Tässä videossa analysoimme koko sarjan lineaarisia yhtälöitä, jotka ratkaistaan ​​samalla algoritmilla - siksi niitä kutsutaan yksinkertaisimmiksi.

Ensin määritellään: mikä on lineaarinen yhtälö ja kumpaa kutsutaan yksinkertaisimmiksi?

Lineaarinen yhtälö on sellainen, jossa on vain yksi muuttuja ja vain ensimmäisessä asteessa.

Yksinkertaisin yhtälö tarkoittaa rakennetta:

Kaikki muut lineaariset yhtälöt pelkistetään yksinkertaisimpiin käyttämällä algoritmia:

1. Laajenna sulut, jos sellaisia ​​on;
2. Siirrä muuttujan sisältävät termit yhtäläisyysmerkin toiselle puolelle ja termit ilman muuttujaa toiselle puolelle;
3. Anna samanlaiset termit yhtäläisyysmerkin vasemmalle ja oikealle puolelle;
4. Jaa saatu yhtälö muuttujan $x$ kertoimella.

Tämä algoritmi ei tietenkään aina auta. Tosiasia on, että joskus kaikkien näiden koneistusten jälkeen muuttujan $x$ kerroin osoittautuu nollaksi. Tässä tapauksessa kaksi vaihtoehtoa on mahdollista:

1. Yhtälöllä ei ole lainkaan ratkaisuja. Esimerkiksi kun jotain $0\cdot x=8$ käy ilmi, ts. vasemmalla on nolla ja oikealla on jokin muu luku kuin nolla. Alla olevassa videossa tarkastellaan useita syitä, miksi tämä tilanne on mahdollinen.
2. Ratkaisu on kaikki numerot. Ainoa tapaus, jolloin tämä on mahdollista, on, kun yhtälö on pelkistetty konstruktioon $0\cdot x=0$. On aivan loogista, että riippumatta siitä, mitä $x$ korvaamme, siitä huolimatta tulee esiin "nolla on yhtä kuin nolla", ts. oikea numeerinen yhtäläisyys.

Katsotaan nyt, miten tämä kaikki toimii tosielämän esimerkein.

Esimerkkejä yhtälöiden ratkaisemisesta

Nykyään käsittelemme lineaarisia yhtälöitä ja vain yksinkertaisimpia. Yleensä lineaarinen yhtälö tarkoittaa mitä tahansa yhtälöä, joka sisältää täsmälleen yhden muuttujan, ja se menee vain ensimmäiseen asteeseen.

Tällaiset rakenteet ratkaistaan ​​suunnilleen samalla tavalla:

1. Ensinnäkin sinun on laajennettava sulkuja, jos niitä on (kuten viimeisessä esimerkissämme);
2. Yhdistä sitten samanlaiset
3. Lopuksi eristetään muuttuja, ts. siirrä kaikki muuttujaan liittyvä – sen sisältämät termit – toiselle puolelle ja kaikki, mikä jää ilman sitä, toiselle puolelle.

Sitten sinun on pääsääntöisesti tuotava samanlaiset molemmille puolille tuloksena olevaa yhtäläisyyttä, ja sen jälkeen jäljellä on vain jakaa kertoimella “x”, ja saamme lopullisen vastauksen.

Teoriassa tämä näyttää mukavalta ja yksinkertaiselta, mutta käytännössä jopa kokeneet lukiolaiset voivat tehdä loukkaavia virheitä melko yksinkertaisissa lineaarisissa yhtälöissä. Tyypillisesti virheitä tehdään joko sulkuja avattaessa tai "plussia" ja "miinuksia" laskettaessa.

Lisäksi käy niin, että lineaarisella yhtälöllä ei ole ratkaisuja ollenkaan tai ratkaisu on koko lukuviiva, ts. mikä tahansa numero. Tarkastelemme näitä hienouksia tämän päivän oppitunnilla. Mutta aloitamme, kuten jo ymmärsit, erittäin yksinkertaisia ​​tehtäviä.

Kaavio yksinkertaisten lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi

Ensinnäkin kirjoitan vielä kerran koko kaavion yksinkertaisimpien lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi:

1. Laajenna kiinnikkeitä, jos sellaisia ​​on.
2. Eristämme muuttujat, ts. Siirrämme kaiken, mikä sisältää "X":n toiselle puolelle ja kaiken ilman X:ää toiselle.
3. Esittelemme samanlaisia ​​termejä.
4. Jaamme kaiken kertoimella "x".

Tämä järjestelmä ei tietenkään aina toimi, siinä on tiettyjä hienouksia ja temppuja, ja nyt opimme tuntemaan ne.

Tosiesimerkkien ratkaiseminen yksinkertaisista lineaarisista yhtälöistä

Tehtävä nro 1

Ensimmäinen vaihe vaatii, että avaamme sulut. Mutta ne eivät ole tässä esimerkissä, joten ohitamme tämän vaiheen. Toisessa vaiheessa meidän on eristettävä muuttujat. Huomautus: me puhumme vain yksittäisistä ehdoista. Kirjoitetaan se ylös:

Esittelemme samanlaisia ​​termejä vasemmalla ja oikealla, mutta tämä on jo tehty täällä. Siksi siirrymme neljänteen vaiheeseen: jaa kertoimella:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Joten saimme vastauksen.

Tehtävä nro 2

Näemme tässä tehtävässä sulut, joten laajennetaan niitä:

Sekä vasemmalla että oikealla näemme suunnilleen saman mallin, mutta toimitaan algoritmin mukaan, ts. erottamalla muuttujat:

Tässä on joitain samanlaisia:

Millä juurilla tämä toimii? Vastaus: mihin tahansa. Siksi voimme kirjoittaa, että $x$ on mikä tahansa luku.

Tehtävä nro 3

Kolmas lineaarinen yhtälö on mielenkiintoisempi:

\[\vasen(6-x \oikea)+\vasen(12+x \oikea)-\vasen(3-2x \oikea)=15\]

Tässä on useita sulkuja, mutta niitä ei kerrota millään, vaan niitä edeltää yksinkertaisesti eri merkkejä. Puretaan ne:

Suoritamme jo tuntemamme toisen vaiheen:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Tehdään laskelma:

Me toteutamme viimeinen askel— jaa kaikki kertoimella "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Muistettavaa, kun ratkaiset lineaarisia yhtälöitä

Jos jätämme huomiotta liian yksinkertaiset tehtävät, haluaisin sanoa seuraavaa:

• Kuten edellä sanoin, jokaisella lineaarisella yhtälöllä ei ole ratkaisua - joskus juuria ei yksinkertaisesti ole;
• Vaikka juuret olisivat, niiden joukossa voi olla nolla - siinä ei ole mitään vikaa.

Nolla on sama luku kuin muutkin; sinun ei pitäisi syrjiä sitä millään tavalla tai olettaa, että jos saat nollan, olet tehnyt jotain väärin.

Toinen ominaisuus liittyy kiinnikkeiden avaamiseen. Huomaa: kun niiden edessä on "miinus", poistamme sen, mutta suluissa vaihdamme merkit muotoon vastapäätä. Ja sitten voimme avata sen vakioalgoritmeilla: saamme sen, mitä näimme yllä olevissa laskelmissa.

