Luulen, että ansaitset enemmän. Tässä on avaimeni trigonometriaan:

• Piirrä kupoli, seinä ja katto
• Trigonometriset funktiot ovat vain prosentteja näistä kolmesta muodosta.

Metafora sinille ja kosinille: kupoli

Sen sijaan, että katsoisit itse kolmioita, kuvittele ne toiminnassa etsimällä tietyn esimerkin tosielämästä.

Kuvittele, että olet keskellä kupolia ja haluat ripustaa elokuvaprojektorin valkokankaan. Osoitat sormella kupua jossain "x" kulmassa, ja siitä kohdasta tulee ripustaa näyttö.

Kulma, johon osoitat, määrittää:

• sini(x) = sin(x) = näytön korkeus (lattiasta kupoliin)
• kosini(x) = cos(x) = etäisyys sinusta ruutuun (kerroksen mukaan)
• hypotenuusa, etäisyys sinusta näytön yläreunaan, aina sama, yhtä suuri kuin kupolin säde

Haluatko näytön olevan mahdollisimman suuri? Ripusta se suoraan yläpuolellesi.

Haluatko näytön roikkuvan mahdollisimman kaukana sinusta? Ripusta se suoraan kohtisuoraan. Näytön korkeus on nolla tässä asennossa ja se roikkuu niin pitkälle kuin pyysit.

Korkeus ja etäisyys näytöstä ovat kääntäen verrannollisia: mitä lähempänä näyttö roikkuu, sitä korkeampi sen korkeus on.

Sini ja kosini ovat prosentteja

Kukaan opiskeluvuosinani ei valitettavasti selittänyt minulle, että trigonometriset funktiot sini ja kosini ovat vain prosentteja. Niiden arvot vaihtelevat +100 %:sta 0:sta -100 %:iin tai positiivisesta maksimista nollaan negatiiviseen maksimiin.

Oletetaan, että maksoin 14 ruplaa veroa. Et tiedä kuinka paljon se on. Mutta jos sanot, että maksoin 95% veroa, ymmärrät, että minut nyljettiin kuin tahmea.

Absoluuttinen korkeus ei tarkoita mitään. Mutta jos siniarvo on 0,95, ymmärrän, että televisio roikkuu melkein kupusi päällä. Hyvin pian se saavuttaa maksimikorkeutensa kupolin keskellä ja alkaa sitten laskea uudelleen.

Miten voimme laskea tämän prosentin? Hyvin yksinkertainen: jaa nykyinen näytön korkeus suurimmalla mahdollisella (kuvun säde, jota kutsutaan myös hypotenuusaksi).

Siksi meille kerrotaan, että "kosini = vastakkainen jalka / hypotenuusa". Tämä kaikki prosenttiosuuden saamiseksi! Paras tapa määritellä sini on "sen hetkisen korkeuden prosenttiosuus suurimmasta mahdollisesta". (Sinistä tulee negatiivinen, jos kulmasi osoittaa "maan alle". Kosinista tulee negatiivinen, jos kulma osoittaa takanasi olevaan kupolipisteeseen.)

Yksinkertaistetaan laskelmia olettamalla, että olemme yksikköympyrän (säde = 1) keskellä. Voimme ohittaa jaon ja ottaa vain sinin, joka on yhtä suuri kuin korkeus.

Jokainen ympyrä on pohjimmiltaan yksi ympyrä, joka on skaalattu ylös- tai alaspäin oikea koko. Joten määritä yksikköympyrän suhteet ja käytä tuloksia tiettyyn ympyrän kokoon.

Kokeilu: ota mikä tahansa kulma ja katso, kuinka suuri prosenttiosuus sen korkeudesta leveyteen näyttää:

Sinin arvon kasvukaavio ei ole vain suora. Ensimmäiset 45 astetta peittävät 70 % korkeudesta ja viimeiset 10 astetta (80° - 90°) vain 2 %.

Tämä selventää sinulle: jos kuljet ympyrää, 0 °:ssa nouset melkein pystysuoraan, mutta kun lähestyt kupolin yläosaa, korkeus muuttuu yhä vähemmän.

Tangentti ja sekantti. Seinä

Eräänä päivänä naapuri rakensi muurin oikea selkä vastakkain kupolillesi. Itki ikkunanäkymäsi ja hyvä jälleenmyyntihinta!

Mutta onko tässä tilanteessa mahdollista voittaa jotenkin?

Tietysti kyllä. Entä jos ripustaisimme elokuvakankaan suoraan naapurin seinälle? Tähtäät nurkkaan (x) ja saat:

• tan(x) = tan(x) = näytön korkeus seinällä
• etäisyys sinusta seinään: 1 (tämä on kupolisi säde, seinä ei liiku sinusta minnekään, eikö niin?)
• secant(x) = sec(x) = "tikkaat pituus" sinusta, joka seisot kupolin keskellä ripustetun näytön yläosaan

Selvennetään pari asiaa tangentista eli näytön korkeudesta.

