kulma avaruuden rivien välissä kutsumme mitä tahansa vierekkäiset kulmat, joka muodostuu kahdesta suorasta, jotka on vedetty tiedon kanssa yhdensuuntaisen mielivaltaisen pisteen läpi.

Annetaan kaksi suoraa avaruuteen:

On selvää, että viivojen välinen kulma φ voidaan ottaa niiden suuntavektorien ja :n väliseksi kulmaksi. Koska , Sitten vektorien välisen kulman kosinin kaavan mukaan saamme

Kahden suoran yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran ehdot vastaavat niiden suuntavektorien yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran ehtoja ja:

Kaksi suoraan ovat yhdensuuntaisia jos ja vain jos niiden vastaavat kertoimet ovat suhteellisia, ts. l 1 rinnakkais l 2 jos ja vain rinnakkain .

Kaksi suoraan kohtisuorassa jos ja vain jos vastaavien kertoimien tulojen summa on nolla: .

klo tavoite linjan ja tason välillä

Anna linjan d- ei kohtisuorassa tasoon θ nähden;
d′− suoran projektio d tasoon θ;
Pienin suorien viivojen välisistä kulmista d Ja d"soitamme linjan ja tason välinen kulma.
Merkitään se φ=( d,θ)
Jos d⊥θ , sitten ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− suorakulmainen koordinaattijärjestelmä.
Tasoyhtälö:

θ: Kirves+Tekijä:+cz+D=0

Oletetaan, että suora on annettu pisteellä ja suuntavektorilla: d[M 0,s→]
Vektori n→(A,B,C)⊥θ
Sitten on vielä selvitettävä vektorien välinen kulma n→ ja s→, merkitse se γ=( n→,s→).

Jos kulma γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Jos kulma γ>π/2 , niin vaadittu kulma φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Sitten, linjan ja tason välinen kulma voidaan laskea kaavalla:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√s 21+s 22+s 23

Kysymys 29. Neliömäisen muodon käsite. Kvadraattisten muotojen merkkimääräisyys.

Neliömuoto j (x 1, x 2, ..., x n) n todellista muuttujaa x 1, x 2, ..., x n kutsutaan muodon summaksi
, (1)

Missä aij joitain lukuja kutsutaan kertoimiksi. Yleisyyttä menettämättä voimme olettaa sen aij = a ji.

Kvadraattista muotoa kutsutaan pätevä, Jos aij О GR. Matriisi neliössä kutsutaan matriisiksi, joka koostuu sen kertoimista. Neliömuoto (1) vastaa ainutlaatuista symmetristä matriisia
eli A T = A. Siksi neliömuoto (1) voidaan kirjoittaa matriisimuotoon j ( X) = x T Ah, Missä x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Ja päinvastoin, mikä tahansa symmetrinen matriisi (2) vastaa ainutlaatuista neliömuotoa muuttujien merkintään asti.

Neliömuodon arvo kutsutaan sen matriisin arvoksi. Kvadraattista muotoa kutsutaan ei rappeutunut, jos sen matriisi on ei-yksikkö A. (muista, että matriisi A kutsutaan ei-degeneroituneeksi, jos sen determinantti on nollasta poikkeava). Muuten neliömuoto on rappeutunut.

positiivinen selvä(tai ehdottomasti positiivinen), jos

j ( X) > 0 , kenelle tahansa X = (X 1 , X 2 , …, x n), paitsi X = (0, 0, …, 0).

Matriisi A positiivinen tarkka neliömuoto j ( X) kutsutaan myös positiiviseksi definiitiksi. Siksi positiivinen tarkka neliömuoto vastaa ainutlaatuista positiivista tarkkaa matriisia ja päinvastoin.

Neliömuotoa (1) kutsutaan negatiivinen selvä(tai ehdottomasti negatiivinen), jos

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), paitsi X = (0, 0, …, 0).

Samoin kuin edellä, negatiivis-definiittinen neliömatriisi kutsutaan myös negatiiviseksi määrätyksi.

Siksi positiivisesti (negatiivisesti) määrätty neliömuoto j ( X) saavuttaa minimi (maksimi) arvon j ( X*) = 0 varten X* = (0, 0, …, 0).

Ota huomioon, että suurin osa kvadraattiset muodot eivät ole merkkimääräisiä, eli ne eivät ole positiivisia eivätkä negatiivisia. Tällaiset neliömuodot katoavat paitsi koordinaattijärjestelmän origossa, myös muissa pisteissä.

Kun n> 2, toisen asteen muodon merkkitarkkuuden tarkistamiseksi tarvitaan erityisiä kriteerejä. Harkitse niitä.

Suuret alaikäiset neliömuotoja kutsutaan alaikäisiksi:

eli nämä ovat alaikäisiä luokkaa 1, 2, …, n matriiseja A, joka sijaitsee vasemmassa yläkulmassa, viimeinen niistä on sama kuin matriisin determinantti A.

Positiivisen määrittelyn kriteeri (Sylvester-kriteeri)

X) = x T Ah on positiivinen määrätty, on välttämätöntä ja riittävää, että kaikki matriisin pääalaikäiset A olivat positiivisia, eli: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Negatiivisen varmuuden kriteeri Jotta neliömuoto j ( X) = x T Ah on negatiivinen määrätty, on välttämätöntä ja riittävää, että sen parillisen kertaluvun päämollit ovat positiivisia ja parittomat ovat negatiivisia, eli: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Voi-o-oi-oi-oi... no, se on tinaa, ikään kuin lukisi lauseen itsekseen =) Sitten rentoutuminen auttaa, varsinkin kun ostin tänään sopivat tarvikkeet. Jatketaan siksi ensimmäiseen osaan, toivon, että artikkelin loppuun mennessä säilytän iloisen tunnelman.