Tämän yksinkertaisen tosiasian ymmärtäminen auttaa sinua välttämään typeriä ja loukkaavia virheitä lukiossa, kun tällaisten asioiden tekeminen on itsestäänselvyys.

Monimutkaisten lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen

Siirrytään monimutkaisempiin yhtälöihin. Nyt rakenteet monimutkaistuvat ja erilaisia ​​muunnoksia suoritettaessa tulee näkyviin neliöfunktio. Tätä ei kuitenkaan pidä pelätä, koska jos tekijän suunnitelman mukaan ratkaisemme lineaarisen yhtälön, niin muunnosprosessin aikana kaikki neliöfunktion sisältävät monomit varmasti kumoutuvat.

Esimerkki nro 1

On selvää, että ensimmäinen askel on avata sulut. Tehdään tämä erittäin huolellisesti:

Katsotaanpa nyt yksityisyyttä:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Tässä on joitain samanlaisia:

Ilmeisesti tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja, joten kirjoitamme tämän vastaukseen:

\[\varnothing\]

tai sitten ei ole juuria.

Esimerkki nro 2

Suoritamme samat toiminnot. Ensimmäinen askel:

Siirretään kaikki muuttujan kanssa vasemmalle ja ilman sitä - oikealle:

Tässä on joitain samanlaisia:

Ilmeisesti tällä lineaarisella yhtälöllä ei ole ratkaisua, joten kirjoitamme sen näin:

\[\varnothing\],

tai sitten ei ole juuria.

Ratkaisun vivahteet

Molemmat yhtälöt ovat täysin ratkaistu. Näitä kahta lauseketta esimerkkinä käyttämällä vakuutimme jälleen, että yksinkertaisimmissakin lineaarisissa yhtälöissä kaikki ei välttämättä ole niin yksinkertaista: juuria voi olla joko yksi tai ei yhtään tai äärettömän monta juuria. Meidän tapauksessamme tarkastelimme kahta yhtälöä, molemmilla ei yksinkertaisesti ole juuria.

Mutta haluaisin kiinnittää huomiosi toiseen tosiasiaan: kuinka työskennellä sulkeiden kanssa ja kuinka avata ne, jos niiden edessä on miinusmerkki. Harkitse tätä ilmaisua:

Ennen avaamista sinun on kerrottava kaikki "X":llä. Huomaa: moninkertaistuu jokainen yksittäinen termi. Sisällä on kaksi termiä - vastaavasti kaksi termiä ja kerrottu.

Ja vasta kun nämä näennäisesti alkeelliset, mutta erittäin tärkeät ja vaaralliset muutokset on saatu päätökseen, voit avata sulun siltä kannalta, että sen jälkeen on miinusmerkki. Kyllä, kyllä: vasta nyt, kun muunnokset ovat valmiit, muistamme, että suluissa on miinusmerkki, mikä tarkoittaa, että kaikki alla oleva vain muuttaa merkkejä. Samaan aikaan itse kiinnikkeet katoavat ja mikä tärkeintä, myös etuosan "miinus" katoaa.

Teemme saman toisen yhtälön kanssa:

Ei ole sattumaa, että kiinnitän huomiota näihin pieniin, näennäisesti merkityksettömiin faktoihin. Koska yhtälöiden ratkaiseminen on aina elementaaristen muunnosten sarja, jossa kyvyttömyys suorittaa selkeästi ja pätevästi yksinkertaiset vaiheet johtaa siihen, että lukiolaiset tulevat luokseni ja oppivat jälleen ratkaisemaan niin yksinkertaisia ​​yhtälöitä.

Tietysti tulee päivä, jolloin hiotte näitä taitoja automaattisuuteen asti. Sinun ei enää tarvitse tehdä niin monia muunnoksia joka kerta, vaan kirjoitat kaiken yhdelle riville. Mutta kun olet vain oppimassa, sinun on kirjoitettava jokainen toiminto erikseen.

Vielä monimutkaisempien lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen

Sitä, mitä aiomme ratkaista nyt, voidaan tuskin kutsua yksinkertaisimmaksi tehtäväksi, mutta merkitys pysyy samana.

Tehtävä nro 1

\[\vasen(7x+1 \oikea)\vasen(3x-1 \oikea)-21((x)^(2))=3\]

Kerrotaan kaikki ensimmäisen osan elementit:

Tehdään vähän yksityisyyttä:

Tässä on joitain samanlaisia:

Suoritetaan viimeinen vaihe:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Tässä on lopullinen vastauksemme. Ja huolimatta siitä, että ratkaisuprosessissa meillä oli neliöfunktion kertoimia, ne kumosivat toisensa, mikä tekee yhtälöstä lineaarisen eikä neliöllisen.

Tehtävä nro 2

\[\vasen(1-4x \oikea)\vasen(1-3x \oikea)=6x\vasen(2x-1 \oikea)\]

Suoritetaan ensimmäinen vaihe huolellisesti: kerro jokainen elementti ensimmäisestä hakasulkeesta kullakin elementillä toisesta. Muutosten jälkeen tulee olla yhteensä neljä uutta termiä:

Suoritetaan nyt kertominen huolellisesti jokaisessa termissä:

Siirretään termit "X":llä vasemmalle ja termit, joissa ei ole - oikealle:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Tässä on samanlaisia ​​termejä:

Jälleen kerran olemme saaneet lopullisen vastauksen.

Ratkaisun vivahteet

Tärkein huomautus näistä kahdesta yhtälöstä on seuraava: heti kun alamme kertoa hakasulkuja, jotka sisältävät useamman kuin yhden termin, tämä tehdään seuraavan säännön mukaisesti: otetaan ensimmäinen termi ensimmäisestä ja kerrotaan jokaisella alkiolla toinen; sitten otetaan toinen elementti ensimmäisestä ja kerrotaan samalla tavalla jokaisella toisesta elementistä. Tämän seurauksena meillä on neljä toimikautta.

Tietoja algebrallisesta summasta

Tällä viimeisellä esimerkillä haluaisin muistuttaa oppilaita siitä, mitä algebrallinen summa. Klassisessa matematiikassa $1-7$ tarkoitamme yksinkertaista konstruktiota: vähennä seitsemän yhdestä. Algebrassa tarkoitamme tällä seuraavaa: numeroon "yksi" lisäämme toisen luvun, nimittäin "miinus seitsemän". Näin algebrallinen summa eroaa tavallisesta aritmeettisesta summasta.

Heti kun suoritat kaikkia muunnoksia, jokaista yhteenlaskua ja kertolaskua, alat nähdä edellä kuvatun kaltaisia ​​konstruktioita, sinulla ei yksinkertaisesti ole ongelmia algebrassa työskennellessäsi polynomien ja yhtälöiden kanssa.

Lopuksi katsotaan vielä muutama esimerkki, jotka ovat vieläkin monimutkaisempia kuin juuri tarkastelimme, ja niiden ratkaisemiseksi meidän on laajennettava hieman standardialgoritmiamme.

