Analysoimme kahden tyyppisiä yhtälöjärjestelmiä:

1. Järjestelmän ratkaisu korvausmenetelmällä.
2. Järjestelmän ratkaisu järjestelmän yhtälöiden termittäin yhteenlaskemalla (vähennyksellä).

Yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi korvausmenetelmä sinun on noudatettava yksinkertaista algoritmia:
1. ilmaisemme. Mistä tahansa yhtälöstä ilmaisemme yhden muuttujan.
2. Korvaava. Korvaamme saadun arvon toisella yhtälöllä ilmaistun muuttujan sijaan.
3. Ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön yhdellä muuttujalla. Löydämme ratkaisun järjestelmään.

Ratkaista järjestelmä termi kerrallaan lisäämällä (vähennyslasku) tarvitsee:
1. Valitse muuttuja, jolle teemme samat kertoimet.
2. Lisäämme tai vähennämme yhtälöt, jolloin saamme yhtälön, jossa on yksi muuttuja.
3. Ratkaisemme tuloksena olevan lineaarisen yhtälön. Löydämme ratkaisun järjestelmään.

Järjestelmän ratkaisu on funktion kuvaajien leikkauspisteet.

Tarkastellaan yksityiskohtaisesti järjestelmien ratkaisua esimerkkien avulla.

Esimerkki 1:

Ratkaistaan ​​korvausmenetelmällä

Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen korvausmenetelmällä

2x+5y=1 (1 yhtälö)
x-10y = 3 (2. yhtälö)

1. Express
Voidaan nähdä, että toisessa yhtälössä on muuttuja x, jonka kerroin on 1, joten käy ilmi, että muuttuja x on helpoin ilmaista toisesta yhtälöstä.
x=3+10v

2. Ilmaisemisen jälkeen korvaamme ensimmäisessä yhtälössä muuttujan x sijasta 3 + 10y.
2(3+10v)+5v=1

3. Ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön yhdellä muuttujalla.
2(3+10v)+5v=1 (avoimet sulut)
6+20v+5v=1
25v = 1-6
25v = -5 |: (25)
y = -5:25
y = -0,2

Yhtälöjärjestelmän ratkaisu on graafien leikkauspisteet, joten meidän on löydettävä x ja y, koska leikkauspiste koostuu x:stä ja y:stä. Etsitään x, ensimmäisessä kappaleessa, jossa ilmaisimme, korvaamme y:n.
x=3+10v
x=3+10*(-0,2)=1

On tapana kirjoittaa ensin pisteet, kirjoitetaan muuttuja x ja toiseksi muuttuja y.
Vastaus: (1; -0,2)

Esimerkki 2:

Ratkaistaan ​​termi kerrallaan yhteenlaskemalla (vähennyslasku).

Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen summausmenetelmällä

3x-2y=1 (1 yhtälö)
2x-3y = -10 (2. yhtälö)

1. Valitse muuttuja, oletetaan, että valitsemme x. Ensimmäisessä yhtälössä muuttujan x kerroin on 3, toisessa - 2. Meidän on tehtävä kertoimet samat, tätä varten meillä on oikeus kertoa yhtälöt tai jakaa millä tahansa luvulla. Kerromme ensimmäisen yhtälön 2:lla ja toisen 3:lla ja saamme kokonaiskertoimen 6.

3x-2v=1 |*2
6x-4v = 2

2x-3v = -10 |*3
6x-9v=-30

2. Vähennä ensimmäisestä yhtälöstä toinen päästäksesi eroon muuttujasta x. Ratkaise lineaarinen yhtälö.
__6x-4y=2

5v=32 | :5
y = 6,4

3. Etsi x. Korvaamme löydetyn y:n missä tahansa yhtälössä, vaikkapa ensimmäisessä yhtälössä.
3x-2v=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8 = 1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6

Leikkauspiste on x=4,6; y = 6,4
Vastaus: (4.6; 6.4)

Haluatko valmistautua kokeisiin ilmaiseksi? Tutor verkossa ilmaiseksi. Ihan totta.

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joita voidaan käyttää tunnistamiseen tietty henkilö tai yhteyttä häneen.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
• Ajoittain voimme käyttää henkilökohtaisia ​​tietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestejä.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Tarvittaessa - lain, oikeusjärjestyksen mukaisesti, oikeudenkäynneissä ja/tai julkisten pyyntöjen tai pyyntöjen perusteella valtion virastot Venäjän federaation alueella - paljasta henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muiden yleisen edun vuoksi.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Suojelemme varotoimia – mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset – henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Tämän artikkelin materiaali on tarkoitettu yhtälöjärjestelmien ensimmäiseen tutustumiseen. Tässä esittelemme yhtälöjärjestelmän määritelmän ja sen ratkaisut sekä tarkastelemme myös yleisimmät yhtälöjärjestelmätyypit. Kuten tavallista, annamme selittäviä esimerkkejä.

Sivulla navigointi.

Mikä on yhtälöjärjestelmä?

Lähestymme asteittain yhtälöjärjestelmän määritelmää. Ensinnäkin, sanotaanpa vain, että se on kätevä antaa, ja huomauttaa kaksi seikkaa: ensinnäkin tietueen tyyppi ja toiseksi tähän tietueeseen upotettu merkitys. Tarkastellaanpa niitä vuorotellen ja yleistetään sitten päättely yhtälöjärjestelmien määritelmäksi.

Otetaan muutama niistä edessämme. Otetaan esimerkiksi kaksi yhtälöä 2 x+y=−3 ja x=5 . Kirjoitamme ne päällekkäin ja yhdistämme ne vasemmalla olevalla kiharalla:

Tämän tyyppiset tietueet, jotka ovat useita sarakkeeseen järjestettyjä yhtälöitä, jotka on yhdistetty vasemmalla kiharaan hakasulkeeseen, ovat yhtälöjärjestelmien tietueita.

Mitä tällaiset tietueet tarkoittavat? Ne määrittelevät joukon kaikkia sellaisia ​​järjestelmän yhtälöiden ratkaisuja, jotka ovat kunkin yhtälön ratkaisu.

Ei haittaa kuvailla sitä muilla sanoilla. Oletetaan, että jotkin ensimmäisen yhtälön ratkaisut ovat ratkaisuja järjestelmän kaikille muille yhtälöille. Ja niin järjestelmän tietue vain nimeää ne.

Nyt olemme valmiita hyväksymään yhtälöjärjestelmän määritelmän.

Määritelmä.

Yhtälöjärjestelmät kutsutietueita, jotka ovat yhtälöitä, jotka sijaitsevat toistensa alapuolella ja joita yhdistää vasemmalla kihara hakasulke, jotka merkitsevät joukkoa yhtälöiden ratkaisuja, jotka ovat samanaikaisesti ratkaisuja järjestelmän jokaiselle yhtälölle.

Samanlainen määritelmä annetaan oppikirjassa, mutta siellä sitä ei anneta yleiselle tapaukselle, vaan kahdelle rationaaliset yhtälöt kahdella muuttujalla.