Kahden suoran keskinäinen järjestely

Tapaus, kun sali laulaa mukana kuorossa. Kaksi riviä voi:

1) ottelu;

2) olla yhdensuuntainen: ;

3) tai leikkaa yhdessä pisteessä: .

Apua nukkeille : Ole hyvä ja muista matemaattinen merkki risteyksessä, sitä tapahtuu hyvin usein. Syöte tarkoittaa, että suora leikkaa pisteen suoran.

Kuinka määrittää kahden viivan suhteellinen sijainti?

Aloitetaan ensimmäisestä tapauksesta:

Kaksi suoraa osuvat yhteen silloin ja vain, jos niiden vastaavat kertoimet ovat verrannollisia, eli on olemassa sellainen numero "lambda", että yhtäläisyydet

Tarkastellaan suoria viivoja ja laaditaan kolme yhtälöä vastaavista kertoimista: . Jokaisesta yhtälöstä seuraa, että nämä suorat ovat siis samat.

Todellakin, jos kaikki yhtälön kertoimet kerrotaan -1:llä (muutosmerkit) ja kaikki yhtälön kertoimet Vähennä 2:lla, saat saman yhtälön: .

Toinen tapaus, kun suorat ovat yhdensuuntaiset:

Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia ​​silloin ja vain, jos niiden kertoimet muuttujissa ovat verrannollisia: , Mutta.

Tarkastellaan esimerkiksi kahta suoraa. Tarkistamme muuttujien vastaavien kertoimien suhteellisuuden:

On kuitenkin selvää, että.

Ja kolmas tapaus, kun viivat leikkaavat:

Kaksi suoraa leikkaavat silloin ja vain, jos niiden muuttujien kertoimet EIVÄT ole verrannollisia, eli "lambdalla" EI ole sellaista arvoa, että yhtäläisyydet täyttyvät

Joten suorille viivoille muodostamme järjestelmän:

Ensimmäisestä yhtälöstä seuraa, että , ja toisesta yhtälöstä: , siis järjestelmä on epäjohdonmukainen(ei ratkaisuja). Näin ollen muuttujien kertoimet eivät ole verrannollisia.

Johtopäätös: viivat leikkaavat

SISÄÄN käytännön tehtäviä ah, voit käyttää juuri harkittua ratkaisumallia. Muuten, se on hyvin samanlainen kuin vektorien kollineaarisuuden tarkistamisalgoritmi, jota tarkastelimme oppitunnilla. Vektorien lineaarisen (ei) riippuvuuden käsite. Vektoripohjalta. Mutta on olemassa sivistyneempi paketti:

Esimerkki 1

Selvitä viivojen suhteellinen sijainti:

Ratkaisu perustuen suorien viivojen suuntavektorien tutkimukseen:

a) Yhtälöistä saadaan suorien suuntavektorit: .

, joten vektorit eivät ole kollineaarisia ja suorat leikkaavat.

Varmuuden vuoksi laitan risteykseen kiven osoittimilla:

Loput hyppäävät kiven yli ja seuraavat suoraan Kashchei the Deathlessiin =)

b) Etsi viivojen suuntavektorit:

Viivoilla on sama suuntavektori, mikä tarkoittaa, että ne ovat joko yhdensuuntaisia ​​tai samoja. Tässä determinanttia ei tarvita.

Ilmeisesti tuntemattomien kertoimet ovat verrannollisia, kun taas .

Selvitetään, onko tasa-arvo totta:

Täten,

c) Etsi viivojen suuntavektorit:

Lasketaan determinantti, joka koostuu näiden vektorien koordinaateista:
, siksi suuntavektorit ovat kollineaarisia. Viivat ovat joko yhdensuuntaisia ​​tai yhteneviä.

Suhteellisuustekijä "lambda" on helppo nähdä suoraan kollineaaristen suuntavektorien suhteesta. Se voidaan kuitenkin löytää myös itse yhtälöiden kertoimien kautta: .

Otetaan nyt selvää, onko tasa-arvo totta. Molemmat ilmaiset ehdot ovat nolla, joten:

Tuloksena oleva arvo täyttää tämän yhtälön (mikä tahansa luku yleensä täyttää sen).

Siten linjat osuvat yhteen.

Vastaus:

Hyvin pian opit (tai olet jo oppinut) ratkaisemaan harkitun ongelman sanallisesti kirjaimellisesti muutamassa sekunnissa. Tältä osin en näe mitään syytä tarjota jotain itsenäiselle ratkaisulle, on parempi laittaa yksi tärkeä tiili geometriseen perustaan:

Kuinka piirtää viiva yhdensuuntainen tietyn kanssa?

Tästä tietämättömyydestä yksinkertaisin tehtävä rankaisee ankarasti satakieli rosvoa.

Esimerkki 2

Suora saadaan yhtälöstä . Kirjoita yhtälö pisteen läpi kulkevalle yhdensuuntaiselle suoralle.

Ratkaisu: Merkitse tuntematon rivi kirjaimella . Mitä ehto sanoo siitä? Viiva kulkee pisteen läpi. Ja jos suorat ovat yhdensuuntaisia, on selvää, että suoran "ce" suuntausvektori sopii myös suoran "de" rakentamiseen.

Otamme suuntavektorin pois yhtälöstä:

Vastaus:

Esimerkin geometria näyttää yksinkertaiselta:

Analyyttinen todentaminen koostuu seuraavista vaiheista:

1) Tarkistamme, että viivoilla on sama suuntavektori (jos suoran yhtälöä ei ole yksinkertaistettu kunnolla, vektorit ovat kollineaarisia).

