Kun piirrämme funktiota, on tärkeää määritellä kuperat intervallit ja käännepisteet. Tarvitsemme niitä pienentyvien ja kasvavien välien kanssa funktion selkeään esitykseen graafisessa muodossa.

Tämän aiheen ymmärtäminen edellyttää, että tiedetään mikä funktion derivaatta on ja kuinka se lasketaan johonkin järjestykseen, sekä kykyä ratkaista eri tyyppejä epätasa-arvoa.

Artikkelin alussa määritellään tärkeimmät käsitteet. Sitten näytämme, mikä suhde on konveksisuuden suunnan ja toisen derivaatan arvon välillä tietyllä aikavälillä. Seuraavaksi osoitamme ehdot, joilla graafin käännepisteet voidaan määrittää. Kaikki perustelut havainnollistetaan esimerkkien avulla ongelmanratkaisuista.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Määritelmä 1

Alaspäin tietyllä aikavälillä siinä tapauksessa, että sen kuvaaja ei ole alempana kuin sen tangentti tämän aikavälin missään kohdassa.

Määritelmä 2

Differentioituva funktio on kupera ylöspäin tietyllä aikavälillä, jos tämän funktion kuvaaja ei sijaitse tämän välin missään kohdassa sen tangentin yläpuolella.

Alaspäin kuperaa funktiota voidaan kutsua myös koveraksi. Molemmat määritelmät näkyvät selvästi alla olevassa kaaviossa:

Määritelmä 3

Toiminnon käännepiste on piste M (x 0 ; f (x 0)), jossa funktion kuvaajalla on tangentti, edellyttäen että derivaatta on pisteen x 0 läheisyydessä, missä vasemmalta ja oikea puoli funktion kuvaaja ottaa eri suuntiin kuperaa.

Yksinkertaisesti sanottuna käännepiste on kuvaajan paikka, jossa on tangentti, ja graafin kuperuuden suunta tämän paikan läpi kulkiessaan muuttaa kuperuuden suuntaa. Jos et muista, millä ehdoilla pystysuoran ja ei-pystytangentin olemassaolo on mahdollista, suosittelemme toistamaan osan funktion kaavion tangentista pisteessä.

Alla on kaavio funktiosta, jossa on useita käännepisteitä korostettuna punaisella. Selvennetään, että käännepisteiden läsnäolo ei ole pakollista. Yhden funktion kaaviossa voi olla yksi, kaksi, useita, äärettömän monta tai ei yhtään.

Tässä osiossa puhumme lauseesta, jolla voit määrittää tietyn funktion kaavion kuperavälit.

Määritelmä 4

Funktion kuvaajalla on konveksius suunnassa alas- tai ylöspäin, jos vastaavalla funktiolla y = f (x) on toinen äärellinen derivaatta määritellyllä välillä x, edellyttäen, että epäyhtälö f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f "" (x) ≤ 0 ∀) x on tosi.

Tämän lauseen avulla voit löytää koveruuden ja kuperuuden välit mistä tahansa funktion kaaviosta. Tätä varten sinun tarvitsee vain ratkaista epäyhtälöt f "" (x) ≥ 0 ja f "" (x) ≤ 0 vastaavan funktion alueella.

Selvennetään, että ne pisteet, joissa toista derivaattia ei ole olemassa, mutta funktio y = f (x) on määritelty, sisällytetään konveksiteetti- ja koveruusväleihin.

Katsotaanpa esimerkkiä tietystä ongelmasta, kuinka tätä lausetta sovelletaan oikein.

Esimerkki 1

Kunto: annettu funktio y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . Määritä, millä aikaväleillä sen kaaviolla on kupera ja koveruus.

Ratkaisu

Tämän funktion toimialue on koko joukko reaalilukuja. Aloitetaan laskemalla toinen derivaatta.

y "= x 3 6 - x 2 + 3 x - 1" = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y "" = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

Näemme, että toisen derivaatan alue osui yhteen itse funktion toimialueen kanssa, joten konveksiteettivälien tunnistamiseksi meidän on ratkaistava epäyhtälöt f "" (x) ≥ 0 ja f "" (x) ≤ 0 .

y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

Saimme sen aikataulun annettu toiminto segmentissä on kovera [2; + ∞) ja janan kupera (- ∞ ; 2 ] ).

Selvyyden vuoksi piirretään funktiosta kuvaaja ja merkitään siihen kupera osa sinisellä ja kovera osa punaisella.

Vastaus: annetun funktion kuvaajalla on koveruus segmentissä [2; + ∞) ja janan kupera (- ∞ ; 2 ] ).

Mutta mitä tehdä, jos toisen derivaatan toimialue ei ole sama kuin funktion toimialue? Tässä yllä oleva huomautus on meille hyödyllinen: ne kohdat, joissa lopullista toista derivataa ei ole olemassa, sisällytetään myös koveruuden ja konveksisuuden segmentteihin.

Esimerkki 2

Kunto: annettu funktio y = 8 x x - 1 . Määritä, millä aikaväleillä sen kuvaaja on kovera ja millä välein se on kupera.