Päätyypit

On selvää, että erilaisia ​​yhtälöitä on äärettömän monta. Luonnollisesti on olemassa myös äärettömän paljon yhtälöjärjestelmiä, jotka on laadittu niiden avulla. Siksi yhtälöjärjestelmien opiskelun ja työskentelyn helpottamiseksi on järkevää jakaa ne ryhmiin samanlaisten ominaisuuksien mukaan ja sitten tarkastella yksittäisten tyyppien yhtälöjärjestelmiä.

Ensimmäinen alajako ehdottaa itsensä järjestelmään sisältyvien yhtälöiden lukumäärän perusteella. Jos yhtälöitä on kaksi, voimme sanoa, että meillä on kahden yhtälön järjestelmä, jos niitä on kolme, niin kolmen yhtälön järjestelmä jne. On selvää, että ei ole mitään järkeä puhua yhden yhtälön järjestelmästä, koska tässä tapauksessa itse asiassa olemme tekemisissä itse yhtälön kanssa, emme järjestelmän kanssa.

Seuraava jako perustuu järjestelmän yhtälöiden kirjoittamiseen osallistuvien muuttujien lukumäärään. Jos on yksi muuttuja, niin kyseessä on yhtälöjärjestelmä, jossa on yksi muuttuja (he sanovat myös yhdellä tuntemattomalla), jos niitä on kaksi, niin yhtälöjärjestelmää, jossa on kaksi muuttujaa (kahdella tuntemattomalla) jne. Esimerkiksi, on yhtälöjärjestelmä, jossa on kaksi muuttujaa x ja y.

Tämä viittaa tietueeseen liittyvien kaikkien eri muuttujien lukumäärään. Niiden ei tarvitse olla kerralla mukana jokaisen yhtälön tietueessa, riittää, että ne ovat vähintään yhdessä yhtälössä. Esim, on yhtälöjärjestelmä, jossa on kolme muuttujaa x, y ja z. Ensimmäisessä yhtälössä muuttuja x on eksplisiittisesti läsnä, kun taas y ja z ovat implisiittisiä (voidaan olettaa, että näillä muuttujilla on nolla), ja toisessa yhtälössä x ja z ovat läsnä, eikä muuttuja y ole eksplisiittisesti esitetty. Toisin sanoen ensimmäistä yhtälöä voidaan pitää muodossa , ja toinen x+0 y−3 z=0 .

Kolmas kohta, jossa yhtälöjärjestelmät eroavat toisistaan, on itse yhtälöiden muoto.

Koulussa yhtälöjärjestelmien opiskelu alkaa kahden hengen järjestelmät lineaariset yhtälöt kahdella muuttujalla. Eli tällaiset järjestelmät muodostavat kaksi lineaarista yhtälöä. Tässä pari esimerkkiä: Ja . Niillä opetetaan yhtälöjärjestelmien kanssa työskentelyn perusteet.

Monimutkaisempia ongelmia ratkaistaessa voi kohdata myös kolmen lineaarisen yhtälön järjestelmiä, joissa on kolme tuntematonta.

Edelleen 9. luokalla kahden muuttujan yhtälön järjestelmiin lisätään epälineaarisia yhtälöitä, suurimmaksi osaksi kokonaisia ​​toisen asteen yhtälöitä, harvemmin - enemmän korkeat asteet. Näitä järjestelmiä kutsutaan epälineaaristen yhtälöiden järjestelmiksi; tarvittaessa määritetään yhtälöiden ja tuntemattomien lukumäärä. Näytämme esimerkkejä tällaisista epälineaaristen yhtälöjärjestelmien järjestelmistä: Ja .

Ja sitten järjestelmissä on myös esim. Niitä kutsutaan yleensä yksinkertaisesti yhtälöjärjestelmiksi määrittelemättä mitä yhtälöitä. Tässä on syytä huomata, että useimmiten yhtälöjärjestelmästä sanotaan yksinkertaisesti "yhtälöjärjestelmä", ja tarkennuksia lisätään vain tarvittaessa.

Lukiossa materiaalia tutkittaessa irrationaalinen, trigonometrinen, logaritminen ja eksponentiaaliyhtälöt : , , .

Jos tarkastellaan vielä pidemmälle yliopistojen ensimmäisten kurssien ohjelmaa, niin pääpaino on lineaaristen algebrallisten yhtälöiden (SLAE) järjestelmien tutkimisessa ja ratkaisemisessa, eli yhtälöissä, joiden vasemmassa osassa ovat ensimmäinen aste, ja oikealla - joitain numeroita. Mutta siellä, toisin kuin koulu, ei ole jo otettu kahta lineaarista yhtälöä kahdella muuttujalla, vaan mielivaltainen määrä yhtälöitä, joissa on mielivaltainen määrä muuttujia, jotka eivät usein vastaa yhtälöiden määrää.

Mikä on yhtälöjärjestelmän ratkaisu?

Termi "yhtälöjärjestelmän ratkaisu" viittaa suoraan yhtälöjärjestelmiin. Koulu antaa määritelmän kahden muuttujan yhtälöjärjestelmän ratkaisemisesta :

Määritelmä.

Kahden muuttujan yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen kutsutaan näiden muuttujien arvoparia, joka muuttaa jokaisen järjestelmän yhtälön oikeaksi, toisin sanoen joka on ratkaisu järjestelmän jokaiseen yhtälöön.

Esimerkiksi muuttujien arvojen pari x=5 , y=2 (se voidaan kirjoittaa muodossa (5, 2) ) on määritelmän mukainen ratkaisu yhtälöjärjestelmälle, koska järjestelmän yhtälöt, kun x= 5 , y=2 substituoidaan niihin, muuttuvat todellisiksi numeerisiksi yhtälöiksi 5+2=7 ja 5−2=3 vastaavasti. Mutta arvopari x=3, y=0 ei ole ratkaisu tähän järjestelmään, koska kun nämä arvot korvataan yhtälöihin, niistä ensimmäinen muuttuu virheelliseksi yhtälöksi 3+0=7 .

Samanlaisia ​​määritelmiä voidaan muotoilla järjestelmille, joissa on yksi muuttuja, sekä järjestelmille, joissa on kolme, neljä jne. muuttujia.

Määritelmä.

Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen yhdellä muuttujalla tulee muuttujaarvo, joka on järjestelmän kaikkien yhtälöiden juuri, eli joka muuttaa kaikki yhtälöt todellisiksi numeerisiksi yhtälöiksi.

Otetaan esimerkki. Tarkastellaan yhtälöjärjestelmää, jossa on yksi muodon muuttuja t . Luku −2 on sen ratkaisu, koska sekä (−2) 2 =4 että 5·(−2+2)=0 ovat todellisia numeerisia yhtälöitä. Ja t=1 ei ole ratkaisu järjestelmään, koska tämän arvon korvaaminen antaa kaksi väärää yhtälöä 1 2 =4 ja 5·(1+2)=0 .

Määritelmä.

Ratkaisu järjestelmästä, jossa on kolme, neljä jne. muuttujia kutsutaan kolmiosaiseksi, nelinkertaiseksi jne. muuttujien arvot vastaavasti, mikä muuntaa kaikki järjestelmän yhtälöt todellisiksi yhtälöiksi.