2) Tarkista, täyttääkö piste tuloksena olevan yhtälön.

Analyyttinen todentaminen on useimmissa tapauksissa helppo suorittaa suullisesti. Katso kahta yhtälöä ja monet teistä ymmärtävät nopeasti, kuinka yhdensuuntaiset viivat ovat ilman piirustusta.

Esimerkit itseratkaisusta tänään ovat luovia. Koska sinun on silti kilpailtava Baba Yagan kanssa, ja hän on kaikenlaisten arvoitusten rakastaja.

Esimerkki 3

Kirjoita yhtälö suoralle, joka kulkee suoran if kanssa yhdensuuntaisen pisteen kautta

On olemassa järkevä ja ei kovin järkevä tapa ratkaista. Suurin osa lyhyt leikkaus-tunnin lopussa.

Teimme vähän työtä rinnakkaisten linjojen kanssa ja palaamme niihin myöhemmin. Yhtäkkäisten viivojen tapaus ei kiinnosta, joten harkitse ongelmaa, joka on sinulle hyvin tuttu koulun opetussuunnitelma:

Kuinka löytää kahden suoran leikkauspiste?

Jos suoraan leikkaa pisteessä , niin sen koordinaatit ovat ratkaisu lineaariset yhtälöt

Kuinka löytää viivojen leikkauspiste? Ratkaise järjestelmä.

Tässä sinulle geometrinen tunne kaksi lineaariset yhtälöt kahden tuntemattoman kanssa ovat kaksi leikkaavaa (useimmiten) suoraa tasossa.

Esimerkki 4

Etsi viivojen leikkauspiste

Ratkaisu: On kaksi tapaa ratkaista - graafinen ja analyyttinen.

Graafinen tapa on yksinkertaisesti piirtää annetut viivat ja selvittää leikkauspiste suoraan piirroksesta:

Tässä on pointtimme: . Tarkistaaksesi, sinun tulee korvata sen koordinaatit jokaisessa suoran yhtälössä, niiden tulisi sopia sekä sinne että sinne. Toisin sanoen pisteen koordinaatit ovat järjestelmän ratkaisu. Itse asiassa harkitsimme graafista tapaa ratkaista lineaariset yhtälöt kahdella yhtälöllä, kahdella tuntemattomalla.

Graafinen menetelmä ei tietenkään ole huono, mutta siinä on havaittavia haittoja. Ei, pointti ei ole siinä, että seitsemäsluokkalaiset päättävät näin, vaan se, että oikean ja TARKAN piirustuksen tekeminen vie aikaa. Lisäksi jotkin viivat eivät ole niin helppoja rakentaa, ja itse leikkauspiste voi olla jossain 30. valtakunnassa muistikirjaarkin ulkopuolella.

Siksi on tarkoituksenmukaisempaa etsiä leikkauspiste analyyttinen menetelmä. Ratkaistaan ​​systeemi:

Järjestelmän ratkaisemiseen käytettiin yhtälöiden termittäistä yhteenlaskumenetelmää. Vieraile oppitunnilla kehittääksesi tarvittavia taitoja Kuinka ratkaista yhtälöjärjestelmä?

Vastaus:

Varmentaminen on triviaali - leikkauspisteen koordinaattien on täytettävä järjestelmän jokainen yhtälö.

Esimerkki 5

Etsi viivojen leikkauspiste, jos ne leikkaavat.

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Tehtävän voi kätevästi jakaa useaan vaiheeseen. Tilan analyysi viittaa siihen, että se on välttämätöntä:
1) Kirjoita suoran yhtälö.
2) Kirjoita suoran yhtälö.
3) Selvitä viivojen suhteellinen sijainti.
4) Jos suorat leikkaavat, etsi leikkauspiste.

Toiminta-algoritmin kehittäminen on tyypillistä monille geometrisille ongelmille, ja aion keskittyä tähän toistuvasti.

Täydellinen ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa:

Yksi kenkäpari ei ole vielä kulunut, kun pääsimme oppitunnin toiseen osaan:

Kohtisuorat viivat. Etäisyys pisteestä viivaan.
Viivojen välinen kulma

Aloitetaan tyypillisestä ja erittäin tärkeästä tehtävästä. Ensimmäisessä osassa opimme rakentamaan suoran yhdensuuntaisen linjan kanssa, ja nyt kananjalkojen kota kääntyy 90 astetta:

Kuinka piirtää viiva kohtisuoraan tiettyyn kohtaan?

Esimerkki 6

Suora saadaan yhtälöstä . Kirjoita yhtälö pisteen läpi kulkevalle kohtisuoralle suoralle.

Ratkaisu: Tiedetään olettaen, että . Olisi kiva löytää suoran suuntavektori. Koska viivat ovat kohtisuorassa, temppu on yksinkertainen:

Yhtälöstä "poistetaan" normaalivektori: , josta tulee suoran suuntausvektori.

Muodostamme suoran yhtälön pisteestä ja suuntavektorista:

Vastaus:

Avataan geometrinen luonnos:

Hmmm... Oranssi taivas, oranssi meri, oranssi kameli.

Liuoksen analyyttinen tarkastus:

1) Poimi suuntavektorit yhtälöistä ja avustuksella vektorien pistetulo päättelemme, että suorat ovat todellakin kohtisuorassa: .

Muuten, voit käyttää normaaleja vektoreita, se on vielä helpompaa.

2) Tarkista, täyttääkö piste tuloksena olevan yhtälön .

Vahvistus on jälleen helppo suorittaa suullisesti.

Esimerkki 7

Etsi kohtisuorien viivojen leikkauspiste, jos yhtälö tunnetaan ja piste.