Ratkaisu

Selvitetään ensin toiminnon laajuus.

x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)

Nyt laskemme toisen derivaatan:

y "= 8 x x - 1" = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2" = - 4 1 x x x - 1 2 - 4 = 1 (x - 1 - 1) x - 1 2 - x + 1 1 2 x (x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 (x - 1) 3

Toisen derivaatan alue on joukko x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) . Näemme, että x yhtä suuri kuin nolla on alkuperäisen funktion alueella, mutta ei toisen derivaatan alueella. Tämä piste on sisällytettävä koveruuden tai kuperuuden segmenttiin.

Sen jälkeen täytyy ratkaista epäyhtälöt f "" (x) ≥ 0 ja f "" (x) ≤ 0 annetun funktion alueella. Käytämme tähän intervallimenetelmää: x \u003d - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 tai x \u003d - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 osoittaja 2 (3 x 2 + 6 x - 1) x 1 2 3 3 x - on yhtä suuri kuin on, x1 3 x - nolla tai yksi.

Laitetaan tuloksena saadut pisteet kuvaajalle ja määritetään lausekkeen etumerkki kaikille alkuperäisen funktion alueeseen sisältyville intervalleille. Kaaviossa tämä alue on merkitty viivoitettuna. Jos arvo on positiivinen, merkitse väli plussalla, jos negatiivinen, niin miinuksella.

Siten,

f "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) ja f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)

Kytkemme päälle aiemmin merkityn pisteen x = 0 ja saamme halutun vastauksen. Alkuperäisen funktion kaaviossa on alaspäin pullistuma kohdassa 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) ja ylöspäin x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Piirretään kuvaaja, jossa kupera osa on merkitty sinisellä ja kovera punaisella. Pystyasymptootti on merkitty mustalla katkoviivalla.

Vastaus: Alkuperäisen funktion kaaviossa on alaspäin pullistuma kohdassa 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) ja ylöspäin x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Taivutusehdot funktiokaaviolle

Aloitetaan jonkin funktion kaavion taivutuksen välttämättömän ehdon muotoilulla.

Määritelmä 5

Oletetaan, että meillä on funktio y = f(x), jonka kaaviossa on käännepiste. Kun x = x 0, sillä on jatkuva toinen derivaatta, joten yhtälö f "" (x 0) = 0 pätee.

Ottaen huomioon tämä ehto, meidän pitäisi etsiä käännepisteitä niiden joukosta, joissa toinen derivaatta menee 0:aan. Tämä ehto ei riitä: kaikki sellaiset kohdat eivät sovi meille.

Huomaa myös, että mukaan yhteinen määritelmä, tarvitsemme tangenttiviivan, pystysuoran tai ei-pystysuoran. Käytännössä tämä tarkoittaa, että käännepisteiden löytämiseksi tulee ottaa ne, joissa tämän funktion toinen derivaatta on 0. Siksi käännepisteiden abskissojen löytämiseksi meidän on otettava kaikki x 0 funktion alueelta, missä lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ ja lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ . Useimmiten nämä ovat pisteitä, joissa ensimmäisen derivaatan nimittäjä muuttuu 0:ksi.

Ensimmäinen riittävä ehto funktiograafin käännepisteen olemassaololle

Olemme löytäneet kaikki x 0 -arvot, jotka voidaan ottaa käännepisteiden abskissaksi. Sen jälkeen meidän on sovellettava ensimmäistä riittävää taivutusehtoa.

Määritelmä 6

Oletetaan, että meillä on funktio y = f (x), joka on jatkuva pisteessä M (x 0 ; f (x 0)) . Lisäksi sillä on tangentti tässä pisteessä, ja itse funktiolla on toinen derivaatta tämän pisteen x 0 läheisyydessä. Tässä tapauksessa, jos toinen derivaatta saa vastakkaiset merkit vasemmalla ja oikealla puolella, tätä pistettä voidaan pitää käännepisteenä.

Näemme, että tämä ehto ei edellytä, että toinen derivaatta on välttämättä olemassa tässä pisteessä, sen läsnäolo pisteen x 0 läheisyydessä riittää.

Kaikki edellä mainitut voidaan kätevästi esittää toimintosarjana.

1. Ensin on löydettävä kaikki mahdollisten käännepisteiden abskissat x 0, missä f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞.
2. Selvitä, missä kohdissa derivaatta muuttaa etumerkkiä. Nämä arvot ovat käännepisteiden abskissoja ja niitä vastaavat pisteet M (x 0 ; f (x 0)) ovat itse käännepisteitä.

Tarkastellaan selvyyden vuoksi kahta ongelmaa.

Esimerkki 3

Kunto: annettu funktio y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x . Määritä, missä tämän funktion kaaviossa on käänne- ja pullistumapisteet.

Ratkaisu

Tämä funktio on määritetty koko reaalilukujoukolle. Käsittelemme ensimmäistä johdannaista:

y "= 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x" = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2

Etsitään nyt ensimmäisen derivaatan toimialue. Se on myös kaikkien reaalilukujen joukko. Näin ollen yhtäläisyydet lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ ja lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ eivät voi täyttyä millekään x 0:n arvolle.

