Tässä artikkelissa analysoimme kaikentyyppisiä ongelmia löytääksemme

Muistetaan geometrinen tunne johdannainen: jos tangentti piirretään funktion kuvaajaan pisteessä, niin tangentin kaltevuus (sama kuin tangentin ja akselin positiivisen suunnan välisen kulman tangentti) on yhtä suuri kuin funktion derivaatta kohdassa pointti.

Ota mielivaltainen piste tangentista koordinaatteineen:

Ja harkitse suorakulmaista kolmiota:

Tässä kolmiossa

Täältä

Tämä on funktion kuvaajaan piirretyn tangentin yhtälö pisteessä.

Tangentin yhtälön kirjoittamiseksi meidän tarvitsee vain tietää funktion yhtälö ja piste, johon tangentti piirretään. Sitten voimme löytää ja .

Tangenttiyhtälöiden ongelmia on kolme päätyyppiä.

1. Yhteyspiste

2. Annettu tangentin jyrkkyyskerroin eli funktion derivaatan arvo pisteessä.

3. Annettu sen pisteen koordinaatit, jonka kautta tangentti piirretään, mutta joka ei ole tangenttipiste.

Katsotaanpa jokaisen tyyppistä ongelmaa.

1 . Kirjoita tangentin yhtälö funktion kuvaajaan pisteessä .

.

b) Etsi derivaatan arvo pisteestä . Ensin löydämme funktion derivaatan

Korvaa löydetyt arvot tangenttiyhtälöön:

Avataan yhtälön oikealla puolella olevat sulut. Saamme:

Vastaus: .

2. Etsi niiden pisteiden abskissat, joissa funktiot tangentit kuvaajaa yhdensuuntainen x-akselin kanssa.

Jos tangentti on yhdensuuntainen x-akselin kanssa, niin tangentin ja akselin positiivisen suunnan välinen kulma on nolla, joten tangentin kulmakertoimen tangentti on nolla. Siis funktion derivaatan arvo kosketuspisteissä on nolla.

a) Etsi funktion derivaatta .

b) Yhdistä derivaatta nollaan ja etsi arvot, joissa tangentti on yhdensuuntainen akselin kanssa:

Yhdistämme jokaisen tekijän nollaan, saamme:

Vastaus: 0;3;5

3. Kirjoita funktion kuvaajaan tangenttien yhtälöt , rinnakkain suoraan .

Tangentti on yhdensuuntainen suoran kanssa. Tämän suoran kaltevuus on -1. Koska tangentti on yhdensuuntainen tämän suoran kanssa, tangentin kaltevuus on myös -1. Tuo on tiedämme tangentin kaltevuuden, ja näin johdannaisen arvo kosketuspisteessä.

Tämä on toisen tyyppinen ongelma tangenttiyhtälön löytämiseksi.

Joten meille annetaan funktio ja derivaatan arvo kosketuspisteessä.

a) Etsi pisteet, joissa funktion derivaatta on yhtä suuri kuin -1.

Etsitään ensin derivaatan yhtälö.

Yhdistätään derivaatta numeroon -1.

Etsi funktion arvo pisteestä .

(ehdon mukaan)

.

b) Etsi funktion kuvaajan tangentin yhtälö pisteessä .

Etsi funktion arvo pisteestä .

(ehdon mukaan).

Korvaa nämä arvot tangenttiyhtälöön:

.

Vastaus:

4. Kirjoita yhtälö käyrän tangentille , kulkee pisteen läpi

Tarkista ensin, ettei piste ole kosketuspiste. Jos piste on tangenttipiste, niin se kuuluu funktion kuvaajaan ja sen koordinaattien on täytettävä funktion yhtälö. Korvaa pisteen koordinaatit funktion yhtälössä.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} negatiivinen luku, yhtälö ei ole totta, eikä piste kuulu funktion kuvaajaan, ja ei ole kontaktipiste.

Tämä on viimeinen ongelmatyyppi tangenttiyhtälön löytämiseksi. Ensimmäinen asia meidän on löydettävä kosketuspisteen abskissa.

Etsitään arvo.