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Tehtävässä on useita toimintoja, joten ratkaisu on kätevä järjestää piste kerrallaan.

Jännittävä matkamme jatkuu:

Etäisyys pisteestä linjaan

Edessämme on suora jokikaistale ja tehtävämme on saavuttaa se lyhintä tietä. Esteitä ei ole, ja optimaalinen reitti on liikkuminen kohtisuoraa pitkin. Eli etäisyys pisteestä suoraan on kohtisuoran segmentin pituus.

Geometrian etäisyys on perinteisesti merkitty kreikkalaisella kirjaimella "ro", esimerkiksi: - etäisyys pisteestä "em" suoraan "de".

Etäisyys pisteestä linjaan ilmaistaan ​​kaavalla

Esimerkki 8

Etsi pisteen ja suoran välinen etäisyys

Ratkaisu: sinun tarvitsee vain korvata numerot huolellisesti kaavaan ja tehdä laskelmat:

Vastaus:

Suoritetaan piirustus:

Pisteestä viivaan löydetty etäisyys on täsmälleen punaisen segmentin pituus. Jos teet piirroksen ruudulliselle paperille 1 yksikön mittakaavassa. \u003d 1 cm (2 solua), niin etäisyys voidaan mitata tavallisella viivaimella.

Harkitse toista tehtävää saman piirustuksen mukaan:

Tehtävänä on löytää pisteen koordinaatit, joka on pisteen suhteen symmetrinen suoran suhteen . Ehdotan toimintojen suorittamista itse, mutta hahmotan ratkaisualgoritmin välituloksilla:

1) Etsi suora, joka on kohtisuorassa suoraa vastaan.

2) Etsi viivojen leikkauspiste: .

Molempia toimintoja käsitellään yksityiskohtaisesti tässä oppitunnissa.

3) Piste on janan keskipiste. Tiedämme keskikohdan ja yhden pään koordinaatit. Tekijä: kaavat janan keskikohdan koordinaateille löytö .

Ei ole tarpeetonta tarkistaa, että etäisyys on myös 2,2 yksikköä.

Laskelmissa voi syntyä vaikeuksia, mutta tornissa mikrolaskin auttaa paljon, jolloin voit laskea yhteisiä murtolukuja. Olen neuvonut monta kertaa ja suosittelen uudelleen.

Kuinka löytää kahden yhdensuuntaisen suoran välinen etäisyys?

Esimerkki 9

Etsi kahden yhdensuuntaisen suoran välinen etäisyys

Tämä on toinen esimerkki itsenäisestä ratkaisusta. Pieni vihje: ratkaisutapoja on äärettömän monta. Selvitys oppitunnin lopussa, mutta parempi yrittää arvata itse, mielestäni onnistuit hajottamaan kekseliäisyytesi hyvin.

Kahden viivan välinen kulma

Mikä kulma tahansa, sitten jamb:


Geometriassa kahden suoran välinen kulma otetaan PIENEMMÄN kulmana, josta seuraa automaattisesti, että se ei voi olla tylppä. Kuvassa punaisen kaaren osoittamaa kulmaa ei pidetä leikkausviivojen välisenä kulmana. Ja sen "vihreä" naapuri tai vastakkaiseen suuntaan karmiininpunainen kulma.

Jos suorat ovat kohtisuorassa, mikä tahansa neljästä kulmasta voidaan ottaa niiden väliseksi kulmaksi.

Miten kulmat eroavat toisistaan? Suuntautuminen. Ensinnäkin kulman "vierityksen" suunta on olennaisen tärkeä. Toiseksi negatiivisesti suunnattu kulma kirjoitetaan miinusmerkillä, esimerkiksi jos .

Miksi sanoin tämän? Vaikuttaa siltä, ​​että pärjäät tavallisella kulman käsitteellä. Tosiasia on, että kaavoissa, joilla löydämme kulmat, voidaan helposti saada negatiivinen tulos, eikä tämän pitäisi yllättää sinua. Miinusmerkillä varustettu kulma ei ole huonompi, ja sillä on hyvin erityinen geometrinen merkitys. Negatiivisen kulman piirustuksessa on välttämätöntä osoittaa sen suunta (myötäpäivään) nuolella.

Kuinka löytää kahden viivan välinen kulma? Työkaavoja on kaksi:

Esimerkki 10

Etsi viivojen välinen kulma

Ratkaisu Ja Menetelmä yksi

Tarkastellaan kahta suoraa, jotka on annettu yhtälöillä in yleisnäkymä:

Jos suoraan ei kohtisuorassa, Tuo suuntautunut niiden välinen kulma voidaan laskea kaavalla:

Kiinnitämme huomiota nimittäjään - tämä on täsmälleen skalaarituote suorien viivojen suuntavektorit:

Jos , niin kaavan nimittäjä häviää, ja vektorit ovat ortogonaalisia ja linjat ovat kohtisuorassa. Tästä syystä muotoilussa olevien viivojen epäsuoraan kohdistamiseen tehtiin varaus.

Edellä olevan perusteella ratkaisu muotoillaan kätevästi kahdessa vaiheessa:

1) Laske suorien suuntausvektorien skalaaritulo:
joten viivat eivät ole kohtisuorassa.

2) Löydämme viivojen välisen kulman kaavalla:

Käyttämällä käänteinen funktio helppo löytää itse nurkka. Tässä tapauksessa käytämme arctangentin parittomuutta (katso kuva. Alkeisfunktioiden kuvaajat ja ominaisuudet):

Vastaus:

Ilmoita vastauksessa tarkka arvo, sekä likimääräinen arvo (mieluiten sekä asteina että radiaaneina), joka on laskettu laskimella.