• se alkaa nollasta ja voi nousta äärettömän korkeaksi. Voit venyttää näyttöä yhä korkeammalle seinällä saadaksesi vain loputtoman kankaan suosikkielokuvasi katseluun! (Tällaiseen valtavaan joudut tietysti käyttämään paljon rahaa).
• tangentti on vain sinin suurennettu versio! Ja vaikka sinin kasvu hidastuu, kun liikut kohti kupolin yläosaa, tangentti jatkaa kasvuaan!

Sekansulla on myös kerskumisen aihetta:

• sekantti alkaa 1:stä (tikkaat ovat lattialla, sinusta poispäin seinää kohti) ja alkaa nousta sieltä
• Sekantti on aina pidempi kuin tangentti. Kaltevien tikkaiden, joihin ripustat näytön, on oltava pidempiä kuin itse näyttö, eikö niin? (Epärealistisissa kooissa, kun näyttö on niin pitkä ja tikkaat on asetettava lähes pystysuoraan, niiden koot ovat melkein samat. Mutta silloinkin sekantti on hieman pidempi).

Muista, että arvot ovat prosenttia. Jos päätät ripustaa näytön 50 asteen kulmaan, tan(50)=1,19. Näyttösi on 19 % suurempi kuin etäisyys seinään (kuvun säde).

(Syötä x=0 ja testaa intuitiotasi - tan(0) = 0 ja sec(0) = 1.)

Kotangentti ja kosekantti. Katto

Uskomatonta, että naapurisi on nyt päättänyt rakentaa katon kupolisi päälle. (Mikä häntä vaivaa? Hän ei ilmeisesti halua sinun kurkistavan häntä, kun hän kävelee pihalla alasti...)

No, on aika rakentaa uloskäynti katolle ja puhua naapurin kanssa. Valitset kaltevuuskulman ja aloitat rakentamisen:

• katon ulostulon ja lattian välinen pystyetäisyys on aina 1 (kupolin säde)
• kotangentti(x) = cot(x) = etäisyys kupolin yläosan ja poistumispisteen välillä
• kosekantti(x) = csc(x) = polun pituus katolle

Tangentti ja sekantti kuvaavat seinää, kun taas kotangentti ja kosekantti kuvaavat lattiaa.

Tällä kertaa intuitiiviset johtopäätöksemme ovat samanlaisia ​​kuin edelliset:

• Jos otat kulman 0°, katolle pääsy kestää ikuisuuden, koska se ei koskaan saavuta kattoa. Ongelma.
• Lyhin "portaat" katolle saadaan, jos rakennat sen 90 asteen kulmaan lattiaan nähden. Kotangentti on yhtä suuri kuin 0 (emme liiku ollenkaan kattoa pitkin, poistumme tiukasti kohtisuorassa) ja kosekantti on yhtä suuri kuin 1 ("tikkaita" on minimaalinen).

Visualisoi yhteydet

Jos kaikki kolme koteloa piirretään kupoli-seinä-lattia-yhdistelmänä, saadaan seuraavaa:

Vau, se on kaikki sama kolmio, suurennettu kooltaan niin, että se ulottuu seinään ja kattoon. Meillä on pystysuorat sivut (sini, tangentti), vaakapuolet (kosini, kotangentti) ja “hypotenukset” (sekantti, kosekantti). (Nuolista näet kuinka pitkälle kukin elementti ulottuu. Kosekantti on kokonaisetäisyys sinusta kattoon).

Vähän magiaa. Kaikilla kolmioilla on samat yhtäläisyydet:

Pythagoraan lauseesta (a 2 + b 2 = c 2) nähdään, kuinka kunkin kolmion sivut ovat yhteydessä toisiinsa. Lisäksi korkeus-leveyssuhteiden on oltava samat kaikissa kolmioissa. (Astu vain takaisin suurimmasta kolmiosta pienempään. Kyllä, koko on muuttunut, mutta sivujen suhteet pysyvät samoina).

Kun tiedämme, mikä puoli kussakin kolmiossa on 1 (kuvun säde), voimme helposti laskea, että "sin/cos = tan/1".

Olen aina yrittänyt muistaa nämä tosiasiat yksinkertaisen visualisoinnin avulla. Kuvassa näet selvästi nämä riippuvuudet ja ymmärrät mistä ne tulevat. Tämä tekniikka on paljon parempi kuin kuivien kaavojen muistaminen.

Älä unohda muita kulmia

Shh… Ei tarvitse jäädä kiinni yhteen kuvaajaan, kun ajatellaan, että tangentti on aina pienempi kuin 1. Jos lisäät kulmaa, pääset kattoon saavuttamatta seinää:

Pythagoraan yhteydet toimivat aina, mutta suhteelliset koot voivat olla erilaisia.