Laskemme toisen derivaatan:

y "" = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 x 2 - x - 6

y "" = 0 ⇔ 1 10 (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 = - 2, x 2 = 1 + 35 2

Löysimme kahden todennäköisen käännepisteen - 2 ja 3 - abskissat. Meidän ei tarvitse tehdä muuta kuin tarkistaa, missä vaiheessa derivaatta muuttaa etumerkkiään. Piirretään numeerinen akseli ja piirretään sille nämä pisteet, minkä jälkeen sijoitamme toisen derivaatan merkit tuloksena oleville intervalleille.

Kaaret osoittavat kaavion kuperuuden suunnan kussakin välissä.

Toinen derivaatta kääntää merkin (plussista miinukseen) pisteessä, jossa on abskissa 3, kulkien sen läpi vasemmalta oikealle, ja tekee saman (miinuksesta plussaan) pisteessä, jossa on abskissa 3 . Voidaan siis päätellä, että x = - 2 ja x = 3 ovat funktiokaavion käännepisteiden abskissoja. Ne vastaavat kaavion pisteitä - 2; - 4 3 ja 3; - 15 8 .

Katsotaanpa uudelleen numeerisen akselin kuvaa ja tuloksena olevia merkkejä intervalleilla, jotta voidaan tehdä johtopäätöksiä koveruuden ja kuperuuden paikoista. Osoittautuu, että pullistuma sijaitsee segmentillä - 2; 3, ja koveruus segmenteissä (-∞;-2] ja [3; +∞).

Ongelman ratkaisu näkyy selvästi kaaviossa: Sininen väri- kupera, punainen - koveruus, musta tarkoittaa käännekohtaa.

Vastaus: pullistuma sijoittuu segmenttiin - 2; 3, ja koveruus segmenteissä (-∞;-2] ja [3; +∞).

Esimerkki 4

Kunto: laske funktion y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 kaavion kaikkien käännepisteiden abskissat.

Ratkaisu

Annetun funktion toimialue on kaikkien reaalilukujen joukko. Laskemme derivaatan:

y "= 1 8 (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5" == 1 8 x 2 + 3 x + 2 " (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5" == 1 8 2 x + 3 (x - 3 (x - 3) + 3 (x - 3) 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 (x - 3) 2 5

Toisin kuin funktio, sen ensimmäistä derivaattia ei määritetä x-arvolla 3, vaan:

lim x → 3 - 0 y "(x) = 13 (3 - 0) 2 - 6 (3 - 0) - 39 40 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y" (x) = 13 (3 + 0) 2 - 6 (3 + 0) = 3 + 0) -3 + 0

Tämä tarkoittaa, että kaavion pystytangentti kulkee tämän pisteen läpi. Siksi 3 voi olla käännepisteen abskissa.

Laskemme toisen derivaatan. Löydämme myös sen määritelmäalueen ja kohdat, joissa se muuttuu 0:ksi:

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39" (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 x - 3 2 5 "(x - = 3) 1 x 2 5 " (x - = 3) 1 x 2 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞) y "" (x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 5 6 21 = 1 509 5 x 4 56, x 2 \u003d 51 - 1509 26 ≈ 0, 4675

Meillä on vielä kaksi mahdollista käännekohtaa. Laitamme ne kaikki numeroriville ja merkitsemme tuloksena olevat välit merkeillä:

Etumerkin muutos tapahtuu kulkiessaan kunkin määritetyn pisteen läpi, mikä tarkoittaa, että ne ovat kaikki käännepisteitä.

Vastaus: Piirretään funktiosta kaavio, jossa merkitään koveruudet punaisella, kuperuudet sinisellä ja käännepisteet mustalla:

Kun tiedämme ensimmäisen riittävän taivutusehdon, voimme määrittää tarvittavat pisteet, joissa toisen derivaatan läsnäolo ei ole välttämätöntä. Tämän perusteella ensimmäistä ehtoa voidaan pitää yleismaailmallisimpana ja soveltuvimpana ratkaistavaksi eri tyyppejä tehtäviä.

Huomaa, että on olemassa vielä kaksi taivutusehtoa, mutta niitä voidaan soveltaa vain, kun määritetyssä pisteessä on äärellinen derivaatta.

Jos meillä on f "" (x 0) = 0 ja f """ (x 0) ≠ 0 , niin x 0 on graafin y = f (x) käännepisteen abskissa.

Esimerkki 5

Kunto: funktio y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 on annettu. Määritä, onko funktiokuvaajalla käänne pisteessä 3 ; 4 5 .