Joten määritelmän mukaan muuttujien x=1, y=2, z=0 arvojen kolmois on ratkaisu järjestelmään , koska 2 1=2 , 5 2=10 ja 1+2+0=3 ovat oikeita numeerisia yhtälöitä. Ja (1, 0, 5) ei ole ratkaisu tähän järjestelmään, koska kun nämä muuttujien arvot korvataan järjestelmän yhtälöillä, toinen niistä muuttuu virheelliseksi yhtälöksi 5 0=10 ja kolmas yksi on myös 1+0+5=3 .

Huomaa, että yhtälöjärjestelmillä ei välttämättä ole ratkaisuja, niillä voi olla äärellinen määrä ratkaisuja, esimerkiksi yksi, kaksi, ... tai niillä voi olla äärettömän monta ratkaisua. Näet tämän, kun syvennät aihetta.

Ottaen huomioon yhtälöjärjestelmän määritelmät ja niiden ratkaisut, voimme päätellä, että yhtälöjärjestelmän ratkaisu on sen kaikkien yhtälöiden ratkaisujoukkojen leikkauspiste.

Lopuksi tässä on muutamia asiaan liittyviä määritelmiä:

Määritelmä.

yhteensopimaton jos sillä ei ole ratkaisuja, muuten järjestelmä kutsutaan liitos.

Määritelmä.

Yhtälöjärjestelmä on ns epävarma jos sillä on äärettömän monta ratkaisua, ja varma, jos sillä on rajallinen määrä ratkaisuja tai niitä ei ole ollenkaan.

Nämä termit esitellään esimerkiksi oppikirjassa, mutta niitä käytetään harvoin koulussa, useammin niitä voidaan kuulla korkeakouluissa.

Bibliografia.

1. Algebra: oppikirja 7 solulle. Yleissivistävä koulutus laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 17. painos - M. : Koulutus, 2008. - 240 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Algebra: 9. luokka: oppikirja. yleissivistävää koulutusta varten laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M. : Koulutus, 2009. - 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A.G. Algebra. 7. luokka. Klo 14 Osa 1. Oppikirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich. - 17. painos, lisäys. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 s.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Mordkovich A.G. Algebra. Luokka 9 Klo 14 Osa 1. Oppikirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. painos, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Mordkovich A.G. Algebra ja matemaattisen analyysin alku. Luokka 11. Klo 14 Osa 1. Oppikirja oppilaitosten opiskelijoille (profiilitaso) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. painos, poistettu. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Algebra ja analyysin alku: Proc. 10-11 solulle. Yleissivistävä koulutus instituutiot / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn ja muut; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. painos - M.: Enlightenment, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
7. A. G. Kurosh. Korkeamman algebran kurssi.
8. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analyyttinen geometria: Oppikirja: Yliopistoille. – 5. painos – M.: Tiede. Fizmatlit, 1999. - 224 s. - (Hyvin korkeampaa matematiikkaa ja matto. fysiikka). – ISBN 5-02-015234 – X (numero 3)

Tällä matemaattisella ohjelmalla voit ratkaista kahden lineaarisen yhtälön järjestelmän kahdella muuttuva menetelmä substituutioohm ja lisäysmenetelmä.

Ohjelma ei ainoastaan ​​anna vastausta ongelmaan, vaan tarjoaa myös yksityiskohtaisen ratkaisun ratkaisuvaiheiden selityksillä kahdella tavalla: korvausmenetelmällä ja lisäysmenetelmällä.

Tämä ohjelma voi olla hyödyllinen lukiolaisille yleissivistävät koulut valmistellessaan valvoa työtä ja tentit, kun testataan tietoja ennen tenttiä, vanhemmat hallitsevat monien matematiikan ja algebran ongelmien ratkaisua. Tai ehkä sinulle on liian kallista palkata tutor tai ostaa uusia oppikirjoja? Vai haluatko vain saada matematiikan tai algebran kotitehtäväsi valmiiksi mahdollisimman nopeasti? Tässä tapauksessa voit myös käyttää ohjelmiamme yksityiskohtaisen ratkaisun kanssa.

Tällä tavalla voit suorittaa oman harjoittelusi ja/tai kouluttaa omasi nuoremmat veljet tai sisaruksia, kun taas koulutustaso ratkaistavien tehtävien alalla nousee.

Säännöt yhtälöiden syöttämiseen

Mikä tahansa latinalainen kirjain voi toimia muuttujana.
Esimerkiksi: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) jne.

Kun syötät yhtälöitä voit käyttää sulkuja. Tässä tapauksessa yhtälöt yksinkertaistetaan ensin. Yksinkertaistusten jälkeen yhtälöiden tulee olla lineaarisia, ts. muotoa ax+by+c=0 alkioiden järjestyksen tarkkuudella.
Esimerkki: 6x+1 = 5(x+y)+2

Yhtälöissä voit käyttää paitsi kokonaislukuja myös murtolukuja desimaalilukuina ja yhteisinä murtoina.

Desimaalilukujen syöttämistä koskevat säännöt.
Kokonaisluku ja murto-osa desimaalilukuja voidaan erottaa joko pisteellä tai pilkulla.
Esimerkki: 2,1n + 3,5m = 55

Tavallisten murtolukujen syöttämistä koskevat säännöt.
Vain kokonaisluku voi toimia murtoluvun osoittajana, nimittäjänä ja kokonaislukuosana.
Nimittäjä ei voi olla negatiivinen.
Kun astut sisään numeerinen murto-osa Osoittaja erotetaan nimittäjästä jakomerkillä: /
Kokonaislukuosa erotetaan murtoluvusta et-merkillä: &

Esimerkkejä.
-1&2/3v + 5/3x = 55
2,1 p + 55 = -2/7 (3,5 p - 2 & 1/8q)

Ratkaise yhtälöjärjestelmä

Havaittiin, että joitain tämän tehtävän ratkaisemiseen tarvittavia komentosarjoja ei ladattu, eikä ohjelma välttämättä toimi.
AdBlock voi olla käytössä.
Tässä tapauksessa poista se käytöstä ja päivitä sivu.

JavaScript on poistettu käytöstä selaimessasi.
JavaScriptin on oltava käytössä, jotta ratkaisu tulee näkyviin.
Tässä on ohjeet JavaScriptin käyttöönottoon selaimessasi.

Koska On paljon ihmisiä, jotka haluavat ratkaista ongelman, pyyntösi on jonossa.
Muutaman sekunnin kuluttua ratkaisu tulee näkyviin alle.
Odota sek...

Jos sinä huomasi ratkaisussa virheen, voit kirjoittaa siitä palautelomakkeeseen.
Älä unohda ilmoittaa mikä tehtävä sinä päätät mitä syötä kenttiin.