(Olet luultavasti huomannut, että sinin ja kosinin suhde on aina pienin, koska ne ovat kupolin sisällä.)

Yhteenvetona: mitä meidän tulee muistaa?

Useimmille meistä sanoisin, että tämä riittää:

• trigonometria selittää matemaattisten kohteiden, kuten ympyröiden ja toistuvien intervallien, anatomian
• kupoli/seinä/katto-analogia näyttää yhteyden erilaisten välillä trigonometriset funktiot
• trigonometristen funktioiden tulos on prosenttiosuudet, joita käytämme skenaariossamme.

Sinun ei tarvitse opetella ulkoa kaavoja, kuten 1 2 + pinnasänky 2 = csc 2 . Ne soveltuvat vain tyhmiin testeihin, joissa faktatieto esitetään sen ymmärtämisenä. Piirrä puoliympyrä kupolin, seinän ja katon muodossa, allekirjoita elementit, ja kaikki kaavat pyydetään sinulle paperille.

Sovellus: Käänteisfunktiot

Mikä tahansa trigonometrinen funktio ottaa kulman syötteenä ja palauttaa tuloksen prosentteina. sin(30) = 0,5. Tämä tarkoittaa, että 30 asteen kulma vie 50 % enimmäiskorkeudesta.

Käänteinen trigonometrinen funktio kirjoitetaan sin -1 tai arcsin ("arksiini"). Se kirjoitetaan usein myös useilla ohjelmointikielillä.

Jos korkeutemme on 25 % kupolin korkeudesta, mikä on kulmamme?

Suhdetaulukostamme löydät suhteen, jossa sekantti jaetaan 1:llä. Esimerkiksi sekantti 1:llä (hypotenuusa vaakasuuntaan) on yhtä suuri kuin 1 jaettuna kosinilla:

Oletetaan, että sekanttimme on 3,5, ts. 350 % yksikköympyrän säteestä. Mitä kaltevuuskulmaa seinään nähden tämä arvo vastaa?

Liite: Muutamia esimerkkejä

Esimerkki: Etsi kulman x sini.

Tylsä tehtävä. Monimutkaistaan ​​banaalista "etsi sini" "Mikä on korkeus prosentteina maksimista (hypotenuusa)?".

Huomaa ensin, että kolmio on kierretty. Tässä ei ole mitään vikaa. Kolmiolla on myös korkeus, se näkyy kuvassa vihreällä.

Mitä hypotenuusa on yhtä suuri? Pythagoraan lauseen perusteella tiedämme, että:

3 2 + 4 2 = hypotenuusa 2 25 = hypotenuusa 2 5 = hypotenuusa

Hieno! Sini on prosenttiosuus korkeudesta kolmion pisimmästä sivusta eli hypotenuusasta. Esimerkissämme sini on 3/5 tai 0,60.

Voimme tietysti mennä monella tapaa. Nyt tiedämme, että sini on 0,60 ja voimme yksinkertaisesti löytää arcsinin:

Asin(0,6) = 36,9

Ja tässä on toinen lähestymistapa. Huomaa, että kolmio on "kasvotusten seinään", joten voimme käyttää tangenttia sinin sijaan. Korkeus on 3, etäisyys seinään 4, joten tangentti on ¾ tai 75%. Voimme käyttää arctangenttia siirtyäksemme prosentista takaisin kulmaan:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Esimerkki: Uidatko rantaan?

Olet veneessä ja sinulla on tarpeeksi polttoainetta 2 km purjehtimiseen. Olet nyt 0,25 km päässä rannikosta. Missä suurimmassa kulmassa rantaan nähden siihen voi uida niin, että polttoainetta riittää? Lisäys ongelman ehtoon: meillä on vain taulukko kaarikosinin arvoista.

Mitä meillä on? Rantaviivaa voidaan esittää "seinänä" kuuluisassa kolmiossamme ja seinään kiinnitettyjen "portaiden pituus" voidaan esittää suurimmaksi mahdolliseksi etäisyydeksi veneellä rantaan (2 km). Sekantti ilmestyy.

Ensin sinun on vaihdettava prosenttiosuuksiin. Meillä on 2 / 0,25 = 8, mikä tarkoittaa, että voimme uida 8 kertaa suoran matkan rantaan (tai seinään).

Herää kysymys "Mikä on sekantti 8?". Mutta emme voi antaa siihen vastausta, koska meillä on vain kaarikosineja.

Käytämme aiemmin johdettuja riippuvuuksiamme yhdistämään sekantti kosiniin: "sec/1 = 1/cos"

Sekans 8 yhtä suuri kuin kosini⅛. Kulma, jonka kosini on ⅛, on acos(1/8) = 82,8. Ja tämä on suurin kulma, johon meillä on varaa veneessä tietyllä polttoainemäärällä.