Olkoon kosketuspiste. Piste kuuluu funktion kuvaajan tangenttiin. Jos korvaamme tämän pisteen koordinaatit tangenttiyhtälöön, saadaan oikea yhtälö:

.

Funktion arvo pisteessä on .

Etsi funktion derivaatan arvo pisteestä .

Etsitään ensin funktion derivaatta. Tämä .

Derivaata pisteessä on .

Korvataan lausekkeet tangentin yhtälöön ja siihen. Saamme yhtälön:

Ratkaistaan ​​tämä yhtälö.

Pienennä murtoluvun osoittajaa ja nimittäjää kahdella:

Tuodaan oikea puoli yhtälöt yhteiseksi nimittäjäksi. Saamme:

Yksinkertaista murtoluvun osoittaja ja kerro molemmat osat - tämä lauseke on ehdottomasti suurempi kuin nolla.

Saamme yhtälön

Ratkaistaan ​​se. Tätä varten neliöimme molemmat osat ja siirrymme järjestelmään.

Title="delim(lbrace)(matriisi(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Ratkaistaan ​​ensimmäinen yhtälö.

Me päätämme toisen asteen yhtälö, saamme

Toinen juuri ei täytä ehtoa title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Kirjoitetaan käyrän tangentin yhtälö pisteeseen . Tätä varten korvaamme yhtälön arvon Olemme jo äänittäneet sen.

Vastaus:
.

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joita voidaan käyttää tunnistamiseen tietty henkilö tai yhteyttä häneen.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
• Ajoittain voimme käyttää henkilökohtaisia ​​tietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestejä.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Tarvittaessa - lain, oikeusjärjestyksen mukaisesti, oikeudenkäynneissä ja/tai julkisten pyyntöjen tai pyyntöjen perusteella valtion virastot Venäjän federaation alueella - paljasta henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muiden yleisen edun vuoksi.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Suojelemme varotoimia – mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset – henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Suora y = f(x) on tangentti kuvassa näkyvälle kuvaajalle pisteessä x0 edellyttäen, että se kulkee annettu piste koordinaateilla (x0; f (x0)) ja sen kaltevuus f "(x0). Tämän kertoimen löytäminen tangentin ominaisuudet huomioon ottaen ei ole vaikeaa.

Tarvitset

• - matemaattinen hakuteos;
• - muistikirja;
• - yksinkertainen lyijykynä;
• - kynä;
• - astelevy;
• - pyöreä.

Ohje

• Huomaa, että differentioituvan funktion f(x) kuvaaja pisteessä x0 ei eroa tangenttisegmentistä. Siksi se on tarpeeksi lähellä janaa l, joka kulkee pisteiden (х0; f(х0)) ja (х0+Δx; f(x0 + Δx)) kautta. Jos haluat määrittää pisteen A läpi kulkevan suoran kertoimilla (x0; f(x0)), määritä sen kaltevuus. Samanaikaisesti se on yhtä suuri kuin sekanttitangentin Δy/Δx (Δх→0), ja pyrkii myös numeroon f’(x0).
• Jos f’(x0)-arvoja ei ole, tangenttia ei ehkä ole tai se kulkee pystysuunnassa. Tämän perusteella funktion derivaatan olemassaolo pisteessä x0 selittyy ei-pystysuoran tangentin olemassaololla, joka on kosketuksessa funktion kuvaajaan pisteessä (x0, f(x0)). Tässä tapauksessa tangentin kaltevuus on yhtä suuri kuin f "(x0). Derivaatan geometrinen merkitys selviää, eli tangentin kulmakertoimen laskenta.
• Toisin sanoen tangentin kaltevuuden löytämiseksi sinun on löydettävä funktion derivaatan arvo kosketuspisteessä. Esimerkki: etsi funktion y \u003d x³ kaavion tangentin kaltevuus pisteessä, jossa on abskissa X0 \u003d 1. Ratkaisu: Etsi tämän funktion derivaatta y΄ (x) \u003d 3x²; etsi derivaatan arvo pisteestä X0 = 1. y΄(1) = 3 × 1² = 3. Kaltevuus tangentti pisteessä X0 = 1 on 3.
• Piirrä kuvaan lisätangentit siten, että ne ovat kosketuksessa funktion kuvaajaan seuraavissa pisteissä: x1, x2 ja x3. Merkitse näiden tangenttien muodostamat kulmat abskissa-akselilla (kulma mitataan positiivisessa suunnassa - akselilta tangenttiviivaan). Esimerkiksi ensimmäinen kulma α1 on terävä, toinen (α2) on tylppä ja kolmas (α3) on yhtä suuri kuin nolla, koska piirretty tangenttiviiva on yhdensuuntainen OX-akselin kanssa. Tässä tapauksessa tylpän kulman tangentti on negatiivinen arvo ja tangentti terävä kulma on positiivinen kohdassa tg0 ja tulos on nolla.