Pelimme, palapelimme, emulaattorimme:

Vähän teoriaa.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen. Korvausmenetelmä

Toimintojen järjestys ratkaistaessa lineaarista yhtälöjärjestelmää korvausmenetelmällä:
1) ilmaisee yhden muuttujan jostakin järjestelmän yhtälöstä toisella;
2) korvaa tuloksena oleva lauseke järjestelmän toisessa yhtälössä tämän muuttujan sijaan;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Esitetään ensimmäisestä yhtälöstä y x:ään: y = 7-3x. Korvaamalla lausekkeen 7-3x y:n sijaan toiseen yhtälöön, saadaan järjestelmä:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

On helppo osoittaa, että ensimmäisessä ja toisessa järjestelmässä on samat ratkaisut. Toisessa järjestelmässä toinen yhtälö sisältää vain yhden muuttujan. Ratkaistaan ​​tämä yhtälö:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Korvaamalla luvun 1 x:n sijaan yhtälöön y=7-3x, löydämme vastaavan y:n arvon:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Pari (1;4) - järjestelmän ratkaisu

Kutsutaan kahdessa muuttujassa olevia yhtälöjärjestelmiä, joilla on samat ratkaisut vastaava. Myös järjestelmät, joissa ei ole ratkaisuja, katsotaan vastaaviksi.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen lisäämällä

Harkitse toista tapaa ratkaista lineaarisia yhtälöjärjestelmiä - summausmenetelmää. Kun järjestelmiä ratkaistaan ​​tällä tavalla, samoin kuin substituutiomenetelmällä ratkaistaessa, siirrytään tietystä järjestelmästä toiseen sitä vastaavaan järjestelmään, jossa yksi yhtälöistä sisältää vain yhden muuttujan.

Toimintojen järjestys, kun ratkaistaan ​​lineaarinen yhtälöjärjestelmä summausmenetelmällä:
1) kerrotaan järjestelmän yhtälöt termeiltä valitsemalla kertoimet siten, että yhden muuttujan kertoimista tulee vastakkaisia ​​lukuja;
2) lisää termi kerrallaan järjestelmän yhtälöiden vasen ja oikea osa;
3) ratkaise tuloksena oleva yhtälö yhdellä muuttujalla;
4) etsi toisen muuttujan vastaava arvo.

Esimerkki. Ratkaistaan ​​yhtälöjärjestelmä:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Tämän järjestelmän yhtälöissä y:n kertoimet ovat vastakkaisia ​​lukuja. Lisäämällä termi kerrallaan yhtälöiden vasen ja oikea osa, saadaan yhtälö, jossa on yksi muuttuja 3x=33. Korvataan yksi järjestelmän yhtälöistä, esimerkiksi ensimmäinen, yhtälöllä 3x=33. Otetaan systeemi
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Yhtälöstä 3x=33 huomaamme, että x=11. Kun tämä x-arvo korvataan yhtälöllä \(x-3y=38 \), saadaan yhtälö muuttujalla y: \(11-3y=38 \). Ratkaistaan ​​tämä yhtälö:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Löysimme siis ratkaisun yhtälöjärjestelmään lisäämällä: \(x=11; y=-9 \) tai \((11; -9) \)

Hyödyntämällä sitä tosiasiaa, että y:n kertoimet järjestelmän yhtälöissä ovat vastakkaisia ​​lukuja, pelkistimme sen ratkaisun ekvivalentin järjestelmän ratkaisuksi (laskemalla yhteen alkuperäisen symmeemin kunkin yhtälön molemmat osat), jossa yksi yhtälöistä sisältää vain yhden muuttujan.

Kirjat (oppikirjat) Yhtenäisen valtiontutkinnon tiivistelmät ja OGE-testit verkossa Pelit, palapelit Toimintokaavioiden rakentaminen Oikeinkirjoitus Venäjän kielen sanakirja Nuorten slangin sanakirja Venäläisten koulujen luettelo Venäjän toisen asteen koulujen luettelo Venäjän yliopistojen luettelo Tehtäväluettelo Oppitunnin sisältö

Lineaariset yhtälöt kahdella muuttujalla

Oppilaalla on 200 ruplaa koululounasta varten. Kakku maksaa 25 ruplaa ja kuppi kahvia 10 ruplaa. Kuinka monta kakkua ja kuppia kahvia voi ostaa 200 ruplalla?

Merkitse läpi kakkujen lukumäärä x ja kahvikuppien määrä y. Sitten kakkujen hinta merkitään lausekkeella 25 x, ja kahvikuppien hinta 10 y .

25x- hinta x kakut
10y- hinta y kupit kahvia

Kokonaissumman tulee olla 200 ruplaa. Sitten saadaan yhtälö, jossa on kaksi muuttujaa x Ja y

25x+ 10y= 200

Kuinka monta juuria tällä yhtälöllä on?

Kaikki riippuu opiskelijan ruokahalusta. Jos hän ostaa 6 kakkua ja 5 kupillista kahvia, yhtälön juuret ovat numerot 6 ja 5.

Arvojen 6 ja 5 parin sanotaan olevan yhtälön 25 juuret x+ 10y= 200. Kirjoitetaan muodossa (6; 5) , jolloin ensimmäinen numero on muuttujan arvo x, ja toinen - muuttujan arvo y .

6 ja 5 eivät ole ainoita juuria, jotka kääntävät yhtälön 25 x+ 10y= 200 identiteettiin. Halutessaan opiskelija voi ostaa samalla 200 ruplalla 4 kakkua ja 10 kuppia kahvia:

Tässä tapauksessa yhtälön 25 juuret x+ 10y= 200 on arvojen pari (4; 10) .

Lisäksi opiskelija ei voi ostaa kahvia ollenkaan, mutta ostaa kakkuja kaikilla 200 ruplalla. Sitten yhtälön 25 juuret x+ 10y= 200 ovat arvot 8 ja 0

Tai päinvastoin, älä osta kakkuja, vaan osta kahvia kaikilla 200 ruplalla. Sitten yhtälön 25 juuret x+ 10y= 200 ovat arvot 0 ja 20

Yritetään luetella kaikki yhtälön 25 mahdolliset juuret x+ 10y= 200. Olkaamme samaa mieltä siitä, että arvot x Ja y kuuluvat kokonaislukujen joukkoon. Ja olkoon näiden arvojen suurempi tai yhtä suuri kuin nolla:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Joten se on kätevä opiskelijalle itselleen. Kakut on helpompi ostaa kokonaisina kuin esimerkiksi useita kokonaisia ​​kakkuja ja puolikas kakku. Kahvi on myös kätevämpi ottaa kokonaisina kuppeina kuin esimerkiksi useat kokonaiset kupit ja puoli kupillista.

Huomaa, että outoa x on mahdotonta saavuttaa tasa-arvoa minkään kanssa y. Sitten arvot x siellä on seuraavat luvut 0, 2, 4, 6, 8. Ja tietäen x voidaan määrittää helposti y

Näin ollen saimme seuraavat arvoparit (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Nämä parit ovat yhtälön 25 ratkaisuja tai juuria x+ 10y= 200. He muuttavat tämän yhtälön identiteetiksi.

Tyyppiyhtälö ax + by = c nimeltään lineaarinen yhtälö kahdella muuttujalla. Tämän yhtälön ratkaisu tai juuret on arvopari ( x; y), mikä muuttaa sen identiteetiksi.

Huomaa myös, että jos lineaarinen yhtälö, jossa on kaksi muuttujaa, kirjoitetaan muodossa ax + b y = c , sitten he sanovat, että se on kirjoitettu kanoninen(normaali) muoto.