Ei paha, eikö? Ilman kupoli-seinä-katto -analogiaa olisin hämmentynyt joukossa kaavoja ja laskelmia. Ongelman visualisointi yksinkertaistaa huomattavasti ratkaisun etsimistä, ja lisäksi on mielenkiintoista nähdä, mikä trigonometrinen funktio lopulta auttaa.

Ajattele jokaisessa tehtävässä näin: olenko kiinnostunut kupusta (sin/cos), seinästä (tan/sec) vai katosta (pinnasänky/csc)?

Ja trigonometriasta tulee paljon miellyttävämpää. Helppoja laskelmia sinulle!

Aluksi sini ja kosini syntyivät tarpeesta laskea suuret suorakulmaisissa kolmioissa. Havaittiin, että jos suorakulmaisen kolmion kulmien astemitan arvoa ei muuteta, niin sivusuhde pysyy aina samana riippumatta siitä, kuinka paljon näiden sivujen pituus muuttuu.

Näin otettiin käyttöön käsitteet sini ja kosini. Sinus terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa tämä on vastakkaisen haaran suhde hypotenuusaan ja kosini on viereisen haaran suhde hypotenuusaan.

Kosinien ja sinien lauseet

Mutta kosinuksia ja sinejä voidaan käyttää paitsi suorakulmaisissa kolmioissa. Tylppän tai terävän kulman, minkä tahansa kolmion sivun arvon löytämiseksi riittää soveltaa kosini- ja sinilausetta.

Kosinilause on melko yksinkertainen: "Kolmion sivun neliö on yhtä suuri kuin summa kahden muun sivun neliöt miinus kaksi kertaa näiden sivujen tulo niiden välisen kulman kosinilla.

Sinilauseella on kaksi tulkintaa: pieni ja laajennettu. Pienen mukaan: "Kolmiossa kulmat ovat verrannollisia vastakkaisiin puoliin." Tätä lausetta laajennetaan usein kolmion ympärille rajatun ympyrän ominaisuuden vuoksi: "Kolmiossa kulmat ovat verrannollisia vastakkaisiin sivuihin ja niiden suhde on yhtä suuri kuin rajatun ympyrän halkaisija."

Johdannaiset

Derivaata on matemaattinen työkalu, joka näyttää, kuinka nopeasti funktio muuttuu suhteessa argumenttinsa muutokseen. Johdannaisia ​​käytetään geometriassa ja useilla teknisillä aloilla.

Kun ratkaiset tehtäviä, sinun on tiedettävä trigonometristen funktioiden derivaattojen taulukkoarvot: sini ja kosini. Sinin derivaatta on kosini, ja kosinin derivaatta on sini, mutta miinusmerkillä.

Sovellus matematiikassa

Erityisen usein sinejä ja kosineja käytetään suorakulmaisten kolmioiden ja niihin liittyvien ongelmien ratkaisemisessa.

Sinien ja kosinusten mukavuus näkyy myös tekniikassa. Kulmat ja sivut oli helppo arvioida kosini- ja sinilauseilla, murtamalla monimutkaisia ​​hahmoja ja esineet "yksinkertaisiksi" kolmioiksi. Insinöörit, jotka usein käsittelivät kuvasuhteiden ja astemittojen laskemista, käyttivät paljon aikaa ja vaivaa kosinien ja sinien laskemiseen ei-taulukkokulmien kanssa.

Sitten Bradis-taulukot tulivat apuun, jotka sisälsivät tuhansia sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien arvoja eri kulmat. SISÄÄN Neuvostoliiton aika Jotkut opettajat pakottivat osastonsa opettelemaan ulkoa Bradys-taulukoiden sivut.

Radiaani - kaaren kulma-arvo sädettä vastaavalla pituudella tai 57,295779513 ° astetta.

Aste (geometriassa) - ympyrän 1/360-osa tai 1/90-osa oikea kulma.

π = 3,141592653589793238462… (piin likimääräinen arvo).

Kosinitaulukko kulmille: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Kulma x (asteina)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Kulma x (radiaaneina)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3xπ/4	5xπ/6	π	7xπ/6	5xπ/4	4xπ/3	3xπ/2	5xπ/3	7xπ/4	11xπ/6	2xπ
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Tämä artikkeli on kerännyt sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien taulukot. Ensin annetaan taulukko trigonometristen funktioiden perusarvoista, eli taulukko kulmien 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 astetta sinistä, kosineista, tangenteista ja kotangenteista ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radiaani). Sen jälkeen annamme taulukon sinistä ja kosineista sekä V. M. Bradisin tangenttien ja kotangenttien taulukon ja näytämme, kuinka näitä taulukoita käytetään etsittäessä trigonometristen funktioiden arvoja.

Sivulla navigointi.

Sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien taulukko kulmille 0, 30, 45, 60, 90, ... astetta

Bibliografia.