Yhtälöiden ratkaiseminen murtoluvuilla

Tällaisten tehtävien ratkaisemiseksi meidän on lisättävä algoritmiimme vielä yksi vaihe. Mutta aluksi haluan muistuttaa sinua algoritmistamme:

1. Avaa kiinnikkeet.
2. Erilliset muuttujat.
3. Tuo samanlaisia.
4. Jaa suhteella.

Valitettavasti tämä upea algoritmi kaikesta tehokkuudestaan ​​​​huolimatta ei osoittautunut täysin sopivaksi, kun meillä on edessämme murto-osia. Ja mitä näemme alla, meillä on murto-osa sekä vasemmalla että oikealla molemmissa yhtälöissä.

Kuinka toimia tässä tapauksessa? Kyllä, se on hyvin yksinkertaista! Tätä varten sinun on lisättävä algoritmiin vielä yksi vaihe, joka voidaan tehdä sekä ennen ensimmäistä toimintoa että sen jälkeen, nimittäin murto-osien poistaminen. Algoritmi tulee siis olemaan seuraava:

1. Päästä eroon murtoluvuista.
2. Avaa kiinnikkeet.
3. Erilliset muuttujat.
4. Tuo samanlaisia.
5. Jaa suhteella.

Mitä tarkoittaa "eroon murto-osista"? Ja miksi tämä voidaan tehdä sekä ensimmäisen vakiovaiheen jälkeen että ennen sitä? Itse asiassa meidän tapauksessamme kaikki murtoluvut ovat nimittäjällään numeerisia, ts. Kaikkialla nimittäjä on vain numero. Siksi, jos kerromme yhtälön molemmat puolet tällä luvulla, pääsemme eroon murtoluvuista.

Esimerkki nro 1

\[\frac(\vasen(2x+1 \oikea)\vasen(2x-3 \oikea))(4)=((x)^(2))-1\]

Päätetään eroon tämän yhtälön murtoluvuista:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Huomaa: kaikki kerrotaan "neljällä" kerran, ts. se, että sinulla on kaksi sulkumerkkiä, ei tarkoita, että sinun täytyy kertoa jokainen niistä "neljällä". kirjoitetaan:

\[\vasen(2x+1 \oikea)\vasen(2x-3 \oikea)=\vasen(((x)^(2))-1 \oikea)\cdot 4\]

Nyt laajennetaan:

Erotamme muuttujan:

Suoritamme vastaavien termien vähentämisen:

\[-4x=-1\left| :\vasen(-4 \oikea) \oikea.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Olemme saaneet lopullisen ratkaisun, siirrytään toiseen yhtälöön.

Esimerkki nro 2

\[\frac(\vasen(1-x \oikea)\vasen(1+5x \oikea))(5)+((x)^(2))=1\]

Täällä teemme kaikki samat toiminnot:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Ongelma on ratkaistu.

Se on itse asiassa kaikki, mitä halusin kertoa sinulle tänään.

Avainkohdat

Tärkeimmät havainnot ovat:

• Tunne lineaaristen yhtälöiden ratkaisualgoritmi.
• Kyky avata kiinnikkeitä.
• Älä huoli, jos näet neliöfunktiot, todennäköisimmin lisämuutosprosessissa ne vähenevät.
• Lineaarisissa yhtälöissä on kolmenlaisia ​​juuria, jopa yksinkertaisimpia: yksi juuri, koko lukurivi on juuri eikä juuria ollenkaan.

Toivon, että tämä oppitunti auttaa sinua hallitsemaan yksinkertaisen, mutta erittäin tärkeän aiheen kaiken matematiikan ymmärtämiseksi paremmin. Jos jokin on epäselvää, mene sivustolle ja ratkaise siellä esitetyt esimerkit. Pysy kuulolla, paljon muuta mielenkiintoista odottaa sinua!

Lineaariset yhtälöt. Ratkaisu, esimerkkejä.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaalit erityisosastossa 555.
Niille, jotka ovat erittäin "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Lineaariset yhtälöt.

Lineaariset yhtälöt- ei vaikein aihe koulun matematiikka. Mutta siellä on joitain temppuja, jotka voivat hämmentää jopa koulutetun opiskelijan. Otetaanpa selvää?)

Tyypillisesti lineaarinen yhtälö määritellään yhtälöksi, jonka muoto on:

kirves + b = 0 Missä a ja b- mitkä tahansa numerot.

2x + 7 = 0. Tässä a=2, b = 7

0,1x - 2,3 = 0 Tässä a = 0,1, b = -2,3

12x + 1/2 = 0 Tässä a=12, b = 1/2

Ei mitään monimutkaista, eikö? Varsinkin jos et huomaa sanoja: "missä a ja b ovat mitä tahansa lukuja"... Ja jos huomaat ja ajattelet sitä huolimattomasti?) Loppujen lopuksi jos a=0, b = 0(kaikki numerot ovat mahdollisia?), niin saadaan hauska lauseke:

Mutta ei siinä vielä kaikki! Jos sanotaan, a=0, A b = 5, Tämä osoittautuu jotain täysin poikkeavaa:

Mikä on ärsyttävää ja heikentää luottamusta matematiikkaan, kyllä...) Varsinkin kokeiden aikana. Mutta näistä outoista ilmauksista sinun on löydettävä myös X! Jota ei ole ollenkaan olemassa. Ja yllättävää kyllä, tämä X on erittäin helppo löytää. Opimme tekemään tämän. Tällä oppitunnilla.

Kuinka tunnistaa lineaarinen yhtälö sen ulkonäön perusteella? Riippuu mitä ulkomuoto.) Temppu on siinä, että ei vain muodoltaan olevia yhtälöitä kutsutaan lineaarisiksi yhtälöiksi kirves + b = 0 , mutta myös kaikki yhtälöt, jotka voidaan pelkistää tähän muotoon muunnoksilla ja yksinkertaistuksilla. Ja kuka tietää, tuleeko se alas vai ei?)

Lineaarinen yhtälö voidaan joissain tapauksissa tunnistaa selvästi. Oletetaan, että jos meillä on yhtälö, jossa on vain ensimmäiseen asteeseen tuntemattomia ja lukuja. Ja yhtälössä ei ole murtoluvut jaettuna tuntematon , on tärkeää! Ja jakamalla määrä, tai murto-osa - se on tervetullutta! Esimerkiksi:

Tämä on lineaarinen yhtälö. Tässä on murtolukuja, mutta neliössä, kuutiossa jne. ei ole x:iä eikä nimittäjissä x:iä, ts. Ei jako x:llä. Ja tässä on yhtälö

ei voida kutsua lineaariksi. Tässä X:t ovat kaikki ensimmäisessä asteessa, mutta niitä on jakaminen lausekkeella x:llä. Yksinkertaistusten ja muunnosten jälkeen voit saada lineaarisen yhtälön, toisen asteen yhtälön tai minkä tahansa haluamasi.

Osoittautuu, että on mahdotonta tunnistaa lineaarista yhtälöä jossain monimutkaisessa esimerkissä, ennen kuin olet melkein ratkaissut sen. Tämä on järkyttävää. Mutta tehtävissä he eivät yleensä kysy yhtälön muotoa, eikö niin? Tehtävät vaativat yhtälöitä päättää. Tämä tekee minut onnelliseksi.)

Lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen. Esimerkkejä.

Lineaaristen yhtälöiden koko ratkaisu koostuu yhtälöiden identtisistä muunnoksista. Muuten, nämä muunnokset (kaksi niistä!) ovat ratkaisujen perusta kaikki matematiikan yhtälöt. Toisin sanoen ratkaisu minkä tahansa yhtälö alkaa juuri näillä muunnoksilla. Lineaaristen yhtälöiden tapauksessa se (ratkaisu) perustuu näihin muunnoksiin ja päättyy täydelliseen vastaukseen. On järkevää seurata linkkiä, eikö?) Lisäksi siellä on myös esimerkkejä lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisesta.

Katsotaanpa ensin yksinkertaisinta esimerkkiä. Ilman mitään sudenkuoppia. Oletetaan, että meidän on ratkaistava tämä yhtälö.

x - 3 = 2 - 4x

Tämä on lineaarinen yhtälö. X:t ovat kaikki ensimmäisessä potenssissa, X:illä ei ole jakoa. Mutta itse asiassa meille ei ole väliä, millainen yhtälö se on. Meidän on ratkaistava se. Kaava tässä on yksinkertainen. Kerää kaikki X:t yhtälön vasemmalla puolella, kaikki ilman X:iä (numeroita) oikealta.

Tätä varten sinun on siirrettävä - 4x sisään vasen puoli, tietysti merkin vaihdolla ja - 3 - oikealle. Tämä on muuten ensimmäinen identtinen yhtälöiden muunnos. Yllättynyt? Tämä tarkoittaa, että et seurannut linkkiä, mutta turhaan...) Saamme:

x + 4x = 2 + 3

Tässä on samanlaisia, harkitsemme:

Mitä tarvitsemme täydelliseen onneen? Kyllä, niin että vasemmalla on puhdas X! Viisi on tiellä. Päästä eroon viidestä avulla toinen identtinen yhtälöiden muunnos. Nimittäin jaamme yhtälön molemmat puolet viidellä. Saamme valmiin vastauksen:

Alkuperäinen esimerkki tietysti. Tämä on lämmittelyä varten.) Ei ole kovin selvää, miksi muistin täällä identtiset muunnokset? OK. Otetaan härkää sarvista.) Päätetään jotain vankkaampaa.

Esimerkiksi tässä on yhtälö:

Mistä aloitamme? X:llä - vasemmalla, ilman X:llä - oikealla? Voisi olla niin. Pienet askeleet pitkällä tiellä. Tai voit heti, yleismaailmallisesti ja voimakkaalla tavalla. Jos sinulla on tietysti arsenaalissasi identtisiä yhtälöiden muunnoksia.

Esitän sinulle keskeisen kysymyksen: Mistä et pidä eniten tässä yhtälössä?

95 henkilöä 100:sta vastaa: murto-osia ! Vastaus on oikea. Joten päästään niistä eroon. Siksi aloitamme välittömästi toinen identiteetin muunnos. Mitä tarvitaan kertomaan vasemmalla oleva murto-osa, jotta nimittäjä pienenee kokonaan? Aivan oikein, 3. Ja oikealla? 4:llä. Mutta matematiikka antaa meille mahdollisuuden kertoa molemmat puolet sama numero. Kuinka pääsemme ulos? Kerrotaan molemmat puolet 12:lla! Nuo. yhteiseksi nimittäjäksi. Sitten sekä kolme että neljä vähenevät. Älä unohda, että sinun on kerrottava jokainen osa täysin. Ensimmäinen vaihe näyttää tältä:

Hakasulkeiden laajentaminen:

Huomautus! Osoittaja (x+2) Laitoin sen suluihin! Tämä johtuu siitä, että murtolukuja kerrottaessa koko osoittaja kerrotaan! Nyt voit pienentää murtolukuja:

Laajenna loput sulut:

Ei esimerkki, vaan puhdas mielihyvä!) Muistetaan nyt loitsu juniori luokat: X:llä - vasemmalle, ilman X - oikealle! Ja käytä tätä muutosta:

Tässä on joitain samanlaisia:

Ja jaa molemmat osat 25:llä, ts. käytä toista muutosta uudelleen:

Siinä kaikki. Vastaus: X=0,16

Huomaa: saadaksemme alkuperäisen hämmentävän yhtälön mukavaan muotoon käytimme kahta (vain kahta!) identiteetin muunnoksia– käännös vasen-oikea merkin muutoksella ja yhtälön kerto- ja jakolasku samalla luvulla. Tämä universaali menetelmä! Työskentelemme tällä tavalla minkä tahansa yhtälöt! Ehdottomasti kuka tahansa. Siksi toistan ikävästi näitä identtisiä muunnoksia koko ajan.)

Kuten näet, lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisen periaate on yksinkertainen. Otamme yhtälön ja yksinkertaistamme sitä käyttämällä identtisiä muunnoksia, kunnes saamme vastauksen. Tärkeimmät ongelmat ovat laskelmissa, eivät ratkaisun periaatteessa.

Mutta... Alkeisimpien lineaaristen yhtälöiden ratkaisuprosessissa on sellaisia ​​yllätyksiä, että ne voivat ajaa sinut vahvaan umpikujaan...) Onneksi tällaisia ​​yllätyksiä voi olla vain kaksi. Kutsutaanpa niitä erikoistapauksiksi.

Erikoistapaukset lineaariyhtälöiden ratkaisemisessa.

Ensimmäinen yllätys.

Oletetaan, että törmäät hyvin perusyhtälöön, kuten:

2x+3=5x+5 - 3x -2

Hieman tylsistyneenä siirrämme sen X:llä vasemmalle, ilman X:tä - oikealle... Merkinvaihdolla kaikki on täydellistä... Saamme:

2x-5x+3x=5-2-3

Me laskemme ja... hups!!! Saamme:

Tämä tasa-arvo ei sinänsä ole moitittavaa. Nolla on todella nolla. Mutta X puuttuu! Ja meidän on kirjoitettava vastaukseen, mikä on x yhtä suuri? Muuten ratkaisulla ei ole merkitystä, eikö...) Umpikuja?

Rauhoittaa! Tällaisissa epäilyttävissä tapauksissa yleisimmät säännöt pelastavat sinut. Kuinka ratkaista yhtälöt? Mitä yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa? Tämä tarkoittaa, Etsi kaikki x:n arvot, jotka alkuperäiseen yhtälöön korvattuna antavat meille oikean yhtälön.

Mutta meillä on todellinen tasa-arvo jo tapahtui! 0=0, kuinka paljon tarkempaa?! On vielä selvitettävä, missä x:ssä tämä tapahtuu. Millä X:n arvoilla voidaan korvata alkuperäinen yhtälö, jos nämä x:t alennetaanko ne silti nollaan?Älä viitsi?)

Joo!!! X:t voidaan korvata minkä tahansa! Mitkä niistä haluat? Vähintään 5, vähintään 0,05, vähintään -220. Ne kutistuvat silti. Jos et usko minua, voit tarkistaa sen.) Korvaa mitkä tahansa X:n arvot alkuperäinen yhtälö ja laske. Koko ajan saat puhtaan totuuden: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 ja niin edelleen.