Jotkut lineaariset yhtälöt kahdessa muuttujassa voidaan pelkistää kanoniseen muotoon.

Esimerkiksi yhtälö 2(16x+ 3y- 4) = 2(12 + 8x − y) voidaan tuoda mieleen ax + by = c. Avataan sulut tämän yhtälön molemmissa osissa, saamme 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Tuntemattomia sisältävät termit on ryhmitelty yhtälön vasemmalle puolelle ja tuntemattomista vapaat termit oikealle. Sitten saamme 32x - 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Tuomme samanlaiset termit molempiin osiin, saamme yhtälön 16 x+ 8y= 32. Tämä yhtälö pelkistetään muotoon ax + by = c ja on kanoninen.

Aikaisemmin tarkasteltu yhtälö 25 x+ 10y= 200 on myös kaksimuuttujainen lineaarinen yhtälö kanonisessa muodossa. Tässä yhtälössä parametrit a , b Ja c ovat samat kuin arvot 25, 10 ja 200.

Itse asiassa yhtälö ax + by = c on ääretön määrä ratkaisuja. Yhtälön ratkaiseminen 25x+ 10y= 200, etsimme sen juuria vain kokonaislukujoukosta. Tuloksena saimme useita arvopareja, jotka muuttivat tämän yhtälön identiteetiksi. Mutta kuvauksissa rationaalisia lukuja yhtälö 25 x+ 10y= 200:lla on ääretön määrä ratkaisuja.

Saadaksesi uusia arvopareja, sinun on otettava mielivaltainen arvo x, sitten ilmaista y. Otetaan esimerkiksi muuttuja x arvo 7. Sitten saadaan yhtälö, jossa on yksi muuttuja 25×7 + 10y= 200 jossa ilmaista y

Antaa x= 15. Sitten yhtälö 25x+ 10y= 200 muuttuu 25 × 15:ksi + 10y= 200. Täältä löydämme sen y = −17,5

Antaa x= -3. Sitten yhtälö 25x+ 10y= 200 muuttuu 25 × (−3) + 10y= 200. Täältä löydämme sen y = −27,5

Kahden lineaarisen yhtälön järjestelmä kahdella muuttujalla

Yhtälölle ax + by = c voit ottaa minkä tahansa määrän mielivaltaisia ​​arvoja x ja löytää arvot y. Erikseen otettuna tällaisella yhtälöllä on ääretön määrä ratkaisuja.

Mutta myös tapahtuu, että muuttujat x Ja y ei yhdistetty yhdellä, vaan kahdella yhtälöllä. Tässä tapauksessa ne muodostavat ns lineaarinen yhtälöjärjestelmä kahdella muuttujalla. Tällaisella yhtälöjärjestelmällä voi olla yksi arvopari (tai toisin sanoen: "yksi ratkaisu").

Voi myös käydä niin, että järjestelmällä ei ole ratkaisuja ollenkaan. Lineaariyhtälöjärjestelmällä voi olla ääretön määrä ratkaisuja harvinaisissa ja poikkeuksellisissa tapauksissa.

Kaksi lineaarista yhtälöä muodostavat järjestelmän, kun arvot x Ja y sisältyvät jokaiseen näistä yhtälöistä.

Palataanpa aivan ensimmäiseen yhtälöön 25 x+ 10y= 200. Yksi tämän yhtälön arvopareista oli pari (6; 5) . Näin on, kun 200 ruplalla voisi ostaa 6 kakkua ja 5 kuppia kahvia.

Teemme tehtävän niin, että parista (6; 5) tulee yhtälön 25 ainoa ratkaisu x+ 10y= 200. Tätä varten laadimme toisen yhtälön, joka yhdistäisi saman x kakut ja y kupit kahvia.

Laitetaan tehtävän teksti seuraavasti:

”Koulupoika osti useita kakkuja ja useita kupillisia kahvia 200 ruplalla. Kakku maksaa 25 ruplaa ja kuppi kahvia 10 ruplaa. Kuinka monta kakkua ja kuppia kahvia opiskelija osti, jos tiedetään, että kakkuja on yksi enemmän kuin kupillisia kahvia?

Meillä on jo ensimmäinen yhtälö. Tämä on yhtälö 25 x+ 10y= 200. Nyt kirjoitetaan yhtälö ehdolle "kakkujen määrä on yksi yksikkö enemmän kuin kahvikuppien määrä" .

Kakkujen määrä on x, ja kahvikuppien määrä on y. Voit kirjoittaa tämän lauseen yhtälön avulla x − y= 1. Tämä yhtälö tarkoittaisi, että kakkujen ja kahvin välinen ero on 1.

x=y+ 1. Tämä yhtälö tarkoittaa, että kakkujen määrä on yksi enemmän kuin kahvikuppien määrä. Siksi tasa-arvon saavuttamiseksi kahvikuppien määrään lisätään yksi. Tämä voidaan helposti ymmärtää, jos käytämme painomallia, jota harkitsimme tutkiessamme yksinkertaisimpia ongelmia:

Saatiin kaksi yhtälöä: 25 x+ 10y= 200 ja x=y+ 1. Koska arvot x Ja y, nimittäin 6 ja 5 sisältyvät jokaiseen näistä yhtälöistä, niin ne yhdessä muodostavat järjestelmän. Kirjoitetaan tämä järjestelmä ylös. Jos yhtälöt muodostavat järjestelmän, ne kehystetään järjestelmän etumerkillä. Järjestelmämerkki on kihara aaltosulje:

Ratkaistaan ​​tämä järjestelmä. Tämä antaa meille mahdollisuuden nähdä, kuinka saavutamme arvot 6 ja 5. Tällaisten järjestelmien ratkaisemiseen on monia menetelmiä. Harkitse niistä suosituimpia.

Korvausmenetelmä

Tämän menetelmän nimi puhuu puolestaan. Sen olemus on korvata yhtälö toisella, kun se on aiemmin ilmaissut yhden muuttujista.

Meidän järjestelmässämme ei tarvitse ilmaista mitään. Toisessa yhtälössä x = y+ 1 muuttuja x jo ilmaistu. Tämä muuttuja on yhtä suuri kuin lauseke y+ 1. Sitten voit korvata tämän lausekkeen ensimmäisessä yhtälössä muuttujan sijaan x

Ilmaisun korvaamisen jälkeen y+ 1 ensimmäiseen yhtälöön sen sijaan x, saamme yhtälön 25(y+ 1) + 10y= 200 . Tämä on lineaarinen yhtälö, jossa on yksi muuttuja. Tämä yhtälö on melko helppo ratkaista:

Löysimme muuttujan arvon y. Nyt korvaamme tämän arvon johonkin yhtälöstä ja löydämme arvon x. Tätä varten on kätevää käyttää toista yhtälöä x = y+ 1. Laitetaan arvo siihen y

Joten pari (6; 5) on ratkaisu yhtälöjärjestelmään, kuten tarkoitimme. Tarkistamme ja varmistamme, että pari (6; 5) täyttää järjestelmän:

Esimerkki 2

Korvaa ensimmäinen yhtälö x= 2 + y toiseen yhtälöön 3 x - 2y= 9. Ensimmäisessä yhtälössä muuttuja x on yhtä suuri kuin lauseke 2 + y. Korvaamme tämän lausekkeen toiseen yhtälöön sen sijaan x

Etsitään nyt arvo x. Voit tehdä tämän korvaamalla arvon y ensimmäiseen yhtälöön x= 2 + y

Joten järjestelmän ratkaisu on parin arvo (5; 3)

Esimerkki 3. Ratkaise seuraava yhtälöjärjestelmä korvausmenetelmällä:

Tässä, toisin kuin edellisissä esimerkeissä, yhtä muuttujista ei ole eksplisiittisesti ilmaistu.