• Algebra: Proc. 9 solulle. keskim. koulu / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra ja analyysin alku: Proc. 10-11 solulle. keskim. koulu - 3. painos - M.: Enlightenment, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra ja analyysin alku: Proc. 10-11 solulle. Yleissivistävä koulutus instituutiot / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn ja muut; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. painos - M.: Enlightenment, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille): Proc. korvaus.- M.; Korkeampi koulu, 1984.-351 s., ill.
• Bradis V.M. Nelinumeroiset matemaattiset taulukot: Yleissivistävälle koulutukselle. oppikirja laitokset. - 2. painos - M.: Bustard, 1999.- 96 s.: ill. ISBN 5-7107-2667-2

Yksi matematiikan haaroista, joiden kanssa koululaiset selviävät suurimmista vaikeuksista, on trigonometria. Ei ihme: tämän tietoalueen hallitsemiseksi vapaasti tarvitset spatiaalista ajattelua, kykyä löytää sinejä, kosineja, tangentteja, kotangentteja kaavoilla, yksinkertaistaa lausekkeita ja pystyä käyttämään numeroa pi laskelmissa. Lisäksi sinun tulee osata soveltaa trigonometriaa lauseiden todistamisessa, mikä edellyttää joko kehittynyttä matemaattista muistia tai kykyä päätellä monimutkaisia ​​loogisia ketjuja.

Trigonometrian alkuperä

Tutustuminen tähän tieteeseen tulisi aloittaa kulman sinin, kosinin ja tangentin määrittelyllä, mutta ensin sinun on selvitettävä, mitä trigonometria yleensä tekee.

Historiallisesti tämän osion tärkein tutkimuskohde matemaattinen tiede olivat suorakulmaisia ​​kolmioita. 90 asteen kulman läsnäolo mahdollistaa suorittamisen erilaisia ​​operaatioita, jonka avulla voidaan määrittää tarkasteltavana olevan kuvan kaikkien parametrien arvot kahdella sivulla ja yhdellä kulmalla tai kahdella kulmalla ja yhdellä sivulla. Aiemmin ihmiset huomasivat tämän kuvion ja alkoivat käyttää sitä aktiivisesti rakennusten rakentamisessa, navigoinnissa, tähtitiedossa ja jopa taiteessa.

Ensimmäinen taso

Aluksi ihmiset puhuivat kulmien ja sivujen suhteesta yksinomaan suorakulmaisten kolmioiden esimerkissä. Sitten löydettiin erityisiä kaavoja, jotka mahdollistivat käytön rajojen laajentamisen Jokapäiväinen elämä tämä matematiikan ala.

Trigonometrian opiskelu koulussa alkaa nykyään suorakulmaisilla kolmioilla, minkä jälkeen oppilaat käyttävät opiskelua fysiikassa ja abstraktien ongelmien ratkaisemisessa. trigonometriset yhtälöt, jonka kanssa työ alkaa lukiossa.

Pallomainen trigonometria

Myöhemmin, kun tiede saavutti seuraavan kehitystason, kaavoja, joissa on sini, kosini, tangentti, kotangentti, alettiin käyttää pallogeometriassa, jossa pätevät muut säännöt, ja kolmion kulmien summa on aina yli 180 astetta. Tätä osaa ei opeteta koulussa, mutta sen olemassaolosta on tiedettävä ainakin siksi maanpinta, ja minkä tahansa muun planeetan pinta on kupera, mikä tarkoittaa, että kaikki pinnan merkinnät ovat "kaaren muotoisia" kolmiulotteisessa avaruudessa.

Ota maapallo ja lanka. Kiinnitä lanka mihin tahansa kahteen maapallon pisteeseen niin, että se on kireällä. Kiinnitä huomiota - se on saanut kaaren muodon. Juuri tällaisilla muodoilla käsittelee pallogeometriaa, jota käytetään geodesiassa, tähtitiedessä ja muilla teoreettisilla ja soveltavilla aloilla.

Suorakulmainen kolmio

Kun olet oppinut hieman trigonometrian käyttötapoja, palataan perustrigonometriaan ymmärtääksemme paremmin, mitä sini, kosini, tangentti ovat, mitä laskelmia niiden avulla voidaan tehdä ja mitä kaavoja käyttää.

Ensimmäinen askel on ymmärtää suorakulmaiseen kolmioon liittyvät käsitteet. Ensinnäkin hypotenuusa on 90 asteen kulman vastainen puoli. Hän on pisin. Muistamme, että Pythagoraan lauseen mukaan sen numeerinen arvo yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summan juuri.

Esimerkiksi jos kaksi sivua ovat 3 ja 4 senttimetriä vastaavasti, hypotenuusan pituus on 5 senttimetriä. Muuten, muinaiset egyptiläiset tiesivät tästä noin neljä ja puoli tuhatta vuotta sitten.

Kahta jäljellä olevaa sivua, jotka muodostavat suoran kulman, kutsutaan jaloiksi. Lisäksi on muistettava, että kolmion kulmien summa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä on 180 astetta.