Tarvitset

• - matemaattinen hakuteos;
• - muistikirja;
• - yksinkertainen lyijykynä;
• - kynä;
• - astelevy;
• - pyöreä.

Ohje

Huomaa, että differentioituvan funktion f(x) kuvaaja pisteessä x0 ei eroa tangenttisegmentistä. Siksi se on tarpeeksi lähellä janaa l, joka kulkee pisteiden (х0; f(х0)) ja (х0+Δx; f(x0 + Δx)) kautta. Jos haluat määrittää pisteen A läpi kulkevan suoran kertoimilla (x0; f(x0)), määritä sen kaltevuus. Samanaikaisesti se on yhtä suuri kuin sekanttitangentin Δy/Δx (Δх→0), ja pyrkii myös numeroon f’(x0).

Jos f’(x0)-arvoja ei ole, tangenttia ei ole tai se kulkee pystysuunnassa. Tämän perusteella funktion derivaatta pisteessä x0 selittyy ei-pystysuoran tangentin olemassaololla, joka on kosketuksessa funktion kuvaajaan pisteessä (x0, f(x0)). Tässä tapauksessa tangentin kaltevuus on yhtä suuri kuin f "(x0). Geometrinen derivaatta tulee selväksi, eli tangentin kaltevuus.

Toisin sanoen tangentin kaltevuuden löytämiseksi sinun on löydettävä funktion derivaatan arvo kosketuspisteessä. Esimerkki: etsi funktion y \u003d x³ tangentin kaltevuus pisteessä, jossa on abskissa X0 \u003d 1. Ratkaisu: Etsi tämän funktion derivaatta y΄ (x) \u003d 3x2; selvitä derivaatan arvo pisteessä X0 = 1. y΄(1) = 3 × 1² = 3. Tangentin kaltevuus pisteessä X0 = 3.

Piirrä kuvaan lisätangentit siten, että ne ovat kosketuksissa funktion kuvaajaan pisteissä: x1, x2 ja x3. Merkitse näiden tangenttien muodostamat kulmat abskissa-akselilla (kulma mitataan positiivisessa suunnassa - akselilta tangenttiviivaan). Esimerkiksi kulma α1 on terävä, kun taas (α2) on tylppä ja kolmas (α3) on yhtä suuri kuin nolla, koska piirretty tangenttiviiva on yhdensuuntainen OX-akselin kanssa. Tässä tapauksessa tylpän kulman tangentti on negatiivinen arvo ja terävän kulman tangentti on positiivinen kohdassa tg0 ja tulos on nolla.

Tietyn ympyrän tangentti on suora, jolla on vain yksi yhteinen kohta tämän ympyrän kanssa. Ympyrän tangentti on aina kohtisuorassa sen säteeseen nähden, joka on vedetty kosketuspisteeseen. Jos kaksi tangenttia vedetään samasta pisteestä, joka ei kuulu ympyrään, etäisyydet tästä pisteestä kosketuspisteisiin ovat aina samat. Tangentit ympyrät rakennetaan eri tavoilla riippuen niiden sijainnista suhteessa toisiinsa.

Ohje

Yhden ympyrän tangentin rakentaminen.
1. Muodostetaan ympyrä, jonka säde on R ja otetaan A, jonka läpi tangentti kulkee.
2. Rakennetaan ympyrä, jonka keskipiste on janan OA keskellä ja jonka säteet ovat yhtä suuria kuin tämä jana.
3. Kahden tangentin leikkauspisteet, jotka on vedetty pisteen A kautta tiettyyn ympyrään.