Korvaaksesi yhtälön toisella, tarvitset ensin .

On toivottavaa ilmaista muuttuja, jonka kerroin on yksi. Kertoimen yksikössä on muuttuja x, joka sisältyy ensimmäiseen yhtälöön x+ 2y= 11. Ilmaistaan ​​tämä muuttuja.

Muuttuvan lausekkeen jälkeen x, järjestelmämme näyttää tältä:

Nyt korvaamme ensimmäisen yhtälön toisella ja löydämme arvon y

Korvaava y x

Joten järjestelmän ratkaisu on arvojen pari (3; 4)

Voit tietysti myös ilmaista muuttujan y. Juuret eivät muutu. Mutta jos ilmaiset y, tuloksena ei ole kovin yksinkertainen yhtälö, jonka ratkaiseminen vie enemmän aikaa. Se näyttää tältä:

Näemme sen tässä esimerkissä ilmaista x paljon kätevämpää kuin ilmaiseminen y .

Esimerkki 4. Ratkaise seuraava yhtälöjärjestelmä korvausmenetelmällä:

Ilmaise ensimmäisessä yhtälössä x. Sitten järjestelmä saa muodon:

y

Korvaava y ensimmäiseen yhtälöön ja löydä x. Voit käyttää alkuperäistä yhtälöä 7 x+ 9y= 8 tai käytä yhtälöä, jossa muuttuja ilmaistaan x. Käytämme tätä yhtälöä, koska se on kätevä:

Joten järjestelmän ratkaisu on arvopari (5; −3)

Lisäysmenetelmä

Yhteenlaskumenetelmä on lisätä termi kerrallaan järjestelmään sisältyvät yhtälöt. Tämä summaus johtaa uuteen yhden muuttujan yhtälöön. Ja tämä yhtälö on melko helppo ratkaista.

Ratkaistaan ​​seuraava yhtälöjärjestelmä:

Lisää ensimmäisen yhtälön vasen puoli toisen yhtälön vasemmalle puolelle. A oikea puoli ensimmäinen yhtälö kanssa oikea puoli toinen yhtälö. Saamme seuraavan tasa-arvon:

Tässä on samanlaisia ​​termejä:

Tuloksena saimme yksinkertaisimman yhtälön 3 x= 27 jonka juuri on 9. Arvon tunteminen x voit löytää arvon y. Korvaa arvo x toiseen yhtälöön x − y= 3. Saamme 9 − y= 3. Täältä y= 6 .

Joten järjestelmän ratkaisu on arvojen pari (9; 6)

Esimerkki 2

Lisää ensimmäisen yhtälön vasen puoli toisen yhtälön vasemmalle puolelle. Ja ensimmäisen yhtälön oikea puoli toisen yhtälön oikean puolen kanssa. Tuloksena olevassa tasa-arvossa esitämme samankaltaiset termit:

Tuloksena saimme yksinkertaisimman yhtälön 5 x= 20, jonka juuri on 4. Arvon tunteminen x voit löytää arvon y. Korvaa arvo x ensimmäiseen yhtälöön 2 x+y= 11. Otetaan 8+ y= 11. Täältä y= 3 .

Joten järjestelmän ratkaisu on arvopari (4;3)

Lisäysprosessia ei kuvata yksityiskohtaisesti. Se on tehtävä mielessä. Kun lisäät, molemmat yhtälöt on pelkistettävä kanoniseen muotoon. Eli mieleen ac+by=c .

Tarkastetuista esimerkeistä voidaan nähdä, että yhtälöiden lisäämisen päätavoite on päästä eroon yhdestä muuttujasta. Mutta yhtälöjärjestelmää ei aina ole mahdollista ratkaista välittömästi summausmenetelmällä. Useimmiten järjestelmä saatetaan alustavasti sellaiseen muotoon, jossa on mahdollista lisätä tähän järjestelmään sisältyvät yhtälöt.

Esimerkiksi järjestelmä voidaan ratkaista suoraan lisäysmenetelmällä. Kun lisäät molemmat yhtälöt, termit y Ja −y katoavat, koska niiden summa on nolla. Tuloksena muodostuu yksinkertaisin yhtälö 11 x= 22 , jonka juuri on 2. Silloin on mahdollista määrittää y yhtä suuri kuin 5.

Ja yhtälöjärjestelmä summausmenetelmää ei voida ratkaista heti, koska se ei johda yhden muuttujan katoamiseen. Lisäys johtaa yhtälöön 8 x+ y= 28 , jolla on ääretön määrä ratkaisuja.

Jos yhtälön molemmat osat kerrotaan tai jaetaan samalla luvulla, joka ei ole nolla, saadaan yhtälö, joka vastaa annettua yhtälöä. Tämä sääntö pätee myös lineaarisille yhtälöille, joissa on kaksi muuttujaa. Toinen yhtälöistä (tai molemmat yhtälöt) voidaan kertoa jollakin luvulla. Tuloksena on vastaava järjestelmä, jonka juuret ovat samat kuin edellisen.

Palataan aivan ensimmäiseen järjestelmään, jossa kuvattiin kuinka monta kakkua ja kuppia kahvia opiskelija osti. Tämän järjestelmän ratkaisu oli arvopari (6; 5) .

Kerromme molemmat tähän järjestelmään sisältyvät yhtälöt joillakin luvuilla. Oletetaan, että kerromme ensimmäisen yhtälön 2:lla ja toisen 3:lla

Tuloksena on järjestelmä
Ratkaisu tähän järjestelmään on edelleen arvopari (6; 5)

Tämä tarkoittaa, että järjestelmään sisältyvät yhtälöt voidaan pelkistää summausmenetelmän soveltamiseen sopivaan muotoon.

Takaisin järjestelmään , jota emme voineet ratkaista summausmenetelmällä.

Kerro ensimmäinen yhtälö 6:lla ja toinen -2:lla

Sitten saamme seuraavan järjestelmän:

Lisäämme tähän järjestelmään sisältyvät yhtälöt. Komponenttien lisäys 12 x ja -12 x tuloksena on 0, lisäys 18 y ja 4 y antaa 22 y, ja lisäämällä 108 ja −20 saadaan 88. Sitten saadaan yhtälö 22 y= 88, siis y = 4 .