Määritelmä

Lopuksi, kun ymmärrämme geometrisen perustan, voimme siirtyä kulman sinin, kosinin ja tangentin määritelmään.

Kulman sini on vastakkaisen haaran (eli halutun kulman vastakkaisen sivun) suhde hypotenuusaan. Kulman kosini on viereisen jalan suhde hypotenuusaan.

Muista, ettei sini eikä kosini voi olla suurempi kuin yksi! Miksi? Koska hypotenuusa on oletuksena pisin, riippumatta siitä, kuinka pitkä jalka on, se on lyhyempi kuin hypotenuusa, mikä tarkoittaa, että niiden suhde on aina pienempi kuin yksi. Joten jos saat tehtävän vastauksessa sinin tai kosinin, jonka arvo on suurempi kuin 1, etsi virhettä laskelmissa tai päättelyssä. Tämä vastaus on selvästi väärä.

Lopuksi kulman tangentti on vastakkaisen sivun suhde viereiseen sivuun. Sama tulos antaa sinin jaon kosinilla. Katso: kaavan mukaan jaamme sivun pituuden hypotenuusalla, jonka jälkeen jaamme toisen sivun pituudella ja kerromme hypotenuusalla. Siten saamme saman suhteen kuin tangentin määritelmässä.

Kotangentti on kulman vieressä olevan sivun suhde vastakkaiseen sivuun. Saamme saman tuloksen jakamalla yksikön tangentilla.

Joten olemme pohtineet määritelmiä siitä, mitä sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat, ja voimme käsitellä kaavoja.

Yksinkertaisimmat kaavat

Trigonometriassa ei voi tulla ilman kaavoja - kuinka löytää sini, kosini, tangentti, kotangentti ilman niitä? Ja juuri tätä vaaditaan ongelmien ratkaisemisessa.

Ensimmäinen kaava, joka sinun tulee tietää aloittaessasi trigonometrian opiskelun, sanoo, että kulman sinin ja kosinin neliöiden summa on yhtä suuri kuin yksi. Tämä kaava on suora seuraus Pythagoraan lauseesta, mutta se säästää aikaa, jos haluat tietää kulman arvon, ei sivun.

Monet opiskelijat eivät muista toista kaavaa, joka on myös erittäin suosittu koulutehtävien ratkaisemisessa: ykkösen ja kulman tangentin neliön summa on yhtä suuri kuin yksi jaettuna kulman kosinin neliöllä. Katso tarkemmin: loppujen lopuksi tämä on sama väite kuin ensimmäisessä kaavassa, vain identiteetin molemmat puolet jaettiin kosinin neliöllä. Osoittautuu, että yksinkertainen matemaattinen operaatio toimii trigonometrinen kaava täysin tunnistamaton. Muista: kun tiedät, mikä sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat, muunnossäännöt ja muutama peruskaava, voit milloin tahansa itse johtaa tarvittavat lisätiedot monimutkaisia ​​kaavoja paperille.

Kaksoiskulmakaavat ja argumenttien lisääminen

Kaksi muuta kaavaa, jotka sinun on opittava, liittyvät kulmien summan ja eron sinin ja kosinin arvoihin. Ne on esitetty alla olevassa kuvassa. Huomaa, että ensimmäisessä tapauksessa sini ja kosini kerrotaan molemmat kertaa, ja toisessa lisätään sinin ja kosinin paritulo.

Kaksikulma-argumentteihin liittyy myös kaavoja. Ne ovat täysin johdettu edellisistä - käytännössä yritä saada ne itse ottamalla alfa-kulma yhtä suuri kuin kulma beeta.

Lopuksi huomaa, että kaksoiskulmakaavat voidaan muuntaa alentamaan sinin, kosinin ja tangentin alfa-astetta.

Lauseet

Perustrigonometrian kaksi päälausetta ovat sinilause ja kosinilause. Näiden lauseiden avulla voit helposti ymmärtää, kuinka löytää sini, kosini ja tangentti, ja siten kuvion pinta-ala ja kummankin sivun koko jne.

Sinilause sanoo, että jakamalla kolmion kunkin sivun pituus vastakkaisen kulman arvolla, saadaan sama luku. Lisäksi tämä luku on yhtä suuri kuin kaksi rajatun ympyrän sädettä, toisin sanoen ympyrää, joka sisältää kaikki annetun kolmion pisteet.

Kosinilause yleistää Pythagoraan lauseen projisoimalla sen mihin tahansa kolmioon. Osoittautuu, että vähennä kahden sivun neliöiden summasta niiden tulo kerrottuna niiden viereisen kulman kaksoiskosinuksella - tuloksena oleva arvo on yhtä suuri kuin kolmannen sivun neliö. Siten Pythagoraan lause osoittautuu kosinilauseen erikoistapaukseksi.