No, miinus, niin miinus, ei hätää. Tässä on geometrinen kuva:

Ei ole yllättävää, että kulma osoittautui negatiiviseksi suuntaukseksi, koska tehtävän tilanteessa ensimmäinen numero on suora ja kulman "kiertyminen" alkoi juuri siitä.

Jos todella haluat saada positiivisen kulman, sinun on vaihdettava suorat viivat, eli otettava kertoimet toisesta yhtälöstä , ja ota kertoimet ensimmäisestä yhtälöstä . Lyhyesti sanottuna sinun on aloitettava suorasta .

Määritelmä. Jos kaksi suoraa annetaan y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , niin terävä kulma näiden rivien välissä määritellään

Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia, jos k 1 = k 2 . Kaksi suoraa ovat kohtisuorassa, jos k 1 = -1/ k 2 .

Lause. Suorat Ax + Vy + C \u003d 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ovat yhdensuuntaisia, kun kertoimet A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB ovat verrannollisia. Jos myös С 1 = λС, niin suorat osuvat yhteen. Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit löytyvät ratkaisuksi näiden suorien yhtälöjärjestelmään.

Läpi kulkevan suoran yhtälö annettu piste

Kohtisuorassa tähän linjaan nähden

Määritelmä. Suoraa, joka kulkee pisteen M 1 (x 1, y 1) läpi ja on kohtisuorassa suoraa y \u003d kx + b vastaan, esittää yhtälö:

Etäisyys pisteestä linjaan

Lause. Jos annetaan piste M(x 0, y 0), niin etäisyys linjaan Ax + Vy + C \u003d 0 määritellään seuraavasti

.

Todiste. Olkoon piste M 1 (x 1, y 1) pisteestä M annettuun suoraan pudotetun kohtisuoran kanta. Sitten pisteiden M ja M 1 välinen etäisyys:

(1)

Koordinaatit x 1 ja y 1 löytyvät ratkaisuna yhtälöjärjestelmään:

Järjestelmän toinen yhtälö on läpi kulkevan suoran yhtälö annettu piste M 0 on kohtisuorassa annettua suoraa vastaan. Jos muunnamme järjestelmän ensimmäisen yhtälön muotoon:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sitten ratkaisemalla saamme:

Korvaamalla nämä lausekkeet yhtälöön (1), löydämme:

Lause on todistettu.

Esimerkki. Määritä viivojen välinen kulma: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ = p /4.

Esimerkki. Osoita, että suorat 3x - 5y + 7 = 0 ja 10x + 6y - 3 = 0 ovat kohtisuorassa.

Ratkaisu. Löydämme: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, joten viivat ovat kohtisuorassa.

Esimerkki. Kolmion A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) kärjet on annettu. Etsi kärjestä C piirretty korkeuden yhtälö.

Ratkaisu. Löydämme sivun AB yhtälön: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3v + 3 = 0;

Haluttu korkeusyhtälö on: Ax + By + C = 0 tai y = kx + b. k = . Sitten y = . Koska korkeus kulkee pisteen C kautta, sitten sen koordinaatit täyttävät tämän yhtälön: jossa b = 17. Yhteensä: .

Vastaus: 3x + 2v - 34 = 0.

Tietyn pisteen kautta tiettyyn suuntaan kulkevan suoran yhtälö. Kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö. Kahden viivan välinen kulma. Kahden suoran yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran ehto. Kahden suoran leikkauspisteen määrittäminen

1. Tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö A(x 1 , y 1) tiettyyn suuntaan, kaltevuuden määräämä k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Tämä yhtälö määrittelee pisteen läpi kulkevien viivojen kynän A(x 1 , y 1), jota kutsutaan säteen keskipisteeksi.

2. Kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö: A(x 1 , y 1) ja B(x 2 , y 2) on kirjoitettu näin:

Kahden tietyn pisteen kautta kulkevan suoran kaltevuus määräytyy kaavalla

3. Kulma suorien viivojen välillä A Ja B on kulma, jonka verran ensimmäistä suoraa on käännettävä A näiden viivojen leikkauspisteen ympärillä vastapäivään, kunnes se osuu yhteen toisen viivan kanssa B. Jos kaksi suoraa annetaan kaltevuusyhtälöillä

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

sitten niiden välinen kulma määräytyy kaavan mukaan

On huomattava, että murto-osan osoittajassa ensimmäisen suoran kaltevuus vähennetään toisen suoran kulmasta.

Jos suoran yhtälöt annetaan yleisessä muodossa

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

niiden välinen kulma määräytyy kaavan mukaan

4. Kahden suoran yhdensuuntaisuuden ehdot:

a) Jos suorat on annettu yhtälöillä (4), joissa on kaltevuus, niin niiden yhdensuuntaisuuden välttämätön ja riittävä ehto on niiden kaltevuuden yhtäläisyys:

k 1 = k 2 . (8)

b) Siinä tapauksessa, että suorat on annettu yhtälöillä yleismuodossa (6), niiden yhdensuuntaisuuden välttämätön ja riittävä ehto on, että kertoimet vastaavissa virtakoordinaateissa niiden yhtälöissä ovat verrannollisia, ts.

5. Kahden suoran kohtisuoraisuuden ehdot:

a) Siinä tapauksessa, että suorat on annettu yhtälöillä (4), joissa on kaltevuus, niiden kohtisuoralle välttämätön ja riittävä ehto on, että niiden kulmakertoimet ovat suuruudeltaan käänteissuuntaisia ​​ja etumerkillisesti vastakkaisia, ts.