Ratkaisu

Ensimmäinen asia on varmistaa, että annettu piste kuuluu ollenkaan tämän funktion kuvaajaan.

y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

Määritetty funktio on määritetty kaikille argumenteille, jotka ovat reaalilukuja. Laskemme ensimmäisen ja toisen derivaatan:

y "= 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10" = 1 10 x - 3 10 ( = - 1 3 1)

Saimme, että toinen derivaatta menee 0:aan, jos x on yhtä suuri kuin 0 . Tämä tarkoittaa, että tämän pisteen tarvittava taivutusehto täyttyy. Nyt käytämme toista ehtoa: löydämme kolmannen derivaatan ja selvitämme, muuttuuko se 0:ksi kohdassa 3:

y " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10

Kolmas derivaatta ei katoa millään x:n arvolla. Tästä syystä voimme päätellä, että tämä piste on funktion kaavion käännepiste.

Vastaus: Esitetään ratkaisu kuvassa:

Oletetaan, että f "(x 0) \u003d 0, f "" (x 0) \u003d 0, . . . , f (n) (x 0) \u003d 0 ja f (n + 1) (x 0) ≠ 0. Tässä tapauksessa parillisen n:n tapauksessa saamme xx-pisteen cc:n kaavion. 003d f (x).

Esimerkki 6

Kunto: annettu funktio y = (x - 3) 5 + 1 . Laske sen kaavion käännepisteet.

Ratkaisu

Tämä funktio on määritetty koko reaalilukujoukolle. Laske derivaatta: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . Koska se määritellään myös kaikille argumentin todellisille arvoille, sen kaavion missä tahansa kohdassa on ei-pystysuuntainen tangentti.

Lasketaan nyt, millä arvoilla toinen derivaatta muuttuu 0:ksi:

y "" = 5 (x - 3) 4 " = 20 x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

Olemme havainneet, että kun x = 3, funktion kuvaajalla voi olla käännepiste. Käytämme kolmatta ehtoa vahvistaaksemme tämän:

y " " " = 20 (x - 3) 3 " = 60 x - 3 2 , y " " " (3) = 60 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 (x - 3) 2 " = 120 (x - 3) , y (4) (3) = 120 (3) = 120 (3) (3) 5) (3) = 120 ≠ 0

Meillä on n = 4 kolmannella riittävällä ehdolla. Tämä on parillinen luku, joten x \u003d 3 on käännepisteen abskissa ja funktion (3; 1) kaavion piste vastaa sitä.

Vastaus: Tässä on tämän funktion kaavio, jossa on merkitty kupera, koveruus ja taivutuspiste:

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Ohje

pisteitä taivutus toimintoja on kuuluttava sen määritelmän piiriin, joka on löydettävä ensin. Ajoittaa toimintoja- tämä on viiva, joka voi olla jatkuva tai siinä voi olla katkoksia, vähentää tai kasvaa yksitoikkoisesti, olla minimi tai maksimi pisteitä(asymptootit), olla kuperia tai kovera. Äkillinen muutos kahdella viimeaikaiset osavaltiot ja sitä kutsutaan kinkkiksi.

Tarpeellinen kunto olemassaolo taivutus toimintoja koostuu toisen ja nollan yhtäläisyydestä. Siten, kun funktio on erotettu kahdesti ja tuloksena oleva lauseke on tasattu nollaan, voimme löytää mahdollisten pisteiden abskissat taivutus.

Tämä ehto seuraa graafin kuperuuden ja koveruuden ominaisuuksien määrittelystä toimintoja, eli toisen derivaatan negatiiviset ja positiiviset arvot. Pisteessä taivutus jyrkkä muutos näissä ominaisuuksissa, mikä tarkoittaa, että derivaatta ylittää nollamerkin. Tasa-arvo nollaan ei kuitenkaan vielä riitä osoittamaan käännekohtaa.

On olemassa kaksi riittävää ehtoa, jotta edellisessä vaiheessa löydetty abskissa kuuluu pisteeseen taivutus:Tämän pisteen kautta voit piirtää tangentin toimintoja. Toisella johdannaisella on erilaisia ​​merkkejä oikealle ja vasemmalle aiotusta pisteitä taivutus. Siten sen olemassaolo itse pisteessä ei ole välttämätöntä, riittää, kun määritetään, että se vaihtaa merkkiä siinä. Toinen derivaatta toimintoja on nolla ja kolmas ei ole.

Ratkaisu: Etsi. Tässä tapauksessa ei ole rajoituksia, joten se on koko reaalilukujen avaruus. Laske ensimmäinen derivaatta: y' = 3 ∛ (x - 5) + (3 x + 3) / ∛ (x - 5)².

Kiinnitä huomiota . Tästä seuraa, että johdannaisen määritelmäalue on rajoitettu. Piste x = 5 on puhkaista, mikä tarkoittaa, että tangentti voi kulkea sen läpi, mikä osittain vastaa ensimmäistä riittävyyden merkkiä taivutus.