Virheitä huolimattomuudesta

Tietäenkin, mitä sini, kosini ja tangentti ovat, on helppo tehdä virhe hajamielisyyden tai yksinkertaisimpien laskelmien virheen vuoksi. Tällaisten virheiden välttämiseksi tutustutaan suosituimpiin niistä.

Ensinnäkin, sinun ei pitäisi muuntaa tavallisia murtolukuja desimaaleiksi ennen kuin lopputulos on saatu - voit jättää vastauksen muotoon murtoluku ellei ehto toisin mainita. Tällaista muutosta ei voida kutsua virheeksi, mutta on muistettava, että ongelman jokaisessa vaiheessa voi ilmaantua uusia juuria, joita kirjoittajan idean mukaan pitäisi vähentää. Tässä tapauksessa tuhlaat aikaa tarpeettomiin matemaattisiin operaatioihin. Tämä pätee erityisesti arvoihin, kuten kolmen tai kahden juureen, koska niitä esiintyy tehtävissä jokaisessa vaiheessa. Sama koskee "rumien" numeroiden pyöristämistä.

Huomaa lisäksi, että kosinilause pätee mihin tahansa kolmioon, mutta ei Pythagoraan lauseeseen! Jos unohdat vahingossa vähentää sivujen tulon kaksinkertaisena kerrottuna niiden välisen kulman kosinilla, et saa vain täysin väärää tulosta, vaan myös osoitat aiheen täydellisen väärinymmärryksen. Tämä on pahempaa kuin huolimaton virhe.

Kolmanneksi, älä sekoita 30 ja 60 asteen kulmien arvoja sineille, kosineille, tangenteille ja kotangenteille. Muista nämä arvot, koska 30 asteen sini on yhtä suuri kuin 60:n kosini ja päinvastoin. Ne on helppo sekoittaa, minkä seurauksena saat väistämättä virheellisen tuloksen.

Sovellus

Monilla opiskelijoilla ei ole kiirettä aloittaa trigonometrian opiskelu, koska he eivät ymmärrä sen soveltavaa merkitystä. Mikä on sini, kosini, tangentti insinöörille tai tähtitieteilijälle? Nämä ovat käsitteitä, joiden avulla voit laskea etäisyyden kaukaisiin tähtiin, ennustaa meteoriitin putoamisen, lähettää tutkimusluotaimen toiselle planeetalle. Ilman niitä on mahdotonta rakentaa rakennusta, suunnitella autoa, laskea pinnan kuormitusta tai kohteen liikerataa. Ja nämä ovat vain ilmeisimpiä esimerkkejä! Loppujen lopuksi trigonometriaa muodossa tai toisessa käytetään kaikkialla musiikista lääketieteeseen.

Lopulta

Olet siis sini, kosini, tangentti. Voit käyttää niitä laskelmissa ja ratkaista koulutehtäviä onnistuneesti.

Trigonometrian koko olemus tiivistyy siihen tosiasiaan, että tuntemattomat parametrit on laskettava kolmion tunnetuista parametreista. Parametreja on yhteensä kuusi: kolmen sivun pituudet ja kolmen kulman suuruudet. Koko ero tehtävien välillä on siinä, että syötetiedot annetaan eri tavalla.

Kuinka löytää sini, kosini, tangentti jalkojen tai hypotenuusan tunnettujen pituuksien perusteella, tiedät nyt. Koska nämä termit tarkoittavat vain suhdetta ja suhdeluku on murto-osa, trigonometrisen ongelman päätavoitteena on löytää tavallisen yhtälön tai yhtälöjärjestelmän juuret. Ja täällä sinua auttaa tavallinen koulumatematiikka.

Esimerkkejä:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Argumentti ja arvo

Terävän kulman kosini

Terävän kulman kosini voidaan määrittää käyttämällä suorakulmaista kolmiota - se on yhtä suuri kuin viereisen jalan suhde hypotenuusaan.

Esimerkki :

1) Olkoon kulma annettu ja sinun on määritettävä tämän kulman kosini.

2) Täydennetään mikä tahansa suorakulmainen kolmio tähän kulmaan.

3) Mitattuaan tarvittavat sivut voimme laskea kosinin.

Luvun kosini

Numeroympyrän avulla voit määrittää minkä tahansa luvun kosinin, mutta yleensä löytää lukujen kosinin, jotka liittyvät jotenkin seuraaviin: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Esimerkiksi luvun \(\frac(π)(6)\) kosini on yhtä suuri kuin \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . Ja luvulle \(-\)\(\frac(3π)(4)\) se on yhtä suuri kuin \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (noin \ (-0 ,71\)).

Kosini muille käytännössä usein tavallisille lukuille, katso.

Kosiniarvo on aina välillä \(-1\) ja \(1\). Tässä tapauksessa kosini voidaan laskea täysin mille tahansa kulmille ja numeroille.