Tässä on vastauksesi: x - mikä tahansa numero.

Vastaus voidaan kirjoittaa erilaisilla matemaattisilla symboleilla, olemus ei muutu. Tämä on täysin oikea ja täydellinen vastaus.

Toinen yllätys.

Otetaan sama alkeislineaarinen yhtälö ja muutetaan vain yksi luku siinä. Tästä päätämme:

2x+1=5x+5 - 3x -2

Samojen identtisten muutosten jälkeen saamme jotain kiehtovaa:

Kuten tämä. Ratkaisimme lineaarisen yhtälön ja saimme kummallisen yhtälön. Matemaattisesti sanottuna saimme väärää tasa-arvoa. Ja puhuminen yksinkertaisella kielellä, Tämä ei ole totta. Rave. Mutta tästä huolimatta tämä hölynpöly on erittäin hyvä syy yhtälön oikeaan ratkaisuun.)

Ajattelemme jälleen perustuen yleiset säännöt. Mitä x:t, kun se korvataan alkuperäiseen yhtälöön, antaa meille totta tasa-arvo? Kyllä, ei yhtään! Sellaisia ​​X-merkkejä ei ole olemassa. Ei väliä mitä laitat, kaikki vähenee, vain hölynpölyä jää jäljelle.)

Tässä on vastauksesi: ei ole ratkaisuja.

Tämä on myös täysin täydellinen vastaus. Matematiikassa tällaisia ​​vastauksia löytyy usein.

Kuten tämä. Nyt toivon, että X:iden katoaminen minkä tahansa (ei vain lineaarisen) yhtälön ratkaisuprosessissa ei hämmennä sinua ollenkaan. Tämä on jo tuttu asia.)

Nyt kun olemme käsitelleet kaikki lineaaristen yhtälöiden sudenkuopat, on järkevää ratkaista ne.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Lineaarinen yhtälö on algebrallinen yhtälö, jonka polynomien kokonaisaste on yksi. Lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen - osa koulun opetussuunnitelma, eikä se kaikkein vaikein. Joillakin on kuitenkin edelleen vaikeuksia saada tämä aihe loppuun. Toivomme, että tämän materiaalin lukemisen jälkeen kaikki sinulle liittyvät vaikeudet jäävät menneisyyteen. Joten, selvitetään se. kuinka ratkaista lineaariset yhtälöt.

Yleinen muoto

Lineaarinen yhtälö esitetään seuraavasti:

• ax + b = 0, missä a ja b ovat mitä tahansa lukuja.

Vaikka a ja b voivat olla mikä tahansa luku, niiden arvot vaikuttavat yhtälön ratkaisujen määrään. Ratkaisuja on useita erityistapauksia:

• Jos a=b=0, yhtälöllä on ääretön määrä ratkaisuja;
• Jos a=0, b≠0, yhtälöllä ei ole ratkaisua;
• Jos a≠0, b=0, yhtälöllä on ratkaisu: x = 0.

Jos molemmilla luvuilla on nollasta poikkeavat arvot, yhtälö on ratkaistava muuttujan lopullisen lausekkeen johtamiseksi.

Miten päättää?

Lineaarisen yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa sitä, että selvitetään, mikä muuttuja on yhtä suuri. Miten tämä tehdään? Kyllä, se on hyvin yksinkertaista - käyttämällä yksinkertaisia ​​algebrallisia operaatioita ja noudattamalla siirtosääntöjä. Jos yhtälö näkyy edessäsi yleisessä muodossa, olet onnekas; sinun tarvitsee vain:

1. Siirrä b kohtaan oikea puoli yhtälö, unohtamatta muuttaa etumerkkiä (käännössääntö!), joten muotoa ax + b = 0 olevasta lausekkeesta tulisi saada muodon lauseke: ax = -b.
2. Käytä sääntöä: löytääksesi yhden tekijöistä (x - meidän tapauksessamme), sinun on jaettava tuote (-b meidän tapauksessamme) toisella tekijällä (a - meidän tapauksessamme). Siten sinun pitäisi saada lauseke muotoa: x = -b/a.

Siinä se - ratkaisu on löydetty!

Katsotaanpa nyt konkreettista esimerkkiä:

1. 2x + 4 = 0 - siirrä b, joka on tässä tapauksessa yhtä suuri kuin 4, oikealle puolelle
2. 2x = -4 - jaa b a:lla (älä unohda miinusmerkkiä)
3. x = -4/2 = -2

Siinä kaikki! Ratkaisumme: x = -2.

Kuten näet, ratkaisu yhden muuttujan lineaariseen yhtälöön on melko yksinkertainen löytää, mutta kaikki on niin yksinkertaista, jos meillä on onni törmätä yhtälöön sen yleisessä muodossa. Useimmissa tapauksissa, ennen kuin ratkaiset yhtälön kahdessa yllä kuvatussa vaiheessa, sinun on silti saatava olemassa oleva lauseke yleiseen muotoon. Tämä ei kuitenkaan ole äärimmäisen vaikea tehtävä. Katsotaanpa joitain erikoistapauksia esimerkkien avulla.

Erikoistapausten ratkaiseminen

Ensin tarkastellaan tapauksia, joita kuvailimme artikkelin alussa, ja selitetään, mitä tarkoittaa ääretön määrä ratkaisuja ja ei ratkaisua.

• Jos a=b=0, yhtälö näyttää tältä: 0x + 0 = 0. Suorittamalla ensimmäinen vaihe, saamme: 0x = 0. Mitä tämä hölynpöly tarkoittaa, huudat! Loppujen lopuksi, riippumatta siitä, minkä luvun kerrot nollalla, saat aina nollan! Oikein! Siksi he sanovat, että yhtälöllä on ääretön määrä ratkaisuja - riippumatta siitä, minkä luvun otat, yhtälö on totta, 0x = 0 tai 0 = 0.
• Jos a=0, b≠0, yhtälö näyttää tältä: 0x + 3 = 0. Suorita ensimmäinen vaihe, saamme 0x = -3. Taas hölynpölyä! On selvää, ettei tämä tasa-arvo koskaan tule olemaan totta! Siksi he sanovat, että yhtälöllä ei ole ratkaisuja.
• Jos a≠0, b=0, yhtälö näyttää tältä: 3x + 0 = 0. Suorittamalla ensimmäinen vaihe saadaan: 3x = 0. Mikä on ratkaisu? Se on helppoa, x = 0.

Kadonnut käännettäessä

Kuvatut erikoistapaukset eivät ole kaikki, joilla lineaariyhtälöt voivat yllättää meidät. Joskus yhtälöä on vaikea tunnistaa ensi silmäyksellä. Katsotaanpa esimerkkiä:

• 12x - 14 = 2x + 6

Onko tämä lineaarinen yhtälö? Entä oikealla puolella oleva nolla? Emme kiirehdi johtopäätöksiin, vaan toimimme - siirrämme kaikki yhtälömme komponentit vasemmalle puolelle. Saamme:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Nyt kun vähennät samankaltaisesta, saamme:

• 10x - 20 = 0

Oppinut? Lineaarisin yhtälö ikinä! Ratkaisu, johon on: x = 20/10 = 2.