Tämä ehto voidaan kirjoittaa myös muotoon

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Jos suorien yhtälöt annetaan yleismuodossa (6), niin niiden kohtisuoraisuuden ehto (välttämätön ja riittävä) on yhtälön täyttyminen

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit löydetään ratkaisemalla yhtälöjärjestelmä (6). Suorat (6) leikkaavat jos ja vain jos

1. Kirjoita yhtälöt pisteen M läpi kulkeville suorille, joista toinen on yhdensuuntainen ja toinen on kohtisuorassa annettua suoraa l vastaan.

Tämä materiaali on omistettu sellaiselle käsitteelle kuin kahden leikkaavan suoran välinen kulma. Ensimmäisessä kappaleessa selitämme, mikä se on, ja näytämme sen kuvissa. Sitten analysoimme, kuinka voit löytää tämän kulman sinin, kosinin ja itse kulman (tarkastelemme erikseen tapauksia, joissa on taso ja kolmiulotteinen tila), annamme tarvittavat kaavat ja näytämme esimerkein, kuinka niitä tarkalleen sovelletaan käytännössä.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ymmärtääksemme, mikä on kahden suoran leikkauspisteeseen muodostunut kulma, meidän on muistettava kulman, kohtisuoran ja leikkauspisteen määritelmä.

Määritelmä 1

Kutsumme kahta suoraa leikkaaviksi, jos niillä on yksi yhteinen kohta. Tätä pistettä kutsutaan kahden suoran leikkauspisteeksi.

Jokainen suora on jaettu leikkauspisteen avulla säteiksi. Tässä tapauksessa molemmat viivat muodostavat 4 kulmaa, joista kaksi on pystysuoraa ja kaksi vierekkäistä. Jos tiedämme yhden niistä, voimme määrittää muut jäljellä olevat.

Oletetaan, että tiedämme, että yksi kulmista on yhtä suuri kuin α. Tällöin siihen nähden pystysuora kulma on myös yhtä suuri kuin α. Jäljelle jäävien kulmien löytämiseksi meidän on laskettava ero 180 ° - α . Jos α on 90 astetta, kaikki kulmat ovat oikeat. Suorassa kulmassa leikkaavia linjoja kutsutaan kohtisuoraksi (pystysuoran käsitteelle on omistettu erillinen artikkeli).

Katsokaa kuvaa:

Jatketaan päämääritelmän muotoiluun.

Määritelmä 2

Kahden leikkaavan suoran muodostama kulma on pienemmän neljästä kulmasta, jotka muodostavat nämä kaksi viivaa.

Määritelmästä on tehtävä tärkeä johtopäätös: kulman koko ilmaistaan ​​tässä tapauksessa millä tahansa reaaliluvulla välissä (0 , 90 ] . Jos suorat ovat kohtisuorassa, niiden välinen kulma on joka tapauksessa yhtä suuri kuin 90 astetta.

Kyky löytää kahden leikkaavan suoran välisen kulman mitta on hyödyllinen monien käytännön ongelmien ratkaisemisessa. Ratkaisumenetelmä voidaan valita useista vaihtoehdoista.

Ensinnäkin voimme ottaa geometriset menetelmät. Jos tiedämme jotain lisäkulmista, voimme yhdistää ne tarvitsemaamme kulmaan käyttämällä yhtäläisten tai samankaltaisten muotojen ominaisuuksia. Jos esimerkiksi tunnemme kolmion sivut ja meidän on laskettava kulma niiden viivojen välillä, joilla nämä sivut sijaitsevat, niin kosinilause sopii ratkaisuun. Jos olemme kunnossa suorakulmainen kolmio, niin laskelmia varten tarvitsemme myös tietoa kulman sinistä, kosinista ja tangentista.

Koordinaattimenetelmä on myös erittäin kätevä tämän tyyppisten ongelmien ratkaisemiseen. Selitetään kuinka sitä käytetään oikein.

Meillä on suorakaiteen muotoinen (Carteesinen) koordinaattijärjestelmä O x y, jossa on kaksi suoraa. Merkitään ne kirjaimilla a ja b. Tässä tapauksessa suoria viivoja voidaan kuvata millä tahansa yhtälöllä. Alkuperäisillä viivoilla on leikkauspiste M . Miten määritetään haluttu kulma (merkittään α) näiden viivojen välillä?

Aloitetaan kulman löytämisen perusperiaatteen muotoilulla tietyissä olosuhteissa.

Tiedämme, että sellaiset käsitteet kuin suuntaus ja normaalivektori liittyvät läheisesti suoran käsitteeseen. Jos meillä on jonkin suoran yhtälö, voimme ottaa siitä näiden vektorien koordinaatit. Voimme tehdä tämän kahdelle leikkaavalle suoralle kerralla.

Kahden leikkaavan suoran muodostama kulma voidaan löytää käyttämällä:

• suuntavektorien välinen kulma;
• normaalivektorien välinen kulma;
• yhden suoran normaalivektorin ja toisen suuntavektorin välinen kulma.

Tarkastellaan nyt jokaista menetelmää erikseen.

1. Oletetaan, että meillä on suora a, jonka suuntavektori on a → = (a x , a y) ja suora b, jonka suuntavektori on b → (b x , b y) . Laitetaan nyt sivuun kaksi vektoria a → ja b → leikkauspisteestä. Sen jälkeen näemme, että ne sijaitsevat kukin omalla linjallaan. Sitten meillä on heille neljä vaihtoehtoa suhteellinen sijainti. Katso kuva:

Jos kahden vektorin välinen kulma ei ole tylppä, niin se on kulma, jonka tarvitsemme leikkaavien viivojen a ja b välillä. Jos se on tylppä, niin haluttu kulma on yhtä suuri kuin kulman a → , b → ^ vieressä oleva kulma. Siten α = a → , b → ^ jos a → , b → ^ ≤ 90° ja α = 180° - a → , b → ^ jos a → , b → ^ > 90° .