Määritä tuloksena oleva lauseke kohdissa x → 5 - 0 ja x → 5 + 0. Ne ovat yhtä suuria kuin -∞ ja +∞. Todistit, että pystytangentti kulkee pisteen x=5 kautta. Tämä kohta voi olla piste taivutus, mutta laske ensin toinen derivaatta:

Jätä nimittäjä pois, koska olet jo ottanut huomioon pisteen x = 5. Ratkaise yhtälö 2 x - 22 \u003d 0. Sillä on yksi juuri x \u003d 11. Viimeinen vaihe on vahvistaa, että pisteitä x=5 ja x=11 ovat pisteitä taivutus. Analysoi toisen derivaatan käyttäytymistä niiden läheisyydessä. Ilmeisesti pisteessä x = 5 se vaihtaa etumerkin "+":sta "-" ja pisteessä x = 11, päinvastoin. Johtopäätös: molemmat pisteitä ovat pisteitä taivutus. Ensimmäinen riittävä ehto täyttyy.

Funktiokaavio y=f(x) nimeltään kupera välissä (a;b), jos se sijaitsee jonkin tangentin alapuolella tällä välillä.

Funktiokaavio y=f(x) nimeltään kovera välissä (a;b), jos se sijaitsee minkä tahansa tangentin yläpuolella tällä välillä.

Kuvassa on käyrä, joka on kupera (a;b) ja kovera (b;c).

Esimerkkejä.

Harkitse riittävää etumerkkiä, jonka avulla voit määrittää, onko funktion kuvaaja tietyllä aikavälillä kupera vai kovera.

Lause. Antaa y=f(x) erotettavissa (a;b). Jos kaikissa intervallin kohdissa (a;b) funktion toinen derivaatta y = f(x) negatiivinen, ts. f ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 on kovera.

Todiste. Oletetaan varmuuden vuoksi f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Ota funktiokaavio y = f(x) mielivaltainen piste M0 abskissan kanssa x0 Î ( a; b) ja piirrä pisteen läpi M0 tangentti. Hänen yhtälönsä. Meidän on osoitettava, että funktion kaavio on (a;b) sijaitsee tämän tangentin alapuolella, ts. samalla arvolla x käyrän ordinaatin y = f(x) on pienempi kuin tangentin ordinaatta.

Joten käyrän yhtälö on y = f(x). Merkitään abskissaa vastaava tangenttiordinaatta x. Sitten . Siksi käyrän ordinaattien ja tangentin välinen ero samassa arvossa x tulee .

Ero f(x) – f(x0) muunnos Lagrangen lauseen mukaan, missä c välillä x Ja x0.

Täten,

Käytämme jälleen Lagrangen lausetta hakasulkeissa olevaan lausekkeeseen: , missä c 1 välillä c 0 Ja x0. Lauseen mukaan f ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Siten mikä tahansa käyrän piste on kaikkien arvojen käyrän tangentin alapuolella x Ja x0 Î ( a; b), mikä tarkoittaa, että käyrä on kupera. Lauseen toinen osa todistetaan samalla tavalla.

Esimerkkejä.

kuvaajapiste jatkuva toiminto, joka erottaa sen kuperan osan koverasta, kutsutaan käännekohta.

Ilmeisesti käännepisteessä tangentti, jos se on olemassa, leikkaa käyrän, koska toisella puolella tätä pistettä käyrä on tangentin alla ja toisella puolella sen yläpuolella.

Määritellään riittävät ehdot sille, että käyrän tietty piste on käännepiste.

Lause. Määritetään yhtälöllä käyrä y = f(x). Jos f ""(x 0) = 0 tai f ""(x 0) ei ole olemassa ja kulkee arvon läpi x = x0 johdannainen f ""(x) muuttaa etumerkkiä, sitten funktion kaavion pisteen abskissalla x = x0 on käännekohta.

Todiste. Antaa f ""(x) < 0 при x < x0 Ja f ""(x) > 0 at x > x0. Sitten klo x < x0 käyrä on kupera ja x > x0- kovera. Tästä se pointti A, makaa käyrällä, ja abskissa x0 on käännekohta. Samalla tavalla voimme tarkastella toista tapausta, jolloin f ""(x) > 0 at x < x0 Ja f ""(x) < 0 при x > x0.

Siten käännepisteitä tulee etsiä vain niistä kohdista, joissa toinen derivaatta katoaa tai ei ole olemassa.

Esimerkkejä. Etsi käännepisteet ja määritä käyrien kuperuuden ja koveruuden välit.

Funktion KAAVION ASYMPTOITIT

Funktiota tutkittaessa on tärkeää määrittää sen graafin muoto poistamalla graafin piste rajattomasti origosta.

Erityisen kiinnostava on tapaus, jossa funktion kuvaaja, kun sen muuttuva piste poistetaan äärettömään, lähestyy loputtomasti tiettyä suoraa.

Suora soitto asymptootti funktiokaavio y = f(x) jos etäisyys muuttujapisteestä M kuvaaja tälle viivalla, kun piste poistetaan Määrettömyyteen pyrkii nollaan, ts. funktion kaavion pisteen, koska se pyrkii äärettömyyteen, on lähestyttävä asymptoottia loputtomasti.

Käyrä voi lähestyä asymptoottiaan jäämällä sen toiselle puolelle tai eri puolille, leikkaamalla asymptootin äärettömän monta kertaa ja siirtymällä puolelta toiselle.

Jos merkitsemme etäisyyttä pisteestä d:llä M käyrä asymptoottiin, on selvää, että d pyrkii nollaan, kun piste poistetaan Määrettömään.