Mitä jos meillä on tämä esimerkki:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Kyllä, tämä on myös lineaarinen yhtälö, vain lisää muunnoksia on suoritettava. Avataan ensin sulut:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - nyt suoritamme siirron:
4. 25x - 4 = 0 - on vielä löydettävä ratkaisu jo tunnetun kaavion avulla:
5. 25x = 4,
6. x = 4/25 = 0,16

Kuten näet, kaikki voidaan ratkaista, tärkeintä ei ole huolehtia, vaan toimia. Muista, että jos yhtälösi sisältää vain ensimmäisen asteen muuttujia ja lukuja, sinulla on lineaarinen yhtälö, joka, riippumatta siitä miltä se alun perin näyttää, voidaan pelkistää yleiseen muotoon ja ratkaista. Toivomme, että kaikki toimii sinulle! Onnea!

jne., on loogista tutustua muun tyyppisiin yhtälöihin. Seuraavat jonossa ovat lineaariset yhtälöt, jonka kohdennettu opiskelu alkaa algebratunneilla 7. luokalla.

On selvää, että ensin sinun on selitettävä, mikä lineaarinen yhtälö on, annettava lineaarisen yhtälön määritelmä, sen kertoimet, näytettävä se yleinen muoto. Sitten voit selvittää, kuinka monta ratkaisua lineaarisella yhtälöllä on kertoimien arvoista riippuen ja kuinka juuret löydetään. Näin voit siirtyä esimerkkien ratkaisemiseen ja siten lujittaa opittua teoriaa. Tässä artikkelissa teemme näin: käsittelemme yksityiskohtaisesti kaikkia lineaarisiin yhtälöihin ja niiden ratkaisuihin liittyviä teoreettisia ja käytännöllisiä kohtia.

Sanotaan heti, että tässä tarkastellaan vain lineaarisia yhtälöitä yhdellä muuttujalla, ja erillisessä artikkelissa tutkimme ratkaisun periaatteita lineaariset yhtälöt kahdella muuttujalla.

Sivulla navigointi.

Mikä on lineaarinen yhtälö?

Lineaarisen yhtälön määritelmä saadaan sen kirjoitustavasta. Lisäksi eri matematiikan ja algebran oppikirjoissa lineaariyhtälöiden määritelmien formulaatioissa on joitain eroja, jotka eivät vaikuta asian olemukseen.

Esimerkiksi Yu. N. Makarychevin et al.:n 7. luokan algebraoppikirjassa lineaarinen yhtälö on määritelty seuraavasti:

Määritelmä.

Muodon yhtälö a x=b, jossa x on muuttuja, a ja b ovat joitain lukuja, kutsutaan lineaarinen yhtälö yhdellä muuttujalla.

Annetaan esimerkkejä lineaarisista yhtälöistä, jotka täyttävät esitetyn määritelmän. Esimerkiksi 5 x = 10 on lineaarinen yhtälö, jossa on yksi muuttuja x, tässä kerroin a on 5 ja luku b on 10. Toinen esimerkki: −2.3·y=0 on myös lineaarinen yhtälö, mutta muuttujalla y, jossa a=−2.3 ja b=0. Ja lineaarisissa yhtälöissä x=−2 ja −x=3.33 a eivät ole eksplisiittisesti läsnä ja ovat 1 ja −1, vastaavasti, kun taas ensimmäisessä yhtälössä b=−2 ja toisessa - b=3.33.

Ja vuotta aiemmin N. Ya. Vilenkinin matematiikan oppikirjassa lineaariset yhtälöt, joissa on yksi tuntematon, käsittelivät muotoa a x = b olevien yhtälöiden lisäksi myös yhtälöitä, jotka voidaan tuoda tähän muotoon siirtämällä termejä yhdestä osasta yhtälöstä toiseen, jolla on vastakkainen etumerkki, sekä vähentämällä samanlaisia ​​termejä. Tämän määritelmän mukaan yhtälöt muotoa 5 x = 2 x + 6 jne. myös lineaarinen.

A. G. Mordkovichin 7. luokan algebraoppikirjassa puolestaan ​​annetaan seuraava määritelmä:

Määritelmä.

Lineaarinen yhtälö yhdellä muuttujalla x on yhtälö muotoa a·x+b=0, jossa a ja b ovat joitain lukuja, joita kutsutaan lineaarisen yhtälön kertoimiksi.

Esimerkiksi tämän tyyppiset lineaariset yhtälöt ovat 2 x−12=0, tässä kerroin a on 2 ja b on −12 ja 0.2 y+4.6=0 kertoimilla a=0.2 ja b =4.6. Mutta samaan aikaan on esimerkkejä lineaarisista yhtälöistä, joiden muoto ei ole a·x+b=0, vaan a·x=b, esimerkiksi 3·x=12.

Jotta meillä ei olisi jatkossa poikkeamia, tarkoitamme lineaarisella yhtälöllä, jossa on yksi muuttuja x ja kertoimet a ja b yhtälöä muotoa a x + b = 0. Tämäntyyppinen lineaarinen yhtälö näyttää olevan oikeutetuin, koska lineaariset yhtälöt ovat algebralliset yhtälöt ensimmäisen asteen. Ja kaikki muut yllä mainitut yhtälöt sekä yhtälöt, jotka vastaavilla muunnoksilla pelkistetään muotoon a x + b = 0, kutsumme yhtälöt, jotka pelkistyvät lineaarisiksi yhtälöiksi. Tällä lähestymistavalla yhtälö 2 x+6=0 on lineaarinen yhtälö ja 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12 jne. - Nämä ovat yhtälöitä, jotka pelkistyvät lineaarisiin.

Kuinka ratkaista lineaariset yhtälöt?

Nyt on aika selvittää, kuinka lineaariset yhtälöt a·x+b=0 ratkaistaan. Toisin sanoen on aika selvittää, onko lineaarisella yhtälöllä juuria, ja jos on, kuinka monta niitä ja miten ne löydetään.

Lineaarisen yhtälön juurien läsnäolo riippuu kertoimien a ja b arvoista. Tässä tapauksessa lineaarisella yhtälöllä a x+b=0 on

• ainoa juuri arvolle a≠0,
• ei ole juuria arvoille a=0 ja b≠0,
• sillä on äärettömän monta juuria arvoille a=0 ja b=0, jolloin mikä tahansa luku on lineaarisen yhtälön juuri.

Selvitetään, kuinka nämä tulokset saatiin.

Tiedämme, että yhtälöiden ratkaisemiseksi voimme siirtyä alkuperäisestä yhtälöstä ekvivalenttisiin yhtälöihin, eli yhtälöihin, joilla on samat juuret tai, kuten alkuperäinen, ilman juuria. Voit tehdä tämän käyttämällä seuraavia vastaavia muunnoksia:

• termin siirtäminen yhtälön puolelta toiselle päinvastaisella merkillä,
• sekä kertomalla tai jakamalla yhtälön molemmat puolet samalla nollasta poikkeavalla luvulla.