Jos yhtälöiden lisääminen mielessäsi on aluksi vaikeaa, voit kirjoittaa ylös, kuinka se summautuu vasen puoli ensimmäisen yhtälön oikea puoli toisen yhtälön vasemmalla puolella ja ensimmäisen yhtälön oikea puoli toisen yhtälön oikealla puolella:

Tietäen, että muuttujan arvo y on 4, löydät arvon x. Korvaava y johonkin yhtälöstä, esimerkiksi ensimmäiseen yhtälöön 2 x+ 3y= 18. Sitten saamme yhtälön yhdellä muuttujalla 2 x+ 12 = 18 . Siirrämme 12 oikealle vaihtamalla merkkiä, saamme 2 x= 6, siis x = 3 .

Esimerkki 4. Ratkaise seuraava yhtälöjärjestelmä summausmenetelmällä:

Kerro toinen yhtälö −1:llä. Sitten järjestelmä saa seuraavan muodon:

Lisätään molemmat yhtälöt. Komponenttien lisäys x Ja −x tuloksena on 0, lisäys 5 y ja 3 y antaa 8 y, ja lisäämällä 7 ja 1 saadaan 8. Tuloksena on yhtälö 8 y= 8 , jonka juuri on 1. Tietäen, että arvo y on 1, voit löytää arvon x .

Korvaava y ensimmäiseen yhtälöön, saamme x+5 = 7, siis x= 2

Esimerkki 5. Ratkaise seuraava yhtälöjärjestelmä summausmenetelmällä:

On toivottavaa, että samat muuttujat sisältävät termit sijaitsevat toistensa alla. Siksi toisessa yhtälössä termit 5 y ja −2 x vaihtaa paikkaa. Tämän seurauksena järjestelmä saa muotoa:

Kerro toinen yhtälö kolmella. Sitten järjestelmä saa muodon:

Lisätään nyt molemmat yhtälöt. Summauksen tuloksena saamme yhtälön 8 y= 16 , jonka juuri on 2.

Korvaava y ensimmäiseen yhtälöön, saamme 6 x− 14 = 40 . Siirrämme termin −14 oikealle vaihtamalla merkkiä, saamme 6 x= 54. Täältä x= 9.

Esimerkki 6. Ratkaise seuraava yhtälöjärjestelmä summausmenetelmällä:

Päästään eroon murtoluvuista. Kerro ensimmäinen yhtälö 36:lla ja toinen 12:lla

Tuloksena syntyvässä järjestelmässä ensimmäinen yhtälö voidaan kertoa −5:llä ja toinen 8:lla

Lisätään yhtälöt tuloksena olevaan järjestelmään. Sitten saadaan yksinkertaisin yhtälö −13 y= -156 . Täältä y= 12. Korvaava y ensimmäiseen yhtälöön ja löydä x

Esimerkki 7. Ratkaise seuraava yhtälöjärjestelmä summausmenetelmällä:

Tuomme molemmat yhtälöt normaalimuotoon. Tässä on kätevää soveltaa suhteellisuussääntöä molemmissa yhtälöissä. Jos ensimmäisessä yhtälössä oikea puoli esitetään muodossa , ja toisen yhtälön oikea puoli on , niin järjestelmä saa muodon:

Meillä on osuus. Kerromme sen ääri- ja keskitermit. Sitten järjestelmä saa muodon:

Kerrotaan ensimmäinen yhtälö −3:lla ja avataan sulut toisessa:

Lisätään nyt molemmat yhtälöt. Näiden yhtälöiden lisäämisen tuloksena saamme yhtälön, jonka molemmissa osissa on nolla:

Osoittautuu, että järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja.

Mutta emme voi vain ottaa mielivaltaisia ​​arvoja taivaalta x Ja y. Voimme määrittää yhden arvoista, ja toinen määritetään määrittämämme arvon mukaan. Esimerkiksi anna x= 2. Korvaa tämä arvo järjestelmään:

Yhden yhtälön ratkaisemisen seurauksena arvo for y, joka täyttää molemmat yhtälöt:

Tuloksena oleva arvopari (2; −2) täyttää järjestelmän:

Etsitään toinen arvopari. Antaa x= 4. Korvaa tämä arvo järjestelmään:

Se voidaan määrittää silmällä y on yhtä kuin nolla. Sitten saamme arvoparin (4; 0), joka täyttää järjestelmämme:

Esimerkki 8. Ratkaise seuraava yhtälöjärjestelmä summausmenetelmällä:

Kerro ensimmäinen yhtälö 6:lla ja toinen 12:lla

Kirjoitetaan uudelleen, mitä on jäljellä:

Kerro ensimmäinen yhtälö −1:llä. Sitten järjestelmä saa muodon:

Lisätään nyt molemmat yhtälöt. Summauksen tuloksena muodostuu yhtälö 6 b= 48 , jonka juuri on 8. Korvaa b ensimmäiseen yhtälöön ja löydä a

Lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jossa on kolme muuttujaa

Lineaarinen yhtälö, jossa on kolme muuttujaa, sisältää kolme muuttujaa kertoimilla sekä leikkauspisteen. Kanonisessa muodossa se voidaan kirjoittaa seuraavasti:

ax + by + cz = d

Tällä yhtälöllä on ääretön määrä ratkaisuja. Antaa kaksi muuttujaa erilaisia ​​merkityksiä, löydät kolmannen arvon. Ratkaisu tässä tapauksessa on arvojen kolminkertainen ( x; y; z), joka muuttaa yhtälön identiteetiksi.

Jos muuttujia x, y, z on yhdistetty kolmella yhtälöllä, niin muodostuu kolmen lineaarisen yhtälön järjestelmä, jossa on kolme muuttujaa. Sellaisen järjestelmän ratkaisemiseksi voit käyttää samoja menetelmiä kuin lineaarisissa yhtälöissä, joissa on kaksi muuttujaa: korvausmenetelmä ja summausmenetelmä.

Esimerkki 1. Ratkaise seuraava yhtälöjärjestelmä korvausmenetelmällä:

Ilmaisemme kolmannessa yhtälössä x. Sitten järjestelmä saa muodon:

Tehdään nyt vaihto. Muuttuva x on yhtä suuri kuin lauseke 3 − 2y − 2z . Korvaa tämä lauseke ensimmäiseen ja toiseen yhtälöön:

Avataan molempien yhtälöiden sulut ja annetaan vastaavat termit:

Olemme päässeet lineaariseen yhtälöjärjestelmään, jossa on kaksi muuttujaa. Tässä tapauksessa on kätevää käyttää lisäysmenetelmää. Tämän seurauksena muuttuja y katoaa ja voimme löytää muuttujan arvon z

Etsitään nyt arvo y. Tätä varten on kätevää käyttää yhtälöä − y+ z= 4. Korvaa arvo z

Etsitään nyt arvo x. Tätä varten on kätevää käyttää yhtälöä x= 3 − 2y − 2z . Korvaa arvot siihen y Ja z

Siten arvojen kolmoisosa (3; −2; 2) on ratkaisu järjestelmäämme. Tarkistamalla varmistamme, että nämä arvot täyttävät järjestelmän:

Esimerkki 2. Ratkaise järjestelmä summausmenetelmällä

Lisätään ensimmäinen yhtälö ja toinen kerrottuna −2:lla.

Jos toinen yhtälö kerrotaan -2:lla, se saa muodon −6x+ 6y- 4z = −4 . Lisää se nyt ensimmäiseen yhtälöön:

Näemme, että alkeismuunnosten tuloksena muuttujan arvo määritettiin x. Se on yhtä suuri kuin yksi.