Teemme edelleen eron pystysuorien ja vinojen asymptootien välillä.

VERTIKAALISET ASYMPTOOTIT

Anna klo x→ x0 toiminnon kummallakin puolella y = f(x) absoluuttinen arvo kasvaa loputtomasti, ts. tai tai . Sitten asymptootin määritelmästä seuraa, että rivi x = x0 on asymptootti. Käänteinen on myös ilmeinen, jos linja x = x0 on asymptootti, joten .

Siten funktion kaavion pystyasymptootti y = f(x) kutsutaan riviksi if f(x)→ ∞ vähintään yhdessä ehdoista x→ x0– 0 tai x → x0 + 0, x = x0

Siksi löytääksesi funktion kaavion pystysuorat asymptootit y = f(x) pitää löytää ne arvot x = x0, jossa funktio menee äärettömään (kärsii äärettömästä epäjatkuvuudesta). Sitten vertikaalinen asymptootti on yhtälö x = x0.

Esimerkkejä.

VIISTOT ASYMPTOOTIT

Koska asymptootti on suora, niin jos käyrä y = f(x) jolla on vino asymptootti, niin sen yhtälö on y = kx + b. Tehtävämme on löytää kertoimet k Ja b.

Lause. Suoraan y = kx + b toimii vinona asymptootina klo x→ +∞ funktion kuvaajalle y = f(x) jos ja vain jos . Samanlainen väite pitää paikkansa x → –∞.

Todiste. Antaa MP- janan pituus, joka on yhtä suuri kuin etäisyys pisteestä M asymptoottiin. Ehdon mukaan. Merkitään φ:llä asymptootin kaltevuuskulma akseliin nähden Härkä. Sitten alkaen ΔMNP seuraa sitä. Koska φ on vakiokulma (φ ≠ π/2), niin , mutta

On vielä harkittava graafin kupera, koveruus ja taivutukset. Aloitetaan niistä, joita sivuston vierailijat niin rakastavat Harjoittele. Nouse seisomaan ja nojaa eteenpäin tai taaksepäin. Tämä on pullistuma. Nyt ojenna kätesi edessäsi kämmenet ylöspäin ja kuvittele, että pidät suurta puuta rinnassasi… …no, jos et pidä tukista, olkoon siinä jotain/joku muu =) Tämä on koveruus. Joissakin lähteissä on synonyymejä termejä pullistua ylös Ja pullistua alas, mutta olen lyhyiden nimien kannattaja.

! Huomio : jotkut kirjoittajat määrittele kuperuuden ja koveruuden täsmälleen päinvastoin. Tämä pitää paikkansa myös matemaattisesti ja loogisesti, mutta usein täysin väärin sisällöltään, mukaan lukien termien filistealaisen ymmärryksemme tasolla. Joten esimerkiksi kaksoiskuperaa linssiä kutsutaan linssiksi, jossa on tubercles, mutta ei "sisvennöillä" (kaksikovera).
Ja vaikkapa "kovera" sänky - se ei silti selvästikään "tartu" \u003d) (jos kuitenkin kiipeät sen alle, puhumme jo kuperuudesta; =)) Noudatan lähestymistapaa, joka vastaa luonnollisia ihmisten assosiaatioita.

Kuvaajan kuperuuden ja koveruuden muodollinen määrittely on teekannulle melko vaikeaa, joten rajoitamme käsitteen geometriseen tulkintaan. konkreettisia esimerkkejä. Tarkastellaan funktion kuvaajaa, joka jatkuva koko numerorivillä:

Sen kanssa on helppo rakentaa geometrisia muunnoksia, ja luultavasti monet lukijat ovat tietoisia siitä, kuinka se saadaan kuutioparaabelista.

Soitetaan sointu yhdistävä segmentti kaksi eri kohtaa graafiset taiteet.

Funktion kaavio on kupera tietyllä aikavälillä, jos se sijaitsee ei vähempää mikä tahansa annetun intervallin sointu. Kokeellinen viiva on kupera kohdassa , ja on selvää, että tässä mikä tahansa kaavion osa sijaitsee omansa yläpuolella sointu. Määritelmän havainnollistamiseksi olen piirtänyt kolme mustaa segmenttiä.

Kaavion funktiot ovat kovera aikavälillä, jos se sijaitsee ei korkeampi mikä tahansa tämän intervallin sointu. Tässä esimerkissä potilas on kovera raosta. Pari ruskeaa segmenttiä osoittaa vakuuttavasti, että tässä ja mikä tahansa kaavion osa sijaitsee sen ALALLA. sointu.

Kuvaajan piste, jossa se muuttuu kuperasta koveraksi tai koveruudesta kuperaksi kutsutaan käännekohta. Meillä on se yhtenä kappaleena (ensimmäinen tapaus), ja käytännössä käännepiste voi tarkoittaa sekä itse riviin kuuluvaa vihreää pistettä että "x"-arvoa.