Ulkoinen tangentti kahdelle ympyrät.

2. Piirretään ympyrä, jonka säde on R - r ja jonka keskipiste on pisteessä O.
3. Tuloksena olevaan ympyrään piirretään tangentti pisteestä O1, tangenttipiste merkitään M:llä.
4. Säde R, joka kulkee pisteen M kautta pisteeseen T - ympyrän tangenttipiste.
5. Pienen ympyrän keskipisteen O1 läpi piirretään säde r, joka on yhdensuuntainen suuren ympyrän R:n kanssa. Säde r osoittaa pisteeseen T1, pienen ympyrän tangenttipisteeseen.
ympyrät.

Sisäinen tangentti kahteen ympyrät.
1. Muodostetaan kaksi ympyrää, joiden säde on R ja r.
2. Piirrä ympyrä, jonka säde on R + r ja jonka keskipiste on pisteessä O.
3. Tuloksena olevaan ympyrään piirretään tangentti pisteestä O1, tangenttipiste merkitään kirjaimella M.
4. Säde OM leikkaa ensimmäisen ympyrän pisteessä T - suuren ympyrän kosketuspisteessä.
5. Säteen OM suuntaisen pienen ympyrän keskipisteen O1 läpi piirretään säde r. Säde r osoittaa pisteeseen T1, pienen ympyrän tangenttipisteeseen.
6. Suora TT1 - tangentti annettua ympyrät.

Lähteet:

• sisäinen tangentti

Kulmikas vaatekaappi- ihanteellinen asunnon tyhjiin kulmiin. Lisäksi kulman kokoonpano vaatekaappi ov antaa sisustukseen klassisen tunnelman. Kulman viimeistelynä vaatekaappi ov mitä tahansa tähän tarkoitukseen sopivaa materiaalia voidaan käyttää.

Tarvitset

• Kuitulevy, MDF, ruuvit, naulat, sahanterä, friisi.

Ohje

Leikkaa vanerista tai kuitulevystä malli, jonka leveys on 125 mm ja pituus 1065 mm. Reunat on leikattava 45 asteen kulmassa. Valmiin mallin mukaan määritä sivuseinien mitat sekä paikka, jossa se sijoitetaan vaatekaappi.

Liitä kansi sivuseiniin ja kolmiohyllyihin. Kansi on kiinnitettävä ruuveilla sivuseinien yläreunoihin. Rakenteellisen lujuuden vuoksi käytetään lisäksi liimaa. Kiinnitä hyllyt lankkuihin.

Kallista sahanterää 45 asteen kulmassa ja viisto sivuseinien etureuna terälevyä pitkin. Kiinnitä kiinteät hyllyt MDF-levyihin. Kiinnitä sivuseinät ruuveilla. Varmista, ettei siinä ole aukkoja.

Tee seinään merkit, joiden väliin aseta kulman kehys vaatekaappi A. Kiinnitä ruuveilla vaatekaappi seinään. Tapin pituuden tulee olla 75 mm.

Leikkaa etukehys irti kiinteästä MDF-levystä. Leikkaa siihen aukot pyörösahalla viivaimella. Viimeistele kulmat.

Etsi kosketuspisteen abskissan arvo, joka on merkitty kirjaimella "a". Jos se osuu yhteen annetun tangentin pisteen kanssa, "a" on sen x-koordinaatti. Määritä arvo toimintoja f(a), korvaamalla yhtälön toimintoja abskissan koko.

Määritä yhtälön ensimmäinen derivaatta toimintoja f'(x) ja korvaa siihen pisteen "a" arvo.

Ota yleinen yhtälö tangentti, joka määritellään y \u003d f (a) \u003d f (a) (x - a), ja korvaa löydetyt arvot​a, f (a), f "(a). Kuten tuloksena graafin ja tangentin ratkaisu löytyy.