Minkä tahansa kulman kosini

Kiitokset numero ympyrä on mahdollista määrittää ei vain terävän kulman, vaan myös tylpän, negatiivisen ja jopa suuremman kuin \ (360 ° \) kosini (täysi käännös). Kuinka tehdä se - on helpompi nähdä kerran kuin kuulla \(100\) kertaa, joten katso kuvaa.

Nyt selitys: olkoon tarpeen määrittää kulman kosini KOA astemitta \(150°\). Yhdistämme pointin NOIN ympyrän keskipisteen ja sivun kanssa OK- \(x\)-akselilla. Aseta sen jälkeen sivuun \ (150 ° \) vastapäivään. Sitten pisteen ordinaatat A näyttää meille tämän kulman kosinin.

Jos olemme kiinnostuneita kulmasta, jossa on astemitta, esimerkiksi \ (-60 ° \) (kulma KOV), teemme samoin, mutta \(60°\) laitetaan sivuun myötäpäivään.

Ja lopuksi, kulma on suurempi kuin \(360°\) (kulma KOS) - kaikki on samanlaista kuin tylsä, vasta täyden kierroksen jälkeen myötäpäivään siirrymme toiselle kierrokselle ja "saamme asteiden puutteen". Tarkemmin sanottuna meidän tapauksessamme kulma \(405°\) piirretään muodossa \(360° + 45°\).

On helppo arvata, että jos haluat asettaa kulman esimerkiksi \ (960 ° \\), sinun on tehtävä kaksi käännöstä (\ (360 ° + 360 ° + 240 ° \)) ja kulmaa varten \ (2640 ° \) - kokonaiset seitsemän.

Kuten voit korvata, sekä luvun kosini että mielivaltaisen kulman kosini määritellään lähes samalla tavalla. Vain tapa löytää piste ympyrältä muuttuu.

Kosinimerkit neljänneksissä

Käyttämällä kosiniakselia (eli kuvassa punaisella korostettua abskissa-akselia) on helppo määrittää kosinien merkit numeerista (trigonometristä) ympyrää pitkin:

Kun akselin arvot ovat \(0\) - \(1\), kosinissa on plusmerkki (I ja IV neljännekset ovat viheralueita),
- jos akselin arvot ovat \(0\) - \(-1\), kosinissa on miinusmerkki (II ja III neljännes - violetti alue).

Suhde muihin trigonometrisiin funktioihin:

- sama kulma (tai luku): perus trigonometrinen identiteetti\(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- sama kulma (tai luku): kaavalla \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- ja saman kulman (tai luvun) sini: \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
Katso muut yleisimmin käytetyt kaavat.

Yhtälön \(\cos⁡x=a\) ratkaisu

Yhtälön \(\cos⁡x=a\) ratkaisu, jossa \(a\) on luku, joka ei ole suurempi kuin \(1\) ja vähintään \(-1\) eli. \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Jos \(a>1\) tai \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Esimerkki . Ratkaise trigonometrinen yhtälö \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\).
Ratkaisu:

Ratkaise yhtälö numeroympyrän avulla. Tätä varten:
1) Rakennetaan akselit.
2) Rakennetaan ympyrä.
3) Merkitse kosiniakselille (akseli \(y\)) piste \(\frac(1)(2)\) .
4) Piirrä tämän pisteen kautta kohtisuora kosiniakseliin nähden.
5) Merkitse kohtisuoran ja ympyrän leikkauspisteet.
6) Allekirjoitetaan näiden pisteiden arvot: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Kirjoita muistiin kaikki näitä pisteitä vastaavat arvot kaavalla \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

Vastaus: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\)\(k∈Z\)

Funktio \(y=\cos(x)\)

Jos piirrämme kulmat radiaaneina \(x\)-akselille ja näitä kulmia vastaavat kosiniarvot \(y\)-akselille, saadaan seuraava kaavio:

Tätä kuvaajaa kutsutaan ja sillä on seuraavat ominaisuudet:

Määritelmäalue on mikä tahansa x:n arvo: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- arvoalue - \(-1\) - \(1\) mukaan lukien: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- parillinen: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- jaksollinen jaksolla \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- leikkauspisteet koordinaattiakselien kanssa:
abskissa: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), missä \(n ϵ Z\)
y-akseli: \((0;1)\)
- merkkivälit:
funktio on positiivinen aikaväleillä: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), jossa \(n ϵ Z\)
funktio on negatiivinen aikaväleillä: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), jossa \(n ϵ Z\)
- lisäys- ja laskuvälit:
funktio kasvaa aikaväleillä: \((π+2πn;2π+2πn)\), missä \(n ϵ Z\)
funktio pienenee aikaväleillä: \((2πn;π+2πn)\), missä \(n ϵ Z\)
- funktion maksimi ja minimi:
funktiolla on maksimiarvo \(y=1\) pisteissä \(x=2πn\), missä \(n ϵ Z\)
funktiolla on minimiarvo \(y=-1\) pisteissä \(x=π+2πn\), missä \(n ϵ Z\).