TÄRKEÄ! Taivutukset kaaviossa tulee kuvata siististi ja erittäin sujuvasti. Kaikenlaisia ​​"epäsäännöllisyyksiä" ja "karheutta" ei voida hyväksyä. Se on pienen harjoittelun kysymys.

Toinen lähestymistapa kuperuuden / koveruuden määritelmään teoriassa annetaan tangenttien kautta:

Kupera aikavälillä graafi sijaitsee ei korkeampi tangentti piirretty sille annetun intervallin mielivaltaisessa pisteessä. Kovera sama intervallikaaviossa - ei vähempää mikä tahansa tangentti tällä välillä.

Hyperboli on kovera välissä ja kupera:

Origon läpi kulkiessaan koveruus muuttuu kuperaksi, mutta piste ÄLÄ HUOMIOI käännepiste, koska funktio ei määritetty hänessä.

Oppikirjasta löytyy tarkempia väitteitä ja lauseita aiheesta, ja siirrymme runsaaseen käytännön osaan:

Miten löytää kuperat intervallit, koveruusvälit
ja kaavion käännepisteet?

Materiaali on yksinkertainen, kaavamainen ja rakenteellisesti toistuva ääripään funktion tutkimus.

Kuvaajan kupera/koveruus on ominaista toinen johdannainen toimintoja.

Olkoon funktio kahdesti differentioituva jollain aikavälillä. Sitten:

– jos toinen derivaatta on välissä, niin funktion kuvaaja on konveksi annetulla välillä;

– jos toinen derivaatta on välissä, niin funktion kuvaaja on kovera annetulla välillä.

Toisen johdannaisen merkkien kustannuksella esihistoriallinen yhdistys kävelee oppilaitosten avaruudessa: "-" osoittaa, että "vettä ei voida kaataa funktion kaavioon" (pullistuma),
ja "+" - "antaa tällaisen mahdollisuuden" (koveruus).

Tarpeellinen ehto taivutukselle

Jos funktion kaaviossa on käänne pisteessä, Tuo:
tai arvoa ei ole olemassa(Otetaan selvää, lue!).

Tämä lause viittaa siihen, että toiminto jatkuva pisteessä ja tapauksessa on kahdesti erotettavissa jossain lähiympäristössään.

Ehdon välttämättömyys viittaa siihen, että päinvastoin ei aina ole totta. Eli tasa-arvosta (tai arvon puuttumisesta) ei vielä olla funktion kaavion käänteen olemassaolo pisteessä . Mutta molemmissa tilanteissa he soittavat toisen derivaatan kriittinen piste.

Riittävä taivutusehto

Jos toinen derivaatta muuttaa etumerkkiä kulkiessaan pisteen läpi, niin tässä pisteessä on funktion kaaviossa käänne.

Taivutuspisteet (esimerkki on jo saavutettu) eivät välttämättä ole ollenkaan, ja tässä mielessä jotkut alkeisnäytteet ovat suuntaa antavia. Analysoidaan funktion toista derivaatta:

Saadaan positiivinen vakiofunktio, ts mille tahansa "x":n arvolle. Pinnalla makaavia faktoja: paraabeli on kauttaaltaan kovera verkkotunnuksia, ei ole käännepisteitä. On helppo nähdä, että negatiivinen kerroin "kääntää" paraabelin ja tekee siitä kuperan (jonka ilmoitetaan meille toisella derivaatalla - negatiivisella vakiofunktiolla).

Eksponentti funktio myös kovera:

mille tahansa "x":n arvolle.

Kaaviossa ei tietenkään ole käännepisteitä.

Tutkimme logaritmisen funktion kuvaajaa kuperuuden / koveruuden suhteen:

Siten logaritmin haara on konveksi välillä . Toinen derivaatta on myös määritelty välissä , mutta harkitse sitä SE ON KIELLETTY, koska tämä aikaväli ei sisälly verkkotunnus toiminnot. Vaatimus on ilmeinen - koska siellä ei ole logaritmigraafia, niin luonnollisesti ei puhuta mistään kuperuudesta / koveruudesta / taivutuksista.

Kuten näette, kaikki muistuttaa todella paljon tarinaa toiminnon lisäys, väheneminen ja äärimmäisyys. Näyttää itseltäni funktiokuvaajan tutkimusalgoritmikuperuuden, koveruuden ja mutkien esiintymisen vuoksi:

2) Etsimme kriittisiä arvoja. Tätä varten otamme toisen derivaatan ja ratkaisemme yhtälön. Pisteitä, joissa 2. derivaatta ei ole olemassa, mutta jotka sisältyvät itse funktion alueeseen, pidetään myös kriittisinä!

3) Merkitsemme numeroriville kaikki löydetyt taitepisteet ja kriittiset kohdat (kumpikaan ei voi osoittautua - silloin sinun ei tarvitse piirtää mitään (kuten liian yksinkertaisessa tapauksessa), riittää, että rajoittuu kirjalliseen kommenttiin). intervallimenetelmä määritämme merkit saatujen intervallien perusteella. Kuten juuri selitettiin, kannattaa harkita vain nuo intervallit, jotka sisältyvät funktion soveltamisalaan. Teemme johtopäätökset funktiograafin kuperuus-/koveruus- ja käännepisteistä. Annamme vastauksen.