Kosinuksista lähtien yhtäläiset kulmat ovat yhtä suuret, voimme kirjoittaa tuloksena saadut yhtäläisyydet uudelleen seuraavasti: cos α = cos a → , b → ^ jos a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ jos a → , b → ^ > 90° .

Toisessa tapauksessa käytettiin pelkistyskaavoja. Täten,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Kirjoitetaan viimeinen kaava sanoilla:

Määritelmä 3

Kahden leikkaavan suoran muodostaman kulman kosini on yhtä suuri kuin sen suuntavektorien välisen kulman kosinin moduuli.

Kahden vektorin a → = (a x, a y) ja b → = (b x, b y) välisen kulman kosinin kaavan yleinen muoto näyttää tältä:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Siitä voimme johtaa kaavan kahden annetun suoran välisen kulman kosinille:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Sitten itse kulma voidaan löytää seuraavalla kaavalla:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Tässä a → = (a x , a y) ja b → = (b x , b y) ovat annettujen viivojen suuntavektorit.

Otetaan esimerkki ongelman ratkaisemisesta.

Esimerkki 1

Suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tasolle on annettu kaksi leikkaavaa suoraa a ja b. Ne voidaan kuvata parametrisillä yhtälöillä x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R ja x 5 = y - 6 - 3 . Laske näiden viivojen välinen kulma.

Ratkaisu

Meillä on ehdossa parametrinen yhtälö, mikä tarkoittaa, että tälle suoralle voimme heti kirjoittaa muistiin sen suuntavektorin koordinaatit. Tätä varten meidän on otettava kertoimien arvot parametrista, ts. suoralla x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R on suuntavektori a → = (4 , 1) .

Toista suoraa kuvataan kanonisella yhtälöllä x 5 = y - 6 - 3 . Tässä voimme ottaa koordinaatit nimittäjistä. Siten tällä suoralla on suuntavektori b → = (5 , - 3) .

Seuraavaksi siirrymme suoraan kulman löytämiseen. Voit tehdä tämän yksinkertaisesti korvaamalla kahden vektorin käytettävissä olevat koordinaatit yllä olevaan kaavaan α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Saamme seuraavat:

α = a rc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Vastaus: Nämä viivat muodostavat 45 asteen kulman.

Voimme ratkaista samanlaisen ongelman etsimällä normaalivektorien välisen kulman. Jos meillä on suora a, jolla on normaalivektori n a → = (n a x , n a y) ja suora b, jolla on normaalivektori n b → = (n b x , n b y) , niin niiden välinen kulma on yhtä suuri kuin kulma n a → ja välillä. n b → tai kulma, joka tulee olemaan n a → , n b → ^ vieressä. Tämä menetelmä näkyy kuvassa:

Kaavat leikkausviivojen ja tämän kulman välisen kulman kosinin laskemiseksi käyttämällä normaalivektorien koordinaatteja, näyttävät tältä:

cos α = cos n a →, n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n x b y + n a n x 2 v 2

Tässä n a → ja n b → tarkoittavat kahden annetun suoran normaalivektoreita.

Esimerkki 2

Kaksi suoraa on annettu suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä yhtälöillä 3 x + 5 y - 30 = 0 ja x + 4 y - 17 = 0 . Etsi niiden välisen kulman sini, kosini ja itse kulman suuruus.

Ratkaisu

Alkuperäiset suorat on annettu normaaleilla suorayhtälöillä muotoa A x + B y + C = 0 . Merkitään normaalivektoria n → = (A , B) . Etsitään yhden suoran ensimmäisen normaalivektorin koordinaatit ja kirjoitetaan ne muistiin: n a → = (3 , 5) . Toiselle riville x + 4 y - 17 = 0 normaalivektorilla on koordinaatit n b → = (1 , 4) . Lisää nyt saadut arvot kaavaan ja laske kokonaissumma:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Jos tiedämme kulman kosinin, voimme laskea sen sinin peruskulman avulla trigonometrinen identiteetti. Koska suorien viivojen muodostama kulma α ei ole tylpä, niin sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

Tässä tapauksessa α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Vastaus: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Analysoidaan viimeinen tapaus - viivojen välisen kulman löytäminen, jos tiedämme yhden suoran suuntausvektorin ja toisen normaalivektorin koordinaatit.

Oletetaan, että suoralla a on suuntavektori a → = (a x , a y) ja suoralla b normaalivektori n b → = (n b x , n b y) . Meidän on lykättävä näitä vektoreita leikkauspisteestä ja harkittava kaikkia vaihtoehtoja niiden suhteelliselle sijainnille. Katso kuva:

Jos annettujen vektorien välinen kulma on enintään 90 astetta, käy ilmi, että se täydentää a:n ja b:n välistä kulmaa oikeaan kulmaan.

a → , n b → ^ = 90 ° - α , jos a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Jos se on alle 90 astetta, saamme seuraavan:

a → , n b → ^ > 90 ° , sitten a → , n b → ^ = 90 ° + α

Käytämme yhtäläisten kulmien kosinien yhtäläisyyden sääntöä:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α kun a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α kohdassa a → , n b → ^ > 90 ° .

Täten,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Tehdään johtopäätös.

Määritelmä 4

Kahden tasossa leikkaavan suoran välisen kulman sinin löytämiseksi sinun on laskettava ensimmäisen suoran suuntavektorin ja toisen normaalivektorin välisen kulman kosinin moduuli.

Kirjoitetaan tarvittavat kaavat. Kulman sinin löytäminen:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Itse kulman löytäminen:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Tässä a → on ensimmäisen rivin suuntavektori ja n b → on toisen rivin normaalivektori.