Ratkaise tehtävä eri tavalla, jos annettu tangenttipiste ei ole sama kuin tangenttipiste. Tässä tapauksessa tangenttiyhtälön numeroiden sijaan on korvattava "a". Korvaa sen jälkeen kirjainten "x" ja "y" sijasta koordinaattien arvo annettu piste. Ratkaise tuloksena oleva yhtälö, jossa "a" on tuntematon. Laita saatu arvo tangenttiyhtälöön.

Kirjoita yhtälö tangentille, jossa on kirjain "a", jos yhtälö on annettu tehtävän ehdossa toimintoja ja yhdensuuntaisen suoran yhtälö suhteessa haluttuun tangenttiin. Sen jälkeen tarvitset johdannaisen toimintoja pisteen "a" koordinaatille. Liitä oikea arvo tangenttiyhtälöön ja ratkaise funktio.

Kun laaditaan funktion kaavion tangentin yhtälö, käytetään käsitettä "tangenttipisteen abskissa". Tämä arvo voidaan asettaa aluksi ongelman olosuhteissa tai se on määritettävä itsenäisesti.

Ohje

Piirrä x- ja y-koordinaattiakselit paperiarkille. Tutki annettua yhtälöä funktion kuvaajalle. Jos se on , niin kaksi parametrin y arvoa riittää mille tahansa x:lle, sitten piirrä löydetyt pisteet koordinaattiakselille ja yhdistä ne suoralla. Jos kuvaaja on epälineaarinen, tee taulukko y:n riippuvuudesta x:stä ja valitse piirtämiseen vähintään viisi pistettä.

Määritä tangentin pisteen abskissan arvo tapaukselle, jossa määritetty tangenttipiste ei ole sama kuin funktion kuvaaja. Asetamme kolmannen parametrin kirjaimella "a".

Kirjoita muistiin funktion f(a) yhtälö. Voit tehdä tämän korvaamalla alkuperäisen yhtälön x:n sijaan. Etsi funktion f(x) ja f(a) derivaatta. Korvaa tarvittavat tiedot yleiseen tangenttiyhtälöön, joka näyttää tältä: y \u003d f (a) + f "(a) (x - a). Tuloksena saadaan yhtälö, joka koostuu kolmesta tuntemattomasta parametrista.

Korvaa siihen x:n ja y:n sijasta sen pisteen koordinaatit, jonka kautta tangentti kulkee. Etsi sitten tuloksena olevan yhtälön ratkaisu kaikille a. Jos se on neliö, kosketuspisteen abskissalla on kaksi arvoa. Tämä tarkoittaa, että tangentti kulkee kahdesti lähellä funktion kuvaajaa.

piirrä kaavio annettu toiminto ja , jotka annetaan ongelman tilan mukaan. Tässä tapauksessa on myös tarpeen asettaa tuntematon parametri a ja korvata se yhtälöllä f(a). Yhdistä derivaatta f(a) rinnakkaisviivayhtälön derivaatan kanssa. Tämä jättää kahden rinnakkaisuuden ehdon. Etsi tuloksena olevan yhtälön juuret, jotka ovat kosketuspisteen abskissoja.

Suora y \u003d f (x) on tangentti kuvassa näkyvälle kuvaajalle pisteessä x0, jos se kulkee koordinaattipisteen (x0; f (x0)) läpi ja sen kaltevuus on f "(x0). Etsi. tällainen kerroin, kun tiedetään tangentin ominaisuudet, ei ole vaikeaa.

Tarvitset

• - matemaattinen hakuteos;
• - yksinkertainen lyijykynä;
• - muistikirja;
• - astelevy;
• - kompassi;
• - kynä.

Ohje

Jos arvoa f’(x0) ei ole olemassa, joko tangenttia ei ole tai se kulkee pystysuunnassa. Tämän huomioon ottaen funktion derivaatan esiintyminen pisteessä x0 johtuu ei-pystysuoran tangentin olemassaolosta, joka on kosketuksessa funktion kuvaajaan pisteessä (x0, f(x0)). Tässä tapauksessa tangentin kaltevuus on yhtä suuri kuin f "(x0). Näin ollen derivaatan geometrinen merkitys tulee selväksi - tangentin kaltevuuden laskenta.

Määrittele yhteinen. Tällaisia ​​tietoja saa väestölaskennan tiedoista. Kokonaissyntyneiden, kuolleiden, avioliittojen ja avioerojen määrittämiseksi sinun on löydettävä kokonaisväestön ja arvioidun ajanjakson tulo. Kirjoita tuloksena oleva luku nimittäjään.

Laita osoittajaan haluttua suhteellista vastaava osoitin. Jos esimerkiksi sinun on määritettävä kokonaishedelmällisyysluku, osoittajan sijasta tulisi olla numero, joka heijastaa kaikki yhteensä syntynyt sinua kiinnostavana ajanjaksona. Jos tavoitteesi on kuolleisuus- tai avioliittoluku, laita kuolleiden määrä osoittajan tilalle. laskutuskausi tai naimisissa olevien ihmisten lukumäärästä.

Kerro tuloksena saatu luku 1000:lla. Tämä on etsimäsi kokonaiskerroin. Jos sinulla on tehtävänä löytää kokonaiskasvu, vähennä kuolleisuus syntyvyydestä.

Liittyvät videot

Lähteet:

• Yleiset elintärkeät hinnat

Poistotehokkuuden pääindikaattori on kerroin jakelu. Se lasketaan kaavan mukaan: Co/Sw, jossa Co on uutetun aineen pitoisuus orgaanisessa liuottimessa (uuttoaine) ja Sw on saman aineen pitoisuus vedessä tasapainon saavuttamisen jälkeen. Kuinka voit löytää jakautumiskertoimen kokeellisesti?

Harkitse seuraavaa kuvaa:

Se näyttää jonkin funktion y = f(x), joka on differentioituva pisteessä a. Merkitty piste M koordinaateilla (a; f(a)). Kuvaajan mielivaltaisen pisteen P(a + ∆x; f(a + ∆x)) kautta piirretään sekantti MP.

Jos nyt piste P siirretään kuvaajaa pitkin pisteeseen M, niin suora MP pyörii pisteen M ympäri. Tässä tapauksessa ∆x pyrkii nollaan. Tästä voimme muotoilla funktion kaavion tangentin määritelmän.

Funktiokaavion tangentti

Funktion kaavion tangentti on sekantin rajakohta, kun argumentin inkrementti pyrkii nollaan. On ymmärrettävä, että funktion f derivaatan olemassaolo pisteessä x0 tarkoittaa, että tässä kaavion kohdassa on tangentti hänelle.

Tässä tapauksessa tangentin kaltevuus on yhtä suuri kuin tämän funktion derivaatta tässä pisteessä f’(x0). Tämä on derivaatan geometrinen merkitys. Pisteessä x0 differentioituvan funktion f kaavion tangentti on jokin pisteen (x0;f(x0)) läpi kulkeva suora, jonka kulmakerroin on f’(x0).

Tangenttiyhtälö

Yritetään saada jonkin funktion f kuvaajan tangentin yhtälö pisteessä A(x0; f(x0)). Suoran ja kaltevuuden k yhtälöllä on seuraava muoto:

Koska kulmakertoimemme on yhtä suuri kuin derivaatta f'(x0), yhtälö saa seuraavan muodon: y = f'(x0)*x + b.

Lasketaan nyt b:n arvo. Tätä varten käytämme sitä tosiasiaa, että funktio kulkee pisteen A kautta.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, tästä ilmaisemme b ja saamme b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Korvaamme saadun arvon tangenttiyhtälöön:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

Harkitse seuraavaa esimerkkiä: etsi funktion f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 kaavion tangentin yhtälö pisteestä x \u003d 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Korvaa saadut arvot tangenttikaavaan, saamme: y = 1 + 4*(x - 2). Avaamalla sulut ja tuomalla samanlaiset termit, saamme: y = 4*x - 7.

Vastaus: y = 4*x - 7.

Yleinen kaavio tangenttiyhtälön laatimiseksi funktion y = f(x) kuvaajaan:

1. Määritä x0.

2. Laske f(x0).

3. Laske f'(x)