Yritä soveltaa algoritmia ominaisuuksiin sanallisesti . Toisessa tapauksessa on muuten esimerkki, jossa käyrän käännettä ei ole kriittisessä pisteessä. Aloitetaan kuitenkin hieman vaikeammista tehtävistä:

Esimerkki 1

Ratkaisu:
1) Funktio on määritelty ja jatkuva koko reaaliviivalla. Oikein hyvä.

2) Etsi toinen derivaatta. Voit esikuutioida, mutta se on paljon kannattavampaa käyttää monimutkaisen funktion sääntödifferointi:

Huomaa, että , mikä tarkoittaa, että funktio on ei-vähenevä. Vaikka tämä ei liity tehtävään, on aina suositeltavaa kiinnittää huomiota sellaisiin seikkoihin.

Etsi toisen derivaatan kriittiset pisteet:

- Kriittinen piste

3) Tarkastetaan riittävän taivutusehdon täyttyminen. Määritetään toisen derivaatan merkit saaduille intervalleille.

Huomio! Nyt työskentelemme toisen derivaatan kanssa (eikä funktion kanssa!)

Tuloksena saadaan yksi kriittinen piste: .

3) Merkitsemme kaksi epäjatkuvuuspistettä, kriittisen pisteen lukuviivalle ja määritämme saaduille intervalleille toisen derivaatan merkit:

Muistutan teitä tärkeästä intervallimenetelmä, mikä voi merkittävästi nopeuttaa ratkaisua. Toinen johdannainen osoittautui erittäin hankalaksi, joten sen arvoja ei tarvitse laskea, riittää, että tehdään "arvio" jokaisesta intervallista. Valitaan esimerkiksi vasempaan väliin kuuluva piste,
ja tee vaihto:

Analysoidaan nyt kertoimia:

Kaksi "miinusta" ja "plus" antavat siis "plussan", mikä tarkoittaa, että toinen derivaatta on positiivinen koko aikavälillä .

Kommentoidut toiminnot on helppo suorittaa suullisesti. Lisäksi on edullista jättää kertoja kokonaan huomiotta - se on positiivinen mille tahansa "x":lle eikä vaikuta toisen derivaatan etumerkkeihin.

Mitä tietoja hän sitten antoi meille?

Vastaus: funktion kuvaaja on kovera päällä ja kupera päälle . Alkuperässä (se on selvää) kaaviossa on käänne.

Pisteiden läpi kulkiessaan myös toinen derivaatta vaihtaa etumerkkiä, mutta niitä ei pidetä käännepisteinä, koska funktio kärsii niissä loputtomat tauot.

Analysoidussa esimerkissä ensimmäinen derivaatta kertoo funktion kasvusta kokonaisuutena verkkotunnuksia. Se olisi aina niin ilmaista =) Lisäksi kolmen läsnäolo asymptootti. Tietoa on vastaanotettu paljon, mikä mahdollistaa korkea tutkinto uskottavuutta esitettäväksi ulkomuoto graafiset taiteet. Kasaan nähden funktio on myös outo. Yritä hahmotella luonnosta todettujen tosiasioiden perusteella. Kuva oppitunnin lopussa.

Tehtävä itsenäiseen ratkaisuun:

Esimerkki 6

Tutki funktion kuvaajaa kuperuuden, koveruuden suhteen ja etsi kaavion käännepisteet, jos sellaisia ​​on.

Otteessa ei ole piirustusta, mutta hypoteesin esittäminen ei ole kiellettyä;)

Hiomme materiaalia numeroimatta algoritmin pisteitä:

Esimerkki 7

Tarkista funktiokaaviosta kuperuus, koveruus ja etsi mahdolliset käännepisteet.

Ratkaisu: toiminta kestää loputon väli kohdassa.

Kuten tavallista, meillä on kaikki hyvin:

Johdannaiset eivät ole vaikeimpia, tärkeintä on olla varovainen "hiustyylinsä" kanssa.
Indusoidussa marafetissa löydetään kaksi toisen derivaatan kriittistä pistettä:

Määritetään merkit saaduille intervalleille:

Pisteessä on kaavion taivutus, etsitään pisteen ordinaatta:

Pisteen läpi kulkiessaan toinen derivaatta ei muuta etumerkkiä, joten siinä EI ole taivutusta graafissa.

Vastaus: kuperuusvälit: ; koveruusväli: ; käännekohta: .

Harkitse viimeisiä esimerkkejä lisäeduilla:

Esimerkki 8

Etsi graafin kuperuus-, koveruus- ja käännepisteet

Ratkaisu: sijainnilla verkkotunnuksia ei ole erityisiä ongelmia:
, ja funktio kärsii epäjatkuvuudesta pisteissä.

Mennään vauhdilla:

- Kriittinen piste.

Määritämme merkit huomioiden välit vain toiminnon laajuudesta:

Kohdassa, jossa on kaavion taivutus, laskemme ordinaatin: