<0\) .
Funktio \(f(x)\) \(x>0\) kasvaa ja \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Itse asiassa \(x>0\) ensimmäinen moduuli laajenee positiivisesti (\(|x|=x\) ), joten riippumatta siitä, kuinka toinen moduuli laajenee, \(f(x)\) on yhtä suuri kuin \ ( kx+A\) , jossa \(A\) on lauseke kaavasta \(a\) ja \(k\) on joko \(13-10=3\) tai \(13+10=23\) . Kohdalle \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Etsitään arvo \(f\) minimipisteestä: \

Jotta yhtälöllä olisi ainakin yksi ratkaisu, on välttämätöntä, että funktioiden \(f\) ja \(g\) kaavioilla on vähintään yksi leikkauspiste. Siksi tarvitset: \ Ratkaisemalla tämän järjestelmäjoukon saamme vastauksen: \\]

Vastaus:

\(a\in \(-2\)\kuppi\)