Eli lineaarisessa yhtälössä yhden kanssa muodon muuttuja a x+b=0 voimme siirtää termin b vasemmalta puolelta kohtaan oikea puoli päinvastaisella merkillä. Tässä tapauksessa yhtälö saa muotoa a·x=−b.

Ja sitten se herättää kysymyksen yhtälön molempien puolten jakamisesta luvulla a. Mutta on yksi asia: luku a voi olla yhtä suuri kuin nolla, jolloin tällainen jako on mahdotonta. Tämän ongelman ratkaisemiseksi oletetaan ensin, että luku a ei ole nolla, ja tarkastellaan tapausta, jossa a on yhtä suuri kuin nolla erikseen hieman myöhemmin.

Joten kun a ei ole nolla, voimme jakaa yhtälön a·x=−b molemmat puolet a:lla, minkä jälkeen se muunnetaan muotoon x=(−b):a, tämä tulos voidaan kirjoitettu käyttämällä murtoviivaa as.

Siten a≠0:lle lineaarinen yhtälö a·x+b=0 vastaa yhtälöä, josta sen juuri näkyy.

On helppo osoittaa, että tämä juuri on ainutlaatuinen, eli lineaarisella yhtälöllä ei ole muita juuria. Tämä mahdollistaa päinvastaisen menetelmän.

Merkitään juureksi x 1. Oletetaan, että lineaarisella yhtälöllä on toinen juuri, jota merkitsemme x 2 ja x 2 ≠x 1, joka johtuu määritelmät yhtä suuria lukuja eron kautta on yhtä suuri kuin ehto x 1 −x 2 ≠0. Koska x 1 ja x 2 ovat lineaarisen yhtälön a·x+b=0 juuria, niin numeeriset yhtälöt a·x 1 +b=0 ja a·x 2 +b=0 pätevät. Voimme vähentää näiden yhtälöiden vastaavat osat, minkä numeeristen yhtäläisten ominaisuudet mahdollistavat, meillä on a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, josta a·(x 1 −x 2)+(b−b)=0 ja sitten a·(x 1 −x 2)=0 . Mutta tämä yhtäläisyys on mahdoton, koska sekä a≠0 että x 1 − x 2 ≠0. Niinpä tulimme ristiriitaan, joka todistaa lineaarisen yhtälön a·x+b=0 juuren ainutlaatuisuuden arvolle a≠0.

Ratkaisimme siis lineaarisen yhtälön a·x+b=0 arvolle a≠0. Tämän kappaleen alussa annettu ensimmäinen tulos on perusteltu. Jäljellä on kaksi muuta, jotka täyttävät ehdon a=0.

Kun a=0, lineaarinen yhtälö a·x+b=0 saa muotoa 0·x+b=0. Tästä yhtälöstä ja lukujen nollalla kertomisen ominaisuudesta seuraa, että riippumatta siitä, minkä luvun otamme x:ksi, kun se korvataan yhtälöllä 0 x + b=0, saadaan numeerinen yhtälö b=0. Tämä yhtälö on tosi, kun b=0, ja muissa tapauksissa kun b≠0 tämä yhtälö on epätosi.

Näin ollen, kun a=0 ja b=0, mikä tahansa luku on lineaarisen yhtälön a·x+b=0 juuri, koska näissä olosuhteissa minkä tahansa luvun korvaaminen x:n kanssa antaa oikean numeerisen yhtälön 0=0. Ja kun a=0 ja b≠0, lineaarisella yhtälöllä a·x+b=0 ei ole juuria, koska näissä olosuhteissa minkä tahansa luvun korvaaminen x:n sijasta johtaa väärään numeeriseen yhtälöön b=0.

Annetut perustelut antavat meille mahdollisuuden muotoilla toimintosarjan, jonka avulla voimme ratkaista minkä tahansa lineaarisen yhtälön. Niin, algoritmi lineaarisen yhtälön ratkaisemiseksi On:

• Ensinnäkin, kirjoittamalla lineaarinen yhtälö, löydämme kertoimien a ja b arvot.
• Jos a=0 ja b=0, niin tällä yhtälöllä on äärettömän monta juuria, nimittäin mikä tahansa luku on tämän lineaarisen yhtälön juuri.
• Jos a ei ole nolla, niin
• kerroin b siirretään oikealle puolelle vastakkaisella merkillä ja lineaarinen yhtälö muunnetaan muotoon a·x=-b,
• jonka jälkeen tuloksena olevan yhtälön molemmat puolet jaetaan nollasta poikkeavalla luvulla a, joka antaa alkuperäisen lineaarisen yhtälön halutun juuren.

Kirjoitettu algoritmi on kattava vastaus kysymykseen lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisesta.

Tämän kohdan lopuksi on syytä todeta, että samanlaista algoritmia käytetään muotoa a·x=b olevien yhtälöiden ratkaisemiseen. Sen erona on, että kun a≠0, yhtälön molemmat puolet jaetaan välittömästi tällä luvulla, tässä b on jo vaaditussa yhtälön osassa eikä sitä tarvitse siirtää.

A x = b muotoisten yhtälöiden ratkaisemiseen käytetään seuraavaa algoritmia:

• Jos a=0 ja b=0, niin yhtälöllä on äärettömän monta juuria, jotka ovat mitä tahansa lukuja.
• Jos a=0 ja b≠0, niin alkuperäisellä yhtälöllä ei ole juuria.
• Jos a on muu kuin nolla, niin yhtälön molemmat puolet jaetaan nollasta poikkeavalla luvulla a, josta löytyy yhtälön ainoa juuri, yhtä suuri kuin b/a.

Esimerkkejä lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisesta

Jatketaan harjoittelua. Katsotaanpa, kuinka lineaaristen yhtälöiden ratkaisualgoritmia käytetään. Antakaamme ratkaisuja vastaaville tyypillisille esimerkeille erilaisia ​​merkityksiä lineaaristen yhtälöiden kertoimet.

Esimerkki.

Ratkaise lineaarinen yhtälö 0·x−0=0.

Ratkaisu.

Tässä lineaarisessa yhtälössä a=0 ja b=−0 , joka on sama kuin b=0 . Siksi tällä yhtälöllä on äärettömän monta juuria; mikä tahansa luku on tämän yhtälön juuri.

Vastaus:

x – mikä tahansa numero.

Esimerkki.

Onko lineaarisella yhtälöllä 0 x + 2,7 = 0 ratkaisuja?

Ratkaisu.

Tässä tapauksessa kerroin a on nolla ja tämän lineaarisen yhtälön kerroin b on yhtä suuri kuin 2,7, eli eri kuin nolla. Siksi lineaarisella yhtälöllä ei ole juuria.

Lineaarisia yhtälöitä ratkaistaessa pyrimme löytämään juurin eli arvon muuttujalle, joka muuttaa yhtälön oikeaksi yhtälöksi.

Löytääksesi tarvitsemasi yhtälön juuren vastaavat muunnokset tuovat meille annetun yhtälön muotoon

\(x=[numero]\)

Tästä numerosta tulee juuri.

Toisin sanoen muunnamme yhtälöä yksinkertaistaen sitä jokaisella askeleella, kunnes pelkistämme sen täysin primitiiviseksi yhtälöksi “x = numero”, jossa juuri on ilmeinen. Useimmin käytetyt muunnokset lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisessa ovat seuraavat:

Esimerkiksi: lisää \(5\) yhtälön \(6x-5=1\) molemmille puolille

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Huomaa, että voisimme saada saman tuloksen nopeammin kirjoittamalla viisi yhtälön toiselle puolelle ja muuttamalla sen etumerkkiä. Oikeastaan ​​juuri näin tehdään koulun "siirto tasavertaisten kautta merkin muutoksella päinvastaiseksi".

2. Yhtälön molempien puolten kertominen tai jakaminen samalla luvulla tai lausekkeella.

Esimerkiksi: jaa yhtälö \(-2x=8\) miinus kahdella

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Tyypillisesti tämä vaihe suoritetaan aivan lopussa, kun yhtälö on jo pelkistetty muotoon \(ax=b\), ja poistamme sen vasemmalta jakamalla \(a\).

3. Matematiikan ominaisuuksien ja lakien käyttäminen: sulkeiden avaaminen, samankaltaisten termien tuominen, murtolukujen pienentäminen jne.

Lisää \(2x\) vasen ja oikea

Vähennä \(24\) yhtälön molemmilta puolilta

Esittelemme samanlaiset termit uudelleen

Nyt jaamme yhtälön arvolla \(-3\), jolloin poistetaan etu-X vasemmalta puolelta.

Vastaus : \(7\)

Vastaus on löytynyt. Tarkastellaanpa kuitenkin. Jos seitsemän on todella juuri, niin kun se korvataan X:n sijaan alkuperäisessä yhtälössä, pitäisi saada oikea yhtälö - samat numerot vasemmalla ja oikealla. Kokeillaan.

Tutkimus:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Se onnistui. Tämä tarkoittaa, että seitsemän on todellakin alkuperäisen lineaarisen yhtälön juuri.

Älä ole laiska tarkistamaan korvaamalla löytämiäsi vastauksia, varsinkin jos ratkaiset yhtälön kokeessa tai kokeessa.

Kysymys on edelleen - kuinka määrittää, mitä tehdä yhtälön kanssa seuraavassa vaiheessa? Miten se oikein muunnetaan? Jaa jollain? Tai vähennä? Ja mitä minun pitäisi oikein vähentää? Jaa millä?

Vastaus on yksinkertainen:

Tavoitteesi on viedä yhtälö muotoon \(x=[luku]\), eli vasemmalla on x ilman kertoimia ja lukuja ja oikealla vain luku ilman muuttujia. Siksi katso, mikä estää sinua ja tee päinvastoin kuin häiritsevä komponentti.

Tämän ymmärtämiseksi paremmin tarkastellaan lineaarisen yhtälön \(x+3=13-4x\) ratkaisua askel askeleelta.

Ajatellaanpa: miten tämä yhtälö eroaa \(x=[luku]\)? Mikä meitä estää? Mikä hätänä?

No, ensinnäkin, kolme häiritsee, koska vasemmalla pitäisi olla vain yksittäinen X, ilman numeroita. Mitä troikka "tekee"? Lisätty X:lle. Joten sen poistamiseksi - vähentää samat kolme. Mutta jos vähennämme kolme vasemmalta, meidän on vähennettävä se oikealta, jotta tasa-arvoa ei rikota.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Hieno. Mikä sinua nyt estää? \(4x\) oikealla, koska siellä saa olla vain numeroita. \(4x\) vähennetään- poistamme lisäämällä.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Nyt esittelemme samanlaisia ​​termejä vasemmalla ja oikealla.

Se on melkein valmis. Jäljelle jää vain poistaa vasemmalla oleva viisi. Mitä hän tekee"? Kertoo kohdassa x. Joten poistetaan se jako.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Ratkaisu on valmis, yhtälön juuri on kaksi. Voit tarkistaa vaihtamalla.

huomaa, että Useimmiten lineaarisissa yhtälöissä on vain yksi juuri. Kaksi erityistapausta voi kuitenkin tapahtua.

Erikoistapaus 1 – lineaarisessa yhtälössä ei ole juuria.

Esimerkki . Ratkaise yhtälö \(3x-1=2(x+3)+x\)

Ratkaisu :

Vastaus : ei juuria.

Itse asiassa se tosiasia, että tulemme tällaiseen tulokseen, näkyi aiemmin, vaikka saimme \(3x-1=3x+6\). Ajattele sitä: kuinka \(3x\), josta vähennimme \(1\), ja \(3x\), johon lisäsimme \(6\), voivat olla yhtä suuria? Ilmeisesti ei mitenkään, koska he tekivät eri asioita samalla asialla! On selvää, että tulokset vaihtelevat.

Erikoistapaus 2 – lineaarisella yhtälöllä on ääretön määrä juuria.

Esimerkki . Ratkaise lineaarinen yhtälö \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Ratkaisu :

Vastaus : mikä tahansa numero.

Tämä oli muuten havaittavissa jo aikaisemmin, vaiheessa: \(8x+12=8x+12\). Oikeastaan ​​vasen ja oikea ovat samoja ilmaisuja. Minkä X:n korvaat, se on sama numero sekä siellä että siellä.

Monimutkaisemmat lineaariyhtälöt.

Alkuperäinen yhtälö ei aina näytä heti lineaariselta, joskus se "naamioituu" toiseksi, enemmän monimutkaisia ​​yhtälöitä. Muutosprosessissa naamio kuitenkin katoaa.

Esimerkki . Etsi yhtälön juuri \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Ratkaisu :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Näyttää siltä, ​​​​että tässä on x:n neliö - tämä ei ole lineaarinen yhtälö! Mutta älä kiirehdi. Haetaan
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Miksi laajennuksen tulos \((x-4)^(2)\) on suluissa, mutta tulos \((3+x)^(2)\) ei ole? Koska ensimmäisen neliön edessä on miinus, joka muuttaa kaikki merkit. Ja jotta emme unohtaisi tätä, otamme tuloksen suluissa, jotka nyt avataan.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Esittelemme samanlaisia ​​termejä
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Esittelemme jälleen samanlaisia.
		Kuten tämä. Osoittautuu, että alkuperäinen yhtälö on melko lineaarinen, ja X-neliö ei ole muuta kuin näyttö, joka hämmentää meitä. :) Viimeistelemme ratkaisun jakamalla yhtälön luvulla \(2\), ja saamme vastauksen.

Vastaus : \(x=5\)

Esimerkki . Ratkaise lineaarinen yhtälö \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6 )\)

Ratkaisu :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Yhtälö ei näytä lineaariselta, se on jonkinlaisia ​​murtolukuja... Päätetään kuitenkin eroon nimittäjistä kertomalla yhtälön molemmat puolet kaikkien yhteisellä nimittäjällä – kuudella
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Laajenna vasemmalla olevaa kiinnikettä
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Pienennetään nyt nimittäjiä
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Nyt se näyttää tavalliselta lineaariselta! Tehdään se loppuun.
		Kääntämällä yhtäläisten kautta keräämme X:t oikealle ja numerot vasemmalle
		No, jakamalla oikean ja vasemman puolen \(-4\), saamme vastauksen

Vastaus : \(x=-1,25\)