Palataan pääjärjestelmään. Lisätään toinen yhtälö kolmanteen kerrottuna −1:llä. Jos kolmas yhtälö kerrotaan −1:llä, se saa muodon −4x + 5y − 2z = −1 . Lisää se nyt toiseen yhtälöön:

Selvisi yhtälö x - 2y= -1. Korvaa arvo siihen x jonka löysimme aiemmin. Sitten voimme määrittää arvon y

Nyt tunnemme arvot x Ja y. Tämän avulla voit määrittää arvon z. Käytämme yhtä järjestelmään sisältyvistä yhtälöistä:

Siten arvojen kolmoisosa (1; 1; 1) on ratkaisu järjestelmäämme. Tarkistamalla varmistamme, että nämä arvot täyttävät järjestelmän:

Tehtävät lineaaristen yhtälöjärjestelmien laatimiseen

Yhtälöjärjestelmien laatimistehtävä ratkaistaan ​​ottamalla käyttöön useita muuttujia. Seuraavaksi laaditaan yhtälöt tehtävän ehtojen perusteella. Käännetyistä yhtälöistä ne muodostavat järjestelmän ja ratkaisevat sen. Kun järjestelmä on ratkaistu, on tarpeen tarkistaa, täyttääkö sen ratkaisu ongelman ehdot.

Tehtävä 1. Volga-auto lähti kaupungista kolhoosiin. Hän palasi takaisin toista tietä, joka oli 5 km lyhyempi kuin ensimmäinen. Yhteensä autolla ajettiin 35 km molempiin suuntiin. Kuinka monta kilometriä kukin tie on pitkä?

Ratkaisu

Antaa x- ensimmäisen tien pituus, y- toisen pituus. Jos auto ajoi 35 km molempiin suuntiin, niin ensimmäinen yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa x+ y= 35. Tämä yhtälö kuvaa molempien teiden pituuksien summaa.

Auton kerrotaan palaavan takaisin tietä, joka oli 5 km lyhyempi kuin ensimmäinen. Sitten toinen yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa x− y= 5. Tämä yhtälö osoittaa, että teiden pituuksien ero on 5 km.

Tai toinen yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa x= y+ 5. Käytämme tätä yhtälöä.

Koska muuttujat x Ja y molemmissa yhtälöissä merkitsevät samaa numeroa, niin voimme muodostaa niistä järjestelmän:

Ratkaistaan ​​tämä järjestelmä jollakin aiemmin tutkituista menetelmistä. Tässä tapauksessa on kätevää käyttää korvausmenetelmää, koska toisessa yhtälössä muuttuja x jo ilmaistu.

Korvaa toinen yhtälö ensimmäisellä ja etsi y

Korvaa löydetty arvo y toiseen yhtälöön x= y+ 5 ja löydä x

Ensimmäisen tien pituus merkittiin muuttujalla x. Nyt olemme löytäneet sen merkityksen. Muuttuva x on 20. Ensimmäisen tien pituus on siis 20 km.

Ja toisen tien pituus osoitti y. Tämän muuttujan arvo on 15. Toisen tien pituus on siis 15 km.

Tehdään tarkistus. Varmista ensin, että järjestelmä on ratkaistu oikein:

Tarkastetaan nyt, täyttääkö ratkaisu (20; 15) ongelman ehdot.

Autolla kerrottiin ajaneen yhteensä 35 km molempiin suuntiin. Lisäämme molempien teiden pituudet ja varmistamme, että ratkaisu (20; 15) tyydyttää tämä ehto: 20 km + 15 km = 35 km

Seuraava ehto: auto palasi takaisin toista tietä, joka oli 5 km lyhyempi kuin ensimmäinen . Näemme, että ratkaisu (20; 15) myös täyttää tämän ehdon, koska 15 km on lyhyempi kuin 20 km x 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Järjestelmää laadittaessa on tärkeää, että muuttujat merkitsevät samoja lukuja kaikissa tähän järjestelmään sisältyvissä yhtälöissä.

Joten järjestelmämme sisältää kaksi yhtälöä. Nämä yhtälöt puolestaan ​​sisältävät muuttujat x Ja y, jotka merkitsevät samoja numeroita molemmissa yhtälöissä, nimittäin teiden pituuksia 20 km ja 15 km.

Tehtävä 2. Lavalle lastattiin tammi- ja mänty ratapölkyjä, yhteensä 300 ratapölkkyä. Tiedetään, että kaikki tammi ratapölkyt painoivat 1 tonnin vähemmän kuin kaikki mänty ratapölkyt. Selvitä kuinka monta tammi- ja mänty ratapölkkyjä oli erikseen, jos jokainen tammi ratapölkky painoi 46 kg ja kukin mänty ratapölkky 28 kg.

Ratkaisu

Antaa x tammi ja y mänty ratapölkyt lastattiin laiturille. Jos ratapölkyjä oli yhteensä 300, niin ensimmäinen yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa x+y = 300 .

Kaikki tammi ratapölkyt painoivat 46 x kg ja mänty painoi 28 y kg. Koska tammi ratapölkky painoi 1 tonnin vähemmän kuin mänty ratapölkky, toinen yhtälö voidaan kirjoittaa 28y- 46x= 1000 . Tämä yhtälö osoittaa, että tammi- ja mänty ratapölkkyjen välinen massaero on 1000 kg.

Tonnit on muutettu kilogrammoiksi, koska tammi- ja mäntypölkkyjen massa mitataan kilogrammoina.

Tuloksena saadaan kaksi yhtälöä, jotka muodostavat järjestelmän

Ratkaistaan ​​tämä järjestelmä. Ilmaise ensimmäisessä yhtälössä x. Sitten järjestelmä saa muodon:

Korvaa ensimmäinen yhtälö toisella ja etsi y

Korvaava y yhtälöön x= 300 − y ja ota selvää mitä x

Tämä tarkoittaa, että lavalle lastattiin 100 tammi- ja 200 mäntyä ratapölkkyä.

Tarkastetaan, täyttääkö ratkaisu (100; 200) ongelman ehdot. Varmista ensin, että järjestelmä on ratkaistu oikein:

Nukkujia kerrottiin olevan yhteensä 300. Laskemme yhteen tammi- ja mäntypölkkyjen lukumäärät ja varmistamme, että ratkaisu (100; 200) täyttää tämän ehdon: 100 + 200 = 300.

Seuraava ehto: kaikki tammi ratapölkyt painoivat 1 tonnin vähemmän kuin kaikki mänty . Näemme, että ratkaisu (100; 200) myös täyttää tämän ehdon, koska 46 × 100 kg tammi ratapölkkyjä on kevyempiä kuin 28 × 200 kg mänty ratapölkkyjä: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Tehtävä 3. Otimme kolme kappaletta kuparin ja nikkelin seosta painosuhteissa 2:1, 3:1 ja 5:1. Näistä 12 kg painava kappale sulatettiin kuparin ja nikkelin suhteen 4:1. Etsi jokaisen alkuperäisen kappaleen massa, jos ensimmäisen massa kaksinkertaistuu lisää massaa toinen.