Esimerkki 3

Kaksi leikkaavaa suoraa saadaan yhtälöistä x - 5 = y - 6 3 ja x + 4 y - 17 = 0 . Etsi leikkauskulma.

Ratkaisu

Otetaan suunta- ja normaalivektorin koordinaatit annetuista yhtälöistä. Osoittautuu, että a → = (- 5, 3) ja n → b = (1, 4) . Otetaan kaava α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 ja tarkastellaan:

α = arc sin = -5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = arc sin 7 2 34

Huomaa, että otimme yhtälöt edellisestä tehtävästä ja saimme täsmälleen saman tuloksen, mutta eri tavalla.

Vastaus:α = a r c sin 7 2 34

Tässä on toinen tapa löytää haluttu kulma käyttämällä annettujen viivojen kaltevuuskertoimia.

Meillä on suora a , joka määritellään suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa yhtälöllä y = k 1 · x + b 1 , ja suora b , joka määritellään y = k 2 · x + b 2 . Nämä ovat yhtälöitä, joilla on kaltevuus. Käytä kaavaa löytääksesi leikkauskulman:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , missä k 1 ja k 2 ovat kaltevuustekijät annetut rivit. Tämän tietueen saamiseksi käytettiin kaavoja kulman määrittämiseksi normaalivektorien koordinaattien kautta.

Esimerkki 4

Tasossa leikkaa kaksi suoraa, jotka saadaan yhtälöistä y = - 3 5 x + 6 ja y = - 1 4 x + 17 4 . Laske leikkauskulma.

Ratkaisu

Linjojemme kaltevuus on yhtä suuri kuin k 1 = - 3 5 ja k 2 = - 1 4 . Lisätään ne kaavaan α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 ja lasketaan:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Vastaus:α = a r c cos 23 2 34

Tämän kappaleen päätelmissä on huomattava, että tässä annettuja kulman löytämiskaavoja ei tarvitse opetella ulkoa. Tätä varten riittää, että tietää annettujen suorien ohjainten ja/tai normaalivektorien koordinaatit ja osaa määrittää ne erilaisia ​​tyyppejä yhtälöt. Mutta kulman kosinin laskentakaavat on parempi muistaa tai kirjoittaa ylös.

Kuinka laskea avaruuden leikkaavien viivojen välinen kulma

Tällaisen kulman laskeminen voidaan supistaa suuntavektorien koordinaattien laskemiseen ja näiden vektoreiden muodostaman kulman suuruuden määrittämiseen. Tällaisissa esimerkeissä käytetään samoja argumentteja, jotka olemme antaneet aiemmin.

Oletetaan, että meillä on suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä, joka sijaitsee 3D-avaruudessa. Se sisältää kaksi suoraa a ja b leikkauspisteen M kanssa. Suuntavektoreiden koordinaattien laskemiseksi meidän on tiedettävä näiden viivojen yhtälöt. Merkitään suuntavektorit a → = (a x , a y , a z) ja b → = (b x , b y , b z) . Niiden välisen kulman kosinin laskemiseksi käytämme kaavaa:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Itse kulman löytämiseksi tarvitsemme tämän kaavan:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Esimerkki 5

Meillä on suora, joka on määritelty 3D-avaruudessa yhtälöllä x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Sen tiedetään leikkaavan O z -akselin kanssa. Laske leikkauskulma ja kulman kosini.

Ratkaisu

Merkitään laskettava kulma kirjaimella α. Kirjataan muistiin ensimmäisen suoran suuntavektorin koordinaatit - a → = (1 , - 3 , - 2) . Sovellusakselille voimme ottaa koordinaattivektorin k → = (0 , 0 , 1) ohjeeksi. Olemme saaneet tarvittavat tiedot ja voimme lisätä ne haluttuun kaavaan:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Tuloksena saimme, että tarvitsemamme kulma on a r c cos 1 2 = 45 °.

Vastaus: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Jokaisen matematiikan tenttiin valmistautuvan opiskelijan on hyödyllistä toistaa aihe "Viivojen välisen kulman löytäminen". Kuten tilastot osoittavat, tämän stereometrian osan tehtävät aiheuttavat vaikeuksia sertifiointitestin läpäisyssä suuri numero opiskelijat. Samalla suorien viivojen välisen kulman löytämistä vaativia tehtäviä löytyy USE:sta sekä perus- että profiilitasolta. Tämä tarkoittaa, että jokaisen pitäisi pystyä ratkaisemaan ne.

Perushetkiä

Avaruudessa on 4 eri tyyppistä rivien keskinäistä järjestelyä. Ne voivat olla samansuuntaisia, leikkaavia, olla yhdensuuntaisia ​​tai leikkaavia. Niiden välinen kulma voi olla terävä tai suora.

Viivojen välisen kulman löytämiseksi Unified State Examinationissa tai esimerkiksi ratkaisussa Moskovan ja muiden kaupunkien koululaiset voivat käyttää useita menetelmiä ongelmien ratkaisemiseen tässä stereometrian osassa. Voit suorittaa tehtävän klassisilla rakenteilla. Tätä varten kannattaa opetella stereometrian perusaksioomit ja -lauseet. Opiskelijan tulee osata loogisesti rakentaa päättelyä ja tehdä piirustuksia saadakseen tehtävän planimetriseen ongelmaan.

Voit myös käyttää vektorikoordinaattimenetelmää käyttämällä yksinkertaisia ​​kaavoja, sääntöjä ja algoritmeja. Tärkeintä tässä tapauksessa on suorittaa kaikki laskelmat oikein. Shkolkovon koulutusprojekti auttaa sinua hiomaan taitojasi stereometrian ja muiden koulukurssin osien ongelmien ratkaisussa.